1 Zur Vorbereitung

Labor Physik und Photonik
Labor zur Vorlesung Physik
Versuch 8: Gravitation
1. Zur Vorbereitung
Die folgenden Begriffe sollten Sie kennen und erklären können:
Gravitationsgesetz, Gravitationswaage, gedämpfte Torsionsschwingung, Torsionsmoment, Drehmoment, Dämpfungskonstante, Schwingungsdauer, logarithmisches Dekrement
2. Theoretische Grundlagen
2.1 Gravitation
Zwischen zwei beliebigen materiellen Punkten mit den Massen m1 und m2 wirkt eine anziehende
Kraft, die Gravitationskraft FG, deren Größe von der Größe der Massen sowie von deren Abstand
s abhängt.
(G1)
FG = G 
m1  m2
s2
G = Gravitationskonstante
Isaac Newton fand dieses Gravitationsgesetz im Jahre 1666 und war damit erstmals in der Lage,
die Bewegung eines vom Baum fallenden Apfel ebenso zu beschreiben wie die Bewegung der
Planeten um die Sonne. Die Gravitation ist somit eine von nur 4 bekannten fundamentalen Wechselwirkungen. Die anderen sind die elektromagnetische, die starke und die schwache Wechselwirkung. Die beiden letztgenannten treten zwischen den Bausteinen der Atomkerne und den Elementarteilchen auf.
Die Größe der anziehenden Gravitationskraft wird nicht nur von der Größe der Massen und deren
Abstand sondern auch durch die Proportionalitätskonstante G bestimmt. Diese Gravitationskonstante ist so klein, dass zwischen zwei 1 kg schwere Massen, die 1 m voneinander entfernt
sind, nur eine anziehende Kraft von ca. 7 · 10-11 N wirkt.
So gelang es erst dem englischen Physiker Cavendish im Jahre 1798, die Gravitationskonstante g
mit einer speziellen Drehwaage, der sog. Gravitationswaage (siehe 3.1), zu bestimmen.
Die Bestimmung der Gravitationskonstante mit Hilfe der Gravitationswaage ist Inhalt diese Laborversuchs.
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3. Gerätebeschreibung
3.1 Die Gravitationswaage
Die Gravitationswaage besteht aus einer waagerechten dünnen Stange, an deren Enden jeweils
eine kleine kugelförmige Masse (m1) befestigt ist. Die Stange ist an einem dünnen, vertikalen
Draht, der mit einem kleinen Spiegel starr verbunden ist, drehbar aufgehängt. Die Periodendauer
dieses Torsionsschwingers beträgt einige Minuten!! Dieser sehr empfindliche Teil der Waage ist
durch ein transparentes Kunststoffgehäuse gegen Luftbewegung geschützt.
Drehfaden
große Kugel
Kleine Kugel
Direkt unterhalb dieses Gehäuses ist eine zweite Stange (Träger) um dieselbe Achse drehbar befestigt. Diese Stange enthält an ihren Enden jeweils eine große Bleikugel der Masse m 2, die deutlich größer als m1 ist.
Stehen beide Stangen senkrecht zueinander, so heben sich die Gravitationskräfte aller vier Massen gegenseitig auf. Der Drehfaden ist nicht verdrillt, die Waage ist im Gleichgewicht. Lenkt man
die Stange mit den großen Kugeln soweit um, dass sich auf beiden Seiten ein definierter, kleiner
Abstand zwischen großen und kleinen Kugeln einstellt, so heben sich die Gravitationskräfte nicht
mehr auf. Die Kräfte zwischen den Massen am linken und am rechten Ende sind vielmehr gleich
groß und im gleichen Drehsinn zur Achse gerichtet.
Da die Stange mit den großen Kugeln fixiert ist, entsteht ein Drehmoment auf die Stange mit den
kleinen Kugeln. Der Aufhängefaden verdrillt sich so lange bis das Drehmoment auf Grund der
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Gravitation gleich dem Torsionsmoment des Aufhängefadens ist. Da es sich bei den am Faden
aufgehängten Massen um ein Torsions-Schwingungssystem handelt, findet die Bewegung zur
neuen Gleichgewichtslage in Form einer gedämpften Schwingung statt.
Die Bewegung der Stange mit den kleinen Massen wird mittels eines Laserstrahls, der auf den
Spiegel gerichtet ist, mehrfach vergrößert auf einer Skala an der Wand abgebildet und kann dort
beobachtet werden.
3.2 Messmethoden
Die Gravitationskonstante kann mit der Gravitationswaage auf zwei Arten bestimmt werden:
1. Endausschlagsmethode:
Ist die gedämpfte Schwingung nach Verdrehen der großen Massen abgeklungen, so befindet sich
die am Drehfaden aufgehängte Stange mit den kleinen Massen in einer neuen Gleichgewichtslage, in der das Moment aufgrund der Gravitationskräfte M gleich dem Torsionsmoment MT des Fadens ist. Bei bekanntem Torsionsmoment kann also das Gravitationsmoment und daraus die Gravitationskraft ermittelt werden. Das Torsionsmoment ergibt sich aus dem Verdrehwinkel und der
Winkelrichtgröße des Fadens. Die Winkelrichtgröße wiederum kann aus der Schwingungsdauer
und Dämpfung der gedämpften Schwingung ermittelt werden.
2. Anfangsbeschleunigungsmethode:
Direkt nach dem Verdrehen der großen Massen, ist der Torsionsfaden noch unverdrillt. Dem Moment auf Grund der Gravitationskräfte wirkt noch kein Torsionsmoment entgegen. Das Moment
führt ausschließlich zur Drehbeschleunigung der am Faden aufgehängten kleinen Massen. Erst
mit zunehmender Verdrehung des Fadens steigt das Torsionsmoment an. Der neue Gleichgewichtszustand ist erreicht, wenn beide Momente gleich sind. Aus der Anfangsbeschleunigung jedoch kann direkt das beschleunigende Moment und daraus die beschleunigende Kraft ermittelt
werden.
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3.3 Geometrische Überlegungen
m1.1 , m1.2:
Massen der kleinen Kugeln
m2.1 , m2.2:
Massen der großen Kugeln
s0:
definierter
Abstand
zwischen
kleinen und großen nach dem
Auslenken der großen Kugeln
b:
Auslenkwinkel des dünnen Stabes aus der Ruhelage
Wirkende Gravitationskräfte:
Grundsätzlich wirkt jede der beteiligten Massen auf alle anderen Massen anziehend. Allerdings
werden die Kräfte zwischen m1.1 und m1.2 sowie zwischen m2.1 und m2.2 durch die Verbindungsstangen aufgenommen. Die weiteren Gravitationskräfte führen zu einem Drehmoment auf die
Stange mit den kleinen Massen. Dabei wirken die Kräfte von m2.1 auf m1.1 und von m2.2 auf m1.2
rechtsdrehend, die Kräfte von m2.1 auf m1.2 und von m2.2 auf m1.1 linksdrehend. Die zweitgenannten
Kräfte sind auf Grund des größeren Abstandes deutlich kleiner. Das Gesamtdrehmoment ergibt
sich zu:
(Gl.2)
M  2(F1  r  F2  r sin  )
Setzt man die Gravitationskräfte nach (Gl.1) ein und beachtet, das m1.1 = m1.2 = m1 und m2.1 = m2.2
= m2 ist, so erhält man nach einigen Umstellungen für das durch die Gravitation verursachte Moment:
(Gl.3)
M =G
2 r m1 m2
1 - sin3  
2
s0
Hierbei wird angenommen, dass die Bewegung der kleinen Kugeln klein ist gegenüber dem definierten Abstand s0 und somit das aufgrund der Gravitation wirkende Drehmoment konstant angenommen werden kann. Der Winkel  kann aus der Gerätegeometrie (r und s0) ermittelt werden.
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3.3 Winkelrichtgröße und gedämpfte Schwingung
Zur Bestimmung der Gravitationskonstante muss das rücktreibende Torsionsmoment MT des Fadens bekannt sein. Diese ergibt sich aus der Winkelrichtgröße c* und dem Verdrehwinkel End des
Fadens zu:
(Gl.4)
MT = c *  End
Die Winkelrichtgröße c* des Fadens ist nicht konstant und muss bei jedem Versuch aus der Beobachtung der gedämpften Torsionsschwingung bestimmt werden. Für die Kreisfrequenz d einer
gedämpften Torsionsschwingung gilt:
(Gl.5)
2
d =
4 2 c* 2
 - 2
J Td
Td2
Hierbei ist Td die Periodendauer der gedämpften Schwingung, J das Massenträgheitsmoment der
Achse der kleinen Massen und  das logarithmische Dekrement.  kann aus Beobachtung aufeinander folgender Maximalamplituden der gedämpften Schwingung ermittelt werden:
(Gl.6)
  ln
yˆ i
yˆ i +1
Nach Umformung ergibt sich die Bestimmungsgleichung für die Winkelrichtgröße des Torsionsfadens zu:
(Gl.7)
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*
c =
2 m1 r 2
T
2
d
4 
2
+ 2 
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4. Versuchsdurchführung
4.1 Endausschlagmethode
Aus dem aufgenommenen Schwingungsdiagramm werden die Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung Td und das logarithmische Dekrement  ermittelt und daraus die Winkelrichtgröße c* des Fadens bestimmt. Bei der Ermittlung der neuen Nulllage ΘEnd ist zu beachten, dass
durch die Abbildung mit Hilfe eines Spiegels der Lichtpunkt an der Wand um den doppelten Verdrehwinkel des Fadens wandert. Ist der Abstand Spiegel - Wand l so gilt.
(Gl.8)
 End 
s
1
arctan max
2
l
Im neuen Gleichgewicht sind Torsionsmoment des Fadens und Drehmoment aufgrund der Gravitation betragsmäßig gleich groß:
(Gl.9)
MT = c *  End
(Gl.10)
G=
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
M G
2 r m1 m2
1 - sin3  
2
s0
c *  End s0 2
2 r m1 m2 1 - sin3  
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4.2 Beschleunigungsmethode
Das von der Gravitation verursachte Moment führt zur Drehbeschleunigung der Achse mit den
kleinen Massen. Es gilt:
(Gl.11)
M G
2 r m1 m2
1 - sin3  = J
2
s0
Die Drehbeschleunigung  kann aus der Beschleunigung a des Lichtpunktes auf der Skala ermittelt werden (s(t²)-Diagramm liefert die Steigung a/2). Wiederum muss zusätzlich die Verdopplung
des Winkels beachtet werden..
(Gl.12)
  a

2l
Somit kann die Gravitationskonstante aus folgender Gleichung bestimmt werden:
(Gl.13)
r s0 2 a
G 
2l m2 1 - sin3  
5. Arbeitsprogramm
Finden Sie in der Excel-Datei Gravitation.xls
6 Literatur
1. Hering,Martin,Stohrer; Physik für Ingenieure; VDI-Verlag
2. Bergmann,Schäfer; Band 1, Mechanik, Akustik, Wärme; Walter de Gruyter-Verlag
3. Falk,Ruppel; Mechanik, Relativität, Gravitation; Springer-Verlag
4.Hauger,Schnell,Gross; Technische Mechanik 3; Springer-Verlag
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