Mathematischer Vorkurs - Mathematik, TU Dortmund

Mathematischer Vorkurs
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Mengen
Kapitel 1 Mengen
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Mengen
1.1
Denition: Mengen
Unter einer
Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu
einem Ganzen.
Diese Objekte heiÿen dann
Elemente der Menge.
Beschreibung von Mengen durch ...
... Aufzählen aller Elemente mit Mengenklammern
... Angabe einer Eigenschaft
{x | x
E,
{. . .}.
die die Elemente beschreibt:
hat die Eigenschaft
E}
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Mengen
Beispiele:
Die Menge der
natürlichen Zahlen
Die Menge der
natürlichen Zahlen mit Null
N := {1, 2, 3, . . .}.
N0 := {0, 1, 2, 3, . . .}.
Für alle natürlichen Zahlen
k>0
N≥k := {k, k + 1, k + 2, . . .}.
denieren wir
ganzen Zahlen: Z := {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
Die Menge der rationalen Zahlen als Menge der (gekürzten) Brüche:
n
o
Die Menge der
Q :=
a a, b
b
ganze Zahlen und
b>0
.
reellen Zahlen: R.
+
Die Menge der nicht negativen reellen Zahlen: R = {x ∈ R | x > 0}.
Die Menge der komplexen Zahlen: C.
Die leere Menge ∅ ist die Menge, die kein Element enthält.
Die Menge der
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Mengen
Schreibweisen:
Ist
a
ein Element der Menge
Ist
a
kein Element der Menge
Beispiel:
1∈
M,
so schreiben wir kurz
M,
a ∈ M.
so schreiben wir kurz
a 6∈ M .
N, 2 ∈ Z aber −3 6∈ N.
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Mengen
1.2
Denition: Mengenoperationen
M
Es seien
1. Die
in
3.
M
N
Mengen.
Vereinigungsmenge M ∪ N
oder in
2. Die
und
N
enthalten sind. Also
Schnittmenge M ∩ N
N
enthalten sind. Also
heiÿt Teilmenge von
auch in
N
M
x ∈ N }.
ist die Menge der Elemente, die in
M ∪ N = {x | x ∈ M
oder
ist die Menge der Elemente, die in
M ∩ N = {x | x ∈ M
und
M
und
x ∈ N }.
N , wenn alle Elemente die in M enthalten sind
M ⊂ N oder N ⊃ M .
enthalten sind. Wir schreiben dann
4. Die Dierenzmenge
N \M
ist die Menge der Elemente, die in
N
M , also
x 6∈ M }.
enthalten sind, aber nicht in
N \ M := {x | x ∈ N
5. Ist
und
M ⊂ N so ist das Komplement von M (bezüglich N )
:= {x | x ∈ N und x 6∈ M } deniert.
durch
Mc
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Mengen
1.3
Bemerkung
Es gilt in jedem Fall
∅ ⊂ M ⊂ M.
In 4. muss M keine Teilmenge von N sein. Ist zum
M ∩ N = ∅, so ist N \ M = N und M \ N = M .
Ist aber
M ⊂N
Zwei Mengen
M
so ist
und
N \ M = Mc
N
M \ N = ∅.
sind gleich, wenn die eine jeweils eine
Teilmenge der anderen ist. Also
und
und
Beispiel
M =N
genau dann, wenn
M ⊂N
N ⊂ M.
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Mengen
Graphisch kann man die Mengenoperationen gut mit Hilfe von
Venn-Diagrammen darstellen:
M
N
N
M
N ⊂M
M ∪N
N
M
M ∩N
N
M
M \N
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Mengen
1.4
Satz: Rechenregeln für Mengenoperationen
1
M ∪N =N ∪M
2
(M ∪ N ) ∪ P = M ∪ (N ∪ P )
3
M ∪ (N ∩ P ) = (M ∪ N ) ∩ (M ∪ P ).
4
M ∩ (N ∪ P ) = (M ∩ N ) ∪ (M ∩ P ).
5
(M c )c = M .
6
(M ∪ N )c = M c ∩ N c
und
M ∩ N = N ∩ M.
und
und
(M ∩ N ) ∩ P = M ∩ (N ∩ P ).
(M ∩ N )c = M c ∪ N c .
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Mengen
1.5
Denition: Kartesisches Produkt
1. Das
kartesische Produkt zweier Mengen M
und
N
m∈M
und
n ∈ N.
Also:
M × N = {(m, n) | m ∈ M
Ist
M ⊂ G1
und
M ×N
(m, n) mit
wird mit
bezeichnet und enthält als Elemente die geordneten Paare
N ⊂ G2
und
n ∈ N} .
so kann man das kartesische Produkt wie
folgt darstellen:
G2
N
MxN
M
G1
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Mengen
1.5
Denition: Kartesisches Produkt[cont.]
2. Das kartesische Produkt mehrerer Mengen
M1 , . . . , M k
wird analog
deniert.
Z.B. ist
R3 = R × R × R = {(x, y, z)|x, y, z ∈ R}
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Mengen
1.6
Ist
Denition: Quantoren
A
eine Eigenschaft, die für die Elemente einer Menge
M
sinnvoll ist, so
schreiben wir
∀x ∈ M : A(x) ,
wenn jedes Element aus
x∈M
gilt
A(x)
M
die Eigenschaft
A
hat in Worten: für alle
und
∃x ∈ M : A(x) ,
M gibt,
A(x).
wenn es mindestens ein Element aus
in Worten: es gibt ein
x∈M
mit
das die Eigenschaft
A
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Zahlen
Kapitel 2 Zahlen
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Zahlen
Uns bisher bekannte Zahlenbereiche sind
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R |(⊂{zC}) .
später
2.1
1.
2.
Denition: Rationale und irrationale Zahlen
R ist die Menge der Dezimalbrüche.
Q ist die Menge der abbrechenden oder periodischen Dezimalbrüche.
Dabei wird allerdings die Periode
9
n, a1 a2 . . . ak−1 ak 9 mit der
bk = ak + 1. Dabei ist n ∈
ak ∈ {0, 1, . . . , 8}.
Zahl
Zahl
mit
3. Die Elemente der Menge
ausgeschlossen, indem man die
n, a1 a2 . . . ak−1 bk
identiziert
N0, a1, a2, . . . , ak−1 ∈ {0, 1, . . . , 9},
R \ Q, also die nicht-abbrechenden und
nicht-periodischen Dezimalbrüche, heiÿen
irrationale Zahlen.
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Zahlen
Beispiele irrationaler Zahlen:
1. Die Länge der Diagonale eines Quadrates der Seitenlänge
√
irrational. Diese Länge ist
2. Der Umfang eines Kreises mit Durchmesser
Länge ist
3. Die
2.2
ist
1
ist irrational. Diese
π = 3, 141592654 . . .
Eulersche Zahl e = 2, 718281828 . . . ist irrational.
Denition: Rechenoperationen
x, y ∈
y 6= 0 auch
Sind
1
2 = 1, 414213562 . . .
R so sind die Rechenoperationen x + y, x − y, xy und für
x
y erklärt.
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Zahlen
2.3
Satz: Rechenregeln
1.
x+y =y+x
2.
x + (y + z) = (x + y) + z
3.
x(y + z) = xy + xz
und
xy = yx
(Kommutativgesetze)
und
x(yz) = (xy)z
(Assoziativgesetze)
(Distributivgesetz)
Als direkte Konsequenz erhalten wir die drei Binomischen Formeln
4.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 und
(a + b)(a − b) = a2 − b2 .
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Zahlen
2.4
Denition: Kurzschreibweisen für Summen und Produkte
Sind
m, n ∈
1.
2.
n
X
k=m
n
Y
N0 mit m ≤ n und am, am+1, . . . , an ∈ R so schreiben wir
ak = am + am+1 + . . . + an
und
ak = am · am+1 · . . . · an
k=m
Dabei kann der
n
X
k=m
ak =
n
X
Laundex eine beliebige Variable sein, etwa
aj .
j=m
Es gelten die folgenden Vereinbarungen wenn
n
X
k=m
ak = 0
und
m>n
n
Y
ist
ak = 1
k=m
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Zahlen
Rechenregeln und Beispiele:
a·
n
X
ak =
k=m
n
X
k=m
n
Y
n
X
(a · ak )
k=m
ak +
n
X
bk =
k=m
ak ·
k=m
n
Y
k=m
n
X
(ak + bk )
und
k=m
n
Y
bk =
(ak · bk ).
k=m
n
X
Indexverschiebung:
n+t
X
ak =
k=m
ak−t .
k=m+t
n
X
k=
n(n + 1)
.
2
qk =
1 − q n+1
1−q
Arithmetische Summenformel:
k=1
geometrische Summenformel:
q 6= 1.
n
X
k=0
für eine reelle Zahl
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Zahlen
2.5
Für
Denition: Potenzen
a∈
R und n ∈ N0 setzen wir an :=
n
Y
a.
k=1
Insbesondere gilt also
a0 = 1
und
00 = 1
0n = 0
1
:= n .
a
aber
für
n > 0.
R \ {0} und n ∈ N0 setzen wir a−n
a ∈ R heiÿt die Basis und n ∈ Z der Exponent der Potenz an .
Für
2.6
Für
1
2
a∈
Potenzregeln
n, m ∈
Z gilt:
am an = an+m
m n
(a ) = a
und
an bn = (ab)n
sowie
mn
falls die Ausdrücke deniert sind.
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Zahlen
2.7
Denition: Quadratwurzel
Sind
a, b ∈
R und b2 = a so denieren wir
√
(
b
a :=
−b
Die stets nicht-negative Zahl
2.8
√
a
heiÿt
falls
falls
b≥0
b<0
Quadratwurzel von a.
Existenz der Quadratwurzel
Die Gleichung
x2 = a
besitzt ...
... für
a<0
keine reelle Lösung,
... für
a=0
die eindeutige (reelle) Lösung
... für
a>0
die zwei (reellen) Lösungen
x = 0 und
√
√
x1 = a und x2 = − a.
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Zahlen
Der Satz 2.7 lässt sich noch verallgemeinern:
2.9
Satz: Höhere Wurzeln
1
Ist
2
Ist
n
xn = a
√
x = n a.
eine natürliche ungerade Zahl, dann hat die Gleichung
genau eine reelle Lösung und diese bezeichnen wir mit
n eine natürliche
xn = a ...
gerade Zahl mit
n 6= 0,
dann hat die Gleichung
... für
a < 0 keine reelle Lösung,
a = 0 die eindeutige (reelle) Lösung x = 0 und
√
... für a > 0 die zwei reellen Lösungen, die wir mit x1 = n a
√
x2 = − n a bezeichnen.
... für
und
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Zahlen
2.10
Bemerkung
Wir setzen nun
a
m
n
:= a
1
n
m
1
a n :=
√
n
a
für
a≥0
und
n 6= 0,
und denieren(!)
. Dann kann man zeigen, dass die Rechenregeln aus Satz 2.6
weiterhin gültig bleiben.
Somit haben wir das Potenzieren von ganzen auf rationale Exponenten
erweitert.
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Zahlen
2.11
Satz:
p-q -Formel
D := p2 − 4q .
+ px + q = 0 ...
Es sei
x2
Dann besitzt die quadratische Gleichung
p
falls D = 0,
2 √
√
p+ D
p− D
x1 = −
und x2 = −
2
2
... die eindeutige (reelle) Lösung
... die zwei (reellen) Lösungen
falls
D > 0,
und
... keine reelle Lösung falls
Die Zahl
D
heiÿt
x=−
D < 0.
Diskriminante der quadratischen Gleichung.
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Zahlen
2.12
1
Denition: Fakultät und Binominalkoezient
Für natürliche Zahlen
n∈
N0 ist die Fakultät deniert als
n! :=
n
Y
k.
k=1
Also gilt insbesondere
2
0! = 1
Für zwei natürliche Zahlen
und
k, n ∈
Binomialkoezient deniert als
(n + 1)! = n! · (n + 1).
N0 mit k ≤ n ist der
n
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
n!
=
:=
k
k!(n − k)!
k!
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Zahlen
2.13
Satz: Eigenschaften der Binomialkoezienten
n
n
n
n
=
= 1 und
=
.
0
n
k
n−k
n
n
n+1
+
=
(Additionstheorem).
k
k+1
k+1
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Zahlen
Wegen des Additiontheorems lassen sich die Binomialkoezienten im
Pascalschen Dreieck anordnen:
n
k
1
1
1
1
1
2
3
4
6
n
0
1
1
1
2
3
1
3
4
1 4
.
.
.
2.14
Für
Binomischer Lehrsatz
x, y ∈
R und n ∈ N0 gilt
n X
n k n−k
(x + y) =
x y
k
n
k=0
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Ordnung und Betrag
Kapitel 3 Ordnung und Betrag
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Ordnung und Betrag
3.1
Denition: Ordnung
x hat genau eine der folgenden drei Eigenschaften:
x = 0 (Null) und x > 0 (positiv).
x > y durch x − y > 0 und x ≥ y durch x − y > 0 oder
Jede reelle Zahl
x<0
(negativ),
Wir denieren
x − y = 0.
Analog werden
x<y
Damit gilt für alle
Die Zeichen
und
x, y ∈
≤, ≥, <, >
x≤y
deniert.
R entweder(!) x < y oder x = y oder x > y.
und
=
heiÿen
Ordnungszeichen.
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Ordnung und Betrag
Mit Hilfe der Ordnungszeichen denieren wir spezielle Teilmengen von
Seien dazu
3.2
a, b ∈
R mit a < b.
R.
Denition: Intervalle
Beschränkte Intervalle
[a, b] := {x ∈
R | a ≤ x ≤ b} (Abgeschlossenes Intervall, auch a = b
möglich).
R | a < x < b} (Oenes Intervall).
[a, b[ := {x ∈ R | a ≤ x < b} oder ]a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b}
]a, b[ := {x ∈
Halboene Intervalle).
(
Unbeschränkte Intervalle:
R | a ≤ x} und ] − ∞, b] := {x ∈ R | x ≤ b}
]a, ∞[ := {x ∈ R | a < x} und ] − ∞, b[ := {x ∈ R | x < b}
] − ∞, ∞[ := R
[a, ∞[ := {x ∈
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Ordnung und Betrag
3.3
Rechenregeln
Es seien
x, y, z ∈
R. Dann gilt
1
Ist
x<y
und
y < z,
dann gilt
2
Ist
x≤y
und
y ≤ x,
so ist
3
Ist
x<y
dann ist
4
Ist
x>0
und
y > 0,
so ist auch
5
Ist
z>0
und
x < y,
so ist
6
Ist
z<0
und
x < y,
so ist
7
Ist
0<x<
x < z.
x = y.
x + z < y + z.
y , so gilt x1
>
xy > 0.
xz < yz .
xz > yz .
1
y
> 0.
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Ordnung und Betrag
Aus den Rechenregeln 3.3 folgt:
3.4
Satz: Vorzeichen von Produkten
Es seien
n
Y
x1 , . . . , x n ∈
xi = 0
R. Dann gilt:
ist gleichbedeutend damit, dass es mindestens ein
i=1
j ∈ {1, . . . , n} gibt mit xj = 0.
n
Y
xi > 0 ist gleichbedeutend damit,
dass nur eine gerade Anzahl der
i=1
Faktoren
xj
negativ ist.
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Ordnung und Betrag
Die Rechenregeln 3.3 liefern für das Rechnen mit Ungleichungen:
3.5
Bemerkung
Die Lösungsmenge einer Ungleichung ändert sich nicht, wenn wir auf
beiden Seiten ...
... eine Zahl addieren.
... mit einer positiven Zahl multiplizieren.
... eine streng monoton steigende Funktion anwenden. (Genaueres
dazu folgt später.)
Beispiele streng monotoner Funktionen:
Die Wurzelfunktion auf
[0, ∞[.
Potenzfunktion mit ungeradem Exponenten auf
Exponenten auf
[0, ∞[.
Die Exponentialfunktion auf
(0, ∞).
R und mit geradem
R und die Logarithmusfunktion auf
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Ordnung und Betrag
3.6
Deniton: Betrag
Der
Betrag einer reellen Zahl x ist deniert als der Abstand zu 0 und wird
mit
|x|
bezeichnet. Also
(
x
|x| :=
−x
Für
x, y ∈
falls
falls
x≥0
x<0
R ist |x − y| der Abstand von x und y.
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Ordnung und Betrag
3.7
Eigenschaften des Betrags
1.
|x| = 0
2.
|x| = | − x|.
3.
−|x| ≤ x ≤ |x|
4.
|xy| = |x||y|.
5.
|x + y| ≤ |x| + |y|.
6.
| |x| − |y| | ≤ |x − y|.
√
x2 = |x|.
7.
ist gleichbedeutend mit
x = 0.
mit Gleichheit an genau einer Stelle, wenn
x 6= 0.
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Ordnung und Betrag
3.8
Satz: Quadratische Ungleichungen
Es gilt
√
p D
x + px + q < 0 ⇔ x + <
,
2
2
2
wobei
D = p2 − 4q
die Diskriminante ist. Ist
D<0
so hat die Ungleichung
keine reelle Lösung. Auÿerdem gilt
x + px + q > 0 ⇔ x +
2
wobei im Fall
D<0
die Lösungsmenge ganz
√
D
p ,
>
2
2
R ist.
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Abbildungen und Funktionen
Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen
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Abbildungen und Funktionen
4.1
Denition: Abbildung
Es seien
D
und
W
Mengen. Eine
Vorschrift, die jedem Element
Abbildung f von D nach W
x∈D
genau ein Element
ist eine
f (x) ∈ W
zuordnet.
f (x) heiÿt das Bild von x unter f
D heiÿt der Denitions- und W der Wertebereich
(manchmal besser
Wertevorrat.
Ist nun
W,
f : D → W eine Abbildung, so heiÿt die Menge der Elemente in
f getroen wird, die Bildmenge von f und wird mit f (D)
die von
bezeichnet. Es gilt
f (D) := {y ∈ W | ∃x ∈ D : y = f (x)} = {f (x) | x ∈ D} ⊂ W .
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Abbildungen und Funktionen
4.2
Ist
Denition, Urbild, Graph
U ⊂W
eine Teilmenge, so nennt man die Menge aller Elemente von
deren Bild in
U
liegt, das
D
Urbild von U . Dies wird mit f −1 (U ) bezeichnet.
Es gilt
f −1 (U ) := {x ∈ D | f (x) ∈ U } ⊂ D .
Die Teilmenge
{(x, f (x)) | x ∈ D} ⊂ D × W ,
der Abbildung f .
bezeichnet man als
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Graph
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Abbildungen und Funktionen
4.3
Bemerkung
f1 : D1 → W1 und f2 : D2 → W2 sind genau dann
D1 = D2 , W1 = W2 und f1 (x) = f2 (x) für alle x ∈ D1 .
Zwei Abbildungen
gleich, wenn
4.4
Denition: identische Abbildung
Es sei
f :D→D
mit
f (x) := x
für alle
x ∈ D.
identische Abbildung oder Identität auf D
Diese Abbildung heiÿt
und wird hier mit
idD
bezeichnet.
Sprechweise:
Oft wird der Begri Funktion parallel zum Begri Abbildung benutzt.
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Abbildungen und Funktionen
4.5
Denition: Polynome
n ∈ N und a0 , a1 , . . . , an ∈ R mit an 6= 0. Dann heiÿt die Funktion
R → R mit
Es sei
p:
p(x) =
n
X
ak xk = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
k=0
ein
Polynom.
Die Zahl
speziell
grad(p) := n
an
Eine Zahl
der
x0 ∈
heiÿt der
Grad, die ak
Leitkoezient von p.
heiÿen die
Koezienten und
R mit p(x0) = 0 heiÿt Nullstelle von p.
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Abbildungen und Funktionen
4.6
Satz: Faktorisierung
p ein Polynom und x0 eine Nullstelle. Dann gibt es ein
grad(q) = grad(p) − 1, so dass p(x) = (x − x0 )q(x).
Es sei
mit
Die Koezienten des Polynoms
q
Polynom
q
aus der Faktorisierung lassen sich durch
Polynomdivision oder mit Hilfe des Hornerschemas bestimmen.
4.7
Hornerschema
Das Hornerschema kann dazu benutzt werden, den Funktionswert eines
Polynoms
p
an einer beliebigen Stelle
x0
zu bestimmen.
Man erhält zusätzlich die Koezienten eines Polynoms
Eins kleiner ist, als der von
p,
q,
dessen Grad um
und das
p(x) = (x − x0 )q(x) + p(x0 )
erfüllt.
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Abbildungen und Funktionen
Beschreibung des Hornerschemas:
Zunächst schreiben wir die Koezienten von
Tabelle und den Wert
0
unter
an .
p
in die erste Zeile einer
Dann führt man dann von links nach
rechts in der Tabelle immer wieder zwei Schritte durch:
1. Addiere die Zahlen der ersten und zweiten Zeile und schreibe sie in die
dritte Zeile.
2. Der zuletzt berechnete Wert wird mit
x0
multipliziert und in die
zweite Zeile der nächsten Spalte eingetragen.
Schlieÿlich gelangt man zu folgendem Abschluÿschema:
an
+
0
=
cn−1
an−1
an−2
···
a1
a0
+
+
+
+
cn−1 x0
cn−2 x0
···
c1 x0
c0 x0
%
=
%
=
%
% = % =
cn−2
cn−3
...
c0
c−1
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Abbildungen und Funktionen
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 =
(x − x0 )(cn−1 xn−1 + cn−2 xn−2 + · · · c1 x + c0 ) + c−1 .
Dann ist
Ist
x0
eine Nullstelle des Polynoms
p,
so hat man eine Polynomdivision
durchgeführt:
p(x) = (x − x0 )q(x)
mit
Man kann nun 4.7 auf
q
q(x) = cn−1 xn−1 + cn−2 xn−2 + · · · c1 x + c0 .
anwenden und so nach und nach Nullstellen von
p
abspalten.
Hilfreich biem Nullstellensuchen:
Hat
p
nur ganzzahlige Koezienten, und ist der Leitkoezient
an = 1,
so
sind alle rationalen Nullstellen sogar ganz und sie sind Teiler des
Koezienten
a0 .
.
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Abbildungen und Funktionen
4.8
Denition: Rationale Funktionen
Es seien
p
und
q
Polynome. Dann heiÿt die Funktion
f
rationale Funktion. Ihr Denitionsbereich ist D = {x ∈ R
4.9
p(x)
q(x)
| q(x) 6= 0}.
mit
f (x) :=
Denition: Potenzfunktion
Es sei
q∈
Q eine rationale Zahl. Dann ist die Potenzfunktion deniert
durch
i)
ii)
fq : ]0, ∞[ → ]0, ∞[, fq (x) = xq ,
fq : [0, ∞[ → [0, ∞[, fq (x) =
falls
q < 0,
xq , falls
q > 0.
Bemerkung: Später werden wir die Potenzfunktionen auch für irrationale
Exponenten erklären.
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Abbildungen und Funktionen
4.10
Denition: Einschränkung und Fortsetzung
D1 ⊂ D2 und f1 : D1 → W , f2 : D2 → W zwei Abbildungen
f1 (x) = f2 (x) für alle x ∈ D1 .
Dann heiÿt f1 Einschränkung von f2 und f2 Fortsetzung von f1 . Man
schreibt auch f1 = f2 |D1 .
Es seien
4.11
mit
Denition: Verkettung von Abbildungen
Es seien
f :D→U
Dann ist die
g : V → W Abbildungen und es
Verkettung g ◦ f : D → W deniert durch
und
gelte
U ⊂V.
(g ◦ f )(x) := g(f (x)) .
Statt Verkettung sagt man auch Hintereinanderausführung oder
Komposition und man liest
g◦f
als g nach
f .
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Abbildungen und Funktionen
4.12
Denition: Umkehrabbildung
f : D → W und g : W → D Abbildungen mit den Eigenschaften
g ◦ f = idD und (2) f ◦ g = idW .
Dann heiÿen f und g Umkehrabbildungen voneinander und wir schreiben
g = f −1 bzw. f = g −1 . Man sagt dann auch f (und natürlich auch g ) ist
Es seien
(1)
invertierbar.
f : D → W hat genau dann eine Umkehrabbildung, wenn
f (x) = y für jedes y ∈ W genau eine Lösung x ∈ D hat.
Eine Abbildung
die Gleichung
Die Umkehrabbildung ist dann (für dieses
(x, y)-Paar)
durch
f −1 (y) = x
deniert.
Sind
D
und
W
Teilmengen von
Umkehrfunktion
f −1
R, so erhält man den Graphen der
aus dem Graphen von
f
durch Spiegelung an der
winkelhalbierenden.
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Abbildungen und Funktionen
4.13
Denition: Monotonie
Es sei
I⊂
1
...
R und f : I → R eine Funktion. Dann heiÿt f ...
monoton wachsend, wenn für alle x1 , x2 ∈ I
mit
x1 < x2
gilt
f (x1 ) ≤ f (x2 ).
2
...
streng monoton wachsend, wenn für alle x1 , x2 ∈ I
mit
x1 < x2
gilt
f (x1 ) < f (x2 ).
3
...
monoton fallend, wenn für alle x1 , x2 ∈ I
mit
x1 < x2
gilt
f (x1 ) ≥ f (x2 ).
4
...
streng monoton fallend, wenn für alle x1 , x2 ∈ I
mit
x1 < x2
gilt
f (x1 ) > f (x2 ).
Beispiel: Die Potenzfunktionen
fq : [0, ∞[ → [0, ∞[
sind streng monoton
steigend.
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Trigonometrie
Kapitel 5 Trigonometrie
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Trigonometrie
oder
im
(auch
Scheitel
S
Grad
Bogenmaÿ
Winkel werden in
Schenkel
Rad) angegeben:
360◦ =2π
b .
Winkelbereich
α
y
cot α
1
Durch
diese
Betrach-
tungen am Einheitskreis
r=1
sin α
werden vier Funktionen
tan α
deniert.
α
cos α
1
x
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Trigonometrie
5.1
Denition: Winkelfunktionen
D
Name
Sinus
sin
Cosinus
cos
Tangens
tan
Cotangens
cot
R
R
W
[−1, 1]
R \ { 2k+1
2 π | k ∈ Z}
R \ {kπ | k ∈ Z}
[−1, 1]
R
R
Die Graphen der Sinus- und Cosinusfunktionen
y
y = sin x
π
y = cos x
2π x
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Trigonometrie
Die Graphen der Tangens- und Cotangensfunktionen:
y
y = tan x
y = cot x
1
π
4
π
2
3π
4
π
5π
4
3π
2
x
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Trigonometrie
5.2
Interpretation am rechtwinkligen Dreieck
C
Mit diesen Bezeichnungen gilt dann
b
a
A
α
c
sin α =
a
,
b
cos α =
c
b
und
tan α =
a
c
B
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Trigonometrie
5.3
Denition: Periodische Funktionen
R R heiÿt T -periodisch, wenn
Es sei T > 0. Eine Funktion f :
→
f (x + T ) = f (x) für alle x ∈ .
R
5.4
Denition: Symmetrie von Funktionen
Es sei
I⊂
R ein um 0 symmetrisches Intervall. Eine Funktion f : I → R
heiÿt ...
gerade, wenn f (−x) = f (x) für alle x ∈ I .
... ungerade, wenn f (−x) = −f (x) für alle x ∈ I .
1. ...
2.
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Trigonometrie
5.5
Satz: Eigenschaften der Winkelfunktionen
1.
sin
2.
sin(x + π) = − sin x
3.
= cos x und cos(x + π2 ) = − sin x.
sin x
1
tan x =
und cotx =
.
cos x
tan x
cos ist eine gerade Funktion und sin, tan und cot
4.
5.
sowie
sin(x +
cos
sind
2π -
und
und
tan
sowie
cot
sind
π -periodisch.
cos(x + π) = − cos x.
π
2)
sind ungerade
Funktionen.
R gilt | sin x| ≤ 1 und | cos x| ≤ 1.
sin(x) = 0 genau dann, wenn x = kπ mit k ∈ Z.
6. Für alle
7.
x∈
cos(x) = 0
8.
9.
genau dann, wenn
x=
2k+1
2 π mit
k∈
Z.
= 1 der Trigonometrische Pythagoras.
1
1
2
cos2 x =
und sin x =
.
2
1 + tan x
1 + cot2 x
2
sin x +
cos2 x
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Trigonometrie
5.6
Einschränkungen der Winkelfunktionen
Die folgenden Einschränkungen der Winkelfunktionen benutzt man zur
Deniton von Umkehrfunktionen:
3
sin π π : − π2 , π2 → [−1, 1] ist streng monoton wachsend.
− ,
2 2
cos [0,π] : [0, π] → [−1, 1] ist streng monoton fallend.
: − π , π → ist streng monoton wachsend.
tan 4
cot
1
2
− π2 , π2
]0,π[
:]0, π[ →
2
2
R
R ist streng monoton fallend.
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Trigonometrie
5.7
Denition: Arcusfunktionen
Die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen werden Arcusfunktionen
genannt und sind
1.
arcsin : [−1, 1] → − π2 , π2
2.
arccos : [−1, 1] → [0, π]
arctan : → − π2 , π2
arccot : → 0, π[
3.
4.
R
R
Die Graphen der Arcusfunktionen sehen wie folgt aus (siehe Bemerkung
4.12):
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Trigonometrie
y
y
y = arccos x
y = arcsin x
π
2
π
y = arccot x
π
4
x
− π2
π
2
y = arctan x
1
x
− π2
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Trigonometrie
Beim Rechnen mit den Winkelfunktionen sind folgende Additionstheoreme
sehr nützlich:
5.8
Satz: Additionstheoreme
1
sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x
2
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y
tan x ± tan y
tan(x ± y) =
1 ∓ tan x tan y
3
Daraus erhält man dann
5.9
Folgerung: Doppelte Winkel
1.
sin(2x) = 2 sin x cos x
2.
cos(2x) = cos2 x − sin2 x
2 tan x
tan(2x) =
1 − tan2 x
cos2 x = 12 1 + cos(2x) und sin2 x =
3.
4.
1
2
1 − cos(2x)
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Trigonometrie
Eine kleine Beweisskizze für die Additionstheoreme:
sin x cos y
cos x sin y
x
cos y
cos x cos y
x y
sin x sin y
sin y
1
x+y
cos(x + y)
sin(x + y)
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Trigonometrie
Und nun noch ein paar spezielle Werte der Winkelfunktionen (und mit den
Additionstheoremen und der Periodizität dann natürlich weitere).
x
in Grad
0
30◦
45◦
60◦
90◦
x
in Rad
0
π
6
π
4
π
3
π
2
sin x
0
1
2
cos x
tan x
cotx
1
√
1
0
√
1
−
1
2
2
3
3
3
√
√
1
2
2
2
√
3
1
1
2
0
−
90◦
√
4
2
√
3
1
3
√
1
3 3
30◦
√
1
2
45◦
√
2
2
60◦
√
3
2
√
1
1
2
0
Eselsbrücke für die Sinus-Werte:
x
in Grad
sin x
0
√
0
2
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