¨Ubungsblatt 12

Lineare Algebra und Analytische Geometrie 2
Sommersemester 2017
http:///http://www.algebra.uni-linz.ac.at/teaching/ss2017/linalg/
Übungsblatt 12
Besprechung am 26. Juni 2017
Aufgabe 1 Es sei n ∈ N. Es sei A ∈ Rn×n invertierbar. Man zeige, daß jede Matrix B mit
||B − A|| < ||A1−1 || invertierbar ist. Hinweis: Nach Definition der Matrixnorm gilt ||M v|| ≤ ||M || ||v|| für alle Matrizen M und
Vektoren v. Wenn B nicht invertierbar wäre, dann würde ein Vektor mit Norm 1 im Kern existieren. Man versuche daraus einen Widerspruch
zu konstruieren, ähnlich wie im Beweis von Satz 154.
Aufgabe 2 Es sei n ∈ N. Es sei > 0. Es seien A, B ∈ Rn×n invertierbar, sodaß ||B − A|| < gilt. Man zeige, daß folgende Ungleichung gilt:
||B −1 − A−1 || <
||A−1 ||2
.
1 − ||A−1 ||
Die Ungleichung ||AB|| ≤ ||A|| ||B|| darf ohne Beweis verwendet werden.
Hinweis: wenn alle Stricke reißen,
suchen Sie im Internet nach “Stetigkeit der Matrixinversion”.
Aufgabe 3 Man konstruiere eine Matrix A ∈ R2×2 , sodaß für alle τ ∈ R, τ 6= 0, die Folge der
Matrizen ((I2 − τ A)k )k divergiert (m.a.W. A lässt sich nicht durch Vielfache der Einheitsmatrix
vorkonditionieren).
Bemerkung/Diskussion: Durch den Vorkonditionierer P = A> , Q = I2 kann man auf symmetrische
A zurückführen. Für symmetrische Matrizen ist im Skriptum gezeigt, daß hinreichend kleine positive τ funktionieren. Wenn man die Konditionszahl nicht kennt, besteht also ein Konflikt zwischen
Sicherheit daß das Verfahren konvergiert und Konvergenzgeschwindigkeit.
Aufgabe 4 Wann gilt Gleichheit in der Hadamard’schen Ungleichung?
a) Für n = 1, 2, 4 konstruiere man jeweils eine Matrix A ∈ Zn×n , sodaß
| det(A)| = nn/2 M n 6= 0
gilt, wobei M der maximale Absolutbetrag der Einträge von A ist.
b) Man zeige, dass für ungerade n > 1 keine solche Matrix A exisiert.
Bemerkung: Es ist bekannt, dass für Zahlen n > 2, die nicht durch 4 teilbar sind, keine Matrix
wie oben existiert. Es ist nicht bekannt, ob für alle Zahlen, die durch 4 teilbar sind, eine solche
Matrix existiert.
Aufgabe 5 Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit Einträgen aus dem Polynomring R[X]
mithilfe der Cramerschen Regel. Rechnen Sie dazu die drei auftretenden Determinanten dadurch
aus, dass Sie verschiedene Werte für X einsetzen und anschließend interpolieren.
(X − 2)(X − 1) X − 2
X −1
y=
X −1
X −2
2(X − 2)