KI - Fuzzy – Unscharfe Mengen

5 Fuzzy – Unscharfe Mengen
Fuzzy – Unscharfe Mengen
• Motivation – Einfaches Modell eines Fuzzy
Reglers
• Unscharfe Mengen
• Interpretation linguistischer Werte
• Operationen auf unscharfen Mengen
• Fuzzy Relationen
• Fuzzy Logik
• Fuzzy Regler - Beispiel
Begriff Fuzzy
•
•
•
•
Fuzzy Set Theory
Fuzzy Logic
Fuzzy Arithmetik
Fuzzy Control
Grundlagen: 1965 - Zadeh
Anwendung: 1985
Grundlagen
Anwendung
5.1 Motivation – Einfaches
Modell eines Fuzzy Reglers
Motivation – Einfaches Modell
eines Fuzzy Reglers
Regelung:
Abweichung eines Kontollparameters
von einem vorgegebenen Sollwert
Veränderung einer Stellgröße
Beispiel:
Kontrollparameter - Raumtemperatur
Stellgröße - Ventil
Diskreter – Regler
∆u (k ) = K1 ⋅ ∆e(k ) + K 2 ⋅ e(k )
diskreter
Zeitpunkt
Stellgröße
Fehler
Konstanten
∆u (k ) = u (k ) − u (k − 1)
∆e(k ) = e(k ) − e(k − 1)
berechnete Veränderung der
Stellgröße
Änderung des Fehlers
Fehler
e(k ) = y SW − y (k )
Sollwert
tatsächliche Ausgabe des Systems
Fuzzy Regelung
benutzt keine analytischen Ausdrücke zur Regelung
Wissensbasis aus Fuzzy – Regeln:
wenn Prozesszustand dann Stellwert
Werte der Variablen
e(k )
NG (negativ groß)
NG (negativ groß)
NK (negativ klein)
NK (negativ klein)
N (Null)
N (Null)
∆u (k )
PK (positiv klein)
PK (positiv klein)
PG (positiv groß)
PG (positiv groß)
DÄ (drastische Änderung)
∆e(k )
NG
K (klein)
PG
Werte der Variablen
e(k )
PK
e(k ) = y SW − y (k )
y (k )
⇒ y SW > y (k )
ist wenig kleiner als
ySW
Werte der Variablen
∆e(k )
NG
∆e(k ) = e(k ) − e(k − 1) =
y SW − y (k ) − ( y SW − y (k − 1)) = y (k − 1) − y (k )
die aktuelle Systemausgabe ist wesentlich größer als die vorangegangene
Werte der Variablen
∆e(k )
K
∆e(k ) = e(k ) − e(k − 1) =
y SW − y (k ) − ( y SW − y (k − 1)) = y (k − 1) − y (k )
die aktuelle Systemausgabe ist geringfügig gestiegen oder gefallen
Regeln (aktive)
werden bei jedem Kontrollzyklus ausgewertet
wenn
e(k ) = PG
und
∆e(k ) = NG
∆u (k ) = PK
dann
y (k ) deutlich unter ySW
y (k ) wesentlich größer als y (k − 1)
y (k − 1) ist noch schlechter als y (k )
u (k ) etwas erhöhen
Tabelle aller Regeln
∆e(k )
∆u (k )
NG
K
PG
e(k )
NG
NG
NG
NK
NK
NK
NK
N
N
N
PK
N
PK
PK
PG
PK
PG
PG
Regeln (kritischer Bereich)
wenn
dann
e(k )
im kritischen Bereich
∆u (k ) = DÄ
5.2 Unscharfe Mengen
Linguistische Variablen und Werte
e(k ), ∆e(k ), ∆u (k )
NG , NK , 
linguistische Variablen
linguistische Werte
Wie rechnet man mit diesen Werten?
Unscharfe Mengen
Die Zuordnung einzelner Elemente zu einer Menge ist oft umstritten.
Ist 15° C eine hohe Temperatur?
Solche Einschätzungen haben nichts mit Wahrscheinlichkeiten zu tun?
Zugehörigkeitsfunktion
U
- beliebige Menge (Grundbereich)
µ F : U → [0,1]
Zugehörigkeitsfunktion
von F
F = {(u , µ F (u )) : u ∈ U }
unscharfe Menge über U
Menge der großen Säugetiere
U
{Wal,Elefant,Büffel,Löwe,Bär,Hund,…}
F
{(Wal,1),(Elefant,1),(Büffel,0.7),(Löwe,0.6),(Bär,0.6),(Hund,0.3),…}
µF
Wal
1
Elefant
1
Löwe
0.6
Hund
0.3
Menge der natürlichen Zahlen, die
dicht bei 6 liegen
U
{0,1,2,…}
1
1 + (n − 6) 2
µF
3
0.1
4
0.2
5
0.5
6
1.0
7
0.5
8
0.2
9
0.1
normale Menge
U
beliebig
µ A (u ) = 1, u ∈ A
µ A (u ) = 0, u ∉ A
A⊆U
charakteristische
Funktion der Menge A
Temperatur
U = [15°C ,27°C ]
Werte: kalt, kühl, angenehm, warm, heiß
kalt
µ
1
kalt
°C
0
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
kühl
µ
1
kühl
°C
0
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
angenehm
µ
1
angenehm
°C
0
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
warm
µ
warm
1
°C
0
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
heiß
µ
heiß
1
°C
0
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
5.3 Interpretation
linguistischer Werte
Linguistische Variable
( X , LX , U , M X )
Name
Funktion, die jedem Wert eine
unscharfe Menge über U zuordnet
Menge der Werte
Grundbereich
Beispiel
X
LX
Temperatur
kalt, kühl, angenehm, warm, heiß
15°C,…,27°C
U
MX
unscharfe Mengen
5.4 Operationen auf
unscharfen Mengen
Teilmenge
A⊆ B
µ A (u ) ≤ µ B (u )
∀u ∈ U
Durchschnitt, Vereinigung
µ A∩ B (u ) = min{µ A (u ), µ B (u )}
µ A∪ B (u ) = max{µ A (u ), µ B (u )}
5.5 Fuzzy Relationen
Fuzzy Relationen
µ R : X ×Y → [0,1]
Zugehörigkeitsfunktion von R
R = {(( x, y ), µ R ( x, y )) : ( x, y ) ∈ X × Y }
unscharfe Relation
Beispiel - fastgleich
X = Y = {1,2,3}
fastgleich
R
x= y
1
µ R ( x, y ) = 0.8
0.3
falls
| x − y |= 1
| x − y |= 2
5.6 Fuzzy Logik
unscharfe atomare Aussage
( X , LX , U1 , M X )
X
ist
linguistische Variable
e
e ∈ LX
unscharfe atomare Aussage
M X (e)
µM
Bedeutung der Aussage
X
(e )
Konjunktion
( X , LX , U1 , M X )
linguistische Variablen
(Y , LY , U 2 , M Y )
p: X
q: Y
p∧q
ist
ist
A
B
2 atomare Aussagen
µ (u1 , u2 ) = min{µ A (u1 ), µ B (u2 )}
Bedeutung
Disjunktion
( X , LX , U1 , M X )
linguistische Variablen
(Y , LY , U 2 , M Y )
p: X
q: Y
p∨q
ist
ist
A
B
2 atomare Aussagen
µ (u1 , u2 ) = max{µ A (u1 ), µ B (u2 )}
Bedeutung
Implikation
( X , LX , U1 , M X )
linguistische Variablen
(Y , LY , U 2 , M Y )
p: X
q: Y
p→q
ist
ist
A
B
2 atomare Aussagen
µ (u1 , u2 ) = min{µ A (u1 ), µ B (u2 )}
Bedeutung
5.7 Fuzzy Regler
Fuzzy Regler
• Fuzzyfizierungsmodul
– Normalisierung
– wandelt scharfe Eingabewerte in unscharfe Mengen
um
• Wissensbasis
– Datenbasis (linguistische Variablen)
– Regelbasis
• Defuzzyfizierungsmodul
– wandelt die unscharfe Ausgabe der Wissensbasis in
eine normale Ausgabe
– Denormalisierung
Beispiel
Winkel
M1
Winkelgeschwindigkeit
Kraft
F
- Stellgröße
M2
Grundbereiche
M1
X 1 = [−90,+90]
Grad
M2
X 2 = [−45,+45]
Grad/Sekunde
F
Y = [−10,+10]
Newton
Unscharfe Mengen
M1
ng
-90
-60
nk
nu
-30
0
1
pk
30
pg
60
90
Unscharfe Mengen
M2
ng
-45
-30
nk
nu
-15
0
1
pk
15
pg
30
45
Unscharfe Mengen
F
ng
-10
nk
-6
-3
nu
0
1
pk
3
pg
6
10
Regeln
M1
F
ng
nk
ng
pk
pg
pg
ng
nk
M2
nu
nk
nk
nk
nu
pk
pk
pk
pk
pg
pg
nu
ng
Eingabe Meßwerte
x1 = 22.5
x2 = 0
Unscharfe Mengen
M1
ng
-90
-60
nk
nu
-30
0
22.5
1
pk
30
pg
60
90
Unscharfe Mengen
M2
ng
-45
-30
nk
nu
-15
0
1
pk
15
pg
30
45
Eingabe Meßwerte
nu
x1 = 22.5
M1
ist
x2 = 0
M2
ist
pk
nu
anwendbare Regeln
Regel 1:
Regel 2:
M1
ist
M2
ist
nu
M1
ist
pk
M2
ist
nu
nu
F
ist
nu
F
ist
pk
Regel 1
M1
nu
-90
-60
-30
1
0
22.5
0.25
30
60
90
Regel 1
M2
nu
-45
-30
0
-15
0
1
1
15
30
45
Regel 2
M1
0.75
1
-90
-60
-30
22.5
0
pk
30
60
90
Regel 2
M2
nu
-45
-30
0
-15
0
1
1
15
30
45
Schlussfolgerung
Prämisse Regel 1:
0.25 = min{0.25,1}
Prämisse Regel 2:
0.75 = min{0.75,1}
Kraft nach Regel 1
F
nu
1
0.25
-10
-6
-3
0
3
6
10
Kraft nach Regel 2
F
1
-10
-6
-3
0
pk
3
0.75
6
10
Kraft gesamt (Vereinigung)
F
0.75
1
0.25
-10
-6
-3
Defuzzyfizierung (Schwerpunkt):
0
3
6
10
F ≈2