Musterlösung zu Serie 10

Musterlösung zu Serie 10
Aufgabe 1
Die erste Determinante berechnen wir mittels Entwicklungsformel und Regel von Sarrus.
Entwicklung nach der 1.Zeile ergibt:
3
1
3
4
3 5 5 4
2 2 6 9
4 4 7 9
5
 (1)  1  2
2
4
3
 (1)  4   2
4
4
5
6
7
4
3
9  (1)  (3)   2  6
9
5 4
2
5
3
9
4
7
9
3
5
5
2
6
4
7
9  (1)  (3)   2
5
4 9
4
4
Mit der Regel von Sarrus berechnen wir:
5
5
2
6
4
7
9
3
5
4
2 6
4
7
4
9  (5)  (6)  (9)  5  9  (4)  (4)  2  7  (5)  9  7  5  2  (9)  (4)  (6)  (4)  5
9  3  (6)  (9)  5  9  4  (4)  (2)  7  3  9  7  5  (2)  (9)  (4)  (6)  4  23
9
5 4
3
2
9  3  2  (9)  (5)  9  4  (4)  (2)  (4)  3  9  (4)  (5)  (2)  (9)  (4)  2  4  36
2
4
4 9
3
5
2
2
4
4
5
 6  3  2  7  (5)  (6)  4  5  (2)  (4)  3  (6)  (4)  (5)  (2)  7  5  2  4  20
7
Mit diesen Zwischenergebnissen folgt:
3
1
3
4
3 5 5 4
 1  (5)  3  23  4  (36)  3  20  20
2 2 6 9
4 4 7 9
Bei der zweiten Determinante nutzen wir die Nullen und entwickeln zuerst nach der 4.Zeile und dann jeweils nach der Zeile
mit den meisten Nullen:
2
7
0
0
9
6
3
8
1
7
0
5
0
0
8
9
4
3
0
6
0
3
0
0
5
2 0 9 0
 (1) 6  1 
7 5 4 3
0 0 3 0
9 8 6 5

2 0 0


6
 (1)  1   (1)  3  7 5 3 

9 8 5 

6
Wir entwickeln nach der 3.Zeile
Wir entwickeln nach der 1.Zeile


5 3 
  1 3  2 1  6
 (1) 6  1   (1) 6  3   (1) 2  2 

8 5  


Bei der dritten Determinante nutzen wir zur Vereinfachung die Eigenschaft der Determinante, dass sich ihr Wert nicht ändert,
wenn man das Vielfache einer Zeile bzw. Spalte zu einer anderen Zeile bzw. Spalte addiert. Die vereinfachte Determinante
berechnen wir dann mit der Regel von Sarrus:
2004
2005 2006
2004
1
2
2011 2012 2007
 2011
1
4
2010 2009
2008
2010
1  2
 2004  1  (2)  1  (4)  2010  2  2011  (1)  2004  (4)  (1)  1  2011  (2)  2  1  2010
 4008  8040  4022  8016  4022  4020  24084
Natürlich kann man die Determinante auch ohne Vereinfachung sofort mit der Regel von Sarrus berechnen, insbesondere bei
der Berechnung mit Taschenrechner oder Computer ist die Vereinfachung natürlich nicht notwendig.
Aufgabe 2
Wir benutzen im Folgenden die Regeln
(i)
det A = det AT
(ii)
det (AB) = det A  det B
(iii)
det (cA) = (c)n  det A
a)
Es gilt
det A = det AT
= det (-A)
= (-1)n det A
mit (i)
da A schiefsymmetrisch ist, d.h. AT = -A gilt.
mit (iii)
was zu zeigen war.
b)
Aus (i) erhalten wir durch Multiplikation von det A auf beiden Seiten
det A  det A = det AT  det A



Durch Wurzelziehen erhalten wir dann
det A = 1
was zu zeigen war.
(det A)2 = det (ATA)
(det A)2 = det I
(det A)2 = 1
mit (ii)
da A orthogonal ist, d.h. ATA = I gilt.
da det I = 1 ist.
Aufgabe 3
Wir entwickeln zunächst die Determinante nach der 3. Zeile (da dort  vorkommt):
3
det A  (3)
5
1
4
2
5
1
4
2
0 2 5
1 0 2 5
1
3

3 8 3
4 3 8 3
4
2 2 7
1 2 2 7
1
6
7
0
3 1
6
7
0
4
3
2
2 5
1
2
8 3
4
2 7
1
5
4
2
0
5
1
4
3 3
4
2 7
1
6
7
0
3
6
7
0
5
0 2
3 8
2 2
Nun haben wir zwei Möglichkeiten. Wir können alle vorkommenden Determinanten berechnen, da in keiner von ihnen mehr 
vorkommt. Die andere (weit weniger aufwendige) Möglichkeit basiert darauf, dass sich die obige Gleichung bei näherem
Hinsehen als Geradengleichung erweist:
det A  m  b , wobei
2
m
3 1
1
4
1
6
7
0
2 5
und
8 3
2 7
3
b  (3)
6
7
0
4
5
1
4
2
5
1
4
2
0 2 5
1 0 2 5
1
3
2
3 8 3
4 3 8 3
4
2 2 7
1 2 2 7
1
3
6
7
0
5
4
0
5
1
4
3 3
4
2 7
1
Aus der Aufgabenstellung kennen wir jedoch bereits zwei Punkte der Gerade:
Für  = 1 gilt det A = 504 und für  = -1 gilt det A = -120.
Durch Einsetzen in die Geradengleichung erhalten wir
504 = m + b
-120 = -m + b
Durch Addieren der beiden Gleichungen ergibt sich
384 = 2b

b = 192
und damit m = 504 – 192 = 312.
Wir erhalten also als Ergebnis det A = 312 + 192.
2
3
6
7
0
5
1
0 2
3 8
2 2
1
Aufgabe 4
Die Lösung basiert darauf, dass man aus einer Spalte einen gemeinsamen Faktor vor die Determinante ziehen darf, ohne dass
sich ihr Wert ändert. Da wir zeigen müssen, dass die Determinante durch 167 teilbar ist, versuchen wir 167 „auszuklammern“.
Dazu müssen wir eine Spalte durch Addition von Vielfachen der anderen Spalten so ändern, dass alle ihre Werte durch 167
teilbar werden. Gute Kandidaten dafür sind die Werte 2004, 5344, 5511 und 8016, von denen wir aus der Aufgabenstellung
wissen, dass sie durch 167 teilbar sind.
Durch Addition von
 2
0 
0 
5 
 3
 4
1000     100     10   
5 
5 
1 
 
 
 
8 
0 
1 
zur letzten Spalte unserer Matrix erhalten wir
2 0 0 4
det A 
2 0 0 2004
2 0 0 12
5 3 4 4 5 3 4 5344
5 3 4 32

 167 
5 5 1 1 5 5 1 5511
5 5 1 33
8 0 1 6 8 0 1 8016
8 0 1 48
2 0 0 12
Da
5 3 4 32
 Z ist, folgt, dass det A durch 167 teilbar ist, was zu zeigen war.
5 5 1 33
8 0 1 48