Zusammenfassung des Projekts

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Anna Posingies
Konsequenzen der Belyi-Korrespondenzen und
Streutheorie von Nichtkongruenzuntergruppen
Projekt im Rahmen von Pro Exzellenzia
Stipendiatin: Anna Posingies
Zusammenfassung des Projekts
Die Arbeit ist im Bereich der Zahlentheorie angesiedelt. Das ist ein Teilgebiet der
Mathematik, welches sich im weitesten Sinn mit den Eigenschaften der Zahlen
beschäftigt. Dies bedeutet, dass die behandelten Objekte sich aus den ganzen
Zahlen konstruieren lassen.
Ein solches Objekt sind die Nichtkongruenzuntergruppen. Bei den Nichtkongruenzuntergruppen handelt es sich um Untergruppen einer Matrizengruppe in
denen nicht alle Matrizen gleichzeitig gewisse Kongruenzen der Einträge erfüllen.
Über diese Struktur ist noch nicht sehr viel bekannt.
Zu solchen Gruppen kann man Streumatrizen und Streukonstanten denieren. In diesen Objekten sind Eigenschaften der Gruppen zusammengefasst und
Wissen über diese verät schon einiges über die zugrundeliegende Gruppe.
Nichtkongruenzuntergruppen tauchen in den Belyi-Korrespondenzen auf. Bei
den Belyi-Korrespondenzen handelt es sich um ein Zusammenspiel unterschiedlicher mathematischer Objekte aus verschiedenen Fachrichtungen, das meint,
dass es mehrere völlig unterschiedliche Möglichkeiten gibt das gleiche Objekt
zu beschreiben. Dies erönet viele Wege, Informationen über dieses Objekt zu
erhalten, indem man es in den unterschiedlichen Beschreibungen betrachtet.
Diese Herangehensweise an Nichtkongruenzuntergruppen über die Belyi-Korrespondenzen ist neu und mit diesen Methoden sollen neue Resultate erzielt
werden. Konkret soll
(i) Ein Test entwickelt werden, um herauszunden ob Gruppen Nichtkongruenzuntergruppen sind.
(ii) Die Wirkung von Symmetrien (Automorphismen) in den Belyi-Korrespondenzen bestimmt werden.
(iii) Streukonstanten zu Nichtkongruenzuntergruppen untersucht und ausgerechnet werden.
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In [Po] wurde ein eingeschränkter Kongruenztest vorgestellt. Dieser
Kongruenztest funktioniert nur für Untergruppen von Γ(2), da nur sie durch die
dort benutzten Permutationen dargestellt werden können. Häug interessieren
aber Gruppen, die nicht in Γ(2) sondern nur in SL2 (Z) enthalten sind. Auch
für diese Gruppen gibt es eine Darstellung durch Permutationen. Deshalb ist es
möglich, den Kongruenztest so zu verändern, dass Untergruppen von SL2 (Z)
getestet werden können.
zu (i):
Es konnte gezeigt werden, wie sich Symmetrien (Automorphismen)
von Belyi-Paaren in Symmetrien von Dessins und Untergruppen von SL2 (Z)
übersetzen. Aus solchen Symmetrien folgt dann, dass einige Eisensteinreihen
konjugiert zueinander sind und gewisse Streukonstanten gleich sind.
Dieses Phänomen wurde schon in [Po] angesprochen, doch ist damit die
Untersuchung nicht beendet.
zu (ii):
Die Streumatrizen zu Kongruenzuntergruppen sind weitgehend bekannt. Über Nichtkongruenzgruppen kann man nicht sehr viel sagen. Ziel dieses
Projektes ist es, das zu ändern. Dazu sollen erst einmal eine Reihe interessanter
Beispiele konstruiert werden, für die dann, auch mit Hilfe des Computers, die
Streumatrizen und Streukonstanten untersucht, angenähert und ausgerechnet
werden sollen.
zu (iii):
Mathematischer Hintergrund
Das Fachgebiet der Zahlentheorie ist eines der ältesten der Mathematik und geht bis in die Antike zurück. Die elementare
Zahlentheorie beschäftigt sich mit den ganzen Zahlen, sie betrachtet Teilbarkeiten, Primzahlen und Kongruenzen. In der Moderne hat sich das Repertoire der
Zahlentheorie erweitert und Wechselwirkungen mit anderen Fachgebieten traten
zu Tage. So arbeitet die analytische Zahlentheorie mit Mitteln der Analysis und
mit der arithmetischen Geometrie hat sich das zahlentheoretische Analogon zur
algebraischen Geometrie entwickelt.
Auch heutzutage ist die Zahlentheorie noch eine hochinteressante und aktuelle Forschungsrichtung. Von den sieben Milleniums-Problemen, für deren Lösung
das Clay Mathematics Institute im Jahr 2000 jeweils eine Million US-Doller versprochen hat, stammen zwei aus der Zahlentheorie: Zum einen die Riemannsche
Vermutung, die wohl eines der bekanntesten ungelösten Probleme der Mathematik überhaupt ist, und die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer. Auch die
Fields-Medallie, die am höchsten angesehene Auszeichnung in der Mathematik,
wird regelmäÿig an Zahlentheoretiker verliehen.
Darstellung des Forschungsgebiets
Nichtkongruenzuntergruppen Wir bezeichnen mit SL2 (Z) die spezielle lineare Gruppe über den ganzen Zahlen Z. Als Menge handelt es sich um die 2 × 2
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Matrizen
a b
c d
mit a, b, c, d ∈ Z, so dass ad − bc = 1 gilt. Die Multiplikation
a b
c d
·
a0 b0
c0 d0
=
aa0 +bc0 ab0 +bd0
ca0 +dc0 cb0 +dd0
gibt der Menge die Struktur einer nicht kommutativen Gruppe, d.h. für zwei
Matrizen γ, γ 0 ∈ SL2 (Z) gilt im Allgemeinen γ · γ 0 6= γ 0 · γ .
Nun betrachten wir Untergruppen von SL2 (Z), d.h. Teilmengen Γ ⊂ SL2 (Z)
die bezüglich der Multiplikation und der Inversenbildung abgeschlossen sind. Es
d −b
gilt also für γ,γ 0 ∈ Γ, dass γ · γ 0 ∈ Γ und γ −1 ∈ Γ, wobei γ −1 = −c
ist
a
a
b
falls γ = c d .
Man kann die Untergruppen von SL2 (Z) in zwei Klassen einteilen. Die erste
Sorte nennen wir Kongruenzuntergruppen. In dieser haben die Untergruppen
die Eigenschaft, dass es für jede Gruppe Γ eine natürliche Zahl N gibt mit
Γ(N ) ⊂ Γ. Hierbei ist Γ(N ) die Untergruppe von SL2 (Z) welche ac db ≡ ( 10 01 )
mod N für alle ac db ∈ Γ(N ) erfüllt, d.h. b und c lassen sich durch N teilen
und a sowie b lassen den Rest 1 bei der Division durch N . In der anderen Klasse
sind alle Untergruppen, die diese Eigenschaft nicht haben. Diese Gruppen heiÿen
Nichtkongruenzuntergruppen. Im Gegensatz zu den Kongruenzuntergruppen, die
recht gut erforscht sind, halten Nichtkongruenzuntergruppen noch viele Rätsel
bereit.
Hier wird versucht die Streumatrix und
die Streukonstanten auf möglichst einfache Form zu erklären. Der übliche Weg ist
über Eisensteinreihen, die auch das Interesse an den beiden Objekten motivieren.
An dieser Stelle werden wir es aber direkter machen.
Die Vorsilbe Streu- in den Benennungen kommt aus der Physik. Die ersten
Streumatrizen, der hier vorgestellten Form, die untersucht wurden, waren durch
die Wellengleichung motiviert.
Ausgegangen wird von Γ, einer Untergruppe von SL2 (Z). In der Streumatrix
und der Streukonstanten werden die Informationen der Gruppe verarbeitet und
Wissen über diese beiden Kennzahlen sagt schon sehr viel über die Gruppe aus.
Die Gruppe SL2 (Z) und ihre Untergruppen wirken auf der oberen Halbebene
Streumatrix und Streukonstanten
H = {x + iy|x, y ∈ R, y > 0, }
und auf P1 (Q). Für ac db ∈ SL2 (Z) und z ∈ H gilt
a b
c d
z :=
az + b
∈ H.
cz + d
Die rationalen Zahlen Q werden um den Punkt Unendlich ∞ zu P1 (Q) erweitert.
Wir stellen uns P1 (Q) vor als bestehend aus Paaren (p : q) (nicht beide Null).
Ein Paar entspricht dem Bruch pq , falls q 6= 0, sonst entspricht es ∞. Hier ist die
Wirkung gegeben durch
a b
c d
(p : q) := (ap + bq : cp + dq) ∈ P1 (Q).
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Betrachten wir nun die oben angesprochene Untergruppe Γ. Ausgehend von
einem Punkt (p : q) ∈ P1 (Q) erhält man eine Spitze [p : q] := {γ(p : q)|γ ∈ Γ}
von Γ. Die Spitze besteht aus allen rationalen Zahlen, auf die die Ausgangszahl
(p : q) unter Γ abgebildet wird. Ein Element aus einer Spitze [p : q] wird
Repräsentant der Spitze genannt. In allen hier betrachteten Gruppen gibt es nur
endlich viele verschiedene Spitzen. Die Gruppe SL2 (Z) selbst hat nur eine Spitze,
d.h. für jedes (p : q) existiert γ ∈ SL2 (Z) mit γ(∞) = (p : q).
Jeder Spitze [S] kann man noch eine natürliche Zahl bS zuordnen, die Spitzenbreite heiÿt.
Die Streumatrix wird nun mit Hilfe einer Gruppe und ihrer Spitzen deniert.
Für je zwei Spitzen [S] und [T ] nehmen wir
φΓST (s) = π 1/2
X 1
1
Γ(s − 1/2)
·
r (c)
Γ(s)
(bS bT )s
c2s ST
c>0
mit
Die Anzahl der 0 ≤ d < bT c, so dass
es eine Matrix ( ∗c d∗ ) ∈ γS−1 ΓγT gibt.
Dabei bedeuten die Sterne in der Matrix, dass die obere Zeile beliebig sein
kann, und die Matrizen γS , γT ∈ Γ(1) haben die Eigenschaft γS (∞) = S sowie
γT (∞) = T .
Das in der Denition von φΓST (s) auftretende Γ(s) ist eine wohlbekannte
Funktion, die Gamma-Funktion. Der unbekannte Teil von φΓST (s) ist also rST (c).
Indem man S und T über Respräsentanten zu allen Spitzen laufen lässt, erhält
man aus den φST eine Matrix, die Streumatrix. Jeder Eintrag der Streumatrix
deniert nun eine Streukonstante durch
rST (c) =
1
1
·
lim φST (s) −
s→1
vol(Γ) s − 1
,
wobei man die Dierenz bilden muss (vol(Γ) ist ein geeignetes Vielfachen von
π/3), damit die Formel konvergiert. So beschreibt sie eine reelle Zahl.
Bei den Belyi-Korrespondenzen handelt es sich um
das Zusammenspiel unterschiedlicher mathematischer Mengen aus verschiedenen
Fachrichtungen, das meint, dass es mehrere völlig unterschiedliche Möglichkeiten
gibt das gleiche Objekt zu beschreiben. Dies erönet viele Wege, Informationen
über dieses Objekt zu erhalten, indem man es sich in den unterschiedlichen
Beschreibungen ansieht. Benannt ist diese Korrespondenz nach G. Belyi, der mit
seinem Beweis den letzten und überraschenden Schritt zeigte.
Die Mengen sind (wobei gewisse Identizierungen zu beachten sind)
Belyi-Korrespondenzen
(i) Kompakte Riemannsche Flächen mit einer bestimmten Überdeckung des
P1 (C)
(ii) Belyi-Paare
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(iii) Dessin d'Enfants
(iv) Tripel von Belyi-Permutationen
(v) Untergruppen (von endlichem Index) von Γ(2)
Anhand eines Beispiels werden die eben genannten Begrie erklären werden
und die Korrespondenzen teilweise nachvollzogen.
Riemannsche Flächen sind eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten, d.h.
Flächen im Raum, die lokal wie die komplexen Zahlen, also wie eine Ebene (mit
komplexer Struktur) aussehen. Man kann sich Riemannsche Flächen recht gut
optisch als Sphären (Bälle), Tori (Donuts) oder Henkelächen (Donuts mit mehreren Löchern) vorstellen, siehe Abbildung 1. Wir betrachten nun zu einer Rie-
Abbildung 1: Beispiele für Riemannsche Flächen
mannsche Fläche noch eine besondere Überdeckung des P1 (C), wobei der P1 (C)
einfach die Sphäre ist, also eine Abbildung von einer gewählten Riemannschen
Fläche, z.B. einem Torus T , auf die Sphäre S . An dieser Stelle soll nicht wirklich
darauf eingegangen werden, was eine Überdeckung ausmacht. Wir wollen nur die
Zusatzeigenschaft erklären, die hier ausschlaggebend ist. Bei einer Überdeckung
kompakter Riemannscher Flächen werden auf fast alle Punkte von S gleich viele
(endlich viele) Punkte von T abgebildet. Es gibt nur endlich viele Punkte von
S , wie weniger Urbilder haben. Hier wird nun gefordert, dass es nur drei solche
Punkte gibt. Betrachte das Beispiel in Abbildung 2.
Dort sind drei Punkte der Sphäre ausgezeichnet durch einen weiÿen, einen
grauen und einen schwarzen Punkt. Auf dem Torus haben die Urbilder dieser
Punkte die selbe Farbe. Man sieht, dass es jeweils drei gibt. Die Linien auf
dem Torus sind das Urbild der Verbindungslinie des weiÿen und des schwarzen
Punktes auf der Sphäre. Es gibt 6 Linien. Hier ist es der Fall, dass nur die drei
markierten Punkte die Eigenschaft haben, dass sie nicht sechs Urbilder haben.
Solche Überdeckungen werden hier betrachtet.
Nun bringen wir Riemannsche Flächen mit Überdeckungen in Zusammenhang
zu Belyi-Paaren. Nach dem GAGA-Prinzip, welches analytische und algebraische
Objekte miteinander identiziert, entspricht jede kompakte Riemannsche Fläche
einer (nicht-singulären, projektiven) algebraische Kurve. Eine algebraische Kurve
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Abbildung 2: Eine erlaubte Überdeckung
ist geben durch eine polynomiale Gleichung. Die Gleichung, die zu dem Torus in
Abbildung 2 gehört ist die bekannte Fermat-Gleichung
F3 : X 3 + Y 3 = Z 3 ,
d.h. alle komplexen Punkte, die diese Gleichung erfüllen, bilden einen Torus. Die
Überdeckungen wird zu einem Morphismus, in diesem Falle zu
β : F3 −→ P1 (C).
(X : Y : Z) 7−→ (X 3 : Z 3 )
Eine solche Kombination (C, β) bestehend aus einer (nicht-singulären, projektiven) algebraische Kurve C zusammen mit einem Morphismus β : C → P1 (C),
der gering verzweigt ist, wird Belyi-Paar genannt.
Das Phänomenale ist, womit bis zum Beweis von Belyi keiner gerechnet
hatte, dass es für jede algebraische Kurve, die über einem Zahlkörper deniert
ist, d.h. für Kurven die beschreibbar sind durch ein Polynom dessen Koezienten
rationale Zahlen oder Wurzeln solcher sind, eine Abbildung gibt, die sie zu einem
Belyi-Paar macht.
Der nächste Punkt sind Dessins d'Enfants, im Deutschen auch Kinderzeichnungen genannt. Dabei handelt es sich um auf Flächen gemalte (bipartite) Graphen, die die Flächen in einfach zusammenhängende Teilmengen schneiden. Im
Beispiel in Abbildung 2 sind das die Linien auf dem Torus mit den weiÿen und
schwarzen Punkten.
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Einige weitere Beispiele für Dessins d'Enfants sind in Abbildung 3 zu sehen.
Die ersten beiden Beispiel dort, sind vereinfacht gezeichnet. Das erste muss man
sich auf der Sphäre vorstellen, das zweite auf dem Torus, d.h. dort muss man die
gegenüberliegenden Seiten des Rechtecks verkleben. Dessins d'Enfants erschei-
Abbildung 3: Dessins d'Enfants
nen sehr viel einfacher als Belyi-Paare, doch sie stehen im direkter Korrespondenz
zu denen.
Die vierte Klasse sind Tripel von Belyi-Permutationen. Wie der Name schon
sagt, handelt es sich um Permutationen. Permutationen sind Vertauschungen
oder Umsortierungen (einer beliebigen n-elementigen Menge). Die Permutationen von n Elementen bilden durch das Hintereinanderausführen die Gruppe
Sn . Ein Tripel von Belyi-Permutationen sind drei Permutationen σ0 , σ1 , σ∞ , die
σ0 σ1 σ∞ = id erfüllen, d.h., dass die Elemente, wenn man alle drei Permutationen nach einander ausführt, wieder die Ausgangsreihenfolge haben, und die
gemeinsam transitiv wirken, d.h. man kann durch geeignetes Kombinieren von
σ0 , σ1 und σ∞ jedes Element an jede Position befördern.
Solche Tripel von Permutationen bekommt man aus Dessins, indem man die
relative Lage der Kanten zueinander in Permutationsform schreibt.
Im Beispiel der 3. Fermat-Kurve aus Abbildung 2 sind die Permutationen
σ0 = (123)(456)(789), σ1 = (147)(258)(369) und σ∞ = (195)(276)(384).
Man erhält sie, indem man die Nummern der Kanten in dem Dessin betrachtet
und ihre Anordnung um Punkte und Flächen. (Diese Notation einer Permutation ist wie folgt zu verstehen: In jeder Klammer steht ein Zykel, d.h. die dort
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aufgeführten Elemente werden auf das nächste abgebildet und das letzte auf der
erste. Also ordnet (123)(456)(789) wie folgt um:
123456789
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
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und die anderen Permutationen entsprechend.)
Das letzte Objekt, Untergruppen von Γ(2) ⊂ SL2 (Z), wurde oben schon
beschrieben. Bei der Fermat-Kurve zum Exponenten 3 handelt es sich bei der
assoziierten Untergruppe Γ3 um eine Nichtkongruenzuntergruppe, d.h. man kann
die Matrizen nicht durch Kongruenzen der Einträge beschreiben. Eine mögliche
Beschreibung für Γ3 ist:
Man nehme die beiden Matrizen
γ0 :=
1 0
−2 1
und γ1 :=
1 −2
2 −3
.
Jedes Element von Γ3 ist ein Produkt von γ0 , γ0−1 , γ1 und γ1−1 , so dass sich
die Dierenz der Anzahl des Auftretens von γ0 und γ0−1 sowie die Dierenz der
Anzahl des Auftretens von γ1 und γ1−1 jeweils durch drei teilen lässt.
Diese Korrespondenzen existieren, doch dass man ein Objekt in allen Beschreibungen kennt, wie es bei der Fermat-Kurven der Fall ist, ist eine groÿe
Ausnahme. Konstruktionen der einzelnen Objekte auseinander sind häug theoretischer Natur und schwer umzusetzen.
Literatur
[Po] Posingies, A.: Belyi pairs and scattering constants. Dissertation, HumboldtUniversität zu Berlin, 2010.
http://edoc.hu-berlin.de/docviews/abstract.php?lang=ger&id=37326