lineare Gleichungssysteme, Matrizen

Prof. Dr. G. Wagner
Kapitel 3
Ingenieurmathematik
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Lineare Gleichungssysteme
3.1. Einleitung
Beispiel 1:
3 Kinder haben eingekauft.
Franz hat 4 Lakritzen, 2 Schokoriegel und 5 Kaugummis für 3,30 €.
Petra hat 3 Lakritzen, 6 Schokoriegel und 10 Kaugummis für 6,70 €.
Hugo hat 1 Lakritzen, 5 Schokoriegel und 2 Kaugummis für 4,50 €.
Frage: Wie viel kostet je eine Lakritze, ein Schokoriegel bzw. ein Kaugummi?
Das Problem muss nun mathematisch formuliert werden. Hierfür führen wir für die
unbekannten Preise die Variable xi ein und formulieren damit aus den Aussagen
Gleichungen.
Es sei x1 der Preis für eine Lakritze,
x2 der Preis für einen Schokoriegel und
x3 der Preis für einen Kaugummi.
Die drei Aussagen ergeben somit die drei Gleichungen:
4x1 +
3x1 +
1x1 +
2x2 +
6x2 +
5x2 +
5x3
10x3
2x3
= 3,30
= 6,70
= 4,50
(1)
(2)
(3)
Diese drei Gleichungen fassen wir als Gleichungssystem auf.
Jede der Gleichungen ist linear.
d.h.: Die Unbekannten xi treten nur in der 1. Potenz auf und es gibt keine Produkte der Art xi·xj.
Es liegt ein lineares Gleichungssystem vor.
Als Lösung des Gleichungssystems werden die Wertepaare für x1, x2, x3 bezeichnet, für die alle
Gleichungen erfüllt sind.
Wir werden dieses Gleichungssystem gleich lösen. Zunächst noch eine Festlegung:
Definition:
Der folgende Satz von m Gleichungen mit n Unbekannten heißt
lineares Gleichungssystem vom Typ (m,n):
a11x1 +
a21x1 +
·
·
am1x1 +
a12x2 +
a22x2 +
··· + a1nxn
··· + a2nxn
= c1
= c2
·
·
am2x2 +
··· + amnxn
= cm
Die Zahlen aik heißen Koeffizienten,
die Ausdrücke ci bilden die sogenannte Rechte Seite des LGS.
Sind alle ci = 0, so heißt das LGS homogen,
sonst inhomogen.
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3.2 Gaußsches Eliminationsverfahren
Das Gauß-Verfahren ist das Standardverfahren zur Lösung von LGS’n.
Die Lösung des LGS ändert sich nicht, wenn man jede einzelne Gleichung für sich mit einem
konstanten Faktor (außer der Null) multipliziert. Dies liegt daran, dass sich der
Wahrheitsgehalt der einzelnen Gleichungen durch diese Operation nicht ändert.
Die Lösung des LGS wird durch äquivalente Termumformungen nicht verändert.
Das gleiche gilt, wenn zu einer Gleichung des LGS eine andere Gleichung des LGS oder ein
Vielfaches einer Gleichung hinzuaddiert wird. Diese Aussage wird verständlich, wenn man
bedenkt, dass eine Gleichung wahr bleibt, solange auf beiden Seiten der Gleichung das
gleiche addiert wird. Dies ist bei der beschriebenen Rechenoperation der Fall.
Zur Auffindung der Lösung des LGS ist daher auch diese Rechenoperation zulässig.
Ziel dieser Rechenoperationen ist es, so viele Unbekannte zu eliminieren, bis in einer der
Gleichungen nur noch eine Unbekannte steht. Nach dieser Unbekannten kann dann aufgelöst
werden. Ihr Wert kann nun in die nächste Gleichung eingesetzt werden usw. Im Idealfall
erhält man so alle Unbekannten.
Für das Verfahren ist es vorteilhaft, die Summanden in jeder Gleichung nach ansteigenden
Indizes der Unbekannten zu ordnen.
Man verwendet beim Rechnen meist die verkürzte Schreibweise, in der nur noch die
Koeffizienten notiert werden.
Kurzbeschreibung:
Erlaubte Rechenschritte:
1. Gleichungen mit konstantem Faktor multiplizieren
2. Das Vielfache einer Gleichung zu einer anderen Gleichung addieren
Ziel:
Nullen erzeugen
Verkürzte Schreibweise:
statt
3x1 + 7x2 - 9x3 = 22
schreibt man: 3
7 - 9 : 22
Weiter mit Beispielen …
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3.3 Lösungsverhalten
Wir fanden
Genau eine
für inhomogene LGS ergeben sich unendlich viele
keine
und für homogene LGS ergeben sich
Lösungen
unendlich viele
 Lösung
nur die triviale 
Triviale Lösung nennt man die Lösung, in der sämtliche Koeffizienten Null sind.
Sie existiert für homogene LGS immer.
Ich werde im Folgenden mit den Begriffen der Vektorrechnung argumentieren.
Die Koeffizienten-Zeilen können als Vektoren aufgefasst werden.
Das Umformen der Gleichungen durch die 2. Rechenoperation entspricht dann dem Bilden von
Linearkombinationen der Vektoren.
Zu Beispiel 2:
Die Linearkombination der Vektoren erzeugte einen Nullvektor.
(Durch die Umformungen entsteht eine Koeffizientenzeile mit Nullen).
d.h. nur zwei Koeffizientenzeilen sind linear unabhängig.
Zu Beispiel 1:
Hier sind alle drei Koeffizientenzeilen linear unabhängig.
(Es gelingt nicht eine Koeffizientenzeile mit Nullen zu erzeugen.)
Sind sämtliche Koeffizientenzeilen linear unabhängig so gibt es genau eine Lösung. (Bsp. 1)
Dies gilt für jede rechte Seite, die nicht überall Null ist.
Ist die Rechte Seite überall Null (homogenes LGS) so gibt es nur die triviale Lösung. (Bsp. 4)
Die Lösbarkeit des LGS hängt neben der Frage ob es linear abhängige
Koeffizientenzeilen gibt, von der Rechten Seite des LGS ab.
Sind nicht alle Koeffizientenzeilen linear unabhängig,
(d.h. mindestens eine Zeile lässt sich „nullen“,
d.h. sie lässt sich als Linearkombination der übrigen Zeilen darstellen,)
und „passt“ die rechte Seite, so gibt es unendlich viele Lösungen. (Bsp 2)
„Passt“ sie nicht, so gibt es einen Widerspruch und das LGS besitzt keine Lösung. (Bsp. 3)
Ist die Rechte Seite überall Null (homogenes LGS) so gibt es ebenfalls unendlich viele
Lösungen. (Bsp. 5)
Auf der nächsten Seite sind diese Aussagen in einer Grafik zusammengefasst.
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Lösungsverhalten Linearer Gleichungssysteme
Lineares Gleichungssystem
mit n Unbekannten und
r linear unabhängigen
Koeffizientenzeilen
(Die Anzahl der Gleichungen spielt keine Rolle)
System
widerspruchsfrei
System mit
Widerspruch
(nur bei inhomogenen LGS
möglich)
Keine Lösung
(Bsp. 3)
r=n
genau eine
Lösung
r<n
unendlich viele
Lösungen mit
n-r Parametern
(gilt für homogene und inhomogene LGS)
(Bsp. 2 und 5)
LGS homogen
nur
die triviale
Lösung
(Bsp. 4)
LGS inhomogen
genau eine
nichttriviale
Lösung
(Bsp. 1)
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4.
Matrizen und Determinanten
4.1
Matrizen
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Definition:
Unter einer Matrix oder Matrize versteht man ein Zahlenschema aus m mal n Zahlen.
Schreibweise:
 a11 a12 .... a1k .... a1n 


 a 21 a 22 .... a 2 k .... a 2 n 
 :
: .... : .... : 

A=
 i − te Zeile
 ai1 ai 2 .... aik .... ain  ←
 :

: .... : .... : 

a

 m1 a m 2 .... a mk .... a mn 
↑
k-te Spalte
Die reellen Zahlen aik mit i = 1, 2,.....,m , k = 1, 2, .....,n heißen Elemente der Matrix A.
Ist m = n , so heißt A eine n-reihige quadratische Matrix.
Die Elemente ai1, ai2, ....,ain bilden die i-te Zeile,
die Elemente a1k, a2k,.....,amk bilden die k-te Spalte.
Anmerkung:
1) i heißt Zeilenindex, k heißt Spaltenindex des Elementes aik.
2) Eine (m, n)-Matrix heißt auch Matrix vom Typ (m, n).
Schreibweise:
A = A(m, n) = (aik)(m, n)
3) Matrizen vom gleichen Typ heißen gleichartig.
4) Eine Matrix vom Typ (1, n) heißt Zeilenmatrix oder Zeilenvektor.
Eine Matrix vom Typ (m, 1) heißt Spaltenmatrix oder Spaltenvektor.
5) Für quadratische Matrizen:
Die Elemente a11, a22, a33,......ann bilden die Hauptdiagonale.
Die Elemente an1, a(n-1)2, a(n-2)3,.......,a1n bilden die Nebendiagonale.
6) (aik) ist eine Matrix, aik ist eine reelle Zahl!
Definition: Gleichheit
A = (aik) und B = (bik) seien gleichartige Matrizen.
A und B heißen gleich, wenn
aik = bik für alle i, k gilt.
Schreibweise: A = B.
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Definition: Transponierte Matrix
A = (aik) sei eine (m , n) Matrix. Unter der Transponierten Matrix von A versteht man
die (n, m) Matrix, B = (bik) mit bik = aki für alle i, k.
Schreibweise: B = AT.
Anmerkung:
1) Zeilen und Spalten werden vertauscht.
Ist A quadratisch, so erhält man AT durch Spiegelung an der Hauptdiagonalen.
2) Für jede Matrix gilt: (AT)T = A.
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Definitionen:
A = (aik) sei eine n-reihige, quadratische Matrix. A heißt:
a) symmetrisch, wenn aik = aki für alle i, k ist.
b) schiefsymmetrisch, oder antisymmetrisch, wenn aik = -aki für alle i, k ist.
c) obere (untere) Dreiecksmatrix, wenn aik = 0 für alle i > k (i < k) ist.
d) Diagonalmatrix, wenn aik = 0 für all i ≠ k ist.
Anmerkung:
1) Ist A symmetrisch, so gilt A = AT.
2) Ist A schiefsymmetrisch, so muss wegen aii = -aii aii = 0 für alle i gelten.
d.h. die Hauptdiagonale ist Null.
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Seite 7
Definition: Addition
A = (aik) und B = (bik) seien gleichartige Matrizen. Unter der Summe von A und B versteht
man die (m, n) Matrix S = (sik) mit:
sik = aik + bik für alle i, k.
Schreibweise: S = A + B.
Rechengesetze:
Sie unterscheiden sich nicht von den Gesetzen der Addition mit reellen Zahlen.
1) Die Lösung ist eindeutig und eine Matrix gleichen Typs.
2) A + B = B + A
Kommutativgesetz
3) (A + B) + C = A + (B + C)
Assoziativgesetz
4) Es existiert genau eine Matrix N,
so dass A + N = A für alle A gilt.
5) Zu jeder Matrix A existiert genau eine
Matrix D mit A + D = N.
Schreibweise: D = -A.
Existenz und Eindeutigkeit
des Neutralen Elementes.
Existenz und Eindeutigkeit
des Inversen Elementes
Anmerkung: 1) N ist die Nullmatrix. Sämtlichen Elemente von N sind Null.
2) Differenz: B + (- A) = B - A
Definition: Produkt mit einer reellen Zahl
A = (aik) sei eine (m, n)-Matrix und λ ∈ R.
Dann ist das Produkt λ·A die (m, n)-Matrix C = (cik) mit cik = λ·aik für alle i, k.
Schreibweise: λ·A = λA = Aλ.
Anmerkung:
Jedes Element wird mit λ multipliziert.
(-1)·A = -A
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Rechengesetze:
Es gelten die bekannten Grundgesetze der Multiplikation mit einer reellen Zahl.
Daraus folgen die weiteren Gesetze:
A und B seien gleichartige Matrizen und λ, µ ∈ R. Dann gilt:
1) λ(µA) = (λµ)A
Assoziativgesetz
2) (λ + µ)A = λA + µA
Distributivgesetz
3) λ(A + B) = λA + λB
Distributivgesetz
Definition: Produkt von Matrizen
A = (aik) sei eine (m, l)-Matrix und B = (bjk) eine (l, n)-Matrix.
Unter dem Produkt der Matrizen A und B versteht man die (m, n)-Matrix
P = ( p ik ) mit
l
p ik = ∑ a ij b jk
j =1
i = 1,2,...m
für 
 j = 1,2,...n
Schreibweise: P = A·B = AB.
Anmerkungen:
1) Das Produkt AB ist nur dann definiert,
wenn die Anzahl der Spalten von A gleich der Anzahl der Zeilen von B ist.
2) Ist A vom Typ (m, n) und B vom Typ (n, m), so existiert AB und BA
Aber: AB ≠ BA weil AB vom Typ (m, m) und BA vom Typ (n, n) ist.
3) pik = ai1b1k + ai2b2k + .......+ ailblk für alle i = 1, 2...,m und k = 1, 2,....,n
bedeutet:
Multipliziere die Elemente der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B
paarweise und summiere die Produkte.
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Lösungsverhalten Linearer Gleichungssysteme
 
A⋅ x = c
(Mit n Unbekannten)
Rg ( A) = Rg ( A c) = r
Rg ( A) ≠ Rg ( A c)
Keine Lösung
r=n
genau eine
Lösung
 
c =0
nur
die triviale
Lösung
r<n
unendlich viele
Lösungen mit
n-r Parametern
(gilt für homogene und inhomogene LGS)
 
c≠0
genau eine
nichttriviale
Lösung
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