Lehrbuch dr unendlichen Reihen. Vorlesungen gehalten an der

LEHRBUCH
DER UNENDLICHEN REIHEN
VORLESUNGEN
GEHALTEN AN DER UNIVERSITÄT KOPENHAGEN
VON
Dk.
NIELS NIELSEN
DOZENT DER REIXEN MATHEMATIK
LEIPZIG UND BERLIN
DRUCK UND VERLAG VON
1909
B. G.
TEUBNER
ALLE RECHTE, EIKSCHLIBSZLICH DES ÜBERSETZUNGSBECHTS, VORBEHALTEN.
Yor^wort.
Das vorliegende Lehrbuch
ist
aus einem
Guß
nicht entstanden.
Die eigentliche Reihenlehre wurde in der Tat schon im Frühlingssemester 1907 und zwar unter durchgängiger
Anwendung
der Analysis
Form schon am Schluß 1906 fertig vor.
Es zeigte sich aber, daß die Mehrzahl meiner Zuhörer von ihrem
Studium der Analysis und der Funktionentheorie und den über diese
vorgetragen und lag in dieser
Gegenstände gehaltenen Elementarvorlesungen nicht die Fundamentalbegriife der Theorie der Zahlenfolgen
Ich
wurde
daher
und Zahlenmengen kannte.
von Studierenden aufgefordert von diesem
Gesichtspunkte aus eine Elementarvorlesung über Funktionentheorie
zu
halten,
und obgleich solche Elementarvorlesungen, meiner Anbin ich doch der Auf-
stellung nach, mir eigentlich nicht obliegen,
forderung gefolgt.^)
Durch
sowohl
mündliche
als
schriftliche
Verhandlungen
mit
verschiedenen deutschen Kollegen, namentlich den Herrn Professoren
Pringsheim in München wurde ich
im wesentlichen fertig redigierte Lehrbuch
gänzlich umzuarbeiten und eine Reihenlehre ohne Anwendung der
Fundamentaloperationen der Analysis (der Differentiation und InteG.
Cantor
angeregt,
in
das
Halle und A.
schon
gration) darzustellen.
Der
erste Teil des
Buches
ist
demnach aus der Einleitung der
obengenannten funktionentheoretischen Vorlesungen entstanden.
Da
also
die
Theorie der Zahlenfolgen
die
einzige
Grundlage
der weiteren Entwicklungen des Buches sein mußte, so erschien es
mir auch notwendig
die Irrationalzahlen zu behandeln; dies ist in einer
von den üblichen Darstellungen etwas abweichenden Form geschehen.
Diese DarsteUungs weise erschien mir aber natürlich, weil die zwei
monotonen Zahlenfolgen, die ich als Definition einer Irrationalzahl
anwende, überall da auftreten, wo es sich in der folgenden Darstellung
1)
Diese Vorlesungen werden in dänischer Sprache ausgegeben und sind
schon teilweise erschienen.
IV
Vorwort.
um
den Existenzbeweis
einer
anderer Weise
in
Zahl
definierten
handelt.
Von
der Theorie der Zahlenmengen
habe ich nur die abzähl-
baren Mengen und das Kontinuum besprochen
;
diese Begriffe erscheinen
um
den Begriff des Grenzwertes einer
Funktion bzw. kontinuierlicher Variation der unabhängigen Variabein
mir
notwendig
der Tat
in
zu verstehen.
In einem elementaren Lehrbuche wie das vorliegende darf
natürlich nicht durchweg Originalitäten des Verfassers suchen.
schiedene Kapitel sind
z.
B.,
man
Ver-
mit Genehmigung des Verfassers, bei-
nahe wortgetreu nach den grundlegenden Arbeiten des Herrn Prings-
heim
dargestellt worden.
Als mir eigentümlich darf ich vielleicht
der Multiplikation
und
die
unendlicher Reihen,
Entwicklungen des
diese letzten
letzten
Entwicklungen
ist
B.
z.
Darstellung
die
auch der trigonometrischen,
Kapitels
in der Tat,
Durch
hervorheben.
soviel ich verstehe,
die
Grundlage einer wirklich elementaren Theorie der Dirichlet-
erste
schen Reihen, der Fakultäten- und der Binomialkoeffizientenreihen
gegeben worden, indem
dieser
die
Reihen unmittelbar
diesem Bereiche
stets
Bestimmung
daß
lehrt,
des
die
Konvergenzbereiches
betreffenden
gleichmäßig konvergieren.
Ich
Reihen
in
erlaube mir
Aufgaben im Anhange aufmerksam zu machen;
die dort ausgesprochenen Lehrsätze sind in der Tat ohne Schwierig-
noch auf
die letzten
keit zu beweisen,
obgleich eine detailliertere Darstellung dieser Be-
weise im Texte mir nicht angemessen erschien.
Bei einem Lehrbuche wie das vorliegende
persönliche Willkürlichkeit
eine
warum er eben
genommen hat.
diese
des Verfassers
muß
es ja
wohl
als
angesehen werden,
und nicht ebenso gut auch jene Einzelheit mit
man
Ich hoffe aber indessen, daß
damentalen Fragen meine Darstellung
in
bezug auf die fun-
als recht vollständig finden dürfte.
In betreff der recht zahlreichen Übungsaufgaben darf ich natürlich nicht behaupten,
daß aUe diejenigen, die entweder mit QueUen-
zitaten nicht versehen sind oder bekannte
von mir herrühren, obgleich gewiß
Bei
es
Formeln nicht behandeln,
viele Originalaufgaben sind.
den Quellenzitaten habe ich mich dafür bestrebt,
mir nur möglich war,
den betreffenden
die ersten
Gegenstand
soweit
und wichtigsten Schriften,
behandeln, zu nennen.
Ist
dies
die
mir
und da sogar ungenau
oder falsch zitiert, so hoffe ich auf Verzeihung desjenigen Lesers,
der mit den Schwierigkeiten eines solchen Unternehmens vertraut ist.
nicht
immer gelungen, oder habe
ich hier
Vorwort.
Dem
"V
elementaren Charakter des Buches zufolge schien es mir
nicht angjemessen ein Literaturverzeichnis, wie in meinen rein wissenschaftlichen Handbüchern, zu geben.
Es
mir hier noch gestattet, verschiedenen Mathematikern
sei
meinen herzlichsten Dank für ihre Teilnahme bei der Ausarbeitung
des Buches auszusprechen:
Herrn Professor Pringsheim nicht nur wegen seiner grundlegenden Arbeiten, die mir von meiner ersten Jugend an so wertvoll
gewesen
sind, aber
auch für
die Liebenswürdigkeit,
dieser ausgezeichnete Forscher sowohl schriftlich als
die
Anordnung
mit welcher
mündlich über
des Stoffes mit mir verhandeln wollte;
Herrn General Madsen, Direktor der dänischen Gradmessung,
für die liebenswürdige Geduld, mit welcher er mit mir verschiedene
Abschnitte
durchgearbeitet
und für
hat,
die
Ver-
redaktionellen
besserungen, die er mir vorgeschlagen hat;
Herrn H.
gegenseitigen
Bohr
Bohr und Herrn
Anregungen
rühren ja
Endlich
z.
muß
A.
Mikkelsen-Vendsyssel
für die
von
Herrn
während
der Vorlesungen;
B. die Paragraphen 47
ich
vor allem der
und 77
her.
Teubnerschen
Verlagsbuch-
handlung meinen besten Dank für das, wie immer, liebenswürdige
Eingehen auf alle meine Wünsche bei der Drucklegung des Buches
aussprechen.
Kopenhagen, den
23.
August 1908.
Dr. Niels Nielsen.
Inhalt.
Erster Teil.
Theorie der Zahlenfolgen.
Kapitel
§
1.
§
2.
§
3.
§
4.
§
5.
§
6.
§
7.
§
8.
§
9.
§ 10.
§ 11.
§ 12.
§ 13.
§ 14.
§ 15.
§ 16.
§ 17.
Rationale Zahlen.
I.
Absoluter Betrag einer Potenz. Aufgabe
Rationale Zahlenfolgen. Aufgaben 2-4
Unendliche Dezimalbrüche. Aufgaben 5
Seite
3
1
5
8
—6
Kaijitel II.
Theorie der Irrationalzahlen.
Annäherungsreihen und Grenzzahlen. Aufgabe 7
Gleichheit und Ungleichheit zweier Grenzzahlen
Rechnen mit Grenzzahlen. Aufgaben 8 10
Sätze über Grenzzahlen. Aufgaben 11
13
Allgemeine Bemerkungen
10
13
15
18
22
—
—
Kapitel EI. Theorie der reellen Zahlenfolgen.
Das Verhalten einer Zahlenfolge. Aufgaben 14 15
Das allgemeine Konvergenzprinzip für Zahlenfolgen. Aufgabe 16
Monotone Zahlenfolgen. Aufgaben 17 19
Häufungsstellen einer Zahlenfolge. Aufgaben 20—22
Obere und untere Grenze. Aufgaben 23-— 24
Limes superior und limes inferior. Aufgaben 25 — 26
Hilfssatz von Abel.
Aufgaben 27—28
—
23
.
—
Kapitel IV. Komplexe Zahlenfolgen.
Rechnenoperationen mit Zahlenpaaren. Aufgaben 29 32
Absoluter Betrag und Charakteristik komplexer Zahlen. Aufgaben
—
33—35
§ 18.
§ 19.
Zahlenfolgen mit komplexen Elementen. Aufgaben 36
Sätze von Cauchy und Jensen. Aufgaben 38—39
Kapitel V.
§ 20.
§ 21.
§ 22.
§ 23.
§ 24.
§ 25.
Anwendungen auf
§ 27.
§ 28.
§ 29.
38
43
45
47
die Elenientartranszendenten.
Die Exponentialfunktion e'
Aufgaben 40—45
Die Funktionen cosic und sina;
Die geometrische Reihe.
Die Multiplikation komplexer Zahlen.
Aufgaben 46—48
Der natürliche Logarithmus. Aufgabe 49
Potenz mit willkürlichem Exponent. Aufgaben 50 56
Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen. Aufgaben 57 59
.
—
Kapitel VI.
§ 26.
— 37 ....
26
28
,30
32
35
37
—
50
55
59
62
67
71
Über zweifach unendliche Zahlenfolgen.
Konvergenz, Divergenz und Oszillation
Sätze über konvergente Doppelfolgen. Aufgabe 60
Monotone Doppelfolgen
Analogen der Sätze von Cauchy und Jensen
73
75
78
80
—
VII
Inhalt.
Zweiter
Teil.
Reihen mit konstanten
§ 30.
§ 31.
§ 32.
§ 33.
§ 3i.
§ 36.
§ 37.
§ 38.
§ 39.
Seite
85
89
95
97
—
.
.
—
Kapitel VIII.
§ 35.
(xliedern.
Kapitel VII. Das Verhalten unendlicher Reihen.
Konvergenz, Divergenz und Oszillation. Aufgaben 61—67 ....
Bedingte und unbedingte Konvergenz. Aufgaben 68 76 ....
Sätze über absolut konvergente Reihen
Addition und Multiplikation unendlicher Reihen. Aufgabe 77
Sogenannte Summierbarkeit von Reihen. Aufgaben 78 82 ...
98
Konvergenz und Divergenz gewisser Reihen.
—
Satz von Leibniz über alternierende Reihen. Aufgaben 83 86
Methode der Reihenvergleichung. Aufgaben 87 90
Methode von Bernoulli, Nicole, Abel und Pringsheim. Aufgaben 91 97
Sätze von Abel, Dini und Jensen: Aufgaben 98 99
Sätze von du Bois Reymond und Dedekind. Aufgaben 100 106
—
.
.
—
—
—
Elementare Konvergenzkriterien.
Sätze von Cauchy, Raabe und Kummer.
Aufgaben 107 109
Das logarithmische Kriterium. Aufgaben 110 113
Reihen mit komplexen Gliedern. Satz von Weierstraß
100
102
104
108
111
Kapitel IX.
§ 40.
§ 41.
§ 42.
—
Kapitel X.
§ 43.
§ 44.
§ 45.
§ 46.
§ 47.
§ 48.
§ 49.
§ 50.
§ 52.
§ 53.
§ 54.
§ 55.
§ 56.
§ 57.
§ 58.
.
.
.
116
120
Kapitel XL Transformation von Reihen.
Methode von Euler und Markoff. Aufgaben 121—122
Methode von Kummer. Aufgaben 123—124
Änderungen der Methode von Kummer. Aufgaben 125
116
— 120
.
Ergänzung eines Satzes von Abel
Über die logarithmischen Kriterien
Typische Formen der divergenten Reihen. Aufgabe 127 .....
Typische Formen der konvergenten Reihen. Aufgaben 128 130
145
149
152
154
Kapitel XIII. Allgemeine Kriterien von Pringsheim.
Die Kriterien erster Art
Die Kriterien zweiter Art
Vergleichung der Kriterien erster und zweiter Art. Aufgabe 131
Reihen mit niemals zunehmenden Gliedern
159
163
169
173
— 126
.
.
Über Reihen mit positiven Gfliedern.
—
.
.
§ 61.
§ 62.
Definitionen.
§ 60.
122
125
126
129
133
136
140
143
Kapitel XIV. Unendliche Produkte.
Konvergenz und Divergenz. Aufgaben 132 133
Absolut oder unbedingt konvergente Produkte. Aufgaben 134—137
Über bedingt konvergente Produkte. Aufgaben 138—139 ....
§ 59.
113
Multiplikation unendlicher Reihen.
Sätze von Cauchy, Abel, Mertens und Cesäro. Aufgaben 114
Anderer Beweis des Satzes von Mertens
Sätze von Pringsheim. Aufgabe 117
Satz von Pringsheim über alternierende Reihen. Aufgaben 118
Allgemeine Bemerkungen über Reihenmultii^likation
Kapitel XII.
§ 51.
—
—
178
181
184
Kapitel XV.
§ 63.
§ 64.
Unendliche Kettenbrüche.
Entwicklung in eine Reihe. Aufgaben 140—141
Verwandlung einer Reihe in einen Kettenbruch. Aufgaben 142—143
Kettenbrüche von Lambert und Legendre. Aufgabe 144
.
.
186
189
190
VIII
Inhalt.
Kapitel XVI. Doppelreihen nach Pringsheim.
Konvergenz, Divergenz und Oszillation
Über Zeilen- und Kolonnenreihen. Aufgabe 145
§ 65.
§ 66.
§ 67.
Über die Diagonalsummenreihen
§ 08.
Beispiele
§ 69.
Absolut konvergente Doppelreihen
Unbedingt konvergente Doppelreihen
§ 70.
seit«
...
193
196
198
201
203
205
Dritter Teil.
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
Kapitel XVII.
Zahlenmengen.
§ 74.
Äquivalenz und Häufungsstellen
Abzählbare Mengen
Das Liniekontinuum
Das Arealkontinuum. Aufgaben 146—149
§ 75.
Der Funktionsbegriff.
§76.
Endliche reelle Funktionen. Satz von Weierstraß. Aufgaben 153 155
Allgemeines Konvergenzprinzip für das Koutinuum
Anwendungen auf komplexe Variabein. Aufgabe 15G
Stetige Funktionen.
Satz von G. Cantor. Aufgaben 157
158
Sätze über stetige Funktionen. Aufgaben 159—162
220
223
225
229
232
236
Kapitel XIX. Gleichmäßige Konvergenz.
Gleichmäßig konvergente Fundamentalreihen. Aufgaben 163 165
Gleichmäßig konvergente Reihen. Aufgaben 166 171
Gleichmäßig konvergente Produkte. Aufgaben 172—173
Grenzwert von Gauß. Die Gammafunktion. Aufgaben 174 175
238
241
245
248
§ 71.
§ 72.
§ 73.
211
214
215
217
Funktionen.
Aufgaben 150 152
Kapitel XVIII.
§ 77.
§ 78.
§80,
§ 82.
§ 83.
§ 84.
—
—
§ 79.
§ 81.
—
.
.
—
—
—
.
Kapitel XX.
§ 85.
§ 86.
§ 87.
§ 88.
§ 89.
§ 90.
§ 91.
§ 92.
Trigonometrische Reihen.
Aufgabe 176
Rechnen mit trigonometrischen Reihen. Aufgabe 177
Satz von Pringsheim. Aufgaben 178—179
251
253
256
Kapitel XXI.
Potenzreihen.
Der Konvergenzkreis
Satz von Abel
Satz von Frobenius.
Aufgabe 180
Rechnen mit Potenzreihen. Aufgaben 181—182
Über die Bestimmung des Konvergenzradius. Aufgaben 183
260
263
266
268
269
Kouvergenzkriterien.
Satz von Malmsten.
— 184
§ 94.
Kapitel XXII. Dirichletsche Reihen und Fakultätenreihen.
Folgerungen aus den Sätzen von Abel, du Bois Reymond und Dedekind.
Aufgabe 185
Anwendungen auf gewisse speziellere Funktionentypen. Aufgaben
§ 95.
Dirichletsche Reihen.
§ 96.
Fakultätenreihen.
§ 93.
186—188
Anhang.
„
Satz von Jensen.
Aufgabe 189
Aufgaben 190—192
Weitere Übungsaufgaben. Aufgabe 193—210
Zusätze und Berichtigungen
272
275
278
281
284
286
ERSTER
TEIL.
THEORIE DER ZAHLENFOLGEN.
Nielsen, Lehrbuch
der vinendlichen Eeihen.
Kapitel
I.
Rationale Zahlen.
§
1.
Absoluter Betrag einer Potenz.
Die Menge der rationalen Zahlen
Zahlen, die
als
ist
endliche ganze Zahlen
der Inbegriff sämtlielier
oder als irreduzible Brüche,
deren Zähler und Nenner endliche ganze Zahlen sind, indem jedoch
der Nenner „Null" ausgeschlossen bleibt, dargestellt werden können.
In der elementaren Arithmetik wird gezeigt, wie
liche
von
Zahl
Additionen,
Subtraktionen,
eine end-
Multiplikationen
und
Sammlung rationaler Zahlen ausführt.
man dann die Sätze über Potenzen
Divisionen mit einer endlichen
Aus
man
diesen Rechnenoperationen leitet
mit ganzen Exponenten ab.
Unter Division wird der Begriff „unendlich groß" eingeführt,
nämlich durch Division durch „Null".
Unter Zuhilfenahme dieser elementaren Rechnenoperationen, die
ja
außer der Division durch Null, wieder zu rationalen
sämtlich,
man auch
Zahlen führen, entwickelt
(a -f
wo
If
=
ci"
+
a^-^l
C^)
die
Binomialformel
(")
a^'-W +•••
+
+
&",
a und h rational, n positiv ganz vorausgesetzt werden.
Wir haben nun
wie
zu zeigen,
man
•
aus diesen elementaren
Rechnenoperationen eine allgemeine Theorie der reellen Zahlenfolgen
Zu diesem Zwecke beginnen wir ganz
entwickeln kann.
natürlich
damit, einige Fundamentalbegriffe zu besprechen.
Der
negativ
al)Solute
Betrag
\
von a wird,
a
nachdem a
je
positiv oder
durch die Gleichung
ist,
a
(1)
I
I
=+a
verschieden
\a\ ist daher stets positiv, wenn a von
genommen wird, also, indem wir das Ungleichheitszeichen =)=
nutzen, wenn a =1=
ist.
Aus der Definition (1) findet man unmittelbar
definiert;
(2)
a
I
-f &
=
i
a
I
I
+
&
1
|5
|
a -f &
|
=
1
1
a
[
—
]
&
]
|,
an-
be-
4
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
nachdem
je
hat
man
und
a
daher
\\a\
(3)
-
\h\\<.'a^h ^\a\
\ah\
(4)
in der letzten
Betrachtet
-\-\b\.
man
Weiter findet
wo
haben oder nicht; allgemein
h dasselbe Zeichen
=
Formel
man
\a' -{h], \a"\
=
\a\",
(4) n eine willkürliche
ganze Zahl bedeutet.
verschiedene Potenzen mit ganzzahligen Expo-
nenten derselben rationalen Zahl
bestimmt
a, so
man
unmittelbar das
Zeichen jeder einzelnen dieser Potenzen; wegen (4) hat man demnach
nur denjenigen Fall zu untersuchen, in welchem a positiv voraus-
Man
gesetzt wird.
hat dann bekanntlich für ganze nicht negative n
a" + ^^a",
(5)
je
nachdem a
^1
vorausgesetzt wird.
Unter Zuhilfenahme der Binomialformel findet man aber weitere
Auskünfte über die Ungleichung (5) mit wachsendem Werte von w;
1 die Potenz rechter Hand in
entwickelt man in der Tat für a
>
der Identität
a"
=
(1
+
(a
—
1))"
nach der Binomialformel, und nimmt man nur die zwei ersten der
(n -\- 1) positiven Glieder dieses Ausdruckes mit, so erhält man
a"
(6)
Bezeichnet nun
E
eine vorgegebene willkürlich
man wegen
Zahl, so hat
> 1 + n {a - 1).
a"
(7)
wenn nur w
(a
— 1) >
positive
JE"
> E,
d. h.
ist,
wenn
«>f£-i, «>1
(8)
angenommen
Setzt
findet
man
wird.
man
in
für a
<
(7)
und
(8)
1
:
a
anstatt
a und
e
=
1
:
E,
£
also
eine vorgegebene,
willkürlich kleine positive Grröße be-
zeichnet.
1.
so
1
a"<e,n>^^-^,
(9)
wo
gi*oße
(6) sicher
Bedeuten x und n positive ganze Zahlen, so hat
Gr <
wenn
ic
>-
-
angenommen
^^"''
wird.
man
sicher
Kapitel
§
Rationale Zahlen.
I.
5
§ 2.
Rationale Zahlenfolgen.
2.
Die unendliche Sammlung rationaler Zahlen
? ^«7
«0, «1, «27 ^3;
(1)
bilden eine rationale Zahlenfolge,
Mittel besitzen
wenn
um jede
ein, jedenfalls theoretisches,
einzelne dieser Zahlen,
z.
B. a^ zu bestimmen^),
n aufgegeben wird.
ihr Stellenzeiger
Beispiel
wenn wir
•
Die Zahlen
1.
1
(9\
^"^
^
^
?
2' 3' 4'
«
'
+ 1'
mau
bilden eine Zahlenfolge, in der
unmittelbar jede einzelne Zahl
angeben kann, wenn nur der entsprechende Stellenzeiger aufgegeben
wird.
So einfach
sich
ist
man
daß
sukzessive bestimmen kann,
Zahlen gefunden
Beispiel 2.
nachdem man sämtliche vorhergehende
Die irreduzihlen Brüche, die durch die Ausdrücke
A' 1' 1: ...
pi7 p-2) p'ij
ganze
positive
Zahlen einer Zahlenfolge nur
die
hat.
(3)
V /
für
man muß
Sache aber im allgemeinen nicht;
die
vielmehr denken,
+ 1)^
pt
werden können,
gebildet
p
(^-p
)
auch eine
bilden
Zahlenfolge; hier sind wir aber nicht imstande die Zahl
wenn der
zu bestimmen,
wenn
der Tat nur dann möglich,
Folge gefunden worden
Beispiel
3.
Die Sammlung
Zahlen so in Gruppen
+ j):g
alle
dies
aller
möglichen rationalen Zahlen
~6'
23
5'
die
34
~"5' 4^
~4'
1_13_57_7
7'5'
3'1'
7'
i^
Summe
3'
P
45
~3'
leisten:
Existiert eine
solche
es
möglich
1)
ist
Diese
z.
B.
2'
J)
z.
+
(Z
denselben
Wert
hat.
B.
56 ^ *^i_7
P '^ ^
T'
~2'
*
l'->
1-
,_q
— ^^
muß immer
einer der folgenden
ganz bestimmte rationale Zahl o, daß
für eine vorgegebene, willkürlich kleine positive
Definition
diese
-r Q
Die allgemeine Zahlenfolge (1)
Bedingungen Genüge
1.
wenn man
man,
findet
daß jede einzelne Gruppe diejenigen Zahlen
teilt,
enthält, für welche
12
1
direld
vorhergehenden Zahlen unserer
Die Zahlen einer solchen Gruppe lauten
6'
a^^
dies ist in
sind.
eine Zahlenfolge;
bildet
n angegeben wird;
Stellenzeiger
involviert
also,
daß die
sämtlich endlich und bestimmt sein müssen.
ein
für jedes
Größe
s
angebbare n
Theorie der Zahlenfolgen,
Erster Teil.
6
N zu
eine positive ganze Zahl
a„
(4)
ist;
bestimmen, daß für
-
I
I
dann heißt
folge (1),
rationale
diese
und man
<
«
Zahl
lim a„
?l
=
=
«;
OD
wert
man
diesem Falle nennt
Beispiel 4.
immer
der Grenzwert der Zahlen-
co
diese Gleichung sagt also dasselbe aus wie die
dem Grenzwerte
>N
setzt
(5)
In
ti
£
Ungleichung
(4).
die Zahlenfolge (1) lonvergent mit
co.
Die Zahlenfolge (2)
konvergent und hat den Grenz-
ist
1.
Beispiel
5.
man
Setzt
a\
a",
wegen §
1,
(9)
—1<a<1
a",
a^,
•
voraus, so
a",
-,
ist die
•
man
konvergent mit dem Grenzwerte 0;
lim (a«)
= 00
(6)
= 0,
Zahlenfolge
hat also
|ai<l.
?J
Beispiel 6.
Ist
|
(7)
= a^aq +
s„
g
|
<1
,
und
für positive ganze
«
n
n
^
=
h aq"~^
aif ^
man
setzt
n
^
yE^ =l<* Y^'
"
•
so ist die Zahlenfolge
^1) ^2> ^3i
yy)
'
'
konvergent mit dem Grenzwerte a
lim
(9)
denn man hat
in der
s^
'
:
7
^nJ
(1
'
'
— q),
Tat
'.
!
1
(9) ist somit eine unmittelbare
Wie
2.
ist es
groß
die
positive Zahl
1
/»
I
.
n «
1^1'
Folge der Ungleichung § 1, (9).
auch angenommen wird, so
E
doch möglich, eine solche positive ganze Zahl
daß für
n^ N
N anzugeben,
immer
\aJ>E
(10)
ist;
also
a
= 1^'
<r — — —
=
und
'
'
in
diesem Falle heißt die Zahlenfolge (1) divergent.
Haben
die
Zahlen a„ von einem gewissen n an sämtlich dasselbe Vorzeichen,
so heißt die Folge eigenÜich,
Im
(11)
sonst uneigentlich divergent.
Falle der eigentlichen Divergenz setzt
lim a^
=
-\-
oo bzw. lim a„
=—
man auch
oo
.
hier
I.
Rationale Zahlen.
>1,
also entweder
Kapitel
Beispiel
ist die
Ist
7.
|a
§ 2.
a>
7
oder
1
a< — 1,
so
Zahlenfolge
a'^,
a^,
a^,
a'-^,
•
•
, a",
•
•
•
und zwar eigentlich divergent für positive a, uneigentlich
divergent,
für negative.
Beispiel
3.
Die Zahlenfolge (8) ist für
man nämlich offenbar
8.
=1
gent; für q
g'
|
|
hat
Die Zahl
a^^
>1
=
s^
a
oder q
=1
diver-
n.
•
wird für unbegrenzt wachsende n ganz und gar
unbestimmt-, die Zahlenfolge [1) heißt in diesem Falle ossillierend.
Wenn
B
dann möglich
es
A
zwei solche endliche Zahlen
ist,
A^ a^^B
anzugeben, daß für jedes n immer
daß die Zahlenfolge (1) zwischen endlichen Grenzen
nicht die beiden endlichen Zahlen
A
B
und
Wenn
oszilliert.
so oszilliert
existieren,
+ oo.
= — 1)", so
und
man,
so sagt
ist,
unsere Folge zwischen den Grenzen
Beispiel 9.
«2 + « = — 1;
Setzt
man
Die Zahlenfolge (8)
Beispiel 10.
man
q = — 1
^ 1-
-\-
1,
zwischen
oszilliert für
= 0,
hat Sg«
Die Zahlenfolge (2)
Beispiel 11.
S2re
oszilliert
+i
zwischen den Grenzen
4.
Die aus sämtlichen rationalen Zahlen gebildete Folge
Beispiel 12.
oszilliert
4.
=
0^^^
diese Folge oszilliert daher zwischen endlichen Grenzen.
endlichen Grenzen; denn
und
immer
ist
(
ß^^
+
zwischen den Grenzen
Wenn
oo.
keiner der drei vorhergehenden Fälle eintritt, und daß
möglich
dies wirklich
zeigen wir im nächsten Paragraphen, so
ist,
gibt der Begriff der rationalen Zahlen kein Mittel,
um
unsere Zahlen-
folge weiter zu behandeln.
2.
man
Setzt
^n
= 1 + 21,1.
+i+
so hat
3.
man
+
1
,
•
•
sicher für n
•
^.
5^^
=1+
2
+
4
+
8 -F
^ 100 sowohl 2 — s„ < t^
Unter Zuhilfenahme der Binom ialformel
soll
•
als
man
•
•
s',,
die
);!-l
2^
>
.
lO^'^.
beiden
Grenzwerte
lim
n = 00
herleiten,
—
= oo,
]
a
I
I
I
I
I
indem
> 1;
lim (&« wP)
•
7J
j)
eine
= 0,
= 00
willkürliche
endliche
&
I
I
<1
positive
ganze
Zahl bedeutet.
4.
Wenn
eine
geometrische und eine
dieselben zwei ersten Glieder a^
und
a^
arithmetische
Reihe beide
haben, indem a^'^ a^y-
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
8
so ist jedes folgende Glied der geometrischen Reihe größer als
ist,
das entsprechende Grlied der arithmetischen.
Unendliche Dezimalbrüelie.
3.
§
Hein periodische Dezimalbrüche.
1.
(JacobBernouUi.)^)
Jeder rein periodische Dezi-
malbruch, der die Einheit nicht übersteigt, kann immer folgender-
maßen geschrieben werden
-=^ +
(1)
WO
a
eine
+
j„-.,7
^>7;
ganze Zahl kleiner
positive
,
+
10" bezeichnet;
als
dieser
Dezimalbruch ist demnach eine geometrische Reihe mit dem Anfangsgliede a 10 ~" und dem Quotienten 10~"; man hat daher wegen
•
§ 2, (9)
= —^—.
10"
(2)
^
-1
^
Ist
A
nun
10*^
:
derjenige endliche Dezimalbruch, der mit den
q ersten Ziffern in (1)
^
<.
([
n {p
03
Es
Bruche
-\-
2) voraus, so hat
-A<
«_
demnach
.
.
<
^
.
10"(P+2)
möfflich,
mit zu nehmen,
man n
{p
-\-
1)
man
^_ 4-
I
10'^^ 10"(^ + ^^
ist
(1)
geschrieben wird, und setzt
so
der
_^y
Dezimalstellen
viele
daß
«
^^^np ^^^n
dadurch
aus
gebildete
dem
endliche
Dezimalbruch der rationalen Zahl w beliebig nahe kommt.
Ist nicht gleichzeitig
03
immer
1
2.
=
= 1 so ist die rationale Zahl
9, w = 1 hat man aber
9 und w
=
ein echter Bruch; für a
(3)
= 0, 9999
,
....
Hat a
Geniischt periodische Dezimalbrüche.
tung wie in
(1),
und
ist
dieselbe Bedeu-
b eine solche ganze Zahl, daß
< & < 10^
kann jeder gemischt periodische Dezimalbruch, der die Einnicht übersteigt, immer folgendermaßen geschrieben werden
so
ist,
heit
und man
findet also
(5)^
CD,
^
^
in
a
dem
Spezialfälle
«
=
9,
=
'
10^(10"-1)
n
=-=
1
Dezimalbruch
(b)
05,
1)
Opera Bd.
I,
p.
=—
380; Genf 1744.
ergibt
—
;
'
sich
daher der endliche
Kapitel
Rationale Zahlen.
I.
9
§ 3.
In der elementaren Arithmetik wird bewiesen, daß jede positive
rationale
Zahl
einen Dezimalbrnch,
in
entweder
der
endlich
oder
Unter Zuhilfenahme
periodisch sein muß, verwandelt werden kann.
der beiden Formeln (3) und (6) kann jeder endliche Dezimalbruch,
darunter eine ganze Zahl mitgerechnet, als ein unendlicher periodischer Dezimalbruch mit der Periode 9 dargestellt werden.
dem
zwei Dezimalbrüche dann und nur dann denselben
Da
außer-
Wert haben
können, wenn ihre Ziffern mit demselben Stellenzeiger gleich
so hat
man den
worden
I.
Satz, der schon
sind,
im Prinzipe von Wallis^) angegeben
ist:
Jeder periodische Dezimalhnich
stellt
ganz bestimmte
eine
ratio-
umgehehrt kann jede positive rationale Zahl in ein-
nale Zahl dar;
deutiger Weise in einen unendlichen periodischen Dezimalbruch, dessen
Periode nicht gleich Null
verwandelt werden.
ist,
Wir
Nicht-periodische Dezimalbrüche.
3.
betrachten
nunmehr den
Dezimalbruch
VM
IQ
-r
JQ2
-r jQS ^
?
über welchen wir voraussetzen, daß er nicht-periodisch
^^
10
10"
dann
ist
"^ 10- "^
'
sicher für jeden positiven ganzen
10" "= 10"+-P
Bedeutet demnach
tive Größe, so ist es
bestimmen, daß für
s
10«
setzen wir
'
Wert von
j)
10"
eine vorgegebene,
willkürlich
kleine posi-
möglich eine solche positive ganze Zahl
n^N
N
zu
immer
^^ -~<s
(9)
V ^
lO^ + P
wird,
indem
p
ojg
10«
eine willkürliche positive ganze Zahl bedeutet.
Andererseits
Zahl
"^
'
ist;
ist
es
aber
zu bestimmen, daß für
^
nicht
möglich
eine
solche rationale
n^N immer
10™;
wird; denn bei demjenigen für a^ erhaltenen periodischen Dezimalbruch
und dem nicht-periodischen Dezimalbruch
(7) ist mindestens eine Ziffer
mit einem angebbaren Stellenzeiger verschieden,
1)
De algebra
tractatus,
Kap. 80; 1693.
und der absolute
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
10
Betrag der Differenz dieser beiden Dezimalbrüche kann daher nicht
unter jede Grenze hinabsinken.
(9)
Der Dezimalbruch (7) ist demnach, der beiden Ungleichungen
und (10) wegen, ein Beispiel zum Falle 4 des vorhergehenden
Paragraphen.
Wir haben
aber nun zu zeigen, wie es möglich
folgen dieser
Aus einem
5.
ist
den Zahlen-
Weise zu verallgemeinern, daß wir auch ZahlenNatur beherrschen können.
solcher
begriff in
periodischen
Dezimalbruch
mit n Ziffern
in
der
Periode werden diejenigen Ziffern, deren Stellenzeiger eine Diffe-
p
renzenreihe mit der Differenz
daß
beweisen,
der
aus
diesen
Man
soll
Ordnung
periodischer wird und die
Ziffern
Dezimalbruch wieder ein
gebildete
ausgenommen.
bilden,
derselben
in
Ziffernzahl seiner Periode bestimmen.
Es
6.
zu beweisen, daß die
ist
Summe und Differenz zweier
p Ziffern in der
scher Dezimalbrüche mit bzw. n und
wieder
wenn
periodischer Dezimalbruch dargestellt werden kann,
als
und daß
M
periodi-
Periode
seine
Periode höchstens
kleinstes
M
Ziffern
enthalten
kann,
gemeinsames Vielfaches für n und jj bezeichnet.
Kapitel
II.
Theorie der Irrationalzalileu.
§ 4.
Um
Annälierungsreihen und Grenzzahlen.
den Zahlenbegriff zu erweitern betrachten wir nunmehr zwei
unendliche Folgen rationaler Zahlen
\,\,lu_,..., \,.
{H)
i^X
nach einem vorgegebeneu Gesetze zu bilden sind, und
hf h}
die
..
^2^
•
•
•;
hi>
•
•
•
die
den
folgenden Bedingungen Genüge leisten sollen:
1.
Für
2.
Bezeichnet
jedes
n hat man
s
eine
wülkürUch
Ideine, vorgegebene imsitive
so ist es möglich eine solclie positive ganze
für
n'^N
(3)
ivird.
immer
K -h<^
Zahl
N zu
Größe,
bestimmen, daß
K
Kapitel
Beispiel
Theorie der Irrationalzahlen.
II.
Aus einem
1.
0, 1, 2, 3,
.
.
während man
11
§ 4.
Dezimalbruch kann man
unendliclien
endlichen Dezimalbrüchen,
eine Zahlenfolge (L) aus denjenigen
mit
«
entsprechende Folge {H)
eine
durch Erhöhung
einer Einheit der letzten Ziffer der entsprechenden Zahl
man
Hier hat
kann.
daher
brüche
a^ ganz
y-ir
a,^
für
w
^1
positive ganze Zahlen^
so bilden die Annäherungs-
und nicht negativ ist,
mit ungeraden Stellenzeiger des Kettenbruchs
+ i'-^ir + i
''^
/n
(4)
+
I
^~^
a,
+
-^
a,
H
«3
y
+
•
•
eine Zahlenfolge {H), die entsprechenden tf2r'^-2r
Folge (X); hier
Über
I.
mit
erhalten
—7 =J^
Bezeichnen die
Beispiel 2.
l
stets
7
während
die
Ziffern des vorgelegten geschrieben werden, bilden,
.
eine dazu gehörige
daher immer
ist
die allgemeinen Zahlenfolgen (1) gelten die folgenden Sätze:
Bezeichnen n und
p ganz
ivillkürliche Stellenzeiger, so hat 7nan
immer
(5)
man
Ist
nämlich n <Cp, so hat
II.
Wird n
Es
daß
so hestimmt,
für jedes positive ganze
K > hman \ ^ h^ >
die
l^]
Bedingung
für n
';>
p
(3) erfüllt
ist
ist,
aber
so hat
p
nämlich
ist
K - K+p < K - L+p £
- 1<
und
K+p
womit
die vier
III.
so
Es
daß für
-h< K+p -h£K-L<^,
Ungleichungen
(6) sämtlich
bewiesen
existieren nicht zwei verschiedene rationale
jedes
befriedigt sind.
n
die beiden
Bedingungen
sind.
Zahlen a und
a^,
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
12
Wäre
dies nämlicli der Fall, so hätte
was wegen
n
ist.
daß
n
K>.^^L
(8)
ist,
für jedes
aber nun wirklich eine solche rationale Zahl a,
Existiert
für jedes
unmöglich
(3)
man
so ist a der
denn wegen
gemeinsame Grenzwert der beiden Zahlenfolgen
und (8) erhält mau für n >
immer
l^-a<a;
h,^-a<£,
demnach
es ist
a
(9)
= lim h^ = lim
71
Beispiel
= Cd
n
=
l^.
00
Diejenigen nach der im Beispiel 1 gegebenen Regel
3.
gebildeten Zahlenfolgen definieren
wenn
(1);
N
(3)
immer
der Dezimalbruch ein periodischer
positive rationale Zahl
wegen
rationale
eine
Grenzzahl,
Umgekehrt kann jede
ist.
§ 3, I durch dies Verfahren als Grenz-
zahl dargestellt werden.
Existiert aber keine solche rationale Zahl a, daß für jedes
Bedingungen
erfüllt
(8)
eine irrationale Grenzzahl
(10)
/*„
co
>«>?„,
Unendliche
Beispiel 4.
n die
man, daß die Zahlenfolgen (1)
definieren, und wir setzen auch hier
sind, so sagt
03
= lim h^ = lim
H—X
?i
nicht-periodische
unendliche Kettenbrüche von der
Form
=
l^.
CO
Dezimalbrüche
(4) definieren
immer
und
irratio-
nale Grenzzahlen.
In den beiden obengenannten einzig möglichen Fällen sind die
Zahlen
/i,^
und
l^
demnach obere und untere Annäherungswerte
der-
jenigen durch die Zahlenfolgen (1) definierten Grenzzahlen, und diese
Annäherungswerte geben mit wachsendem Stellenzeiger
mit größerer und größerer Genauigkeit
Die Zahlenfolgen
(1)
die Grenzzahl
an.
werden daher Annälierungsreihen für ihre
Grenzzahl genannt.
Beispiel
5.
Die gewöhnliche elementare Methode zum Quadrat-
wurzelausziehen mit einer vorgegebenen Zahl von Dezimalstellen gibt
Wurzel der Gleichung
ist.
Nach der
im Beispiel 1 angegebenen Regel bilden wir dann auch die obere Annäherungsreihe, und aus unserer obenstehenden Definition der irrationalen Grenzzahl folgt dann, daß die Gleichuns: x^ = a eine und nur
eine untere Annäherungsreihe für die positive
«- '= a,
wo a
positiv, rational aber nicht quadratisch
Kapitel
Wurzel
positive
eine
Theorie der Irrationalzahleu.
II.
wenn a
hat,
und
positiv
13
§ 5.
voraus-
rational
gesetzt wird.
Nach
Formeln
diesen Erläuterungen bemerken wir hier noch,
und
(1)
^^^^ willkür%j 1v Q.2
In
Folgen immer wachsender positiver ganzer Zahlen, und werden
IV. Bezeichnen Pq, 2\, P2
liche
daß die
(6) unmittelbar den folgenden Satz liefern:
•
•
•
Pn
•
-^
•
•
•
aus (1) die heiden Zahlenfolgen
^
1/77
^
'70'
'
auserwählt,
Grenzzahl
7.
n
für
•
•
2-'i-?>''
= ^.(1^4-2^ +
7„
man
und
ihre
definierte.
positiv ganz
= l,-{V +
h„
so soll
•
X'
wie die durch die BeiJien (1)
dieselbe
man
Setzt
7
•'
•
•
sind diese Folgen auch Annäherungsreihen
so
ist
S.'
'Vi'
+
----rn')
+
---+(n-l)^);
3^
beweisen, daß die dadurch definierten Zahlenfolgen
Annäherungsreihen sind und die entsprechende Grenzzahl bestimmen.
§
Gleichheit
5.
Wir
die
betrachten
und Ungleichheit zweier Grenzzahlen.
nunmehr zwei Grenzzahlen a und
a', die
durch
Annäherungsreihen
und
m,h[,K,...,K,...
/2\
^07
definiert
werden; es
^17
^2'
•
•
•?
'''n
•
muß dann immer
(H')
{-^
•
)
einer der folgenden drei Fälle
eintreffen:
1.
positive
als
co',
2.
Es
ist,
für ein gewisses n,
handen
>
h'n]
dann
auch, für jedes
ist
ganze ^, h„ + p';> hn + p] « heißt in diesem Falle größer
setzt wie bei rationalen Zahlen
cj'.
und man
et»
In ähnlicher Weise
einem gewissen n an hn <C K
3.
In
Wenn
ist,
hat
keine der
man
nennt
ist;
man
oj
hier setzt
Meiner
mau o
>
als
<
co',
wenn von
co'.
beiden vorhergehenden Möglichkeiten vor-
also, für jedes n, hn
^
In
und
h'n
^
In-
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
14
— =
— K == d', so ergibt die Identität
(K + [K - K) = (K - + (K - K) = d +
—
und
keine der Differenzen (JC —
negativ sein kann
K-K<d +
K-l^£ö + d'man nun
Setzt
l^
/*^
Ö,
h'n
In)
weil
d',
In)
In)
(Jin
l'n)
d',
(3)
weiter hat
man wegen
§
1, (3)
— K\^ Qln — In) +
i^«
\ln— K\<: Qln —
+
—
—
{h'n
In)
(Jh,
li)
l'n),
woraus wegen (3)
hn-hn\<2ö +
(4)
hervorgeht; die beiden Differenzen
dem Grenzwerte Null
/a„
—
wenn n über
zu,
+ 2d'
— streben
n,,-i:\^d
d',
In ganz derselben Weise sieht
h'n
und
daher
/',
In
jede Grenze hinauswächst.
man
wenn
daß,
ein,
eine der vier
Differenzen
'«j
i^n
gegen Null konvergiert,
l^nj
"71
^nj
l^ii
'«
'n
n über jede Grenze hinauswächst,
falls
die
drei anderen dieselbe Eigenschaft besitzen.
Die beiden Grenzzahlen
man
groß genannt, und
Aus
man
und
co
setzt
a'
werden
in
=
co'.
auch hier o
diesem Falle gleich
der Definition der Ungleichheit zweier Grenzzahlen erhält
unmittelbar den Satz:
I.
Sind
C3,
03
und
'
a'^ co',
Wird nämlich
09'
gleichseitig
co"
>
co"
co',
tvillkürliclie
so
ist
Grenszahlen
auch a
und
man
hat
"^ co".
durch die Annäherungsreihen {H") und {L"),
CO und co' wie vorher durch (1) und (2) definiert, so hat man lu^h'n^lii
und
> h", woraus ?„ > h'n folgt, und demnach ist co > co".
Durch die Überlegungen im Falle 3° ergibt sich ebenfalls:
II. Sind CO, co' und a" drei willkürliche Grenszahlen,
und hat
l'n
=
man
0', co"
Beispiel
gestellt
1.
=
co",
so ist auch
co
=
co".
Die rationale Zahl a kann
werden, indem
man
h„
=
a
-\-
\0~",
B. als Grenzzahl dar-
z.
h
=
a
setzt:
durch Ver-
gleichung mit der durch (2) definierten Grenzzahl a' hat man daher
a
co', je nachdem von einem gewissen n an a
Ji^ oder a <ilj^ ist;
>
^
findet keine dieser Ungleichheiten statt, so hat
Beispiel
indem man
je
z.
2.
kann
Die Zahl
B. hn
= 2~",
Z,'
als
= — 2~"
nachdem von einem gewissen n an
keine dieser Ungleichungen
statt,
man
a
=
co'.
Grenzzahl dargestellt werden,
setzt;
l^^
so hat
man
>
man
findet daher
oder h^
co
= 0.
<
ist;
co
^ 0,
findet
Kapitel
Man nennt
w^O ist;
Es
Theorie der Irrationalzahlen.
II.
die Grenzzahl
oder negativ, je nachdem
positiv
co
Ungleichungen
findet keine dieser
15
§ 5.
so hat
statt,
man
03
= 0.
noch übrig den absoluten Betrag einer Grenzzahl
zu definieren; durch Anwendung der für rationale Zahlen eingeführten
Bezeichnung setzt man \co\ = (o, wenn die Grenzzahl co positiv oder
Null
bleibt uns
ist;
o
wii'd \co\
%)
kj
für negative
diejenige durch die
als
Annähe-
rungsreihen
/p-N
f
1-/^0,
definierte
—
Grenzzahl, Avenn
~ ky
—h^
/'i,
cd
'
'
—^f',„
•;
•
•
''
C?
'}
'
•
•
durch die Beihen (1) bestimmt wird,
definiert.
Da
unsere vorhergehenden Betrachtungen für sämtliclie Grenz-
zahlen, also auch speziell für die rationalen Zahlen, gelten, so liegt
auf der Hand, daß unsere Definitionen und Bezeichnungen in solcher
Weise gewählt worden
daß
sind,
direkte Erweiterungen der ent-
sie
sprechenden für rationale Zahlen gebrauchten, bilden.
Rechnen mit Grenzzahlen.
6.
§
Die für rationale Zahlen definierten Rechnenoperationen sind
in folgender Weise für
Es
seien
co
und
ivillkürliclie
Grenzzahlen zu erweitern:
a' zwei willkürliche, rationale oder irrationale
Grenzzahlen, die durch die Annäheruugsreihen
\, \,
«
/QN
\
i
i
f^'o?
^^1'
^^2,
7'
7'
7'
I
bestimmt werden;
CO
u
J
—
co'
dann sind
, h^,-
h.j,
'
i
•
•
Kl,
•,
•
•
7'
die
Summe a
-\-
a' und die Differenz
durch die Aunäherunscsreihen
,ON
+
h +
f^'O
/'O,
/<!
y
^0,
h
+ K, h +
h
+
l\,
-\-
Ih,
•
h,
•
•,
lln
•
,
In
+
+
ll'n,
'
'
l'n,
•
'
•
•
'
'
und
h, 'h
IIq
/iN
zu definieren.
Ist
co
-f
co'
h, «2
— h,
= 0,
setzt
-,
•
man
Ihi
—
tö'
Ifi,
•
=—
co;
die Zahl
wird daher durch die Annäherungsreihen
'*07
definiert,
'h>
"^hj
'
•}
'
und somit hat man wegen §
(6)
=—
(o
I
I
'^n,
5, (5) für
CO.
•
co
negativ
—
co
,
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
16
Um
a
das Produkt
und den Quotient
co'
•
voraus: dann sind
co
und
co'
•
co
:
Iq lOf
(
lh-^^> ^'i '^U h -U,
K-J'o, h-l^'u h-^>2,
.rss
^^
.
.,
•
-,
.
.
.
'2 '2,
'ij
'i
a' zu
:
definieren,
als positiv
co'
a' durch die Annäherungsreihen
ihK, h^h, hh^,
/r^s
03
« und
wir vorläufig die beiden Grenzzahlen
setzen
hjl'n,
.
.
.
hl,
•
•
•
hl
h„
.,
:7,:,
.
.
.
hi-.K, ...
...,
zu bestimmen.
Die Definitionen für Produkt und Quotient können nun ganz
in
derselben Weise wie bei rationalen Zahlen zu denjenigen Fällen
wo entweder
erweitert werden,
man
negativ sind;
eine oder zwei der Zahlen
ra
und w'
bildet in der Tat den vorhergehenden Definitionen
zufolge das Produkt oder den Quotient der absoluten Beträge
|
oj
j
und
und bestimmt
co'
j
gewöhnlicher Weise das Zeichen dieser
in
I
Zahlen.
Ist
aber
CO =1=
=
co'
man
hat
0, so
co
=
co'
:
oc.
Die so definierten Rechnenoperationen gelten für
auch für
also
Zahlen
rationalen
die
daß die vorhergehenden Definitionen
sind,
daß
alle
Grenzzahlen,
dann auf der Hand,
liegt
es
5
Weise gewählt worden
in solcher
direkte Erweiterungen der entsprechenden Definitionen
sie
für rationale Zahlen sind,
daß diese Rechnenoperationen, für
h.
d.
rationale Zahlen, mit den elementaren zusammenfallen.
Weiter sieht
man
ein,
daß sämtliche Eigenschaften der elemen-
taren Rechnenoperationen ungeändert für das Rechnen mit willkürlichen Grenzzahlen gelten, nämlich:
1.
Das
+
CO
(9)
2.
Das
Das
=
Cö'
+
CO
•
^') + w" = w + (w' +
[co-co)co=co{co-co)
to'
=
co'
=
co(co'+ co")
Prinzipe
co")
=
=
.
CO.
und Multiplikation:
CO
+
co'
+
co"
cococo.
Prinzip der Multiplikation:
distrihutive
(11)
Diese
W,
+
\
3.
03'
assoziative Prinsip der Addition
\{^
/1 f\\
Prinzip der Addition und Multiplikation:
lioninmtative
gelten ja
in
coco'-f coco".
der Tat für sämtliche Elemente
der definierenden Annäherungsreihen.
Weiter ergibt
o
(12)
wo
in
der letzten
Lösung von x
daß die Gleichungen
sich,
co
liefern,
-\-
X
=t=
wenn
'=
co'
,
CO
•
X
=
co'
angenommen wird,
co
und
co'
eine
und nur
aufgegeben sind.
Setzt
eine
man
Theorie der Irrationalzahlen.
Kapitel IL
=
speziell o'
Lösungen sind
nommen
mau
erhält
so
co,
bzw. x
dieselben, ob die Zahl
x=l,
und
und
diese
rational oder irrational ange-
wird.
a eine willkürliche
man auch hier
Grenzzahl, während n positiv ganz
Bedeutet
so setzt
ist,
co
=
17
§ 6.
(13)
=
co"
CO
(o
03
(n Faktoren);
•
sämtliche Sätze über Potenzen mit ganzen Exponenten, die für ratio-
Wurzeln bewiesen worden sind, gelten daher ungeändert, wenn
Wurzeln willkürliche Grenzzahlen sind.
Die Binomialformel für (« -\- h)", n positiv ganz, und die in
1
und 2 entwickelten Formeln für den absoluten Betrag, für die
§§
Potenz «" und für die geometrische Reihe
nale
die
a
gelten
aq
-{-
-{-
aq^
•
-\-
daher auch ungeändert, wenn die Zahlen a, h und q ganz
willkürliche Grenzzahlen sind.
Diese Bemerkungen erlauben uns einen sehr allgemeinen Grenz-
Funktionen zu beweisen.
satz über rationale
Eine ganze rationale Funktion von x oder ein ganzes Polynom
in
X
Ausdruck von der Form
ein
ist
a^x"
wo
+
a^x"-^+
a^x^'-p
die Koeffizienten a^ sämtlich
Funktion in
rationale
und
x^
\-
-\
+
a^_^x
von x unabhängig
ist
x^^
sind.
Eine ganze
Polynom
ganzes
ein
a^,
in
x.-,,
dessen Koeffizienten sämtlich ganze rationale Funktionen in x^ sind usw.
Eine ganze rationale Funktion
Polynom
1?
2?
S
x^, Xo, x^
in
•
•
x^,
•,
*
'?
*
71
1
wird eine
man dann
Mit dieser Definition hat
F{Xi,
Xr^,
X.2,
•
xj
-,
rationale Funktion, ^uährenä die
die für r
=
•
•
w durch
•,
man
definiert werden, so hat
(F{co„
CO,,
.
.
.,
.
.,
03j
coj
Nielsen, Lehrbuch
co„
co^
ic„
•
•
x^ ganz wül-
und
{L^''^)
•
-,
1^)
•,
Z);"),
cr>
C3,J
der unendlichen Reihen.
-,
.
= lim FiV^\ V^,
p =
daß F{co^,
•,
Grenzzalüen bezeichnen,
= UmFQi'r, 1^\
l
vorausgesetzt,
x^x^x^-
die Annalierungsreihen {BS''^)
p = «
CO,,
•
allgemein
(14)
F{co„
•
unmittelbar den Satz:
eine in
kürlicJie
1, 2, 3,
in x^,X2,Xg
Funktion dieser n Größen genannt.
gehrocJiene rationale
Ist
ein ganzes
ölXlU..
Der Quotient zweier ganzen rationalen Funktionen
I.
ist
Funktionen in
in x^, dessen Koeffizienten ganze rationale
den Divisor „Ntdl" nicht enthält.
8.
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
18
Es
zu beweisen, daß das Produkt
ist
i/i-]/i7yiyui/^+i/i--mit der Anzahl der Faktoren über jede Grenze hinauswächst;
dies
als
9.
Produkt ist durch einen ganz formalen Fehler von
Ausdruck für 2 n angegeben worden.
Vieta^)
:
man
Benutzt
den Kettenbruch § 4, (4) eingeführten
für
die
Bezeichnungen, und setzt man, für jedes
die beiden
w,
a„=
hat
1, so
man
Formeln
Vn-^n^l,
= :^,-((^^
?/.
=
ZU beweisen und dadurch für n
^
-('"^)
"^
)
oc den Grenzwert von
y,,
:
z^
zu ermitteln.
Für den durch
10.
man
hat
= 0,
a^
die beiden
Vn
und
beweisen
zu
a^
=
2 für n
^1
gebildeten Kettenbruch
Formeln
yn=~^-{{i+V2r-(i-yY}^)
für n =
den Grenzwert von
c3ü
y^^
:
^„
zu
bestimmen.
§
Sätze über Grenzzahlen.
7.
Als Anwendungen unserer Definitionen der elementaren Rechnenoperationen mit Irrationalzahlen haben wir nunmehr über willkür-
Grenzzahlen
liche
Reihe
eine
von Sätzen zu entwickeln,
die
für
unsere folgenden Untersuchungen unentbehrlich sind.
Eine
I.
hann in einen unendlichen
gewissen Stelle an nicht sämtlich
willkürliche positive Grenzzahl
Dezimalbruch, dessen Ziffern von einer
Null
sind, entwiclcelt ivcrden.
die
Ist
durch die Annäherungsreihen
1)
"0
/-|\
^ -^
7;
7
"l
1
definierte
1
>
7>
"2
1
.
.
.
7
7
....
Ä
"n?
...
1
...
.
Grenzzahl a rational, so folgt d^- Satz unmittelbar aus
den in § 3 gegebenen Entwickhingen. Ist aber co irrational, so werden
die rationalen Zahlen h,^ und /^ in Dezimalbrüche der obengenannten
Art entwickelt;
Ziffern
die
so
sind,
1)
ist
für
es
ist
die
dann ö„ derjenige endliche Dezimalbruch, dessen
Dezimalbrüche h^ und l^ gemeinsamen Ziffern
möglich,
eine
solche
positive
Ojaera matheraatica, p. 400; Leiden 1640.
ganze
Zahl
N
zu
Kapitel
n^ N
bestimmen, daß ö^ für
hat
Theorie der IrrationalzaMen.
II.
19
§ 7.
beliebig viele Ziffern enthält.
Weiter
man
wenn j?
Dezimalen
die Zahl der
in d^ bezeichnet; es ist
—
+
<^„<to<^„
limd„=fD.
^
=
71
man
Diesen Satz verdankt
Eine
II.
03
=
Grenzzahl
a kann
in einen unend-
Form
1
a
(2)
1-
,
«2
H
+r
«s
ivo ÜQ
00
Stolz^).
ivillJcürliche irrationale
lichen KeüenbrucJi von der
demnach auch
ganz, a„ aber für n
^1
positiv
ganz
ist,
entwickelt werden.
Die Zahl a^ wird durch die Ungleichungen
<
«0
bestimmt; setzt
so wird
1
man demnach
wegen
x-^
< «0 +
C5
C
11
durch die Annäherungsreihen
(1)
1
'
^m
^n-"o'
^„
m
wählen
^0
'^
+1
^m + p
*^'o
(3)
definiert,
indem
so zu
,
1
-<
Kn + p-(i.<'
daß ?^
ist,
> a^
Die positive
wird.
ganze Zahl a^ wird dann durch die Ungleichungen
«1
< ^1 < «1 +
1
bestimmt usw. Aus den Sätzen über endliche Ivettenbrüche in Verbindung mit den Bemerkungen in § 4, Beispiel 2 geht dann deutlich
hervor, daß
man
wirklich durch das obige Verfahren die Gleichung
(2) erhält.
III.
jedoch
so,
Bezeichnen
daß w
=t=
co
und a zwei
"^st,
so
wilTkürliche endliche Grenzzahlen,
kann man
verschiedene rationale Zahl k bestimmen,
kco —
(4)
co'
I
wird, indem
1)
a eine
I
<
eine solche endliche von Null
daß
£
vorgegebene tvillkürlich kleine positive Größe bezeichnet.
Allgemeine Arithmetik Bd.
I,
p.
119; Leipzig 1883.
2^
N
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
20
durch (1) bestimmte Grenzzabl, während a' durch die
A miäherungs reih en
Ist
C3
die
/-
^'0
(
^^^
h[
,
\r
definiert wird,
so
mit der Zahl
=
li
,
14
•
,
•
•
...
v
multipliziert
man
die
li'j
:
•
?„,
•
•
...
^«„>ö>?^
Ungleichungen
dann erhält man,
nachdem
je
k^O
ist
^
In
woraus
/^^
,
K
r
folgt:
(6)
h'i
— w' + -^—-
•
^ 7r« —
li'q
üL>'
^
—
li[
cj';
alle endliche Werte der beiden
n und q richtig bleiben, ist unser Satz damit bewiesen.
IV. Sind CO und co zivei iviUMrliche endliche Grenszahlen, so daß
da nun die Ungleichungen (6) für
Stellenzeiger
CO
irrational
ist,
eine solche positive ganze
so ist es möglich,
K
Zahl
zu hestimmen, daß
Kco
(7)
—
co'
— p\<e
I
wird, indem
eine passende ganze
p
Größe
wiWiiirlich Ideine positive
Wir
vorläufig
setzen
co
Zahl
ivährend
ist,
s
eine vorgegebene
bezeichnet.
positiv
voraus
und bezeichnen durch
A^ 5„ einen Annäherungsbruch desjenigen Kettenbruchs ^on der
Form (2), welcher co darstellt; dann sind A^ und B^^ beide positiv
:
und
ganz,
es ist für jedes
(8)
n
r-5-j<5|5
da es nun möglich
so erhält
man
n
ist
so
groß zu wählen, daß
\B^co-AJ<
(9)
—
co,
1
wird,
während A^ und 5„
Bedeutung wie vorher haben, so erhält man aus
-coB^
I
es ist
£>
8.
Betrachten wir nun die negative Grenzzahl
dieselbe
i?„-
aus (8) durch Multiplikation mit B^\
+
(9)
A^ |<£;
demnach immer möglich zwei solche ganze Zahlen A^ und
von welchen
die letzte positiv
ist,
wenn nur co eine endliche irrationale Zahl
Betrachten wir nunmehr für ein bestimmtes n diejenige
(9) richtig bleibt,
metische Reihe, deren
Glieder durch die Ausdrücke qB^co
q willkürlich ganz, bestimmt sind, so
n
und andererseits
für jedes endliche
gesetzt wird,
ist
co
ist.
arith-
— qA^,
die Differenz dieser
von Null verschieden, weil
ist
B^^,
zu bestimmen, daß die Ungleichung
Reihe
irrational voraus-
der absolute Betrag dieser Differenz
Kapitel
Theorie der Irrationalzahlen.
IT.
(9)
dieser
arithmetischen Reihe
kleiner
als
muß
Weiter
wegen
e.
§
21
7.
entweder ein Glied in
a'
oder zwischen zwei solche
darstellen
Glieder fallen.
Hat man «'= qB^a — qA^, und setzt man qB^= K, qÄ^ = p,
so erhält man Kc3 — co' — 2^ = ^5 ^^^ andererseits to' zwischen demselben betrachteten Glied und dem nächstfolgenden gelegen, so ist
K(d —
mit denselben Bezeichnungen
\<C£, nnd damit ist
a—p
j
unser Satz bewiesen.
Aus
I.
erhält
man
endlich den fundamentalen Satz:
V. Sind
{i-^J
,
,
)
COq,
(
,
Wg,
03^,
•
•
,
•
lx),j ,
zwei Folgen willkürlicher Grenzzahlen, die den folgenden Bedingungen
(11)
^ ^>n
f'3„>
Oi'n
«,^
so
solche positive
ganze
N
N zu
(12)
ivird,
<+i
«.,;
n genügen, ivährend es möglich ist eine
immer
bestimmen, daß für n ^
für jedes
Zahl
<
«n + i
existiert
— (o^<s
ganz hestimmte Grenzzahl a"
eine
,
die
den Be-
dingungen
co^
(13)
^ 0)"^
co„'
n genügt.
Wir können uns offenbar auf denjenigen Fall beschränken, wo
die Zahlen ct)„ und o^' sämtlich positiv und als Dezimalbrüche dargestellt sind; bezeichnet dann h^^ den endlichen Dezimalbruch, der
aus den für g3„n und gj„n + 1 gemeinsamen
ersten Ziffern von der nächsten
o
Ziffer in C3„ nachorefolgt gebildet wird, während L als der endliche
Dezimalbruch, der aus den für co,' und cö,]_^j gemeinsamen ersten
Ziffern von der nächsten Ziffer in «^^^ nachgefolgt definiert wird, so
hat man die Ungleichungen
für jedes
.
,
«„
> h^ >«„ +
!,
«« +
1>X>
^'a,
^n
> K> L>
^n-
Die durch die Annäherungsreihen
h^,
//,,
7^2,
.
.
•,
h^,
'
^Of
definierte Grenzzahl co"
Dieser
Satz
zeigt
'2
''nf
n
genügt dann für jedes n den Bedingungen
}
>
deutlich,
'
'
'
}
daß
'
'
man wohl
die
Theorie
Annäherungsreihen mit rationalen Elementen auf solche mit
der
irratio-
22
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
nalen Elementen ausdehnen kann, daß
man
aber dadurch den Zahlen-
besriff nicht erweitern kann.
11.
Es
solche positive ganze Zahl
eine
ist
wird, indem
die positiven
a^=+y2, a^ = y2 + ay
man
hat
bestimmen, daß
eine passende ganze Zahl bezeichnet.
j?
man
12. Definiert
K zu
Zahlen
o^i
«2 ^3
'
'
"
*«
'
"
> so
und allgemein ö„=y2 + a^_j ist,
n gültigen Ungleichungen
daß
so
die für jedes endliche
zu beweisen.
man
13. Setzt
mit den Bezeichnungen in Aufgabe 12 für jedes n
^"''^^-^
co'
SO
ist
zu beweisen,
den Bedingungen §
§ 8.
= 2^y2
daß die dadurch definierten Zahlenfolgen
7,
(11)
und
(12),
Genüge
leisten.
Allgemeine Bemerkungen.
Weitergehende Untersuchungen über Grenzzahlen führen ganz
Lösung der
natürlich zur
Man
1.
soll
die
folgrenden zwei Aufgaben:
Existenz einer Grenzzahl,
die
gewissen Be-
dingungen genügt, durch Herleituug von Annäherungsreihen,
die
diese Zahl definieren, beweisen.
Man
2.
soll
einer durch Aunäherungsreihen
die Eigenschaften
definierten Grenzzahl bestimmen.
In unseren folgenden Untersuchungen haben wir mehrmals die
erste
ist aber im allgemeinen viel
Hand, wenn wir nur bemerken, daß
Grenzzahl durch unzählige Paare von Annäherungsreihen
werden kann, während ein vorgegebenes Paar von solchen
Aufgabe zu lösen;
schwiericrer:
dieselbe
definiert
die
zweite
dies liegt auf der
Reihen eine ganz bestimmte Grenzzahl
Wie
wir in § 9 sehen werden,
tionalzahl als
ist
ein Spezialfall derjenigen
definiert.
unsere Definition einer Irra-
von G. Cantor^) gegebenen
anzusehen.
1)
Mathematische Annalen Bd.
Math. Bd.
74, p. 174
male, Paris 1872.
f.
1872.
Ch.
5,
p.
Meray
in
128;
1872.
Nouveau
Heine im Journal für
precis d'analyse infinitesi-
Kapitel
III.
Theorie der reellen Zahlenfolgen.
Weg
DedeJcind^) hat einen ganz anderen
von ihm gegebenen Definition, indem er sich
Zahlen in zwei Gruppen
in
in
Ä
Ä
kleiner
ist
als
keine Zahl
oder in
B
Ä
B eingeteilt
B enthaltene
jede in
kann,
auffinden
die
eingeschlagen bei der
alle
und
23
§ 9.
möglichen rationalen
denkt, so daß jede Zahl
Wenn man
Zahl.
größer
ist
keine, die Ideiner ist als die übrigen in
B
als
die
dann
übrigen,
sich befindenden
Zahlen, so schlägt er als Definition vor, daß diese Teilung in zwei
Gruppen
A
und B, dieser „Schnitt", eine
Es
liegt also
eindeutige
wenn
irrationale Zahl bestimmt,
Zahl in A, aber kleiner
die größer als jede
Bestimmung der obengenannten Gruppen
die
durch die
irrationale
A
ist.
B
Zahl in
als jede
ist.
auf der Hand, daß unsere Annäherungsreihen eine
A und B gestatten,
Annäherungsreiheu definierte
Grenzzahl
eine
enthält nämlich dann alle diejenigen rationalen
Zahlen, die nicht größer als die Zahlen
die nicht kleiner als die
Zahlen
Ji
sind,
l^
B
aber diejenigen,
sind.
Kapitel
III.
Theorie der reellen Zahlenfolgen.
§
9.
Das Verhalten einer Zahlenfolge.
Wir haben nunmehr
unsere
§ 2 gemachten
in
Bemerkungen
über rationale Zahlenfolo-en dahin zu verallgemeinern, daß
sie
für
jede Folge rationaler oder irrationaler Zahlen:
«0
(1)
,
,
rti
a,,-
,
«„
,
•
.
•
gültig sind.
Unseren vorhergehenden Entwicklungen
Hand, daß
die allgemeine Zahlenfolge (1)
genden Bedingungen Genüge
leisten
zufolge liegt- auf der
immer
einer der drei fol-
muß:
oder Fundamentalreihen.
Es exiimd bestimmte Zahl A, daß es möglich
ist für eine vorgegebene, willkürlich kleine positive Größe s eine
zu bestimmen, daß für
solche positive ganze Zahl
immer
1.
stiert
Konvergente Zahlenfolgen
eine
solche
endliche
n^N
N
(2)
\
A-a„i<e
Die Folge (1) heißt dann eine konvergente Zahlenfolge oder
eine Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte A, und man setzt
wird.
A=
(3)
1)
Stetigkeit
und
lim
a^.
irrationale Zahlen; 1872 (dritte Ausg. 1905).
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
24
Entwickelt
man den
erhält
Der
1.
man
die positiven
Zahlen
«^
|
in Dezimalbrüche, so
|
Satz:
G-renzwert
Fundamentalreihe
einer
eine gewöhnliche,
ist
rationale oder irrationale GrenzzaJä, die auch durch Annäherungsreihen
definieti zverden
Beispiel
kann.
Annäherungsreihen,
1.
Grenzzahl
endliche
eine
die
definieren sind Fundamentalreihen mit der Grenzzahl als Grenzwert.
diejenigen unendlichen Zahlenfolgen,
Dasselbe
gilt für
kürlicher
Weise aus Zahlen h^ und
Was
die allgemeine
daß die Differenz
wir,
positiv
A—
bald negativ
WO n
=n
kann, und
große n bald
daß der absolute Betrag von
2.
ist, wenn u keine Quadratzahl bezeichnet, aber w'= + Yn
wenn n quadratisch ist, so hat diese Fundamentalreihe den
sein soll,
Grenzwert
1.
Beispiel
die
sein
bemerken
(1) betrifft, so
für willkürlich
selbst
a,^
will-
immer mit wachsendem n abnehmen muß.
Setzt man für n ^ 1
a^ nicht
Beispiel
Fundamentalreihe
A—
die in
gebildet sind.
l^
Die Zahlenfolge, deren Elemente für «
3.
^1
durch
Ausdrücke
i
+ titv!
gebildet werden, hat lauter irrationale Elemente aber den rationalen
Grenzwert
2.
1.
Wenn
Divergente Zahlenfolgen.
gegebene willkürlich große positive Zahl
Zahl
N
n^ N
zu bestimmen, daß für
es
möglich
E
eine solche positive ganze
für eine vor-
ist
immer
\a.n\>E
(4)
und zwar
wird, so heißt unsere Zahlenfolge (1) divergent,
eigentlich
oder uneigentlich divergent, je nachdem die a„ von einem gewissen
n an sämtlich dasselbe Vorzeichen haben oder
nicht.
Ist
unsere
Folge eigentlich divergent, so setzen wir auch
lim a„
= CO
(5)
=+
oo, bzw. lim «„==
n
u
=
—
oo.
cc
Die Schreibweise
lim a^ ==
w
bedeutet
daher
ausschließlich,
=
A
cc
daß entweder
A
oder unendlich groß mit bestimmtem Vorzeichen
endlich
ist.
und bestimmt
Kapitel
Theorie der reellen Zahlenfolgen.
III.
25
§ 9.
In betreff der Beispiele divergenter Zahlenfolgen verweisen wir
auf §
2.
Wenn
Oszillierende Zahlenfolgen.
3.
konvergiert noch divergiert,
die
Oszillation zwischen endlichen oder unendlichen Grenzen
ganz wie
in §
Dem
2
weder
die Zahlenfolge (1)
heißt sie oszillierend;
so
Begriffe
werden hier
definiert.
und den Definitionen der elementaren Rechnen-
Satze I
operationen zufolge finden wir hier unmittelbar den folgenden wichtigen Satz:
IL Haben die Fundamentalreihen
\Uqj U^
die Grenmverfe
(7)
M.o
U und
+ Vq
...
±V^,
+ ^2
Mo
•
,
Mo^o, u^ v^, u^v,^,-
(8)
«0
(9)
«0
:
U^,
,
.
.
.
V, so sind die Zahlenfolgen
11^
,
11.2,
,
u,
,
v^
:
u^
,
•
•
-.v^,
±V^,-
W„
u„v^,
•,
-
,
•
v„,
ii^:
,
-
V,
UV
und ü
(9)
angenommen wird.
Aus II findet man nun ohne weiteres den noch allgemeineren
Satz:
auch Fundamentalreihen und ihre Grenzwerte sind
:
III.
Bezeichnet
Funldion von
F
x^, x^,
.
x^,
(x^,
.
.
.
x^
.,
man
'^^n^^
}
•
ü;)
= limF {uT,
M
vorausgesetzt jedoch,
14.
Man
•? '^n''^
•
V^,
ZJ^,
^^^ ^^^'
.
.
.,
TJ^.,
allgemein
F{U,, ü,,...,
(10)
rationale
willkürliche
eine
mente der r Fundamentalreihen mit den Grenziverten
so hat
U+
hziv.
von der Null verschieden
und sind u^^\
x^,
.,
F
daß in
V, vorausgesetzt doch,
daß
F
=
uf,
w^'-')
...,
,
00
den Divisor „Null" nicht enthält.
soll die Zahlenfolge,
deren Elemente für positive ganze n
durch die Ausdrücke
«
1-2
2
•
3
'•'
"^
3
•
w
4
(n
+
1)
bestimmt werden, untersuchen.
15.
Aus den beiden Zahlen
a^
(1)
,
«2
a^
7
und
wird eine unendliche Folge
a^
^3J G,^,
•
•
,
(^n
J
'
•
nach dem Gesetze gebildet, daß a„ von n
metische Mittel der zwei vorhergehenden
-f
a„_2;
man
•
=
ist,
3 an das arithalso 2a.^
hat dann die allgemeine Formel
= «„_i
)
26
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
«„
=
"^-
(1
-
(-1)"-^)
+t
+
(^
(-^'-')
zu beweisen und den Grenzwert der Zahlenfolge (1) zu bestimmen.
§ 10. Das allgemeine Konvergenzprinzip für Zahlenfolgen.
Man
beweist nun ohne Schwierigkeit den folgenden allgemeinen
der von P. du Bois Beymond^)
Satz,
als
allgemeines Konvergenz-
prinzip (für Zahlenfolgen) bezeichnet wird:
Die notwendige und hinreichende Bedingung für
I.
die
Konvergens
der Zahlenfolge
a^, a^, a^,
(1
besteht darin,
positive
für n
daß
es möglich ist
Größe s eine
immer
.
dj,,
,
.
'
für eine vorgegebene iviWcürlich Meine
solche positive ganze
Zahl
N zu
bestimmen, daß
l«n+p-«J<£
(2)
Es
p
eine ivillkürliche positive ganze
liegt auf der
Hand, daß
Konvergenz der Zahlenfolge
n^N immer
daß für
Ä
indem
wird,
hat
.
^N
wird, indem
die
.
Zahl bezeichnet
(2) eine notivendige
(1) ist;
denn wird
Bedingung für
N
so bestimmt,
den Grenzwert der Fundamentalreihe bedeutet, so
man
I
Um
«„+^-
nun zu
«„
I
£
zeigen,
1
«„+p-
-i
\-{-\a^-Ä\<£.
daß (2) auch eine hinreichende Bedingung
Konvergenz unserer Zahlenfolge ist, geben wdr eine von Null
verschiedene positive Größe q an und bestimmen die entsprechende
für die
positive ganze Zahl N, so daß für
ist,
n^ N
immer
welches ja der Bedingung (2) zufolge immer möglich
jedes
Element der Zahlenfolge
(1) erhält
ttN — Q <
(3)
Ist
a,j
man dann
< ajf -^
für g
>
Für
immer
ist.
JV"
Q.
dann weiter N^ eine solche positive ganze Zahl, daß für
n'^N^ immer
1)
Allgemeine Funktionentheorie Bd.
I,
p. Ü, 260.
Tübingen 1882.
Kapitel
ist,
so hat
hat
man
Theorie der reellen Zahlenfolgen.
III.
man auch
für
immer
n'^ K2 immer
ebenfalls für
SO ergibt sich für q
> iV^
Q'
> N^
— Q2< % <
(^^\
0'i\
dies
h für
Z„
+
Q-2
Verfahren kann offenbar unbegrenzt
Setzt
man demnach
q =
1, 2, 3,
.
27
§ 10.
.
= üj^
h^
-{-
q
,
?o
;
angewendet werden.
oft
= a^y — Q>
und bezeichnet
v, ... die Meinste der Zahlen
dagegen die größte der Zahlen
so
genügen
die Zahlenfolgen
Hq
^^^
h-y
,
\I
l
n^,
,
.
ii^f
,
.
.
...
l
.
..
l
für jedes g den Bedingungen
h > \, K+i< \, h+i> h, \-h^fq
Dem
nieren
die
Satze
§
7,
V
•
und der Definition § 9, (5) zufolge
eine ganz bestimmte Grenzzahl.
defi-
Be-
Zahlenfolgen (4)
deutet weiter n
eine willkürliche positive ganze Zahl, so ist es doch
möglich einen solchen Stellenzeiger q zu bestimmen,
folgenden Elementen
^n + ly ^n + 27 ^n + 3>
der Folge (1) zwischen
/i,^
und
alle die
•
Die Zahlenfolge (1)
liegen.
l^^
daß
ist
daher eine Fundamentalreihe mit der durch (4) definierten Grenzzahl als Grenzwert.
Aus
diesen
Bemerkungen kann man nun ohne weiteres
die
beiden anderen Sätze herleiten:
IL Bedeutet n eine solche Zahl, daß die Ungleichung (2) für
größeren Werte des Stellenzeigers richtig ist, so hat man für
und
r y-
n immer \a
Fundamentalreihe (1)
— a^\
q^ n
<.2
A
und indem
s,
bezeichnet,
ist
\
A — a^\
angenommen ivird.
III. Wählt man unter den Elementen
^m^J ^mj? ^m^i
*
•
den Grenzwert der
<i2
s,
indem q'> n
der Fundamentalreihe (1)
eine ivillkürliche unendliche Folge
(^)
alle
V ^m„?
•
•
'
28
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
aus,
so
diese Zahlenfolge
ist
tvieder
eine
Fundamentalreihe mit dem-
Grenzwerte wie die ursprüngliche Fundamentalreihe (1) seihst.
Der Fundamentalsatz I, der zuerst von Bolzano^), etwas später
selben
AbeP)
von Cauchy-) und
hervorgehoben worden
Zeit hindurch als einleuchtend
angenommen;
matische Theorie der Irrationalzahlen
Cantor"*) benutzt den Satz I
indem dann natürlich sämtliche
der Irrationalzahlen,
als Definition
Elemente der Fundamentalreihe rational
Es
16.
zu
ist
beweisen, daß
die
Zahlenfolge,
11,11,
^«
\
= r-2 + 3-4 +
Fundamentalreihe
und
|-
(-1)«+!
---
und daß
ist,
+ -—n
,
'
Grenzwert zwischen
ihr
Monotone Zahlenfolgen.
Elemente der Zahlenfolge
«o; «1
(1)
immer entweder
Elemente
deren
liegt.
§ 11.
Ist für die
sind.
ganze n durch die Ausdrücke bestimmt werden
für positive
eine
wurde lange
ist,
durch eine syste-
möglich geworden diesen
ist es
Satz in aller Strenge zu beweisen.
erst
c<;,
+i
>
a,^^
•',
(h,
oder
a,i
+i
««; '••
^ a„,
so nennt
man
diese
Folge
monoton tvachsend bzw. monoton abnehmend.
Alle Annäherungsreihen sind daher
monotone Zahlenfolgen, die
(J?) monoton abnehmend.
Reihen (i) monoton wachsend, die Reihen
Über monotone Zahlenfolgen
I.
Eine monotone Zahlenfolge
gilt
der Satz:
muß immer
entweder Iwnvergieren
oder eigentlich divergieren, liann also niemals oszillieren.
Wir können uus
offenbar
darauf beschränken
eine
monoton
wachsende Zahlenfolge zu betrachten; denn ändert man das Zeichen
monoton abnehmenden Folge, so erhält man eine
monoton wachsende.
Es sei nun (1) eine monoton wachsende nicht konvergente
Zahlenfolge: es ist dann dem allgemeinen Konvergenzprinzip zufolge
möglich eine derartige von
verschiedene positive Größe g zu bestimmen, daß, wenn n eine willkürliche vorgegebene positive ganze
der Elemente einer
Vgl. Stolz in Mathemathische Annalen Bd.
1)
1817.
2)
Analyse algebrique
p.
125; 1821.
3)
(Euvres Bd.
4)
Mathematische Annalen Bd.
II,
p.
197.
21, p. 124; 1883.
18,
p.
259;
1881.
Kapitel
Zahl bezeichnet;
Theorie der reellen Zahlenfolgen.
III.
man
solche
eine
29
§ 11.
positive ganze Zahl n^
>
n
be-
n.^,
n^,
«,„
mit
stimmen kann, daß
wird.
Bestimmt man nun weiter
n^,
.
so daß
.,
.
««,
immer
- «n, > 9,
und addiert man
ist,
ganzen Zahlen
die positiven
-a^>9,
«„,
-
,
a-n^^
- \_^> 9
mau
diese Ungleichungen, so erhält
\>(^n+P-9Da p
m
angenommen werden
aber beliebig groß
muß
darf,
über jede Grenze hinauswachsen und unsere Zahlenfolge (1)
demnach
Eine monotone Zahlenfolge
nur
ist
eigentlich divergent.
a^j
|
ist
wenn
daher stets konvergent,
eine gewisse endliche Grenze nicht übersteigt, wie groß n
I
auch angenommen wird.
Die Bezeichnung monoton
mann^)
17.
in dieser
Bedeutung rührt von
Neu-
C.
her.
Es
ist
zu
daß
beweisen,
die
Zahlenfolge
dem
mit
allge-
meinen Glied
konvergiert,
18.
und daß
Grenzwert zwischen
ihr
muß.
Es ist zu beweisen, daß
und
|-
1
liegen
die Zahlenfolg-e
\Y2\,\y3\,\V4\,...,\yn\...
monoton abnimmt und den Grenzwert
19.
Man
1
hat.
hat zu beweisen, daß die beiden Zahlenfolgen mit
dem
allgemeinen Elemente
n {n 4"w
1"-
"f"
2^
3^
'
°
konvergieren, und daß die erste den Grenzwert
1)
1)
1
hat.
über die nach Kreis-, Kugel und Zylinderfunktionen fortschreitenden
Entwicklungen,
p. 26.
Leipzig 1881.
30
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
§ 12.
Häufungsstellen einer Zatilenfolge.
Die Zahl w heißt Häafungsstelle der Zahlenfolge
%;•••, «„,••
«o; «1. fh,
(1)
wenn unendlich
•,
—
Zahlen der Folge (1) zwischen co
e und a
liegen, wie klein die positive Größe £ auch angenommen wird.
Es
ist
viele
-\-
s
sehr leicht imendliche Zahlenfolgen anzugeben, die keine
Häufungsstelle besitzen können; diejenige aus
den positiven ganzen
Zahlen
2, 3,
1,
gebildete Zahlenfolge hat
z.
.
.
n, ...
.,
B. diese Eigenschaft.
Andererseits gilt
der Satz:
I.
zwei solche endliche Zahlen a^ und ß^ zu
Ist es möglich,
be-
stimmen, daß für unzählige (speziell für jedes) n
«0
(2)
> «„ > ßo
so hat die Zahlenfolge (1) mindestens eine Häufungsstelle.
ist,
und jSq gebildete arithmetische Mittel ;;?j
ein,
a^-^- ß^, so müssen unendlich viele Elemente der Folge
(1) entweder zwischen a^ und w^ oder zwischen m^ und ß^ liegen,
oder auch haben die beiden dadurch bestimmten Grenzpaare a^ und m^,
m^ und /3q diejenige Eigenschaft, daß unendlich viele Elemente von
Führen wir das aus
a^
also 2m^ =
(1) zwischen ihnen gelegen sind.
Jedenfalls haben wir durch dies Verfahren zwei neue Zahlen a^
und
ßi bestimmt, so daß a^
> ß^
ist,
und daß zwischen
a,£a„ ß,>ß„ a,-ß, =
Wir
führen nunmehr das aus
Mittel m.2 ein, also
2m^=
Zahlen a^ und
so daß
«2
ist,
«2
die
/Q^
(')
ß^,
S «IJ
oCx-\-
^ Pl?
ih
ßi,
^2
und
a^
ß^
un-
mau
endlich viele der Zahlen (1) liegen; weiter hat
^^^-
a^ und ß^ gebildete arithmetische
und bestimmen dadurch zwei neue
—
P2
^
—
1
p
während außerdem unendlich viele Zahlen der Folge
und /Sg liegen.
Durch unbegrenzte Fortsetzung dieses Verfahrens
(1)
zwischen
erhält
man
Annäherungsreihen:
f^o>
f^iy
<^2;
•
•
-^
k,A,A,...,
die so beschaffen sind,
««;
•
•
•
^
""
/).,...
_
/?
'''
_
^o
" Po
^
'
daß für jedes n unendlich viele Zahlen der
Folge (1) zwischen a„ und
ß^^
liegen.
Kapitel
III.
Die Grenzzahl
fungsstelle
co
Theorie der reellen Zahlenfolgen.
der Annäherungsreihen (3)
kann
daher eine Häu-
ist
unserem Beweisverfahren
wie aus
der Zahlenfolge (1);
deutlich hervorgeht,
31
§ 12.
Folge (1) aber möglicherweise mehrere
die
Häufungsstellen besitzen.
Beispiel
1.
Die Zahlenfolge, deren Elemente durch die Aus-
drücke
definiert werden, hat die beiden Häufungsstellen 1
und 2 und keine
anderen.
Wir bemerken
ausdrücklich, daß die Häufungsstellen einer Zahlen-
Elemente dieser Folge zu sein brauchen.
folge nicht notwendigerweise
Beispiel
2.
Die Zahlenfolge mit den irrationalen Elementen
«»"
=
hat die einzige Häufungsstelle
man den
Allgemein hat
+
1
n
die ja rational
1,
IL Eine Zahlenfolge, deren Elemente
lichen
ist
Zahlen
eine
kann
Grenzwerte
Hat
es
für
eine Häufungsstelle besitzt,
eine
Fundamentalreihe keine Häufungsstelle außer ihrem
besitzen.
die
Zahlenfolge (1) nur
£
die
einzige Häufungstelle
eine solche positive ganze Zahl
co,
so
N zu
bestimmen, daß
n^N immer
«
(4)
ist;
sämtlicJi zivischen zwei end-
und nur
möglich sein für eine vorgegebene, willkürlich kleine posi-
Größe
tive
die eine
Fundamentalreihe mit dieser Häufungsstelle als Grenzwert;
imigelxehH
muß
und
liegen,
ist.
Satz:
denn wäre
—f<
a^^
<
C5 -]-
dies nicht der Fall, so hätte unsere Zahlenfolge
destens noch eine Häufungsstelle, die von
Ist
f
umgekehrt
(1) eine
a
verschieden
min-
ist.
Fundamentalreihe mit dem Gren werte
^
co,
so gelten die Ungleichungen (4) für n
N, und diese Zahlenfolge
kann daher außer co keine andere Häufungsstelle besitzen.
Sind sämtliche zwischen a und b gelegene Zahlen Häufungsstellen der Folge (1), so sagt man, daß diese Folge überall dicht
zwischen a und b liegt.
Beispiel 3.
und 1 gelegenen
Die aus sämtlichen zwischen
und 1
rationalen Zahlen gebildete Folge, hat jede beliebige zwischen
gelegene Zahl,
und 1 mitgerechnet, als Häufungsstelle; diese Folge
liegt
daher zwischen
und
1
überall dicht.
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
32
Man
20.
hat diejenige Zahlenfolge, deren Elemente für n
= 0,1, 2, 3,...
durch die Ausdrücke
bestimmt werden, zu untersuchen.
Man
21.
Eemente für «
Zahlenfolge, deren
soll die
= 0,
1,2, 3,..
durch die Ausdrücke
— i j_
bestimmt
Es
22.
ist
_1
1
_
_^_
1
_
1
I
sind, untersuchen.
zu beweisen, daß diejenige Zahlenfolge, deren Elemente
für positive ganze n aus den irreduziblen
1-
w
-
1
2^
''
11 1%-
3-
§ 13.
(2
n--
'
'
'
'
'
-1)
«4-
^
Brüchen von der Form
1)2
')%'
'
und 4 überall dicht
gebildet sind, zwischen
Es
^
liegt.
Obere und untere Grenze.
sehr leicht Zahlenfolgen anzugeben, deren Elemente zwar
ist
sämtlich zwischen zwei endlichen und bestimmten Zahlen liegen, die
aber dennoch weder ein größtes noch ein kleinstes Element besitzen.
und
Diejenige aus den zwischen
gebildete Folge hat
Über
I.
sclien
solclie
z.
Zahlenfolgen
TD
Grenze g;
G
Für
.
.
.,
dereti
Elemente sämtlich zwi-
und
g,
existieren
d. h. es
die den
zivei
endliche
und
he-
beiden folgenden Bedingungen Ge-
jedes
n hat man
9<an<G.
(1)
2.
Es
gibt mindestens einen
Wert
p
von
n, so
daß
a^>G-s
(2)
und mindestens einen Wert g von
a,^<g
(3)
indem
um
s
n, so
+
daß
a
eine vorgegebene ivillkürlich Ideine positive
die Existenz der oberen Grenze
wir zwei endliche Zahlen a^ und
liche
als
a„
leisten:
1.
ist,
.
zwei endlichen Zahlen gelegen sind, hat sowohl eine obere Grenze G,
als eine untere
ist,
aber der fundamentale Satz:
g;ilt
<D
Jede Zahlenfolge a^a^^a^..
stimmte Zahlen
nüge
gelegenen rationalen Zahlen
1
B. diese Eigenschaft.
ß^,
G
Größe
bezeichnet.
zu beweisen, bestimmen
so daß a^ größer ist als sämt-
Elemente unserer Folge, während einige dieser Elemente größer
/3o
sind.
Führen wir nun das arithmetische Mittel
Wi^
zwischen
Theorie der reellen Zahlenfolgen.
Kapitel lU.
33
§ 13.
und ß^ ein, also 2m^ = o:q + /3q, so müssen jedenfalls einige Elemente unserer Folge entweder zwischen a^ und m^ oder zwischen m^
und /3q liegen; im ersten Falle setzen wir a^ = «q, ß^ = m^, im zweiten
Falle dagegen a^ == 7n^, ß^ = ß^. Durch Einführung des arithmetischen
Mittels /Hg zwischen a^ und ß^ also 2 m^ = % + A
bestimmen wir
zwei neue Zahlen a^ und ß.2, so daß a^ größer ist als sämtliche Elemente unserer Folge, während einige dieser Elemente größer als ß^
Uq
,
?
man
sind; weiter hat
a,£a„ ß,^ß„ %-/3,= ^i-=^ =
In dieser Weise kann
und dadurch
fahren,
erhält
man augenscheinlich unbegrenzt
man die Annäherungsreihen
_
^^_
a„,
«2,
rj,yy.-.,y..v^,
.
,
(4)
.
.
.,
\ß„ ß„ ß,,...,
.
.
während
einige
Grenzzahl
definierte
(4)
G
^^,
_^
oft fort-
ß^
ß„,
Elemente größer
dieser
^ «0 —
^
.
so daß, für jedes n, a^ größer als sämtliche
ist,
^-^-^.
daher
ist
Elemente unserer Folge
Die durch
als ß^ sind.
obere
die
Grenze
unserer
Zahlenfolge.
Wir haben
bei dieser
Entwicklung vorausgesetzt, daß keine der
Zahlen a^ oder ß^ für einen endlichen Wert des Stellenzeigers das
größte Element unserer Folge war; ist dies der Fall, so liegt die
G
Existenz von
auf der Hand.
In ganz ähnlicher Weise wird die Existenz der unteren Grenze g
nachgewiesen.
G
Ist
bzw. y selbst ein Element der Zahlenfolge, so heißt diese
Zahl Maximalivert bzw. Minimalivert der Folge.
Beispiel
2, 3,
.
.
Für
1.
die Zahlenfolge, deren
Elemente für w
=
0, 1,
nach dem Gesetze
.
zu bilden sind, indem r eine bestimmte positive ganze Zahl bezeichnet,
g =
hat
\
:
r
man
G=
2,
den Werten n
den Werten n
=
oo, s
=r
= 0,
s
=
entsprechend, und
1
entsprechend.
G
ist
daher der
Maximalwert unserer Folge, welche aber keinen Minimalwert besitzt.
Beispiel 2. Für diejenige aus den Elementen (5) gebildete Zahlenfolge 2
n
=
—
oo, s
a^,
=r
2
—
a.,,
2
— a^,
.
.
.
hat
=
man G
=
2
,
den Werten
=
=
entsprechend und g
1 ent0, den Werten w
0, s
der Miuimalwert dieser Folge, welche aber keinen
sprechend; g
ist
Maximalwert
hat.
Nielsen, Lehrbuch der
iiaendlichen Keihen.
3
34
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
G
Element der Zahlenfolge, so kann es,
wie es deutlich aus den Beispielen 1 und 2 hervorgeht, eintreffen,
daß die Bedingung (2) bzw. (3) nur von G bzw. g selbst, sonst
Ist
bzw. g selbst
ein
aber von keinem anderen Element der Folge befi'iedigt wird.
Als Ergänzung dieser Bemerkung beweisen wir den folgenden
Satz:
n.
lä
die obere hzw.
dieser Folge,
Ist
G—
s,
G
so
ist
G
untere Grenze
einer Folge
kein Element
hzw. g eine Häufungsstelle dieser Zahlenfolge.
nicht Element der Zahlenfolge, so liegen zwischen
wie klein auch die positive Größe
angenommen
€
G
und
wird, un-
endlich viele Elemente der Folge; denn hätte nur eine endliche Zahl
von Elementen
die obere
diese Eigenschaft, so
wäre das größte dieser Elemente
Grenze der Folge, was unzulässig
In ganz derselben Weise behandelt
kein Element der Folge
Beispiel
Für
3.
ist.
man den
anderen Fall,
wo g
ist.
die
in
den Beispielen
1
und 2 betrachteten
ist g bezw. G HäufungssteUe der Folge.
wir in unserer folgenden Darstellung die Redensart eine
Zahlenfolgen
Wenn
positive von Null verschiedene
Zahl benutzen, so meinen wir damit,
daß die von diesen Zahlenwerten gebildete Folge nicht die untere
Grenze Null hat.
Ist es nicht
bzw. kleiner
möglich eine solche Zahl so anzugeben, daß
als
sämtliche Elemente
daß diese Folge die obere Grenze
Beispiel 4.
bildete Folge hat
Beispiel
5.
der Folge
ist,
G =
1,
g = —
-}-
—
oo hat,
als
1
ge-
1
ge-
oo.
Die aus den rationalen Zahlen größer
G=
größer
sagen wir,
so
oo bzw. untere Grenze
Die aus den rationalen Zahlen kleiner
bildete Zahlenfolge hat
Den
+
sie
oo,
g = —
als
—
1.
und untere Grenze sowie den Satz I verdankt
mau Bolzano^); aber zuerst durch die Vorlesungen von Weierstraß ist die fundamentale Bedeutung dieser Begriffe klar hervorBegriff obere
gegangen.
23.
24.
1)
Man
soll die obere und untere Grenze derjenigen in den
Aufgaben zum § 12 defiuierten Zahlenfolgen bestimmen.
Für die aus dem Ausdrucke
1817.
Vgl. Stolz in Mathem. Annalen. Bd. 18, p. 257. 1881.
Kapitel
Theorie der reellen Zahlenfolgen.
III.
nach der im §
3 gegebenen Regel gebildete Zahlen-
2, Beispiel
folge sind die obere
35
§ 14.
und untere Grenze zu bestimmen, indem
allgemein
_
gesetzt
worden
J^
,
.l_
,
ist.
Limes superior und limes
§ 14.
Über
mehr den
1
,
-,
die Häufungsstellen
inferior.
einer Zahlenfolge beweisen wir nun-
Satz:
Jede unendliche Zahlenfolge, deren Elemente sämtlich, zwischen
I.
zwei endlichen und bestimmten Zahlen liegen, hat immer sowohl eine
größte als eine Ideinste Häufungsstelle.
Da
die Häufungsstellen
sämtlich zwischen zwei endlichen und
bestimmten Zahlen liegen müssen, so beweist
man
ganz wie im vorher-
und bestimmter
Zahlen L und l, so daß keine Häufungsstelle größer als L und kleiner
als l sein kann, während mindestens eine Häufungsstelle co den Bedingungen X
(o^L — £ und eine Häufungsstelle a den entsprechenden Bedingungen Z < «' < ^ + £ genügt, wie klein auch die positive
gehenden Paragraphen
die Existenz zweier endlicher
^
Zahl
£
angenommen
Nun
schen
folge,
co'
wird.
liegen aber zwischen
-f
^ und
wie
klein
co'
—d
auch
a
d und
co -{-
—
d und ebenso zwi-
unendlich viele Elemente unserer Zahlen-
die
angenommen
positive Zahl d
wird;
es
liegen daher auch unendlich viele Elemente unserer Zahlenfolge so-
wohl zwischen
l
— d]
d. h.
L
-{-
d und
die beiden
L—
L
Zahlen
—
e
und
l
d
zwischen
als
l
-^
d
und
s
-\-
sind Häufungsstellen unserer
Zahlenfolge.
Andererseits
kann
Elemente enthalten,
l
—
die
aber nicht unendlich
die Zahlenfolge
entweder größer
als .L
+
d sind, wie klein auch die positive Größe d angegeben wird;
denn dann hätte man eine Häufungsstelle größer
als
was
l,
ja,
der Definition von
L
und
l
als
L
oder kleiner
unmöglich
zufolge,
Die so bestimmte kleinste und größte Häufungsstelle
einer Zahlenfolge
nennen wir limes superior
(lim.
und der Satz
inferior (lim. inf.) dieser Zahlenfolge
folgendermaßen formuliert werden:
IL Die unendliche Zahlenfolge
(1)
viele
oder kleiner als
<J
öq, a^, a^, «3,
•
•
•
•,
ötn,
.
.
.
•
I
ist.
L
sup.) bzw.
oder
l
limes
kann daher auch
Erster Teil.
36
deren
Elemente
Theorie der Zahlenfolgen.
zwei
zwischen
sämtlich
endlichen
Zahlen gelegen sind, hat sowohl einen limes supenor
limes inferior
l;
d. h.
L
als
zwei solche Zahlen
existieren
es
und hestimmten
L
auch einen
und
l,
die
den folgenden zwei Bedingungen genügen:
Bedeutet 6 eine vorgegebene positive
1.
so ist es möglich eine solche x^ositive ganze
für
n'^
ivillMirlich
Zahl
N zu
Meine Größe,
bestimmen, daß
N immer
a^<L +
(2)
6, a„
>l-6
a, ö„
<l +
ist.
Die Ungleichungen
2.
%>L-
(3)
6
sind aber für unendlich viele Werte von n richtig,
tive
Größe 6 auch
hat
man
Beispiel
1.
Für
die in § 13, Beispiel 1
lim. sup. a„
Beispiel 2.
findet
tvie
Mein die posi-
geivählt wird.
Für
= 1,
=
lim. inf. a^
Beispiel 2 definierte Zahlenfolge
in § 13,
die
betrachtete Zahlenfolge
man
lim. sup.
M = 00
Kombiniert man
II
ff„
=2
;
,
lim. inf «^
7i
und §
=
.
= 00
13, II, so erhält
man den
Satz:
Hat eine Zahlenfolge, deren Elemente sämtlich zivischen zwei
endlichen und bestimmten Zahlen liegen, keinen 31aximalwert bzw.
III.
keinen Minimalwert, so sind lim. sup.
und
und
obere Grenze bzw. lim. inf.
untere Grenze dieser Zahlenfolge identisch.
Ist die
Zahlenfolge (1) nicht konvergent, so
ist es
möglich, aus
ihren Elementen solche auszunehmen, die Fundamentalreihen mit den
Häufungsstellen der Zahlenfolge
als
Grenzwerte bilden;
es
ist
also
möglich, solche Stellenzeiger
PQ,Pi,lh, •••,Pm^
•
•
zu bestimmen, daß
lim a_
endlich und bestimmt wird;
mau
hat dann
immer
Klima^ <L.
(4)
in
Hat man
L^
l,
so heißt
=
CO
die Diiferenz
oder Unbestimmtheitsintervall der Zahlenfolsfe.
L—
l
das Oszillations-
Kapitel
Beispiel
Theorie der reellen Zahlenfolgen.
III.
Für
3.
die aus sämtlichen rationalen
man L
Zahlenfolge hat
==
-{-
oc,
Z
=—
37
§ 15.
Zahlen gebildete
oo; das Oszillationsintervall
dieser Folge ist daher unendlich groß.
andererseits
Ist
=
l
L, so
die Zahlenfolge (1) eine
ist
L
mentalreihe mit dieser Zahl
Die Begriffe lim. sup. und lim.
worden;
eingeführt
limites)
du Bois Reymond^)
P.
griffe
aber
ist
sind zuerst von
inf.
und von Abel-)
plus grande des limites)
(la
Funda-
Grenzwert.
als
zuerst
(la
durch
plus
petite
Arbeiten
die
Bedeutung
die funtamentale
Cauchy^)
des
von
dieser Be-
deutlich hervorgegangen.
25.
Man
soll
zum
§ 13 betrachteten Zahlenfolgen bestimmen.
26.
Es
sind
inf.
für die Zahlenfolgen, deren
und
sup.
lim.
lim.
für die
inf.
den Aufgaben
in
obere und untere Grenze sowie lim. sup. und lim.
Elemente für positive ganze n
durch die Ausdrücke
und durch
Hilfssatz
§ 15.
In
Werte
ihre reziproken
von Abel.
berühmten Abhandlung über
seiner
zu bestimmen.
definiert sind,
die
Binomialformel hat
Abel^) den folgenden Hilfssatz bewiesen.
I.
Elementen
Ist die Folge mit lauter positiven
monoton abnehmend, und hüdet
man
••;«„?
a^, «2, (h,
(2)
aus der Folge
eine neue Zahlenfolge
KP)
?
^17 ^2? ^3>
_
^n?
?
indem man allgemein
(4)
5p
=
«1
+
«2
+
(5)
£i
wo G^ und
^ «1
^„
•
g^ obere
und
£l
«3
+
\-
%'j
+
«2 f2
+
hanSn^h-
untere Grenze der Folge
1)
Analyse algebrique, p.p. 132, 156; 1821.
2)
(Euvres Bd.
3)
Man
vgl.
z.
II,
4)
I,
p.
s^, s^,
^^n,
•
-,
s„ bezeichnen.
.
p. 198.
B. Antrittsprogramm
lungen der Münchener Akademie Bd.
theorie Bd.
% = Sp- 5p_i
n
setM, so hat tnan für jedes
der Univ. Tübingen
12, p. 125;
1S76.
p.
3.
Abhand-
Allgemeine Funktionen-
266; 1881.
Journal für Mathematik Bd.
1,
p.
314; 1826.
(Euvres Bd.
I,
p. 222.
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
38
man
Setzt
der Kürze halber
A„
(6)
so erhält
man wegen
= «!£, + «2
£.,
+
.
4_ a„
.
Formel
der letzten
f,,,
(4)
woraus nach einer einfachen Umformung hervorgeht:
CO
A = {h - h) h + {h-h)s2 +
Nun
man
hat
Ungleichungen
man
und
aber
e^
- O s,„_i + s„.
— ^r ^ ^5 ^i®
r,
f.„
Sj._-^
daher unmittelbar aus (7) ab, wenn
sich
leiten
(5)
h (£„_i
und, für jedes
>>
anstatt jeder einzelnen der
Summen
teils
s
G^
teils g^
einführt
die Identität
(^1
-
+ {h- h)^
«2)
1-
(^„-1
-O+
««
=
^1
benutzt.
Aus
(7) findet
man
in derselben
Weise den ähnlichen
IL Ist die Zahlenfolge (1) monoton 'wachsend, so findet
denselben Bezeichnungen ivie vorher für jedes
(f 1
(8)
-
£
J Gn i-^n9n<A<
man
In diesem Falle hat
Wir haben
(h
n
die
" ^n) 9n + «« ^^n
> aber
Ab eis che
mit
Ungleichungen
•
ja in der Tat £„
später in § 39 diese
Satz:
man
für jedes r
Methode erheblich
zu verallgemeinern.
27.
Es
ist
der
Ab eis che
Satz auf die
a\p +
(r
(r^
Summe
/i\p +
i
^
+,©
anzuwenden.
28.
Man
soll für j)
=
JP+l
00 den Grenzwert der
P+
2
j^
+3
p
Summe
+4
,
bestimmen.
Kapitel lY.
Komplexe
§ 16.
Zalilenfolgen.
Reehnenoperationen mit Zahlenpaaren.
Wir haben nunmehr unseren Zahlenbegriif auf Zahlenpaare ^)
von der Form (a, h), wo a und h gewöhnliche Grenzzahlen bezeichnen,
Ganz wie die reelle Zahl a als der Punkt der Abszissenachse mit der
a abgebildet werden kann, so bildet mau das Zahlenpaar {a,b) als
den Punkt der Ebene mit den rechtwinkligen Koordinaten a und h geometrisch
1)
Abszisse
ab.
Man
vergleiche übrigens § 25.
Komplexe Zahlenfolgen.
Kapitel IV.
ZU erweitern.
nition
Zu diesem Zwecke haben wir vor allem durch
Defi-
Zahlenpaare
fest-
zweier
oder Ungleichheit
Gleichheit
die
39
§ 16.
zustellen.
1.
Die ZaMernmare
(a, h)
und (%, &J sind dann und nur dann
= a^ und h = h^ ist.
einander gleich oder identisch, ivenn a
man
Benutzt
man
das gewöhnliche Gleichheitszeichen, so hat
daher
(a, h)
(1)
= {a„ \)
dann und nur dann, wenn
a
(2)
= %,
= 6i
&
und umgekehrt.
Benutzen wir auch hier das gewöhnliche Ungleichheitszeichen
4=, setzen wir also (a, h)
=t=
wenn nicht
(a^, h^),
die beiden
Gleichungen
(2) stattfinden.
Aus
Definitionen
diesen
Zahlenpaare,
unmittelbar,
daß zwei
auch
einem dritten gleich sind,
beide
die
man
schließt
einander
gleich sein müssen.
Durch Definition
setzen
wir noch
Zahlenpaar
für
das
und
gleich a,
(a, h)
die neue Eigenschaft fest:
2.
Das Zahlenpaar
(a, h)
reell
ist
wenn
&
=
vorausgesetzt wird, also
= a.
{a, 0)
(3)
Hieraus
man
schließt
ohne weiteres, daß derjenige durch die
(a, h) gebildete Zahlenbegriif einen
Zahlenpaare
und nur einen Null-
wert, nämlich die reelle Null
=
(0,0)
(4)_
besitzen kann.
Die
=
4-
so hat
oo
=+
oo oder a
benutzt
ist;
man demnach
03
(5)
und sonst
==
{±
<x,h),
gehen,
=
CO
(a,—
(a, h)
h)
heißen lonjugiert.
unendlich groß,
wenn
=+
oo und gleichzeiti g
auch hier das gewöhnliche Zeichen oo,
cx)
oder a
oo in den folgenden drei Fällen
^
{a,±
oo),
C3
= {±
oc,
Rechnenoperationen mit Zahlenpaaren
dieselben in solcher
die
man
ra
=+
=
oj
±
(x>)
nicht.
Was nun
in
{a,h) und
Zahlenpaar
nennt das
entweder a
&
Zahlenpaare
beiden
Man
Weise
definiert
betrifft,
so sollen
werden, daß diese Operationen
gewöhnlichen Rechnenoperationen mit reellen Zahlen über-
wenn
wegen, in
die dort
reelle
vorkommenden Zahlenpaare, der
Zahlen übergehen.
Definition (3)
Behalten wir die gewöhnlichen
40
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
Operatiouszeichen bei, so sind diese Forderungen durch die folgenden. Definitionen erfüllt:
Summe
JDie
3.
=
a
der Zahlenpaare
(a,h) und co'={c,d)
ist
dasjenige durch die Gleichung
(«
-\-
+
c,h
d)
Zahlenpaar.
definierte
Aus
I.
=
w'
CO -j-
(6)
man
dieser Definition erhält
aus der Addition
JDie beiden
prinzipe gelten
auch
unmittelbar den Satz:
die Addition
für
Zahlen beJcannten Grund-
reeller
von Zahlenpaaren, nämlich
das Tiommutative Prinzip:
1.
+
W
(7)
Cl)'= (o'-j-
Q
2. das assoziative Prinzip:
(a
(8)
a')
-]r
-\-
=
(o"
=
a")
CO -{- (co' -{-
-{-
(X)
a'
-\-
co".
Weiter findet man aus (6) die beiden anderen Sätze:
co
(a,l)) hann stets als die Summe
=
IL Jedes Zahlenpaar
anderer, von ivelchen das erste die reelle Zahl a
CO
(9)
III.
Sind
CO
ist,
dargestellt
= {a, h) = {a, 0) + (0, i) = a + (0, h).
= {a, b) und = {c, d) zivei ivillkürliche
ztveier
werden:
endliche
co'
Zahlenpaare, so hat die Gleichung
(10)
ü3 -\-
X
=
oder x
co'
in X eine und nur eine Lösung,
und CO nennt und als
=
X
(11)
die
co'
+
co
man
—
=
co'
die Differenz zivischen
co'
CJ
bezeichnet.
man
Setzt
a
-{- ci
= c,
b
nämlich x
-\-
ß
= d,
(12)
x = —
(10)
CO
;
CO
=
es ist
co',
{cc,
woraus
Gi'
ist in
=
—
CO
so erhält
ß),
so hat
man wegen
(6)
und (10)
folgt:
— a, d — b)]
man x = 0] ist co' ^
=
{c
0,
so setzt
man
demnach
= {-a,-b).
= (a, b) und co' = (c, d)
-{a,b)
(13)
4.
Bas Produkt von
co
ist
dasjenige durch
die Gleichung
coa'
(14)
=
(«c
—
bd,
ad
-\-
bc)
bestimmte Zahlenpaar.
Aus
dieser Definition erhält
man
unmittelbar die Sätze:
.
Komplexe Zahlenfolgen.
Kapitel lY.
41
§ 16.
IV. Die aus der Multiplikation reeller Zahlen bekannten Grund-
imgeändert für die Midtiplikation von Zahlenpaaren,
das hommutative Prinzip:
prinzipe gelten
nämlich
1.
2.
co' CO,
das assoziative Friyizip:
(coco')
(16)
3.
=
(Od'
(15)
ro"=
(ü'oa")
CO
=
coa' co",
-\-
coco".
das distributive Prinzip:
(17)
=
(C3'+ w")
C3
aco'
Aus (14) findet man unmittelbar
(o"= {p,g), so hat man
{coco') co"
= (ac -~
die Gleichheit (15); ist weiter
ad
hd,
+
hc)
•
(p, q),
woraus nach einer einfachen Ausrechnung hervorgeht:
=
(coco') co"
aus
co' -{-
Formel
co"
= [c
-\-
2^,
d
(a, h)
-\-
•
{cp
erhält
q)
— dq,
cq
man
+
dp)-^
endlich
unmittelbar
die
(17).
V. Sind
CO
=
{a,lj)
und
go'
=
(c,d)
zivei
ivillkürliche
endliche
Zahlenpaare, so hat die Gleichung
cox
(18)
für
6"^^ w**^
4=
G3
^^'^^^
man x = co
Setzt man in der
=
oder xoo
co'
ß^'^ß
=
co'
Lösung in x;
ist cd
=
aber
co'
=^ 0,
so hat
=
c = aa — bß,
Tat x
(cc,
ß), so
d
= aß
erhält
-^
man wegen
(14)
ba,
woraus ohne Mühe hervorgeht:
ac-\-bd
,^„.
co'
„
Das so bestimmte Zahlenpaar x
und CO dar und wird als
X
=
stellt
den Quotienten zwischen
=—
co'
,
CO
ad — bc
:
CO
0}
bezeichnet;
man
hat demnach
/ac-^bd ad — bc\
^
(^7ö)
U' + &" a^ + feV'
so findet man x = 1.
{cd)
.jj„s
^^^'^
ist speziell co
=
co',
Aus der Multiplikationsregel (14) erhält man noch den Satz:
VI. Das Quadrat des Zahlenpaares (0, b) ist negativ reell und
gleich
—
b'^.
Dadurch erhalten wir weiter
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
42
VII. Die Gleichling
= -l=.
x'
(21)
und nur
hat 2ivei
(-1^0),
x'
Wurzeln, nämlicli
zivei
= x- X,
= (0,+
a'
1).
x= (cc,ß), so ist auch x^==(a- — ß-, 2 aß),
und demnach erhält man a^ — ß^ = — 1, 2aß = 0. Aus der letzten
= oder = 0;
dieser Gleichungen ergibt sich demnach entweder
Setzt
man
Tat
in der
o;
die letzte dieser
Lösungen
der reellen Zahl (a, 0)
ist
=
«
/3
indessen unbrauchbar; denn das Quadrat
ist
immer
positiv;
es
ist
daher a
=
=+
und demnach /3
1.
Aus (14) erhalten wir endlich:
Das Produkt
ziveier endlichen Zahlenpaare ist dann und nur
wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.
Die notwendicre und hinreichende Bedinguno; für das Nullwerden
VIII.
dann
gleich Null,
des Produkts {a, h)
{c,
(22)
nun {a, &) 4=
und d = 0, woraus
ist
29.
d) ist nämlich
+
ad
also
{c,
hc
a'^
d)
= 0,
-Id^O;
ac
-\-V =^ 0, so findet
=
man
aus (22)
c
=
folgt.
Durch das Zahlenpaar (a, h) definiert man einen Zahlenbegriff,
indem man die beiden Definitionen § 16, 1 und 3 beibehält,
während 2 und 4 durch die folgenden (a, a) = a und (a, h) (c, d)
= {ac, l)d)
ersetzt werden.
Es
ist
zu beweisen, daß die gewöhn-
lichen Grundprinzipe der Rechnenoperationen auch für diesen
NuU werden
Zahlenbegriff gelten, daß aber ein Produkt
kann,
ohne daß mindestens einer der Faktoren verschwindet.
stattet dieser Zahlenbegriff eine
30.
Man
Lösung der Gleichung
a;^
denjenigen Zahleubegriff untersuchen, der aus
soll
Zahlenpaare (a,
h) gebildet wird,
wenn man
vorhergehenden Aufgabe aufrecht
Multiplikation
durch
die
hält,
Gleichung
Ge-
=—
1'?
dem
die Definitionen der
nur verlaugt, daß die
(a, h)
(c,
d)
=
(ad, hc)
definiert wird.
31.
Für
Zahlenpaare,
befriedigen, soll
wo
u
=
man
die
die
Bedingungen §
16,
die Multiplikationsregel (a, b)
1,
2
und 3
(c,
d)
= (u, v),
der Kürze halber
uac-\- ßad-\-yhc-\- dhd, v
gesetzt
worden
sind, in solcher
=
a-^
ac
+ ß^
ad-\- y^ tc-j-d^
Weise bestimmen, daß
hd
die Be-
dingungen
(a,h)(c,d)
erfüllt
= {c,d){a,l)-{a,Oy=a-,{a,0){0,h)=(0,ahy,{0,hy'==^-l/-
werden.
Komplexe Zahlenfolgen.
Kapitel IV.
Man
32.
in
soll die
43
§ 17.
Multiplikationsregel der vorhergehenden Aufgabe
Weise bestimmen, daß die Multiplikation kommuund distributiv wird, und daß außerdem ein
solcher
assoziativ
tativ,
Produkt zweier endlichen Faktoren nur verschwinden kann,
wenn mindestens
ein Faktor gleich Null
§ 17. Absoluter Betrag
und
ist.
Charakteristik komplexer Zahlen.
Die in § 16 eingeführten Zahlen werden
genannt;
man
gewöhnlich komplex
pflegt in diesen Zahlenbegriif die
(0,1)
(1)
=
^,
=
(0,-l)
-^•;
Bezeichnung
(±i)^=-l
einzuführen, und die Multiplikationsregel ergibt dann ohne weiteres
(0,
(2)
+
=+
&)
woraus unter Anwendung von § 16,
1^7
(3)
während
folgt,
die
±
(9)
=^±
&)
«&,
^"^J
der Rechnenoperationen
Definitionen
sich
nun
folgendermaßen darstellen lassen:
= a + c i(h + d)
(a + ih) — (c + id) = a — c
i(b — d)
—
=
(a 4 ih) (c + id)
ac
hd
i{ad + hc)
ac-\-hd — i{ad — hc)
a
ib
c+Td^
c^ + cP
{a 4- ih)
(4)
+
{c
-[-
id)
-{-
-\-
(5)
-j-
(6)
-\-
^rj\
^^
•
Aus
I.
gleich
(4)
und
(6) erhält
man
unmittelbar den Satz:
Die S-mnme der zivei konjugierten Zahlen a + ih ist reell und
2a, während das Produkt dieser beiden Zahlen positiv und
gleich a^
-\-
W
ist.
Bei der komplexen Zahl x
=a
-\-
man a und h die
man setzt
nennt
ih
bzw. die imaginäre Komponente der Zahl x, und
reelle
gewöhnlich
a
(8)
=
^{x), h
= S(^) = - "^{ix).
Wir haben nunmehr den
Zahl X
=a
-[-
ih
schehen, daß wir dadurch für &
a
trag
I
absoluten Betrag
zu definieren, und dies
=
soll
\x\
der
in solcher
komplexen
Weise ge-
den gewöhnlichen absoluten Be-
der reellen Zahl a finden
;
wir setzen daher
I
(9)
denn dadurch erhalten
|:r|=+>V + &2;
wir, für &
= 0,
|a:|
.
= |(x|=+ ]/ä^.
Mit dieser Definition des absoluten Betrages gelten die in § 1
entwickelten Formeln ungeändert allgemein, man hat in der Tat
die beiden Sätze:
44
IL Der
=a
X
Aus
=c
-\-
i\x\±\^j\f=
X
nun
+
a'^
man wegen
=
|2
^
(a
zweier
— \y\\
sein.
+
+
lr
und
(4)
+ cf +{h^
^
c'^
d-'
±2 y{a' + b') (c^ +~Wj
;
(9)
elf
= a^^b- +
+
c^
r?^
+
2(ac
+
bd);
aber immer
ist
+
\ac\^\bd\< +]/(a2 + b~) {f
denn durch Quadrierung erhält man
2\abcd\£a'd' + b-c'',
und
lomplexen Zahlen
id Jcami niemals größer als \x\-\-'y\ und
man ohne weiteres
(9) erhält
weiter hat
Summe
Betrag der
absolute
und y
ih
-\-
niemals Meiner als \\x\
I
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
dies ist offenbar richtig,
weil (a^^
+
&c)^
d')-,
^
sein
muß; damit
sind aber die beiden fundamentalen Ungleichungen
(10)
j|a;l
—
^\ X
|i!/|j
-\-
y
\
^\ X
-\\
\
y
\
bewiesen.
Der
III.
absolute Betrag
ProduJcts
eines
ist
dem Produlde der
absoliden Beträge der einzelnen Faktoren gleich:
\xy\
(11)
= \x\-\y\.
Die Multiplikationsregel (6) ergibt in der Tat unmittelbar [II) j
wenn man
die offenbare Identität
(a^
(12)
+
b^)
{f
+
d')
=
(ac
-
bdf
+
[ad
+
bcf
anwendet.
man
Setzt
für
n
=x
x^
so erhält
man wegen
•
X
•
x
•
•
•
Ia;"l
=
|a;;".
der absolute Betrag der
Ist r
ergibt sich
wegen
zu r gehörige
komplexen Zahl x
=
a
-\-
ib,
so
(6):
x
(14)
(n Faktoren),
•
(11)
(13)
der
x willkürlich komplex
positiv ganz,
=
a-{-ib
= r(^ +
Faktor wird die
il);
CharaMeristik der komplexen
Zahl X genannt; eine Charakteristik hat daher immer den absoluten
Betrag
1.
Aus
(14) ersieht man, daß die Gleichheit bei der höheren Grenze
ist, wenn die Addenden x
während die Gleichheit bei der
unteren Grenze dann und nur dann anwendbar sein kann, wenn die
in (10)
und y
dann und nur dann anwendbar
dieselbe Charakteristik haben,
.
Komplexe Zahlenfolgen.
Kapitel IV.
45
§ 18.
Charakteristiken der beiden Addenden einander gleich mit entgegen-
gesetztem Zeichen sind.
33.
Man
hat die Formel
zu beweisen und die Zeichen rechter
34.
Hand
zu diskutieren.
Es ist zu beweisen, daß zwei konjugierte komplexe Zahlen
immer Wurzeln einer quadratischen Gleichung mit reellen
Wie heißt der umgekehrte Satz und wie
Koeffizienten sind.
wird derselbe bewiesen?
Unter Anwendung der Formel § 17, (12) soU man beweisen,
daß das Produkt einer willkürlichen Zahl von Faktoren von
35.
Form
der
rend
stets
c
Form
(1)
wo
h^c,
denselben
+
Wert
=1
Quadratzahlen sind, wäh-
h^
hat,
immer
eine Zahl derselben
c = — 1
,
Zahlenfolgen mit komplexen Elementen.
die Zahlenfolge mit
«0
und
a^
Beispiele c
wird.
§ 18.
Für
+
a^
iJjQ,
«1
+
komplexen Elementen
i\, «2 -f
, a„ -f i\,
ih^,
werden dieselben Bezeichnungen konvergent, divergent und oszillierend,
mit derselben Bedeutung wie bei Zahlenfolgen mit reellen Elementen
angewendet.
Die Zahlenfolge (1)
ist
demnach
konvergent,
Ä = lim (a„ +
(2)
wenn
der Grenzwert
iK)
wenn a„ + ^&„ mit n über jede
Grenze hinaus wächst, und oszillierend, wenn sie weder konvergiert
endlich und bestimmt
noch
ist,
divergent,
|
|
divergiert.
Die Gleichung (2) hat natürlich dieselbe Bedeutung wie bei
Zahlenfolgen mit reellen Elementen; d. h. bezeichnet e eine vorge-
gebene willkürlich kleine positive Größe, so
solche positive
eine
ganze Zahl
N
soll
es
möglich sein
daß für
zu bestimmen,
n^N
immer
|^-K + i5J|<£
(3)
wird.
Beispiel
1
ic
j
<1
1.
Die
Zahlenfolge
1,
x,
konvergent mit dem Grenzwerte
x^,
0, für
x^,---,
ä;
]
|
>
x'\
••
ist
für
1 aber divergent.
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
46
Beispiel
für
;
g»
I
<
Die
2.
Summe
konvergent mit der
1
Reihe
geometrische
«
:
o,
(1
-\-
aq
— q),
aq^
-\-
für
-{-
-
>
•
•
ist
1
aber
immer
reell
g|
!
divergent.
sein
Während
der Grenzwert einer reellen Zahlenfolge
muß,
braucht der Grenzwert einer komplexen Zahlenfolge
so
komplex zu
nicht selbst
Beispiel
1
sein.
Die Zahlenfolge mit komplexen Elementen
3.
+
--
1
—
-\-
hat den reellen Grenzwert
-...14-—
14-
...
1.
oder Fuudameu talreihen mit
Über konvergente
komplexen Elementen gilt der Satz:
I. Die notivendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Zahlenfolge (1) 7nit liomplexen Elementen hesteJd darin, daß
Zahlenfolgen
Elementen
die Zahlenfolgen mit reellen
^
^
h
1)
hdde konvergieren; hat
•
h
•
man
lim a^
(5)
J)
=
Ä,
lim h^
=
B,
SO ist auch
]im{a^
M= CO
(6)
Ist die
ib„)
(3) für
\Ä
(7)
+
n^ N
Ä+iB- (a„ +
sein kann, so erhält
ih,:)
I
d. h.
dem Grenzwerte
man
Ä + iB,
|
+
ihJ\<a;
J.
—
a,^
und \B
— b^\
größer als
= + y{Ä-aJ-\-{B-bJ
aus (7) für
\A-a^\<s,
(8)
Ä
iB.
immer
iB-{a,^
da nun keiner der absoluten Beträge
!
=Ä+
Zahlenfolge (1) konvergent, mit
man wegen
so hat
+
n^N immer
\B-h,\<a',
die beiden Zahlenfolgen (4) konvergieren mit den
Grenzwerten
und B.
Sind umgekehrt die Zahlenfolgen (4) mit den Grenzwerten
und
B
konvergent, so erhält
man wegen
-
\<\Ä- «„
I
d. h.
A+
die
iB.
Ä+
iB
(a„
Zahlenfolge
+
iK)
(1)
ist
A
n^ N immer
< 2a;
+ \B-
(8) für
h,^
\
1
konvergent und hat den
Grenzwert
Komplexe Zahlenfolgen.
Kapitel IV.
Aus
man
folgert
I
daß das
unmittelbar,
47
§ 19.
für
Zahlen-
reelle
folgen bewiesene allgemeine Konvergenzprinzip ungeändert für Funda-
mentalreihen mit komplexen Elementen
also:
gilt;
Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Zahlenfolge (1) mit iviUkilrlichen komplexen Elementen beII,
daß
darin,
steht
Größe
£
möglich
für eine vorgegebene,
es
N zu
bestimmen,
n^N immer
daß für
-
\a,+p-\- i^n +p
p
wird, indem
Man
36.
ganze Zahl
solche positive
ist eine
Meine positive
ivillkürlich
+
(«»
l<
^K)
soll die
^
(9)
Zahl
eine willJcürliche positive ganze
Zahlenfolge, deren Elemente für
bedeutet.
= 0,
w
1, 2, 3,
•
•
•
aus den Ausdrücken
^Hr
nr + s,
= ^j_|_i'^7
l<S<r
TT H
— —
1
bestimmte po-
gebildet werden, untersuchen; r bedeutet eine
ganze Zahl.
sitive
Man
37.
§ 15 bewiesenen Sätze dahin verallgemeinern,
soll die in
daß die Zahlenfolge
CTq,
komplex
«j, «2,
•
•
o,^,
•,
'
•
•
ist.
Sätze von
§ 19.
Cauchy und Jensen.
Über Zahlenfolgen mit willkürlichen Elementen hat Jensen^)
den folgenden fundamentalen Satz
Wenn
I.
die Zahlenfolge
a^, a^, «3,
die beiden
•
jedes
la^l
B
a^,
•,
=
\\m\a^\
und für
wo
•
•
•
•
Bedingungen:
(1)
(2)
Verallgemeinerung eines Grenz-
als
von Cauchy gegeben:
satzes
+
oo,
n
\a^-a^
\
+
\
a^-a^
eine feste bestimmte von
{H
hl »„-«„_i
n unabhängige Zahl
!
< ^.
|
«„
I,
bezeichnet, befriedigt,
ivenn außerdem die Fundamentalreihe
^l,
1)
Bd. 106.
Tidsskrift for
p.
833—836;
<P2J
Mathematik
1888.
%J
(5)
'••,^>nr
Bd.
2,
p.
•
•
81—84, 1884.
Comptes rendus
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
48
den Grenzwert
wenn
hat, also
= lim (p^
(3)
endlich
und bestimmt
^=
(4)
man
Setzt
^^^
lim
n
=
so hat
ist,
\
den anderen Gh-enztvert:
^"
i^^-^?-^
^
(
so
man immer
r^\lZn\
.
'
dji
der Kürze halber
^- Qp>
fpp=
= 0;
lim Qn
so zeigt die offenbare Identität
= «1 +
a„
(5)
(«2
- %) +
(«3
-
«2)
+
•
•
•
+
(«„
- «„-1),
daß (4) mit dieser andern Formel
=
(6)
—
'
lim
=
n
CO
^
»^i_Zl«\
'
B
uns nur übrig bleibt, die Richtigkeit dieser
so daß
identisch wird,
^^^^
^^^^-^
'
(
letzten Formel nachzuweisen.
Zu diesem Zwecke setzen wir der Kürze halber
(7)
I
% +
i
—
«2
0^1
i
i
+
— «2
«3
I
und erhalten somit wegen
H
H
i
(2) für jedes
I
«„
-
fl„_i
= ^„
,
n
\<\^A<B-\a,\, T^<|^;
(8)
die Zahlenfolge
^l> ^2? As7
ist
•
•?
•
Ai?
Für jedes vorgegebene
somit monoton wachsend und divergent.
muß
hinlänglich große n
positive ganze Zahl
m
daher möglich sein eine entsprechende
es
zu bestimmen, so daß
Äl + r>A„>Äl
(9)
muß; man
sein
hat daher wohl n
> m,
m muß
aber
jedoch mit n
über jede Grenze hinauswachsen.
Da nun wegen
— yl^ =
J.^^^
(7)
|
—
a^^i
a^
|
ist,
so
hat
man
für den absoluten Betrag
l'^l
-jiT
'
1^^2
2
^
«
I
höhere Grenze
Tl/
«
<^
=
ej
^11
A +ip. K^o — A)H
1
'
I
^2
1^
1'
2
\
l
woraus wegen
(10
\
I
n
I
die
n — V^n
n
^
'
'
"
)
3f„
< I-
Hie^n K^n
'
a
'
I
I
^
— ^n — J
1'
'
\
n
I
(8) folgt:
(
Q,\A,
i
+
1
Q,
i
U2 - ^) +
•
•
•
+
I
^„
i
U„ -- A-i))-
Komplexe Zahlenfolgen.
Kapitel IV.
Es
sei
nun
Qn die obere Grenze der positiven Zahlen
p'„'
die obere
••
\Q2\}
\9l\>
und
49
§ 19.
\Qm\
Grenze der weiteren positiven Zahlen
Qm + l
I
\f
Qm + 2
I
'}
'
'
\}
\Qn\j
dann ergibt sich wegen (10)
/A
—A
A
,
n
n
weiter hat
man Ä„
^ Af»,
J.„
\
> J.„ —
Ä^, und somit
erhält
man
m
da nun der Definition der Zahlen
lim
111
so
ist,
ist
(6)
=
= 0,
-r^
00
wegen
Qn
lim o" '=
n
jn
und damit auch
und
(>'„
= rn
(4) bewiesen.
Die große Allgemeinheit des Satzes I liegt auf der Hand; er
ist
z.
B. anwendbar, falls die Zahlenfolge
mit positiven Elementen monoton wachsend und divergent
Setzt
ist.
man
so ergibt sich
K-
«i9^i+
woraus die Formel
«i)9'2
+
•
•
•
+
lim (~«Il-»-i)
(11)
(«„- «„-i)9'„=
= lim (^
&„,
,
der Grenzwert linker Hand endlich und bestimmt ist, hergeleitet
werden kann.
Aus (11) findet man für fl^„=w den Satz von Cauchy^):
falls
n. Hat die Zahlenfolge
d^, h^, h^,
lim
(12)
endlich
und hestimmt
lim
(13)
1)
ist,
•
•
•
h^,
•
•
(&„-&_,)
so hat
man
(^0= lim (&„-&„_,).
Analyse algebrique,
p. 54; 1821.
Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen.
•
die Eigenschaft,
daß
50
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
Stolz^) hat einen andern Spezialfall des Jensenschen Satzes
gegeben, wäki-end Cesaro") den allgemeinen Satz wiedergefunden hat.
Der oben gegebene Beweis rührt von Jensen her; A. MikkelsenYendsysseP) hat einen andern Beweis mitgeteilt, der auch von
Knopp^) beinahe wortgetreu gefunden und publiziert worden ist;
von der Formel (11)
dieser Beweis geht
Man
08.
hat den Satz § 19,
aus.
=
für a„
I
]/«,
9)„
=l+
T/l
anzuwenden.
39.
Für positive ganze p hat man
Formel
die
l-(^a)'+^e)^+••+^(#)=^^
zu beweisen.
Kapitel V.
Anwendungen anf
die Elementartranszendenten.
Die Exponentialfunktion
§ 20.
e^.
Als Anwendungen unserer vorhergehenden Theorie der Fundamentalreihen wollen wir die Zahlenfolge
wo
für jedes
'•,
n
=1+^+
'5„(^)
gesetzt
•, Sn{x),
S^(x\ S^{x),
Sq{x),
(1)
worden
ist,
untersuchen.
|t
+
---
+
X
n!
Wir haben dann
vor allem den
folgenden Satz zu beweisen:
I.
Die ZaMenfolye
(1
ist
)
für jeden endlicJien Wert von x eine
Fundamentalreihe; der Grenzwert von (2) heißt die ExponentialfunMion
%ind ivird als e" hezeichnet; es ist also
2
,
,
,
.
|T-
Dem
aligemeinen
hinlänglich groß, also
;7!
Konvergenzprinzip zufolge haben wir für n
z.
B.
n^
\x\,
die Differenz
237—245;
1)
Mathematische Annalen Bd.
2)
Rendiconti della R. Accad. die Lincei
Annales
p.
3
^=l + ITX + XJy + X + --- + X + ---
(2)
(3)
Bd.
7,
p. 54;
1888.
33, p.
(4)
Bd.
1888.
4, p.
116; 1888. Nouvelles
Rendiconti del Circolo mat. die Palermo Bd.
1^
225; 1887.
3)
Sitzung
Vorgetragen
am
19.
in der
Kopenhagener Mathematischen Vereinigung
in der
Februar 1907.
4) Dissertation:
vergenzgrenze, p.
14.
Grenzwerte von Reihen bei der Annäherung an die KonBerlin 1907.
Anwendungen auf
Kapitel Y.
die Elementartranszendenten.
p^2
zu untersuchen; da offenbar für
(n
ist,
+
2)(n
man wegen
so hat
+
3)
.
•
^n +
^
x" +
2
a;""*"^
immer
>(w +
(« +i))
•
51
§ 20.
1)^-^
(3)
is..,w-s,wi<j£ny!-(i+^+(;^y+-+(if^r')'
woraus durch Summation der endlichen geometrischen Reihe,
durch die entsprechende unendliche ersetzt wird, was offenbar
laubt
ist,
er-
weil sämtliche Glieder positiv sind, folgt:
!s,„,W-s.Wl<^--;^^^-
(4)
Es
ist:
die
sei
nun
Ä'
eine solche positive ganze Zahl, daß
Je
^\x\
<iJi
-{-
r+ ^
\x\''-^^
nl
\x\
\x]
muß; denn h
ist ja
eine endliche
\x
\x\
Ä;+l /ü-f2
]c\
woraus deutlich hervorgeht, daß
n
^
Fundamentalreihe
eine
(1)
'U+l/'
kl
fc!
sein
und bestimmte Zahl.
man den Wert von e^ annäherungsweise berechnen,
wendet man die endliche Summe >S',j(^) als Annäherungswert
Will
die
1
dann hat man
Formel
(4j
ergibt
so
an;
dann eine höhere Grenze des absoluten Be-
trages des so begangenen Fehlers.
Von den
liefert
nur
elementaren Rechnenoperationen mit Fundamentalreihen
die Multiplikation ein interessantes Resultat für (1).
Bei
dem allgemeinen
Ele-
der Untersuchung der Fundamentalreihe mit
mente
(5)
Ä„(^)Ä„(!/)
= (l+^ + f^-+--- + ^)(l + ^ + |^
Hand
führen wir die Multiplikation rechter
erst die Glieder
die
Summe
+
!-")
aus und betrachten zu-
von der Form
dieser Glieder wird offenbar für jedes
pl
und
+•••
die
Summe
Es
bleibt uns
j)
gleich
'
sämtlicher Glieder (6) wird daher genau SJx-{-y).
demnach nur übrig
die Glieder
von der Form
'
52
zu
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
untersuchen;
kommen
Glieder
diese
sämtlich
offenbar
in
der
Differenz
S„Xx
(8)
vor,
- S^{x + y)
-h y)
ohne jedoch diese Differenz vollständig zu erschöpfen;
kommt nämlich
Glieder von (x
Da nun
z.
B. nur
+ y)"
das
Glied
der absoluten Beträge
von
in (7)
sämtliche
x und y sämtlich positiv
(8) in diesem Falle gleich der
dieser Glieder;
man
setzt
daher
all-
\x\, h
:
i
aber
(8)
= \y\, so hat man immer
S,Xx)SM - S,{x + y) < Ä,„(a -f &) -
gemein a
=
in
vor.
die Glieder in (8) für positive
sind, so ist der absolute Betrag
Summe
x"y",
woraus wegen
5„(a
+
h),
I der Satz folgt:
IL Sind X und y willkürliche endliche Zahlen, so haben die beiden
Fundamentalreihen
s,(x)SM, s,ix)SM,
S^{x
+ y),
denselben Grenzwert; es
S^{x
ist
+
also
-,
S,^^
+
y),
•
•
•
immer
=
e^.ey
(9)
•
y),
ssx)SM,
.,
e^+5'.
Die Analogie dieser Formel mit einem elementaren Potenzsatze
auf der
liegt
Bezeichnung
Hand und
offenbar die Ursache der sonderbaren
ist
den Grenzwert der Fundamentalreihe
e^ für
(1).
Diese
Analogie kann indessen noch viel weiter geführt werden; aus (9)
erhält man in der Tat, indem n eine positive ganze Zahl bezeichnet:
(e'^)"=e"^.
(10)
Aus
III.
der Definition (2) findet
Ist \x
\K1,
1
(11)
Man
so hat
die
den speziellen Satz:
Ungleichungen
-2|a;|<|e^|<l +
2 \x\.
hat in der Tat
|^|^l
(12)
man
man
X
+ i^ + i:lL
+
1
L:if
+...
=
^,^1
und
'
'
weiter
ist
offenbar
1!
w!^2"~^ und j^i"^|^i;
also hat
man
Anwendungen auf
Kapitel V.
l-|:r|(l
i
+
+
und das Resultat
die Elementartranszendenten.
§ 20.
+ ---)<k''I<l + k1-(l + | + | +
|
53
---),
kann nun durch Summation der geometrischen
(1 1)
Reihen hergeleitet werden.
Aus
(1) findet
man,
daher auch
1; es ist
e«=l,
(13)
und
=
für jedes n, S„(0)
diese Gleichung
der Bedingung
ii?
|
|
man
Setzt
sicher für jeden anderen
ist
^^
Wert von
welcher
x,
genügt, unmöglich.
= — x,
daher in (9) y
(14)
so ergibt sich die Relation
^-^=i^
also eine
Aus
neue Analogie mit dem elementaren Potenzbegriffe.
man noch den
(11) findet
wichtigen Satz:
IV. Ist die Zahlenfolge
Uq,
(15)
«1,
«3,
«2,
•
C^„,
',
•
•
•
•
dem Grenzwerte
eine uillkürliche FundamentalreiJie mit
a,
so
ist die
neue Folge
(16)
e%
e"\
e"»,
e"^,
.
.
.
e«»
•
•
•
auch eine Fundamentalreihe, und ihr Grenzwert
Man
gleich e".
ist
hat in der Tat wegen (9) und (11) für aUe hinlänglich
großen n
(17)
\e"n+p—
e"n\
=
\e''n{e"n+p-«n— 1)1 <2el««l- \ci^^p—
Ci^\,
woraus deutlich hervorgeht, daß die Folge (16) eine Fundamentalreihe sein muß, wenn dies mit (15) der Fall ist.
Ist nun weiter für
wegen § 10, II auch
wegen (17)
n^N immer
— «„ < so hat man
für n^N immer \a — a^\<i2s, woraus
f,
o:„+_p
[
|
hervorgeht; die Fundamentalreihe (16) hat also den
Wir haben noch
einige Eigenschaften
von
e^
Grenzwert
für reelle
e".
x näher
zu betrachten:
V. Sind a und 6
reell,
und hat man a
e"
(18)
Es
man
ist in
der Tat
unmittelbar aus
angenommen
wegen
(2),
daß
(9)
ef
>
>
6,
so ist
auch
eK
e""
—1
— = e''(e''-*—
e''
positiv
ist,
1);
wenn x
nun
folgert
selbst positiv
wird; aus (14) geht daim hervor, daß e~^ auch positiv,
für positive x, sein muß, und damit ist (18) bewiesen.
Für
YI.
man
x hat
positive
Ungleichungen:
die
e->^, e-^<^, (f>l+x,
(19)
im p
eine willkürliche endliche positive ganze Zalil bezeichnet.
Die erste und
Summe
dieser
dritte
Folgen der Definition
(2),
Ungleicliun£fen
unmittelbare
sind
weil wir nur eins oder zwei Glieder der
Hand mitgenommen haben;
rechter
dann eine unmittelbare Folge der
ist
die zweite
Ungleichung
wenn man
ersten,
die Iden-
anwendet.
tität (14)
X
VII. Ist
eine willkürliche endliche positive Größe,
man
so hat
r^<i-6-"<^-
(20)
Aus der
Ungleichung (19)
letzten
> e-^,
< < 1, so
^
ist
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
54
weiter
1
-,
- ,-^ =
x\
/x^
,
—''—
man wegen
hat
a:
unmittelbar
> 1 - e-^-
(2)
/x*
,
man
findet
x^\
,
woraus unmittelbar
e-''>l
(21)
hergeleitet
werden kann: denn
sämtlich positiv;
leuchtend; denn
Vni.
— x,
Ist
X
aber
ist
man
hat dann
und
reell,
die
x^l,
1
—
e-^'<a;
eingeklammerten Differenzen sind
so sind die Ungleichungen (21) ein-
immer e~-^>0 und
— l<a;^ + l
man
so hat
1
Man
hat in der Tat
1
+ ^ + y(i+I +
s-4
da nun die eingeklammerte Größe rechter
+
---);
Hand
— l^ic^+1, so hat man e*> 1 + und
< (1 — x), woraus (22) unmittelbar folgt.
ic
stets positiv ist für
>1—
e~''
also e^
a^,
:
Die unendliche
in
—x-^0.
x<e^—l< — X
(22)
1
1
die Ungleichungen
Summe
die Analysis eingeführt
(23)
^
1)
2)
De
rechter
Hand
in (2) ist
worden; Euler^)
=2+^+^+4 +
!
5'
e^=e;
setzt
+
von Newton^)
es ist also
•
•
•
analysi per aequationes (1669). Opuscula Xewtoni, Bd. I.
Commentarii Academiae Petropolitanae ad annum 1737. Bd.
p.
9,
22
— 23.
p. 187.
'
Anwendungen auf
Kapitel V.
und p
40. Sind n
die Elementartranszendenten.
positiv ganz
und n'^p,
55
§ 21.
man durch
so findet
voll-
ständige Induktion die Ungleichungen
1
>
^^y^
—
^)i'n
— 2)---{n —p +
--^
x
41. Bedeutet
I
~~
\p) '\n)
^ p^2
n
^
=
2n-(p
,
während « und
2'
man
so hat
ist,
— 2)l
I
+
(1+I)V--, (l+l)"-.-
(iH-f/.
1)'
dem Grenzwerte
x willkürlich endlich,
eine Fundamentalreihe mit
43. Ist
'^)
-|_
eine willkürliche endliche Zahl, so ist die Folge
X
(1
->
eine willkürliche endliche Zahl,
positiv ganz sind, so daß
42. Ist
PJP —
= _ 2w
1)
nP
n
positiv ganz,
(Euler)^).
e^.
man den
hat
so
Grenzwert
lim
i+:r)=^-'-
Es ist zu beweisen, daß die Zahlenfolge in Aufgabe 42
monoton wachsend ist, wenn x positiv angenommen wird.
45. Man hat zu beweisen, daß die Zahl e irrational ist. (Eni er)").
44.
§1
Die Funktionen cosrc
21.
Aus der Fundamentalreihe
dem allgemeinen Elemente
»^^ (««=)
+ S, (- ix) ^. _x^,x^_
2!
WO
der Kürze halber
2m
'
(-
4!
=n
~ 1!
2m = n
31
oder
'5]
If'a;^"'
(2m)!
'
— Sn{-ix) _^_^,a;^_
2i
sinic.
§ 20, (1) bilden wir zwei neue mit
2
S,Si^)
und
(_i)™^+_i
••.-!-
2m = n — 1
(2m
bzw.
'
-{-1)1
2m
-{-
1
= n—l
nachdem u gerade oder
ungerade vorausgesetzt wird; bezeichnen nun cos ä; und sina; die
Grenzwerte dieser Fundamentalreihen, so hat man demnach
oder
-\-
1
worden
ist,
je
cos^-=i-^;+^;-...+fc|^-+...
(1)
sm^
(2)
und wegen §
1748.
gesetzt
=
-^,
_
^^^
und
20, (1)
+ __... +
(2) die
^^^^^^
,-
+
1)
Miscellanea Berolinensia Bd.
Commentarii Acad. Petropolitanae ad annuum 1737 Bd.
3)
Man
vergleiche
z.
•
•
Formeln von Euler^):
2)
7,
•
p.
177; 1743.
9,
p.
B. Introductio in analysin infinitorum Bd.
120
I,
— 121.
§
139;
—
=
X
COS
(3)
;
5
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
56
,
~
sm j;
,
>
^i
woraus die weiteren Relationen
=
e"^
(4)
cos X
smx,
-\- i
e~ '-^
=
—
cos x
i
sin
x
unmittelbar hergeleitet werden können.
Aus
man wegen
§ 20, (9) erhält
cos {x
-\-
y) ±:
i
sin (x
+
i
(sin
y) =
cos y +
a;
(4)
— sin x sin y
cos x cos y
•\-
cos
sin y)
a:
woraus die Formeln
= cos X cos y — sinx sin'i/
+ y) = sin x cos ^ + cos x sin
cos (x
-}-
I
^
"^
sin
1
(a;
y)
i/
man
unmittelbar entfließen; weiter hat
aus der Definition der Funda-
mentalreihen, welche cosic und sina; als Grenzwerte haben
(—
cos
(6)
•
Aus
=
a;)
cos
sin(
ic,
cosO
sinrr,
=
sinO
l,
= 0.
ohne weiteres, daß
(3) ergibt sich
cos^a;
(7)
sein
=—
x)
sin^rr
-j-
=
1
muß; da nun sowohl cosa; als sina; für reelle x beide reell
man wegen (7) für solche Werte von x immer
sein
müssen, hat
— l^cosic^+1, -l<sina;<+l.
(8)
Aus
und
(1)
man
(2) findet
Isinx-^K^J-'.---^-^,
6
20
(9)
2
Man
weiter
ist,
hat in der Tat
für
1
woraus
+
n'^2, 2n(2;^
2
.
.
3
.
4
•
5
•
•
•
+
;-
1)
+ ^^r[y. +
•••
^ 20,
und
+
2w {2n
•
1)
also hat
>6
•
•
•
•
man
20"-^
folgt:
1^1*
^ lajJVi + -^
Ism.^-rrl<-^(l
in ganz ähnlicher
Aus
,
,
,
Weise
(3) findet
leitet
[a;!*
+ ^- +
.
,
I.
|a;j'<12.
"
Isin^-^l^l^ + L
(11)
|x,'<20
|eosx-l|<^'-^~„
12
(10)
ab.
Ungleichungen
die beiden
\
,
•••)
1«:"
= ^--
man nun auch
man wegen
die
«1,
«2;
«3J
•
•
Ungleichung (10)
IV den ähnlichen
§ 20,
Ist die Zahlenfolge
Uq,
20
^ö^rj-^Ti
•
j
«„»
•
•
•
Satz:
Kapitel V.
Anwendungen auf
die Elementartranszendenten.
dem Grenzwerte
eine ivillkürliche Fimdamentdlreihe mit
57
§ 21.
sind die
a, so
beiden Zahlenfolgen
COS«i, cos
COSOTo,
(12)
^
«27
(smaQ, Sinai, smag,
^
•
•
.
.
; ^OS tt^,
.
.
.
sm«^,
.,
Fundamentalreihen mit dem Grenzwerte cos a und sin a.
Ist
^x <,'\/2,
nun weiter
cosa;
=
(l
man wegen
so hat
- y) +
(fr
-
f ;)
(1)
> 0;
H
andererseits ergibt sich aber
die
Zahlen a^
= ]/2,
cos
i-4!)-fe-^)----<0;
= 2 haben daher die Eigenschaften,
> 0, ^ ^ «0, cos <
/5o
ä;
ist.
Zwischen a^ und
ein,
so
und
so daß
ic
/3q
daß a^'^a^^, ß^
daß
/3o
und
schalten wir zwei neue Zahlen a^
<
ß^
/3o,
>
und
ci^^
— «^ ^ — (ß^ —
/^^
«q)
ß^
ist,
man
cosä;<0,
OKx^a^,
cos/3i<0
hat, usw.
Die durch dieses Verfahren bestimmten Annäherungsreihen
\t>o,ß.ß,.--;ß..---
^._,,.<:&r^
(13)
haben daher
cos
(14)
daß für jedes n
die Eigenschaft,
x'>
^ ^ a^,
0,
cos
ic
ß^^
<
ist.
Bezeichnet nun —7t die Grenzzahl der Annäherungsreihen (13),
so ist diese Greuzzahl
reihen, deren
Dem
gemeinsam
für alle diejenigen
Satze I zufolge haben die beiden Fundamentalreihen
(15)
cos ^0,
cos
ß„
cos ß.„- '•, cos
/3,„,
(16)
cos
cos
«1,
cos
cc^,
«07
den gemeinsamen Grenzwert
gleich
NuU
sein;
«27
•
cos^^:
•
•
7
cos
•
•
'
•
•
•
dieser Grenzwert
muß
daher
denn die Elemente der Fundamentalreihe (15) sind
sämtlich negativ, diejenigen von (16)
demnach
(17)
Annäherungs-
Elemente den Bedingungen (14) genügen.
cos^=0.
aber sämtlich positiv, es
ist
—
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
58
Aus
man
(2) findet
sin
x
>
sin
(18)
und somit
cos (x
(19)
man
erhält
±
< ^ 2;
für
1=
daher wegen (7)
es ist
a:
-hl,
aus (5)
=+
v)
+
s"^ (^
si^i^V
""
2)
±
^^® ^'
woraus die beiden anderen Formelpaare
cos {x
(20)
cos
(21)
+
(:i;
= — cos X,
= cos x,
7t)
sin
sin
4- 2:;r)
+
(a;
(a; -|-
tt)
2 jt)
= — sin x
= sina;
hergeleitet werden können; aus (20) ergibt sich
=—
n
cos
(22)
sin
1,
:r
= 0.
Ganz wie in der elementaren Goniometrie
anderen Formeln
die
sm a
(22 a)
cos a
speziell
leitet
man
aus (5)
= 2 sm ———ö cos a -\-h
^
— & .a ö
— cos 6 = — 2<r>-«
sm —-— sm +
—
^
.
c\
sm 6
O'
•
•
7
—i—
•
woraus ohne Mühe die wichtigen Ungleichungen
ab,
> sin
cos « < cos
sin
(23)
(24)
denn
hervorgehen;
<,x
<^:x,
Aus
rt
und cos
diesen
+|^«>&^-|
^a>&^
&,
&,
:7r
man
hat
>
für
a;
wegen
(6)
und
— „ <^<+V
sinÄr>0
(14)
für
"
Bemerkungen beweisen wir nunmehr den wichtigen
Satz:
II.
Die
cos {x
(25)
sind dann
wo p
Daß
ist,
drei Gleichungen
-\-
a)
=
cos x,
sin {x
=a+
03)
=
sin x,
und nur dann für jeden Wert von x
Zahl
eine ivilJJcürliche ganze
und
ih,
wo
a und h
reell sind,
+
=
e^ +
^"'
= e^
richtig, ivenn
(x)
= 2p7C
bedeutet.
Gleichungen (25) für a
die
sind, geht unmittelbar aus (21)
«
-{-
=
x willkürlich, richtig
2p:t,
(4) hervor.
so
erhält
Setzt
man
man
weiter
aus der letzten
Gleichung (25)
e'"-*= e-''(cosa
da nun für h
reell
i
sina)
immer e~''>
woraus wegen (22) und (23) a
e~*
=
(—
1)'',
1,
so daß
j>
e~''cosa=l,
sein
= p%,
p
gerade und & ==
muß,
= 0;
sin« = 0,
e~''sina
so hat
man
und somit ergibt
sein muß.
ganz,
sich
Aus
man nun ohne Mühe den
II findet
wenn
ganze Zahl
Jcürliche
nämlich
Ist
cos (x
,
=
4:03)
-{-
z.
ic
a?
59
§ 22.
folgenden Satz:
= und sin =
x = -n + pn hsiv. x = pit
ni. Bie Gleichungen cos
dann möglich
die Elementartranszendenten.
Anwendungen auf
Kapitel V.
sind dann und nur
tvo
ist,
p
eine will-
bedeutet.
=
w
B. cos
woraus
cos X,
0,
die
so
man ganz wie
findet
Richtigkeit
vorher
unserer Behauptung
unmittelbar hervorgeht.
Wir
setzen
.^_.
in der elementaren Goniometrie
noch wie
.
=
sinic
e
—
e
2.i
.
= " ' + T^^x
JiF^^T^)
=
(26)
tg *
(27)
cot:._-T^-*6^2-i + -5|^-
c„B
..
§ 22. Die Multiplikation komplexer Zahlen. Die geometrische Reihe.
Aus den Ungleichungen § 21,
und (24)
(23)
ergibt sich,
daß
die Gleichungen
sm.x
cosa?=»=a;
(1)
und nur
eine
—
bzw.
-
Daß
Tt
eine
= v^
Lösung x
< v^ <i
jedenfalls
-{-
-
-
7t
nicht
= a, — 1^«^+1
besitzen, so daß 0^i\^7t
bzw. x =
v.2
ist.
mehr
als
eine
Lösung
die
obengenannten
Bedingungen befriedigen kann, geht unmittelbar aus den obengenannten
Ungleichungen hervor; daß aber auch eine solche Lösung wirklich
existiert, wird durch das gewöhnliche Verfahren bewiesen.
Betrachten wir z.B. die Gleichung co8X
= a,
so
können wir
a = + 1 und — 1 übergehen; denn für
Werte kennen wir schon alle Lösungen unserer Gleichung.
Es seien dann a^ und ßQ zwei Zahlen, die so gewählt sind, daß
jr > «0 >
> und cos a^^ <C a < cos ß(^ ist; ist das arithmetische
Mittel m^ zwischen a^ und ß^, also 2^^=
+ ß^, eine Lösung der
Gleichung, so sind wir damit fertig, wenn nicht, so ist z.B. cosw<i<a;
dadurch haben wir die zwei neuen Zahlen a^ und /3^ in solcher
die
beiden extremen Fälle
diese
/3(j
cc,,
Weise
—
ßi
=^
zwischen
a^
und
und
<^i
daß
bestimmt,
{cCq
~
ccq> a^=-
ßo) i^^)
^^^
mi> ß^=
"^^^^
ß^,
cos a^
<a<
cos ß^
^^^ arithmetische Mittel
^3
ß^ eingeführt usw.
Die durch das angedeutete Verfahren bestimmten Annäherungsreihen
,
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
60
•
«2.
""''
""O'
(9\
•
•
«n.
•,
haben dann
^
n
die Eigenschaft, daß für jedes
cos
(3)
a,j
< a < cos
«0-^0
_3 ^
•
•
I
/3„
bezeichnet v die Grenzzahl der Annäherungsreihen
ist;
wegen §
21,
I.
die beiden
•
cosuq, cosa^, cos «2?
den gemeinsamen Grenzwert cos
aber vermöge (3) auch gleich
seien
nun
i\
und
Vg
•
•
•
cos/3„,
•,
•
cosa^,
"j
•
•
•
•
•
v; andererseits ist dieser
a,
= a.
oben angedeuteten Lösungen der
die
dann werden
Grenzwert
man
also hat
cos V
Es
haben
Fundamentalreihen
cos/3o, cos/3i, cos/32,
Gleichungen (l);
so
(2),
vollständigen Lösungen
die
dieser
Gleichungen
X
(4)
wo p
=
+v^
-\-
X
2p7t,
=
{—l)Pv2-\-
pn
eine willkürliche ganze Zahl bedeutet.
Sind sowohl cosic
als
bekannt,
sina;
so
ist
x
selbst
bis
auf
einen Vielfaches von 2;r bestimmt.
Betrachten wir nunmehr die komplexe Zahl
x==a-i-ih
(5)
so
kann man eine Zahl
ist;
v so bestimmen, daß
cos V
(6)
denn
Summe
die
r=+y^M^,
= r['^^il),
=
~
sin V
,
^
—
der Quadrate dieser beiden Zahlen
ist
ja der
Einheit gleich; dadurch erhalten wir die folgende Darstellung der
Zahl X
=r (cos V +
allgemeiner v +
X
(7)
die Zahl v
Es
sei
oder
=r
sin ü)
•
e'^;
2p;r heißt die Phase der Zahl
x.
nunmehr
Xi=
(8)
eine
i
a^-i-
i\
= r^
komplexe Zahl; dann erhalten wir
•
e'^i
die viel
bequemere Multipli-
kationsregel
(9)
xx^
= rr^
e'(»
+ »i)
= ri\
(cos
(f
+ Vj) +
i
sin
{v
+ Vj))
;
wegen (6) und der entsprechenden zur Zahl Xj^
hörigen Formeln mit § 16, (14) oder § 17, (6) identisch wird.
die
natürlich
ge-
'
,
Anwendungen auf
Kapitel V.
die Elementartranszendenten.
Für positive ganze n erhält man aus
§ 22.
(9) die sogenannte
61
Formel
von Moivre:
(r (cos V
(10)
die jedoch auch für
sin v))"
-{- i
komplexe
i
sin nv)
Formel (10)
v gültig bleibt; durch die
ganz in derselben Weise wie in der elementaren Arithmetik
kann man
binomische Gleichung x"
die
= r" (cos nv +
=
a auflösen.
Anwendung
Als eine andere
der Formel (10) wollen wir die
geometrische Reihe
+ re'" + /-e'2' +
1
(11)
e'C'-^)"
h r"-^
j
r
I
<1
.o
„
—v
1
1
.„
„
man
woraus, indem
^„
man
so hat
,
_
n untersuchen.
für ein unbegrenzt wachsendes
Ist
=
einführt und
anstatt v
haltenen Formeln addiert und
— r cos V
1
(13)
J
\
r sini;
?-2
cos 2 ?;
'
diese beiden Formeln, die
bar für
r
<1
r>
Ist
+ r3 cos 3 V +
,
1,
summe mit n über
so wird unsere
•
der
Sin.
'V
.-
^
;
komplex
Betrag
endlich
ist
ist.
unserer
r=
Reihen-
aber v^2p7t,
1
aber unbestimmt; hat
mau
l-\'
(1'')
wo der Bruch rechter Hand irreduzibel ist, so hat
summe g verschiedene Werte je nachdem n durch
den Rest
so
(JOS
verdankt, sind also anwend-
absolute
stets endlich
/%•
1
mau Euler ^)
jede Grenze hinaus;
Summe
er-
V
= ri^j^^sv^fy^
;;
'
wächst
•
•
gleichviel ob r reell oder
so
beiden so
die
= _ ^2rT cost» +
+ r^ sin 2t; + r^ sin 3!; H
'
ir Binv
subtrahiert, folgt:
1
+ r cos V +
(12)
-\-
0, 1, 2,
•
•
•,
g
Man
1 liefert; ist
eine der Zahlen
kann mindestens
IV jedem zwischen
—
+1
unsere ReihenDivision mit g
aber der Bruch (14) iiTational,
coswv und
sin >ry
ist
Zahl:
1)
kommen
hat die folgenden Formelpaare zu beweisen und die Be-
dingungen für ihre Anwendbarkeit zu diskutieren; v
46
wegen §7,
gelegenen Zahlenwerte beliebig nahe
^""^
<^Q^^^
1
2C0SV
_^£«1^
.
.
I
(2coät;)-
.
.
=
cos2i;
(2co8v)^
Introductio in analysin infinitorum, Bd.
I,
§ 258; 1748.
eine reelle
,
,
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
62
sin
t)
sin 2 v
,
2 008-^
+
sin 3
+
,
7^iTz_.N2
(2C0SV)^
1'
=
,
H
7w::;::r.,va
(20081'}"
r^
.
sm 2ü
—=—
— = sm2ü
47. 2 cos r cos v-\-2^ cos^ t; cos 2v-\-2^ cos^-y cos 3 v H
•
•
•
cosv H-
•
+ cos^v
cosv sinv
•
§ 23.
I.
cos'^i;
Der
2 cos^
+ 2^cos^i; sinSv H
=
+ cos^i; cosSv
sin2v + cos^t; sinS-y -[-••• = cotw.
2cosv smv + 2^cos^v sin2v
•
•
48. cosv
v
.
•
cos 2?;
•
•
•
-J
•
natürliclie Logarithmus.
Bedeutet a eine willkürliche, endliche, positive Zahl, so hat die
Gleichung
e^=a
(1)
und nur
eine
rithmus x
eine reelle
= \oga;
es
Lösung in
ist
nämlich den natürlichen Loga-
e^<^^''=a.
(2)
Daß
X
x,
demnacli
Daß aber
ist.
mehr
die Gleichung (1) nicht
eine
als
Lösung
reelle
Hand, weil e^^e^ sein muß, wenn
gestattet, liegt auf der
a;
für
>y
wirklich auch eine Lösung existiert, wird durch das-
selbe Verfahren wie in §
22 bewiesen.
Unter Anwendung der Definition
man die Formeln
(2) in
Verbindung mit § 20^
(9), (10) erhält
log (ah)
(3)
log («")
wo
in der letzten
Da
§ 20,
für
a^h
= log a + log &
= n log a
,
log
(|-)
=
auch log
a> log 6
sein
muß,
Setzt
< <
;r
die erste für alle endlichen positiven
man nun
in (4)
_
man wegen
so hat
Ungleichungen
die anderen
log(l+a:)<:r<-log(l-a;),
von welchen jedoch
-logh,
Formel n eine ganze Zahl bedeutet.
(19) und (21)
(4)
log a
1
x anwendbar
ist.
nacheinander
1
1
1
1
so ergibt die Addition aller so erhaltenen Resultate unter
Anwendung
der ersten Formel (3) die Ungleichungen
(6)
log(!l±i)<| +
A + |+... + i<iog„,
von welchen wir verschiedene speziellere Sätze herleiten wollen.
Erstens erhalten wir unmittelbar aus (5) das folgende Resultat,
Anwendungen auf
Kapitel V.
zum
welches
erstenmale von
wiesen worden
63
§ 23.
Jakob und Johann Bernoulli^)
be-
ist:
Die monotone
II
die Elementartranszendenten.
Zaiilenfolge, deren allgemeines
Element durch den
ÄusdrucJc
(6)
«.
definiert tvird,
als die
log(y
+
man demnach
n
man wegen
Umformung
zweitens nach einer leichten
^)<| + | + | + ---+,^-log«<l;
der Kürze halber
=i+A+A+
C.
so hat
wird gewöhnlich für unbegrenzt wachsendes
man
(5) findet
+
l
setzt
(6)
harmonische Beihe bezeichnet.
Aus
(7)
divergent.
ist
Summe
Die
= T + i + l + --+l
+ i-log«,
...
(4)
C.-.-C,.-^+log(l-^)<0,
woraus der Satz sich ergibt:
Die Zahlenfolge C^ 63 Cg
O«
ist monoton abnehmend
und Tionvergent; ihr Grenzivert wird gewöhnlich als die Eulersche
III.
,
,
•
,
•
•,
,
•
•
•
Konstante ^) bezeichnet.
man
Setzt
in
a;
den aus
<—
(4) erhaltenen
log(l
— ;r),
Ungleichungen
a;>log(l+a;)
bzw.
T
=
^
,,
a
so erhält
a
b
-I
1
"^
'
b
man
«^J<ioga_log&<^, a>&>0,
(8)
welche Formel erheblich verallgemeinert werden kann;
in der
log2 (x)
so
erhält
genommen
man
man
= log (log x)
erstens
log„ {x)
,
aus (8),
wemi
= log (log„ _
& > e, also
1
{X))
,
log&>0,
an-
wird:
losa
1)
setzt
Tat
— logt
^1
/
Jakob Bernoulli: Opera
X
,
/,s
omnia, Bd.
I,
^loga
— loprö
p. 392.
Commentarii Acad. Petropolitanae, Bd. 7, p. 157; 1784—1735(1740). Vgl.
mein Handbuch der Theorie der Gammafunktion, p. 6 9. Leipzig 1906.
2)
—
Theorie der Zahlenfolgen,
Erster Teil.
ß4
woraus wegen
(8) hervorgeht:
Weise kann man offenbar fortfahren; durch vollständige
Induktion erhält man dann allgemein
dieser
in
,^,
^^^
«Tog« log.^)^
)
log.(«)
"
1
log»,-!
^
wo man
>6
und
'
Mog&log&,(b)...log.(&)
>
(^)
daß log„
h so groß,
i
(h)
>
annehmen
wird,
man Pringsheim.^)
Dies Beweisverfahren verdankt
muß.
- ^^g» +
(^)
1
a-b
(^)-lQg^^i(^)<
a
also
< ^^g^f
Bemerkungen über natürliche Logarithmen positiver
Zahlen beweisen wir nun ohne Mühe den allgemeinen Satz:
Nach
diesen
Bezeichnet
III.
a
(10)
= r(cosv-]- isinv) = re'"= e^^er +
iv
eine tvilTkürliche endliche von
verschiedene Zahl, so hat die Gleichung
(11)
e'=a
unendlich viele Lösungen, die eine arithmetische Reihe mit der Diffe-
2ni
renz
bilden
und gemeinsam durch das Symbol Loga
bezeichnet
iverden.
Setzt
man
der Tat x
in
=
a
iß,
-{-
so
ergibt sich
wegen (10)
= logr,
= v + 2p7C,
und (11)
g«;
= giogr + t>^
+ i,^
wo
2>
a-[.iß
= \ogr + iv-\-2p%i,
a
eine willkürliche ganze Zahl bedeutet; es ist
Loga
(12)
In (10)
ist
es
zu verfügen,
immer möglich, in
wenn speziell a
der
ist;
demnach allgemein
= \og\a\-\-i{v + 2i)7t).
daß,
— 7t<Cv<C-\-^
ß
dazu für
Weise über
solcher
nicht negativ
p=
gehörige
die
Zahl v
immer
Wert von Loga
reell
ist,
wird durch loga bezeichnet und heißt der Hauptivert dieses Logarithmus; es
ist
loga
(13)
ist
daher
=
log |a
j
speziell
—a
log
(14)
+
— < v < +;r;
n;
«^';
eine negative reelle Zahl, so
(— a)
=
log a
+
kann man nach Belieben
7ci
für den Hauptwert anwenden.
Für den allgemeinen Wert
Loga
(15)
1)
=
Mathematische Annalen, Bd.
findet
loga
35, p.
man demnach
-f 2^^^^;
318; 1890.
Anwendungen auf
Kapitel V.
reellen Zahlen
positiven
die
Logarithmen einen
man
sind
deren
einzigen,
die
65
§ 23.
natürliche
Hauptwert besitzen: denn nur
reellen
=
die Elementartranszendenten.
in
diesem
Aus (5) geht hervor, daß die für reelle
Logarithmen bewiesenen Formeln (3) nicht für den allgemeinen Logahat
Falle
v
0.
rithmenbegriff aufrechterhalten werden können; es
=
Log (ah)
Log«
-|-
1.
log
1=0, Log 1 =
Beispiel 2.
log
(-
Beispiel
1)
= ± 7ti,
Aus a
Setzt
Beispiel 4.
-\-
man
log a
der Tat
z.
B.
=
1)
(2p
+ 1) Tci.
ni
= e^,
log a
ist in
2p7ti.
-|-
2p7ii.
Log (-
ni
Beispiels.
Log&
h == e^
log h
man
findet
für
die
Hauptwerte
= log (ah)
aber «
= e^
= e*
&
,
+ log h = log (ah)
,
so hat
man
Tti.
-\-
Die obengenannten Formeln gelten also nicht einmal allgemein
Hauptwerte der komplexen Logarithmen.
für die
Aus der
Definition § 20, (2) findet
man
einen Ausdruck von der
Form
e-l=x{l +
(16)
wo
Wert von x
a für jeden endlichen
Gleichung
e^
—1=
nur für x
zu X gehörige Faktor rechter
eine endliche
Wenn
von
^^-
+
ax^),
selbst endlich bleibt; da die
= 2p7ii
Hand
möglich
in (16)
so
ist,
nur für x
=
kann der
2p7ti,
wo
2>
verschiedene ganze Zahl bezeichnet, verschwinden.
x nicht eine Zahl dieser Form
(17)
a;
= /j(e^-l),
ist,
Ä-
erhält
man
daher
+ 0,
oder anders geschrieben
x=
(18)
'
l-f-
nun
ist
aber identisch für y =^
—
*
— + ax-
—1
1
-L
y'
woraus wegen (18) einen Ausdruck von der Form hervorgeht:
X
^ e^ —
Ersetzt
1
—-
(e^
—
1)
man nunmehr
-\-hx^(e^—l),
in dieser
p4=0.
Formel den Faktor -
Hand durch den obenstehenden Ausdruck,
Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Keihen.
x=^2p7ti,
so erhält
a;
rechter
man wegen
5
(7)
.
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
66
X
(19)
= &"-!- ^^^'^
i-Äie'- lY,
wo Ä endlich bleibt, wenn x eine willkürliche endliche Zahl, nicht
von der Form 2p7ii, |^| positiv ganz, bedeutet.
Aus (19) findet man dann unmittelbar den wichtigen Hilfssatz:
IV. Bedeutet y eine endliche von
man
+ y) = y-\if+Aif,
\o^{i
A
eine endliche
Setzt
endlich,
und
verschiedene Zahl, so hat
für den Hauptwert des Logarithmus:
(20)
wo
—1
die
man
Zahl
in der
wenn y
hedeutet.
= log(l -^ y), so bleibt immer
— 1 verschieden angenommen wird,
Tat in (19) x
endlich und von
Gleichung log(l
+ y) =
a;
p
2p;r/,
ist
=H 0,
für
den Haupt-
wert des Logarithmus ausgeschlossen.
V. Ist X eine solche
reelle
daß
Zahl,
— 1 ^ ^ oo
a;
ist,
so gelten
Ungleichungen
die
r:^<log(l+:.)<^.
(21)
Da wegen § 20, (19) und (22) für oo'^x'^—1 immer e'^ > 1 + a;
ist, so hat man auch für diese Werte log {1 -\- x) <C x
woraus, für
— oo < y < 1 log (1 —y)<i — y folgt; setzt man demnach in dieser
,
,
letzten
Ungleichung y
Aus
VI.
=x
{1
:
-}-
unser Satz damit bewiesen.
x), so ist
(9) ergibt sich der folgende Satz:
Bezeiclmet Aq, A^, A^,
•
-,
A^,
•
•
•
eine divergente
tvachsende Zahlenfolge mit positiven Elementen, so
limsup^"+-^
ist,
so hat
man
= G <oc
lim ^^^r^--±^l
n
=
cc
Aus (20)
Formel (22)
findet
man
VII. Ist «0, «1, «o,
•
•
=
1
l0gr(^„)
(8) ergibt sich in der Tat,
durch vollständige Induktion
die allgemeine
daß
für jedes endliche positive r
(22)
Aus
monoton
daß (22) für r = 1 richtig sein muß;
man dann unmittelbar wegen (9)
leitet
ab.
weiter:
-,
a^,
•
•
•
eine Fundamentalreihe mit lauter
von Null verschiedenen Elementen und mit dem von Null verschiedenen
'
Anwendungen auf
Kapitel V.
Grenzwerte
a,
und
67
§ 24.
einen ivilTkürlichen aber bestimmten
so ist die Zahlenfolge
Log«o, Logc^i, Log «2,
(23)
eine
Log x
hezeiclinet
Wert des Logarithmus,
die Elementartranszendenten.
•
•
Loga„,
•,
•
•
•
Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte Log«.
49.
Für jedes positive ganze n hat man
§ 24.
die Ungleicliungen
Potenz mit willkürlichem Exponent.
man wegen
Bedeutet n eine willkürliche ganze Zahl, so hat
§ 20, (10)
a"
(1)
diese Identität
=
wählen wir
=
{e^°^'''f
e^Loga.
als Definition
der Exponent keine ganze Zahl
wenn
des Potenzbegriffes,
wir setzen
ist;
indem
also,
co
eine
willkürliche reelle oder nicht reelle endliche Zahl bezeichnet:
a"'=e"'Loga_
(2)
Diese allgemeine Potenz hat daher unendlich viele Werte, wenn der
Exponent keine rationale Zahl bedeutet; ist diese Potenz mehrdeutig,
ist also
n keine ganze Zahl,
so bilden die verschiedenen
Werte
dieser
Potenz eine geometrische Reihe mit dem Quotienten
e'''""\
(3)
Wählt man
so nennt
in (2) für den
man den
Logarithmus seinen Hauptwert log a,
Wert
entsprechenden
der Potenz den Hauptwert
dieser vieldeutigen Zahl; es ist also für diesen
a"'
(4)
Beispiel
1.
Die
=
e'"
^°8
=
Annahme x
co
Hauptwert
a-
=
i
gibt den
Hauptwert
n
«'
(5)
während der allgemeine Wert
f
(6)
wird,
wo p
=
e
2
dieser Potenz
=e
^
eine willkürliche ganze Zahl bezeichnet.
Die elementaren Potenzsätze gelten natürlich im allgemeinen
nicht für den allgemeinen Potenzbegriff (2);
\* J
of"
.
qI'H
=
^0)
+
(ui
+
2 (p
Ol
man
+ piWi) n
i.
hat
z.
B.
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
gg
Nach
Bemerkungen haben wir nunmehr verschiedene
diesen
Sätze über den Hauptwert der Potenz (3) herzuleiten:
Der Hauptwert
und a
I.
Setzt
man
reell
= re'%
a
man
^
+
ß'ct
^
^w
\
+
(log r
!,y)
+
a
iß,
_, ßU log
iv)
;•
—
1-
,y
+
(et
»
+
f-oi
ß —t-iv
.
ß
,
{a V
+
,-?
log
r)
Aus
=^=
man nun
(9) findet
r)
i
es
ist
in
diesem
0.
weiter
a"'
(10)
= r"
\
e-?%
I
woraus für
= 0,
/3
=
a
also
a«
(11)
und für
=
?;
a
=
r =
0, also
H.
a
Ist
I
I
=r>
stimmen, daß für
a
1,
und
ist
es
bedeutet
a
7(!
indem der Exponent q
Setzt
denn
man nämlich
es ist ja r
b
=
1
\
a, s
eine vorgegebene willJcürlich
>
1
q
also log r
p'>iy
in (13)
=
1
:
E,
>E
eine iviUldirliche endliche
=y+
positive ganze Zahl, daß
Nimmt man
E
möglich eine solche positive Zahl k zu be-
ay-h immer
(13)
ivird,
a positiv.
a'",
I
I
große positive Zahl, so
a reeU
«,
I
=
a« + '/*
(12)
a
I
I
I
folgt,
man
log
1
woraus unser Satz unmittelbar hervorgeht; denn
Falle (und nur dann) ü
,^
Umformung
oder nach einer einfachen
/g
=
a
den Hauptwert
für
^")
reell,
Tat
in der
(8)
so hat
a'" tvird dann und nur dann
angenommen wird.
der Potenz
ivenn a positiv
iS, so hat
> 0;
ist,
ist
man wegen
nun p
so hat
Zahl
bedeutet.
(11) und (12)
eine solche endliche
man wegen
(14)
und (lö) den reziproken Wert, und
so
kommt
der ähnliche Satz:
setzt
,
Anwendungen auf
Kapitel V.
IL
Ist
<
&
j
I
und
1,
Größe, so
kleine positive
heseiclmet
immer
a?
(16)
&"
•
I
I
<£
der Exponent q eine ivillkürliche endliche Zahl hedeutd.
wird, indem
Ist
69
vorgegebene wüTkürlich
eine
s
§ 24.
möglich eine solche positive Zahl h zu
es
ist
a^k
bestimmen, daß für
die Elementartranszendenten.
eine positive Zahl,
in (15) Q
und
man
setzt
in dieser
Un-
gleichung
a^e = r, -^8,£=Yö,
E==
——
1^
so erhält
mau
woraus durch
folgt;
e" :tt^
> -^j
also
die Substitution a
=
log ß die wichtige Ungleichung
d bedeutet also hier eine willkürlich kleine aber angebbare
positive Größe.
erhalten wir noch für den Hauptwert
Aus der Potenzdefinition
Entwicklung
die
(1
wo
- xy ^
K
e^
^ 1 + '^"%~ "^ + '^^"^'^
^°^(^-)
eine endliche Zahl bedeutet, falls
heit verschieden
Wegen
ist.
~ '^
+^-Iog^(l -x),
x endlich und von der Ein-
der Formel § 23, (20) ergibt sich dann
weiter
{l-Xy=l-QX-^ ^J^Jd
(18)
WO
K.^ endlich ist,
wenn
mit
dies
daß (18) auf folgende andere
,
—'^ =
19)
Aus §
III.
Ist
23,
cCq
VII
a^
findet
«2
•
•
•
^n
•
•
K der Fall
^.2
^
ist;
J^^
.
^3^
wir bemerken noch,
Form gebracht werden kann:
e
man
•
.
- ^<-'^ ^- K,
^'.
unmittelbar den ähnlichen Satz:
^^'^^
Fundamentalreihe mit lauter von
Nidl verschiedenen JElementen und dem von Null verschiedenen Grenz-
;
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
70
we)-te a,
und
hezeicimet
^0
^\
)
=p
Für a
wo p
ia,
-{-
von 2% bestimmt
^n
-1
)
man
•
•
a'".
eine ganze Zahl bedeutet,
zu be-
ist
bis auf eiu Vielfaches
a"'
ist.
cj„, ...
«3,...,
«2,
(o^,
lenfolge,
hat
•
•
1
daß die Phase der Potenz
weisen,
51. Ist
^^
j
dem Grenzwerte
eine Fundamentalreilie mit
50.
unllMrlichen aber hestimmten Wert
einen
x'"
Zahlenfolge
ist die
der Potetiz, so
divergente Zah-
willkürliche
eine
deren Elemente sämtlich von
verschieden sind, so
die andere Zahlenfolge
(i+-;r. (1+0"-.
(1+0-,...
•..,
zu untersuchen, worin x eine willkürliche endliche Zahl bedeutet.
52. Bezeichnet
a^,
a^,
X'"^-1
Og,
x'"^
ZU untersuchen; x
—
!
X"''
—
willkürliche
eine
...
«„,
...,
dem Grenzwerte
damentalreihe mit
0, so
man
hat
X'"n—l
1
eine willkürliche endliche
ist
Fun-
die Zahlenfolge
von Null ver-
schiedene Zahl.
53.
Aus den beiden
positiven
Zahlen
a^
% %
endliche Folge positiver Zahlen a^
Gesetze gebildet, daß a^ von w
=3
und
.
a^
.
.
+
—
2
wird
...
eine
un-
nach dem
an das geometrische Mittel
zwischen r/„_i und a„_2 sein soll, also «„
man hat dann die allgemeine Formel
ttp
a^
= ]/«„ _
i
.
a„
_2
"'1
0,2
zu beweisen und den Grenzwert der Zahlenfolge zu bestimmen.
54.
Aus der Zahlenfolge
Ui M2
'^h
•
•
•
^'/i
•
•
•
55.
Für Q
^0
hat
Aufgabe 53 wird eine andere Folge
gebildet,
indem für jedes n
=
«2
M„
gesetzt wird: es
in
ist
man
I
V«!
•••
<*n
I
der Grenzwert dieser Folge zu bestimmen.
den Grenzwert
lim
zu bestimmen.
«3
(^-M\
,
Anwendungen auf
Kapitel V.
Es
56.
daß
beweisen,
zu
ist
meinen Elemente
-
n
(-^
+
\log 2
'
die Elemeutartranszendenten.
—
-
log 3
^- "'"*"'"
4+
+
"•"
allge-
^
"i
log w/
log 4
monoton abnimmt und den Grenzwert Null
§ 25. Geometrische Darstellung der
dem
mit
Zahlenfolge
die
71
§ 25.
hat.
komplexen Zahlen.
Bilden wir die komplexe Zahl
X
(1)
in der
Ebene
in
=
a
-{- il)
den Punkt
dinaten a und h ab,
so
= r (cos v
M
(et,
-\-
i
sin v)
mit den rechtwinkligen Koor-
h)
Zusammenhang
der dadurch definierte
ist
zwischen den komplexen Zahlen und den Punkten der Ebene
ein-
eindeutig.
In unserer späteren Darstelluug sprechen wir häufig über den
„Punkt" X, indem wir damit denjenigen Punkt 31,
welchem x ab-
in
gebildet wird, verstehen.
Bei dieser geometrischen Darstellung wird, der Relation
wegen, der absolute Betrag r von x dem von
M
bis
positiv ge-
dem
rechneten Radiusvektor gleich, während die Phase v von x mit
von
der
positiven
zum Radiusvektor 031
Abszissenachse bis
rechneten Winkel zusammenfällt; denn es
a
Dadurch ergibt
= r cos V,
h
ist
ge-
ja
= r sin v.
sich weiter, daß die
von uns
als
Grenzwerte ge-
wisser Fundamentalreihen definierten Funktionen cos v und sin v mit
den elementaren trigonometrischen zusammenfallen.
nun x = a -\- ih, y = a^ -{- il)^ in den Punkten 3d und
z = x-\-y = a-\-a.^-\-i(h-\- h^) in den Punkt P abEckpunkte eines Parallelogebildet; dann sind 0, 31, P und
gramms, so daß
und P entgegengesetzt sind; hieraus folgt un-
Es
N
,
die
seien
Summe
N
mittelbar der Satz:
I.
A
und
Sind die beiden Tiomplexen Zahlen a und x
M
Betrag \x
achse
und
dbgehildet,
— a\,
so repräsentiert
und der Winkel v zwischen der
der geraden Linie
Sind nun die Zahlen
N
(2)
des Dreieckes
die Strecke
AMN
A31
ist
die
a, x und y in
abgebildet, und
^^ =
r (cos V -f
i
in
den Punkten
A31
den absoluten
positiven Abszissen-
—
a.
Phase der Differenz x
und
31
Eckpunkten
A,
den
setzt
sin v)
man
Erster Teil.
72
dem
SO
ist r
die
Phase
31
AN
dem Zeichen
zusammenfällt; es
Aus dem Satze
während
gleich^
abgesehen) mit
vielleicht
dem Winkel
ist also
abgebildet,
und
um +
verändert,
2;r
tiven oder der negativen
man «
Setzt
wenn x
durch
=
je
Lage
wird die Phase von
Drehung in der posi-
erreicht, so
nachdem
diese
Pichtung vorgenommen
0, so wird
Bewegung wird
tvird.
Log x demnach um
+
Potenz
allgemeine
die
M und
den PunJct A,
'^^i geändert,
geschlossenen Kurve folgend den Punkt
einer
diese
AM um
dreht sich die gerade Linie
his sie ivieder ihre ursprüngliche
—a
der folgende:
I ergibt sich
Sind die homplexen Zahlen x und a in den Punkten
II.
X
AN
und
r^^,v^^3IAN.
(3)
A
Ä3I
Verhältnis der Seiten
(von
v
Theorie der Zahlenfolgen.
umkreist;
mit
x'"
e^^'"
multipliziert.
Bekanntlich kann
man auch
in einfacher
komplexer Zahlen geometrisch
tion
Weise
illustrieren;
die Multiplika-
wir verzichten aber
auf eine solche Darstellung, die für unsere spätere Darstellung ohne
Bedeutung
ist.
K
läuft,
durchWir sagen, daß die komplexe Zahl ein Kontinuum
oder den
wenn der entsprechende Punkt das Kurvenstück
K
Areal
K
durchläuft.
Um
die
geometrische Darstellung der komplexen Zahlen noch
weiter zu erleuchten lösen wir die folgende Aufgabe:
Es
\
x^
—
a^
ist
\
derjenige Bereich
<ib'^ wird,
Setzen wir x
der Ebene zu bestimmen,
indem a und
=^
-\- irj,
in welchem
b reelle Strecken bezeichnen.
also
SO ergibt sich
der gesuchte Bereich wird
demnach das Innere der Cassinis chen
Ellipse
57.
Es sind diejenigen Bereiche der Ebene,
(1)
ist,
l7-r-2
zu bestimmen.
<1,
in
welchen
""
(2)
i
,
yi—x^
|<1
Über zweifach unendliche Zahlenfolgen.
Kapitel VI.
58. In
welchem Bereiche der Ebene muß
wenn
abgebildet werden,
\
—
X
\- {\
X
— x)x \-
komplexe Zahl x
die
geometrischen Reihen
{\
— x)x^ \- {\— x)x^ \~r
X*
x^
X-
beide konvergieren
die
73
§ 26.
...
•
•
und welche Summe haben
sollen,
diese
Reihen?
59.
komplexe
Zwei
und
x
Zahlen
durch
sind
y
der
eine
Gleichungen
(1)
x^f + y,
verbunden;
man
x'^y,
(2)
hat
x
(3)
= f,
(4)
x'-y
=
1
jedem Falle den geometrischen Ort
in
von y zu bestimmen, wenn immer x
X eine gerade Linie durchläuft.
== 1
-{-
it ist, also
wenn
Kapitel YI.
Über zweifach nnendliclie Zalilenfolgen.
§ 26. Konvergenz, Divergenz
wir
2^
Oszillation.
in solcher Weise von dem Zahlenpaare (j), q),
Zahl a
und q ganze nicht negative Zahlen bezeichnen, abhängig, daß
Ist die
wo
und
^
ein, jedenfalls theoretisches, Mittel besitzen
wenn sowohl p
als
um
rt^,
,^
zu bestimmen,
so sagen wir, daß diese
q aufgegeben werden,
Zahlen
eine
^^'0,0
%,1
%,-2
•
^1,0
^1,1
^1,2
•
•
^^2,0
^^2,1
^''2,2
•
•
^.,0
%,l S,2
/*0,«
•
•
•
^1,Ä
•
•
•
^i,»
*
•
•••
%,n
•
•
•••
zweifach unendliche Zahlenfolge oder eine Doppelfolge bilden;
diese wird der
Kürze halber durch
{ttp^^
bezeichnet.
Die einfachen Zahlenfolgen
^^p,0
»0,5
%,n
%,1 %,2
^1,9 «2,,
•••
««,,
•
•••
deren erste bzw. zweite Stellenzeiger denselben festen
bilden die Zeilen- bzw. Kolonnenfolgen der Doppelfolge
Wert haben,
(«^,j);
wäh-
rend die Folge
»0,0 »1,1
die Diagonalfolge
Ganz wie
von
bei
(«j,,^)
»2,2
•
•
•
^p,p
•
•
genannt wird.
einfachen Zahlenfolgen haben wir hier drei ver-
schiedene Fälle zu untersuchen, nämlich:
-
Theorie der Zablenfolgen.
Erster Teil.
74
Es
Konvergente Doppelfolgen.
1.
und bestimmte Zahl A, daß
kleine positive Größe e
und Q zu bestimmen, daß
In
diesem Falle heißt die Doppelfolge
zwei
für
endliche
für eine vorgegebene
ist
P
willkürlich
Zahlen
existiert eine solche
möoiich
es
solche
p^ P
ganze
positive
>
^ immer
und 5
l/-«„,pl<f
(1)
_
wird.
dem Grenzwerte A, und
lim
(2)
p=
Es
iPp^,^
konvergent mit
wir setzen
OS
2
,
=A
a,,,
=
00
wohl zu beachten, daß in (2) sowohl ^) als q in
ganz willkürlicher Weise voneinander unabhängig über jede Grenze
ist
also
hinaus wachsen sollen.
große positive Zahl
ganze Zahlen
P
und
ist,
E
Wenn
Divergente Doppelfolgen.
2.
lich
es
eine vorgegebene willkür-
möglich
ist
zwei solche positive
und Q zu bestimmen, daß für p>^
P
und
q^
Q
immer
(3)
1
%,,
>E
I
wird, so heißt die Doppelfolge (a
Sind die a
für
p^P
und
)
q^
divergent.
sämtlich reell und entweder
Q
stets positiv oder stets negativ, so ist unsere Zahlenfolge eigentlich
und wir setzen
divergent,
lim
(4)
3-
wenn
=
a
-{-
00 bzw. lim
Oszillierende Doppelfolgcn.
sie
weder konvergiert noch
Ganz wie
in §
cbp^q^"
— '^
•
Die Folge i^p^^ heißt
oszillierend,
divergiert.
18 erhalten wir hier den Satz:
Die nottvendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Doppelfolge (a^^^ + '^ßp,q) *^^^ liomplexen Elementen besteht
I.
darin,
daß
die
beiden Doppelfolgen (Kp^^)
menten Tconvergieren; hat
lim
(5)
und
(ßp^^)
niit reellen
Ele-
man
cip,,
=
cc,
lim
ßp,q
=
ß,
so ist auch
q= K,
lim
(6)
p
=z CO
,
+
ißpj
=«+
iß.
<X1
Wir können uns daher
auf Untersuchungen von Doppelfolgen
mit reellen Elementen beschränken.
Als allgemeines Konvergenz-
prinzip für Doppelfolgen gilt dann der folgende Satz von
heim^):
1)
Mathematische Annaleu Bd. 53,
p.
291; 1900.
P rings
Über zweifach unendliche Zahlenfolgen.
Kapitel VI.
§ 27.
75
IL Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Doppelfolge
daß
es
für eine vorgegebene,
Größe s möglich ist entweder 1. zwei solche
P und
und Q zu bestimmen, daß für
willkürlich Meine positive
P
positive ganze Zahlen
q^
besteht darin,
{cip^,)
p^
Q immer
wird, indem r
nen, oder
p^m
und
s willJäirliche
eine solche positive
2.
ganze nicht negative Zahlen bezeich-
ganze Zahl
m
zu bestimmen, daß für
immer
\% + r,pi.s-%,p\<^
(8)
wird, indem r und s willkürliche ganze nicht negative Zahlen bezeich-
nen,
oder 3.
p'^m
q'^m
und
positive
solche
eine
Zahl
m
zu bestimmen, daß für
immer
\%,,-(^m,m\<^
(9)
Diese drei Bedingungen haben genau dieselbe Tragweite.
wird.
Der Beweis
dieses Satzes
ist
demjenigen in § 10 für einfache
Zahlenfolgen geführten ganz ähnlich.
Über Doppelfolgen müssen wir uns hier darauf beschränken
in
den zwei folgenden Paragraphen die ersten Untersuchungen von
Pringsheim^) beinahe wortgetreu darzustellen; wir bemerken aber,
daß dieser ausgezeichnete Forscher später seine Untersuchungen
heblich verallgemeinert hat^, und daß auch F.
London^)
er-
hier etwas
bedeutendes geleistet hat.
§ 27.
Wenn
die
keineswegs
Sätze über konvergente Doppelfolgen.
Doppelfolge {a ^^ konvergiert, so darf man doch
daß ihre Kolonnen- bzw. Zeilenfolgen auch
schließen,
konvergieren;
mau
darf also gar nicht schließen, daß
lim«^,.,;
(1)
^J
für endliche
Beispiel
=
CC
^ini«p,2
J = »
Werte von q bzw. p existieren.
Setzt man für p und q positiv ganz, c<;>0 und /3>0
1.
«,.-(-!)-'(,-.
so hat
man
p
1)
2)
3)
+
7)'
offenbar
= CO q=
,
Ti
Sitzungsberichte der Münchener Akademie Bd. 27, p. 104—112; 1897.
Mathematische Annalen Bd. 53, p. 289—321; 1900.
Ebenda, p. 322—370.
)
Theorie der Zahlenfolgen,
Erster Teil.
76
=
während man für 5
1, 2, 3,
^
=
1, 2, 3,
.
.
.
^"^^
^
+
«^P %,, ==
7.
.
lim inf a„
(j=
.
="^
lim inf a^_,^
und für
.
=
„
lim sup a„
5 = 00
,
p
ca
=
„
H
p
daß keiner der Grenzwerte (1) in diesem Falle
Andrerseits hat man aber den Satz:
erhält, so
I.
Wenn
lich divergiert,
die Doppelfolge {cip^^
entiveder
und tvenn man für g
= 0,
=
lim iuf a^_^
p = aa
(2)
und für p
setzt
= 0,
1, 2,
^
Ij,
lim sup a^
Ig,
lim sup
,^
p—x
3
.
=
.
oder eigent-
.
L,j
.
=
lim inf rt^_^
(3)
.
.
lionvergiert
1, 2,
existiert.
a^^^
= L^,
immer
so hat 7nan
lim
(4)
= lim L^ = lim = lim L'^ = lim a
l^
l'p
5=00
=
j
Ist («^,2) erstens
p=
co
p=
ao
p
cc
konvergent, so hat
man
=
cc
q
,
=
.
x>
mit den gewöhnlichen
Bezeichnungen
woraus
Zahlen (2) hervorgeht:
speziell für die
h.
d.
lim
=X
= lim L^^ =
/,^
5
ij
für
p
=
—
so
P, gt^ Q, woraus für
Lj> G
G,
l,j>
A.
CO
Doppelfolge {a ^^ mit einem bestimmten Vorhat man entweder a
y- G oder a^^^^<i
G
Ist zweitens die
zeichen divergent,
=
q^
bzw.
Q immer
l^
<— G,
L,^<— G
und damit ist unser Satz bewiesen; denn dieselben Betrachtungen
und Lp gültig.
bleiben noch für
= L^ für q^ Q bzw. l^ = L^ für p ^ P, so
Hat man speziell
ergibt sich wegen I:
folgt^
l'p
l^^
II.
hziü.
Ist lim «p
limrt^,^
für
,^
für p
q =
00,
=
00, g
p^P
=
00
^tnf7
lim a^
^
p
für
=
00,
stimmtem Vorzeichen, so hat man
,
\y
.
lim (lim aj,J
fj
=
aa
p=
x>
= lim a^_^
p=
x,2 = oo
q^
Q
endlich oder unendlich groß mit he-
bzw. lim (lim
p= X) q= ca
a^^^)
= lim a^^^.
p:=
to
,
(j
= co
Über zweifach unendliche Zahlenfolgen.
Kapitel VI.
77
§ 27.
Demnacli ergibt sich, daß die Existenz (endlich oder unendlich
groß mit bestimmtem Vorzeichen) von
P)
lim ttp^^j, lim a^^^/g
Q), lim a^^^,^{p
(6)
pz=co,g =
p=
cci
^
CO
2
^
=x
allemal diejenige von
lim (lim
lim(lima^_,^),
(7)
und zugleich
die
Beziehung
lim (lim a^J
(8)
mit sich
= lim (lim a^J
zieht.
Hieraus folgt, daß lima^,^ für
kann,
a^,^)
wenn
=
i)
oo, g
=
(7) beide existieren
Grenzwerte
die
oo nicht existieren
uud voneinander
ver-
schieden sind.
Beispiel 2.
a^^^
q bzw. für jedes
=
P und
^-j_^,
p
lima^,^=l,
yj
woraus
q positiv ganz; hier
=
lima^_^
=»
00
ist
für jedes
= 0,
J
folgt:
lim (lim
5
=
a^j
lim (lim
1,
p= X
= cojO=x.
q=z
X
= 0.
a^J
Unsere Zahlenfolge kann daher weder konvergieren noch mit
bestimmtem Vorzeichen divergieren, was auch leicht unmittelbar
zu verifizieren
ist.
Aus der Beziehung
welche ja die Existenz der beiden letzten
(8),
Grenzwerte (6) implizite voraussetzt, ist es aber keineswegs gestattet
oo, g=(X) zu schließen.
auf die Existenz von lim a^^^ für p
=
Beispiel 3.
Hier hat
a^^,^
man
=
-
^_^^^_^y. ,
für jedes
lim
Up^^
p
=
i>,
bzw. lim
,^
Hier
ist
=
wird-,
)''
lim a^
q
und dennoch
ist
=
cc
,^
=
p
.
.
.
=
= 0,
oo nicht existieren, weil
man
hat
,P, Q
=
^,
bzw. für jedes q
bzw. lim
p
aber
1-
( i_^J_^).
auch für jedes
a^^^
oo, q
^ %,, <
a^^^
1, 2,
bzw. für jedes q
und dennoch kann lim a^ für p =
p — q ganz und gar unbestimmt
p und q
Beispiel 4.
= 0,
2
=
CO
a^^^
= 0,
h^,
•
•
für jedes
Es
60.
sind für die beiden Doppelfolgen
oben betrachteten Grenzwerte zu untersuchen.
die verschiedenen
Monotone Doppelfolgen.
§ 28.
Dre Doppelfolge
abnehmend,
r
Theorie der Zahlenfolgen.
Erster Teil.
78
und
s
für sämtliche ganze nicht negative Zahlen
immer
- %,, >
(1)
«>+r,,+.,
ist;
für diese Doppelfolgen,
bzw. a^+,,, + ,
die
Zahl
Bleiben die absoluten Beträge
1
gilt der Satz:
öl
„
stets
|
unter einer endlichen
Ausdrücke
g, so stellen die
lii^S,2'
(2)
- «^,, <
den gewöhnlichen einfachen mono-
tonen Zahlenfolgen ganz ähnlich sind,
I.
und zwar wachsend oder
heißt monoton
{(ip^,)
nachdem
je
li°i«^i>,9?
p= cc
q
=
^^'^%,i
cc
q = CO
p=
Xi
,
und zwar die beiden ersten für alle q bzw. für alle
stimmte Zahlen vor, und es bestehen die Beziehungen:
lim
(3)
}j
Es
=
cc
,
q
=
a^^ ^
= lim (lim a^^ = lim (lim a^^
p= tß
<X)
erstens (a
sei
)
,)
q=.co
j
wachsend,
p durchaus
be-
,).
= <»j9=oo
dann erhält man aus
(1) ins-
besondere, für alle r
% + - %,<i ^ 0>
%,q + r
r,<i
- %,q > 0;
h. die Kolonnen- und Zeilenfolgen der Doppelfolge (a
) bilden
monoton wachsende einfache Zahlenfolgen, und die Existenz der zwei
d.
ersten Grenzwerte in (2) ist eine unmittelbare Folge des Satzes § 11,
Wäre nun
so
der dritte Grenzwert (2) nicht endlich
müßte, wie groß auch
Gliede «„
„
stets ein Glied
und q angenommen werden, zu dem
J9
«-
1.
und bestimmt,
,
„,.
,
existieren, so
daß
% + r„q + — % + q^(^
S,
wird,
NuU
man
wo a
eine vorgegebene, möglicherweise sehr kleine, aber
von
verschiedene positive Größe bezeichnet; ganz wie in § 11 zeigt
dann, daß diese
Widerspruch
Der
bestimmt
dritte
sein.
die Doppelfolge
wegen §
Annahme mit
der Voraussetzung \a
\<Cg im
stehe.
Grenzwert in
(2)
muß demnach
Wäre nun
(
—a
^)
auch
endlich
und
zweitens (a ) monoton abnehmend, so ist
monoton wachsend, und damit ist unser Satz
27, I vollständig bewiesen.
.
Über zweifach unendliche Zahlenfolgen.
Kapitel VI.
79
§ 28.
Spezieller ergibt sich:
IL
Ist die Doppelfolge
monoton, so zieht jede einzelne der
(cip^,^
drei Gleichungen
lim
(4)
«^^^
= A,
^ = 00,5=00
lim (lim a^
q
nach
die heiden anderen
Aus jeder
jedes j) und q
=
p=
CO
= A,
^j
lim (lim
p=x
Cd
wenn
sich, jedenfalls
q
=
A
endlich
dieser drei Gleichungen erhalten wir
«0,0
^ %, ^ ^
o^er
=A
a^^,)
!X>
ist.
der Tat für
in
^ %,, ^ ^;
«0,0
nachdem {a ) wachsend oder abnehmend ist; in beiden Fällen
unter einer endlichen
müssen also sämtliche absoluten Beträge jct
Zahl bleiben, und IL ist somit eine unmittelbare Folge von I.
Weiter hat man den Satz:
je
1
in.
die
Ist
Diagonalfolge
Boppelfolge
mit dem
A;
(5)
Wir können uns
lim a^„
= lim
M=QO
^ = 00,5=00
=
tt^^j
konvergiert
die Doppelfolge
ist
konvergent mit demselben Grenzwerte
selbst
und
monoton,
(«p,^)
Grenzwerte A, so
es ist also
ihre
(«
)
immer
A
auch hier auf monoton wachsende
offenbar
Doppelfolgen beschränken, bedeutet n dann die größte der Zahlen
p und
so hat
q,
mau
stets:
^ ««,n ^ ^^
«p,2
und
lll.
von
eine unmittelbare Folge
ist
Bleiben die absoluten Beträge [a
\
I.
der Elemente einer
mono-
tonen Doppelfolge nicht sämtlich unter einer festen Grenze, gibt es
also
zu jeder noch so großen positiven Zahl
für welche \a„
„,
>G
G
Zahlenpaare (p,q)f
wird, so können nur die folgenden zwei Fälle
eintreten:
Die Doppelfolge
1.
für hinlänglich große
G- wird,
%,q>
d.
(«p,,^)
p und
lima^^^==
P=:
Wegen IL haben
X
,
7
,^)
wiesen:
so
daß also
+
oo.
wir dann auch
lim (lim a^^^^
= 00 q — Tj
2.
sein,
= CO
=+
oo
,
Die Doppelfolge
lim (lim
q
jp
«^
positiv
h.
(6)
(—
wachsend, dann müssen die a
ist
q sämtlich
(a„^)
ist
=
<r>
p=
ä^^,)
=+
oo
oo
abnehmend,
dann
ist
die Folge
wachsend, und somit haben wir den folgenden Satz be-
1
Erster Teil.
80
IV. Ist die Boppelfolge
1
Theorie der Zahlenfolgen.
monoton, so
(cip^,^
zielit
jede einzelne der
Gleichungen (4) die beiden anderen nach sich, auch wenn
-\- oo
oo hat.
oder
A
die Be-
—
deutung
Analogon der Sätze von Cauehy und Jensen.
§ 29.
Pringslieim hat
ein
§ 19, II gegeben; es liegt
Analogon des Cauchyschen Grenzsatzes
auf der Hand, daß wir durch das Jensen-
sche Verfahren diesen Pringsheimschen Satz wie folgend
verall-
gemeinern können:
I.
folge
Bleiben die absoluten Beträge
)
{(f
Bopiwlfolge
stets
der Elemente der Doppel-
l9?^,y|
unter einer geivissen endlichen Größe
^^^^
*'^^^
(cpp^r)
Grenziverte
g,
honvergiert,
während die
und die un-
endliche Zahlenfolge
(1)
fli
außer den in § 19,
Bedingung
I angegebenen
(4) befriedigt, so hat
^
W=
.^.
(2)
«2 «3
,.
lim
= 00
«l9'o,»
.
.
a„
.
Bedingungen noch die untenstehende
+ («2 — «O^'l.n-lH
rt
Setzen wir nämlich für
alle
"Pp.i
so
die
ist
.
.
man
7i
während
.
Doppelfolge
(q^^^)
+
p und
=^-
\-i'^n
+ l-K)'Pn,0
1
q
^P,'i^
dem Grenzwerte
mit
konvergent,
die absoluten Beträge |()„„| für alle Zahlenpaare (p,q) unter
einer gewissen endlichen Größe bleiben,
haben wir
die folgende
'3)
= lim
n
""i
^o."
+
(""^
und
anstatt der Gleichung (2)
- «i)gi.« - + ••• + («„ +1 — «JP„,o
= 00
n
+
1
ZU beweisen.
Summe
Teilen wir nun für jedes n die
rechter
Hand
in (3) in
die drei anderen
a„
=
^
n
r,
_
(% + 2
+
n
^"
+ ("/i-9 + ~ %-q)^n-q,<j
~ ^> + l)Pn + l,n-iJ-l H
1
+1
an + l
Über zweifach unendliche Zahlenfolgen.
Kapitel VI.
81
§ 29.
so haben wir offenbar den anderen Grenzwert
liniK
n = oo
+
/5„
+
yJ
ZU bestimmen.
Bezeichnen demnach
q'„
obere Grenze der Zahlen \qo^J, !?i,„_i1,
Qn
jj
so hat
man ganz
in derselben
Wn\<Qn
-.
Weise wie
<QnB- y--~J^
man daher wie in § 19 in
-4.| + i < -4„ + i < ^1 + 2 während q mit n
so hat man für n^ N
ist
\a^\
Bg'n
stets
den Grenzwert NuU;
Q^
schaffen sein, daß für jedes
j
lim
(4)
m
wird; es
ist
=
<»
)
solcher Weise über p, daß
Verfügt
denn in
unendlich groß werden
endlich, in \ßj
weiter
n
die
soll
\9n-q,q\
'J
•
<Qri±>,
^« + 1
+X
\Yn\
\Qp,n-p\
in § 19:
\?n\<-9nJi-
,
-^n
•,
•
\Qp + l,n-p-l\j \Qp-\-'i,n-p-'i\^
V
j;
7?
•
soll,
haben sämtliche Zahlen
Zahlenfolge
(1)
so
be-
ein solches q existiert, daß
^_=^±i=l^
n +
ti-q
= o^^
g
= oc,
1
dann auch für
«^iV immer
lyj
<£:3, und
damit
ist
unser Satz bewiesen.
man
Setzt
«^
=
»«,
so
entfließt
der Satz von
Pringsheim^);
wir machen ausdrücklich auf das elegante Beweis verfahren Prings-
heims aufmerksam; man
vergleiche
z.
B. den
von Borel^) gegebenen
Beweis.
Aus
I.
findet
man noch den
folgenden Satz:
1)
Sitzungsberichte der Münchener
2)
Le^ons sur
Nielsen, Lehrbuch
Akademie Bd.
les series divergentes, p.
der uueudlicheu Eeiheu.
88
— 90.
27,
-p.
123; 1898.
Paris 1901.
6
Erster Teil.
32
Theorie der Zahlenfolgen.
IL Sind die beiden Zahlenfolgen
O
FundamentalreiJien mit den Grenzwerten
und W,
so
hat
man
mit
der Zahlenfolge (1) den Grenzwert
(b)
QW = lim
=
7!
Man
^
^
V^l^n-l
^
'
^
der Tat nur in
man
in IL
0,^
= %,
.
Darboux Bulletin
(2)
=
allgemein (fp^„_p
^p'4^n-p ®^^"
so entfließt der Satz von Cesäro^);
I.
vergleiche § 43.
1)
n'^n^O
n+l
"n + 1
hat in
zuführen; setzt
man
"
^
oo
Bd. 14, p. 114—120; 1890.
ZWEITER
TEIL.
REIHEN MIT KONSTANTEN GLIEDERN.
Kapitel YJI.
Das Verhalten
Konvergenz, Divergenz und Oszillation.
§ 30.
Aus
uneiidliclier Reihen.
der unendlichen Zahlenfolge
(1)
,u„,
11^,11^,11,^,11^,
bilden wir eine neue unendliche Zahlenfolge
indem allgemein für jedes n
=
S„
(3)
11^
+
Ml
+
+
2<2
«3
+
^ W„
gesetzt wird.
Ist
Hand
in
n
(3)
eine
Stelleuzeiger
endliche Zahl,
eine
endliche
man
Eeihe; läßt
so
Summe
heißt die
aber
in
dieser
n über jede Grenze hinauswachsen^
rechter
Formel den
so entsteht die un-
endliche Reihe
n
Wo
(4)
+ Wi +
U^
+
•
•
+
U„
«
Wenn
kein Mißverständnis
daraus
Die unendliche Reihe
rend, je
nachdem
CO
•
=
entstehen
wir auch häufig anstatt (4) kürzer ^m„.
Die Zahlen u^ heißen die Glieder, die
n Pnrtialsummen der unendlichen Reihe
=
-^ Un
+
kann, schreiben
Summen
endliche
5„ für
(4),
(4) heißt Jconvergent, divergent oder oszillie-
die unendliche Zahlenfolge (2) konvergiert, diver-
giert oder oszilliert.
Die Frage über das Verhalten
Reihe kann bisweilen
dadurch
entsprechende Partialsumme
Dies
ist
z.
vorgelegten
5„ in
J.
geschlossener
Form
Zeitschrift für
2)
Brief nach Weierstraß.
man
die
darstellen kann.
und mit der Reihe
Tannery^)
Mathematik und Physik, Bd.
1)
unendlichen
werden, daß
B. mit der geometrischen Reihe
von E. Schröder^) und
bruar 1881.
einer
beantwortet
22, p. 184; 1876.
Monatsberichte der Beriiner Akademie
Weierstraß Werke Bd. U,
p. 232.
21.
Fe-
86
Zweiter Teil.
Reihen mit konstanten Gliedern.
.-V
_l-{-x-
2x-
2x*
2a;*"
1
der Fall; aus (5) findet
man
— X'
Tat durch vollständige Induktion
in der
den geschlossenen Ausdruck:
^r.---
S,^=
(6)
1
—
= 1 41
a;-
Solche Reihen, deren
—
—j = - +
1
Summe
—
^
a;-
in geschlossener
Form
1
dargestellt
werden konnte, wurden in 1'rüheren Zeiten „smmnierhar" genannt;
dieser Begriff ist aber wohl von dem modernen Begrifi'e der Suramier-
(man vergleiche § 34) zu unterscheiden.
haben wir nunmehr die
folgenden allgemeinen Bemerkungen über das Verhalten einer unbarkeit einer Reihe
Nach
Auseinandersetzungen
diesen
endlichen Reihe hervorzuheben:
Konvergente Reihen.
1.
Hier
ist
der Definition zufolge
s = lim s„
(7)
und bestimmte Zahl,
eine endliche
st für
I
g
I
<
konvergent mit der
1
Summe
die die
Reihe (4) genannt wird.
Beispiel 1. Die geometrische Reihe a
-\-
aq
+
der unendlichen
aq^
-{-
aq^
-\-
•
-
•
Summe
i-g
Beispiel
ja;
2.
Die Reihe
4=1 konvergent und hat,
nommen
wird, die
von Schröder und Tannery ist für
1 oder \x\<.l angeje nachdem a;
|
|
>
Summe
s
(8)
=
+l,
s
=
-l,
wie dies deutlich aus der Formel (6) hervorgeht.
2. Divergente Reihen.
Hier wächst s,^ mit n über jede Grenze
|
j
hinaus.
Beispiel
3.
Beispiel 4.
3.
des
Die geometrische Reihe für
|g|>l
oder 3
= 1.
Die harmonische Reihe
Oszillierende Reihen.
Hier wird
n ganz und gar unhestimmt.
Für g = 1 aber g 4=
Beispiel 5.
s,^
1
für unbegrenzt wachsen-
oszilliert die
geometrische
j
1
Reihe zwischen endlichen Grenzen, wie wir schon
haben.
in
§ 22 gesehen
,
Das Verhalten unendlicher Reihen.
Kapitel VII.
Beispiel
6.
Für
=1
ä;
|
j
q
= 2",
man wegen
so erhält
x^l
und
man
unendlichen Grenzen; setzt
zwischen
sin
i
=
cp
i^
(6)
_ + cos2<p + ^sin2<iP _
— COS — sm 2qp
l
1
(6)
in der Tat
= cosgp +
X
Reihe
oszilliert die
87
§ 30.
'2(p
_
2cos^.^ _
^
t
smqcp
e ^
.
^^^ ,^
f^
Eine genaue Definition der Konvergenz einer unendlichen Reihe
ist
schon im
J.
1811 von Fourier^) gegeben worden; dieser Mathe-
matiker hat auch einen strengen Beweis^) der Konvergenz einer gewissen speziellen Reihe
Wenden
geliefert.
wir nunmehr
allgemeine Konvergenzprinzip
das
die unendliche Zahlenfolge (2) an, so
s,+^-
(9)
zu untersuchen.
s„
=
Die
u^^^^
haben wir
+ M^,^2 H
Summe
+
die
=
u^^^p
wird gewöhnlich
(9)
auf
Summe
l?,„^p
als
das Restglied
der unendlichen Reihe (4) bezeichnet.
Aus
der Definition (9) des Restgliedes erhalten wir unmittelbar
den Satz:
I.
Die notwendige und
der unendlichen Beihe (4)
willkürlich Ideine positive
N zu
Zahl
JiinreicJiende
Größe
bestimmen, daß für
e
Bedingung für die Konvergenz
daß es für eine vorgegebene
darin,
besteht
möglich
n'^N
eine solche positive ganze
ist,
immer
\R„„\<^
(10)
tvird,
indem p eine
man
Setzt
tvillldirliche positive
in (10) speziell
p = l,
ganze Zahl
so erhält
bedeutet.
man
limw„=0
(11)
als eine notivendige
aber keineswegs hinreichende Bedingung für die
Konvergenz der unendlichen Reihe
Die harmonische Reihe, die
(4).
Tat der Bedingung (11).
der Reihe (4) positiv, so ist die Zahlen-
ja divergiert, genügt in der
Sind die Glieder
folge (2)
u^^
monoton wachsend; aus § 11
erhält
man
daher unmittelbar
den Satz:
IL Eine Beihe mit positiven Gliedern kann niemals
sie
muß
also
immer entweder konvergieren oder
divergieren
oszillieren;
und
ztvar
eigentlich.
1)
(1811)
(Euvres Bd.
2)
Memoires
de
l'Institut
Bd.
4,
I pp. 150, 221.
Mem. de
l'Institut
Bd.
4, p.
274— 27ö.
p.
314—315; 1819—20
(1824)
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
88
Sind die Glieder «„ der Reihe (4) komplex, und setzt man allgemein ^«„=^4^-«w^^ so entfließt unmittelbar aus § 1<S der Satz:
III. Die Beihe mit Txomplexen Gliedern Z {u'a + iu'n) ist datin
wenn die
konvergieren, und es
und nur dann
2J u„ und Eu'n
konvergent,
+
^(^'«
(13)
x-^Y2
niemals für
^
a;
|
|
in diesem Falle
-yMn-
^
«=0
Aus
7.
ist
= ^'*'« +
'^'""')
n=0
Beispiel
beiden ReiJien mit reellen Gliedern
n=0
x^
-\-y^x^
^
1-
konvergieren kann;
1
Reihe
(11) folgt unmittelbar, daß die
ynx"" H
|a;l<l, so erhält man
ist
für das Restglied
+ l-k|" + ^+l/w + 2
(12) |-R„,p|^K»^
bedeutet
nun
G
n
yn +
so ist
wegen §
q-\x\
24, (16)
,
G
Zahlen
= l,2,'d,
q
-^
11
I
I
,
^
11
\
j<
I
\i+\x^\+\x^\-{---\x^^
2
p,
und man erhält aus (12)
sicher endlich
'L+i/
\K,p\<(^-\^\
+q
vyn + p-'x\''^P;
•\x\'^^^
die obere Grenze der
—^"St;
G^-|a;l"2~
1
imsere Reihe
somit für
ist
t
rc
|
—
von Cauchy^) und
AbeP)
ist
beinahe
ausgesprochen worden.
J{.-tg(f) = ^--*(?)-™'"=
/2"
2" — 1
„„„
"""
— \
61-
s
l
=n
VT!
cos
s
^+y.
^j
2
62.
sin
,
Wenn
eine
vergiert,
so
/
= i sin
[
—X\
man
-
—X sm
.
cos
I
der beiden Reihen
hat
.
j
V2" + ^
1
X
A
63.
I
konvergent.
Eine strenge Definition der Konvergenz einer Reihe
gleichzeitig auch
a;'2
I
<1
Z
-
u,^
•
/
(
\
/
—X—
und
zu untersuchen,
X
•
E
\
)
{ti^^
— u^^^^)
kon-
inwieweit die andere
auch konvergiert.
64. Satz
von Cauchy^): Sind
«1
+
«2
+ «3 +
1)
Analyse algebrique,
2)
Journal für Mathematik Bd.
man auch
3)
die
Bedingung
p.
die Glieder der
^'4
H
p.
«n
-\
125; 1821.
I;
1826.
(10).
Analyse algebrique,
1-
Reihe
135; 1821.
(Euvres Bd.
I,
p.
221; hier findet
Das Verhalten unendlicher Reihen.
Kapitel VII.
und monoton abnehmend,
positiv
89
§ 31.
so ist diese Reihe
und
die
folgende
+ pUp
««1
WO p
+
V P^lipn
-\
;
bestimmte positive ganze Zahl bedeutet, gleich-
eine
konvergent oder divergent.
zeitig
Mit Cauchy^)
65.
+p"^Up-
man den vorhergehenden
soll
p=
fachsten für
Satz
(am
ein-
2) auf die Reihe
- + - + - + -+••••:, «>0
1«
2"
3"
4"
anwenden.
Wenn
66.
sämtlich positiv sind, und für jedes
n
die
<a <a
^1
ist,
+
«-"^
«-"^
p immer
so konvergiert die Reihe
+
«-"»
+
+
••••
a-'V H
ist.
und lim inf (a^^i — «^) >
Mit denselben Voraussetzungen divergiert die Reihe in Aufgabe 66 immer, wenn lim. sup. n < 1 und lim ^sup
>1
immer, wenn lim inf n
67.
(^'p
—
+i
^^) endlich
Bedingte und unbedingte Konvergenz.
§ 31.
Wenn
ist.
den absoluten Beträgen der Glieder der Reihe
die aus
Wo -f u^ -f «2
(1)
-^
^
«^i
H
gebildete neue Reihe mit positiven Gliedern
(2)
i
man
^
+
muß
konvergiert, so
gieren;
Wo
1
WJ
-f-
U^ in
hl Ua
I
die ursprüngliche
Reihe
H
(1)
auch selbst konver-
hat in der Tat für den absoluten Betrag ihres Rest-
gliedes
\Kj<\Un^,\ + \^n^,\+
(3)
und
die
Summe
Wenn
die
Hand
rechter
konvergenten Reihe
•
•
+>a^p^.,
(3)
ist
eben das Restglied der
konvergiert,
so
heißt die ursprüngliche
in
(2).
Reihe (2)
Reihe (1) absolut konvergent.
Reihen, deren Glieder von einem gewissen endlichen Stellenzeiger
an sämtlich
reell
sind
und dasselbe Zeichen haben, können
daher nur absolut konvergieren.
Daß aber auch konvergente Reihen
konvergieren,
1)
Loc.
cit.
ist
leicht
p. 137.
einzusehen;
existieren, die nicht absolut
unter
den einfachsten Reihen
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
90
dieser
Art
ist
von Brouncker^) eingeführte Reihe hervor-
wolil die
zuheben:
11,11,1
/A\
(4)
"=i--2+¥-4 +
daß diese Reihe wirklich konvergiert,
5
5
liegt auf der
Hand; denn man
hat für ihr Restglied
(_ i>7>
=
^
1
^
i^)^ <
L
\
da aber die aus den absoluten Beträgen der Glieder in
Reihe die harmonische Reihe
oj
gebildete
Hand, daß
so liegt auf der
ist,
•
(4)
nicht absolut konvergieren kann.
ein,
Bei konvergenten Reihen stellt sich ganz natürlich die Frage
ob man die Reihenglieder in willkürlicher Weise umordnen darf
Summe
ohne die
der
Reihe zu ändern;
wie
wir
bald zu
zeigen
habeu, bleibt die allgemeine Antwort dieser Frage eine verneinende.
Eine Reihe heißt unbedingt Ixonvergent
der
Anordnung der Reihenfolge
Mit diesen Definitionen
wenn
,
ihre
Summe von
ihrer Glieder unabhäng-is;
nunmehr
ist es
ist.
sehr leicht, den folgenden
von Dirichlet") herrührenden Satz zu beweisen:
I. Eine absolut lionvergente BeiJie ist auch immer mibedingt konvergent.
Ist
die
Reihe
(1) absolut konvergent,
= Wo + «1 + «2 H
Sm = Wo + K + «2 +
r
Sn
Avo die
'u!j
wo
—
«m
•
H,^
+
•
setzt
s'n
=\+
«>-„
H
man
,
^^'"
?
H
«;.,
offenbar
—
(?<;^
+
die u^ diejenigen Glieder in s„, die nicht
jenigen Glieder in
die Stellenzeiger r
^lp^
h
-1
auch in
tipt),
die Up die-
s',,,
vorkommen, bezeichnen;
sind demnach sämtlich Meiner als n -{-1, die p
s'«,
die nicht
dagegen sämtlich größer
auch
in
s^^
als n.
nun (n — q) die Meinste der Zahlen
größte der Zahlen p; dann ergibt sich wegen (5)
Es
man
dieselben Glieder wie die «^ sind, aber nur in willkürlicher
anderer Weise geordnet, so hat
(5)
und
seien
k
r,
(ii -\-
Bd.
I,
s)
=q+s
n-<] + k\i
i
=
1)
Philoäophical Transactions 13. April 1668.
2)
Abhandlungen der Berliner Akademie 1837.
Werke
p. 318.
die
Kapitel VIT.
Das Verhalten unendlicher Reihen.
91
§ 31.
nun sowohl q als s mit n über jede Grenze hinaus wachsen
müssen^), und da die Reihe (2) konvergiert, so muß es möglich sein,
und
zu bestimmen, so daß für
zwei positive ganze Zahlen
immer
n ^ N, in ^
da
M
N
M
S^^
—
S'„
I
I
<£
und damit ist unser Satz bewiesen.
Der Satz von Dirichlet gibt also eine hinreichende Bedingung
für die Anwendung des kommutativen Prinzips der Addition auf eine
Summe mit einer unbegrenzten Anzahl von Addenden; daß aber
diese Bedingung auch eine notwendige ist, wenn die Glieder unserer
Reihe in willkürlicher Weise angeordnet werden sollen, geht deutwird,
dem folgenden von Riemann^) herrührenden
lich aus
Wenn die Reihe (1) tvohl honvergieri, aber nicht
man unhegrenst oft ihre Glieder so anordnen, daß
IL
Jiann
Satz hervor:
entweder die
Summe
reelle
man
tvenigstens
oder die imaginäre Komponente der so erhaltenen
einer heliebigen vorgegebenen
Setzt
ahsolut, so
allgemein
Konvergenz der Reihe
(1)
u^^
=
u'^
Größe
+
iu',!,
gleich tvird.
kann
so
die nicht absolute
davon herrühren, daß nur eine oder keine
der Reihen mJt positiven Gliedern Z!\ua\ und 2J\iin\ konvergiert.
Da
im allgemeinen nur über
wir
Reihensumme
der
eine
der
können somit nicht
eine Reihe mit reellen Gliedern, diese Glieder
sämtlich,
Komponenten
beliebig verfügen können, so beschränken wir uns auf
von einem gewissen Stellenzeiger an,
dasselbe
Zeichen
haben; denn in diesem Falle müßte unsere konvergente Reihe absolut konvergieren.
Bezeichnen a^ die positiven,
—ß
die negativen Glieder unserer
Reihe, so müssen die beiden Reihen
+ Cq «2 + «3 +
-ßo-ßl-ß2-ß-S +
(0)
f^Q
(7)
divergieren,
denn wären
sie
-}-
•
•
•
----
beide konvergent, so
müßte unsere
vor-
gelegte Reihe absolut konvergieren; wäre aber eine der Reihen (6)
und
(7)
konvergent, die andere divei-gent, so müßte die vorgelegte
Reihe divergieren.
Andererseits
hat
man
aber wegen der Konver-
genz der vorgelegten Reihe
(8)
lima„=0, lim^,,=
0.
1) Die Umordnung der Reihenglieder ist unter allen Umständen in solcher
%,'„ w eine bestimmte
Weise vorzunehmen, daß, -wenn in der Gleichung ?{„
Zahl bedeutet, m dieselbe Eigenschaft hat und umgekehrt.
2) Göttinger Abhandlungen Bd. 13, p. 13, 1867. Werke, p. 235 (2. Ausg.).
=
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
92
Es
nun
sei
welche
die
co
eine willkürlicli vorgegebene,
Summe
z.
B. positive Größe,
unserer Reihe nach Vertauschung
der
Glieder
dann bezeichnen wir durch
darstellen soll;
1^1)
"^2?
'''Sf
•
'}
'
•
•
"^to
•
eine Folge mit positiven Gliedern, die den Grenzwert
Weiter nehmen wir aus der Reihe
hat.
willkürlicher
in
(6)
Weise
Glieder aus, so daß
'm^-\-l
= «0 + a{ H
+
^ + Tj
dann aus (7) 7\ + 1 Glieder, so daß
-{B,) = -ß[-ß,
/?; ^ - r, - r,
{A^)
(9)
wird, und
man
wird, dann hat
offenbar
(io)(^,)-(5j = ß^ + «; +
Aus der Reihe
(^2)
=
03
u'„.^
•
+ a;-^„'-/3;
ßn<co-x,.
nimmt man nun wieder
(6)
«»'1
..-
+1
+
f^'"i+2
+
H
f^"'.
die
^ ^2 +
Summe
"^3
usw.
Wenn nun
(A)
(11)
-
vielleicht außer
und
(6)
die
{B,)
dadurch gebildete Reihensumme
+
(^,)
-
für Sorge trägt, daß sowohl
wachsen, so hat die
.
.
.
+
Summe
von
^ + r,_„
CO
(.4J
p
ersten Glieder von
(7) sämtlich enthält,
p und
g mit
m
und man
da-
über jede Grenze hinaus-
unserer so umgeformten Reihe offenbar
co.
Der Satz
III.
+
anderen Gliedern, sicher die
die g ersten Glieder
den Wert
(5,)
II zeigt
unmittelbar, daß I umgekehrt werden darf; also:
Eine unhedingt
Tionvergente
Reihe
muß
auch absolut kon-
vergieren.
Die beiden Begriffe absolute und unbedingte Konvergenz
sind
somit identisch; die nicht absolut konvergenten Reihen heißen auch
bedingt konvergent.
Beispiel
1.
Aus der Brouncker sehen Reihe (4) bilden wir
wir stets zwei positive und dann ein negatives
neue, indem
eine
Glied ausnehmen; für die Partialsumme der so erhaltenen Reihe ergibt sich dann
s=n
'
s
— 3~4s—
^^V4s
=
4
1
Setzt
man
1
2sJ
=2n
^
.s
^
s
=l
,
s=n — l
^ ^'
s
=
aber nun der Kürze halber
p=n
p=
i
2« + 2s
+l
Das Verhalten unendlicher Reihen,
Kapitel VII.
man
SO hat
offenbar
_
%«
^71
1
J.
"^
2
1
für die Partialsumme
^"^
^in^
,
"
"^
4
3
"^
2n
—
2?^'
l
11
1)""^
^
]^
J^
man daher den Aus-
der Reihe (4) erhält
co^
(—
,
I
druck
(13)
93
§ 31.
= ,r+l
1
"^2^'
"^ ^r=p2 ^
woraus hervorgeht:
s=«— 1
i=n—\
=
öd„
^V ^
"-
>. 2w-|-2s-|-l
o„
.
I
I
V
4-1.
+
~
j^
«=0
2
s=0
oder auch:
s
=
n
2«
=
und somit ergibt
sich
+ 2s-fl —
wegen
^ {m^Z +
woraus, indem
w
die
U^^\
(i
+
i)
~
Reihensumme
1
T+3-¥+5+Y-4
Beispiel 2.
^4«
""2»+^
2 "'2«
+
«4„,
(4) bezeichnet, folgt:
1
1
1
+ 9+ll-6+--- =
,
I
I
3
2-^-
Die Glieder der Reihe
+ (-| +
Summe
Komponente
==
2.)
i)
+
a + i) + (-i + ^) + --;
können so umgeordnet werden, daß
erhaltenen
2
(12):
1,1,1
1,1
/i^\
(14)
+1
—1
^
s
w-1- s
dieser
die
reelle
Komponente der
so
einer willkürlichen Zahl gleich wird; die imaginäre
Summe
behält aber
ungeändert ihren Wert
2.
Die erste Unterscheidung der beiden Begriffe bedingte und un-
Cauchy^) her; Ohm^) und SchlöPringsheim^) allgemeinere Untersuch-
bedingte Konvergenz rührt von
milch^) haben speziellere,
ungen über Wertänderungen der Summen bedingt konvergenter
Reihen angestellt. BoreP) hat Gliedervertauschungen, bei denen
1)
Analyse algebrique 1821
2)
De
4)
von Reihen).
Antrittsprogramm Berlin 1839.
Zeitschrift für Math, und Physik Bd. 18, p. 520; 1873.
Mathematische Annalen Bd. 22, p. 455—503; 1882.
5)
Darboux Bulletin
3)
(bei Multiplikation
nonnullis seriebus summandis.
(2)
Bd. 14, p. 97; 1890.
Reihen mit koustanten Gliedern.
Zweiter Teil.
94
die
Summe
konvergenten
bedingt
einer
Reihe ungeändert
bleibt,
untersucht.
68.
Wenn man
aus
den
Gliedern
konvergenten
bedingt
einer
Reihe eine willkürliche unendliche Anzahl ausnimmt, so
man
hält
69.
Wenn
wo
Reihe
die
unbedingt konvergiert, so hat Un^"^,
Z"m,,
Exponenten
die
er-
wieder eine unbedingt konvergente Reihe.
sämtlich positive ganze Zahlen sind,
2^,1
dieselbe Eigenschaft.
man
70. Bildet
aus
niemals unendlich
konvergenten
unbedingt
einer
man
andere, indem
Reihe
eine
ihre Glieder in willkürlicher Weise, doch
wiederholt,
oft,
erhält
so
man
eine neue
unbedingt konvergente Reihe.
71.
Wenn
obere Grenze von
die
|
endlich
^,J
und Uu^^ un-
ist,
neue Reihe
bedingt konvergiert, so hat die
dieselbe
^Ti,^u^^
Eigenschaft.
72.
Wenn
die
Reihe 2^n^ unbedingt, Zlv^ aber nur konvergiert, so
hat
man
den Grenzwert
lim
(u^^Vq
+
w
=
u,_^v^
+
•
•
•
+
«pV„_^
+
•
•
Wi v«_i
+
= 0-
^^oO
Elementen
73. Ist die Zahlenfolge mit positiven
«Q, öj, «2?
(1)
? ^«;
eine beliebige Fundamentalreihe mit
die
•
00
*
dem Grenzwerte
man
Reihe Ha^ divergiert, so kann
0, so
daß
jedoch aus (1) un-
endlich viele unendliche Zahlenfolgen
a-,
,
/.Q 1
a,)..>
a,
"';.9»
l-^ )
/.2
,
auswählen, so daß die Reihe
74. Divergiert die
^a^
7
"-;., >
Beispiel a^
konvergiert.
Reihe mit positiven Gliedern Z,d~'^, während die
Zahlenfolge mit positiven Elementen X^
X^ 1^,
•
•
,
X^^,
•
endlichen lim sup hat, so divergiert auch die Reihe ^(^„
75.
Es
ist
/l
\1
die
=
einen
•
+ ^„)~'^-
Reihensumme
n~
_ i2 _ 4;
4_ r V3
-^
6
- 8/
M~
+ r^—
10
Vö
M ~+
•
•
.
12/
ZU bestimmen.
76.
Wenn
müssen
keine einzige
die beiden
der Zahlen
u^^
den Wert
Reihen mit positiven Gliedern
—1
hat,
so
Das Verhalten unendlicher Reihen.
Kapitel VII.
«
=
n
=
n=
00
n
95
§ 32.
-xi
=
gleichzeitig konvergieren oder divergieren.
Sätze über absolut konvergente Reihen.
§ 32.
Aus den Gliedern der unendKchen Reihe
Mo
(1)
kann man unbegrenzt
+
Ml
oft
+ «2 +
1-
H
'^*«
unendlich viele, endliche oder unendliche,
Reihen bilden:
«2,0
+
+
+
«2,1
+ «0,2 H
+ «1,2 H
+ «2,2 +
««,0
+
«„,1
+
(A)
f'0,0
(^l)
«1,0
(A)
(^J
«0,1
«1,1
+
a«,2
V «0,« H
•
•
•
•
•
+
+
+
«l,nH
«2,« H
«„,,
f
diese Reihen zusammen jedes einzelne Glied der Reihe (1)
und nur einmal enthalten, und zwar so, daß die Gleichheit
"« = «jo^j für ein endliches n nur dann stattfindet, wenn sowohl p
als g endlich sind, und umgekehi't.
Eine solche Einteilung der Reihenglieder u^ kann z. B. erhalten
werden, indem mau in (JLq) sämtliche Glieder u^^, für welche n durch
2 teilbar ist und keine andere vereinigt; in {A^ nimmt man dann
SO daß
ein
zurückgebliebenen
der
diejenigen
u^^^
durch 3
deren Stellenzeiger
diejenigen der noch
teilbar sind, in {A.^)
zurückgebliebenen, deren
Stellenzeiger durch 5 teilbar sind usw.
Wenn
auch die Reihe (1) konvergiert, so wissen wir doch im
allgemeinen gar nichts über das Verhalten der einzelnen Reihen (^,J.
Ist z. B. (1) die Brounckersche Reihe
2^3
1
und
man
bildet
Reihen
die
4^5
(J.^)
'
nach dem soeben angegebenen Ver-
fahren, so divergieren sämtliche Reihen
{A^.
Andrerseits gilt aber der folgende Satz:
I.
Ist die Reihe (1) absolut l'onvergent
vergiert nicht bloß jede einzelne Reihe
Sq,
(2)
Sj,
s.2,
•
•
•,
s,,,
S
•
•
•
die
= 5o +
Si
Summen
+
5^
+
{A^
Summe
mit der
dieser Reihen, so hat
S3
+
s,
so Jcon-
absolut, sondern bezeichnen
^ s„
+
•
.
•.
man
,
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
96
Setzt
man
iveiter
d^
(3)
für jedes n
=
«0, «
+
«1,
n-i
+
^1
+
+
«2,n-2 H
\-
««,o;
so ist ebenfalls
s
(4j
=
c^o
f?2
+•••
+<+
••
••
Bezeichnet B^^ das Restglied der Reihe {Äp), also
man
so hat
+
\l^\^^^m\'r\u^^,\
(5)
wo
dem
dasjenige Reihenglied aus (1) mit
!t„j
Da
B^^ vorkommt, bezeichnet.
welches in
---,
kleinsten Stellenzeiger,
Summe
die
rechter
Hand
in (5) aber das Restglied einer konvergenten Reihe mit positiven
Gliedern 21:Un\ darstellt, liegt die absolute Konvergenz der Reihe
{Ap) auf der Hand.
Summe
Betrachten wir nunmehr die
'S«
und
ist
m
/S„
^ s,,
H
Stellenzeiger, für welchen Uq, Wj, U2,
der größte
sämtlich in
woraus
= So + «1 + «2
vorkommen,
man
so hat
•
•
•,
w^
sicher
die Gleichheit
lim
Ä
deutlich hervorgeht.
Weiter setzen wir
^*,
^=
r
=Ü
71
=
alsdann ergibt sich
+
^0
woraus
man
+
So
ist
es
ist
r,j
Si
+
< So +
h dn
+
S2
h
H
(4)
s,;
^
s',
deutlich hervorgeht.
endlich
S2
+
H
s„
=
(?o
+
eine unendliche Reihe mit
%,u
+
s'i
Konvergenz der Reihe
die absolute
Setzt
so
d[-\-d2-\
«p-i,«-!
+
•
•
+
^1
+
^^2
+
H
dem allgemeinen
Co,p + n>
P
=
+ ^%o
^«
1; 2, 3,
Gliede
•
.
•;
also sicher
r„;
1
woraus
die
Formel
positiven Gliedern
< dn + + dn + +
1
2
(^n
+3 H
,
(4) unmittelbar hervorgeht, weil die Reihe
Zdn
konvergiert.
mit
Das Verhalten unendlicher Reihen.
Kapitel VII.
§ 33.
Sind
s^
Addition und Subtraktion unendlielier Reihen.
und
t^^
Partialsummen der konvergenten Reihen
== Wo
'S
...
(
und
97
§ 33.
+
tl^
+
«2 H
+ -
\rll'n
bezeiclinen
Plf Pil lh>
'
'
> Pm!
'
'
'
'y
'
'
'
'
Ül7 ^hy Qs!
Q^mJ
'
zwei unendliche Folgen beständig wachsender positiver ganzer Zahlen,
so stellt die Zahlenfolge
dem Grenzwerte
sicher Fundamentalreihen mit
Die Frage über die Darstellung
wertes
der Fundamentalreihe
s
+
t
dar.
unendliche Reihe des Grenz-
als
wird unmittelbar durch den
(2)
fol-
genden Satz beantwortet:
I.
Wenn
die neuen Reihen 2J(u^
11
=
n=
-Ji
n=ao
CO
2^K±0=^'^.n±2'^»-
(3)
?i
Die
ist
Uu^ und Uv^ beide 'konvergieren, so haben
+ vj dieselbe Eigenschaft, und es ist immer
die Heiken
Summe
=
M
einer endlichen
=
=
n
Anzahl absolut konvergenter Reihen
Wenn aber nur eine
wieder eine absolut konvergente Reihe.
einzige der zu
summierenden Reihen bedingt, die übrigen unbedingt
Summe dieser Reihen auch nur bedingt
konvergieren, so wird die
konvergent.
Daß
andrerseits
die
Summe
mehrerer
konvergenter
bedingt
Reihen unbedingt konvergieren kann, geht aus dem Beispiele
^
**«
2
'^«
3
+ 1+32
4
1
'
4*
2
"•"
2
"t"
"""
deutlich hervor; denn die beiden
dingt, ihre
77.
Summe
3^*
4^
"*"
3"
3
"^ 3*
4
4*
" 4
'
"^ 3«
'
^
4^^
Summanden konvergieren nur
be-
aber unbedingt.
Wenn Zla^cosnx und Ub^^smnx
die folgenden vier
beide konvergieren, so sind
Reihen 2Ja^ cos (nx
auch konvergent, wenn a endlich
Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen.
+
a),
Za,^^ sin
ist.
7
(nx
+ a)
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
98
Sogenannte Summierbarkeit von Reihen.
§ 34.
Als eine direkte Verallgemeinerung des Begriffes Konvergens
man
einer unendlichen Reihe hat
Zeit den Begriff
in der neuesten
Summierharlxeit einer Reihe eingeführt.
Setzt
man
der Kürze halber für positive ganze
= «1 +
Sp
(1)
und
ist
h
H
?'2
p
lip,
der Grenzwert
lim
(2)
rt
=
(
^
CO
L+
^^:t_2
+j) = s
endlich und bestimmt, so heißt die unendliche Reihe
+
«1
(3)
+ «3
U2
H
\-
>fn
H
summierbar mit der Mittelsumme S.
Daß nun wirklich die Summierbarkeit
eine
als
direkte Verall-
gemeinerung der Konvergenz anzusehen ist, geht aus dem Satze
Konvergiert nämlich die Reihe (3) mit der
§ 19, I deutlich hervor.
Summe
s,
so ist
= lim5„
s
(4)
=^
«
endlich
a,j
= n,
und bestimmt;
man
setzt
man wegen
so erhält
daher in
der
Formel §
19, (4)
(2)
S
(5)
=s
oder als Lehrsatz:
I.
JEine Txonvergente Reihe
summe ist ihrer Summe im
Daß aber andrerseits
als die
Konvergenz,
1
(6)
ist
liegt
_
1
ist
auch summierbar, und
gewöhnlichen Sinne
Summierbarkeit
die
ilire
Miüel-
gleich.
viel
allgemeiner
ist
auf der Hand; die oszillierende Reihe
+
_
1
+
1
1
_
1
.
.
.
B. summierbar mit der Mittelsumme ^.
z.
Weiter
gilt
IL Eine
der Satz:
eigentlich divergente JReihe
Mittelsumme summierhar
sein.
Divergiert die Reihe (3) zu
+
lichen
kann niemals mit
oo, so
müssen
die
einer end-
Partialsummeu
von einem gewissen Stellenzeiger an sämtlich positiv sein; bezeichnet weiter G eine vorgegebene willkürlich große positive Zahl,
so ist es möglich, eine solche positive ganze Zahl p zu bestimmen,
(1)
daß für n
^p
immer
vorkommenden Bruch,
>G
wird.
so hat
man
s,^
Bezeichnet dann A^^ den in (2)
identisch
Das Verhalten unendliclier Reihen.
Kapitel VII.
«
da nun
G
'^
n
größer
n
'
absoluten Beträge der negativen
die
als
^
^l^^.
=
A,^>-^-G + "^^^^-G
(? > A
nommen werden
(7)
man
darf, so hat
und damit
ist
wenn
Durch
die
angegeben
zu -f co,
p
ja eine
ist.
Jensensche Formel § 19
kann man unmittelbar
(4)
den Begriff der Summierbarkeit verallgemeinern,
die
ange-
G.
unser Satz bewiesen; denn in (7) bezeichnet
G
s,
Ap
n
sieher für
— oo, so divergiert 2^( — u)
Divergiert die Reihe (3) zu
feste Zahl,
99
§ 34.
wenn man
B.
z.
sämtlich positiv wählt, so daß die Zahlenfolge
«,^
%;
ttg,
CIq,
•
•,
•
ö,„,
•
•
•
monoton wächst und divergiert.
Der Begriff der Summierbarkeit einer Reihe lag schon in den
von Leibniz^), Lagrange^) und anderen über die Reihe (4) gemachten sehr unklaren Bemerkungen verborgen.
Frobenius^)
hat zum ersten Male den Begriff klar auseinander gesetzt, während
Cesäro^) die ersten allgemeinen Anwendungen dieses Begriffes gegeben hat; Knopp'') hat soeben die Definition etwas modifiziert.
Die fundamentale funktionentheoretische Bedeutung der Summierbarkeit geht
z.
B.
aus
deutlich
den Untersuchungen
von Fejer®)
hervor.
78.
Wenn
x kein Multiplum von 27t bezeichnet, so
79.
2x
cos
3x
summierbar mit der Mittelsumme
i.
1 -f cos
Man
soll die
X
-f cos
-\-
-\-
cos
4x
ist die
-\-
•
Reihe
•
Summierbarkeit der geometrischen Reihe
2
71 i
a
-\-
ae'i
-\-
ae
Sni
ni
'^
-\-
ae
^
-!-•••
für positive ganze q untersuchen.
80. Setzt
man
der Kürze halber
s'n
'«1
+
2m2
-]-
3i«3 •••-]- nu^^,
1)
Epistola ad Christ. Wolfium: Acta eruditorum Bd.
2)
Mem. de
3)
4)
28.
=
5,
Supplem.
mem. de M. Callet).
Journal für Mathematik Bd. 89, p. 262—264; 1880.
Darboux Bulletin (2) Bd. 14, p. 114—120; 1890. Napoli Rendiconti
d'Institut Bd. 3 (Rapport sur le
Oktober 1893.
5) Palermo Rendiconti Bd. 25; 1908.
6) Comptes rendus 3. Februar 1908.
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
100
SO ist die
Bedingung
lim(|)_0
notwendig für die Konvergenz der Reihe ^u„.
81.
Für
Summe
die
«^
man den
hat
=T+
2
+
3
+
4- «« 4-
•
•
+«
•
"
n
Für
Summe
die
_
^
man
hat
^.
Mittelwert
a.
82.
+
•
_ J___
2 log 2
1
,
1
,
p log p
3 log 3
den Grenzwert
1,
/ -.+-3+^.+
---+-W _,\^0.
Kapitel YIII.
Konvergenz nnd Divergenz gewisser Reihen.
Satz von Leibniz über alternierende Reihen.
§ 35.
Über Reihen mit alternierenden Gliedern hat Leibniz^) den
folgenden Satz gegeben:
I.
Wenn
die positiven
zustreben, so konvergiert die alternierende Reihe
Grenzwerte
Uq
(1)
Es
ist
in der
Beispiel
die
abnehmen und dem
Zaiilen «„ monoton
1.
— Ui-\-U^—11^-\-U^
.
Tat
Bedeutet
m
eine positive ganze Zahl, so konvergieren
Reihen
beide bedingt.
Es
ist
aber wohl zu beachten, daß die oben gegebene Bedingung
für die Konvergenz der Reihe (1) zwar hinreichend, keineswegs aber
notwendig
ist.
1) Brief nach Johann Bernoulli,
von Gerhardt) Bd. 3, 11, p. 920.
10.
Januar 1714. Werke (herausgegeben
1
'
Konvergenz und Divergenz gewisser Reihen.
Kapitel VIII.
Beispiel
§ 35.
101
Die Reihe
2.
1_JL /J?_i4-1_ Jl +J^_1-i_A_
I
bedingt konvergent, obgleich die absoluten Beträge der Glieder
ist
monoton abnehmen.
nicht
Beispiel
Die Reihe
3.
^_J^
^
"^
+2
a;
1
1^
.
^1
x-{-l
.X
+3
x -f
.
i
'^
'
'
'
für endliche x, die nicht negativ ganz sind, bedingt konvergent.
ist
Ist ^ > — 1 vorausgesetzt, so kann man direkt den Lehrsatz 1
anwenden für x <C — 1 setze man — j9<ic<— ^ + 1; dann werden
die Nenner von x -{- }) an sämtlich positiv, und der Satz I ist dann
wieder anwendbar. Ist endlich x komplex, x = a -\- i ß, so hat man
;
cc-\-
1
x-{- n
und somit ergibt
t)
^^^
*
=
— iß
ß-
p=
^
^
{cc^py +
Summe kann
werden; denn wenn
werden
n
-\- n)'^ -\-
sich
/>
p=l
Die letzte
{u
/j
^
^^
ß'
rß
p=l
„
{cc-\-pr-\-ß'
unmittelbar nach
dem
so groß gewählt ist, daß «
Satze I behandelt
+^;>
wird, so
der Glieder abnehmend, dasselbe gilt
die absoluten Beträge
auch für die erste Summe, wenn nur
^^
{cc+py+ß'-^ {a-^p+lf^ß^gemacht werden kann. Da die beiden Nenner positiv
man
aus (3) (a
demnach
83.
+ ^>) (a + i> +
sicher für
Man
p
soll die
-\-
a^
1)
ß\
\
> ß^,
und
immer
die
sind,
erhält
Ungleichung
(3) ist
richtig.
Divergenz der Reihe
^
V¥
1
3
5
"1/4
ye
nachweisen.
84.
Für n ganz und größer
yi
85.
Man
soll die
-J—
1/2
nachweisen.
ys
]/2
als
1
divergiert die Reihe
y4
y?
j/ö
Divergenz der Reihe
J-^ + -'
1
y3
-f
1
yi —
A-+...
1
yö
+
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
102
86. Setzt
man
für positive
a
tt
= _i_JLJ_J-_J_j
2«
4«
j«
monoton wächst und
so ist ZU beweisen, daß 6^ mit a
den Grenzwert
1
'
3''
für a
=
oo
hat.
Methode der Reihenvergleichung.
§ 36.
Die Frage über Konvergenz und Divergenz einer vorgelegten
Reihe kann bisweilen dadurch beantwortet werden, daß man die
Reihe mit einer bekannten vergleicht, und zwar unter Zuhilfenahme
der beiden folgenden Sätze:
I.
Wenn
Beihen 2Ju^ und 2Jv^ von einem
die Glieder der beiden
n an
gewissen
und zwar
sämtlich positiv sind,
daß
so,
u^ mit
die
ivadisendem n ihren Quotienten nach nicht langsamer abnehmen, speziell
nicht größer sind,
2v^
tvenn dies mit
Setzt
man
die
als
der Fall
in der
Reihe 2Ju,^
konvergiert die
so
i;„,
sicher,
ist.
Tat
Ungleichung
so ergibt die
n
n
daß a„^i^«,j sein muß, woraus
t*„4.1
+ W„+2 H
4-
hervorgeht, und damit
Beispiel
1.
^„+p^
•
K
+1
+ ^+2 H
y
'
'
^n+p)
unser Satz bewiesen.
ist
Da
<
n- ^ (m — l)n
jiLJ s{s
s
ist,
ö^«
=1
'
+
=
1)
y
^
«=
f^
\s
^
- + 1/ =
1
s
1
so konvergiert die Reihe
j2 -r 2*
^
32
^
Der Satz I kann noch dahin verallgemeinert werden,
Reihe Zu.^ sicher unbedingt konvergiert, falls die u^
dem n ihrem Quotienten nach nicht langsamer abnehmen
|
sitiven v^,
IL
und
Wenn
gewissen n an
die
die Glieder der beiden Beihen
sämtlich positiv
sind,
die po-
Zu^ und Zv^ von einem
und zwar
so,
schneller
nicht Meiner sind, als die v^, so divergiert die Beihe
Zv„
als
Reihe I^v^ noch konvergiert.
wachsendem n ihren Quotienten nach nicht
dies mit
\
daß die
mit wachsen-
der Fall
ist.
daß
die u^
abnehmen,
Zu„
mit
speziell
sicher, tvenn
Konvergenz und Divergenz gewisser Reihen.
Kapitel VIII.
Man
^« + 1
Tat mit denselben Bezeichnungen wie vorher
findet in der
+
w„+2
+
+
•
v„^p>a^
^ ^
,
divergent; denn es
Die
v„^2
+
•
•
•
+
v„^^).
n
"^ n-\-l
Cauchy^);
Satz von
3.
mit positiven Gliedern
BeiJie
I
]/3^
für positive ganze
ist
yn{n-{-l)
Beispiel
+
1
I
1/2-3
1/1.2
III.
(v„+i
Die Reihe
Beispiel 2.
ist
103
§ 36.
konvergiert oder diver-
Zu.^^
nachdem
giert, je
lim sup
(1)
j
<
1
es
nämlich möglich eine solche positive
Yu^^
I
lim inf
oder
1
1/^(,^
|
>
1
ist.
Im
ersten Falle
ist
Zahl X anzugeben, daß für
n^ N
\V^^<^h^
(2)
wird; im zweiten Falle findet
man
|y^J>i +
(3)
In (2) nehmen die
u^^
A,
''"<(rii)"
mit denselben Bezeichnungen
u„>{i
+
iy.
rascher ab als die Glieder einer konver-
genten geometrischen Reihe;
als
immer
in (3)
wachsen
die
m^^
aber rascher
die Glieder einer divergenten Reihe.
87.
Für die Reihen mit positiven Gliedern 2Ju^ und Uv^^
von einem gewissen n an die Beziehung ?(„ — u^^_^_^^v^
—
gilt
'^'n
+ ij
man hieraus schließen, daß die Reihe JJii^ konvergiert,
wenn man weiß, daß 2Jv^ diese Eigenschaft hat? Beispiel
u^==l-\-n-^,v^^ = n-\
Man soll die Divergenz der Reihe
darf
88.
2-3'3-4~4-5^5-6^
nachweisen.
89.
Es
ist
zu beweisen, daß die Reihe
^ (—
1)"~^ ^^^
(
)
bedingt
konvergiert.
90.
Man
^
1)
hat für jedes endliche x die Divergenz der beiden Reihen
sin
(~
)
und
Analyse algebrique,
^
—cosl —
^.
133; 1821.
)
nachzuweisen.
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
104
Methode von Bernoulli, Nicole, Abel und Pringsheim.
§ 37.
Jakob Bernoulli^) und
spiele ein Verfahren,
1.
und
haben durch einige
Nicole''^)
daß in dem folgenden Satz
Bei-
angegeben:
gipfelt,
Die Zahlenfolge
die unendliche Reihe mit
dem allgemeinen
«« + i=««-«'« + i'
(2)
Gliede
"o=«o
sind gleichzeitig lionvergent, divergent oder oszillierend.
Für
die
Partialsumme
s.
(3)
= «0 + «1
man
hat
s,^
+
H
^^.
=
in der
Tat
- (ho
^0
«0
= %,
woraus umgekehrt der Ausdruck
««
(^J
hergeleitet
= «0 -
werden kann; damit
Konvergiert nun
z.
während
die
ist
unser Satz aber bewiesen.
B. die Zahlenfolge (1), so hat
lim
(5)
% = 5o
S,,
s^^
= «0 — lim
lim
a,^
(3)
a^^,
Konvergenz der Reihe wegen
(6)
man wegen
(4) das ähnliche Resultat
= s^- lim 5„
liefert.
Um
dies Verfahren
anwenden zu können kommt
es also
darauf
Form
(2) zu
an die einzelnen Reihenglieder in Differenzen von der
zerspalten.
Der Satz
I
Wenn
IL
kann auch folgendermaßen ausgedrückt werden.
die Zahlenfolge (1) divergiert,
ihrer Elemente den
Wert Nidl
und wenn
hat, so konvergiert die
kein einziges
Reihe mit dem
allgemeinen Gliede
Aus
II findet
man nun ohne Mühe
in seiner Vollständigkeit
III.
Wenn
den weiteren Satz, den
die Zahlenfolge
monoton wachsend und divergent
(1)
ist,
mit
lauter
positiven
1)
Opera Bd.
2)
Histoire de l'Academie (Paris) 1727, p. 257—268.
3)
Mathematische Annalen, Bd.
p.
Elementen
so konvergiert die Reihe mit
allgemeinen Gliede
I,
man
Pringsheim^) verdankt:
389, 523.
35, p.
329; 1890.
dem
Konvergenz und Divergenz gewisser Reihen.
Kapitel VIII.
Wn
(8)
§ 37.
105
=
immer, ivenn der Exponent q positiv angenommen ivird.
vorausgesetzt wird, so konvergiert die Reihe mit
Da ^
>
dem
allgemeinen Gliede
H
V
+1
A
W
n+l
n
n+1
n
nun hat man aber
n
+1
n
n
+1
^n
n
(9)
wo
das Reihenglied (8) bezeichnet, während der Kürze halber
u.^^
gesetzt
worden
Nun kann
ist.
die obere Grenze der Zahlenfolge
dn + l}
^n + 2 7
niemals die Einheit übersteigen;
Q'/i
die
+ 3'
obere und untere
Grenze
G
und g der anderen Zahlenfolge
m=-n, n+1, n
\^,
deren Elemente sämtlich positiv
immer
endlich bzw. größer als 0,
woraus für jedes
v„ + ^
folgt,
sind,
+
t^,
+
o
und damit
+
2,.-.,
wegen § 24 (19)
sind daher
und man
hat nun wegen (9)
p
+
•
ist
Spezialfälle des
+ M„+-^)
+ i\,+p>9 (m„+i + «„+2 4unser Satz bewiesen, weil ^ >
•
•
•
•
•
ist.
Pringsheimschen
Satzes
kommen mehrmals
in
der Literatur vor; hier erwähnen wir einige von Abel^) betrachtete
Spezialfälle:
Setzt
man
«^
= n,
u
und beachtet man
=
{n+l)n^
so erhält
die
!>
(n -1-1)1
+?
man den von Cauchy^) gefundenen
IV. Die unendliche Reihe
1)
(Euvres Bd.
2)
Analyse algebrique,
II,
p.
198.
p. 137;
1821.
Ungleichung
'
spezielleren Satz:
T
_1
.
1
^T+7
(10)
Für
=
()
muß
um
Aus
Eu^
V. Ist
^'1
a positiv
ist.
Setzt
+
sA-v<s]^'
Setzt
1
"^
e
31
(j
41+0
+
^ 0.
Reihe (10) die harmonische, also divergent;
man
für negative q divergieren.
den anderen Satz von Abel:
eine divergente Reihe mit positiven Gliedern,
•
•
man
^+
"^
+
mehr
so
(8) findet
^n^ %+
2i
divergiert aber für p
die
ist
daher
"1"
> 0,
Jionvergiert für ^
sie
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
106
+
s„=«„,
der Tat
in
und
ist
konvergiert die Beihe Eu^^- s^^~^~", ivenn
^^
'^'nf
so
ist w,,
= «„—»„ _i,
während
ist.
man
23
in §
(9) a =- n
-\-
= n,
h
1,
so entfließen für hin-
länglich gToße n die Ungleichungen
—W log« logg
1
(n
+
l)
> log,.
O'+IV(n -f
r^
r-s
i
(w) ••• iog^(w)
log(n-f l)log,(n
+
l)
.
.
,
log^(«
+
I
(log,.^i(w
l)
— logr^
Or + IK(n)
1)y
,
,
'
+ D)'^^"
(log^^,(n+l))?
lW
logr +
_
1
woraus der neue Satz hergeleitet werden kann:
dem allgemeinen Gliede
VI. Die unendlicJie Beihe mit
1
^
^
konvergiert für p
n log n logj («)•••
log^ _
>
aber für 9
0, divergiert
Dieser Satz war schon
selbst nicht publiziert;
AheP)
j
(n) (log^ (w))^
^ 0.
bekannt, wurde aber von ihm
zum
er scheint
+?
ersten
Male von Betrand ^j
veröffentlicht zu sein.
Der Satz YI kann übrigens dahin verallgemeinert werden, daß
die positive ganze Zahl r nicht denselben
glieder zu
haben braucht, sondern
vorausgesetzt, daß sie für jedes
Setzt
die
man nämlich
in (11)
sie
Wert
n endlich
r,^
r
und q
positiven Glieder dieser Reihe nicht größer als
r„
hat;
ist
aber p
Reihe nicht Meiner
konstant
ist
^ 0,
ist
1)
(Euvres Bd.
Journal de Mathematiques.
II,
p.
diejenigen
der
Glieder unserer
der divergenten Reihe, für w^elche
und mit dem Maximalwert von
2)
positiv, so sind
und den Maximalwert
sind die positiven
so
als diejenigen
variieren,
bleibt.
anstatt r
konvergenten Reihe, für welche r konstant
von
für sämtliche Reihen-
kann vielmehr mit n
r„
200.
Bd.
7,
p. 98;
1842.
zusammenfällt.
Konvergenz und Divergenz gewisser Reihen.
Kapitel VIII.
§ 37.
107
Diese Reihen mit veränderlicliem r liefern demnach Beispiele
von konvergenten oder divergenten Reihen, deren Glieder, die nach
einem einfachen Gesetze zu bilden sind, sämtlich positiv sind aber
in willkürlicher Weise zu- und abnehmen mit wachsendem Stellenzeiger.
Der Satz VI
uns noch weiter eine sonderbare Kon-
gestattet
vergenzbedingung, die in der älteren Reihenlehre vorkommt, abzufertigen;
Gliedern
man hat in der Tat behauptet, daß die Reihe mit positiven
Eu^ dann und nur dann konvergieren könnte, wenn
lim {n
= 00
(12)
•
=
mJ
«
wäre.
Daß
Hand;
diese
setzt
Bedingung nicht notwendig sein kann,
man
_
wo
_
1
1
darf,
wegen IV, und dennoch hat
sicher
Eii^^
für gewisse n
MJ
lim {n
n
=
=
1
lim (n
,
w
CO
der Grenzwert (12) existiert somit
ist
_
1
den zwei ersten Definitionen n nicht quadratisch sein
in
so konvergiert die Reihe
man
liegt auf der
in der Tat
=
•
m,J
=
oo
;
oo
nicJit
in diesem Falle,
und doch
unsere Reihe konvergent.
Daß
Bedingung (12) auch nicht hinreichend sein kann, be= 1, p = 0; denn die Glieder
dieser divergenten Reihe genügen doch der Bedingung (12).
Als weiteres Beispiel wollen wir noch den für a >
und
-|gültigen Grenzwert
«
/i > 1
die
wies Abel^) durch die Reihe (11) für
]™[;7-(r^ +
(13)
herleiten; ist
l^r^w,
so hat
5^
man
l_
1
+
/•
---
+ ,7)] = o
offenbar für d positiv
1
1^
und
d^a
1
woraus
r=n
r
folgt;
wählt
man nun
—l
»
=1
Ö so klein, daß auch «
folgt (13) unmittelbar aus
1)
r—n
dem
-(- /3
>1+
d wird, so
Satze IV.
Journal für Mathematik Bd. 3; 1828.
(Euvres Bd.
I.
p. 329.
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
iQg
91.
Wenn
Glieder
positiven
die
Reihe Zu,^
unendlichen
der
monoton abnehmen, so konvergiert diese Reihe sicher, wenn
für n = oo ist, und wenn außerdem diese andere
) =
Reihe Iln{u,^—u^^^ konvergiert.
Wenn die Reihe mit reellen Gliedern Zu^ konvergiert, und
lim (n u
92.
die Zahlenfolge
3 «3,-
«1, 2i<2,
,nu^
•
•
einen Grenzwert hat, also entweder konvergiert oder eigentlich
man
divergiert, so hat
93.
Es
^ aT+I +
^
diesen Grenzwert zu bestimmen.
x =^0 gültige Formel
die für
ist
+
(a;+l)(2a;
"^
l)
(2a;
+ l)(3a; +
"^
1)
zu beweisen (Jakob Bernoulli^)).
94.
Man
unendliche Reihe
soll die
((7+1
+
+ l)(a, +
(ai
+
l)
+ I)(a, + l)(a3+l) +
(a,
*
'
*
untersuchen.
95.
Für
lim
n
96.
und ß und «
positive a
Für «
=
cc
"-Jl_
.»^a
>1
•
{n
c;
man den Grenzwert
hat
1
+...
- 1)" -2^
+ >
>
/3
^
.
i^*
und
+
= 0.
+ _^_
1"
2 konvergiert
/3
n!^
•
Reihe
die
dem
mit
allgemeinen Gliede
_i_\
1 /l + i- ^
.
7i«
97. Setzt
SO
man
.
,
Vl^
.
.
I
- l/;'
der Kürze halber, wie
und nur
behauptete Euler^), daß die Reihe Zu^^ dann
dann konvergieren könnte, wenn für
ist;
.
(«
2'^
mit Pringsheim^)
§ 37 (11) für r
=
1,
^
man
soll
=
n^ N immer
i?'„
|
Anwendung
unter
j,
|
<
()
der Reihe
nachweisen, daß diese notwendige
Bedingung keine hinreichende
wenn p
sein kann,
endlich ge-
halten wird.
§ 38.
Sätze von Abel, Dini
Unter Zuhilfenahme seines
und
Grenzsatzes
Jensen.
§ 19, I
hat
Jensen
einen sehr allffemeinen Reihensatz hergeleitet.
1)
2)
Opera Bd. I, p. 522.
Commentarii Academiae PetropoHtanae, Bd.
7, p.
152
— 153;
1740.
3)
Bibliotheca Matbematica
(3),
Bd.
6, p.
252—256;
iy05.
(1734
— 1735)
Konvergenz und Divergenz gewisser Reihen.
Kapitel VIH.
Es
während
Zahlen
die
genügen,
Tat Uu^^ eine
der
in
sei
=
lim|aJ
=
7!
I
Reihe,
und
(1)
(2)
d. h.
(1)
(2)
lonvergente
willkürliche
den beiden Bedingungen § 19
a,^
109
§ 38.
«1
1
+
1
«2
- «1 +
I
I
«3
oo,
00
- «2 '+•••+
««
I
- ««-1 l< -ß-
I
«J
;
von n unabhängige positive Konstante bezeichnet,
man § 19,1 auf s^s.^s^ •••S„ anwendet und beindem
so hat man,
WO
JB eine feste
s„—
merkt, daß
•s„_i
=
«(„
lim
man demnach
Setzt
a^^cc,^
(4)
ist:
Mwi
+a,itgH
«2
+
?(2
h «„^t„,
lim a„
7i
_
=
= 00
auch
so ist
woraus nach Subtraktion von
da nun die Reihe
folgt;
wenn
_Q
n
für jedes
= «itfi +
\-an^^n \
Jensen:
I.
und Division durch
wenn man
a^^:
nur dann konvergieren kann,
jedenfalls
2Jii^^
mit unbegrenzt wachsendem
a^^
hat man,
leisten,
(4)
dem Grenzwerte
it
zustrebt, so
in (5), für jedes n, ci,^= 1 setzt, den Satz
von
^)
Wenn
die Zahlen
sonst aber
gans
a,^
den teiden Bedingungen (1) und (2) Geniige
Beihe
ivillkürlicli sind, so ist die
n
=
CO
n
—
1
"
immer divergent.
Aus diesem Satze kann man nunmehr unmittelbar verschiedene
andere interessante Folgerungen über Reihen herleiten.
Ist
so
Uu^
genügen
eine willkürliche divergente Reihe mit positiven Gliedern,
die
Partialsummen
S„
= Ml + «2 +
den beiden Bedingungen
s,
1)
-f
(s-2
-
Tidsskrift for
s,)
+
(1)
(53
und
-
Mathematik
1(3
+
(2);
man
+
Sg) H
(5),
Bd.
h M„
2,
p.
hat ja in der Tat
(Sn
-
S„_i)
83; 1884.
= s„
110
Zweiter Teil.
und braucht
also
ist,
nur
i)
>
anzunehmen; da nun s„— •s„_i
den spezielleren Satz von Dini:^)
1
man aus I
Uu^ eine iviUJdirliche
so erhält
II. Ist
Reiben mit konstanten Gliedern.
=
^*„
divergente Beüie mit positiven Gliedern,
so divergiert auch die Beihe
M
=
CO
2^,
(7)
n
5,=
Aus dem Dinischen Satze
von
AbeP)
+ «^+... +
„^
^^^,
=l
herrührt; es
ist
unmittelbar ein anderer, der
folgt
in der Tat für
a^O
woraus der Abelsche Satz hervorgeht:
Uu^
III. Ist
und
ivird
cc
eine iviUkürliclie divergente Beihe mit positiven Gliedern,
^
vorausgeset0t, so divergiert auch die Beihe
»=00
^'V-^^
(8)
.,!-«
7^1 "n-l
Es
sei
endlich
2Ju,^^
man
positiven Gliedern; dann darf
««
= "i- =
IV.
Ist
Jwnvergente
ivillhürlicJie
immer
die
W
=
denjenigen Fällen zu
von Dini:^)
Beihe mit positiven
(9) hat
man
e,
En-^
2) die geometrische
untersuchen,
Reihe
wo
Reihe Zq",
die
ursprüngliche
Zu^
<q<l,
1)
die
3) die
Reihe
Reihe
ist.
1)
Sülle Serie a termini positivi, p.
2)
(Euvres, Bd.
3) loc.
die
00
konvergente Reihe mit positiven Gliedern
für
>
«« + 1
Beihen
Mit den Bezeichnungen in § 38
in
-^n + t=
entfließt der weitere Satz
Gliedern, so divergieren
98.
P'n
,
2Ju^ eine
Reihe mit
Ttonvergente
in (6)
.
,
und somit
einführen,
willkürliche
eine
cit.
p. 7.
II,
p. 198.
9.
Annali Univ. Toscana. Bd. 9; 1867.
Konvergenz und Divergenz gewisser Reihen.
Kapitel VIII.
99.
Man
hat
Reihe in Aufgabe 98 in demjenigen Falle zu
die
wo
untersuchen,
für jedes n,
u,^
= e~"",a reell, angenommen wird.
von du Bois Raymond und Dedekind.
Sätze
§ 39.
Hl
§ 39.
Als Verallgemeinerung desjenigen in § 15 dargestellten Hilfsvon Abel haben wir die folgenden zwei Sätze, die beinahe
satzes
von P. du Bois Reymond^) und Dedekind^)
worden
sind:
funden
gleichzeitig
Es
I.
seien
•
•,
'
&o^i^2
'
^«
'
'
"
^'^^^
'
unendUclie Folgen
homplexer Zahlen, die nur denjenigen Bedingungen genügen,
tvillJiürUcher
daß
üqü^ü^-
ge-
die beiden
Reihen
7!
2^n,
(1)
M
=
00
^l^,-&..ll
=
w
=
konvergieren, so ~konvergiert auch die BeiJie Ua^h^^.
Setzt
man
der Kürze halber
Sn=
man
so hat
-^n,p=
i^a
+l
+
«0
Ol
+
y
«2 H
;
««
+1
-
S„
=
«„ + 1
,
unmittelbar
~ ^JK + + (^« +
1
woraus nach einer
2
~^/( + l)^« + 2
"^
einfachen Umschreibung
5
Da nun
die erste
=
^
i.^n + p
~ ^,i+p- l)^>i+p
>
folgt:
1
Reihe (1) konvergiert, so hat
man
für jedes
n
'\sJ<Ä,
(3)
wo
%
Ä
eine
endliche positive
Zahl bedeutet; daher
muß
die
Reihe
mit dem allgemeinen Gliede
absolut konvergieren, weil dies mit der zweiten Reihe (2) der Fall
ist;
für
n^ N
hat
man daher immer
q=p-l
I
(4)
3
=
1
I
Ans
1)
der Identität
^)
Neue Lehrsätze über
die
Summen
unendlicher Reihen,
p. 10.
Antritts-
programm, Freiburg 1871.
2) Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie § 101, 3. Aufl. 1879.
3) Es wird natürlich vorausgesetzt, daß b^ eine endliche und bestimmte
Zahl bezeichnet.
Zweiter
112
(Po
- K) +
man nun
Reihen mit konstanten Gliedern.
Teil.
(&i
- &2) +
•
•
+
•
(^'.-l
-U=
?>0
-
^'n
daß die Reihe linker Hand absolut konvergieren muß, wenn man n über jede Grenze hinauswachsen läßt;
denn dies ist ja nur die Forderung über die zweite Reihe (1); die
schließt
Zahl
muß
h^^
weiter,
=
daher für w
Grenzwerte zustreben;
einem
oo
\, \, \,
muß
endlichen und
bestimmten
die Zahlenfolge
d. h.
h,„
•
eine Fundamentalreihe sein.
Da
die Folge
Sq, «1, 5o,
•
•
•
S„,
•
5„
•,
•
=
«0
+
«1
+
auch wegen der Konvergenz der ersten Reihe
reihe
so
ist,
Gliedern
s^^h^^
CTg
+
^ ««
Fundamental-
(1) eine
müssen die beiden Zahlenfolgen mit den allgemeinen
und 5„&,,4.i denselben Grenzwert haben; es ist demnach
immer
n^N
auch für
indem
p
eine
willkürliche positive ganze Zahl
immer R„^p\
Aus (2) und (3)
< £;
d. h.
und, somit,
n'^N
|
die
Reihe
man nun auch
findet
ist,
für
konvergent.
^a„'b,^ ist
unmittelbar den folgen-
den Satz:
IL
Es
W\-
a^a^a^ '••«„•••,
seien
'
-^n'
'
'
unendliche
^"'^^
Folgen willkürlicher komplexer Zahlen, die nur den drei folgenden Bedingungen genügen:
lim 6,^=0,
(5)
=
W
die
Heihe
2r|
&,^—
?*^^j
|
CO
konvergent,
ist
zivischen endlichen Grenzen;
dann
und
die Beihe
Xa^
oszilliert
konvergiert die Beihe Za^^h^^.
Der vorhergehende Beweis ist ungeändert anwendbar, wenn man
nur bemerkt, daß wegen (5) die Zahlenfolge mit dem allgemeinen
Elemente s^J)^^_^^ eine Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte
ist.
100.
Für a
>
und a
-f
/3
>1
konvergiert die unendliche Reihe
mit dem allgemeinen Gliede
101.
Wenn
ist,
Z
so
a,^^
|
— a^^^^
\
konvergieren
konvergiert,
die
beiden
und lim a„
Reihen
=
für
n= oo
Za^cosnx und
Za^^Binnx immer, wenn x kein Vielfaches von
2;r
ist.
—
Elementare Konvergenzkriterien.
Kapitel IX.
Es
102.
—
113
§ 40.
zu beweisen, daß die Reihe
ist
2log2
4log4
3log3
~
x-{-l
x-\-~i
'
a;
ly^nlogn
(
+3 +
'
'
+w—
"^
'
a;
Wert von
'
'^
1
'
'
x^ der nicht negativ
ganz
ist,
von x sämtlich unabhängig sind,
und
die
für jeden endlichen
konvergiert.
Wenn
103.
die
a^^
Reihe
-^ ^ "? ^
«+2
für ^eäes endliche x,
sie
verhält sich diese Reihe
von
Es
104.
^
_j
a;-|-3
j
^^L_
^x^n^4-
.
Wert von x
endlichen
für einen
"3_
I
!
a;+l
einen
für
.
.
konvergiert, so konvergiert
negativ ganz
nicht
das
.
solchen
ist.
Wie
Ausnahniewert
ic?
beweisen, daß
zu
ist
Reihen mit positiven
beiden
die
Gliedern
\n sin^wrc
^^ co-srnx
^j
n=
n
'
n
.^j
n
l
=
1
divergieren.
105.
106.
Wenn
sowohl
Z!a^^
als
2J
|
&^
— ^«+1
konvergieren, so kon-
1
vergiert auch die Reihe Ua^^hf^,
p
Wenn
konvergiert,
für
n
Reihe 2J|&„
die
=
oo
ist,
(Jensen.)^)
positiv ganz.
^,t +
so konvergiert die Reihe
i
2J(—
und lim
l)"&f;7
p
6,^
=
positiv
ganz (Jensen.)^)
Kapitel IX.
Elementare Konvergenzkriterien.
§ 40.
Kummer-)
von Cauehy, Raabe und Kummer.
Sätze
hat den ebenso merkwürdigen wie fundamentalen
Satz gefunden:
Die Reihe mit positiven Gliedern
I.
wenn
es
möglich
ist
(1)
9^0.
zu bestimmen, daß für
^^)
2Ju^^
ist
immer
eine solche Zahlenfolge mit positiven
Vi,
fp2,
9^3'
•
, Vn
•
n^N immer
qp„-^-g)„^,>«>0
'"•
wi/rd.
+^
Mathematik (5), Bd. 2, p. 69; 1884.
Journal für Mathematik, Bd. 13, p. 172; 1835.
Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen.
1)
Tidsskrift for
2)
8
konvergent,
Elementen
1
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
114
Da
die Glieder
sämtlich positiv sind, ergibt sich wegen (2)
u^^
-
^„"«
Vn + l^K + l^^^Ki + l
woraus durch Addition hervorgeht:
^n%- ^n+p% + pt
(3)
Da nun
Summe
die
Hand
die Differenz linker
ist
daher für jedes
die
Reihensumme
K
•
rechter
+1
+
Hand
^'«
+2 H
in
+
^^n
(3) positiv
+ p)
so
ist,
muß
offenbar dieselbe Eigenschaft besitzen; es
})
K^,+
(4)
«
%^2-\----
linker
+ »n^p<^'^
Hand muß daher
endlich
sein,
wie groß
auch p angenommen wird, und daraus folgt unmittelbar die Konvergenz unserer Reihe, weil sie nicht oszillieren kann.
Kummer^) hat auch den folgenden Divergenzsatz aufgestellt:
n. Die lieihe mit positiven Gliedern Zii^ ist immer divergent,
wenn man die Zahlenfolge (1) mit positiven Elementen so hestimtnen
Tcann,
daß für n
^ N immer
^'«•-^-^n + l^O
(5)
'^''n
+
und loenn die Reihe El cp^ außerdem divergiert.
Aus (5) erhält man in der Tat unmittelbar
wird,
:
1
««
d. h.,
^
daß die Glieder der Reihe
^n
.
ihren
Zu,^^
Quotienten nach lang-
samer abnehmen als diejenigen der divergenten Reihe El (p^.
Die von Kummer geforderte weitere Bedingung über die Zahlen:
folge (1):
ist
also,
In
hm {(pjij =
wie Dini^) zum ersten Male bewiesen hat, nicht notwendig.
§56
beweisen wir, daß wir auch im
Kummerschen Kon-
1) loc. cit. p. 172.
2) Sülle Serie
a termini positivi,
p. 6.
Annali Univ. Toscana, Bd. 9; 18ß7.
1
Elementare Konvergenzkriterien.
Kapitel IX.
§ 40.
115
vergenzkriterium nur solche Zahlenfolgen (1) zu benutzen brauchen,
Ul
für welche die Reihe
Aus den Sätzen
divergiert.
cp^^
:
und
I
II
man nunmehr
leitet
verschiedene
aber viel speziellere Konvergenz- und Divergenzkriterien un-
ältere
mittelbar ab.
Setzt
man
in
der Tat in (2) und
(5)
=
cp^^
1
so
,
erhält
man
den Satz von Cauchy:^)
Die Reihe mit
III.
positiven Gliedern Z'm,^ lonvergiert oder diver-
nachdem
giert, je
lim inf
(6)
n=
CO
—
Uli
--
>
oder
1
—"-
lim sup
M
+1
=
00
^*„
<
1
+
ist.
Ist die
Zahlenfolge mit
vergent mit
dem Grenzwerte
dem allgemeinen
1,
Glied
so wird der Satz
u^^
von
'
'^n
+i
Cauchy
konhin-
diesem Falle setzen wir in (2) und (5) 9)„= n und erhalten
unmittelbar den folgenden von Raabe^) gefundenen, von
fällig; in
dann
Duhamel^)
aber wiedergefundenen Satz:
Hat man für die Reihe mit
Entwicklung von der^ Form:
IV.
n
<
.../
+l
konvergiert oder divergiert
so
«
=l + i±ii +
-^'
(7)
nachdem a
unsere Reihe, je
>
oder
ist.
Dieser Satz wird unbrauchbar für «
=
Raabe*) den folgenden Hilfssatz gegeben:
V. Hat man für die Reihe mit positiven
wicklung von der Form
über diesen Fall hat
O5
Gliedern
Uu^
eine Ent-
^^ = l+i- + -i^ + ---.
(8)
WO a
endlich
positive
Zahl
Setzt
1)
•2)
ist,
während d
man
in
der Tat in
Analyse algebrique,
Journal
von
p.
85—88;
3)
aber angebbare,
eine ivillkürlich kleine,
bezeichnet, so divergiert die
(5)
(p^
Reihe
Uu,^^
= nlogn,
immer.
so
divergiert
die
134; 1821.
Ettinghausen und Baumgartner,
Journal für Mathematik, Bd. 11,
p.
Gliedern 2Ju^ eine
positiven
p.
309
— 311;
Bd. 10;
1841.
Journal de Mathematiques, Bd.
4, p.
1832.
Journal de Mathematiques, Bd.
214—221;
1839.
4) loc. cit.
8*
6,
1
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
IIQ
Reihe
27 1
^„ und man findet wegen
:
n log n
—
•
(w
(8)
+ 1) log (w + 1) =
+
«*«
= (n + l)logw - (w+ l)logO^+ 1) +
woraus
a log n
= -(.+ l)log(l+i) +
U,,
^..„
fpn
^^ +
hervorgeht, und der Ausdruck rechter
=
groß negativ und hat für w
oo den
Hand
ist
(1
n hinlänglich
hier für
Grenzwert —
aus den Formeln § 23, (20) und § 24,
+
'^°f^
wie dies deutlich
1,
7) hervorgeht.
1
107.
Es
die Divergenz
ist
Zn
Reihe
Wenn
Gauß^):
von
108. Konvergenzsatz
der
nachzuweisen.
"
Reihe
die
wo
vergiert oder divergiert diese Reihe, je aiachdem a^
109.
^
oder
a^—
Man
hat die Reihe
&i
1
posi-
ganze Zahl bedeutet, gestattet, so kon-
eine positive
2?
mit
Form
tiven Gliedern Uu^^ eine Darstellung von der
—
?>i
>
1
ist.
l-2-y(y +
1-7
+ l)(«-f 2)-^(/3 + l)(P +
^
42 3 7
+
l)
a(a
"+"
2)
1
für reelle a, ß
§ 41.
In
man
.
.
(y
-2)
1) (r
•
•
•
und y zu untersuchen.
Das
logaritlimisclie Kriterium.
demjenigen Falle,
wo
der Satz von
Raabe
versagt,
hat
das sogenannte logarithmische Kriterium:
I.
je
.
Die Reihe mit
positiven Gliedern 2Ju„ lonvergiert oder divergiert,
nachdem
log (1:
lim inf
(1)
ist,
n=
^^
U
)
»^
>
oder
lo<y (1
U)
lim sup ^^^AL-^«i
logV(n)
cc
=
n
uo
<
r.
log;. (w)
indem wir der Kürze halber
(2)
?7„
=
u,,
•
n log n
log., (^0
•
•
•
log,—
i
(^0
gesetzt haben.
1)
Göttincr.
Disquisitiones generales circa seriem iufinitam etc.
1813.
Werke Bd.
III.
§ 16.
Comment.
1
1
Elementare Konvergenzkriterien.
Kapitel IX.
nämlich a^ für ein bestimmtes n den
Bezeiclinet
kommenden Bruch,
log
?(„
+
log n
u«
'«
=
man wegen
so hat
+
log2
in
(1)
vor-
(2)
h log^ {n)
-f
{)i)
117
§ 41.
=-
a„ log^ (w),
woraus
(3)
hervorgeht, und
« log n
log.^ (w)
unser Satz
.
.
log^_ j
.
(w) (log
demnach
ist
+ ««
1
)
(«)
eine Folge
des
in
§ 37
gegebenen spezielleren Satzes VI.
AbeP)
Dies Konvergenzkriterium war schon
von Bertrand-) wiedergefunden worden;
bekannt,
ist
daß de Morgan^) etwas früher einen ähnlichen Satz gegeben
Wie Bertrand"^) bemerkt, kann
Satz
der
aber
jedoch zu bemerken,
es ist
hat.
auch folgender-
I
maßen ausgesprochen werden:
Wenn
II.
,(^_l)=A,
[
u
-\\-\\=\
\^.n\n[,-^
(4)
n
W
log,
k^ die erste der
tverte
Gliedern
Ist
Hu^
Es
sei
1
(log n
(^^ _
(^n
l)
-
l)
=h
oo dem Grenz-
je
nachdem
=|=
1
k^
>
n
für
<
oder k^
1
=
oo , so
=
^
1
ist.
der Satz II mit dem-
fällt
Raabe zusammen.
nun aber lim
Zv +
1
für n
=
oo
nicht
(4)
-^^1 + n^+V
^ n log n
u„
4.
logj (n)
^V
•
•
•
log^ (w)
+
n log n log2 (%)•• log^ ^
1)
(Eim-es Bd.
2)
Journal de Mathematiques Bd.
3) Differential
4) loc.
l)
=
n
die nicht für
bedeutet,
dann hat man wegen
(5)
_
so konvergiert oder divergiert die Beihe mit positiven
schon lim k^
jenigen von
gleich,
,
+
Zahlen k
zustrebt,
1
Ausdrücken
in den folgenden
cit.
11,
p.
201.
7,
p. 42; 1842.
and integral calculus; London 1839.
p. 43.
^{n)
'
der Einheit
«
^
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
118
während
=
_!!«_
(Q)
V ^
anderen Ausdruck
(3) diesen
w„
^.1
f 1
\
M. ^Qg(^ + l) ^og^±l)
+
"^
log
logg (n)
«
wo
= log.i + log(l +
l)
_
log^ (»0
man
aus der Formel § 23, (20) findet
(7)log(,.+
^
+ ^)Y+°"
/log r + i(^
liefert;
+l)
log^(n
^
.
/
aber
+^4^, + ^,l^„~),
=log^.-(l
^^)
a für unbegrenzt wachsendes n stets endlich bleibt; durch das-
man dann wegen
selbe Verfahren erhält
log2 ("
WO ß auch
+
=
1)
log2
man durch
+
log^ {n
(8)
wo
1)
man nun
n endlich
und
(6)
+ l)
'
bleibt.
beliebig oft fortfahren; dadurch
vollständige Induktion die allgemeine Formel
= log
{n) (l
n
man
(8) findet
\o^ + ^)
+ ^iog^iog,{n)
A für unbegrenzt wachsendes
Aus
,,log.^\og,(n)
für unbegrenzt wachsendes
In dieser Weise kann
erhält
+
(l
00
(7)
'
)
stets endlich bleibt.
aber wegen § 24, (18)
/log (n-\- l)\i + ««
n log n logg («)
setzt
(9)
p
man demnach
=r
chungen
-\-
1, so
in
nacheinander
(8)
**
M„
•
log
»? *
{n)
1, 2, 3,
•
•
•,
r
'
und
in
^j
n
,
(6)
xn
1
,
=
•
ergibt die Multiplikation aller so erhaltenen Glei-
Verbindung mit
in
^j
•
n
log
n
log^ («)
•
•
•
log
(«)
(10)
'
woraus wegen
(5) das
n log «
7!^
hervorgeht; die Sätze
•
•
log^
^
w"
(w)
j^
gewünschte Resultat
lim (l
(11)
•
I
+
a„-Av + i)
=
00
und
II sind
somit identisch.
Das logarithmische Kriterium ist auch von Bonn et ^), Bonniakovsky^) und v. Paucker^) untersucht worden.
nach
73—109;
1)
Journal de Mathematiques Bd.
2)
Wahrscheinlichkeitsrechnung (Russisch)
V.
Paucker).
3)
Journal für Mathematik Bd. 42,
8, p.
ji.
St.
1843.
Petersburg
138—150; 1851.
1846.
(Zitat
Elementare Konvergenzkriterien.
Kapitel IX.
Wir können
nicht
verlassen ohne auf den
Sätze von
die
119
§ 41.
vorhergehenden elementaren Kriterien
außerordentlich
elementaren
Cauchy, Raabe und Bertrand
Charakter der
ausdrücklich aufmerksam
zu machen; die Anwendungen dieser Sätze setzen ja stillschweigend
voraus, daß die Reihenglieder eine
monoton abnehmende Zahlenfolge
während dies bei dem Kummerschen Satze nicht der Fall ist.
Nun haben wir aber gesehen, daß bei Reihen mit positiven
Gliedern, wie bei unbedingt konvergenten Reihen überhaupt, die An-
bilden,
ordnung der Reihenglieder eine ganz willkürliche ist!
Dies ist aber noch nicht alles; setzt man nämlich mit Prings-
™
2n
konvergiert diese Reihe,
SO
hat
2n-{-l
und
es
ist
immer "„>m„^i; dennoch
man
lini^^l±l=l,lim-^-'' + 2=0,
SO daß keiner der obengenannten drei Sätze auf diese Reihe anwend-
bar
ist.
Wir haben daher
später
(in
Kapitel XIII)
eine
allgemeine
Theorie der Reihen mit positiven Gliedern zu entwickeln.
Über das logarithmische Kriterium vergleiche man übrigens § 52.
Die allgemeine Theorie der Konvergenz und Divergenz von
Reihen mit positiven Gliedern ist von Dini^) und P. du Bois
Reymond^) angebahnt, von Pringsheim*) entwickelt worden; man
vergleiche auch das Lehrbuch von BoreP).
110.
Es
ist
zu beweisen, daß die Reihe
V
wo a und ß reell sind,
dem
> 1 oder ß ^1
/'S
1)
2)
konvergiert oder divergiert, je nachist.
Mathematische Annalen Bd. 35,
SuUe Serie e termini positivi,
(Raabe^) und Bertrand^).)
p. 310; 1890.
Pisa
1867.
Annali
Bd. 9; 1867.
3)
4)
5)
6)
7)
Mathematik Bd. 76, p. 61—91; 1873.
Mathematische Annalen Bd. 35, p. 297—394; 1890.
Le9ons sur las series ä termes positifs Paris 1902.
Journal de Mathematiques Bd. 6, p. 87; 1841.
Ebenda, Bd. 7, p. 52; 1842.
"Journal für
Univ.
Toscana
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
120
111. Setzt
man
Kürze halber A
der
(n)
\
/
= r12
+-+
—
---H
n
,
'
so
konvergiert oder divergiert die Reihe
je
112.
>
nachdem «
Wenn
1
Zahlen
die
m
=
n
=
oder a
p^^
CO
l
^
p^ Pz
1
•
•
ist.
^^n einem gevrissen n
Pn.---
an der Bedingung
n
P
=
-^ iogi?
+B
und B feste, von
unabhängige Konstanten bezeichGenüge leisten, so konvergiert oder divergiert die Reihe
^Pn"' -i® nachdem «^ 1 oder «< 1 ist (Bonnet ^)).
Ä
wo
?<,
nen,
113. Sind
die j)„ dieselben
Zahlen wie in Aufgabe 112, so kon-
vergiert oder divergiert die Reihe
je
§ 42.
nachdem
«^1
a<
oder
1
ist.
Reihen mit komplexen Gliedern.
Cauchy undRaabe
Die Sätze von
keit auf unbedingt konv^ergente
(Bonnet-)).
Satz
von Weierstraß.
lassen sich ohne Schwierig-
Reihen mit willkürlichen komplexen
Gliedern erweitern.
Aus dem Cauchyschen Satze
I.
vergent,
Die Reihe mit
erhalten wir unmittelbar:
Gliedern I^ u^
willJcürlicJien
ist
iinhedingi kon-
wenn
lim. inf.
(1)
'n
+l
ist
Aus dem Raabeschen Satze
erhalten wir in ähnlicher
den folgenden:
II.
Hat man
eine
Entwicklung von der
J^=n.fi+J^ +
(2)
1)
Ebenda, Bd.
2)
loc.
cit. p.
8, p.
83.
81; 1843.
>L±^
Form
+
...,
Weise
Elementare Konvergenzkriterien.
Kapitel IX.
SO ist die Reihe mit ivillkürlichen
>
für a
unbedingt konvergent
u.^
1.
Aus
man
(2) erhält
in dei* Tat
= +1/1
+- + 4,
+l
''n
woraus wegen § 24, (18)
folgt:
+ 4+
i+-'^*n
+l
bemerken wir ausdrücklich, daß wir kein
Andererseits
meines Mittel
allge-
Untersuchung bedingt konvergenter Reihen be-
zur
In diesem
sitzen.
£
Gliedern
121
§ 42.
Zusammenhang haben wir aber den folgenden
Satz
von Weierstraß^) zu beweisen:
Besteht
III.
— 1)" u^
^ %n ~ %
^
Z!
K
\
EntwicMung
die
konvergiert
so
(2),
die
Reihe
für a positiv, ivährend die Reihe mit positiven Gliedern
(
+1
i
nachdem a
konvergiert oder divergiert, je
>
oder
ist.
cc
Betrachten wir zuerst die Reihe mit positiven Gliedern, so hat
man
erstens
U'n
wegen
(2)
= Wo, - «2„^, = ^^'^"- (a +
2w + l
+ ^"-^ +
iß
•
^
weiter ergibt die Identität
(^)
2« 4-i)
""
2« "~ 4»?
+
8^3 H
p<2n
,
dann nach einer einfachen Division
^=!!-±l(l+i+...);
(4)
endlich
ist
woraus wegen
(2)
und
2« + 1 __
2« + l
2«+3
2«+2
_
2m + 2
2«
+3
(3)
2»+_l_
=14-
+
^/3
a
^^^J^
I
.
.
.
2« + 3
hervorgeht, und demnach erhält
man
aus (4)
+^+
— ^2n + = 1 +
l
^*2n
1)
+2
Werke Bd.
+
3
Journal für Math. Bd. 51; 1856.
lehre, p. 220.
^"<^
I,
p.
185.
Abhandlungen aus der Funktionen-
Die Reihe 2J
a
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
122
>
\
—
Uo\^
ii^
^^
Was nun
die Reihe
/(
= 2n +
(
II
konvergent für
(-
1)^
2
%=
p=0
1
("2p- M2p + l)
+
M2„;
ii
für
p=0
uns daher nur ob zu beweisen, daß lim
es liegt
man
so hat
betrifft,
p=0
p=n—
2 H
2
ii^^
p=n
l
p=0
p =
Null
daher wegen
ist
^^
^ 0.
S — 1)"
aber divergent für a
=
n
Da
a
>
man wegen
vorausgesetzt wird, so hat
'//.
(2)
+1
man demnach in diese Ungleichung nacheinander n
anstatt n, so erhält man durch vollständige
-\- p
indem man die so erhaltenen Gleichungen multipliziert:
setzt
...,
-\-
n
^
u n+p + l
"^
+
\«
1
"^
« 4-
rechter
Hand
so
für unbegrenzt wachsendes p,
oo den Grenzwert
n
+
ist,
divergiert
h.
d.
u^^
während p
die
muß
Reihe
für
Über Reihen mit komplexen Gliedern vergleiche man
die
Ab-
Kapitel X.
Multiplikation nnendlicher Reihen.
Sind
s„
Sätze
und
QN
1
l
t^
von Cauchy, Abel, Hertens und Cesäro.
Partialsummen der zwei konvergenten Reihen
= Wo + «1 +
^^=
+ +
S
^'o
4'i
h M„ H
Ho H
^2 ^
-f-
^'n
+
•
•
-J
und bezeichnen
%J
1)
m
haben.
handlung von Pringsheim^).
§ 43.
2,
n-\-20-}-l)'
groß angenommen werden darf,
beliebig
1,
Induktion,
"^
2
da nun hier n eine bestimmte positive ganze Zahl
=
oo gleich
ist.
lly
Q.2J
'
•
-y 9.rn^
Archiv der Mathematik und Physik
(3)
•
•
'
Bd.
4,
p.
1—19;
1903.
:
.
Multiplikation unendlicher Reihen.
Kapitel X.
*
§ 43.
123
zwei unendliche Folgen beständig wachsender positiver ganzer Zahlen,
so
die Zahlenfolge
ist
dem Grenzwerte
sicher eine Fundamentalreihe mit
Die Frage über die Darstellung
als
s
t.
unendliche Reihe des Grenz-
Cauchy^) durch den folgenden
wertes der Fundamentalreihe (2) hat
Satz beantwortet:
Wenn
I.
man
st
(3)
(1) beide unbedingt Tion-
für ihr Frodiikt die Heihenentwicldung
= Wq + w^i +
«t'o
+
+
^w,^
---,
Kürze halber für jedes n
ivo der
(4)
Tmäüplmerenden Reihen
die su
vergieren, so hat
= u^v^ + WiV„_i +
tv^
gesetzt ivorden
Um
•
•
•
+ w^f„_^ +
•
•
•
+
w„_ir,
+
«„i'o
ist.
Cauchysche
die
Produktreihe (3) näher zu untersuchen
betrachten wir die Partialsumme
=
Ä„
(5)
man
beachtet
+
^^'o
u\
+
nun, daß das Glied
mit keinem anderen Gliede
i\
Wo
H
H
in
ii
«f^»;
durch
S^^
r^, rj,
•
vorkommt,
multipliziert
•,
so
i'„_p
und
hat
man
offenbar
(6)
'S'„
t^
unbedingt,
^„
_1
die
+
•
.
+
•
Reihe
M.„ #0
aber nur konvergent,
2Jv^^
man
so setze
= +
t„_p
und
Z u^
nun
Ist
= Wo + Mj
t
d„_p,
p
=
m<~<m-\-l
0,l,2,...,m,
erhält somit aus (6)
S^
/7^
\
=
i-
«m
dann d^ und
es seien
\tJ^_m-^.'^)
+
K^'.
G,,^
die
+
«*l^n-l
Da
die
Reihe 2]\u
Hand
in
(8)
'
+
•
•
+
endlich,
ist
-{-
der zu
1)
d^^,
'uj)
^J^
gehörige Faktor
während der zu
Faktor das Restglied einer konvergenten Reihe
gilt für
^(m^n-,n)
(7)
:u,\^
konvergiert, so
stets
•
oberen Grenzen der Zahlen |d„_^| und
dann hat man offenbar wegen
S„-tsJ<ö„.{\u,\
rechter
+
während G^ für jedes n endlich
Analyse algebrique, pp. 147, 283: 1821.
bleibt;
(r„
gehörige
darstellt;
dasselbe
man
hat daher den
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
124
Grenzwert
=s
lim S^
n
oder
den
Mertens^), der
vou
Satz
t
= 00
von
denjenigen
Caucliy
als
Spezialfall enthält:
IL Die Caucliy sehe Produlxtformel (3) ist sicher dann anivendhar, wenn die zu multiplizierenden Beihen beide konvergieren und zivar
mindestens die eine mibedingt.
Den obenstehenden Beweis verdankt man Jensen^); Cauchy
hat seinen Satz bewiesen durch ein Verfahren analog mit demjenigen,
welches wir in § 20 bei der Multiplikation von
e^
und
e^
angewendet
haben.
Die
Formel
Cauchysche
uns
gibt
(6)
aber
Multiplikationsregel;
Formel nacheinander n
—
1,
01
—
2,
.
Auskünfte
weitere
setzt
.
.,
man
in
der Tat
über
die
in dieser
anstatt n, so ergibt
2, 1,
die Addition aller so erhaltenen Gleichungen:
/j
Sf, -j-
/QN
woraus wegen § 29,
II
lim
(10)
d. h.
S^
\-Sn
-\
_
=m
^
"^
n
^j
,
'
hervorgeht
?l±A+^+:jl:+^ =
5
.
/
der Satz von Cesäro^):
III.
Wenn
die beiden zu
vergieren, so ist die
Da
Satz von
IV.
ist,
(3)
nur kon-
immer summierbar
st.
eine konvergente Reihe auch
Mittelsumme
summierbar mit ihrer
Summe
so ergibt sich unmittelbar aus III der folgende
AbeH):
Wenn
die beiden zu multiplizierenden Beihen (1) konvergieren,
so ist die notwendige
keit der
midtiplizierenden Beihen (1)
Cauchysche Produktreihe
mit der Mittelsumme
als
-\-
S^
und
Cauchy sehen
hinreicliende
Bedingung für
3Iultipliliationsregel,
daß
die
Anwendbar-
die ProduktreiJie (3)
auch konvergiert.
79, p. 182—184; 1874.
Mathematik (4) Bd. 3, p. 95—96; 1879.
Math. Bd. 5, p. 430—432; 1879.
3) Darboux Bulletin (2) Bd. 14, p. 114—120; 1890.
(Euvres Bd. I,
4) Journal für Mathematik Bd. 1; 1826.
1)
Journal für Mathematik Bd.
2)
Tidsskrift for
Nouv. Corresp.
p. 225.
Multiplikation unendlicher Reihen.
Kapitel X.
114.
Es
zu beweisen, daß die beiden Reihen
ist
2
a-f/3>l, c:>0 und
man
hat
so
WO
nach der C au chy sehen Regel
der Kürze halber
=^+^+
s«
>
/3
l
werden dürfen.
multipliziert
115. Setzt
=
n
1
für
125
§ 44.
man
3a
---
+
+
,7
+
«>1;
---.
folgende von Euler^) herrührende Formel
die
der Kürze halber
= 00
n
/
^n. ft
J!
gesetzt
116. Setzt
worden
man
SO
,y l
.
"T
V
"r
„ /V
I
zu beweisen.
ist,
1,1
1«
hat
,
2
der Kürze halber
1
«
=
2°=
1
(—1)""^
I
I
I
4«
3«
'
n"
-^
-^
A
»
die beiden Produkte s^^ö^ und ^„(7^ für a > 1
Weise wie dasjenige in Aufgabe 115 zu entwickeln.
man
in ähnlicher
§ 44.
Anderer Beweis des Satzes von Hertens.
Da die von Abel gegebene notwendige und hinreichende Bedingung für die Reihenmultiplikation sehr umständlich bei den Anwendungen
ist,
Jensen
da weiter der von
für den
Herten sehen
Satz gelieferte Beweis unauflöslich mit der unbedingten Konvergenz
einer der zu multiplizierenden Reihen verbunden
die
Multiplikationsregel von einem anderen
ist,
so
haben wir hier
Gesichtspunkte aus zu
untersuchen.
aus,
Zu diesem Zwecke gehen wir von
indem wir j?^ == g,^ = w setzen, was
der Fundamentalreihe § 43, (2)
ja offenbar für die Allgemein-
Methode ohne Belang ist; betrachten wir nun das Proso erhalten wir ohne weiteres
heit unserer
dukt
s„^„,
\K =
(1)
1)
Correspondances math.
Acad. Petrop. Bd.
et phys.
20, p. 184; (1775)
der Gammafunktion,
p. 47.
^n
+ K,
Bd.
1776.
Leipzig 1906.
I,
p.
191 (1743).
Vgl. mein
Novi Commentarii
Handbuch der Theorie
,
Zweiter Teil.
126
Avo der
Kürze halber
p=
=
B^
(2)
gesetzt
worden
übrigen in
Aus
II
+
yupiv,^
Denn
ist.
s^t^
p
-\-
•
•
.
+
i;„_
S^ enthält
)
die
alle
Produkte
man
(1) findet
ist
die
aber unmittelbar den Satz:
Die notivendiye und
I.
Summe
die
q^n
+ ^;„_2 +
v^_,
und keine andere, während R^
vorkommenden Produkte u v^ enthält.
für welche
UpV^,
Reihen mit konstanten Gliedern.
Bedingung für
liinreichende
die Multipli-
nach der Caucliysclien Begel der zwei Iwnvergenten Beihen
kation
Uu^ und Hi\
hesteJd darin,
daß
limJ?„
(3)
=
ist.
Als erste
Anwendung dieses
Hertens
nunmehr durch
Satzes wollen wir
denselben den Satz von
beweisen; zu diesem Zwecke setzen
wir die Reihe ^|w„| als konvergent voraus, und es
m = —n
je
—
m = n— —1
,
~
oder
nachdem n gerade oder ungerade
p
dann erhalten wir aus
ist;
= in
p
(2)
=n
«,-^+J'.
(4).
Es
seien
V\
und
Aveiter
sei
G
nun
+
Ö^ die obere Grenze
+
^«-1
die obere
•
•
•
+
^n-p + u,
von
P
=
0; 1, 2,
.
.
m
.,
Grenze von
K + ^«-1 +
•
dann hat man wegen
+
•
+
y„-p+ih P
= »^ +
1,
«^
+
2,
.
.
.,
«;
(4)
(^^-(K+il
+
h-^«+2l
+
—
h K'\),
Avoraus die Bedingung (3) unmittelbar folgt, weil die Reihen U v^
und ^\u„^\ beide konvergieren; denn ö„ ist obere Grenze des absoluten Betrages des Restgliedes in 2v^\ G ist immer endlich, und
der zu
G
gehörende Faktor
§ 45.
Was
die
ist
ein Restglied der Reihe 2JJM„|.
Sätze von Pringsheim.
Multiplikation nach
der
nur bedingt konvergierender Reihen
1)
Mathematische Annalen Bd.
21, p.
C au chy sehen Regel zweier
so hat Pringsheim^)
betrifft,
327—378;
1883.
Multiplikation unendlicher Reilien.
Kapitel X.
127
§ 45.
einen sehr allgemeinen Satz g-efunden, von welchem wir insbesondere
den folpfenden Spezialfall hervorheben:
I.
Die
C auch y sehe
Multiplikaüonsregel
hleiht
bar, falls die beiden zu midUplizier enden Reihen
Tionvergieren,
während außerdem
(1)
+
K'o
und
konvergiert,
^1
I
+
\'h
+
noch möglich
es
^'3
I
ist
+
+ «*2^'2«-2 H
|Wl^2«-l + %''2«-3
(3)
werden,
indem
s
h-'4
+
^5
I
+
•
•
eine solche positive ganze
\U0V2n
(2)
bloß
die Beike mit positiven Gliedern
n> N immer
zu bestimmen, daß für
noch dann anwend-
Zu^ und Ev^
\-
'^hn%\
<
«
wiUJdirlich Meine, positive
eine vorgegebene,
N
<f
^ ^2«-!^^!
^
Zahl
gleichzeitig
Größe
bezeichnet.
Der im vorhergehenden Paragraphen entwickelte Beweis
sich beinahe wortgetreu hier
läßt
anwenden; bei unseren Untersuchungen
über das Restglied
s
=
s=
haben
wir
gerade
isl,
Setzt
aber
hier
n
1
die
beiden Fälle,
für sich zu untersuchen.
man
der Kürze halber
«r
(5)
=
'^'2.
so ergibt sich unmittelbar aus (4)
^2r
(6)
+
^2r + l;
wo n
gerade
oder
un-
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
128
Mau
n^ N
hat daher für
Weiter findet man aus
(8)
=
;'
immer
ganz ähnlicher Weise
in
(4)
"
woraus durch dasselbe Verfahren wie vorher für n
!J?2„ +
(9)
damit
folgt;
Ganz
immer
i'<f
aber unser Satz bewiesen.
ist
ähnlicher Weise
in
^N
ergibt
sich,
daß die Bedingung (1)
durch die Konvergenz der Reihe
r
= 00
2
(10)
r
l\p^,
werden kann, während
ersetzt
zeitig
+
\V,J,
+
+
l\r
—
durch die ^(^j
s
1)
Bedingungen
die
und
(2)
(3)
gleich-
folgenden
= n— 1
I
j
'2i%-s)p-r-^^.p + ,)^<^
(11)
für
+ l)p-x\
=
n^N vertreten
=
r
zu setzen
werden, indem
0,l,2,..,
p-\,
5
=
l,2,3,..,i9-l
ist.
Diese Sätze von
Pringsheim
sind später von A.
Voß^) und
Cajori^) untersucht worden.
Pringsheim^) hat den noch allgemeineren
welchem
die in (10)
konstant
ist
=
(10)
>•)
2
n
l1
j
/
'
n
=x
2)
3)
in
nicht
variiert.
^
-«—1
=1
n
n=:x
'
iv"
^
-w
n
— 2)
=
n
'
\1
2
ZU beweisen.
1)
p
Formel
(=00
^/w
w
Fall untersucht,
positive ganze Zahl
sondern mit dem Stellenzeiger (in
117. Es ist die
\j^
—
und (11) auftretende
Mathematische Annalen Bd. 24, p. 42—47; 1884.
American Math. Soc. Bull. (2) Bd. 1, p. 180; 1895.
Encyklopädie der math. Wissenschaften Bd. I, p. 97.
'""'"« — 1/
Multiplikation unendlicher Reihen.
Kapitel X.
von Pringsheim über alternierende Reihen.
Satz
§ 46.
]29
§ 46.
§45
Mit Pringsheim^) bemerken wir, daß die in
entwickelten
und das
Bedinofunffen zwar hinreichend aber nicht notwendig sind,
wohl
es
unmöglich bezeichnet werden muß,
als
notwendigen und
die
hinreichenden Bedingungen aufzustellen, die zwei willkürliche kon-
um
vergente Reihen befriedigen müssen,
nach der C au chy sehen Regel
multipliziert werden zu können, die Bedingungen § 43,
IV und §
44, I
ausgenommen.
Für Reihen mit alternierenden Gliedern hat Pringsheim^) aber
natürlich
den folgenden Satz bewiesen:
I.
«„
.
.
Sind
und
.
die beiden Zahlenfolgen mit positiven
h^h^h^
dem Grenziverte
.
b^
.
.
.
.
r=n
der
r
=
11
=ü
und hinreichenden Bedingungen für
C au chy sehen
Multiplikationsregel
Z'(— l)"a„ und
konvergenten Reihen
Wenden
wir den Satz § 45,
die Anwendbarlxeit
auf das Produkt der beiden
2J{
—
I an, so
l)"^,,-
ist
Bedingung § 4ö,
die
offenbar erfüllt, weil sie nichts anders aussagt, als daß die Reihe
konvergiert;
es
n^ N
Nun
diese beiden
Bedingungen
ersetzt werden.
hat
man
aber offenbar
+ (hhn-1 +
^n + lK-l + «« + 2^.-2 H
«0^2«
die
Bedingungen
(1)
\-
sind
dingungen notwendig sind,
< ^ni% + «l + «2 H
+ «2n^0 < «»(^0 + ^ + &2 +
^ ««)
^'nK
somit
liegt
hinreichend-^
daß
auf der Hand;
aber
es
ist
"
"
"
+
diese
in
+ a,bn-i +
%K + ^hK-v +
«0^«
1)
•
•
•
•
•
+ aA > a„{\ + &^ + 6, +
+ «„&o > K(Po + «1 + «2 H
—
Mathematische Annalen Bd.
cit.
21, p. 340;
p. 363.
Nielsen, Lehrbuch der unendlichen
Keihen.
1883.
\-
+
K)'^
Be-
der Tat
offenbar
2) loc.
(1)
2Jv,^
uns also nur übrig die beiden anderen Be-
bleibt
dingungen § 45, (2) und (3) zu untersuchen;
können aber hier durch die folgende
für
.
.
r
die notwendigen
.
U V =
(a, -^b\^
^"-^ - lim
TA''^-^ «.)
lim
(1)
.
Beziehungen
so bilden die
0,
Elementen a^a^a^
monoton abnehmend und honvergent mit
bj
«J-
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
130
Wären
Bedingungen
also die
könnte die Cauchy-
(1) nicht erfüllt, so
sche Produktreihe nicht konvergieren.
Mit Pringsheim^) heben wir noch den spezielleren Satz hervor:
IL Eine hinreichende aber nicht notwendige Bedingung für die
C au chy sehen
MuUipliTxation nach der
Heihen im Satze
daß
besteht darin,
I
Hegel der beiden alternierenden
die Reihe
Konvergiert.
Aus der Konvergenz
immer
p und n^
der Reihe (3) folgt nämlich, daß für jedes
N
muß, und
sein
1
Da
die
um
es ist
^n+piK + l
und
a^^
so
die
mehr
für
+ K+ +
n
^N
----\-'bn+p)<
2
monoton abnehmen,
&,^
immer
^^
so ist es möglich für
P
ein aufgegebenes n eine solche positive ganze Zahl
daß für
p^P
immer
On+p <^
wird; dann
erhält
+pK +
«„ +p(^ +
^«
^^^
'
Onj
+ p <C ^n
Cln
aber auch
ist
K +p<'^nKund somit
0^2
&2
man
+
+
<j,
(^n+p<
^n'^n - q,
^N
«J < ^.(«1^1 + «2^2 +
+ &J < «.(^1^ + ^^'% +
immer
n
für
man
aber die
Daß
die
dingung
ist,
•
•
•
Bedingungen
•
•
von
+ aM < £
+ (^nK) < ^,
(4)
und
(5) er-
(3) aber keine
notwendige Be-
wird durch das Beispiel
ö'„
'
= K = 77=^
y n log n
diesem Falle divergiert sicher die Reihe
gezeisrt; in
y^b
-^
" "
andererseits
ist
—n
='V
y^ n log
I
aber die Bedingung (1)
n
=
cit.
p. 364.
•
'
erfüllt.
n
yn log n .^^ Yp
1) loc.
•
•
(1).
Konvergenz der Reihe
(G)
^
•
i-
weil die Reihe (3) konvergiert; durch Addition
hält
zu bestimmen,
log p
Setzt
man
in der
Tat
Multiplikation unendlicher Eeihen.
Kapitel X.
131
§ 46.
SO ist
y2
]/2'
log 2
und daher hat mau
^
"
/
denn
es ist, für
n
"'-
+
Für n
=
\,2
-/-
-'^
+
•
.
•
"|/8
man
verifiziert
<
+ ^.
j/w
2 Vw.
unmittelbar diese Ungleichung;
durchführen zu
Induktion
vollständige
+
l/-2
V log n
I
immer
positiv ganz,
-j/l
^ lAl
.^i
)/«
Irin- M
log
n
l/ii
|/n
um
die
können, benutzen wir die
andere Ungleichung
< ]/w +
+
'^
7^
,
)/%
Aus
1
(7) folgt aber,
1
-f
^tJ
der
2 (]/w
+ 1 - "|/m)
daß die Reihe
^
nach
=
y«
(^^«i((7/?/schen
(-1)'
]/»-
log
n
quadriert werden
Multiplikationsregel
darf,
obgleich die entsprechende Reihe (3) divergiert.
In diesem
Zusammenhang haben wir noch
wegen den folgenden
späterer
Anwendungen
Hilfssatz zu beweisen:
und
ni. Konvergiert die Ileihe (3),
man
setzt
Kürze halber
der
für jedes n
A^
(8)
so
ist
die
=
a^h^
+
a^ h^_^,
+
a^h^^,^
+
•
•
•
+
a^K+p
+
Aq, Ä^, Äo,
•
•,
^„,
•
•
die
Hand, daß
die
Zahl
Ä^^ für jedes
A>A^^
(10)
Es
0.
n endlich ist;
Glieder der Reihe (8) sind sämtlich positiv und nicht
die der konvergenten Reihe (3); daß auch für jedes n
liegt auf der
größer als
ist,
•:
••
monoton abnehmend und konvergent mit dem Grenzwerte
denn
'
ZaJdenfolge mit positiven Elementen
(9)
Es
'
folgt unmittelbar aus derfür jedes ?^ richtigen Ungleichung &,^
< ^«+1-
bleibt uns also
bestimmen.
Da
nur übrig, den Grenzwert der Zahlenfolge (9) zu
die Reihe (3) konvergiert, so ist es möglich, eine
solche positive ganze Zahl
(11)
«p+i^^+i
P zu
+
bestimmen, daß für
%+-A+-2
p^ P
+ •••<!
9*
immer
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
132
wird;
da die h^ monoton abnehmen,
%+tK+p+i +
(12)
nun verfügen wir über
ai&„^i
+
(^p+^.^n+p+2
um
woraus für hinlänglich große
+
daher auch für jedes
+ •••<!;
die ganze Zahl n in solcher Weise, daß 6„
wird; dadurch erhalten wir
(13) ao6„
man
liat
n
positive ganze
.
•
•
< h^
mehr
so
hervorgeht:
JJ
<
«pft,,^^
hp(a^\
^
a^h,
+
rt^y
<|
•
Bestimmt man nun p so, daß die beiden Bedingungen (11) und (13)
eine solche Zahl, daß b^ < h^ ist, so hat
befriedigt werden, und ist
man aus (12) und (13) für w >
immer
N
N
Ä„<s,
(14)
womit unser Satz bewiesen ist.
Es leuchtet ein, daß die entsprechende Zahlenfolge mit dem
all-
gemeinen Gliede
(15)
J^,„
=
+
6o««
genau dieselbe Eigenschaft wie
118.
Man soU
+
^i««+i
den Sat § 46,
•
•
+
•
^p^n + p
+
•
•
•
(9) hat.
auf die Reihe in Aufgabe 117 an-
I
wenden.
119.
Es
sei
9?^,
(p^,
(p^,
•
•
•
qo«
•
•
liml«f^=0,
«
ist;
eine Zahlenfolge
•
monoton und divergent
Gliedern, die
=
dann kann man
M =00
y^
«
=
i
mit positiven
so daß
lim^-'^"^-=0
iognlogjC«)
qp„
00
ist,
die beiden alternierenden
n—1
(- 1)"-^
^
Z
—1 /(-1)
^ \n — 1
^^
>
^„
Reihen
nach der C au chy sehen Regel multiplizieren.
120. Satz von
Pringsheim^).
Bedeutet q eine willkürlich kleine
angebbare positive Größe, so
die
1)
n
=X
»
=
ist
die
Konvergenz der Reihe
notwendige und hinreichende Bedincrunff dafür, daß die
Mathematische Annalen, Bd. 21,
p.
365;
188;^.
Multiplikation unendlicher Reihen.
Kapitel X.
133
§ 47.
alternierenden Reihen des Satzes § 46, 1 nach der Canchjschen.
Regel multipliziert werden dürfen.
Allgemeine Bemerkungen über Reihenmultiplikation.
§ 47.
Uu^ und Zv,^^ unCauehysche Pro-
Sind die beiden zu multiplizierenden Reihen
bedingt konvergent, so konvergiert nicht bloß die
man
duktreihe ^w,j unbedingt, sondern diejenige Reihe, die
erhält,
und
u
I
indem man an
V,
j
j
u und
Stelle eines jeden
und hat
einführt, ist auch konvergent
aus ihr
ihre absoluten Beträge
v
Summe
die
I
(1)
(J?i«.i)-(^i''j).
Bezeichnen daher p^p^p^
""^ QoQi92
Pn'
^n " ^^^^ yvi\lunendliche Folgen beständig wachsender positiver ganzer
'
'
'
'
'
'
kürliche
Zahlen, so
ist die
(2)
Reihe
%J',.
+ %,\ +
unbedingt konvergent, und
Glieder dieser
Nach
I.
•
die
•
+
•
«z-«
Summe
+
^9„
•
•
•
der absoluten Beträge der
Reihe kann niemals größer
als
das Produkt (1) sein.
Bemerkungen beweisen wir nunmehr den Satz:
beiden Beihen Uu^ und Ev^ unbedingt Iwnvergent und
diesen
Sind
die
enthalten die beiden Zahlenfolgen, jede mit lauter verschiedenen Elementen
PoPiP2---Pm-
•
-,
a^ailr
•
'
Im-
•
außer der Null sämtliche positive ganze Zahlen so geordnet, daß, wenn
N eine
vorgegebene willhürliche positive ganze Zahl bezeichnet, es mög-
ganze Zahl
lich ist, eine solche positive
immer
p„,
+
g^
> iV
«
Betrachtet
ist,
=
sie
^P =
man
j)4
=
Partialsumme
sämtliche Produkte u^v^, für welche r
kein einziges Produkt
so hat
die
man immer
=
m
man nämlich
und enthält
so hat
M zu bestimmen, daß für m^M
I
ti^v^,
%^p
I
-f-
+ s > n^ ist,
+
+ UpVQ
s
für welches r
+
1
U^Vp-l
•
i
< Wj
und
ist,
aber
setzt
man
•
I
I,
offenbar
?
In diesem Falle
=
stellt die
M
=
?Jj
+1
Cauehysche
Multiplikationsregel also
Reüien mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
134
nur eine einzige der unzähligen Formen der unbedingt konvergenten
Produktreihe (3) dar.
Wenn
Cauchysche
die
Multiplikationsregel zwar anwendbar
ist,
aber mindestens eine der zu multiplizierenden Reihen nur bedingt konvergiert, so bleibt die
Formel
(3) nicht
mehr allgemein
gültig; wir
können
in
diesem Falle nur sagen, daß die Cauchysche Regel jedenfalls eine
Formen der Produktreihe liefert.
von Abel kann natürlich nicht dahin
der möglichen
Der Satz
daß wir behaupten
dürfen,
Formel
die
erweitert werden,
bleibe
(3)
richtig,
wenn
nur die Reihe rechter Hand konvergiert; auch der Satz von Cesaro
kann hinfällig werden, wenn wir die Cauchysche Produktreihe
verlassen.
Nach H. Bohr,
allgemeine Untersuchungen^)
der
i^uj i^vj =
wo
«0
+
+
"i
diese
die Produktreihe
Frage angestellt hat, betrachten wir
(4)
über
«2
+•••
+
".
+ ••
•;
allgemein
gesetzt
worden
richtig,
wenn
Da
ziert
die
ist;
Formel
in a^^ das Glied u^
Hand
mit der
vorkommt, so hat man für
^„
=
Oq
+
dem Ab eischen
(4) ist
die Reihe rechter
Summe
+
v.2j,_p_i
v^n-p multipli-
Partialsumme
die
+
(o^
Satze zufolge
konvergiert.
(O2
h
-\
w„
den Ausdruck
Sl„
(5)
WO
= Mo^2„ + Wi^2,_i +
•
•
•
+
•
•
•
+
thnh,
der Kürze halber
in
gesetzt
p=n
worden
ist;
=
«'0
+
«'•i
+
aus (5) erhält
1-2
+
% = 0,
wo
die
u^p.i
a,j
und
monoton abnehmend
Man
+
•
'i'„
daher
p= n — 1
ttj,-
= 0,
Vq
V2^_i
7
7
sind
v,p
=-
&^,
7
7
•«„••-, hhh^
= hp,
daß die beiden Zahlen-
sämtlich positiv sind, so
a^a^a^-
1)
=-
u,^p
folgen
210.
•
p=0
= %,
b^
•
man
p=n
p=0
p=0
Setzen wir nun
p.
+
Uph„-p
•
•
6„
•
•
•
und beide den Grenzwert
haben, so
vergleiche auch Stieltjes in Nouvelles Annales d. Math.
(3),
Bd.
ist
6,
Multiplikation unendlicher Reihen.
Kapitel X.
135
§ 47.
offenbar
und
= 30
n
«
n = oo
=
man
In diesem Falle hat
weiter
+
+
ßl
•
•
•
+
=^«p(^ +
^.
/.
woraus unmittelbar
=
•
(«1
und
(8)ßo+ß3 +
Es
a^=
sei
...
?*2
+ ß,>K+a, +
nun weiter
speziell
^^=^i-a_(^_
1^
?>2
+
•
•
•
+
^'„-p + l),
folgt:
•
•
(6)
!
+ aj (&i + +
+ ao +
indem 1 < w < w angenommen
(7)
wegen
=n
p
ßo
=
71
•
•
+
•
?>J
wird,
..-
erhält
/3
1)1-«^
iJ^
+
.
.
.
+ i^^,
man:
+ 0(^i + &2 + --- + &.-,„ +
> 0, >
h = l,
a
> p.„ +
i)-
und
6,= r^-i^-(r-
1)1-.^;
dann hat man wegen § 24, (19)
>^^+...
^•-"(^-(^-7)
wo
^ und
k'
immer endlich
lim
man
hervorgeht; weiter hat
«j
(9)
+
a,
woraus wegen
+
•
folgt,
indem man
+
und
(7)
«.-.-,*
(10)
•
•
>
ff,
=
=
lim
=»
=
?>,^
?(
für positive ganze r
r^-«,
J.^
+
&,
+
...+ 6,
=
r^-,^,
(8)
^'+^'+---+-''-
in (8)
-
a.„
=x
n
woraus
sind,
m
in solcher
+1^w>
-,
W
>
{^y-''*''
.
„.-.-,<
Weise bestimmt, daß
—
Wi
+ 1 >-
wird.
Aus
in
(10) ergibt sich dann unmittelbar, daß die Produktreihe (4)
diesem Falle nur dann summierbar mit der Mittelsumme
wenn a
-]- /3
>
1
angenommen
wird; hat
man nämlich
a
+ <
/3
ist,
1,
so
ergibt sich
lind
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
136
^
^.
,
,
^
,
lim
AVfiVfiii+JiA _
n=(x
\
+
nimmt man a
n
= 1 an, so
> ^0 + ^1 +
/3
1
^
/
n immer
für jedes
ist
+ •». ^
-
'
1.
Kapitel XI.
Transformation von Reihen.
Methode von Euler und Markoff.
§ 48.
Wenn
von der unendlichen Reihe
bekannt
die
=
s
(1)
daß
ist,
«0
+
+
Ui
+
u,
h u„
-\
•
konvergiert, so reicht dies im allgemeinen für
sie
Anwendungen dieser Reihe aus; ganz anders verSache, wenn die Reihensumme s durch Ausrechnung
theoretischen
hält sich aber die
der einzelnen Glieder annäherungsweise berechnet werden
diesem Falle
konvergiert,
kommt
soll.
In
vor allem darauf an, daß die Reihe rasch
es
daß die Reihenglieder ihren absoluten Beträgen
d. h.
nach stark abnehmen.
Beispiel
Die Reihe von Gregory^),
1.
Leibniz^) genannt,
/o\
(2)
11,11,1
- + - + -
=
«^
3
1
5
•
•
allgemeinen
von
•'
zwar konvergent, aber so langsam, daß man nach Poncelet^)
ist
iTngefähr
50000
Glieder ausrechnen
Fehler nicht 0,0001 übersteigen
Um
Beispiel 2.
(3)
mit
^^3
14 richtigen
Kummer^) mehr
Beispiel 3.
1)
p.
9
7
im
33
Dezimalstellen
Um
so
begangene
Reihensumme
die
= i^ + ^ +
als
muß, wenn der
darf.
+
zu
h
,^3
+
•
•
•
berechnen,
muß man nach
10 Millionen Glieder mitnehmen.
die
Rrief nach Collins
Catalansche Konstante^)
vom
15.
Februar
1(371.
G
Commercium
mittels
der
epistolicum,
79—80.
•2)
3)
4)
5)
Brief
definies, p.
Mem. de
vom
17.
August 1676.
Werke, Bd.
I,
p. 117.
Journal für Mathematik, Bd. 13, p. 17; 1835.
Journal für Mathematik, Bd. 16, p. 211; 1837.
Memoire sur la transformation des series et sur quelques integrales
33—50. Mem. couronnes
l'Aead. de St. Petersbourg.
et
de sav. etrangers de Belgique, Bd. 33;
Bd. 31, Nr. 3; 1883.
XL
Kapitel
TraDsformation von Reihen.
137
§ 48.
Reihenentwicklung
muß man nach
1080 Billionen Glieder ausrechnen.
demnach auf der Hand, daß eine annäherungsweise Be-
mit 26 richtigen Dezimalstellen berechnen zu können,
Bresse^) mehr
Es
liegt
rechnung der
dieser
angegebenen Reihen durch direkte Anwendung
drei
Reihen
Will man
als
undurchführbar bezeichnet werden muß.
als praktisch
muß man
eine solche Berechnung möglich machen,
daher
Reihen in stärker konvergierende umformen.
die vorgelegten
Solche Reihentransformationen sind schon von Stirling^) und
Euler ^) angegeben worden;
die
in der neuesten Zeit hat Markoff^)
Eulersche Methode erheblich verallgemeinert und zwar in fol-
gender Weise:
Es seien für ^ = 0, 1, 2,
•, m die
•, w und g- = 0, 1,
2, 3,
(n -f 1) (m + 1) Größen A^^^ und B^^^ in solcher Weise definiert, daß
für jedes /) und q
•
(^)
ist;
•
•
~^P + i,'j'^^P,'i~ ^P,
-"^ih'j
7
=
+1
dann hat man erstens für ein bestimmtes
nacheinander
p=
0, 1, 2,
•
•
•,
w
—
q,
'1
indem man
und sämtliche
einführt
1
^P,
•
in (5)
Glei-
chungen addiert
/•=0
man
woraus, indem
in (6)
= 0,
(/
hervorgeht:
5
=
(j
Aus
(5)
//i
—
1
q
=
=
s
findet
man
III
—
1,
;
1
=
=
r
in
m—
2,
H
—
1
ij
=Q
=
7
in
setzt
1
—
und
1
=
ähnlicher Weise
mit (6) analoge
die
Formel
s
\q — ^p,m =
iß)
^p,Q
+
^^,1 H
^p,m-l
1-
und somit hat man auch
/
= —
/(
r
1
/=0
1)
2)
)(
—
r=0
1
p=n—
p=0
1
ij
= in —
1
7=0
Comptes rendus, Bd. 64, p. 1141; 1867.
Methodus differentialis. London 1730.
0) Institutiones
4)
=
calculi differentialis, p. 2811?.; 1755.
Differenzenrechnung,
p.
178—180; 1896.
addiert,
=m—1
==^^p,s>
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
138
woraus wegen
2
(10)
neue Identität
(7) die
=m—
r
r
hervorgeht, und
r
1
= 7n — 1
s
=n—l
.s-
=n—
1
=2^.,0 -2^s„n
-2<r
7=0
a,,
=Q
s
demnach
=
V
=
ergibt sich unmittelbar der folgende Satz von
Markoff:
I.
Wenn
die beiden Grenztverte
r=m—l
^=lim
(11)
ra
endlich
= 00, W = 00
und bestimmt
s=n—l
,
_Q
?7i
sind, so hat
r=
^= =
2^,'-'
2^s„n
_
lim
30,
«
= 30
,
y
man
30
2Ar=2^^,o-\-Ä-B,
(12)
r
vorausgesetzt,
daß
=
«
=
jedenfalls eine der in (12)
vorkommenden unendlichen
Reilien lionvergiert.
Um mm
aus (12) die Eulersche Formel herzuleiten, setzen wir
mit Markoff:
^„ =
(13)
WO
z/"«^
=
a,,,
z/^a^
«»(j^-p'«,,
=
«,^
—
+i
!!„
=
.%„,
und allgemein
«,^
«=ij
6
gesetzt
worden
ist;
aus
=
(14)
ergibt
sich
dann
ohne Mühe
die
Identität
z:/^
(15)
Die
die
Annahmen
offenbar
man wegen
+
ia,^
= z/^a,^^i-z/^a^.
(13) liefern ohne weiteres die beiden Differenzen
wegen (15) einander
(10)
= —!
q
?/(
=m—
gleich sind,
und demnach
l
(IC)
y7
=
P=
erhält
XL
Kapitel
für
m=
=
n
oo,
oc
Transformation von Reihen.
Formel ohne Berücksichtigung der
diese
ist
139
§ 48.
ent-
sprechenden Bedingungen (11) von Euler angegeben worden; die
erste genaue Untersuchung dieser Transformation rührt aber von
Poncelet^)
her.
Mit Euler^) wollen wir die Formel (16) auf
Reihe (2) anwenden; wir haben dann
a
1
~
^'J~2q-}-l
^'
Mühe
einzuführen; aus (15) finden wir nun weiter ohne
2.^.ß...2p
= (- 1)P
^Pa
woraus wegen (16)
Gregorysche
die
folgt:
q=m—l
q—m—l
V
1-2.3. ..n
Vi^l)l-r-1>
"'
^{2q^l){2q + 3)...{2q-\-2n-\-l)
+
^22
=
=
^
1
q
_
~
ij
p=n—
-^
1
2
'j^
;j
1
=m—
9
3
•
5
•
•
=
hat
+
(2^
man
1
12-3--J?
8)
•
•
•
(2m
p=
+ 2j3 +
1)
aber
1
•
2
•
3
•
•
.
.
.
(2q-\- l){2q-\- B)
=
w
•
{2q-j-
—
<
^
2n -fl)
y
p =n — l
1-2
'(2m
p=0
+
l)(2m
+
-
l-2.S...n
/l +
l)(23 + 3)~^(22-f
=
^
2n-f l\
••(22
+ 2w—
3-p
3)
•
•
•
(2m
+
+
2^3
1)
p = ao
/
2m + 1 \
^jiLj (2m
^
p
=
+
3)
•
•
•
(2w
+
2^^
+
1)
i
da die Reihen rechter Hand in diesen Ungleichungen für jedes
und n konvergieren,
so hat
man
p = oo
5
y7 i-lf _ £
^2p
+
=
;-
1)
1)
l
q
^^
—
'^ (2»i + l)(2m +
2
i)
n
'^
1)'"
X
sr^
^
•
;—
23-ff
1
Nun
q
p=
l
l
2
.
schließlich die Identität
= 00
^
^1
2
ql
-a-ö-
7
•••(2g-fl)*
=
Journal für Mathematik Bd. 13,
p.
2) Institutiones calculi diflferentialis, p.
1—54;
1835.
295; 1755.
/
'
/
m
Zweiter Teil.
140
121.
Es
ist
Reihen mit konstanten Gliedern.
Formel
die
= 00
<J
7
p = oc
=1
/)
=
1
ZU beweisen (Euler^)).
122.
Man
hat die Formel
«
= oc
p=
^
^x-Jf-n
11
(X>
=
x{x-\-l)-
{x-\-p)' 2^+^
p=
zu beweisen, und denjenigen Bereich der a:-Ebene, in welchem
anwendbar
sie
§ 49.
Dem
folgend,
bei seinem
hat
zu bestimmen.
ist,
Methode von Kummer.
Konvergenzsatze angewandten Beweisverfahren
Kummer-)
Reihentransformation,
eine
die
in
den
folgenden Satz gipfelt, angegeben:
I.
Wenn
die unendliche Reihe
s
(1)
konvergiert,
und
=%+
+
«0, «1, «2,
'bestimmt
ist,
h «„ H
«2 H
die Zahlenfolge
(2)
.50
z*!
daß
...,«„,..
erstens die Zahlenfolge
UqUq, a^u^, a^u^,
(3)
konvergiert,
.
und daß mveitens
.
.
.,
cc^,n^,
.
.
.
die andere Zahlenfolge a^, a^, a2,
.
a^,
.
..
mit dem allgemeinen Gliede
««
(4)
= «„-^n +
mit einem von Null verschiedenen
n+l
l
Grenzwerte
Ä
konvergiert,
so
hat
man
tvo
CO
den Grenzwert der Fundamentalreihe (3) bezeichnet.
(4) erhält man in der Tat für jedes p
Aus
woraus, indem
1) loc.
2)
cit.
man p
= 0,
1, 2,
.
.
.,
n einführt und sämtliche Glei-
p. 294.
Journal für Mathematik Bd.
16, p.
20(3—214; 1837.
Transformation von Reihen.
Kapitel XI.
chungen
141
§ 49.
addiert, hervorgeht:
p=n
2v
(6)
p=
dividiert raaii
demnach
man
mit Ä, und subtrahiert
(6)
so
die
er-
haltene Gleichung von der folgenden
%+
SO hat
man
für jedes
«*!
+
Un
^2 H
= S„;
n
p=n
s„
=
woraus die Formel
Ä
F^"-^ +
(5)
unmittelbar hergleitet werden kann,
die positive ganze Zahl
Die
durch
stärkung der Konvergenz
zu suchen; die von
ist
in
ist
Kummer
03
(7)
wenn man
n über jede Grenze hinauswachsen
Kummer sehe
die
2(i-iK'
p=
=
Transformation
dem
läßt.
erhaltene
Ver-
der Null zustrebenden Faktor
geforderte Bedingung
lim(c^„Mj
=
somit auch nicht hier notwendig, kann aber doch häufig ohne
Schwierigkeit erfüllt werden.
Die
Kummer sehe
Transformation
mit der nicht notwendigen
Bedingung (7) ist später von Ledert wiedergefunden und in einer
Abhandlung von Catalan^j publiziert worden.
Da die Zahlenfolge (2) nur den beiden oben angegebenen Bedingungen zu genügen hat, so liegt auf der Hand, daß die Kummersche Transformation eine sehr allgemeine
Wir wollen
transformieren
die
Gregory sehe Reihe
und
zu
setzen
diesem
ist.
§ 48, (2) durch die
«^ =
Zwecke
1
Formel
(5)
dadurch
;
ergibt sich
"
= ^0, a,=
^
2n
—
1
l+^-^-^,
,
^=
.
r.-i
2,
1
"n
1-:^ = ,-,^,
und somit finden wir
= 00
1)
Memoire sur
la
n=:x
transformation des
savants etrangers de Belgique Bd. 33.
1865
n
—l
series,
p.
4.
Mem.
cour. et
de
3
'
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
142
Wenden
'
wir die Methode noch einmal an, indem wir nun
^n
2«+
_
— "2^_
1
1
setzen, so erhalten wir
(4««
und dadurch
die
1)*
neue Formel
= 00
'7
^^
—
= oc
/ü
+
^22
=
^(4«2 — 1)2
1
=
n
1/
1
Weiter setzen wir
ft
«
und erhalten dann
^^
in ähnlicher
^2<z4-l
i;
Da
die
3
2)1-4-1
=
2«
—
Weise
^
"^ "
=
H
=
(4H-—
l)2(4w='
—
'
9)
1
Reihe rechter Hand in (17) auch alternierend
ist,
so be-
merken wir mit Catalan'), daß der durch die vier ersten Glieder
dieser Reihe erhaltene Annäherungswert mit einem Fehler kleiner
als
dem
fünften Gliede
»dUi < O'OOOOä
behaftet
Um
ist.
Kummer sehen
Biegsamkeit der
die große
noch deutlicher hervorzuheben, schreiben wir
= 00
-«
^
M
= 00
W
2w
=
^
+l
K
=
«-1
2W-1-1
1
und setzen demnach
^'»
(— 1)"-^
_
~ 2w+l
"«
'
_
~
2w
2n
+ l^
—
1
'
dadurch erhalten wir
a^
«
und
die
4w
=
2
%
—
'
1
Entwicklung
M
W
= 00
^
.
ra
= cc
^
«-1
~2« -Pr " 6 "^
(2n + l)(2«4-3)
2'^TT-c+^^-^
1) loc.
cit.
p. 9.
Transformation
:
1
Kapitel
XL
Transformation von Reihen.
143
§ 50.
weiter setzen wir
"" ~~
und erhalten somit
in ähnlicher
n
=
'
M
(2/t
30 "^ "
+ l)(2w + 3)
~ 2n^^
Weise
« =00
^
^^"
(2n+iK2w+3)
l
= 00
^
rt
(2H
=
+ l)(2n + 3)(2« + 5)'
woraus wegen (11) das schließliche Resultat hervorgeht:
^2n4-l
k^ = X - ^
2
2
(12)
5
(2w
«=1
=
n=0
n
+ l)(2w + 3)(2n + 5)
man
123. Setzt
-^
_ — 1)"
_ 2w—
(
_1
so hat man für die Catalansche Konstante § 48,
Entwicklung von Ledert^)
6^
^'
n
124.
Man
soll die
=
(2«
— l)(2«4-l)^(2w +
die
3)
l
unendliche Reihe
transformieren, indem
(4)
man
"^, -,
stets Uq
zum
= 0,
a^
wiederholten Male
=
n
setzt.
Änderungen der Kummerschen Methode.
§ 50.
Ledert^)
hat
Umformung
eine
der
Kummerschen
Trans-
formation angegeben, indem er den folgenden Satz bewiesen hat:
I.
Mit
denselben Bezeichnungen
wie in § 49, I hat
man
man
Ordnet
in der Tat die
p=
1
unter denselben Voraussetzungen
J^'-
p=l
71=0
nach den
und
EntwicTdung
die
:
a^^,
so hat
^
Summe
-\
man
p= a
'^
^^)
=-
1)
Zitierte
2)
Zitierte
a,
+ ~^;;- +2/ ^K«. - S +
Abhandlung von Catalan,
Abhandlung von Catalan,
p. 20.
p. 7.
:'^*.
+ i>^
1
nun
Reihen mit konstanten Gliedern,
Zweiter Teil.
144
aber wegen § 49, (4)
ist
woraus wegen
und
(2)
(3) folgt:
und somit ergibt sich die Formel (1) unmittelbar, wenn man
n über jede Grenze hinauswachsen läßt.
Um
diese Transformation auf die Reihe
in (4)
von Gregory § 48,
(2)
anwenden zu können, setzen wir
(_ 1)" -
Wo
= 0, «„=^37'
«»
=
!'
woraus
«..
4«
=
-,
hervorgeht, und somit erhält
^
G3
2w-}-:
man
4 "^ 4
2ii-l-l
= 0, A =
Formel
die
^
2
\?t-i
»(«
+ l)(2w+l)
Die Reihe rechter Hand wird nunmehr durch die Annahmen
s.n-1
und somit ergibt
transformiert,
V
^2w+l
=
(-^)"
(r^\
^*^>'
_19
9
24
2
Man
11^
=
soll
0,
=n
den Annahmen
126.
Man
(-1)"-'
«(w4-2)(2w
=1
unendliche Reihe
die
o;,j
und demnach
ii^
=
Entwicklung von Ledert^):
'^
.<i;l/
w
7^
125.
sich die
0,
a^^
=n
Zn~^
die
-\-
so
1
+ l)*(2« + 3)unter den
Annahmen
erhaltene Reihe
transformieren.
hat die unendliche Reihe
!_
X
indem man
1) Zitierte
Uq
=
A+ l^a;_i+
L_
.
a;
0,
&:„
=
1
2
«
+ 3^
:
...
'
einführt, zu transformieren.
Abhandlung von Catalan,
p. 10.
unter
Über Reihen mit positiven Gliedern.
Kapitel XII.
145
§ 51.
Kapitel XII.
Über Reihen mit positiven Gliedern.
Ergänzung eines Satzes von Abel.
§ 51.
Durch
37 wiedergelegte, weder notwendige noch hinder Reihe mit positiven
die in §
reichende Bedingung für die Konvergenz
nämlich
Gliedern 2Ju„,
"
,.
,
.
lim (m„
= 00
n)
=
n
angeregt bewies
AbeP)
einen Satz, der folgendermaßen von Prings-
heim^) ergänzt worden
I.
Es
(1)
9o> ^IJ
daß
so
lim sup
n = oo
eine notwendige
Gliedern 2Ja^^
(g)„
Bedingung für
'
'
V
9>„J
a^^p)
.
•
V
•
die
=G<
Art
oo
Konvergenz der Reihe mit positiven
man
Vielmehr kann
bildet.
gelegten Zahlenfolge der
a,,
^^y
9^2;
Elementen
die Beziehung
(2)
E
ist:
gibt keine divergente Zahlenfolge mit positiven
zu jeder
beliebigen
vor-
(1) die Glieder jeder konvergenten Reihe
daß der lim sup
{mit positiven Gliedern) so anordnen,
m
(2)
den
Wert oo annimmt.
Zerlegen wir in der Tat die aus den Reihengliedem a„ gebildete
Zahlenfolge in zwei andere
\o)
Oq, a^y a^,
W
/
i
\
/f
dann sind
die beiden
...
ö^7o
tr
.
.
.,
a„,
.
Reihen mit positiven Gliedern Ha'n und 27 a^'
fo,
£j,
«2,
.
.
.,
£,j,
,
.
monoton abnehmende Zahlenfolge mit
es möglich, eine solche
tiver ganzer
.,
.
Bezeichnet weiter
(5)
eine
•,
'
ri
öq, a^, ag,
sicher konvergent.
ist
rr
.
positiven Elementen, so
unendliche Folge immer wachsender posi-
Zahlen
Wo, n^, W2,
(6)
zu bestimmen, daß für jedes A
..., n^, ...
immer
a,>^—
(7)
wird; denn die Zahlenfolge (1)
ist
ja divergent.
1)
Journal für Mathematik Bd.
3,
2)
Mathematische Annalen Bd.
35, pp. 344, 357; 1890.
Nielsen, Lehrbuch
der unendlichen Eeihen
p. 80;
1827.
OEuvres, Bd.
10
I,
p. 401.
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
]^46
Bestimmen wir nun
daß
Un. + p =
aber u^
ci[
a'(l
für q
Uu^
konvergent und hat dieselbe
weil
sie
worden
aus jener
Es
ist.
ist
man daher über
NuU
+
Wert
hat,
so
+ j)
wie die vorgegebene 2Ja„,
durch Umordnung der Reihenglieder
^«A;.+i'
wert
=t= «•;
Summe
2^t<„ so
so ist diese Reihe
ist,
gebildet
aber
(8)
verfügt
mit positiven Gliedern
eine Reihe
=
= ^"A^^'
die Zahlenfolge (5), so
daß
sie
hat für unsere 2Ju^ der lim sup
den Grenz-
(pJ^^u„^^p
den
oü.
Weiter haben wir den Satz:
IL Es
gibt keine Zahlenfolge mit positiven
(9)
^IJ
9'o;
9^2?
•
•
,
9P«;
•
•
Elementen
,
von der Beschaffenheit, daß die Beziehung
liminf((p,a„J
(10)
7i
= ^>0
=00
Bedingung für die Divergenz der Reihe mit positiven
Gliedern Ea^ hildet. Vielmehr kann man für jede Zahlenfolge der Art (9)
eine notwendige
die Glieder einer divergenten Reihe Za,^ mit positiven schließlich ver-
schwindenden Gliedern so anordnen, daß der lim inf in (10) den Wert
Null
hat.
Da
lim a„
=
für
w
=
oo
ist,
so liegt es auf der
Hand, daß die
Zahlenfolge (9) jedenfalls divergieren muß, wenn die Bedingung (10)
erfüllt werden soll; man kann daher die Folge (6) so bestimmen,
daß die entsprechende Folge
(IV)
die den
J_
JL
_i_
_L
'Tla
'^«i
^«2
'")
Grenzwert Null
hat,
monoton abnehmend
legen wir die aus den Reihengliedern
a^^
wird.
Weiter
zer-
gebildete Zahlenfolge in die
zwei anderen (3) und (4), so daß die Elemente in (3) für jedes X
der Bedingung
(12)
a[^^
genügen, indem die monoton abnehmende Zahlenfolge (5) so gewählt
wird, daß sie den Grenzwert
NuU
hat.
Über Reihen mit positiven Gliedern.
Kapitel XII.
Weiter
Q =^ n^
-\-
P] dann
wie
wir
setzen
vorher
«<„.+p
=
a^
147
§ 51.
und m^
=
a^''
für
wegen (12)
ist
l™(^
(13)
t.„^^^)
=
=00
^
und der lim inf in (10) hat demnach auch den Wert NuU"
Über diese Verhältnisse beweisen wir noch mit Pringsheim^)
den folgenden speziellen Satz:
Wenn
III.
Elementen (1)
während die positiven Glieder der Reihe 2Jo.^
die divergente Zalüenfolge mit positiven
monoton tvachsend
ist,
monoton ahneJmien, so
ist
die Beziehung
=
lim(qp,^aj
(14)
M =00
dann und nur dann
Bedingung für
eine notwendige
die
Konvergenz der
Reihe ^a.^, tvenn
(p
lim sup -^
(15)
«
endlich
= 00
ist.
Konvergiert die Reihe 2Ja^, so
für
ist
n^N und
für jedes
p
immer
woraus
speziell für
=n
p
folgt:
< ««+1 + ««+2 +
^^«2«
ist,
+
l)a,„^,
+
^
da außerdem
i2n
•
<
<^
^n+p
2na,„
.
2J^a2.
< 2«;
< (2 + ^)
^
so folgt allgemein
indem p
positiv
= 00
0,
lim (w
ganz
ist,
a,^^^)
= 0,
woraus wegen (15) die Bedingung (14)
Konvergenz der Reihe Ea^^ ergibt.
aber die Zahlenfolge mit
divergiert, so zeigen wir
•
= 00
ra
sich als notivendig für die
Wenn
=
aj
lim (w
«
dem allgemeinen
Gliede
rp^
:
n
nach Pringsheim^) durch das folgende Bei-
daß die Bedingung (14) nicht notwendig für die Konvergenz
der Reihe Ea^^ sein kann.
spiel,
Es
seien
1) loc.
cit.
a
>
1,
r
> 0,
s
> 0,
während m^
die größte positive
p. 341.
2) loc. cit. p. 349.
10^
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
148
ganze Zahl, die
'+T
(16)
r
n a
wo n
bilden wii- dann
nicht übersteigt, bezeichnet;
a"'^"'^'
Ausdrücken
die Glieder einer Reihe Su^^ aus den
r/ + *
'
+I
r
«'"
n a
+
'
sämtliche positive ganze Zahlen durchlaufen
soll,
besitzt
so
diese Reihe die folgenden Eigenschaften:
Die Glieder dieser Reihe bilden eine monoton abnehmende
1.
dem Grenzwerte
Zahlenfolge mit
0.
Die Reihe konvergiert für r
2.
Summe
für die
«^ der m^ Glieder
"
«'•«»'" -^^
>
ist
1,
'*
N^ den
Bezeichnet
3.
menden
^1
divergent;
in der
oder r
der
^\
^u
Reihe
angenommen
deutlich
wird.
Stellenzeiger des letzten in (16)
Gliedes in 2^Upj so
Tat
a
woraus die Konvergenz oder Divergenz
>1
hat
in (16)
man
- «'
n a
hervorgeht, je nachdem r
aber für ^
vorkom-
ist
\im{N^\o^N^-u^)==oo,
(17)
71
Da
die
= 00
Anzahl der in (16) vorkommenden Reihenglieder jeden-
falls nicht kleiner als
a"'^'*"*
K>
—1
ö^"'^'^
sein kann, so hat
log
K>
man
n"^' log a,
woraus unmittelbar hervorgeht:
iV,logiV„-w^ >w'.loga.
(18)
4.
so
Bezeichnet
ili^^
den Stellenzeiger des ersten Gliedes
in (16),
ist
lim(Jf„logJf„.M
(19)
n
Man
)
=
0.
'
findet in der Tat wie vorher
woraus, indem a
Hand
= 00
>1
ist,
und wenn man
anstatt der
Summe
sämtliche Glieder der geometrischen Reihe mit
gliede 1
und dem Quotienten a
"
^
a
—
1
einführt, folgt:
'
rechter
dem Anfangs-
Kapitel XII.
WO
K
für jedes
Über Eeihen mit positiven Gliedern.
n endlich und von Null verschieden
demnach auch
iogiiif„
= (;^-
149
§ 52.
bleibt;
es
ir+^.x,
K
besitzt; dadurch
wo L dieselbe Eigenschaft wie früher
man aber schließlich, indem P stets endlich bleibt,
3f„logilf„- u,r
(20)
ist
< P ^^*-#—
erhält
•
a
und daraus
folgt unmittelbar die Gleichung (19).
Es existieren daher konvergente Reihen mit positiven immer
abnehmenden Gliedern 2u„, für welche
lim sup (n log n
•
m„)
=
oc
und wegen § 37, VI divergente Reihen mit positiven
den Gliedern ^m„, für welche
lim
(ti
log n
Un)
stets
abnehmen-
=
ist.
§ 52.
Über
die logarithmischen. Kriterien.
Aus den Formeln § 51, (18) und
daß konvergente und divergente Reihen
(20) geht deutlich
existieren, für
hervor,
welche sämt-
liche in § 41 entwickelte logarithmische Kriterien versagen.
Um
diese Verhältnisse weiter aufzuklären
genaue Bemerkung von
Bonnet
in
helles
und eine nicht ganz
Licht zu
stellen,
setzt
Pringsheim^)
Logarithmus
SO daß für den iterierten
muß;
demnach
Weise
wenn e,„<w<e„j^j vorausgesetzt wird;
diese Zahl a„ bleibt daher konstant, wenn n sich zwischen zwei Grenzen
von der Form e^ und e^^i bewegt, und wächst um eine Einheit,
wenn n den Wert e^_^^ überschreitet; hieraus folgt, daß a^ mit n
sein
definiert,
es sei
daß a^
=m
die positive ganze Zahl «^ in solcher
ist,
über jede Grenze hinaus wachsen muß.
Andererseits läßt sich aber zeigen, daß a„, von einer jedesmal
anzugebenden
Stelle ab,
langsamer zunimmt
als der
iterierte
Loga-
rithmus log^(w) für einen beliebig groß vorgeschriebenen Wert von
1) loc.
cit.
p. 353.
r.
Zweiter Teil.
150
Reihen mit konstanten Gliedern.
Bezeichnet nämlich s eine
stimmt man n
ist,
gewisse
be-
dann ergibt sich
log,(w)>log,.(e,^J
und demnach
wo
und
ganze Zahl,
positive
daß
so,
erhält
Hand
der Bruch rechter
offen])ar,
L^{n)
und bilden
dann
ist
= nlogn log^ (n) logs («)
die unendliche
wie
offenbar,
genommen
wie groß r auch angenommen
wachsen muß.
s)
nun allgemein
setzen
(2)
.
.
.
log^")
Reihe mit dem allgemeinen Gliede
groß
positive
die
auch
ganze Zahl r
an-
wird,
(lim(4(«).cjj
(4)
=
=
lim (4(n) ilog^{n)r(oj
denn
e^.,
man
wird, ohne Grenze mit n (und
Wir
=
es ist in der
00,
(?
>
;
Tat wegen (3)
(log.W)'^
L^{n)(\og^{n)Ycj,^
Die durch
(3) bestimmten Eeihenglieder reagieren somit
auf keines
der logarithmisclien Kriterien.
Um
die
Reihe ^Gi^ zu untersuchen, sammeln
Wert
ihrer Glieder, für welche a^ denselben
diese Glieder
immer
e^<w <
und
tiven ganzen Zahlen a
a
ist,
so hat
- 1<
e„,
e„j_^^;
h so,
<
ff,
'>
definieren wir
<
^,„
+1
< +
n
=b
=a
n
f
=h
^L
(n)
?>
diejenigen
hat, es ist also für
demnach
daß
man daher
n
m
wir
1
die posi-
Über Reihen mit positiven Gliedern.
Kapitel XII.
§ 52.
151
Setzen wir demnacli in die Ungleichungen § 23, (9)
log,. + i('0
-
nacheinander
a,
log« + i(w)
a
-{-
1,
a
> -^--^ > log,„ + i(w +
-{-
2,
•
•
1)
-
log,,^.i(w)
h anstatt n, so ergibt die
-,
Addition
aller so erhaltenen Relationen
V
n
=a
n
n
setzt
=b
=a
man daher wegen
(5)
n
=b
2'co„= —
SO ist die Zahlenfolge
dl, 02, ög,
ra
= ao
w=
muß,
.,
.
a
m
= oo
TO
=1
...
1;
da nun
.
so erhalten wir das Ergebnis:
Die Reihe Uco^ konvergiert oder
oder r
d,„,
dem Grenzwerte
eine Fundamentalreihe mit
sein
.
^1
angenommen
Von den
je
nachdem r
>
1
beiden Reihen
w = oo
n = eo
divergiert somit die
als jede in §
divergiert,
tvird.
erstere
und konvergiert
zweite schwächer
die
37 betrachtete logarithmische Hilfsreihe.
Weiter erkennt man aus dem Gange des letzten Beweises ohne
Konvergenz der betreffenden Reihen
weiteres, daß die Divergenz bzw.
erhalten
^r(.^n)Q-^SMt)y
M
ist
als
wenn man den Faktor a
bleibt,
>
Q
>
^^ ersetzt;
= 00
M
das heißt, von
durch
L
ganze
wiederum noch den
Zahl
)
bzw.
= 00
die erste divergent, die zweite konvergent, wie groß
positive
(a
den beiden Reihen
fixieren
mag.
Hierbei
festen Index r durch einen mit
kann
cc„
man auch r
man nun
in derselben
Reiben mit konstanten Grliedem.
Zweiter Teil.
152
Weise, wie a„ mit
^
71
schließlicli
sanier,
über
n,f
alle
allmählicli zunelimenden &a ersetzen, welcher
n
Grenzen hinauswachsen wird, wenn auch lang-
jeder beliebig
als
/
*
Logarithmus von
iterierte
oft
a^.
Die
resultierenden Reihen
(**)
^i„.(»)i,„__K)/?..
'
*>*^
2'i„__(„)i^j„„)ft'_^«'
divergieren bzw. konvergieren, usw. in infinitum.
entsprechenden Glieder eines
Die
Paares dieser divergenten und
sich
man
solchen
korrespondierenden
konvergenten Reihen unterscheiden
immer nur durch den letzten Faktor und können somit, da
die Zunahme dieses Faktors ins Unbegrenzte verlangsamen
kann, einander unbegrenzt genähert werden.
§ 53.
Formen der divergenten Reihen.
Tjrpische
Nachdem wir durch
Entwicklungen
die
der
beiden
vorher-
gehenden Paragi'aphen diejenigen Schwierigkeiten, die wir bei unserer
Untersuchung über Konvergenz und Divergenz von Reihen mit positiven
Gliedern zu überwinden haben, näher kennen gelernt haben,
typische Formen solcher Reihen näher bezwar
fangen wir mit den divergenten Reihen an.
trachten, und
Wenn die Reihen 2Jw„ und Hv^ mit positiven Gliedern und den
beide divergieren, so sagen wir, daß die
Partialsummen s,^ und
wollen wir nunmehr
t.^^
erste
schwächer divergiert
als
die zweite,
s
lim sup -p
(1)
« =00
ist;
diese
Bedingung
ist
<
wenn
1
n
sicher
erfüllt,
wenn immer «„<i'„
ist;
aber gar nicht notwendig.
dies ist
p und q willkürliche endliche positive ganze Zahlen,
Bedingung (1) auch durch die folgende
Bezeichnen
so
kann
die
lim sup
(2)
-f--f-
<
1
s„ und t
sind ia
Bedingung (1) ohne Belang.
Nach diesen Vorbemerkungen beweisen wir nunmehr den folgenden allgemeinen Satz von Pringsheim^):
ersetzt
werden; denn die beiden endlichen Zahlen
offenbar für die
1) loc. cit.
pp. 319, 320, 326.
Über Reihen mit positiven Gliedern.
Kapitel XII.
I.
153
§ 53.
Bezeichnet
Aq, A^, A^,
(3)
.
A„,
.,
.
.
.
.
monoton wachsende divergente Zahlenfolge mit posiReihen mit dem allgemeinen Gliede
eine willkürliche
tiven Elementen, so divergieren die
w„=^„^i-^„,
(4)
-^n
^n-yl
.
-^n +
"
A
^
=
Un
(6)
WO
=
M„
(O)
1
A
A
^«l0g4„
ir(^n)
log,.
(^J
.
.
.
log,
'
(^J
in (6) r eine endliche sonst aber heliehige positive ganze Zahl be-
deutet,
Aj^ mit
und
um
Reihen divergieren
diese
n über jede Grenze
schwächer, je langsamer
so
hinausu'ächst.
Betrachten wir zuerst die Reihe (4), so
ist
oflFenbar
für
ihre
Partiais urame
(7)
5„=
(^,
und damit
- A) + (A - A) +
unser Satz
ist
die Reihe (5) betrifft,
Sätzen von
wegen
•
•
•
+ (A+i - A) =
für die Reihe (4)
^„+1
- A,
Was nun
bewiesen.
so folgt ihre Divergenz unmittelbar aus
Dini und Abel § 38; denn
es
ja
ist
in
der
den
Tat
(7)
^„+i=s„+^,
(8)
und demnach hat man auch
Un
=
A„n +,.
1
-'l«
wo
—A
+
II
i
der letzte Faktor rechter
Grenzwerte
Um
1
für
n
=
«™
un
un
+A
s^
Hand
stets
^_^A_
positiv
bleibt
und dem
oo zustrebt.
endlich auch die Reihe (6) zu untersuchen, leiten wir aus
§ 23, (9) unmittelbar die Ungleichung
<' >
(9)
ab,
und damit
ist
log,+i {A^ + x)
-
log, + i
unser Satz vollständig bewiesen.
Pringsheim^) bemerkt noch, daß
meinen Gliede
A
1) loc.
cit.
UJ
p. 326.
A
die
Reihe mit dem
allge-
Reihen mit konstaDten Gliedern,
Zweiter Teil.
154
nicht zu divergieren braucht;
man
in der
liat
Tat für r
=
1
-.»(i-a^jio^STo^--".,
(11)
und
Reihe 2^»^ wird somit sicher konvergieren, wenn
die
man
Z!v„ der Fall ist; setzt
aber
dies
mit
B.
z.
so ergibt sich
OT
= 00
»i
7Tq
und
= 00
TTq
^f
die entsprechende
Reihe
Aus
man umgekehrt, daß
schließt
(8)
somit konvergent.
27«^, ist
divergenten Reihe mit positiven
einer
gebracht werden kann, so daß die
deutig bestimmt
darf;
+
("
am
Daß
man
nun Eu„
von w
daher a^
die Reihe Eu'n schwächer
sei
allgemeine
=
1
Glied
Form
an sämtlich
(4)
ein-
während A^ beliebig angenommen werden
sind,
einfachsten setzt
als
=
0.
Hu^ und
2^Un noch schwächer
auf der Hand.
als ZlUn divergiert, liegt
Es
A^^
das
Gliedern auf die
eine willkürliche vorgelegte
mit positiven Gliedern; dann bestimme
divergente Reihe
man vermöge
(8) die
Zahlen
^„ und bilde die entsprechenden Reihenglieder Un und m^'; die
letzte dieser Reihen kann in derselben Weise behandelt werden, usw.
in infinitum. Wir haben also nachgewiesen, daß es theoretisch möglich
ist,
aus
einer
vorgelegten
divergenten
Reihe
mit
positiven
Gliedern andere solche Reihen, die unendlich viel langsamer divergieren, zu
Daß aber
konstruieren.
127.
Mit
hierfür
nötigen partiellen
sind, liegt
auch auf der Hand.
die
Summationen praktisch undurchführbar
den vorhergehenden Bezeichnungen hat
weisen, daß für
Gliede Vn
Z'i«,^,
§ 54.
= An +
man
zu
be-
< < 1, die Reihe mit dem allgemeinen
— ^«, die zwar langsamer als die Reihe
()
\
doch stärker
als
Hun
divergiert.
(Pringsheim^)).
Typische Formen der konvergenten Reihen.
Wenn die Reihen s = Eu^ und t = Ev^^ mit positiven Gliedern
und den Partialsummen s„ und t„ beide konvergieren, so sagen wir,
1) loc.
cit.
p. 324.
)
Über Reihen mit positiven Gliedern.
Kapitel XII.
daß die erstere dieser Reihen langsamer
als
155
§ 54.
die zweite
konvergiert,
wenn
ist;
diese
doch
ist
Bedingung
1
wenn immer
offenbar erfüllt,
ist
Annahme
diese letzte
>
y~-^
lim inf
(1)
Über konvergente Reihen
u^
< v^
ist,
gar nicht notwendig.
der Satz von
gilt
Pringsheim^):
Bezeichnet
I.
Äq, Ai, Ä^,
(2)
eine beliebige
.
.
J-„,
.,
.
.
.
monoton ivachsende divergente ZaJdenfolgc mit positiven
Elementen, so konvergieren die Reihen mit dem allgemeinen Gliede
,-ON
w„
(3)
= ^n+l-A,
-^n
Un
(4 )
wenn
in (4)
und
=
+ l^n
—
777-
(5) q positiv
konvergieren, mit festgehaltenem
1
1
^n
^n + i
Hn
,
=
angenommen wird, und
um
q,
so schwächer, je
diese
Reihen
langsamer Ä^
mit n über jede Grenze hinauswächst.
Aus
s,^
(3) ergibt sich in der
Tat unmittelbar für die Partialsumme
der Ausdruck
s
(7
=
lim
n
folgt,
s„
=
--
=«
und somit hat man
p=
ac
j^ = s - s„ = i?„ =^iK^p
(8)
n
Ganz
in
+l
p=
derselben Weise behandelt
man
l
die
Reihe Z!Un, während
Konvergenz der Reihe UUn schon in § 37,
worden ist; setzen wir der Kürze halber
die
^n=^,
n+l
(9)
1)
loc. cit. pp. 327, 329,
333, 335.
III
nachgewiesen
SO
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
156
haben wir wegen
(4)
— q^
= Y^
l
(10)
^n
Ua
n
Was
Reihe
die
wegen der Formel
so ergibt sich
Zlv^^ betrifft,
§ 23, (9)
L
"
(A
woraus unmittelbar
"
)i
log
+
(.1
^
log
M
)*+?
'
folgt:
^n +
=
V
(11)
•
,)
X-K
^0g.(^« + l)-l0grW
log,(^„^,)log^(.4J^
^.(A, + i)log,(^„ + i)''
von derselben Form wie
'
wenn mau nur log^(ylJ
Ä^ selbst einführt.
Für die Reihe I^Vn haben wir endlich wegen § 20, (19) für
so daß i\
u'n
ist,
anstatt
Q>0:
,;;<A.:^^±^<A.:f^±JLZ^.
(12)
Aus den Formeln
die
Glieder
einer
Form
Gliedern in der
und
(6)
man umgekehrt
(8) leuchtet ein, daß
willkürlichen
konvergenten Reihe
(3) darstellen kann.
mit positiven
Versucht man aber A^
aus der Rekursionsformel
=
Un
zu bestimmen, so wird der Endausdruck für
kompliziert,
sondern
er
nicht nur äußerst
J.,^
hängt insbesondere von
dem
willkürlich
bleibenden Anfangs werte A^ in so verwickelter Weise ab, daß nicht
recht ersichtlich
der
ob überhaupt oder für welche
Wahl von Aq
Ausdruck A^ die verlangte Eigenschaft
mit n monoton über jede Grenze hinauszuwachsen.
stets
Setzt
man
aber in (3)
A^
= Bl,
M^=-— —-— =^
(13)
tate
ist,
resultierende
^^1^^
Es
ist
in
den in
der
Mühe
nungen auszudrücken;
1)
-^,
l-2„
K^xK
wert, einige der
der Reihenlehre
so erhält
erstens beweisen
Sülle Serie a tennini in positivi, p.
7.
g^
""
'
im Satze
gewöhnlich
man wegen
I
=
Bn +
besitzt,
(3)
l
gegebenen Resul-
gebrauchten Bezeich-
wir den Satz von Dini^):
Annali Univ. Toscana Bd.
9; 18ü7.
Über Reihen mit positiven Gliedern.
Kapitel XII.
157
§ 54.
Bezeichnet Eii^ eine heliebige konvergente Reihe mit positiven
IL
Gliedern,
und
bezeichnet
-R«
(14)
R^
ihr Restglied, also
= W„ + i+M„ + +
2
'^«
+
+3
---;
alsdann konvergiert oder divergiert die Reihe
n
2"^'
(16)
je
— t»
nachdem q
Aus
<. i oder q
und
(3)
woraus wegen
^1
angenommen wird.
(4) ergibt sich
(8)
=
Un
hervorgeht, und die Konvergenz der Reihe (15) für
der Hand.
IV haben wir mit Dini
In § 38,
A
M
=0
die
()
<
1 liegt
auf
Divergenz der Reihe
^«
nachgewiesen.
Da nun
um
so
mehr
die
Reihe (15) sicher für
für 9
>
1
()
divergieren, weil
=
1
divergiert, so
muß
R^ den Grenzwert Null
sie
hat.
Zweitens leiten wir aus (5) und § 53, (8) unmittelbar den ähnlichen Satz ab:
III.
und
Ist
Uu^
bezeichnet
s;^
eine heliebige divergente Reihe mit positiven Gliedern,
ihre Partialsumme, also
s„
(16)
dann konvergicH
= Wo +
^tl
die ReiJie
n
= oo
y
(17)
+
«2 H
H
%,
——
"-
sicher für positive q.
Kehren wir nun zu den allgemeinen im Satze I behandelten
Reihentypen zurück, so liegt auf der Hand, daß die Reihen Z!Un
und UUn beide scJnvächer als 2Ju^^ konvergieren müssen, daß aber
der Quotient der beiden Glieder Un und
uü wegen
(10) stets end-
lich bleibt.
Über
die
beiden
anderen Reihentypen
wir aber nichts allgemeines sagen.
Es kann
Z!v^^
z.
und
2^v'^
können
B. eintreffen, daß die
—
Reihe Z:i\
=
konvergiert;
als 2Ju^
stärJier
und nimmt
einer Stelle n ab
r
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
158
der Einfachheit halber
ist
die Zahlenfolge (1) so rasch zu, daß
1,
von irgend
(logA+iy^^^A
ist,
Reihe Uv^^ stärker
so konvergiert diese
Wir beweisen
IV.
aber den Satz:
Ist die Zahlenfolge (2) so heschaffen,
ist,
so konvergieren die
i
+l
daß
—
lim sup
(18)
endlich
als 2^m„.
^
Reihen
tnit
den allgemeinen Gliedern
n
A
4
4
4
für positive q und zwar um so schwächer, je langsamer A^ mit n über
jede Grenze hinauswächst.
Daß
der
A,^j^i
:
Reihen
die
Hand,
weil
Aj^ für jedes
und Hw'n beide konvergieren,
Eigenschaft hat, und der
2^?<',j
diese
Hu'n
n endlich
bleibt;
für die Reihe Eiv'n
liegt
auf
Quotient
wird die
Konvergenz unter Zuhilfenahme der (12) entsprechenden Ungleichung
nachgewiesen. Es bleibt uns demnach nur übrig die Reihe 21Wn
zu untersuchen.
Aus der Ungleichung §
23, (8) ergibt sich
logA+i-logA<-^-l,
n
und somit
ist
auch
log -^„
n
o
= 00
j.
1
n
Weise kann man wegen § 23, (9) unbegi-enzt fortfahren,
und die Konvergenz unserer Reihe Eivü ist hiermit nachgewiesen.
Es liegt dann auch auf der Hand, daß die Reihen Hv^^ und
Ew'n schwächer und schwächer konvergieren, je größer r gewählt
in dieser
wird,
und daß
schwächer
als
Reihen für jedes beliebige positive ganze r
diese
die übrigen
Aus dem Satz
II
gelegten konvergenten
Reihentypen konvergieren müssen.
folgt,
daß
man
aus
einer
beliebigen
vor-
Reihe mit positiven Gliedern andere bilden
kann, die unendlich langsamer konvergieren.
,
Allgemeine Kriterien von Pringsheim.
Kapitel XIII.
Wir
noch aus
leiten
IVa. Ist
Uu^
eine
dann
bezeichnet
•
•
+
•
Gliedern,
Partialsumme,
ihre
s,^
= Wo + ^1 + ^2 +
S„
(21)
den folgenden Satz her^):
III und- § 53, I
divergente Reihe mit iMsitiven
und
sämtlich endlich sind,
159
§ 55.
ist
die
also
u^
konvergiert oder divergiert die Reihe
n = oo
je
nachdem q'>
128.
Ist Zlu^
^0
oder q
angenommen
divergente Reihe mit positiven Gliedern, die
eine
durchweg unter der Einheit
tive Q die unendliche
7!
ivird.
liegen, so konvergiert für posi-
Reihe (Pringsheim^))
= 00
V+i
•ST]
129. Ist Zld^ eine divergente Reihe mit positiven Gliedern, die nicht
ins unendliche wachsen, so konvergiert für positive q die un-
endliche Reihe
2j
130.
Wenn
die
(Pringsheim)^)
[(1
+ d,)
+"d,)
•
•
(1
+ dj\9
Hu^
Reihe mit positiven Gliedern
und man weiß, daß
M
=
M
=
die
konvergiert,
Reihe
OO
''«
wie kann
divergiert,
(1
man dann
die
Divergenz der änderen
Reihe I]u^'.Il^_^ direkt nachweisen?
Kapitel XIII.
Allgemeine Kriterien von Pringsheim.
§ 55.
Die Kriterien erster Art.
In den folgenden Untersuchungen, die ausschließlich Reihen mit
positiven Gliedern
umfassen,
wenden wir
zeichnungen an:
1)
Man
vergleiche
2) loc. cit. p. 330.
3) loc.
cit.
p. 334.
Dini
Joe.
cit.
p. 9.
stets
die
folgenden Be-
,
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
160
Ä, Ä^,
1.
bezeichnet
Ä^,
Ä.2,
•
'
Ä^^,
-,
•
•
•
•
monoton wachsende
eine
divergente
Zahlenfolge
mit
positiven Elementen.
2.
2dj^ bezeichnet eine divergente Reihe mit positiven Gliedern.
3.
2J]c^
bezeichnet eine lionvergente Reihe mit positiven Gliedern.
4.
^a^
ist eine
Nach
zu untersuchende Reihe mit positiven Gliedern.
Vorbemerkungen formulieren wir folgendermaßen das
diesen
Kriterium erster Art:
I.
Die Reihe 2Ja^
divergent oder honvergent, je
ist
nachdem
/ =^>
lim inf
(1)
lim sup
=
"
,
<
(t
oo
ist
Sämtliche Kriterien erster Art lauten daher wie folgt:
A
lim inf
(A)
lim sup
7J =
7i=
und, indem
()
00
Qo
>
"^
-;
A
An An ^^
+1
An + — A
1
=
=^>
a^
=
a^
= g'^
a„
=
„
=
«>
A
^1
A
lim sup
A(i
""*"
.
_"j
n+l
Divergenz
< oo
(r
Konv&rgenz
:
•
(t
:
<
Divergenz
oo
:
Konvergenz.
n
Das Konvergenzkriterium (B)
des
:
n
M+l
CO
(B)
«
a^
ist
lim inf
W
•
.
stellt
entsprechenden Kriteriums (A)
<
für ^
1 eine
während
dar,
Verbesserung
das
Divergenz-
kriterium in (B) als schlechter als dasjenige in (A) enthaltene anzu-
sehen
ist.
Legen wir nunmehr der Zahlenfolge
lim sup
(2)
""*"^
A
<
1.
die
Beschränkung
oo
also endlich sein soll, so erhalten wir das Kriterium;
A
lim inf
-r-
a„
=^>
a
= G <C
:
Divergenz
(C)
Al +
<^
lim sup
n= ^
n+l
n
oo
:
Konvergenz,
auf,
daß
—
Allgemeine Kriterien von Pringsheim.
Kapitel XIII.
WO
1
muß; weiter
natürlich q positiv sein
lim inf
(D)
L
lim sup
n=
WO
_
''
-j
(A
_
A
n
a
•
4
+1
ergibt sich
=^>
{\)
logf
)
'^
x
a,^
•
\,
161
§ 55.
:
Divergenz
= G <C oo
:
Konvergenz,
n
Q positiv sein muß.
Durch
Annahme
die
werden
(2)
Tat aus (C) nur diejenigen
in der
divergenten Reihen, deren Glieder schließlich ohne Grrenze wachsen,
und diejenigen konvergenten Reihen,
die stärker als jede geometrische
Reihe konverorieren, ausgeschlossen.
Um
g
>
1,
diese
Bemerkung aufzuklären
letzte
wir Ä^^
setzen
=
(j^,
und erhalten somit
0—1
^_,_i~-'i
Äw +
Für
spezielle
die
1
/l\«
©'
AS'
n
Wahl
A,^
=n
erhält
wöhnliche logarithmische Kriterium § 41,
Bonnet gegeben worden ist.
Wir
nun wieder
lassen
Zahlenfolge
1.
die
ganz willkürlich
I,
man
Voraussetzung
ist;
aus (D)
das in dieser
das
ge-
Form von
(2) fallen, so
daß die
aus § 54, (5) erhalten wir dann
den Satz, nachdem wir das Zeichen von q geändert haben:
IL
Die Reihe
^%
divergiert oder konvergiert,
je
nachdem von
einem gewissen n an
,>^-^^"-
-.
(3)
\+i
ivöhei
ist,
G
g und
^J< 6^. /''«
+
(^^0)
(?<0)
!
endliche positive von Null verschiedene Zahlen be-
deuten.
Da nun
a>&>0 auch loga>log&
für
ist,
so erhält
a
(4)^
^
log
^
^^—A >
A
5
lim inf
n= <a
„
:
Divergenz
:
Konvergenz,
4.
a
(4 a)
log
^
.
lim sup
Nielsen, Lehrbuch
A
^-
—A^
der unendlichen Reihen.
<
11
man
aus (3)
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
\Q2
woraus nach einer leichten Änderung das neue Kriterium
A
—A
,
d
log
log
lim sup
folgt:
= lim sup
-j
—
-^—- <
Divergenz
:
w+1
(E)
A
—A
,
d
log^
log
lim inf
=
A
lim inf
^—^ >
^^
man
man
wieder, daß die
Konvergenz.
n
p=
Fordert
:
Bedingung
(2) erfüllt sei, so erhält
die folgenden zwei von Dini^) herrührenden Kriterien:
A
—A
,
d
log^
log
= lim
lim sup
(F)
sup
^^_"
A ^—A
Divergenz
:
Konvergenz.
l0£
-^
lim inf
=
:
d
log
?i
<
= lim inf
^„_^
>
CO
y=
«+i
log
lim sup
5
^^
"^
„
\
(A
\
•
Divergenz
:
Konvergenz.
(G)
°
lim inf
L (A^a
'"
-^
^
."^
"
>
Aus (F) erhält man für Ä^ = n das Kriterium von Cauchy § 40, II,
während dieselbe Annahme aus (G) das logarithmische Kriterium
von Bertrand § 41, I liefert.
Wir wollen noch
die Reihe
Za
ist
hier ein anderes Konvergenzkriterium erwähnen;
in der
k
lim inf -^
1)
loe.
cit.
p. 14.
>
Tat sicher konvergent, wenn
1
oder lim inf log
/k \
-^ )
(
>
—
1
Allgemeine Kriterien von Pringsheim.
Kapitel XIII.
man
dividiert
ist;
1
Ungleichung durch
letzte
diese
163
§ 56.
die
endliche,
positive Zahl
/)
SO erhält
man
die
=
ra
neue Konvergenzbedingung
liminf-^^,^>0,
^
p =
woraus unter Anwendung des Konvergenzkriteriums (E)
essante Satz
in.
der inter-
von Pringsheim hervorgeht:
Die Eeihe 2Ja^
ist
konvergent,
sicher
wenn
eine
solche
nicht oszillierende Zahlenfolge
^0, ^\y ^2>
mit positiven Elementen
existiert,
-•
^nJ
•,
daß
liminf^3^^>0
(H)
p=
ist.
Man kann
auch diesem Kriterium folgende Form geben:
Bedeutet
^O; ^1' ^2J
•
•
^«>
j
•
•
•
eine willkürliche (konvergente oder divergente)
Zahlenfolge
mit
fpn = ^n+i-^n,
(W)
^
^
»o ^^^t
man
log
-Ji+1
«
\
lim inf
n = CO
^
„
monoton wachsende
man
setzt
2Ja.^^
»
)
/
>
:
Konvergenz
.
lautet:
konvergiert oder divergiert, je
nachdem von
einem gewissen n an
/da
/-+-i
n
(H)
+1
Das Kriterium zweiter Art
(1)
^ ^
.in
Die Kriterien zweiter Art.
§ 56.
L Die Reihe
und
Elementen,
positiven
»
+
<
oder
>
^ - /-+^
K
K
n
jj
+
^
ist.
11*
1
Reilien mit konstauten Gliedern.
Zweiter Teil.
164
Diese Bedingungen sagen in der Tat nur, daß
ad
d
— ->^'^a
,
n
d. h.
ist-,
daß die Glieder
a
^
1
•
abnehmen.
/.;^
(J)
1
^
k
•
n
a
—
a
n
lautet daher:
1
-j
Divergenz
:
n>N
n+1
n+1
n
n
ihren Quotienten nach, langsamer als
a^^,
—<
—a
„
k
n
Das Kriterium zweiter Art
j-
a
n
die d^ bzw. rascher als die
f
/i
,
-^i±l< »±i
oder
1
>
^
Je
^
+1
w
+
Konvergenz^'7
:
^
das so erhaltene Konvergenzkriterium kann indessen in merkwürdiger
Weise umgeformt werden, indem wir mit dem Restglied
der konvergenten Reihe
in
multiplizieren;
2JJi^
dadurch erhalten wir
der Tat
B
V^^
k
n
B
a
a
Ä;
,
n+1
,^
7-^-^'
n+1
bedeutet demnach
monoton abnehmende Zahlenfolge mit
ergibt sich wegen (2)
Elementen, so
l
/yi\
Zl\
n
Bn
a
n
n+1
n
X
:
<>,
wordeu
gesetzt
lautet
ist,
^
n + 1 -^
i
n+1
§ 38,
lY
zufolge
2^f?„,
wo
allgemein
die
Reihe
= -h
n
n
sicher auch divergieren,
und das Kriterium
(J)
demnach:
lim sup
1
a^
i
I
liminf}^^
Es
n
+1
n
Da nun dem D in i sehen Satze
i^„ divergiert, so muß die Reihe
(5)
je
positiven
willkürliche
eine
^,+i
^„ +
|
<
t\>
:
Divergenz
:
Konvergenz.
daß dies Kriterium um so wirksamer
lieo-t auf der Hand,
langsamer die Reihe 2Jd^ divergiert.
Aus (2) leiten wir noch den merkwürdigen Satz ab:
II.
Im Kummerschen
Konvergenzlriterimn § 40,
I
braucht
ist,
man
Kapitel XIII.
nur
Allgemeine Kriterien von Pringeheim.
solche Zahlenfolgen
cp^,
^^^
welche die entsprechende Reihe
cp^,
El
Wir verfügen nunmehr über
A^,
•
•
•
so,
endlich
=
q>.,^,
^"-+-i
=
^„
ist,
CO
•
165
su verwenden, für
divergiert.
<
und setzen allgemein
A+1-
•
die Zahlenfolge A^,
lim sup
«
h.
<p^^
•,
daß
(6)
d.
:
•
§ 56.
oü,
A^, A^,
•
,
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
\QQ
und
eine Entscheidurig,
hierin
Kriterium
mit
xT
liefert.
lim sup A„
>
ist,
so
Betrachten
Avir
Wenn
und somit
versagt auch das Kriterium X„
lim
m
die ja
=
>l„
%
L^{\+2)
%+l
^.+1
<
und
.
(L), so ist
«„ + i folgt:
:
~^n+l
ergibt sich
(10)
lim inf
endlich
woraus durch Elimination des Quotienten «„
^n + 2
welche das
Verhesserung ,
die
nun weiter das allgemeine Kriterium
Lr{A + l)
(r)
liegt
(A(;
wegen der Formel §
+ ^)
- log,^, (^„^,)
23, {22')
=-
A('-))
1,
CO
mit (9) ganz analog
ist
und
in
ganz derselben Weise diskutiert
werden kann.
Hiernach besitzt die Skala (L) folgende Eigenschaften:
irgend ein Kriterium der Skala eine Entscheidung
1. Wenn
liefert,
2.
als
so gilt das gleiche
von
lim iaf oder lim sup
zum Vorschein kommt,
Kriterium eine Entscheidung
3.
allen folgenden Kriterien.
daß die Null
Versagt irgend ein Kriterium in der Weise,
Resultiert
dann versagt
die
so
kann das folgende
liefern.
>
für ein Kriterium lim sup
oder lim inf
< 0,
ganze Skala.
Hieraus geht insbesondere deutlich hervor, daß man keineswegs
von irgend eiuem bestimmten Anfangskriterium ausgehend durch
hinlängliche Fortsetzung der betreffenden Skala immer zu einer EntScheidung gelangen muß.
Vielmehr erscheint
solchen Entscheidung definitiv
die Möglichkeit einer
ausgeschlossen,
sobald
der Fall
3.
eintritt.
Es kommt
also hierbei sehr wesentlich auf eine passende
des
Anfangskriteriums an.
für
jede
welches
Daß
beliebige Reihe Ea^^
eine
es
ein
im übrigen auch
solches
unzweideutige Entscheidung
Wahl
wieder
hier
Kriterium geben muß,
liefert,
läßt
sich
leicht
zeigen.
Sei nämlich Ea^^ divergent,
und bestimme man
die
^„
aus den
Allgemeine Kriterien von Pringsheim.
Kapitel XIII.
Gleichungen «„ ^^
167
§ 56.
= Ä,^ ^, - ^,, und setzt man < ^, = {A,^ ^^ - ^ J
^n~ \-l
^n
-
:
A,^ _^,^
und man erhält
so ist 2Jd^ sicher divergent,
_
__
^n + 1
-j
also Divergenz.
Konvergiert
aber
bestimmt man
so
2Ja^^,
die
A,^^
den
aus
Gleichungen
=
a.^1
-^n
setzt
+
-^n
1
man demnach
<* +
l
so erffibt sich
also Konvergenz.
Selbstverständlich
auch hier durch
ist
diesen
für die wirkliche Feststellung der Divergenz
Existenzbeweis
und Konvergenz
einer
beliebig vorgelegten Reihe absolut nichts gewonnen, da ja zur Bildung
der obigen Kriterien die Beschaffenheit der fraglichen Reihe bekannt
muß.
sein
Setzt
man
A^ = n — 1 also d^ == 1, so entfließen
von Cauchy, Raabe und Bertrand; aus
in (L) speziell
die elementaren Kriterien
,
den vorhergehenden allgemeinen Bemerkungen über die Skala (L)
liegt
auf der Hand,
wendbar
wenn
sind,
daß diese speziellen Kriterien nur dann an-
die Zahlenfolge
oder seinen lim inf gleich
Man kann
die
Formeln
und
d^^ e'
Tat,
wenn
.^^.
"
a,^
entweder seineu lim sup
a„_,_x
:
hat.
1
andere Kriterien dieser Art erhalten,
wenn man
(1)
^ 0, anstatt
n^ N:
+ ^, p
für
d^^
_^ |< _^ ^od„^^
<*n
woraus, indem
+i
|>
man
'^n
+i
einführt; dadurch ergibt sich in der
i
Divergem
i
Konvergens für
logarithmiert
und mit
für ^
(^„_,_i
^
> 0,
()
dividiert,
Kriterium folgt:
m)
in
^^^ ^^^
!
lim inf
^—
\'^n
+
x
lo
^^-^ ^ ^
^« "« +
>
^^^^^9e^^
1
1
1
:
Konvergenz;
das neue
.
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
1(58
imterliegt
hier
Zahlenfolge
die
A^, A^, A^,
A.^-
•,
•
•
•
keinerlei
anderer Bedingung als positive Elemente zu besitzen und monoton
wachsend und divergent zu
Ist
aber
sein.
Bedingung (6) erfüllt, so darf man in (11) gd^
Exponent anwenden, und das Kriterium (M) nimmt
die
anstatt (>^„ + i als
folgende neue Gestalt an:
^"^ ®^P
CN^
j
lim inf
1
^n +
1
.
i^J < Ö
^« ^b +
<^«
I
1 [
>
:
Divergenz
:
Konvergenz,
woraus in gewöhnlicher Weise das folgende Kriterium hergeleitet
werden kann:
^™
(0)
^^^
lim inf
Setzt
man
pr(A» + i)
^n +
in (N)
A,^^
Fundamentalkriterium von
in
^n Lr
j^
^n
[
=n—
{\)
§ 40,
»„
d^=
1,
<
>
f
+ 1) "« +
{-^n
also
1
Cauchy
1 (
so
l,
=
Bivergem
:
Konvergenz
entfließt
das
während das Kriterium (0)
Bertrandschen
diesem Falle Analogien des
ergibt sich der
i^r
liefert;
für r
=
Ausdruck
n a^
da nun wegen § 23, (20)
lim (n log
'
ist,
—r-
(12)
,.
.
a^
[
.
lim iuf
(
>*-log"m +
man
in der Tat
1
<
1
:
Divergenz
(>
1
:
Konvergenz.
f
i
Aus (M) kann man noch einen
setzt
=
von Schlö milch:
so ergibt sich das Kriterium
lim sup
I
\ = ^„+1 —
•£•'„,
interessanten Satz
und
ist
q
> 0,
herleiten;
so konvergiert
auch die Reihe
man
hat daher für die Reihe
also,
indem man logarithmiert und zur Grenze übergeht, wenn
(13)
ist.
lim inf
^
21'
.
«^ sicher Konvergenz,
log
^^^^^
wenn
>Q>0
Kombiniert man aber (13) mit dem Konvergenzkriterium (M),
so ergibt sich der Satz:
Allgemeine Kriterien von Pringsheim.
Kapitel XIII.
ni. Ist
(pQ,
qog
(p^,
•
•
•
(Pn
169
§ 57.
eine nicht oszillierende ZaJdenfolge
•
mit positiven Elementen, so konvergiert die Reihe
wenn
2^(1^^,
limirf^„„.log^->0
(14)
M
=
^n + 1
oo
n
+1
ist.
Um
urteilen,
I.
und zweiter
Vergleicliung der Kriterien erster
§ 57.
die
Tragweite
der
bisher
entwickelten
Art.
zu
Kriterien
be-
beweisen wir zuerst die folgenden Sätze von Pringsheim:
Bezeichnet
a^
o^^
a^
a,^
•
•
eine
•
ivillldirliche
Zahlenfolge
mit positiven Elementen, während die Folge
Elementen
ebenfalls mit positiven
folgen mit
= 9P„
M„
(2)
•
g5„
"« + 1
^1,
= cp^.,^- log
v.,^
^'n
sowohl denselben lim sup als denselben lim
Aus den Definitionen
(3)
^n
es seien
demnach
beide endlich; alsdann
(5)
ist es
+1
•
log (l
+
Ä
und
Da nun
(6)
7i
=
inf u^
CO
für eine vorgegebene, willkürlich kleine,
positive
^) <
B
ergibt sich
^);
Größen
A = lim
u,^,
+
Größe
möglich eine solche
£
iV^
immer
(3) folgt:
beide
folge (1) divergiert, so hat
und somit
+ i-log(l
9'.
N zu bestimmen, daß für n ^
A-B<u^<B^E
muß, woraus wegen
9'»
inf.
<x>
aber von Null verschiedene
positive ganze Zahl
=
^«
erstens die zwei
B = lim sup
n=^
+ l^n + l
(2) erhalten wir
= ^n^.\e'^^-y,
(4)
sein
haben die zwei Zahlen-
divergiert, so
dem allgemeinen Elemente
^„
< 9^„^,
endlich
•
log
sind,
man von einem
wegen §
(
1
+ f+^)
während
die
.
Zahlen-
gewissen n an immer
23, (21)
^Ä-s <v,<B+B.
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
170
Setzt
man demnach
A' = lim inf
(7)
man wegen
SO hat
weil
(6),
B' = lim sup
t\^,
beliebig klein
£
v^,
ist,
und
Zahlen-
die
folge (1) divergiert
Ä^A,
(8)
B'^B.
Sind umgekehrt die beiden Zahlen A' und B' endlich, so erhält
man
mit denselben Bezeichnungen wie vorher für
A'-£<i\^<B'
woraus wegen
n^ N
immer
i- £,
(3)
hervorgeht, und die Ungleichungen § 20, (22) liefern demnach die
beiden anderen
+
A'~s<u<
^
^
^'
B'-{-8
'
woraus
A^ Ä,
(9)
folgt,
und
die
B<B'
Vergleichung von
(8)
und
oo,
so
(9)
immittelbar
liefert
A = A', B=B'.
nun zweitens
Ist
B.
z.
^=—
müssen unzählige der
u^^
negativ mit beliebig großem absolutem Betrage sein; die erste For-
auch unzählige der v^ negativ sein müssen;
(3) zeigt dann, daß
mel
Ä
Ä
endlich,
negativ; wäre nun weiter
wegen (7)
wegen der ersten Formel (3) A auch dieselbe Eigen= — <x>. In derselben Weise sind die
Es ist daher
schaft.
anderen möglichen Fälle zu behandeln, und damit ist unser Satz
vollkommen bewiesen.
es ist also sicher
so
|
hätte
|
\
\
Ä
IL
Ist die Zahlenfolge (1)
gent, so 'besitzen die u^
Vorzeichen,
und
und
die aus
diere
nämlich
man
co
stets
gleiches
oder oszillierend.
ca
=
und
qp„^i durch w; daraus ergibt sich,
1 zubetrachen haben; es ist daher wegen (3)
in (2) w„, v^, (p^
w„
einem geivissen n an
der Grenzwert der Fundamentalreihe (1), so divi-
daß wir nur den FaU
(10)
v„ von
diesen Zahlen gebildeten Folgen sind gleich-
zeitig Iconvergent, divergent
Ist
mit einem positiven Grenziverte konver-
= e'«-l,
woraus unser Satz unmittelbar
^.„
= log (1 +
folgt.
mJ,
.
Allgemeine Kriterien von Pringsheim.
Kapitel XIII.
171
§ 57.
nun ohne weiteres das folgende Resultat:
III. Das Kummersche KonvergenzJmierium § 40, I und das Konvergenzkriteriiim § 56, (14) liefern, wenn die Zahlenfolge (1) divergiert, ganz gleiche Resultate.
Und es gilt für lim d^^ = 0, das nämliche von den Kriterien (K) und (N).
Weiter vergleichen wir die beiden Kriterien (E) und (N), in-
Aus
I ergibt sich
dem wir
rf.
setzen, so
was
ja,
=-
daß die Reihe 2Jg)^~^ also
als divergent vorausgesetzt wird,
wie wir gesehen haben, gestattet
(U-)
=w
V
•
log
^^
loo-
Mit den Bezeichnungen
wir setzen demnach
ist;
/
=
-?«^.
auch für n
(7) erhalten wir
^ iV immer
^^-<l0g ^^^^^^<^+l;
setzen
n
-\-
wir demnach
2j ...,
n
-\-
—
p
in
Ungleichungen
diese
haltenen Resultate
q=n+p
q=n+p
(12)
{Ä--s).2^<^o,^f^<{B' + s).;^±;
q
= n+l
^'
^
q
=n+l
es ist aber identisch
"
loor
—
^n+p
= loa;
1-
^n+p
"'n+p
log
((p^,
'^n+p
dividieren wir daher in (12) mit
q
= n-\-p
y-,
(13)
q
=
und setzen wir der Kürze halber
q=n+p
q=n+p
^^',p-{2j q>q)'-\2 Cpj'
7
q
so erhalten wir
(14)
=
K
n
+ \1
q
J
=
wegen
o Q der Definition von t„,„
n+p
(Ä'
-
£)
.
ö„,^
-\-
1,
so ergibt die Addition aller so er-
anstatt n,
1
nacheinander n
< ^„+, < {B' +
e)
Q^^^
a
,):
^
:
,
;
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
172
Da nun n
eine endliche Zahl
und da
i.st,
die aus (13) für
=
^
00
man
erhaltene Reihe divergiert, so hat
=
lim ^„,,
1
p = oo
man
setzt
daher
a
(15)
= lim
wegen
SO ergibt sieh
inf^^^,
^ Ä',
a
giert
daher die Zahlenfolge
ß
£ B'.
sup^„,
VQi\i'.^
.
v^^
.
.
.
.
.
entweder konver-
oder eigentlich divergiert, so hat diese andere
und
dieselbe Eigenschaft,
also der lim
i\^
=
00
?;
existieren
.
.
t^
.
.
.
.
= limv„,
lim^„
ji
t^t^t^
diesem Falle
es ist in
(17)
WO
= lim
(14)
(16)
Wenn
ß
^
00
endlich und bestimmt oder
h.
d.
soll,
unendlich groß mit bestimmtem Vorzeichen sein muß.
Setzt
man
speziell
(p„
log
so hat
man
1, d. h.
-^^^^^
a„
t„
,
=
—
-,
—
log
n
'
,
a.
'-'
die in § 19, (13) entwickelte
Formel von Cauchy:
lim>/a;=lim«^,
(18)
wo
=
also der letztere Grenzwert existieren
Da
muß.
aber in (18) der erstere Grenzwert sehr wohl existieren kann,
ohne daß
dies
mit
dem
letzteren der Fall zu sein braucht,
auf der Hand, daß wir die soeben
umkehren
dürfen,
um
entwickelte
so
liegt
Schluß weise nicht
aus a und ß Auskünfte über A' und B' zu
er-
halten außer denjenigen in (16) gegebenen.
Wenden
wir nun den Satz
I an,
so
ergibt sich der folgende
andere
Illa. Bivercfiert die Zaldenfolge (1),
in (2) gebildeten Kriterien
ziveiter
Art,
und
liefern die
Reihe Z'a^ eine Entscheidung, oder versagen
von dem aus
Dagegen kann (E)
t^
eine
tt„
und
y„
Weise, daß
in der
sie
Null als lim sup oder lim inf zum Vorschein
gleiche
aus
(K) und (M), bezüglich der
kommt,
so
gilt
das
in (11) gebildeten Kriicrium erster Art (E).
bestimmte
oder (M) versagen, weil lim inf
<
Entscheidung
und lim sup
liefern,
>
ist.
wenn (K)
Allgemeine Kriterien von Pringsheim.
Kapitel XIII.
Über
die
173
§ 58.
Vergleichung der logarithmischen Kriterien verweisen
wir auf die Arbeit von Pringsheim.^)
= lim v^ = lim = q^
= oo, je nach-
131. Ist mit den obigen Bezeichnungen lim u^
man
so hat
dem
3.
(P.
ist.
du Bois Reymond.^))
55 anfangs gegebenen Bedingungen
die in §
ungeändert
nehmen
t^
oder lim (gp„aj
Reihen mit niemals zunehmenden Gliedern.
§ 58.
beibehalten,
Glieder der zu
positiven
=
Q positiv oder negativ
Während wir
und
lim (gp^aj
ändern wir
so
1.,
2.
daß die
dahin,
4.
untersuchenden Reihe Ua^^ monoton ab-
sollen; weiter setzen wir
^"^ TT
(1)
diese reziproken
Werte
den Untersuchungen
^^'^ iT'
'
"^^W'^
treten in der Tat häufig in unseren folgen-
auf.
Obgleich wir im allgemeinen nicht aus den von einem gewissen
n an gültigen Beziehungen
O'n
schließen
- «. + > (K -
^n + l,
daß
Reihe
1
dürfen,
(man betrachte
B.
z.
die
a^^
=
1
-\-
% - «n + ^ ^n "
l
IJa^^
n~^,
Ix^
= n~^),
welche auf die Beschaffenheit von
Kriterien,
^^.
+1
bzw. konvergiert
divergiert
so lassen sich jedoch
(«„—«„ + 1)
beruhen,
durch folgende einfache Betrachtungen ableiten:
Aus der
«0
+ % + ^2 +••+«« =
f'o + »*«« + [(«1 —«2)
+(*l-l) («„_,-«„)]
folgert
1.
man
=
in der
Die Reihe
der Fall
n
Identität
+ 2 («2— %'
-\
1-
Tat ohne weiteres:
Ea^
divergiert sicher,
wenn
dies
mit 2^w («^^
— a„ ^
2.
Die Reihe Ha.^ konvergiert sicher wenn lim (m
00
ist,
und wenn außerdem
die
•
aj
=
lim inf
^ («„- a„ +
i)
=
(J
>
6r
<
:
Divergenz,
n
(P)
lim sup
n
-r-
(a„
— «„+1) =
00: Konvergenz,
n
h. ein
1)
2)
für
Reihe Zn{a^^— a„^i) konvergiert.
Hieraus ergibt sich dann unmittelbar das Kriterium:
d.
^)
ist.
Kriterium erster Art für die Reihe En(a^
Mathematische Annalen Bd. 35, p. 377—379; 1890.
Journal für Math. Bd. 76, p. 68; 1873.
— ^n +
i)-
,
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
"[74
Führen wir nun weiter
_
1
ein,
die Differenz der reziproken Reihenglieder
1
^
=
—31
Jf
so erhalten wir den Satz:
I.
Ist von einem gewissen
^^«-,1-^4
(2)
n an immer
>g{K^,-KJ, g>0,
{
so divergiert oder Ivnvergiert die Reihe 2^a^.
man
Setzt
n
+p
der Tat in (2) nacheinander
in
n
-\-
«
1,
+
2
.
.
.
anstatt n ein, so ergibt die Addition aUer so erhaltenen Re-
lationen
:
M„^„-3l
"^^
^'^N^^CA;,,,-^«);
setzt
man
SO erhält
daher
man
unmittelbar wegen (1)
^
da nun
A
und
5
Aus
NuU
/."„^^
für
zustreben, so
(2) erhält
man
unbegrenzt wachsendes
ist
-j^
^- ^^_^"
lim inf
'-re
Hier sind die
wir erhalten aber
renz
B^^^
— B^
I)„
um
unser Satz damit bewiesen.
=G<
-f^
—M
M
(Q)
beidel'dem
p
unmittelbar das Kriterium
^«4-1-^^^-
lim sup
^n+p
1
Konstanten bezeichnen, weil n endlich|ist,
feste
während d^^^ und
Grenzwerte
^
f^n+p
1
=
</
oc
>
:
:
Divergenz,
Konvergenz,
+l
und
die
K^ ganz
beliebig gewählt
worden;
so wirksamere Kriterien, je schneller die Diffe-
bzw. je langsamer die Differenz
K^j^.^^
— K^^
mit w
wächst.
Um
voraus,
ein
daß
wirksames Anfangskriterium
die Differenz B^^^^
zu erhalten,
— B^^li>
wir setzen
B =
^-
setzen
für jedes n
={^^-^-
ist,
wir
und
A
Allgemeine Kriterien von Pringsheim.
Kapitel XIII.
Da
,
D^
weiter lim
=
man
oo sein muß, so hat
§ 58.
175
daher
lim%±i-l.
(3)
Setzt
man demnach,
K,.
SO hat
man
für
(>
> 0,
= ^ "_^ - ^.4.
identisch
man
woraus, indem
= -X^j
^«
limg„=
also
1,
setzt:
— -^w
^w + 1
-
^e
^»
*•
I
•'
da nun aber wegen § 24, (19)
—
^
lim
n
ist,
=
-
= (x in
Bruch linker Hand
so bleibt der
Q
in (4), für jedes n, endlich
und
von Null verschieden.
Man kann
daher das Kriterium (Q) folgendermaßen formulieren:
lim sup
(R)
—M
""*"
lim inf
''
__
^
= (t < oü
^
^
M
?i
+1
^
n'
Divergenz,
:
= ^ > 0:
Konvergenz
(?>o).
n
Setzen wir nunmehr für positive ganze r
A
(^)
und führen wir
= log
a;
•
1
^irli
man
- ^L'-) =
log3 {x)
.
.
.
log,,
(a:;)
-^n
A A.(A
^:'
hat
•
die Zahlenwerte
^n +
ein, so
logg {x)
= ";
)log<:(^J
"
_;
= i^n
(^j log^ (4.)
erstens identisch
^,-
(A+x)
Ä+i - A.) + ^„
K (A
4-1)
woraus
iD„ + i
— B,;)A^{A,;)
A^{A,^)
D„ + ^—I)„
- A (A));
folgt,
indem der Kürze halber
worden
gesetzt
Aus der
(6),
Reihen mit konstanten Gliedern,
Zweiter Teil.
176
ist.
= log^
Identität A^. {x)
indem man
^n,r
^n,r-l
y^^_^(x) erhält
(rr)
man
aber wegen
von D^ anwendet,
die Definition
^^ (^ J
A„^^- A,
'
'
^«
'
worin aber wegen § 23, (9) und (22) die beiden Faktoren rechter Hand
verschwinden müssen, und demnach
ist
= 0.
lim(P„,,-P„,,_,)
Für
r
=
lim P„
und demnach
(5) diesen
man
findet
1
,
ist
=
lim
.
,
auch allgemein lim P^
lim
Zweitens hat
^^^^^n.,)-^-sAn
^"
,
anderen Grenzwert
m
^irli
direkt
man
^
=
n = oo, so
— Dj > 0)
für
liefert (lim inf (7)^ j
^
—^^^—
=
=^
_^
daß
:
1
identisch
- ^:^ = iog<' {A,^^,) {Di:i,-Di:^) + ni:^ (log,- (a^^) - log^ aj);
aus der Formel
Z)^f'
= D,^
•
y/^
(ÄJ
+
Da
der letzte
Summand
ergibt sich daher
D,
\ogl.iA„^,)-logUA„)
log^l^J
-ö„H.i-i>,
rechter
Hand auch folgendermaßen
ge-
schrieben werden kann:
log;.(-4„ +
i)
— log^(^„)
so verschwindet dieses Glied offenbar für
(logAAt+dV-.
\
«
log^(^ n)
=
cx)
und wegen
;
gibt sich daher:
CS)
lim
—"^^
^
=
1
'
1
(7) er-
, ,
Allgemeine Kriterien von Pringsheim.
Kapitel XIU.
man daher in (R)Z)W ^ und B^^)
man wegen (7) und (8) das andere
anstatt
Setzt
erhält
lim sup
Yj.
—
""^^D
A^'f A
\
D^^^ bzw. D„,
so
Kriterium
=
\
177
§ 58.
<
6r
oü
:
Divergenz
(S)
Die Divergenzkriterien (R) und (S) gelten offenbar noch, wenn
man im Nenner
für
^
()
nach dieser Änderung
den Faktor
durch log X„ bzw. log^^i(^„)
ff-)
lim inf
log J.„
(T)
lim sup
f
lim inf
\oAjf.
beiden anderen Kriterien:
dividiert, die
"^
log(
lim sup
bzw. log^(ylJ'' hinzufügt;
J.£
man, wenn man logarithmiert und
erhält
I
—"^^~
<0:
Divergenz,
>
Konvergenz.
:
\
''.,
log^^.i(J.„)
I
j
< 0:
Divervenz
>0:
Konvergenz.
Die so entwickelten Kriterien nehmen ihre einfachste Gestalt
wenn man A^ = n
Hat man speziell,
an,
also D^^
,
setzt.
> a„ + i,
für jedes n, a„
monoton wachsend und
m)
^n
=n
divergent;
= ^nAi^n)
M
7lf
man kann
Xir)
«
'
=
i>^.
+
1
so ist die Zahlenfolge
also überall
^r
M
(^J logr
M
(^^^J
setzen.
Nun
konvergiert
oder divergiert
Reihe
die
27a^ offenbar,
je
nachdem
lim inf
n
-^^ = >
= 00
lim sup
n = oo
bzw.
(/
n
"
=
6r
< oo
n
woraus die Kriterien hervorgehen:
ist,
m
Ilim sup
lim inf
(-M„ + i
(ifc?„
lim sup
(V)
1^^^^
^^^
+i
—V
— M^) = G^ <
Divergenz,
— MJ M„-? = > 0: Konvergenz.
cx)
:
(/
"
) if
^
=
(r
<
oo
:
Divergenz,
= 9>0:
ÄAMjk^TMj
fJlog,(i)f„/
Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Keihen.
Konvergenz
12
(,>o).
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
178
Durch
die gewölinlielie
limsTip
iog(J4^i
I
lim inf
log (^iL±iIzM^><\
|
log^^^Vj
Gliedern, die
uns,
ihrer
Kriterien
Pringsheim
I
l
[
lim inf
übrigen
— J4)
<0:
Divergenz,
>
<
> ^=
Konvergenz.
:
Divergenz,
:
I
)
daher wie vorher:
Konvergenz.
Reihen mit niemals zunehmenden
für
in §
man
findet
^n
^^S
j
lim sup
Die
Methode
10 seiner Abhandlung
mehr funktionentheoretisehen Natur wegen,
gibt,
hier
würden
viel
zu
weit führen.
Kapitel XIY.
Unendliche Produkte.
Konvergenz und Divergenz.
§ 59.
Aus der unendlichen Zahlenfolge
^0
(1)
ö^i
5
j
% %
j
•
7
>
^„
j
bilden wir eine neue
indem wir für jedes n
P^
(3)
setzen.
Wächst
in (3)
=
aQa^a^a^- --a,^
n über jede Grenze hinaus, so entsteht ein
unendliches Produkt; dies heißt hmvergent,
(2) konvergiert,
Null
ist.
divergent.
p
positiv
wenn
1.
die Zahlenfolge
der Grenzwert dieser Zahlenfolge nicht gleich
ganz, wird also hier noch gefordert,
daß für
n
\PA>9
(5)
ist,
2.
Ein nicht-konvergentes unendliches Produkt heißt immer
Außer der allgemeinen Konvergenzbedingung
willkürlich
jedes
und
wo
g eine bestimmte endliche positive Größe bezeichnet.
Mit diesen Definitionen beweisen wir nun ohne Mühe den Satz:
I. Die notwendige und Jiinreichende Bedingung für die Konvergenz
des obengenannten Produltes hesteht darin,
ivillJcürlich
kleine
aber voit Null
daß
es
für ein vorgegebene
verschiedene positive
Größe
s m'ög-
Kapitel XIV.
lieh
ist
Unendliche Produkte.
Zahl
eine solche positive ganze
N zu
179
§ 59.
bestimmen, daß für
n'^
N
immer
<£
(6)
wird, indem
Zahl
eine ivillhürliche positive ganze
p
bezeichnet.
durch die endliche von Null verschiedene positive Zahl
(4)
man
nämlich erstens das Produkt konvergent, und dividiert
Ist
P^
|
,
so
|
Bedingung ist daher sicher notwendig.
nun zweitens die Bedingung (6) erfüUt, und bestimmt man
entfließt (6); diese
Ist
für ein aufgegebenes s eine entsprechende positive ganze Zabl n, so
ist
A
\P^\=
NuU
von
eine
verschiedene
positive
denn wir setzen natürlich voraus, daß kein
Null noch unendlich groß
sei.
Multipliziert
a„, für
man
n
endliche
Zahl;
endlich,
weder
= Ä,
aber (6) mit P^J
|
so ergibt sich
(7)
P„+,I
Die
PA<A
-e)<\
der Ungleichungen (7)
erste
die zweite dagegen
so ergibt sich
Ä(l
s,
w,j
|
Setzt
(5).
+i
<^
|
man
für n
^
ergibt
in (6)
N-.,
P„^.,
\<A(l +
e).
aber unmittelbar (4),
^=
1, «„^.i
=
1
+
t*„+i,
also:
IL Uine notwendige aber Iceineswegs hinreichende Bedingung für
die
Konvergenz des oben betrachteten unendlichen Produktes
darin, daß, tvenn
«.
(8)
setzt,
lim
u^^
Wir
=
für n
=
=
+
1
^.
oo sein muß.
Form
Produkt wird allgemein
(8) für den Faktor
+
(1
u^) (1
oder kürzer als 77(1
+ u,) (1 +
+
a,^,
als
J5
(9)
Untersuchungen
und das unendliche
daher in unseren folgenden
betrachten
ausschließlich die
besteht
man
u^),
M3)
= 00
=]l[(l-\-
u^),
wenn kein Mißverständnis möglich
ist,
bezeichnet.
Daß
diejenige in II ausgesprochene notwendige
Bedingung im
allgemeinen nicht hinreichend sein kann, geht deutlich hervor,
man
speziell w„
=+
1:
n
einsetzt,
p=n
die entsprechenden unendlichen
indem das
erste
dann hat man
p=n
in
wenn
der Tat
Produkte sind daher beide divergent,
gegen 00, das zweite gegen
divergiert.
12*
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
180
Für das Partialprodukt
ergibt sich die Rekursionsformel
P.
(10)
=
man demnach
setzt
anstatt n,
und
(1
+
=
^0 P„_,
iu (10) nacheinander
man
addiert
+ ^. P„_i
n — 1 n —
P„_x
-,
,
2
,
•
,
3, 2, 1
sämtliche so erhaltene Gleichungen,
so
ergibt sich die Reihenentwicklung
J7(i + ^)=
(11)
1
+ 2^*^^-1'
p=X
WO
s=l
der Kürze halber Pq
=
zu setzen
1
ist.
Die Formel (11) gestattet uns ein Produkt in eine Reihe zu
verwandeln; es ist indessen ebenso leicht die Reihensumme
(12)
= Mo + Ml + Mg
S.„
in ein
Aus der
Produkt umzuschreiben.
Mp
Sp
Sp-l
Sp-1
1^
-I
H
+
M,„
Identität
ergibt sich nämlich unmittelbar die Produktentwicklung
'--«o-i7(i+,f^j-
(13)
p
=l
Natürlich sind diese beide Formeln (12) und (13) im allgemeinen
nicht praktisch anwendbar, weil wir weder die Partialprodukte
noch
die
Partialsummen
P^
in einfacher Form bestimmen können;
s,^
da diese beiden Formeln aber für jedes n gelten, so entfließt der Satz:
III.
Läßt man in (11) oder (13) n über jede Grenze hinaus-
wachsen, so werden die in jeder dieser Formeln eingehenden unend-
und Produkte gleichzeitig konvergieren oder divergieren,
nur nicht mit der Summe Null konvergiert.
Cauchy^), der die erste Grundlage der exakten Theorie der un-
lichen Reihen
wenn
die betreffende Reihe
endlichen Produkte gegeben hat, gibt den folgenden Satz, der uns
später sehr nützlich sein wird:
und
IV. Die notwendige
des
Produktes
U log (1 + m J
U log (1 + uj
1)
JT (1
-f-
m
)
konvergiert,
für alle
Analyse algebrique,
hinreichende Bedingung für Konvergens
besteht
nnd
es ist
n'^N.
p. 562, 1821.
daß die unendliche Reihe
dann immer log 77 (1 + m„) =
darin,
Kapitel XIV.
Unendliche Produkte.
+
Sei erstens das Produkt 77 (1
181
§ 60.
u^) konvergent;
dann hat man
mit den gewöhnlichen Bezeichnungen
^tP =
l
+
n^N,
\d\<s,
d,
n
woraus^ indem die
sämtlich ganz sind:
q^
y'(log(H-^*„^J + 2g,;rO
(14)
Da nun
folgt.
vergiert, so ist
= log(J,+^) = log(l +
und da die Reihe in (14)
+ u^) =
=
somit
ergibt sich wegen § 23,
und
0,
q^
lim log (1
immer
ist,
da nun
K
Ist
und von Null verschieden
+
^log
=
ist,
so konvergiert die
u^).
umgekehrt
s
(20)
=l
endlich
Reihe 27 log (1
kon-
n^N,
|^'log(H-'^„^,)|<ld|.^,
s
d)
diese Reihe konvergent, so hat
(1
+
W. + ,)
=
n>N,
\d\<e,
^,
man
l
woraus wegen (14)
P
^P^e^ ^1 +d-K^
P
)
hervorgeht, worin
1
zustrebt;
dies
K^
ist
für unbegrenzt
vergiert auch das Produkt 77(1
132.
Man
abnehmendes d dem Grenzwerte
aber genau die Bedingung (6) und somit kon-
+
%)•
hat die beiden Formeln
«
=
2
11 V
\
1
3'
n{n-\-\))
=
T-r«' —
a
CO
00
11
n=
1
2
n^-\- 1
3
-2
ZU beweisen.
133.
Man
soll
den Wert des unendlichen Produktes
n
=
OD
(i + -'")
J7
=
n
bestimmen und die Bedingung seiner Konvergenz angeben.
§ 60. Absolut oder unbedingt konvergente Produkte.
I.
Sind die Zahlen u^ von einem gewissen n an sämtlich
reell
mit
demselben Vorzeichen, so konvergiert das unendliche Produkt n(l-\- m„)
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
132
dann und nur dann, wenn
die Reihe Z!u^ Ixonvergiert,
1.
—
Wert
einzige der Zahlen u„ den
1
Ist für q > n immer u > 0, so ergibt sicli auch
und wir erhalten ohne Mühe die Ungleichungen
=1
.V
*
=
und
2.
+
u^
Jceine
hat.
1
^
e"*,
1
woraus deutlich hervorgeht^ daß die Reihe und das Produkt gleichzeitig konvergieren oder divergieren: im Falle der Divergenz divergiert das
Produkt nach
Ist andererseits für
oo.
>n
q
immer
^ 0,
u^
so setzen wir
— u^
an-
und das neue u wird somit entweder positiv oder NuU;
n so groß angenommen werden darf, daß immer m^ < 1
wird, so findet man ohne Mühe die beiden anderen Ungleichungen
u
statt
,
da nun
s
1
—p
S
=p
-^Un + <Th^ - «« + ^)<T^F-^^
s
-,
/7(l +"«..)
die
erste
während
(1
M
-f-
)
wird
in
Induktion bewiesen,
der Tat durch voUständige
die letztere unmittelbar aus der
Umgleichung
1
—
u,^
Damit
:
unser Satz aber vollständig bewiesen.
ist
Konvergiert das Produkt mit lauter positiven Faktoren 77(1
so konvergiert auch
in
<1
hervoi'geht.
diejenige Reihe, die aus der
wenn man
§ 59, (11) gebildet wird,
den absoluten Betrag
w,,
|
Summe
jedes
anstatt
-f
rechter
u^ ),
Hand
einzelnen w„
einführt.
Denken wir uns daher alle diese Multiplikationen
und heben wir aus den so gebildeten Gliedern eine
will-
Glieder
eine
geführt
kürliche
unendliche Anzahl
heraus,
absolut konvergente Reihe; denn die
dieser Glieder
kann nicht größer
träge sämtlicher Glieder rechter
so bilden
Summe der
Summe
als die
Hand
Daraus folgt nun unmittelbar, daß
77 (1
-(-
Wert
-
w„) auch konvergiert,
1
Wenn
diese
absoluten Beträge
der absoluten Be-
in § 59, (11) sein.
in
diesem Falle das Produkt
wenn keine
einzige
der Zahlen den
hat.
77 (1 -f
das Produkt 77 (1
w„
+
?(„)
)
aus-
konvergiert, und stets
absolut konvergent;
u^^ =t=
—
aus I findet
1,
so heißt
man dann
unmittelbar den Satz:
IL Die notwendige und hinreichende Bedingung für die absolute
Konvergenz des Produlies 77(1 -\- uj besteht darin, daß 1. die Reihe
Unendliche Produkte.
Kapitel XIV.
und daß
ahsohif l'onvergiert,
2JuJ^
—
Wert
u„n den
§ 60.
183
Zahlen
siveitens keine einzige der
hat.
1
Ist die in I und II eingehende Reihe Zlu^^ unbedingt konvergent,
während das Produkt 77(1 + w„) gegen NuU divergiert, weil gewisse
Zahlen u^
der
den
Wert
—
+
w„)
haben,
1
so
welches
man
aus 77(1
Faktoren
NuU
wegläßt, absolut konvergent.
Das unendliche Produkt 77(1
wenn
Wert ungeändert
sein
Weise umordnet.
willkürlicher
so hat die Reihe
um
-2"
log (1
+ m^)
bleibt,
+ m„)
heißt unbedingt konvergent,
wenn man
77(1
Ist
Produkt,
indem man sämtliche
kaan,
bilden
dasjenige
ist
+
ii^^
Faktoren in
seine
unbedingt konvergent,
offenbar dieselbe Eigenschaft.
unbedingt konvergente Produkte näher zu untersuchen, be-
weisen wir zuerst den Hilfssatz:
Wenn
III.
sind die
keine einzige der Zahlen
beiden
u^^
Wert
den
—
Reihen mit iwsitiven Gliedern Zj log(l
hat,
1
-|-^<J
so
und
|
gleichzeitig konvergent oder divergent.
27 M„
1
I
Eine notwendige Konveigenzbedingung
für
w
=
+
|log(l
wo
ist
jedenfalls lim
=
«*„
oo; aus § 23, (20) ergibt sich daher die Beziehung
die positive Zahl
nahe kommt.
Setzt
K^
=
|«„+J
K^,
n hinlänglich groß dem Werte
für
man
w„ + ,)
aber in dieser Formel
s =
1,
1
2,
beliebig
3,
.
.
.
^,
so ergibt die Addition aller so erhaltenen Gleichungen
s=p
s=2]
^
-^ K,s\£^
s
wo
=l
s
log (1
:
+
U„^,)
—p
<K-^\U„^A>
s=l
.s
=l
K und k bzw. obere und untere Grenze der Zahlen bezeichnen:
K und k beide endlich und von Null verschieden sind,
JT,
da nun aber
so ist unser Satz damit bewiesen.
Aus
II
und ni ergibt
nun der folgende Satz von Dini^):
und unbedingte Konvergenz eines un-
sich
IV. Die Begriffe absolute
endlichen Produktes sind identisch.
134.
Sind die Zahlen x und y
so hat
lim
„
je
1)
reell
ohne negativ ganz zu
man
=„
nachden
(x-]-l){x-\-2)...(x
(2/
+
x^y
Annali di Matematica
!)(?/
+
2)-
•
-(2/
+ n)
+ w)
angenommen wird
(2)
Bd.
2, p.
35; 1868.
lO'
sein,
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
184
Es
135.
zu beweisen, daß das unendliche Produkt ncos(cc^x)
ist
x unbedingt konvergiert, wenn erstens die
Reihe 2?]«^^ konvergiert, und wenn zweitens keine einzige
der Zahlen a x ein ungerades Vielfaches von ^ tc ist.
136. Wenn ?R(a;) > 1 ist, während^ sämtliche Primzahlen 2, 3, 5, 7
durchläuft, so hat man die von Euler^) gefundene Formel
für alle endlichen
•
71
=
•
•
00
P
> 1, während p sämtliche Primzahlen durchläuft, so
hat man das Gesetz zu bestimmen, nach welchem die Koeffi-
137. Ist
^{x)
zienten a„ in der Entwickluner
u
1-^.WV
-'
«
=
a.
1
zu bilden sind
§ 61.
Über bedingt konvergente Produkte.
Das unendliche Produkt 77(1 + u^ heißt bedingt konvergent,
es zwar konvergiert, das entsprechende Produkt mit positiven
wenn
Faktoren 77(1
in
+
|
w„
aber divergiert; da die Reihe Z'log (1
)
+
diesem Falle auch nur bedingt konvergieren kann, so hat
w,()
man
den Satz:
Die Faktoreii
I.
eines bedingt Txonvergenten Produlies
endlich oft so umgeordnet werden,
daß
oder seine Phase einen tvillMirlichen vorgegebenen
Die
Glieder
der
Jcönnen un-
enttveder sein absoluter Betrag
Wert annimmt.
entsprechenden bedingt konvergenten
Reihe
Z'log (1 -f ^t„) können in der Tat unendlich oft umgeordnet werden, sodaß jedenfalls entweder die reelle oder die imaginäre Komponente
einen willkürlichen vorgegebenen
nente dieser
Summe
trages, die imaginäre
Übrigens
dar.
stellt
Komponente
wissen
Wert annimmt;
wir
die
nicht
Produkte; wir beweisen aber ohne
II.
wenn
giert.
Das
1)
Kompo-
Phase des unendlichen Produktes
viel
Mühe
bedingt konvergente
über
den folgenden Satz:
unendliche Prodidd 77 (1 -f mJ
die Reihe 2Ju^^ bedingt, die Beihe 2Ju„^
ist
bedingt
lionvergent,
aber unbedingt konver-
Divergiert die erste dieser Reihen, ivährend
so ist das vorgelegte
die reelle
aber den Logarithmus des absoluten Be-
ProduJd auch divergent.
Introductio in analysin inünitorum § SOG; 1748.
Z
u^\^ konvergiert,
Unendliche Produkte.
Kapitel XIV.
Da 2u^
konvergiert, so hat
wo K^
n dem Werte j sehr nahe kommt;
für große
auch für
§ 23, (20)
+ «J = u„- K^uJ,
log (1
(1)
man wegen
ganze
alle positive
daher
woraus der Satz unmittelbar
welchem
in
K^^s,
Cauchy^) hat denjenigen
entfließt.
gegeben,
•
6=1
6=1
S=\
unseres Satzes 11
es ist
p
^log (1 + u^^,) =^w„^., -^^. + /
(2)
185
§ 61.
die u^
Fall
sämtlich reell sind.
= u'n + iu'n, und sind die beiden Reihen
und 2?|*t'^^| konvergent, während 2]u"„ divergiert, so ist das
Produkt n{\ -\- li^) ebenfalls divergent aber jedoch so, daß sein absoluter Betrag endlich und bestimmt ist, während seine Phase unendlich groß wird; der Beweis ist dem folgenden für den Satz von
Setzen wir nun in II u^
2Jjw'„|
Pringsheim^) ganz
III.
Wenn
ähnlich:
Elemente der heiden
die
(3)
U'o,
U[,
(4)
Wo,
U'i,
U'2,
.
U2,
.
u'n,
.,
.
.
.,
reellen Zahlenfolgen
...
u'n,
.
.
.
von einem getvissen n an dasselbe Zeichen Jtaben, so kann das
alle
unendliche Produkt 77(1 -f
u'n
+
fw«),
wenn
überhaupt konvergiert,
es
nur unbedingt konvergieren.
= 0, so ergibt sich wegen (1)
log (1 + iu"n) = iu'n + ^*?^„;
Produkt 77(1 + iu"r^ konvergent, so müssen sowohl
Setzen wir vorläufig
ist
nun das
absoluter Betrag
u'n
seine
als
sein
Phase endlich und bestimmt sein und
.
somit müssen die beiden Reihen Zlu"a und 2Ju'u^ konvergieren; denn
Reihen haben von einem gewissen n an dasselbe
Unser Produkt kann daher in diesem Falle nur unbedingt konvergieren, wenn es überhaupt konvergieren soU.
die Glieder dieser beiden
Vorzeichen.
Aus der
Identität
i
+
u'n
+ iu'n =
(1
+
<') (1
+
1
!^-;,)
ergibt sich unmittelbar
77(1
(5)
1)
2)
1894.
+
m;
+
iu"„)
=
7?(1
+
u'n)
•
77 (1
+ ^^^J;
Analyse algebrique, p. 562; 1821.
Mathematische Annalen, Bd. .33, p. 119—154, 1884.
Bd. 44, 413—416;
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
IgQ
nun das Produkt linker Hand in (5) konvergieren, muß jedenund bestimmt sein; da das erste Produkt rechter
soll
falls seine Phase endlich
Hand
reell
ist,
so
muß
das letzte Produkt rechter
Hand
konvergieren muß, weil
konvergieren,
die Glieder dieser
d. h. daß die Reihe Zti'n
Reihe von einen gewissen n an dasselbe Vorzeichen haben, und der
Soll
Divisor 1 + u'n von einem gewissen n an positiv sein muß.
auch der absolute Betrag des Produktes linker Hand in (5) endlich
und bestimmt sein, so muß auch das erste Produkt rechter Hand,
und somit auch die Reihe Uu'n konvergieren.
müssen
die
Produkt wirklich konvergieren, so
beiden Reihen 2Ju'„ und Zu'n unbedingt konvergieren;
{u'n -\- iu'n) und somit auch das Produkt II (1 + u'n -^ iiO
also
Soll
die
U
Reihe
das
vorgelegte
sind also auch unbedingt konvergent.
Man
138.
soll
das unendliche Produkt
jO
=
00
I7U +
untersuchen.
Es
139.
ist
für
zu beweisen, daß das Produkt
1^'Si [X)
=
Y bedingt konvergiert.
Kapitel XY.
Uueudliche Kettenbrüche.
§ 62.
Der
Definitionen.
Entwicklung in einer Reihe.
endliche Kettenbruch
h
X = «0 H
«2
wird der Kürze halber
als
^=1«.;
(1)
+
I'
h
'
-/)
bezeichnet; für den Anuäherungsbruch mit
als
(2)
w
:
dem
Stellenzeiger p, der
bezeichnet wird, erhalten wir daher den Ausdruck
?=
(«.;
^ %
'
/).
Kapitel XV.
SO daß für
üuendliche Kettenbrüche.
§62.
187
Zweiter Teil.
138
Reihen mit konstanten Gliedern.
Die Frage über das Verhalten eines unendlichen Kettenbruches
stellt eine Eigentümlichkeit dar, welche bei den unendlichen Reihen und
Produkten nicht gefunden werden kann. Sind in der Tat sämtliche
Glieder der Reihe Eu^^ endlich und sämtliche Faktoren der Produkte
n{\ -\- u^) endlich und von Null verschieden, so hängt das Verhalten
der Reihe oder des Produktes ausschließlich von den sehr entfernten
Gliedern oder Faktoren ab, während es gleichgültig bleibt, ob
man
die ersten Glieder und Faktoren durch willkürliche andere, die den
oben angegebenen Bedingungen nur genügen, ersetzt. Ganz anders
Kettenbruch; es
verhält sich die Sache bei einem
n
(1) für
aus
==
oo
sei z
unendliche Kettenbruch
erhaltene
B.
K
der
konvergent,
während man
Kettenbruch auch konvergent außer für
ersetzt, so ist dieser
Ein Kettenbruch heißt regulär, wenn
+ 1 haben; der reguläre Kettenbruch
Ä = K.
sämtliche Zahlen h^ den
Wert
K=a,^
(10)
—^
H
«1
wird kürzer
j-
als
K=
(11)
«1, «2; «3^
(«0-,
•
•
•)
bezeichnet.
Wir können
kriterien
hier nicht näher auf die Frage über Konvergenz-
Kettenbrüche
unendliche
für
eingehen,
sondern müssen
Abhandlungen von Pringsheim^)
uns darauf beschränken, auf die
und Pade^) zu verweisen.
140.
Für
ganze n hat
positive
man
die beiden endlichen Ketten-
brüche
V^5
/
V'"!
1?
i
n*
2/1
— 1'
1
y
{n — iy
2n — 3'
'
"*'
1'
W
{n — 2y
2^
2w — 5' "'s'
l\
l)
ZU bestimmen.
1)
Sitzungsberichte
der Münchener
Bd. 35, p. 359—380; 1905.
1' Ecole Normale
2) Annales de
(3.
Akademie Bd.
Bd.) 24, p.
28, p.
341—400;
295—324;
1907.
1898.
Kapitel
141.
Es
XV.
Unendliche Kettenbrüche.
daß
zu beweisen,
ist
stets in einen
189
§63.
Bruch
positiver irreduzibler
ein
ganz bestimmten endlichen Kettenbruch
^V
(S5
^2>
^3f
wenn
entwickelt werden kann,
^n)
">
•
•
a^ a^
.
.
a.„_i sämtlich positiv
.
ganz sind, während «q und a^^ ganze Zahlen bezeichnen, die
bzw. kleiner als 2 sein dürfen.
nicht kleiner als
§ 63.
Verwandlung
Wie schon Euler ^)
§ 62, (8) die
Summe
(1)
5„
einer Reihe in einen Kettenbruch.
gezeigt hat,
= Wl - ^2 +
>*3
—
«*4
kann man wegen der Formel
+
H
man
in einen Kettenbruch verwandeln; setzt
(2)
f = «0 = 0, 7T = ^i^ ^V=^2,
SO erhält
man
1)""^^*„
in der Tat:
^
•••,
7 =%'•••
aus den Ausdrücken für w„_i und m^ die Beziehungen
^«-2
^»-2^ra
/QA
woraus wegen § 62,
man demnach
Setzt
(-
**»
(4) folgt:
in
n
(4)
—
1
anstatt n,
so
erhält
man durch
Multiplikation der beiden so erhaltenen Gleichungen
woraus wegen
(3)
%-l%»n-2^n
\
(5)
hervorgeht; diese Formel
haben somit nur
Aus
^0
=
(6)
1
\
^^1*^
und
ist
t^
n
offenbar für
>3
anwendbar, und wir
zu bestimmen.
h = % ergibt sich
\ = a^u^,
wegen
woraus sich unter Anwendung der Identitäten
z^
(2)
= a.^a^-\-
^o~"2% ergibt:
Ty
/"J")
1)
^
«1 dj Mg
^
Introductio in analysin infinitorum Bd.
I,
§ 368; 1748.
b^,
\\ =
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
190
man nunmehr
Führt
Kettenbruch
:
y^^
Ausdrücke für
diese
so ergibt sich,
ein,
^„
Zahlen
die
in
h
daß die Zahlen a
den
sämtlich
durch Division ausfallen; nach einer einfachen Umänderung erhält
man
daher für jedes n
/qn
I
man
Läßt
^2
^1
{\
endlich
in
^1 "s
und
(1)
man
Wächst n über jede Grenze hinaus,
und der aus
erhaltene unendliche Beihe
'^ji
I
ganze Zahl n
positive
die
(8)
über jede Grenze hinauswachsen, so erhält
I.
2
^it
unmittelbar den Satz:
so
die aus
iverden
(1)
hervorgehende unendliche
(8)
Kettenhruch gleichzeitig Jwnvergieren, divergieren oder ossiliieren.
142.
Man
hat die Funktionen
und
cos x
e^,
sina; in unendliche
Kettenbrüche zu entwickeln.
143.
Es
Reihe
die unendliche
ist
L_4._i^
Jl
_JL_
,
in einen Kettenbruch
i-^y
I
I
I
zu verwandeln; für x
=
\ erhält man
dadurch den Kettenbruch von Brouncker.
von Lambert und Legendre.
§ 64. Kettenbrüche
Bezeichnet a eine willkürliche endliche Zahl, die weder Null
noch negativ ganz
(1)
(p{a,x)
ist,
:r.
anstatt a, so erhält
op (a,
x)
ist
die
Reihe
2!
a(a
+
= l^ yy^ +
endliche
für jedes
so
—
(f{a
+
3!
a (a
+
1) (a
unbedingt konvergent; setzt
man durch
-\-
l)
l,x)=
+ 2) +
man
'
'
'
in (1) a-\-\
Subtraktion
"
,
I
-v
,
+
— —TTw—
?
Ti
r"S\
+
*
'
'
?
oder
cp{a, x)
(2)
Setzt
-
cp(cc
+
1,
= ^-^^^
x)
-
t
man wegen
woraus man
(4)
herleitet.
^
(a
+
2, x).
man demnach
(3)
so erhält
•
in
(a,
^)
a
qp(o:
+ l,a;)
cp (a,
x)
(2)
gans formaler Weise den unendlichen Kettenbruch
*(.,^)=(0;
^,
^,
^,...)
Kapitel XV.
Um
Eun
Unendliche Kettenbrüche.
wir für die
Zähler und
näherungsbrüche
die folgenden
Ausdrücke
= ^^
^2
z^=^a,
=
=
(«
+
= (« + 1) (« + 2) x^ + ^*
^3 = a («+ 1) (« + 2) + 2(« + 1>2
1)^';
?/3
= a{a-{-\)-\-x\
z^
Die Rekursionsformeln
direkt ab.
y^^
Formel (4) nachNenner der ersten An-
in aller Strenge die Richtigkeit der
zuweisen, leiten
Vi
191
§ 64.
(^aj^n-
+
1) i/„_i
x^y„^2,
=
^„
+
(ft
w
-
1) s„_^
+
xH^_^
ergeben dann allgemein
^(",
^,=
(5)
3
wo
der Kürze halber
=
C^(a)
+1
worden
Aus
1)
.
.
+p-
(a
.
^„
man nach
=
+
a(«
gesetzt
l)(a
+
"Sn
{n
2)
= 1A-
T\
..
.
worden
dadurch erhält
ist;
z^
SO daß uns
n
-
1)
•
F^{a, x)
~
1)
man
aber für jedes n:
Fnj- i(a-f-l,a;)
a
Fn{cc, x)
'
Summe F^ [u,
nur übrig bleibt das Verhalten der
angenommen
negativ ganz
Bezeichnet
in (7), so hat
wird.
dem Summenzeichen
das allgemeine Glied unter
tt,
x) für
n zu untersuchen, indem a weder Null noch
unbegi-enzt wachsendes
man
u^
^
{n
— s){n — — l-{- g)
— 2s) (w — —
s
{n
M^+i"
2s
setzt man demnach |c^|^s—
man wegen (8)
u,
.Qx
^^
+
(a
-s){n-s-l...{n-2s+l)
yn __ x^
^
Umformung
einer einfachen
^ s!a(a + l)...(o: + s—
/gs.
=
der Kürze halber
F(a
^
C, {a)
1),
ist,
(5) erhält
(6)
wo
+
a{a
während y^^ aus z^_^ gebildet wird, indem man
anstatt a einführt und mit x^ multipliziert.
gesetzt
a
>.-,,(« + '-)^"-
=
>^
I
\u..
n
1
—
1)
(s
^
,
1) (a
x^
+
s)
"
'
und |a;^[<s+l voraus,
s-\-l
S
:=W — 2S-1
I
,
+
'
'
\X\^
^
^
'
so
hat
Eeihen mit konstanten Gliedern.
192
Zweiter Teil.
denn
es ist offenbar unter diesen
\n
—s—
1
Aus
-\-
a
,
Voraussetzungen
^ n — s — 1 — a\^n — 2s,
\a
-\-
s\
'^ s
—
^
\a\
1.
geht aber deutlich hervor, daß die aus (7) für unbe-
(9)
grenzt wachsendes n erhaltene unendliche Reihe für
alle
endliche
\x\
absolut konvergiert.
Es
sei
nun n sehr
Zahl bedeutet, die
während
groß,
solche positive ganze
s eine
B. |/w| nicht übersteigt, also s <C |>/w|; setzen
z.
wir dann
{n
A
— s)(n — — l)...in — 2s-\-l) _ TJ(l
s
P
so erhalten wir
wegen §
<y
—
iiog^j
o «I
I
y^
wo
y
nun
p
1
5^
\Vn\
ist,
j3,—
|log
AI
AI
^
<^
obere Grenze der ö
Setzt
man
daher Ä^
ö^,
P'
1
zustrebt-,
da
=
<x>,
I
W M-V—
ib'h
—
n—
\0C\
S.
•
Iv n\
wo 8
•
man dadurch
so erhält
II
\cc\
1
dem Grenzwerte
für unbegrenzt wachsendes n
d
i
'+'"'-'
- u-\-n
"i-^^)i
— p/\ <
= ^J n — p —
=
&\
I
p=
^s — l X
23, (20)
iiog (i
I
=
c^
1
1«! —
'
1
bezeichnet.
=l +
«„
^,
so hat
man lim £„
=
x)
,
=
für
n
woraus
lim
woraus das Ergebnis
folgt,
Der
gegen
KettenhrucJi
(4)
x)
(p {a,
entfließt:
konvergiert
für
unbegrenzt
tvachsendes
n
wenn x und a endlich sind, so daß a jedoch iveder
ganz ist, während x nicht so gewählt werden darf, daß
il^(ci,x),
noch negativ
<p (cc,
F^ («,
x)
=
wird.
Aus dem Kettenbruche
(4),
welchen
man Legendre^J
verdankt,
und der später in etwas anderer Form von Bessel^) wieder gefunden worden ist, kann man einen Kettenbruch für tga: herleiten.
1)
Elements de geometrie
p.
288 (11 Ausg.) Paris 1817.
—
Vgl. mein
Abhandlungen der Berliner Akademie 1824, p. 31 33.
Handbuch der Theorie der Zylinderfunktionen, p. 37; Leipzig 1904. Der dort
gegebene von Schlömilch herrührende Beweis ist nicht ganz einwandfrei.
Man vergleiche übrigens die Abhandlung von Perron: Sitzungsberichte der
Münchener Akademie Bd. 35, p. 483—504; 1907.
2)
Doppelreihen nach Pringsheim.
Kapitel XVI.
man
Setzt
man
,.
9^
...
(^'
in ganz ähnlicher
Y
'
^
woraus wegen
und somit
+
f"!
Weise ergibt
\2' ¥/
(4)
x'-
=1+
I)
x\
/3
x^
=k
Tat in (1) «
in der
anstatt x, so erhält
e^-\-e-^
+
sich
X Ix
^¥
x*
JT
und - x
x^
X
\
x^^
e^
'3T~^5!~'""/¥'
ll!
193
§ 65.
— e-^
'
2
nach einer einfachen Umformung
folgt:
indem man ix anstatt x einführt
ergibt sich,
tg^_(0;f,^,=f',^',...).
(11)
Die beiden Kettenbrüche (10) und (11) rühren von Lambert^)
her und haben in den ältesten Untersuchungen über die Natur der
Zahl % eine nicht unwichtige Rolle
daß
drücklich,
Lambert
seine
Wir bemerken
gespielt.
Kettenbrüche in
aller
aus-
Strenge^)
hergeleitet hat.
144.
Man
hat den regulären von Euler^)
herrührenden Ketten-
_
bruch
'-^ =
(0; 1,6, 10, 14, 18, 22,...)
herzuleiten.
Kapitel XYI.
Doppelreihen nach Pringsheim.
§ 65.
Konvergenz, Divergenz und Oszillation.
Aus der unendlichen Doppelfolge
(m
bilden
)
unendliche Doppelfolge {S ^^, indem wir für jedes
+
K. -
(1)
^1,0
~t~ '^2,0
+ ^1,1 + ^1,2
1
+
+ %,^ +
%,X
+
Wp,2
+
1)
Histoire de l'Academie de Berlin 1768, p.
Man vergleiche Pringsheim in
3)
p.
325—337;
p und
«*1,2
•
•
•
+
W^,,
265—322.
Sitzungsberichte der Münchener
1898.
Introductio in analysin infinitorum Bd.
Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Keihen.
I,
q
"T Wg^j
^2,1 ~r ^2,2 ~r
2)
Bd. 28,
V
H
wir eine neue
§ 381; 1748.
13
Akademie
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
194
Wächst
setzen.
ganz willkürlicher Weise sowolil
hier in
p
als q
über jede Grenze hinaus, so entsteht eine unendliche Doppelreihe;
konvergent, divergent oder oszilKerend, je nachdem die
diese heißt
Doppelfolge
Eigenschaft
{S^^,^ diese
Summe
reihe mit der
Ä=
(2)
man auch
so setzt
Konvergiert die Doppel-
besitzt.
S, ist also
1™
^
der Kürze halber
^
(3)
= 22%,r
Die einfach unendlichen Reihen
n
=
00
=
?(
»
=»
2««,. =
=o
(5)
^'o,,
+
^'i,,
+
•
•
•
+
+
«'.„
•
•
•
«
heißen
die
Zeilen-
Kolonnenreihen der Doppelreihe;
bzw.
Summen
bezeichnen wir ihre
konvergieren
o
man
Setzt
*(;„
(6)
für jedes
VI
mit
n
= Wo,« + ^^i,«-i +
+
•••
«^, «-,,
+
bzw.
s_
•••
+
falls
sie
1.
«n,o;
so heißt die Reihe
m
=
00
=
2^«
=
(7)
*^o
+
«'i
+
«^'2
+
•••+?'«'„
+
•••
«
die
(7)
Diagonalsummenreihe der vorgelegten Doppelreihe;
konvergiert, bezeichnen wir ihre Summe mit -w.
Aus
wo
WO
^
1
^p,0
I
in der letzten
^
^
1
sein
^
muß;
^'0,0
+
Uqq
=
Sqq, UpQ
zu setzen
=
Op^o
~
in ähnlicher
%,0
Hieraus ergibt sich weiter für
(10)
Reihe
der Definition (1) ergeben sich unmittelbar die Beziehungen
in der letzten g
/Q\
falls die
+
^'2,0
+
*
Weise
erhält
^'y),0
ist.
p^l
bzw.
^p-l,Of ^0,2
=
q^l
'^0,.^
~~ ^0,q-l
man
Kapitel XVI.
Doppelreihen nach Pringsheim.
und allgemein sowohl
p'^
für
als
1
q^
195
§ 65.
1
II
Konvergiert nun
unsere Doppelreihe,
ganz wie für einfach
man
erhält
so
aus (9),
unendliche Reihen, die folgende notwendige
aber keineswegs hinreichende Bedingung
lim
(12)
man
hat also speziell für
=q
p
%,,
=
0-
für die Glieder der Hauptdiagonale
einer konvergenten Doppelreihe
limM^,„
(13)
= 0.
Aus der Bemerkung § 27 anfangs auf
man
aagewandt, erhält
I.
zige
Eine Doppelreihe Jcann
Stellenseiger
Aus
II.
ivohl lionvergieren,
hzw. Kolonnenreihen
Zeilen-
ihrer
die Doppelfolge
einen
(11) erhält
man
daher auch:
dem
Setzt
1.
man
für alle
jj
bleibt.
und q
SO ist die entsprechende Doppelreihe konvergent mit der
findet aber
«...
wegen (10)
~ (-
alle
1)'
ein ein-
Grenztverte Null zustrebt, ivenn der eine Stellen-
Grenze wächst, tvährend der andere endlich
Beispiel
und für
endlichen
zu konvergieren braucht.
ziges ihrer Glieder
man
)
ohne daß eine ein-
irgend
für
Eine Doppelreihe kann wohl konvergieren, ohne daß
zeiger ohne
(/S
hier den Satz:
ih +
für
q^
1
Summe
0;
p^l
bzw.
^)' »„. = (- 1)' (i? + „tt)
anderen Elemente
+ q(l^l\
(-l\p
^
2
Wn
"0,0
Hier hat
-a+1'
man
\aP
agj
daher
lim 1^,0
und allgemein
'
1
=
lim
1^0,2^
= ^qr?
für willkürliche endliche ^ hzw.
lim H_
I
I
= —2
,
lim
1
u
i
p
= —2
.
Ganz wie in § 30 ergibt sich, daß wir uns auch
Doppelreihen mit reellen Gliedern beschränken dürfen.
13*
hier
auf
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
196
Über
§ 66.
Setzt
man
=
für q
Zeilen-
0, 1,2,
=
^P,-j
so hat
man wegen
M
n
erhält
=
=p
«
=
/(
n
lim
(4)
Ä^_
^
die (w
Setzt
+
.,
n
sein darf; aus derselben
= 0,
n
=p
=
»
=
1,2,
...,
n
W=;00
=
/i
.
.
.
=p
= 00
71
= OJ
+•+ '2
=
»i
""'2
^
=
1) ersten Zeilenreihen sämtlich konvergieren.
man
Weise
in ähnlicher
lii"
(•^)
erhält
.
= 2w„,o + 2"«,i
w
falls
.
= n - ^.-1'
für q == 0, 1,2,3,
n
und daher hat man für q
"«..
1, 2, 3,
man umgekehrt
n
= oo
2
= n,
"«,0
in der letzten Gleichung q
Formel
^.'
§ 65, (9)
= 00
2
(2)
SO
n
.,
li»»
(1)
wo
.
.
und Kolonnenreihen.
man ganz
=
^,,
'S..
entsprechende Resultate,
und somit
entfließt
der Satz:
Sind die (n
I.
+
1) ersten
Grenziverte T^ hztv. S^ endlich
bestimmt, so konvergieren auch die (n
reihen,
-\-
1) ersten Zeilen- bzw.
und
Kolonnen-
und umgekehrt.
Die Existenz und Endlichkeit sämtlicher Grenzwerte T^ bzw.
ist
S
daher identisch mit der Konvergenz aller einzelnen Zeilen- bzw.
Kolonnenreihen.
Aus §
21, I entfließt
nun der folgende Satz:
IL Eine Doppelreihe kann zwar konvergieren, ohne daß eine einzige
Zeilen- oder Kolonnenreihe mit endlichem
vergieren
Anzahl
Grenzen
braucht.
dieser
Es kann dann
aber
Stellenzeiger
immer
zu kon-
eine endliche
Reihen entweder divergieren oder zivischen unendlichen
oszillieren,
sondern
es
nniß
das
Oszillationsintervall
Zeilen- oder Kolonnenreihen von einem bestimmten
werden.
nur
n an
aller
beliebig klein
Doppelreihen nach Pringsheim.
Kapitel XVI.
Beispiel
Für
1.
die
_
9
(q
1)*® für
^
g*
_(_l)^
wird daher
die erste Zeilenreihe
-\-
Grenzen
+ a~*
1
ist
für
q^l
a±l\^
(2_
in den
den Grenzen
in
1
Doppelreihe § 65, Beispiel
^
197
§ 66.
+
1
:
(ö^
+
die
1),
oszillieren; analoges gilt
für die Kolonnenreihen.
man
Setzt
:
y
00
^"^
so hat
=
der Kürze halber
/
oo
man wegen
OB
m = oc
\
q
=
•^^^
^^f
7n
«
/
=
S
reihe oder jede einzelne Kolonnenreihe Txonvergent,
die Reihe der
summen
Zeilenreihensummen
Summe
gegen die
p
z=
iX)
p=
Aus §
21,
n
= oo\o=:oo
/
§ 27, II den Satz:
außer der Doppelreihe ZUJu^^^
Ist
III.
—
n
'^^n
p= n
q
=
g
=
auch
ist
q =^ oo
00
q
ergibt
so Jconvergiert
diejenige der Kolonnenreihen-
})ziv.
S, d. h. es
jede einzelne Zeilen-
p
z= 00
p=
=
noch die folgende Ergänzung des
sieh
Satzes III:
IV.
Ist
die Doppelreihe
UIJu^^^ mit konvergenten Zeilen- hzw.
Kolonnenreihen eigentlich divergent,
so
das gleiche für die Reihe
gilt
der Zeilenreihensummen hztv. Kolonnenreihensummen.
Aus IV und den zum
ergibt sich
Auch wenn
V.
Satze II in § 27 gemachten
und wenn sowohl
alle
Zeilen
hziv.
dieselbe
Dies
allemal uneigentlich, oder oszillieren.
die Reihen der Zeilen-
und
die der
2.
Setzt
man
^'*
man
für alle
i
für alle q bzw. alle
muß
p und
+ ip-aY'
p
so kann
und zwar
Fall sein, wenn
Jconvergiert,
divergieren,
der
Kolonnenreihensummen gegen
Werte konvergieren.
Beispiel
so hat
Summe S
nichtsdesfoweniger
betreffende Doppelreihe
schiedene
Kolonnenreihen konvergieren,
die Reihe der Zeilenreihensummen als auch diejenige der
Kolonnenreihensummen gegen
die
Bemerkungen
dann weiter:
q
ver-
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
198
lim
S^^,^
=
lim
= 00
P =00
S=
während
=: 00
q
=
00
q
=
00
p =
oo
denn die Doppelreihe
ZUJu^^,^ nicht existiert;
Beispiel 3.
hier hat
=
= lim(limÄ^^^) = 0,
lim(lim>S^J
p
S^^,^
(J
,
oszilliert.
^
/ i~ i "r
man
=
lim (limÄ^^^)
p=
q z= 00
lim (lim
1,
= 0.
8^^,^)
00
Hat man durchweg «^ ^ 0, so ist die Doppelfolge
monoton wachsende; aus den Entwicklungen des § 28
(S^^^)
eine
erhält
man
bleibt S^^^^ stets unter einer endlichen
Zahl
,^
daher:
VI.
Summe
und
^ 0,
Ist Up^^
konvergiert
so
g,
2JZ!u
Doppelreihe
Reihe der
VII.
Ist Up^^
Zeilen- bzw.
Summe
gleichfalls gegen die
^ 0,
nach
beiden anderen
145.
Es
ist
S
Zahl
hestimmfe
und jede Kolonnenreihe,
Kolonnenreihensummen konvergiert
S.
=2 00
q
=
oo
q
p = 0q = O
die Stelle der
eine
zieht jede einzelne der drei
so
p
die
gegen
Zugleich konvergiert jede Zeilen-
S.
die
und
die
sich.
q
Dies
gilt
=
oop
=
=
Gleichungen
03
p=
auch noch,
ivenn
+
oo an
tritt.
die Doppelreihe mit der
Partialsumme
ZU untersuchen und ihre einzelnen Glieder u
^
zu bestimmen.
Arndt. 1))
(F.
§ 67.
Über
über
die
Diagonalsummenreihen.
die in § 65, (7) definierte
Diagonalsummenreihe ^ii\^
gilt
der Satz:
I.
^tp
,^
^ 0,
summenreihe
so
2tv,,^
müssen die Doppelreihe ZUJu^^^ und die Diagonalentweder beide mit derselben
oder gleichzeitig beide divergieren.
1)
Grunert Archiv Bd.
11, p. 319;
1848.
Summe
konvergieren
Doppelreihen nach Pringsheim.
Kapitel XVI.
Da
u
199
§ 67.
Summe der (n + 1) ersten Glieder von 2Jtv^ keine Zahl
p -\- q^ n und nicht alle m^^, für welche p -{- q =- n
kann, da weiter die Summe der 2n -{- 1 ersten Glieder
die
für welche
,
enthalten
2w^
von
hält, so
Glieder für welche
alle
man
hat
n^l
für
+2=
^^
**
noch andere
^''^^
ent-
immer
s
=
9
;
^«'.^'^«,.^2^^.-
(1)
«
Konvergiert
Sf so
ist
S^^
,j
^
=
s
=
nun die Doppelreihe ZUJii^.^^ mit der Summe
5, und die Reihe mit positiven Gliedern 2Jw^ ist
demnach konvergent;
schreibt
man
daher die Beziehungen (1) wie
folgt
so ergibt sich unmittelbar
7/.
=
«
=
00
Konvergiert andererseits die Reihe ^w^^, und
hat
man wegen
S
ist
ihre
Summe,
so
(2)
woraus vermöge § 28,
(5) hervorgeht:
2j
=x
5
=
DO
Divergiert aber eine der Reihen EEu^^^ und
2^</'„,
so
muß
die
andere wegen (1) dieselbe Eigenschaft besitzen.
Kombiniert man nun die Sätze I und § 66, VII, so ergibt sich:
IL Ist
(3)
Up,^
^ 0,
22%,, = s, 2w^ =
s,
"^ '^^.'^ = ^^ '2 !!§'"^'^ = ^
p
die drei anderen
groß
nach
sich,
=
5
=
gleichgültig,
5
oh
S
=
I)
;j
=
endlich oder unendlich
ist.
Über das Verhalten
ihrer
Gleichungen
so zieht jede einzelne der vier
Diagonalsummenreihe
einer
2Jtv^
beliebigen Doppelreihe
UZJu
zu
beweisen wir nunmehr den folgen-
den Satz:
III.
Besitzt
die
konvergente
Doppelreihe
UZu^^^
=S
diejenige
•
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
200
daß
Eigenschaft,
hzw. Kolonnenreihen enkveder
Zeilen-
die einzelnen
konvergieren oder zivischen endlichen Grenzen oszillieren, so kann die
^w^
Diagonalsummenreihe
Im
nur enttveder konvergieren oder
dann noch
ersteren Fall ist
=
2^«^'„
oszillieren.
S; im ziveiten Falle
ist eiber
S summierhar.
die Beihe £w^
Da die Doppelreihe konvergiert, so hat man mit den gewöhnlichen Bezeichnungen für p ^ P,
^ Q immer
mit der Mittelsumme
'_/
\S,„-S\<s, \S^J<\S\ +
(4)
Aus den Voraussetzungen über
e.
die Zeilenreihen erhält
man
mittelbar für alle endlichen q
aber für jedes p, also auch für
(5)
\SpJ<gi,
wo
man
für alle endlichen
<72
Zahlen
nun g
sei
S\
-j- e,
ersetzt;
eine solche positive Zahl, die
g^^
(4),
und
(5),
g^ überschritten wird,
(6),
oc bzw. q == oo oder
Da
die
sobald
man
p
=
Partialsumme der Reihe
p
,^,
so erhält
man
woraus, indem
oo
von keiner der
dann bestehen
drei
alle drei
=
oc
2Jtv^:
-{-
q
^m
ist,
und keine andere
unmittelbar
man
m=
1, 2, 3, ...
W
=
w einführt und noch
S
anwendet, die Relation hervorgeht:
p=n
(8)
=
die
oo und q
für welche
sämtliche Glieder «^
enthält, und da wegen § 65, (9)
ist,
auch für q
höheren Grenzen durch g
man hat demnach schließlich für alle p und q also auch für
Beziehungen
=
q, also
ebenfalls eine endliche positive Zahl bedeutet.
Es
p
p
In ähnlicher Weise
bedeutet.
aber für jedes
oo
\S,J<g„
(6)
wo
Zahl
endliche positive
g^, eine
findet
jj
un-
=
p= n
2'^'''=2'^''—
jy
=
p
=
U
die Identität
1
Doppelreihen nach Pringsheim.
Kapitel XVI.
Der Ungleichung (7) wegen darf man den Satz §
anwenden, und es ergibt sich dann
d. h.
+
lim ^0
/m
die
Reihe 2Jw^
+
•
•
•
+
TT.
mit der Mittelsumme
ist
Summe W,
mit der
vergiert aher 2Jm;„
TF;
201
§ 68.
29, I für a^
=n
_ ^,
S unsummierbar. Konman wegen § 34, I
so hat
w=s.
Es
noch übrig zu zeigen, daß
bleibt uns also
die
Reihe I^w^
niemals eigentlich divergieren kann, daß also
\imw^
n
=
=
oo bzw.
-|-
lim^^;^
n
<x>
=—
oo
= 00
nicht sein kann; dies folgt unmittelbar aus § 34,
II.
Andererseits
kann aber wohl die Reihe I^w^ möglicherweise zwischen unendlichen
Grenzen oszillieren.
§ 68.
Die
illustriert,
Ergebnisse
vorhergehenden
des
Paragraphen
werden
wenn wir allgemein
(1)
= ^ + ,-^^ +
^i^..
setzen,
Beispiele.
indem
die
,
Reihe 2^v^ konvergieren
bzw. Kolonnenreihensummen finden
+i
Für
soll.
die Zeilenreihen-
wir unmittelbar die Ausdrücke
S^-v„T,^-%-.
(2)
weiter hat
man wegen
JJ
S.,.
(3)
=
(1)
=m
p=
-^.p
=
p
unsere Doppelreihe
p
l
=
n
p
=m+
n
+
1
-^%-2''- 2"'-'
p=
d. h.
m+n+
n
+
p=
1
p=
m+
1
konvergent mit derselben
ist
Summe
wie
die einfache Reihe 2Ji\.
Für das allgemeine
man
Glied
der
Diagonalsumm enreihe w^ hat
hier
(4)
*^»
=
0*
+
l)(^.-^.+i),
woraus
p=n
(5)
/p
y.^p-i
p=
folgt;
die
Reihe 2Jw^
=n
>;^«
\
-(^+iK+t
\p =
ist
daher
dann und nur dann konvergent,
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
202
wenn
wi',,
zustrebt;
=
n
für
muß
es
d. h.
oo einem endlichen und
=
\imni\
(6)
wenn
sein,
bestimmten Grenzwerte
notwendigerweise
^iv^ konvergieren
die Reihe
soll;
man
hat
daher in
diesem Falle
p=X
p
p=0
p=0
z= 00
Beispiel 1:
=
V...
1
,.
i^^,
;
(w -f 1)2
V„
(-
=
«
'
1)"
+ 2j log(w + 2)
(n
Aus (5) und [&) folgt aber unmittelbar, daß
keinem Falle eigentlich divergieren kann.
in
Es
Reihe 27w„
bleibt also nur die Möglichkeit offen, daß
= lim
l
(8)
n
ist;
die
inf (wi'J
=
lim sup {nv.^
n =
=4=
CO
=L
txi
in diesem Falle oszilliert die Reihe 2^*f„
vermöge
(5)
zwischen
den Grenzen
p=
p = CO
(X>
'S"'- ^'2''-^=
p=
(9)
iJ
Beispiel 2.
die Grenzen
v^
(9)
Beispiel 3.
oszilliert
v^^
zwischen
Beispiel 4.
reihe,
+ 1), = - 1, X = + 1 Zv, == log2
— 1 und log 2 + 1= (- 1)« (m + l)-i, = — oo, X = + co; Zw^
den Grenzen + cx) und — oo.
= (- 1)«
werden
ersetzt
alle
q durch
ZUu^^^
Ist
man
Wo,2
=
S
eine
solche konvergente Doppel-
die beiden ersten Zeilen in unserer
Summe S
hat,
Doppekeihe
+
'^h,i~
^<y>
'^q^
^°
für
^^® Zahlenfolge
Vo V^ V.,... v„...
ganz beliebig
ist,
konvergent.
so ist diese neue Doppelreihe auch mit der
Bezeichnen
Doppelreihe, so hat
Wo
(11)
ist
tCn
Diagonalsummen
die
man
= Wq +
i'o,
w'n
=
IV
^
- f„_i + i\,
auch
=n
(12)
,
Z
(10)
daher
Z
(^^
daß die Reihe 2^w^ auch konvergiert, also die
und
S
:
also hier log 2
/p=
n
2''^^\2''^)^'^
/?
=
\l}
=
n^l-,
dieser
Summe
neuen
Doppelreihen nach Pringsheim.
Kapitel XVI.
Ist
rmn
203
§ 69.
erstens die Zahlenfolge (10) konvergent mit
dem Grenz-
werte Vf so divergieren die beiden ersten Zeilenreihen unserer neuen
Doppelreihe, und die entsprechende Diagonalsummenreihe Uwn konvergiert zwar, aber mit der
Summe
Ist
Summe S
V, also
-{-
die Doppelreihe selbst; dies ist
als
die Zahlenfolge (10)
zweitens
z.
mit einer anderen
B. für Vjj= 1 der Fall.
eigentlich divergent,
so hat
die Reihe 2J'iVn dieselbe Eigenschaft.
die
Die Diagonalsummenreihe Uir'i verliert also hier tatsächlich
im Satze § 67, I ausgesprochene Eigenschaft, weil die zwei ersten
Zeilenreihen der entsprechenden Doppelreihe divergieren.
Absolut konvergente Doppelreihen.
§ 69.
Die Doppelreihe
UlJn
heißt
den absoluten Beträgen
aus
reihe
UZ!\ u
u
\
Grlieder gebildete
ihrer
\
wenn
absolut konvergent,
die
Doppel-
wir haben also hier vor aUem zu be-
konvergiert;
I
weisen,
daß die erstere Reihe konvergiert,
Eigenschaft
wenn
die
zweite diese
besitzt.
Werden die folgenden Summationen über dieselben Werte von
p und q ausgedehnt, so hat man sicher
^%,,
und somit
ist
\<^\
Mp,,
,
I
auch
WO Sp^ q die Summe der absoluten
kommenden M„^ ^ bezeichnet. Die
wenn
sicher konvergent,
dies
Beträge \u^^\ der in
S
Doppelreihe ZUJii^^^
ist-
mit 2^2^!^^! der FaU
vor-
daher
ist.
Die absolut konvergenten Doppelreihen sind den konvergenten
Doppelreihen mit positiven Gliedern sehr ähnlich; insbesondere
gilt
der Satz:
I.
vergiert
Ist
die
Doppelreihe
Reihe der Zeilen-
p=
OS
2
(1)
pz=0
3.
die
U2Ju^^^= S
absolut honvergent,
kon-
so
und Kolonnenreihe, 2
und Kolonnenreihensumme, und es ist
auch absolut
jede einzelne Zeilen-
1.
g
=
CO
CO
m
=
die
CO
2*"-'= ^'2" 2""--«'
q
=
Diagonalsummenreihe 2Jii\
q
=
p
und
=
zwar
auch
dann,
ivenn
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
204
man
u
mit den in ihr enthaltenen Gliedern
sie als eine einfache EeiJie
und
auffaßt,
auch hier
es ist
n
=
00
22"''"-2'"-'--^-
(2)
71=0
Da
ZUJ
Doi^pelreihe
die
m^
\
konvergiert,
]
so
müssen den
,^
Sätzen § 66, VI und § 67, I zufolge sämtliche im Satze I erwähnten
Reihen absolut konvergieren. Es handelt sich also nur noch darum
zu
Summe S haben
daß diese Reihen sämtlich die
zeigen,
müssen.
Die Gleichungen (1) sind aber unmittelbare Folgen des Satzes § 28,
(4)
während
werden kann.
(2) direkt aus § 67, III hergeleitet
Der Satz
I
ohne weiteres in folgender Weise um-
sich
läßt
kehren bzw. verallgemeinern:
Von den
IL
vier Gleichungen
p=
q=:()
(3)
n
p
=
lj
=
— X
^
+
{^\n
%,«-!
+
%,»-2
H
\-
%,o)
=
^
71^0
zieht jede
wenn die in der Voruenn man anstatt
einzelne die drei anderen nach sich,
aussetzung auftretende Reihe noch l^onvcrgcnt Neiht,
den entsprechenden absoluten Betrag
jedes u
Aus der
reihe
Eu
In II
m^
|
,^
einführt.
Annahme folgt nämlich wegen § QQ, VII,
konvergiert, daß also die DoppelI^H w^
letzteren
die Doppelreihe
daß
\
\
,^
|
absolut konvergiert, und II folgt dann unmittelbar aus
ist
I.
offenbar der folgende, von Caucliy^) herrührende Satz als
Spezialfall enthalten:
III.
Konvergieren
alle
Zahlen der Doppelfolge
entsprechende Doppelreihe ZZUj,^^
reihensummen eine
konvergente
konvergieren sämtliche
ist
ebenfalls
mit
der
die
Reihe
mit der
Kolonnenreihen und
Summe S
konvergent,
1)
bleiben.
Analyse algebrique
p.
541; 1821.
daß
und hat
die
ihre Zeilen-
Summe S
die Reihe
Konvergenzeigenschaften hei Vertauschung der
Beträgen erhalten
(Up^^),
Eigenschaft,
bilden,
ihrer
so
Summen
falls
die vorausgesetzten
'«^,^
mit ihren absoluten
Doppelreihen nach Pringsheim.
Kapitel XVI.
205
§ 70.
Unbedingt konvergente Doppelreihen.
§ 70.
Die konvergente Doppelreihe UZu^^^ heißt unbedingt konver-
wenn jede durch Umordnnng der Glieder daraus hervorgehende
gent,
Summe
Doppelreihe gegen dieselbe
wie die ursprüng-
konvergiert,
liche.
dann und
Dabei betrachten wir
UUv^g
Umordnung
aus UZIn.^j durch
nur
dann
die
Doppelreihe
der Glieder hervorgegangen,
wenn jedem Gliede m^^ ein ihm gleiches v^^^ entspricht und umgeEs muß also jedes Glied, das in der Doppelfolge (m ) an
,^
kehrt.
einer bestimmten endlichen Stelle erscheint, auch in der Doppelfolge
(Vj.
eine bestimmte endliche Stelle
J
Mit dieser Definition
gilt
einnehmen und umgekehrt.
der Satz:
Jede absolut konvergente Doppelreihe
I.
ist
auch unbedingt kon-
vergent.
man u
Setzt
v^.^^
und
EHu
ist
absolut konvergent,
so
man
hat
wo
==
A
und bestimmt
endlich
den \v^^\ bleibt daher
stets
Doppelreihe ZI Zl\Vj.
d.
unbedingt;
aus
^\,
dem
Satze
h.
Doppelsumme aus
und somit konvergiert die
Doppelreihe U2Jv^^ konvergiert
jede begrenzte
ist;
unter A,
die
§67,
III
ergeben sich dann
die beiden
Beziehungen
n
(1)
«
=
=
00
Jede dieser einfach unendlichen Reihen
ist
absolut konvergent,
auch wenn
man
eine
Reihen durch Umordnung der Glieder der anderen ge-
dieser
bildet
ist,
die u„
so hat
„
bzw. v^
i:Uu^^,
den Satz
als
Reihenglieder auffaßt: da die
man
(2)
Um
,
I
=
UZv^^,
umkehren zu können bemerken wir
jede unendliche Zahlenfolge
Mj, n^,
u^, u^,
..., u„,
...
zuerst,
daß
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
206
auf unendlich viele Arten
sich
ordnen
am
läßt,
eine unendliche Doppelfolge an-
als
einfachsten etwa in folgender Weise:
Die Zeile mit dem Stellenzeiger
«1, «4,
dem
diejenige mit
S
Bezeichnet nun
die
man
angehören, so hat
^9
?V
...,
««9,
•••
n aber
Stellenzeiger
Doppelfolge, welche den
heiße
Summe
aller derjenigen Glieder dieser
und den q ersten Kolonnen
ersten Zeilen
speziell
Wenn nun
lim
„=
Ä,,
oü
bzw. lim S',,^„=
— oo
oder auch
lim inf S^^^
SO
^
daß
sicher,
ist
,^
für
^
=
+ lim
sup
=
oo, q
>S; „,
oc keinen bestimmten Grenz-
wert haben kann, und daß die aus unserer Zahlenfolge in der oben
angegebenen Weise gebildete Doppelreihe unter keinen Umständen
konvergieren kann.
Nach
läßt
sich
kann
Vorbemerkung beweisen wir nunmehr den
dieser
Eine
II.
Hilfssatz:
lionvergente Doppelreihe, tvelche nicht absolut konvergiert,
durch
stets
Umordmmg
der Glieder divergent machen;
sie
also leinesfalls unbedingt honi-crgieren.
Ist
zu betrachtende Doppelreihe ZlZlu
die
,
so
muß
die ent-
sprechende Diagonalsummenreihe
^Kn+«'l,.-l +
(4)
sowohl positive
und
halten,
Glieder
Reihe
in (4)
+
Reihe der positiven und diejenige der negativen
müssen beide divergieren; denn sonst wäre ja
entweder absolut konvergent
(4)
W„,o)
negative Glieder in unbegrenzter Anzahl ent-
als
die
---
Die positiven Glieder in (4) werden
«1, a^, «3,
.
...,
oder eigentlich
als
a„,
...
(A)
-K,
•••
_
die negativen als
-K
bezeichnet.
-h^
-K
•••,
(B)
die
divergent.
Doppelreihen nach Pringsheim.
Kapitel XVI.
Nun
mau
entnelime
Summe
^
der Reihe (A)
so
viele
207
§ 70.
positive
Glieder,
und füge nötigenfalls noch so viele
ihre Anzahl eine Quadratzahl n^
wird.
Ordnet man dann diese n-^ Glieder nach dem oben angegebenen Verfahren zu einem quadratischen Schema Q^, so hat man
daß
ihre
ausfällt
1
daß
hinzu,
Glieder
ebensolche
'S«.,«.^!.
(5)
Jetzt füge
man
Summe Ä„j, „^
Summe aller so
so viele negative Glieder
zu der
aus der Reihe (B), daß die
erhaltenen Zahlen
^—
1
wird, und nötigenfalls weitere negative Glieder, bis die Anzahl sämt-
mitgenommenen Glieder wiederum eine Quadratzahl n^ ^
Durch Verlängerung der einzelnen Zeilen und Kolonnen in Q^ erhält man dadurch ein neues quadratisches Schema
O2 mit n^ Gliedern, und es ist
licher
(«1 +
1)^ wird.
/S„,, n,
(6)
In analoger Weise bildet
positiven Gliedern ein neues
^-
man
1.
aus
(>2
durch Hinzufügung von
Schema Q^ mit n^ Gliedern und
so daß
^«,,«3^2
(7)
wird, alsdann durch
^4 mit
n^
Hiuzufügung von negativen Gliedern das Schema
Gliedern,
und
so daß
^'„,,„,^-2
(8)
wird.
Durch
dies
Verfahren erhält
man
das
Schema
Q^p_-^
mit w\
j
Gliedern, so daß
und darnach Q^
wird,
mit
iv'^
Gliedern, so daß
s,,„.,<-p
(10)
ist.
Bei unbegrenzter Fortsetzung dieser Methode entsteht also aus
den Gliedern
— oü
von 2^27«^,^ eine zwischen den Grenzen + 00
und damit ist II bewiesen.
und
oszillierende Doppelreihe,
man nun
Aus
II findet
III.
Jede unbedingt Tionvergente Doppelreihe
weiter:
ist
auch absolut
Jcon-
Reihen mit konstanten Gliedern.
Zweiter Teil.
208
vergent, so
daß
die Begriffe ahsolid
und unbedingt
konvergente Doppel-
reihen identisch sind.
Als Beispiele bedingt konvergenter Doppelreihen erwähnen wir
solche konvergente Doppelreihen, bei denen irgend eine Zeilen- oder
Kolonnenreihe divergiert
oder bei denen
die Diagonalsumnaenreihe
divergiert.
Wir erwähnen noch, daß Pringsheim^) auch Konvergenzkriterien
samkeit
für Doppelreihen
auf
London^)
die
Arbeiten
angegeben
über
hat,
und
Doppelreihen
leiten die
von
und
— 152;
1897.
hin.
2)
Sitzungsberichte der Münchener Akademie Bd. 27, p. 141
Mathematische Annalen Bd. 24, p. 154—171; 1884.
3)
Ebenda Bd.
1)
Aufmerk-
Stolz^)
53, p.
359—370;
1900.
DRITTER
TEIL.
REIHEN
MIT VERÄNDERLICHEN GLIEDERN.
Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Keiheu.
14
,
Kapitel XYII.
Zahleninengen.
§ 71.
Äquivalenz und Häufungsstellen.
Eine Sammlung
wenn wir
scheiden,
ob
1.
theoretisches,
vorgelegte Zahl
eine
Beispiel
ist
Zahlen bildet eine
reeller
jedenfalls
ein,
der
reelle
Zahlenmenge^)
um
Mittel besitzen,
zu ent-
Menge angehört oder
Eine willkürliche Zahlenfolge
a^
a^
a.^
...
nicht.
a^ ...
eine Zahlenmenge.
Beispiel 2.
Sämtliche
rationale
und
zwischen
1
gelegene
Zahlen bilden eine Zahlenmenge.
Beispiel
3.
Die
Sammlung
aller
und
zwischen
1
gelegenen
Zahlen bildet eine Zahlenmenge.
Wenn
die Definition der
Zahlen einer Menge auch so beschaffen
dasselbe Element der
ist,
daß
ist
dennoch jedes
sie
dieser
Menge mehrmals geben kann,
Elemente
ein
und
nur
einmal
so
mitzu-
rechnen.
Beispiel 4.
Die Menge
aller
rationalen Zahlen wird durch die
endlichen ganzen Zahlen und die irreduziblen Brüche, deren Nenner
nicht Null
ist,
vollständig erschöpft.
Eine Zahlenmenge heißt
zahl von Elementen enthält;
endlich;
wenn sie nur eine endliche Anim anderen Falle heißt die Menge unendlicli,
haben wir ausschließlich Mengen der letzten Gattung
hier
zu betrachten.
Eine Menge heißt abgeschlossen, wenn
es möglich ist, zwei endund B,
B, anzugeben, so daß kein Element der
Menge größer als Ä und keins kleiner als B ist; sonst heißt die Menge
liche Zahlen
nicht
-
A>
A
abgeschlossen.
Beispiel
5.
Die rationalen zwischen
und
1
gelegenen Zahlen
Der Grund zur Mengenlehre ist von G. Cantor gelegt worden; von ihm
in den folgenden Paragraphen entwickelten Sätze außer
vielen anderen her; nur über die fundamentalsten habe ich die Quellenzitate
1)
rühren
sämtliche
hinzugefügt.
14*
Dritter Teil.
212
bilden
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
sämtliche
abgeschlossene,
eine
Zahlen aber eine
rationale
nicht-abgeschlossene Zahlenmenge.
Jede abgeschlossene endliche Menge hat sowohl ein größtes als
ein kleinstes Element; dies findet im allgemeinen nicht bei unend-
Mengen
lichen
Beispiel
Zalilen
statt.
und
Die aus den zwischen
6.
Menge
gebildete
hat weder
ein
1
gelegenen rationalen
noch ein größtes
kleinstes
Element.
Jede
G
als eine untere
dingungen Geniige
Für
1.
und
g,
es existieren
h.
d.
zwei end-
den beiden folgenden Be-
die
leisten:
Element a der Menge hat
jedes
man
a<G, a>g.
(1)
Die Menge enthält mindestens ein Element a,
2.
a
(2)
ist,
Grenze g;
G
und bestimmte Zahlen
liche
aber den Satz:
unendliche Zahlenmenge hat sowohl eine
abgeschlossene
obere Grenze
man
in § 13 beweist
Ganz wie
I.
und außerdem mindestens
>G—£
ein
a"
(3)
ist,
indem
eine
s
daß
so
Element
<g +
a", so
daß
s
vorgegebene willkürlich
Größe
Ideine positive
be-
deutet.
G
Ist
G
bzw. g ein Element der Menge, so heißt
bzw. g Maxi-
mal- oder MaximaUvert der Menge.
Wenn
aber
als
so,
alle
Beispiel
obere Grenze
negativen
—
man
Elemente
diese
obere Grenze
Grenze
Elemente der Menge wohl sämtlich endlich sind,
keine Zahl angeben kann, die größer bzw. kleiner
die
daß
+
so
ist,
sagt
man,
7.
+
Die Menge
oo
die
daß
— oo
oo bzw. die untere Grenze
diese
aller positiven rationalen
untere Grenze
rationalen Zahlen
die
0,
Menge
die
hat.
während
obere Grenze
Zahlen hat die
die
Menge
und
die
aller
untere
oo hat.
Die Zahl w heißt Häufungsstelle einer Menge, wenn unendlich
Elemente der Menge zwischen (o -f £ und a — e liegen, wie
klein die positive Größe s auch angenommen wird; ganz wie in § 12
viele
beweisen wir den Satz:
IL
Jede unendliche abgeschlossene Zahlenmenge
hat mindestens
eine Häufungsstelle.
Die
aus
Zahlenmenge
den
Ä
Häufungsstellen einer Menge
heißt die aus
A
abgeleitete
A
Menge.
gebildete
neue
Die Menge
A
Zahlenmengen.
Kapitel XYil.
und
dicht zwischen a
überall
liegt
Ä' sämtliche Zahlen x,
wenn
ß,
Menge
ihre abgeleitete
der Bedingung
die
2 13
§ 71.
(i
S ^ß
genügen,
^
enthält.
Beispiel
Die Menge
8.
Zahlen
tionalen
liegt
und
zwischen
aller
Menge
zwischen
zwischen
dicht
gelegenen Zahlen
1
ist
und 1 gelegenen raund 1; die Menge
mit ihrer abgeleiteten
identisch.
Ganz wie
in § 13 finden wir
nun weiter den
Satz:
Ist die obere bzw. untere Grenze einer abgeschlossenen
III.
nicht selbst ein
Element
dieser
Menge,
G
so ist
Menge
bzw. g Häufimgsstelle
Menge.
dieser
Wie
in §
IV.
Die zu
14 beweist
immer
hat
die so
bestimmten Zahlen
1.
hat die
L
folgenden Satz:
Menge
A
gehörige abgeleitete
sowohl ein größtes als ein kleinstes
L
inferior der ursprünglichen
Die Zahlen
man noch den
abgeschlossenen
einer
Menge
so
aller
überall
und
l
und l heißen
Menge Ä.
limes
Element
superior
L und
l;
und limes
genügen daher den folgenden Bedingungen:
Größe 6 auch angenommen wird, so
Wie Mein
Menge A dennoch nur
die positive
eine
endliche Zahl
daß
a> L
-{-
6,
a
<l —
von Elementen
a,
ö
ist.
2.
Andererseits sind aber die
Ungleichungen
a> L — d, a<l+
von unendlich vielen Elementen der Menge
tive
d
befriedigt, ivie
Mein
die posi-
Größe d auch angenommen wird.
Weiter findet man
Menge keinen Maximalbziv. Minimalwert, so sind die obere Grenze und limes superior bzw.
untere Grenze und limes inferior dieser Menge identisch.
Zwei Zahlenmengen A und JB heißen äquivalent, wenn jedem
Element in A ein ganz bestimmtes Element in B entspricht und
umgekehrt. Enthalten die Mengen mehr als ein einziges Element,
kann eine solche Zusammengehörigkeit stets in mehr als einer Weise
V.
Hat
eine
abgeschlossene unendliche
hervorgebracht werden.
Die Äquivalenz zwischen
bol
A r^ B
A
und
B
wird kurz durch das Sym-
bezeichnet.
Aus der Definition ergibt
VI. Hat matiA'^C und
sich unmittelbar der Satz:
B^C,
so ist
auchAr^B.
214
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
Dritter Teil.
Zwei
wenn
Zahlenmengen sind dann und nur dann äquivalent,
Elemente enthalten.
endliche
sie gleich
viele
Abzählbare Mengen.
§ 72.
Eine Menge heißt abmhlhar, wenn
ganzen Zahlen äquivalent
tiven
eine Zahlenfolge geordnet
Zwei
I.
A
ihre
Ä
in
B
enthalten
sind-,
als
Menge B, wenn sämt-
mit dieser Definition hat
Satz:
Jede unendliche Teilmenge einer abzahlbaren
IL
Elemente
werden können-, man hat daher den Satz:
heißt Teilmenge der anderen
Elemente von
man den
mit der Menge der posi-
wenn
uiWiürlicJie abzahlbare Giengen sind stets äquivalent
Die Menge
liche
sie
also
ist,
Menge
selbst
ist
abzahlbar.
Durchlaufen wir die gegebene Menge
(1)
%7
^2>
Ö^l?
^4? •••} ^nf •••}
und bezeichnen wir mit ö^^=&i; %^ = \}
Element der Menge
erste, zweite
m}"
.
.
.
.
.
.
(2)
&2,
&i,
I
Ist
so hat
und
man
&3,
...,
man nun
II erhält
A
^^^
--•
welches der Teil-
...,
&,„,
Menge.
also eine abzählbare
III.
(1),
% = ^w
so wird die Teilmenge
menge angehört,
Aus
•••;
weiter unmittelbar den Satz:
eine unendliche Teilmenge der abzählbaren
stets
Menge B,
A^^B.
B der zwei Mengen A und B ist
diejenige aus den Elementen in A und den davon verschiedenen
Elementen in B: die Vereinigungsmenge der drei Mengen A, B und C
Die Vereinigungsmenge
A
-\-
kann daher durch
{A
(3)
-{-
definiert werden,
+ C =A +
B)
und das
(B
-h
C)
-=A
+B+ C
assoziative Prinzip ist somit für diese
bolische Addition anwendbar.
mau nun auch ohne Mühe
Unter Zuhilfenahme von
die
(3)
sym-
bildet
Vereinigungsmenge einer willkür-
lichen Anzahl von gegebenen Mengen.
Beispiel
B
die
1.
^
Ist
die
Menge aUer
positiven rationalen Zahlen,
positiven Quadratwurzeln der Elemente in A,
Menge aller
Menge aller positiven Biquadratwurzeln
die
wird
A
-\-
B
iiTationalen
gebildet,
Elemente
in
indem man
B
zu
hinzufügt, und
der Elemente in A,
den Elementen in
^ + 5 -f C
A
C
so
die
wird erhalten,
.
Zahlenmengen.
Kapitel XVII.
wenn man zu
Ä
-\-
B
215
§ 72, 73.
Biquadratwurzeln von nicht-Quadratzahlen
die
hinzufügt.
Beispiel 2.
Ist
Ä
eine
Teilmenge von B, so hat
man
B = B.
Ä-\-
Über Vereinigungsmengen haben wir den folgenden Satz von
G. Cantor^):
Sind die einzelnen Elemente der unendlichen Folge
IV.
A^, Ä^, A^,
(4)
abzahlbare Mengen,
Es
so
.
auch
abzählbar.
seien in der Tat
(5)
^p,l
sämtliche Elemente
in
A
^^,2
,
•••>
^p,i
^p,qJ
nicht
die
gehenden Mengen A^, A^, A^,
Menge
.
Vereinigungsmenge
ihre
ist
A^,
...,
...,
•••
irgendeiner
in
A
^
entweder endlich oder abzählbar; für
(5)
der
vorher-
vorkommen, dann
p=
1
ist
die
eine
ist (5)
unendliche Menge.
Die Elemente der aus (5) und den analogen Mengen gebildeten
Menge werden nun
(")
^1,15
z.
^1,2? '^2,17
geordnet, so daß
man
B. in folgender
^2,27
'^IjS?
%,15 ^1,47
in jeder einzelnen
mit derselben Indexsumme
a
Weise
p
-\-
^^2,3'
Gruppe sämtliche Elemente
q vereinigt.
Bezeichnen wir demnach die Elemente (6)
Mj^,
(7)
so
ist
sicher,
<n
~~
ist,
%,
...,
Uj.,
daß die endliche aus den
Menge
gebildete
u^,
enthält,
sämtliche
•••
%,27 ^4,l5
als
...,
N
Elemente a^^ von
ersten
(6),
Elemente
in
für welche
p
(7)
-\-
q
wenn
^^'^+^^
Ar>
—
2
angenommen wird.
Menge (7) ist eine
Damit
ist
unser Satz aber bewiesen;
denn
die
Zahlenfolge, also abzählbar.
§ 73.
Das Liniekontinuum.
Diejenige Zahlenmenge, deren Elemente sämtliche zwischen a
und
b gelegene reelle Zahlen sind, heißt das zwischen a
und
b ge-
legene Liniekontinuum und wird durch das Symbol
[a, &]
Man
oder das Intervall
sagt,
daß die Zahl x das Liniekontinuum
durchläuft,
[a, 6]
[a, &]
wenn x sämtlichen Elementen dieses Kontinuums
Es muß dann in jedem einzelnen Falle
gleichgesetzt werden darf.
1)
bezeichnet.
Journal für Mathematik Bd. 84,
p.
243; 1877.
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
Dritter Teil.
216
werden
srerecbnet
ob
werden,
ano-eo-eben
Enden a und
die
Zivei wülkürliche Kontinuen sind
I.
des
h
Intervalles
mit-
sollen oder nicht.
Setzen wir zuerst die Zahlen
und setzen wir noch
,.
y
a,
immer äquivalent.
und d als endlich voraus,
c
h,
— ex — a
und y durch diese Gleichung eindeutig verbunden, und
wenn x das Kontinuum [a, h] durchläuft, muß y gleichzeitig das
Kontinuum [c, d^ durchlaufen und umgekehrt; man hat daher
so
sind X
la,h]^[c,d]-
(2)
man noch
setzt
in (1) c
= 0,
d
=
[a,h]^
(3)
Um
nun auch
die
[0, 1]
bemerken
xy
weiter
=
1,
so erhält
man
[0,1].
Äquivalenz
(4)
herzuleiten,
1,
wir,
~ [0,
daß j-,
1
so erhalten wir auch
oo]
~
0,
[0, 2] ist;
setzen wir dann
- ~[2, oo], und damit
ist
(4) bewiesen.
Die Kontinuen sind Zablenmengen ganz anderer Natur als die
abzählbaren Mengen; man hat in der Tat den folgenden fundamentalen Satz
von G. Cantor^):
Bas Kontinuum
IL
ist
nicht dbmhTbar.
beiden Formeln (3) und (4) zufolge können wir uns darauf
beschränken das Kontinuum [0, 1] zu betrachten. Dem Satze § 7, I
Den
kann nun jedes einzelne Element des soeben genannten
Kontinuums in eindeutiger Weise als ein unendlicher Dezimalbruch
zufolge
0,\\\\---,
(5)
wo
die Ziffern von
Null
einem bestimmten Platze an nicht sämtlich gleich
sind, dargestellt werden.
Nach
dieseh Vorbereitungen wollen wir
schen Satz antithetisch beweisen.
Kontinuum
[0,
1]
abzahlbar,
so
nunmehr den Cantor-
Denken wir uns in der Tat das
können seine Elemente als eine
Zahlenfolge
m^, m^, mg,
(6)
1)
Bd. 15,
Journal fär Mathematik, Bd. 77,
p. 5;
1879.
,
p.
m^,
260; 1873. Mathematische Annalen,
Kapitel
XVn.
wo nach
geordnet werden,
Zahlenmengen.
=
(5), für j)
217
§ 74.
1, 2, 3,
•
•
•
ist.
Wir bestimmen demnach
a
(8)
=
Cl>
dem Kontinuura
sicher
die
0,
p
für jedes
ttj
«2 «2
[0,
eine Zahl a
,
nur
so daß
Dezimalbrüche
die unendlich vielen
ist;
=)= ^T,,p
1]
^p
•
•
•
•
;
angehören, sind daher nicht in
denn man hat für jedes p, co =^ m
weil
die })eiden Dezimalbrüche (o und m^ ihre p*° Ziffer verschieden haben.
Dies ist aber mit unserer Annahme, daß die Zahlenfolge (6) sämtder Folge (6) zu finden;
,
Elemente unseres Kontinuums enthalten
Das Kontinuum ist demnach nicht abzälbar.
liche
man
Diesen eleganten Beweis verdankt
Es
G. Cantor^).
daß das Kontinuum
auf der Hand,
liegt
im Widerspruch.
sollte,
begrenzt viele abzählbare Teilmengen, nämlich
z.
stets
[a, &]
un-
B. alle aus den zwischen
a und b gelegenen rationalen Zahlen gebildeten unendlichen Mengen,
enthalten muß.
Um
die
Natur des Kontinuums
noch
in
helleres Licht zu stellen
fügen wir den folgenden Satz von G. Cantor^) hinzu:
N
Menge
K
Wird aus dem Kontinuum
III.
ausgenommen, so
eine
aus
diejenige
ist
ahmhlhare
willkürliche
den
in
K
Menge K^ mit dem Kontinuum
hleihenden Elementen gehildete
zurüch-
K
selbst
äquivalent.
K = K^
Da
sein;
nun N^
so
-\-
N
kann
so
ist,
weder abzählbar noch endlich
K^^
denn dann müßte das Kontinuum
eine
man
hat
N^^ N
-]-
K=
N^
(N
also ist
Beispiel.
-\-
ist
mit
Man
sagt,
und V das Areal
1)
daß
wenn
die
A
Jahresbericht
Menge
K^- nun
+
,
auch abzählbar
ist
aller
zwischen
aber
und
[0, 1]
N^
Ist
sein.
-\-
K^
ist,
K^r^K^ und
1
gelegenen
irra-
äquivalent.
Das Arealkontinuum.
(u, v) ein Arealkontinuum A
Punkte mit den rechtwinkligen Koordinaten u
in der wv-Ebene voUständio- ausfüllen; die Be-
das Zahlenpaar
der
deutschen
Mathematiker -Vereinigung,
p. 76; 1892.
2)
K^
daß
=
K ^^ K^.
dem Kontinuum
§ 74.
durchläuft,
N^)
auch
Die Menge
tionalen Zahlen
K
abzählbare
solche
Journal für Mathematik, Bd. 84, p.
2.j4;
1877.
Bd.
1,
.
218
Dritter Teil.
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
ffrenzunffslinien des Areals
Ä
auch die Grenzen des Areal-
heißen
kontinuums.
Über diese Kontinuen gilt der folgende Satz von G. Cantor^):
Ein willkürlklies Arealliontinuum und ein willkürliches LinieTtontinuum sind immer äquivalent.
Dem Satze § 73, I zufolge können wir uns offenbar darauf be1.
schränken,
Arealkontinuum
dasjenige
zu
betrachten,
das
wir
er-
wenn u und v jedes für sich das Liniekontinuum [0, 1]
durchlaufen. Es liegt dann auf der Hand, daß die aus den dadurch gebildeten Zahlenpaaren {u, 0) und (0, v) gebildeten Zahlenmengen mit
dem Liniekontinuum [— 2,0] äquivalent sein müssen. Es bleibt
ims daher nun übrig zu beweisen, daß das vom Zahlenpaare (u, v)
für
< M ^ 1 und < v ^ 1 gebildete Arealkontinuum mit dem
halten,
von der Zahl
x,
< ^1
indem
vorausgesetzt
a;
Liniekontinuum äquivalent
wird,
gebildeten
ist.
Zu diesem Zwecke entwickeln wir
die
drei
Zahlen
u, v
und
t
deren Ziffern von einem bestimmten
in unendliche Dezimalbrüche,
Platze ab nicht sämtlich gleich Null sind; wir setzen
[m
,
^
^
1^
wo a und
= 0,
= 0,
«lag^s ••• «n&,fc,&3
•
•
K---,
diejenigen einzelnen Ziffern bezeichnen, die weder selbst
&,
Null sind noch einer Ziffer
NuU
Dezimalbrüchen
mehrere
Null vor, so
eine
oder
Kommen
nachfolgen.
nacheinander
der nachfolgenden von
sollen diese Ziffern Null mit
Null verschiedenen Ziffer ein a
oder h
aber in den
folgende Ziffern
bilden.
Ein eindeutiges Zusammengehören des Zahlenpaares
[u, v)
und
der Zahl x kann nun dadurch erhalten werden, daß die Zahl
X
(2)
dem Zahlenpaare
letzten Falle der
Beispiel
=
(1)
•
•
•
,
a„&
«
II
(u, v)
Der Zahl
V
auch im
=
=
=
0,2033034032
entspricht die Zahl x
entspricht das durch
x = 0,301301
0,010101
•
•
•
•
•
man
Ebenda.
Schön flies im Jahresbericht
•
J.
•
.
•
•
bestimmte Zahlenpaar
•
.
.
•
1)
1900.
•
(2) ganz wie (1) aufzufassen ist.
Demjenigen aus ii
•, v
0,030303
0,234234
2)
8, p. 23,
•
und umgekehrt, indem
entspricht
Diesen Beweis verdankt
Bd.
•
=
1.
Beispiel 2.
= 0,333
a^h^a^h^a^h^
Dezimalbruch
gebildeten Zahlenpaare
ti
0,
(h, v).
König").
der deutschen Mathematiker -Vereinigung,
Zahlenmengen.
Kapitel XVII.
219
§ 74.
Unser Arealkontinuum ist also dem Liniekontinuum [—2, 1]
auch dem Liniekontinuum [0, 1] äquivalent. Es ist demnach möglich eine ein-eindeutige Verbindung zwischen den Punkten
und
folglich
dem Perimeter
im Innern oder auf
und den Punkten,
der Länge 1
einer geradlinigen Strecke mit
die
eines Quadrates mit der Seite 1
liegen, anzugeben.
x =- u -\- iv bildet eine komplexe Zahlenmenge, wenn die Komponenten u und v jede für sich eine gewöhnliche Zahlenmenge bilden; diese komplexe Menge ist dann und nur
Die komplexe Zahl
dann
wenn
endlich,
die beiden entsprechenden
reellen
Mengen
diese
Eigenschaft haben.
dann und
gebildeten gewöhn-
Die aus der komplexen Zahl x gebildete Menge
nur dann abgescMossen, wenn die aus u und v
Mengen
lichen reellen
=a
Die Zahl a
gebildeten
-\-
ist
es sind.
iß heißt eine Häufungsstelle der aus x
Menge A, wenn unendlich
viel
= n-\-iv
A
Elemente x der Menge
der Bedingung
—
CO
genügen, wie klein
auch
<£
rr
I
I
positive
die
Größe
angenommen
e
wird.
Ganz wie in § 18 beweisen wir hier den Satz:
Die Zahl co = a -\- iß ist dann und nur dann Häufungsstelle
I.
der aus x = u + iv gebildeten lomplexen Zahlenmenge X, ivenn a oder ß
Häufungsstellen der aus den entsprechenden Komponenten u und v gel)ildeten reellen Mengen U und V sind.
Aus § 71, II ergibt sich dann unmittelbar der ähnliche Satz:
II.
Eine
unendliche
komplexe
abgeschlossene
Zahlenmenge hat
mindestens eine Häufungsstelle.
Beispiel
Ist die
1.
bestehend, und
n Zahlen «j
Menge X.
Beispiel
die
+
ist
il), a.^
2.
U
Menge
Ist
-\-
ih,
•
•
+
a^
Sind die beiden Mengen
Menge
nuum K,
146.
X
der
Menge
V, so sind die
sämtlich Häufungsstellen
ü
reelle
und
der
Häufungsstelle.
V abzählbar,
Durchläuft
dieselbe Eigenschaft.
so sagen wir, daß
Welches
ih
Null eine Häufungsstelle der Menge V, so hat
komplexe Zahlenraenge eine
plexe
endlich, aus den Zahlen a^«., •••a,^
h eine Häufungsstelle
Zahlenpaar
x
=u
(tt,
-\-
v)
iv ebenfalls
entspricht
gegebenen Verbindung der Zahl
dem Zahlenpaare
{-, ^^)?
ä;
=
so
hat
{u, v)
K
bei
die
kom-
ein Konti-
durchläuft.
der
oben
an-
4:11, und welche Zahl
220
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
Dritter Teil.
147.
Es
ist
bindung
daß
beweisen,
zu
oben angegebenen Ver-
der
bei
Zahlen x solchen Zahlenpaaren
die rationalen
(m, v)
entsprechen, für welche sowohl u als v rational sind.
148. Bezeichnen die einzelnen Elemente
unendlichen abzahl-
der
baren Folge
; ^«
^\i ^2' ^3'
gewöhnliche Liniekontinuen, so
149.
dem Linienkontinuum [0, 1]
Aus der Zahlenfolge a^a.^a^
mit unendlich
daß
äquivalent
(u,
(G.
•
wird
•
v)
Kontinuum
ein
wie
das
gebildet.
Es
ganz
Arealkonist
zu be-
dem Liniekontinuum
Kontinuum
dies
ist.
o^
•
tinuum aus dem Zahlenpaare
weisen,
Vereinigungsmenge
äquivalent.
•
Dimensionen,
viel
ihre
ist
[0,
1]
Cantor^).)
Kapitel XYIII.
Funktionen.
§ 75.
Der Funktionsbegriff.
FimMionen einer reellen Veränderlichen. Wenn die reelle
solcher Weise von der anderen reellen Zahl x abhängt,
Beeile
1.
Zahl y in
daß man ein, jedenfalls theoretisches,
stimmen,
wenn x
aufgegeben wird,
der reellen Veränderlichen
X]
so
eine
diese Abhängigkeit
um
reelle
y zu beFunktion
wird
allgemein
Mittel besitzt
heißt y
durch eine Gleichung von der Form
y-m
(1)
ausgedrückt: y heißt hier die abhängige, x die unabhängige Variabele,
Da man
imstande sein
soll
y zu bestimmen, wenn x aufgegeben
x endlicli angenommen
werden müssen; wenn dies nicht der Fall ist, so müssen besondere
Definitionen durch Grenzübergänge hinzugefügt werden.
Beispiel 1.
Die ganze rationale Funktion n^''^ Grades
wird, so liegt auf der Hand, daß sowohl y als
y
(2)
wo
ist
= a^x" +
a^x"-^
V a^x''-^
-\
-\
[-
a^_^x
+
a„,
von x unabhängig sind,
für jeden endlichen Wert von x eine Funktion dieser Grüße.
die reellen Koeffizienten
1)
a
also sämtlich
Journal für Mathematik, Bd. 84,
p.
256; 187 7
Funktionen.
Kapitel XVIIl.
Beispiel
221
§ 75.
Die gebrochene rationale Funktion
2.
Funktion für jeden endlichen Wert von x definiert, die nur
Nenner
den Wert Null nicht geben; wird zwar der Nenner
dem
ist
als
Null, der Zähler aber nicht, so folgt das Verhalten unserer Funktion
unmittelbar aus der Definition von oo.
Beispiel
reelle
x
Die Funktionen
3.
Beispiel 4.
X eine
positive
e^,
und
cos x
sin
x sind für endliche
Funktionen dieser Variabelen.
reelle
Der natürliche Logarithmus log x
reelle Funktion von x.
Bei diesem Beispiele
das Verhältnis
ist
so
für
ist
endliche
daß
einfach,
y für
kommenden Werte von x nach demselben Ge-
sämtliche in Betracht
So einfach ist die Sache im allgemeinen
müssen uns vielmehr denken, daß y nach verschiedenen Gesetzen zu bilden ist für jeden einzelnen Wert von x.
bestimmen
setze zu
ist.
natürlich nicht; wir
Beispiel 5. y
für irrationale
= C3{x),
wo
Werte von
C3(x)
x,
= -\-l
für rationale aber «(a;)
eine reelle Funktion
ist
Die soeben betrachteten speziellen
wenn x
definiert,
x.
Funktionen sind
ein gewisses Intervall durchläuft
im allgemeinen auch nicht der Fall.
z. B. häufig Funktionen vor, die nur
von
;
sämtlich
dies ist natürlich
In der Zahlentheorie
für ganze
=—1
Werte
kommen
der Variabelu
definiert sind.
Beispiel
ist,
daß
ist,
aber
Der
6.
=
=+
/i(w)
|u-(w)
Mob ins sehe ^)
ist,
1;
wenn n durch
je nachdem n
Faktor
ein
Reelle
FunMionen zweier
der
so
definiert
Produkt einer geraden oder
ungeraden Anzahl verschiedener Primzahlen
2.
ii'{vi),
ein Quadrat größer als 1 teilbar
reeller
ist.
Veränderlichen.
Wenn
die
reeUe Zahl y in solcher Weise von dem Zahlenpaar {u,v) abhängt,
daß man y destimmen kann, wenn sowohl u als v aufgegeben sind,
so heißt
und
y
eine
reelle
Funktion der zwei reellen Veränderlichen u
V oder des Zahlenpaares (u, v);
man
setzt in
diesem Falle
y==cp{u,v).
(4)
Ganz dieselben Bemerkungen über nicht endliche Werte gelten
natürlich ungeändert hier.
Beispiel
riabein u
1)
Die rationalen Funktionen der beiden reellen Va-
7.
und
V.
Journal für Mathematik, Bd.
9, p.
105 fF.; 1832.
d
Funktionen
3.
X
=
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
Dritter Teil.
222
u
-\-
liomplexen
einer
und bezeichnen
iv,
Zahlenpaares {u,v), so heißt die
y
(5)
=
+
cp(ii,v)
it{u,v)
=u
komplexen Variabein x
eine Funktion der
man
Setzt
Veränderlichen.
und ijj{u,v) reelle Funktionen des
komplexe Zahl
(p(u,v)
-\-
iv,
und wir setzen
auch hier kürzer
y-fi^)-
(6)
Verschwindet die Funktion t(;u,v) mit
v,
also
ist
^/^(m,
0)
= 0,
komplexen Variabelen x.
Die Funktionen e^, cosa;, sina; und die rationalen
und (3), wo die Koeffizienten a^ und &,^ sämtlich
so heißt y eine reelle Funktion der
Beispiel
Funktionen
8.
(2)
reell sind, sind reelle
Beispiel
reell,
so
Funktionen der komplexen Variabelen
Sind
9.
sind
Funktionen von
Koeffizienten
die
a^
und
sämtlich
nicht
h^
Funktionen (2) und
rationalen
die
x.
nicht reelle
(3)
x.
Beispiel 10.
Der allgemeine Logarithmus Logx
eine nicht
ist
Funktion von x.
Jede der acht ersten der oben betrachteten speziellen Funktionen hat diejenige Eigenschaft, daß nur ein einziger Funktionenwert
reelle
jedem einzelnen der möglichen Werte von x entspricht.
Funktionen heißen eindeutig.
Beispiel 11. Ist f{x) eine eindeutige, so
X
y
ist
Solche
= Vf(x)
eine
in
»2-deutige Funktion.
Beispiel 12.
Der allgemeine Logarithmus Log x
endlich vieldeutige Funktion von
150. Es
sin^
ist
X
Summe
diejenige durch die
4- sin-
x cos^ x
definierte reelle
+
eine
un-
sin^
x
cos'^
x
+
geometrischen Reihe
der
sin^
x cos^ x
-\-
•
•
Funktion von x zu untersuchen.
und
151. Die Funktionen f{x)
(p{x) sind in solcher
=3 +2
x<l und f{x) = 6 — 5:r
der Gleichung f\x) = cp{x)
daß immer
ist
*'.
9 (o;)
a;
152. Die Funktionen f{x)
und
ist,
während
für
rc^l
Weise
f{x) =
ist;
man
2
ic
definiert,
—
hat
1
für
x aus
zu bestimmen.
(p{x) sind so definiert,
daß immer
Q
= + y 4:X + 1
{x) = 4a; — 7füra7^- und
währen
(x) =
und
+ 1 für ^ - zu setzen ist; man hat x aus
der Gleichung f{x) = (fix) zu bestimmen.
ist,
f{x)
9)
ä;
(p
ä;
Kapitel XVin.
Funktionen.
225
§ 76.
Endliche reelle Funktionen. Satz von "Weierstraß.
§ 76.
Die reelle Funktion f{x) heißt endlich im Intervall [«,&]; wenn
von sämtlichen Funktions werten, indem x das Intervall
diejenige
durchläuft, gebildete Zahlenmenge eine abgeschlossene ist;
und
untere Grenze G und g dieser Zahlenmenge heißen auch
obere
obere und untere Grenze der Funktion fix) im Intervall [«,&].
Aus § 71, I erhalten wir dann unmittelbar den Satz:
I.
Ist f{x) eine im Intervall \a, 6], die Endwerte mitgerechnet^
[a, &]
endliche Funktion, so hat f{x) in diesem Intervalle sowohl eine
als eine untere
G und
^
I)
G—g
Grenze
Die Differenz
obere
g.
heißt
die
Schwankung der Funktion
f(x) im Intervalle [a,h].
Als ein wichtiges Supplement des Satzes
I
hat
Weierstraß den
folgenden in seinen Vorlesungen mitgeteilt:
Hat
IL
die
gerechnet, endliche
und
Intervalle
Intervall
so existieren in
mindestens
\x^
—
ein
die untere Grenze
x^
g
solcher
die
e,x^-\- b\
Wert
solcher
[a,h],
Endwerte a und h mit-
die
Funktion f{x) in diesem Intervalle obere Grenze
untere Grenze g,
mitgerechnet,
ein
im
obere
die
[«,&],
Wert
Grenze
x^
Endwerte
indem
ebenfalls
daß f{x) im
und mindestens
von x,
G
hat,
von x, daß fix) im Intervalle
hat^
G
\x^
— e,x-\-e\
s eine willkürlich kleine positive
Größe
bezeichnet.
und bedeutet m^ das arithmetische Mittel zwischen a
2m^ = a-\-b, und bezeichnen endlich G^ und G^
die oberen Grenzen von fix) in den Intervallen [a, m^] und [m^, &],
so muß mindestens eine dieser Zahlen G^ und G^ gleich G sein^
denn wäre sowohl G^ <C G als G^
G, so könnte G nicht die obere
Ist
und
b,
a <i
ist
b
also
<
Grenze von fix) in [a,b]
sein.
nun [a^, b^] dasjenige der beiden Intervalle [a, m^ und
welchem /"(ic) die obere Grenze G hat, oder ein willkürliches
von ihnen, wenn sie beide diese Eigenschaft besitzen; dann führen
wir wieder das arithmetische Mittel zwischen a^ und b^, also
2 m^ = cbx -\-b^, ein; usw.
Es
sei
L^i? ^J? i^
Die durch die so erhaltenen Annäherungsreihen
a, a^,
%,•••, «„,-••
definierte Grenzzahl ist
demnach
2"
"
eine der Zahlen x^.
In ganz ähnlicher Weise wird
gewiesen.
"
die Existenz
der Zahl x^
nach-
.
224
Dritter Teil.
Wir bemerken
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
allgemeinen nicht Funktionenwerte von f\x) sind;
im allgemeinen
oder f{x)
=g
daß a
n:,
d. h.,
^x ^b
und g im
es existiert
=G
und f{x)
ist.
Übrigens
wenn x nur
solche Zahl
leine
G
daß die Zahlen
aber ausdrücklich,
auf der
liegt
Ha ad, daß
eine Zahlenmenge,
valle [«, 6] liegt,
der Satz II noch richtig bleibt,
im ganzen
überall dicht
die
B. die rationalen Zahlen dieses Intervalles
z.
Inter-
durch-
läuft.
Beispiel
x rational, so hat
Ist
1.
die
Funktion sinf-
im
J
Intervalle
—
1,
[—
a;]/ 2,
:;r]/
-^
Grenze
I
x^^
und untere Grenze
= %y'2,X2 = — %y2
Mit denselben Bezeichnungen
2.
hat
+
Grenze
obere
demselben Intervalle
in
+1
obere Grenze
2]
und dementsprechend hat man
Beispiel
tff(
+
Funktion
die
und untere
00
— 00.
im Kontinuum A,
wenn diejenige von sämtlichen Funktionen werten indem der Punkt
gebildete Zahlenmenge eine ab{u,v) das Areal A durchläuft,
geschlossene ist; obere und untere Grenze G und g dieser Menge
heißen auch obere und untere Grenze der Funktion (p{u,v) im
Die
Funktion
reelle
heißt
(f{ii,v)
endlicli
,
Kontinuum A.
Der Satz
III.
endliche
II hat hier das folgende
untere Grenze
g,
so
— £<w<Mi4-«
hat,
Wg
und mindestens
— « < < Mo
it
hat,
indem
~\~
^
fj
s eine willkürliche
Hat man nämlich
Zahlenpaar {u, v) immer
— s ^v -^v^
solches
^^^^ ^2
Begrenzung
die
Zahlenpaar
solches
und
ein
A,
in
existiert
gerechnet, mindestens ein
w^
Analogon:
Hat die im Kontinuum A, die Begrenzung mitgerechnet,
FunMion (p(u,v) in diesem Kontinuum obere Grenze G und
-\-
Zahlenpaar
— ^ V ^v^
s
s
£
die
Meine positive Größe
und a
^v Kß,
Grenze
G
(p(u,v) für
Grenze g
untere
bedeutet.
dem Kontinuum
für jedes
a^u^b
daß
mit-
q){u,v) für
obere
die
(u^, v^),
-\-
ebenfalls
daß
{u^^,v^),
A
angehörige
so führen wir die
beiden arithmetischen Mittel m^ zwischen a und b und ^^ zwischen a
und ß ein; dadurch bestimmen wir die Zahlen a^ und &^, a^ und ß^, so
daß (fiUjV) in denjenigen Teil von A, für welchen a^^u^b^ und
a^
<. ß^ ist, die Funktion (p (u, v) die obere Grenze G hat, usw.
^v
Bezeichnen nun u^
von Annäherunsfsreihen
und
t\
die
Grenzwerte
der
beiden
Paare
Kapitel XVEI.
Funktionen.
\h,\,\,.-;\,---
225
§ 77.
\-a^^^-^
(2)
a..
=t
so hat das Zahlenpaar (%,Vi) die gewünschte Eigenschaft,
Man soll im Intervalle [1, 2] obere und unter Grenze die
Funktion y = &x^ — 11 x ^ 12 bestimmen.
154. Die Funktion 0{x) ist so definiert, daß ^{x) = x^ 4- 2 für
aber Q{x) = b — 2 x^ für x -^1 ist; man hat die
obere und untere Grenze dieser Funktion im Intervall [0, 2]
153.
x^l
zu bestimmen.
Hat man im
155.
Intervalle [a
— h,
a
-\-
h],
die
Endwerte mit-
immer \f(x)— f{a) <
so kann die Schwankung von f{x) im obengenannten Internicht übersteigen.
valle den Wert 2
gerechnet, für die reelle Funktion f{x)
A',
\
1:
§ 77.
Allgemeines Konvergenzprinzip für das Kontinuum.
Bei unseren vorhergehenden Bemerkungen über den Funktions-
haben wir nur solche Funktionswerte in Betracht gezogen,
aufgegebenen Werten der unabhängigen Veränderlichen entsprechen.
begriff
die
Hier haben wir vor allem zu definieren, was darunter zu versteheu
ist,
daß eine
A
reelle
Funktion
f{oc)
der
reellen Variabelen
x einem
wenn x entweder wachsend oder abnehmend
einer
bestimmten Zahl a mehr und mehr ansich kontinuierlich
nähert oder kontinuierlich, positive oder negative Werte durchlaufend,
Grenzwerte
zustrebt,
gegen oo wächst.
Wir können uns dann auf denjenigen Fall beschränken, wo x
sich dem Zahlenwerte a mehr und mehr annähert,
immer wachsend
indem
die übrigen Fälle in
können.
ganz ähnlicher Weise behandelt werden
Zu diesem Zwecke führen wir
die folgende Definition ein:
Die Function f(x) hat einen Grenzivert A, indem x immer
wachsend dem, Zahlenwerte a zustrebt, wenn es möglich ist für eine
vorgegebene
Größe
£
daß für a
Ideine
willJiürlich
eine solche von
aber
von
Null
verschiedene
positive
Null verschiedene positive Zahl d zu bestimm,en,
— d ^x <i a
immer
\A-f{x)\<e
(1)
ist;
A
wird dann der Kürze halber durch f (a — 0) bezeichnet.
dieser Definition ausgehend beweisen wir nun den folgenden
Von
Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen.
15
226
Dritter Teil.
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
dem allgemeinen Konvergenzprinzip
fundamentalen,
für Zahlenfolgen
ähnliclien Satz:
I.
von f(a
X
Die notwendige und hinreichende Bedimjung für die Existenz
— 0), also dafür, daß f{x) einen Grenzwert A hat, tvenn
dem Zahlenwerte a
ivaclisend
für eine vorgegebene
ist
Größe
positive
eine
s
zustrebt, besteht darin,
daß
möglich
Meine aber von Null verschiedene
willJcürlich
von Null verschiedene Größe d
solche positive
zu bestimmen, daß, wenn x und y beide dem Intervall \a
hören,
es
— d, a]
an-
immer
\f{x)-f{y)\<s
(2)
ist.
Daß
Bedingung notwendig
diese
liegt auf der
ist,
Hand; denn
aus der Identität
erhält
man wegen
(1),
wenn der Grenzwert
m-fi:y) <
I
I
-A- f{y) -(Ä-
- f(y)
f{^)
^^-f\y)
I
daß aber (2) auch hinreichend
Es
seien
>> fg
e^
>
>
^3
daß
positiver Zahlen,
so
dementsprechend
bestimmen
^1
>
ist,
«^2
> ^3 >
•
•
>
•
wenn x und y
a
— d^
a
—
«^n
>
I
>
willkürliche Reihe
^ii^ß
Grenzwert
Zahlenfolge den
so
•.
•
•
+ A-f{x) \<2s-
I
^»
wir
anderen
die
positiven
dem
hat,
Zahlen
f{x) - f(ij)
< e„
— d„, a], den Endwert
Zahlen a — ^„, « — ^« +
daß immer
\
|
dem
mitgerechnet, anhören.
(5^^2j
^
diese
beide
sämtlich
'
existieren soll
beweisen wir folgendermaßen:
ist,
"
A
fix))
Intervall
Da nun
[a
die
Intervalle [a
1?
—
8^^,
a] anhören, so ist die
Zahlenfolge
/(«
(3)
-
ö,),
f{a
— d^),
dem allgemeinen Konvergenzprinzip
Fundamentalreihe.
reihe (3), so
und daß
Bezeichnet
1
eine
den Grenzwert der Fundamentalf(ci
— 0)
existiert,
ist.
ein solches
entsprechenden Intervalle [a
woraus die
zufolge,
eine willkürlich kleine positive Größe e aufgegeben,
bestimmen wir
A-fix)
•,
für Zahlenfolgen
haben wir noch zu beweisen, daß
A = f(a — 0)
Wird
A
fia -Ö3),
s^^,
—
daß 2
d^^,
Durch den folgenden Satz
<
a] angehören,
£ \A-f{a-d„) +
Gleichheit A = fia — 0)
I
«^^
£ ist; für alle x, die
be-
dem
haben wir daher
\f(a-d^)-f(x) \<28^<s,
unmittelbar
II zeigen
folgt.
wir nunmehr den Zusammen-
hang zwischen dem kontinuierlichen Grenzübergange und dem durch
eine Fundamentalreihe erhaltenen Grenzübergange:
Funktionen.
Kapitel XVIII.
227
§ 77.
IL Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß f(x)
— 0) hat, besteht darin, daß für jede monotone
einen Grenzwert f(a
Fundamentalre ihe
Xo<x^<X2<x.^<-- -Kx^K- '
(4)
mit dem Grenzwerte a die entsprechende Zahlenfolge
/"W,
(5)
Fundamentalreihe
selbst eine
Daß
fM,
diese
,
fix.),
•
ist.
Bedingung notwendig
ist,
f(a — 0);
ist
Definition des Grenzwertes
•
fi^n),
folgt unmittelbar aus
nämlich
der
eine willkürlich
s
und bestimmt man das Intervall
wenn x diesem Intervalle anhört, immer
kleine vorgegebene positive Größe,
[a
—
d, a],
so daß,
\f{a-0)-f{x)\<s
ist,
während
die
X:^
Intervalle [a
—
d,
Zahl
erste
der
a] liegt, so hat
Folge (4)
man
für
bezeichnet,
N
n'^
die
im
immer
\fia-0)-fixJ \<a,
woraus unmittelbar
daß die Zahlenfolge (5) eine Fundamental-
folgt,
reihe mit dem Grenzwerte f(a
Es
sei
— 0)
muß.
sein
nun
yo<yi<y2<ys<---<yn<"'
(6)
eine andere
monotone Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte
a,
so
daß die Zahlenfolge
fiii,),t\y^),t\y-2),
(7)
auch
eine
Fundamenta
Ireihe
ist,
•:,
fiyn),
dann
beiden Fundamentalreihen (5) und (7)
beweisen wir,
daß
diese
denselben Grenzwert haben
müssen.
Wäre
dies
nämlich nicht der Fall, so bilden wir die monotone
Zahlenfolge
(°)
'
^m„7 yn^f
^OTj?
^nj'
^rnj
y-ii^l
'
'
deren Elemente abwechselnd aus (4) und (6) gewählt sind; dies ist
offenbar in unzähliger Weise möglich; die Zahlenfolge (8) ist somit
auch eine Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte a,
während
die
entsprechende Zahlenfolge
(9)
/"kO'
keine Fundamentalreihe
/"(^O'
sein
^"(^»h)'
kann;
dies
fK^'
ist
•
•
•
aber
mit unserer im
Satze II ausgesprochenen Voraussetzung in Widerspruch.
15*
228
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
Dritter Teil.
Sämtliche Fundamentalreihen (5) müssen daher denselben Grenzhaben; es bleibt daher nur noch übrig zu beweisen, daß
wert
A
f(a
— 0)
—
und daß außerdem f(a
existiert,
=A
0)
muß.
sein
Dies folgt nicht unmittelbar daraus, daß sämtliche Zahlenfolgen
(5)
Fundamentalreihen mit
könnte ja möglich
gegebenes
I
Grenzwerte
diejenigen Zahlen
sind;
die für
d,
denn
wenn
wird,
a;„
dem
Intervalle
[a — d, a]
es
ein vor-
verschiedenen Zahlenfolgen (5) bewirken,
für die
s
A — f{^„) < £
demselben
daß
sein,
daß
angehört,
I
die
haben, was ja unserer Definition
untere Grenze
des
Grenz-
—
wertes f(a
0) zufolge nicht zulässig ist.
Die Gleichheit
0) kann indessen antithetisch folgenf{a
—
A=
dermaßen bewiesen werden: Wäi*e
solche Zahl
daß
s,
in
jedem
A^f[a —
Intervalle
[o
so
0),
—
wie
a],
ö,
eine
existiert
klein
die
Größe d auch angenommen wird, solche Werte von x aufgefunden werden können, daß für sie
s ist.
In
f(x) — A
positive
1
dieser
\
^
Weise bestimmen wir sukzessive eine monotone Fundamental-
reihe
(10)
mit
^0
<
dem Grenzwerte
^1
a,
< ^2 < ^3 <
•
•
•
< ^„ <
•
•
•
n immer
so daß für jedes
\fi,,J-A\>s
muß.
sein
Hieraus
folgt
aber,
daß
die
der
Fundamentalreihe (10)
ent-
sprechende Zahlenfolge
fi^o), /'(^l)' fi^2),
nicht
dies
eine
Fundamentalreihe
/"(O.
•••
dem Grenzwerte
A
sein
kann;
aber mit unserer Voraussetzung im Widerspruch, und dem-
ist
nach hat
man
Der Satz
stattet
mit
•••.
uns
A = f\a-0).
II,
also,
der
uns
späterhin
sehr
nützlich
wird,
ge-
/"(a — 0)
exi-
sein
wenn wir zu untersuchen haben, ob
von x diejenige Zahlenfolge (5), die einer gans ivillhürUchen monotonen Fundamentalreihe
Durch dies
(4) mit dem Grenzwerte a entspricht, zu untersuchen.
Verfahren kann man bisweilen auch diesen Grenzwert finden, wenn
stiert,
anstatt der kontinuierlichen Variation
er existiert.
Der Satz
II
gestattet
uns
noch ohne weiteres sämtliche für
Fundamentalreihen bewiesene Sätze auf die Funktion f{x) überzuführen, wenn x kontinuierlich dem Zahlenwerte a zustrebt. Die in
§
9,
II
gegebenen Sätze über Rechnenoperationen mit Fundamental-
Funktionen.
Kapitel XVIII.
reihen sind
z.
zum Rechnen mit Grenzwerten von Funk-
B. wortgetreu
tionen zu benutzen, vorausgesetzt,
Als weitere
229
§ 78.
daß diese Grenzwerte existieren.
Anwendung beweisen wir noch den
Wenn
Satz:
^
a der Bedingung f{y)
f{x) für
f{s) gestets
endlich
bleibt,
wenn x dem Internügt, und wenn außerdem f(x)
valle [a — d, a] angehört, wo d eine von Null verschiedene positive Größe
III.
y <i z <,
bedeutet, so existiert
Bildet
f(a~0)
man nämlich
immer.
eine willkürliche
und gehören ihre Elemente x^ für
\a
monotone Zahlenfolge
n'^N,
dem
sämtlich
(4),
Intervall
— d, a] an, so wird die entsprechende Zahlenfolge (5) monoton wachsend
und
ist
demnach
Elemente
ihrer
Wenn
eine Fundamentalreihe, weil die absoluten Beträge
stets endlich bleiben.
f{x) einen
dem Zahlenwerte a
bestimmten Grenzwert
indem x abnehmend
hat,
kontinuierlich zustrebt, so wird dieser Grenzwert
als /'(« -f 0) bezeichnet.
Hat man f{a
— f (a — 0)
heißt
eine
0) =^ f{a
der Sprung
Sprungstelle
ausdrücklich
stimmt
-\
—
0), so
der Funktion f{x)
der
+ 0)
x
für
Funktion f{x).
daß f(a
vorausgesetzt,
= a,
Hier
beide
und x
wird
0)
—
=a
natürlich
endlich
und
be-
sind.
Die obenstehende Entwicklung rührt von H.
P.
+
heißt die Differenz f(a
Bohr
her;
schon
du Bois Reymond^) hat dem Prinzipe nach Untersuchungen
Art angegeben.
dieser
§ 78.
Anwendungen auf komplexe
Variabein.
Die Entwicklungen des vorhergehenden Paragraphen sind
bei-
nahe wortgetreu auf die Funktion
=
fix)
(1)
(p
(u, v)
+
iip (u, v)
der komplexen Veränderlichen x = u -\- iv überzuführen; zu diesem
Zwecke haben wir die folgende Definition anzuwenden:
Die Funktion fix) hat einen Grenzwert A, wenn die Komplexe
Zahl
X, getvissen
wenn
es möglich
Bedingungen genügend, dem Zahlenwerte a
ist
Ntdl verschiedene positive Größe
positive
s eine
Zahl d zu bestimmen, daß für
(2)
I
fix)
solche
\
x
—a
von Null verschiedene
\
<i8 immer
-A\<,
wird.
V)
zustrebt,
für eine vorgegehene, tvillkürlich Ideine aber von
Allgemeine Funktionentheorie,
p. 260;
Tübingen 1882.
230
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
Dritter Teil.
Was
obengenannten Bedingungen, denen x genügen soll, betrifft,
so können sie z. B. darin bestehen, daß diese komplexe
Zahl X eine gewisse durch a gehende Kurve durchlaufen soll, oder
die
in einem gewissen Winkel mit dem Scheitel a bewegen soll.
Die noUvendige und hinreichende Bedingung dafür, daß f(x)
einen Grenztvert hat, uenn x, geivissen Bedingungen genügend, dem
sieh
nur
I.
ZahleniveHe a
daß
zustrebt, besteht darin,
es
für eine vorgegebene
Mrlich Heine aber von Null verschiedene positive Größe
— x\<iS,
Itt
— 2/|<^
ist,
Zahl d zu bestimmen, daß für
eine solche von Null verschiedene positive
\a
ivill-
möglich
e
immer
;/-(^)-/X2/):<«
(3)
wird, indem natürlich sowohl x als y den obengenannten Bedingungen
genügen.
IL
Die notwendige und
einen Grenzwert hat,
ZahlemveHe a
ist,
zustrebt,
die den
Bedingung dafür, daß f(x)
Bedingungen genügend, dem
wenn x, geivissen
daß für jede beliebige Fundamentalreihe
Xq,
(4j
liinreichende
X-^,
X^,
X.^,
.
.
Xjp ...
.,
Grenzwert a hat, und deren Elemente sämtlich den obenge-
nannten Bedingungen genügen, die entsprechende Zahlenfolge
(5)
/"K); f{^i), f(^2),
selbst eine
Fundamentalreihe
•
;
fM,
•
•
•
ist.
dann auf der Hand, wie man die reelle Funktion der
zwei reellen Veränderlichen u und v zu behandeln hat, wenn das
Es
liegt
Zahlenpaar
dem
(u, v)
festen Zahlenpaare (a, b) zustrebt.
1
Beisj)iel 1.
Um
suchen, setzen wir x
Funktion f[x) = e^ für
-{iv und erhalten somit
u
die
^=
u
woraus
=
zu
unter-
— iv
folgt:
(6)
Läßt
i'
fix)
- e^- (cos (^;-,) -
man nun x gegen
der Achse
der
die
,•
sin
(,-^,))
Null konvergieren, so daß diese Zahl
positiven Zahlen
folgt,
so
hat
man
v
= 0,
m
>
somit ergibt sich wegen § 20, (19)
/•W>V;
0)
unsere Funktion wird denmach stärker unendlich als eine willkürliche Potenz
von
1
:
u.
Funktionen.
Kapitel XVIII.
231
§ 78.
Folgt X andererseits der Achse der negativen Zahlen,
V
= 0,
ist
also
u <^0, so hat man
(8)
f{-u)<n\u%
so
daß unsere Funktion rascher dem Grenzwerte Null zustrebt
irgendwelche Potenz von
als
u.
ist also u = 0,
während
die
Phase
so hat
unserer Funktion
1,
f{x)\
unendlich groß wird; die beiden Komponenten von fix) sind dem-
Folgt X der Achse der rein imaginären Zahlen,
=
man immer
|
nach in diesem Falle unbestimmt.
Durchläuft x die gerade Linie mit der Gleichung v
erhält
man wegen
(9)
^(,)
nun u
ist
= au,
so
(6)
_ ,^.,
positiv,
.
(eos
bewegt
Quadranten, so wächst
(-«_,) +
sich
x
also
,-sin
(-j-^));
im
ersten
oder vierten
über jede Grenze hinaus, während dieser
\f{x)\
zustrebt, wenn u negativ angenommen
wenn x sich im zweiten oder dritten Quadranten bewegt.
Folgt X dem Kreise mit der Gleichung
Betrag der Null
absolute
wird, also
11^ -\-
man wegen
so erhält
v^
—
2
= 0,
au
(6)
1
hier
ist
demnach der absolute Betrag \f{x)\ konstant, während
Phase unserer Funktion für u
=
Durchläuft X endlich die Parabel
(11)
fix)
= e^' (cos
^^
die
unendlich groß wird.
,_
v^
-
= pu,
i
sin
so hat
man
-J^ ^\
1
hier hat
|
fix)
\
unendlich groß
Beispiel 2.
daher den Grenzwert e^, während die Phase yonf(x)
ist.
Um
fix)
für
=
a;
I
I
die rationale
Funktion
a^x^ -\-a^x"~^ -{-
-\-
an
-IX
+ an
oo zu untersuchen, bezeichnen wir durch
.
232
Reihen mit veränderliclien Gliedern.
Dritter Teil.
eine
divergente
willkürliclie
und
Zahlenfolge
erhalten
somit für
jedes r
-
""'
gi^r)
^o
=^
woraus für m
der Grenzwert
^
lim
(13)
folgt,
je
+ ^(^>--- + ft.(^/'
während man allgemeiner erhält
nachdem
n^p
Beispiel
wo
^
==
vorausgesetzt wird.
man
Setzt
3.
= (x — aycp{x), g{x) =
f(x)
beiden Funktiouenwerte
die
stimmt sind, und wo außerdem
lim
(15)
cp
(a)
t/;
und
(a)
M=
il)
ist,
=j=
(a;
— ay'il){x),
und
endlich
{a)
so hat
be-
man
^(«)
x = ag{x)
ipia)
Bezeichnet in der Tat
•^0? "^If "^21
•
^r1
•?
•
eine
willkürliche Fundamentalreihe mit
man
für jedes r
156.
Es sind
die
Funktionen cos
wie e^ in § 78, Beispiel
stetig
in
für
reelle
x =
ähnlicher
änderlichen X
a,
Funktion f(x)
der
stetig für
bestimmten Grenzwerte
gegen a konvergieren
Aus den Sätzen
x
•
dem Grenzwerte
—L
sin
Satz
reellen
wenn f(a + 0) = f{a — 0)
Weise heißt
•
(— j und
tg
a, so hat
(
—
j
ganz
zu untersuchen.
Stetige Funktionen.
§ 79.
Die
1
(
'
von G. Cantor.
Veränderlichen x
endlich
heißt
und bestimmt
ist;
Funktion f(x) der komplexen Vera, wenn f(x) demselben endlichen und
die
==
f{(i) zustrebt, in
welcher Weise
man auch x
läßt.
§ 77, II
und §
78, 11 ergibt sich daher
auch die
folgende Definition:
Die Funliion f{x) der
reellen
oder komplexen Veränderlichen x
Funktionen.
Kapitel XVIII.
x
heißt stetig für
=
wenn
a,
233
§ 79.
für eine vorgegebene willkürlich Meine
es
aber von Null verschiedene Größe
möglich
s,
eine solche positive
ist
von Null verschiedene Zahl 6 zu bestimmen^ daß für \h\ -^6 immer
\f{a
(1)
+ h)-f{a)\<e
ist.
In ganz ähnlicher Weise heißt die reelle Funktion
qo
der
(u, v)
zwei reellen Veränderlichen u und v stetig für das Zahlenpaar
(a, &),
wenn mit denselben Bezeichnungen wie vorher immer
ist,
(a -^
cp
(2)
\
h,b
-\-
l)
—
(f
{a,b)\
<
E
wenn sowohl \h\-^6 als Ä; ^ ö angenommen wird.
Wenden wir die gewöhnliche geometrische Darstellung
|
j
ist
die
Ungleichung
(1)
sämtliche Zahlen a
befriedigt für
+
an,
so
h,
die
im Innern oder auf der Peripherie eines Kreises mit dem Mittelpunkte a und dem Radius 6 liegen, während (2) für sämtliche
Zahlenpaare (a + /*,& + k), die im Innern oder auf dem Parimeter
eines Quadrats mit dem Mittelpunkte (a, &) und den Seiten 2 6
den Koordinatenachsen abgebildet werden, richtig
parallel mit
Beispiel
Die Funktionen
1.
Wert von x
liebigen endlichen
Beispiel
e^,
cos
Wert
Aus den Definitionen
ist
sin
ist.
sind für jeden be-
.7;
ergibt
für jeden beliebigen
Form pn
von x, der nicht von der
lichen
und
stetig.
Die Funktion cot:r
2.-
2;
sich
ist,
end-
stetig.
unmittelbar
der
folgende
Lehrsatz:
Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß
I.
die
Funktion
der komplexen
stetig
(u, v)
Veränderlichen x
=u
-\-
die
reellen
iff
besteht
ist,
(u, v)
man
in
f{x^
der
seien
dann hat
nun
man
h)
Tat
a
-\-
(p{a
v)
iv für den
Wert x
Funktionen
=a +
ib
v)
und
hat
man
(p (ii,
stetig sind.
(a, b)
=
- f{x) =
(p(^ii,v)
iß,
-{-
=a
x
a,b
-\-
ib,
so
+ ß)- cp(a,b)
und
xl;(u,v)
Zahlenpaar {a,b)
für das
stetig;
für
k ^
(5)
Ji
i i) {u,
+iit(a^a,b-j-ß)-ip{a,b)y,
1
es
Zahlenpaar
(3)
{
daß
darin,
beide für das
Setzt
wegen
+
f(x)=fp
(3)
<^;
i
\ß\£ß
immer
(6)
\cp{a
+ a,b-]-ß)-(p{a,b)\<e,
\ip{a+ a,b
+
ß)
-ip{a,b)\<
e,
Reihen mit veränderlichen Gliedern,
Dritter Teil.
234
woraus wegen
und
(4)
(5) folgt:
\f{x-^h)-f{x)\<2B
für
/i
I
I
< ^;
unsere Bedingung
aber umgekehrt für
h
\
<
demnach
ist
immer
ö
|
Ungleichungen (5) und
auch noticendig sein muß.
f{x
+
h)
(6) unmittelbar, so
die
hat
hinreichend-^
— f{x) < £,
man
so folgen
daß unsere Bedingung
durchläuft.
im Kontinuum A, wenn sie
x das Kontinuum A
Entspricht x einem Punkte der Begrenzung von A, so
muß
Ungleichung
Die Funktion
heißt
/"(ä)
in der
(7)
I
f{x
+
stetig
indem
diese Eigenschaft besitzt,
h)
die Variabele
- fix)
\h\^6
\<8,
h so bestimmt werden, daß die Zahl x
-\-
h
A
dem Kontinuum
oder
Begrenzung angehört.
seiner
Durchläuft nun x das Kontinuum A, so hängt die Zahl ö im
von dem betrachteten Werte von x
den folgenden Satz von G.Cantor^):
wenn x das Kontinuum A und seine Begrenzung
allsemeinen sowohl von
als
s
ab; über dieses Verhältnis hat
IL Ist fix)
stetig,
man
durchläuft, so existiert für jede vorgegebene von Null verschiedene positive
Zahl
eine solche von
B
Null verschiedene positive Zahl
daß
6,
die
Un-
A
oder seiner Begrenzung angleichung {!) für jeden dem Kontinuum
gehörigen Wert von x richtig ist, ivenn nur \h -^6 angenommen wird.
Dem
Satze I
zufolge
können wir uns auf
zweier
reellen
Veränderliehen
oder
einer
reelle
beschränken;
halber beschränken wir uns daher auf denjenigen Fall,
Funktion fix)
stetig bleibt,
Intervall [«,&], die
Es
so
sei
die reelle Variable
Endwerte a und
der Kürze
wo
die reelle
x das endliche
h mitgerechnet, durchläuft.
dann 6ix,B) obere Grenze für diejenigen Zahlen 6, die
j
K X Kh
—
<
£ wird, wenn \h\^6
h)
f{x)
fix
angenommen werden; dann hat man also, für diesen
beschaffen sind, daß
und a
wenn
Funktionen
bestimmten Wert von x,0
+
<6<
\
6
(x, s).
Diese obere Grenze
<}ix,E),
muß, weil kein 6 größer als das ganze Intervall
—
kann,
ist
eine Funktion von x, wenn diese Variable das
sein
a
b
Bezeichnet nun l die untere Grenze
Intervall [r/, &] durchläuft.
dieser Funktion, so ist l eine endliche und nicht negative Zahl, und
die
immer
es existiert
im
existieren
dem
Satze § 76, III zufolge ein solcher
Intervall [a, &],
1)
Der Satz
ist
Wert
x,
von x
daß 6ix,E) für diejenigen Werte von x, welche
von Heine, nicht von Cantor selbst publiziert worden.
Funktionen.
Kapitel XVIII.
dem
—
Intervalle [x^
x^-\r t] in
t,
dem
r eine willkürlich
Größe bezeichnet, angehören, wirklich
sitive
Da
=
auch für x
235
§ 79.
kleine po-
Grenze
die untere
l
hat.
stetig ist,
so existiert eine
von Null
verschiedene positive Zahl 6^, so daß für
— ^x ^ A < + ^i
immer
f{x~)
x^
+ ?0-fe):<|
\x^ — G^, x^ -f Gi\ oder
I/'K
(8)
Im
muß.
sein
Intervalle
in demjenigen Teile
dieses Intervalles, welcher dem aufgegebenen Intervalle
kann
die
Schwankung von
~
nämlich auch
ist
+
f{x,
(9)
li)
man nun
da
\)
+
\fix,
Ji,
(11)
x,-\-
Ji)-fix,
+
\fi:^
x,
+
wegen
(9)
h,)\<s.
den beiden Intervallen [a,6]
die
angehören, hat
föj
man
ersetzen darf, so ergibt sich
Für sämtliche Werte von
und [x,— jGii
so hat
angehört,
s erreichen;
= if(x, + h) - f\x,)) - (fix, + h) - fix,));
h durch
(10)
\a, 6]
niemals die Größe von
<3^^\<^6^,
- fix, +
in (8)
f{3c)
man demnach immer
-ia^^h£-\-^ö,',
h)-fix)\<:s,
denn unter diesen Voraussetzungen über x und h liegen sowohl
X als X -\- h im Intervalle \^x, — 6,, x, -\- ö^]; für alle diese Werte
von X hat man daher 6ix,e)'^\(},, und da die untere Grenze Z
für ö(a;, f) diesem Werte x entspricht, so hat man ebenfalls l^^^^^Die Ungleichung fix -{-h) — fix) < £ ist demnach für sämtliche x, die den Bedingungen a <ix <,h genügen, richtig, wenn nur
Z angenommen wird, wo also l von Null verschieden ist,
Ä
wenn
dies mit e selbst der Fall ist, und damit ist unser Satz bewiesen.
Man sagt auch häufig, daß fix) in A und auf seiner Begrenzung
gleichmäßig stetig ist. Es ist aber wohl zu beachten, daß die Stetigkeit im Innern von A nicht gleichmäßig zu sein braucht, wenn fix)
nicht auch auf der Begrenzung von A stetig ist.
|
|
I
I
^
Beispiel
man
Die Funktion fix)
3.
=^
ist
<
für
rr
<
1
stetig;
hat in der Tat
fix
'^
woraus
|
mäßig
h)
''
'
—
— fix)
= x-{-h
—r^
'^
^
X
=
— -—fT
-,
x{x-}-h)',
<
-^ h)
s folgt, wenn \h\<Cx-\x-\-]i\-s anfix)
wird; da nun das positive x willkürlich klein angenommen
fix
genommen
werden
-\-
darf, so liegt
sein kann.
!
auf der Hand, daß diese Stetigkeit nicht gleich-
236
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
Dritter Teil.
Man
157.
hat für reelle x die beiden reellen Funktionen tg(sina;)
_
und (cos x)
Es
158.
1
zu untersuchen.
^
Funktion {—
die reelle
ist
1
x
-\- ?>
—
_ j^
2 x^)
x
für reelle
-
zu untersuchen.
Sätze über stetige Funktionen.
§ 80.
Über
haben wir
Funktionen
stetige
folgenden
die
Sätze
zu
beweisen:
Bezeichnen yilf^ysVn Funktionen von
durchläuft, so
x das Kontinuum
I.
x, die
K
sind, tvenn
FunMion dieser n Größen auch eine in x
wenn x das Kontinuum
durchläuft, vorausgesetzt
rationale
K
sämtlich stetig
eine ivillkürliche
ist
stetige
daß
,
JFunHion,
untere
die
Grenze des absoluten Betrages des eventuellen Nenners nicht für diese
Werte von x gleich Nidl ist.
Um
diesen Satz zu beweisen, haben wir offenbar nur die folgen-
den drei speziellen Fvinktiouen zu untersuchen:
(p{x)= af{x)-\- ßg{x), wo a und ß endliche Konstanten be-
1.
zeichnen; es
q>{x
+
daher
ist
-(pix)=
li)
nun f(x
es sei
-f
!
a{f{x
+
h)
— f{x) \<.r,
Ji)
- fix)) +
\g{x
—
-\- li)
+
ß{g{x
h)
- g(x)y,
g(x)\<ir für
|
A
|
^ ö;
dann hat man
\
ist
+
(p(x
h)
nun hier
- <p(x) '<
A
(p{x
= f{x)- g(x).
+
+
T<
\ß\)t<s,
-,
^^,|_|p|
man r und demnach auch 6 beimmer
\(p(x -\- h) — (p(x)\<. £ wird.
^
Indentität
Aus der
(?
|
(p{x)
a\
gegeben, so kann
£
stimmen, so daß für
2.
{\
h)
-(p{x)^
{f{x
+
+ f{x){g{x + h) - g{x))
h)
-I-
-
- g{x))
fix))(g(x
+
h)
+
h)
- f{x))
g{x){f{x
wie vorher, indem r
ergibt sich mit denselben Bezeichnungen
<
1
ist,
(p{x
wo
Ä
+
die
zeichnet,
h)-(p(x)
I
größte
indem
Ä
der
< t2 -f T
-Igix)
!
+
T
•
\f{x)
oberen Grenzen für
das gegebene
Kontinuum
<{2Ä
|/"(ic)|
K
und
\g{x)\
durchläuft;
daher
\(p(x^h)-(p{x)\<£,
-f 1)t,
r< yJ^
es
beist
,
Funktionen.
Kapitel XVIII.
Hier
denn
A
ist
von
t
immer
ist
wenn
verschieden,
q){x)
=
TT^v;
dies
mit
e
aufgegeben, kann
endlich; wird s
und dann auch ö bestimmen.
Durch Kombination von 1. und 2.
rationale Funktion der n Größen y^y^y^
stetige Funktion von x sein muß.
3.
237
§ 80.
'
Vn ^"^^ ^^^ Kontin uum
'
bezeichnet JS die untere Grenze von
|
das
Kontinuum
K durchläuft,
+
cp{x
und demnach ergibt
\cp{x
+ h)-
-cp(x)=-
h)
sich
(p{x)
I
<
so hat
ist;
somit r
daß jede ganze
ergibt sich,
'
der Fall
man
f{x)
\,
K
indem x
man
-^(Jt-^^^,
mit denselben Bezeichnungen wie vorher
^
^(^)|.|J^^^;^^|
^a
t<sB\
<f
Da nun B nicht Null ist, so kann man, wenn s aufgegeben wird, r
und demnach auch 6 bestimmen.
Damit ist unser Satz I vollkommen bewiesen.
Beispiel 1.
Da f(x)=x eine für alle endliche x stetige Funktion sein muß, so hat jede beliebige ganze rationale Funktion von x
dieselbe Eigenschaft, während eine gebrochene rationale Funktion
in X für alle endliche x, für welche die untere Grenze des absoluten
Betrages des Nenners nicht gleich Null
Ist
II.
y
= h = f(ci),
Setzt
y
=^ fix)
so ist z
man
stetig
in der
Tat y
-\-
stetig bleibt.
=
fp{f{x)) stetig für
x
für
= F{x) =
ist,
z
x =
Ti
a
und
= f(a + ^0;
^
-\-
^
(f{y)
= a.
= (pQ>
stetig
-\-
^),
für
so
1= F{a + ^O: ^^ ^^^ ^ stetig ist, so hat man für
Ä;
(?
immer
|^j-<£; da aber auch f stetig ist, so kann man r
^
bestimmen,
so
daß für /*
t immer \'k\<i ö wird. Es ist demnach
für \}i\<^T immer \1\<C s.
Über reelle Funktionen gelten die Sätze:
auch z
ist
-\-
^
I
I
j
III.
Ist
wenn x das
die
reelle
Intervall [a,
Funldion f{x) stetig ohne Jconstant zu sein,
die Endwerte a und b mitgerechnet, durch-
6],
läuft, so hat f(x) in diesem Intervalle
als einen
Minimalwert]
in diesem Intervalle,
es existiert also
mindestens eine solche Zahl x,
daß
a^x<h
fM - fi^) ^0;
und
immer sowohl einen Maximal-
zugleich mindestens eine solche
f{x^
Zahl x^ in \a,h\ daß
— f{x) ^0,
Dem Weierstraßschen
Satze
a
§
^x ^h.
76,
III
zufolge
existiert
238
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
Dritter Teil.
mindestens eine Zahl a\ in
obere Grenze
G
Intervalle
?>]
[a,
Intervalle [x^
—
genommen
G
indem
hat,
bezeichnet.
x,
wird;
£
ist,
es
ist
die obere
In
x,
Grenze von f(x) im ganzen
jedem
existiert
x^-\- t]
G — f{x) <
daß
so
im Intervalle [x^—
so daß f(x)
[«,?>],
wie klein die positive Zahl x auch angenommen wird, die
Xy^-\- x\,
dieser
willkürlich
demnach mindestens
kleinen
eine Zahl x,
auch die positive Zahl
wie klein
denn
daher f{^'i)= G]
sonst
e
an-
könnte
die
Funktion f{x) für x = x^ nicht stetig sein.
Der Satz III ist von Weierstraß in seinen Vorlesungen mitIn ganz ähnlicher Weis findet man den analogen
geteilt worden.
Satz:
IV. Ist die
Funktion g){u,v)
reelle
stetig
ohne konstant zu
sein,
tvenn das Zahlenpaar {u,v) das Arealhontlnuum A, seine Begrenzung
mitgerechnet,
einen
durchläuft,
Maximal-
als einen
so hat q)(u,v)
Kontinuum sowohl
in diesem
Minimalwert.
im Intervalle [a, 6] stetig, und
und /"(/3) verschieden, wo a
159. Ist die reelle Funktion ({x)
sind die Fvinktionenwerte f{a)
und ß dem
Intervalle [a, &] anhören, so enthält das Intervall
=Ä
mindestens einen solchen Zahlenwert y, daß f(y)
einen willkürlichen zwischen f(u) und f(ß)
wird, indem
gelegenen Zahlenwert bezeichnet.
[a,
/3]
Ä
Welchen Satz
160.
erhält
man
durch Kombination der vorher-
gehenden Aufgabe mit dem Weierstraß sehen Satze § 80, Ul?
161. Bezeichnet Ä ein willkürliches endliches Kontinuum, welches
den Wert x
=
Wert von Log x
Man
162.
nicht umschließt,
eine in
Ä
stetige
so
ist
ein willkürlicher
Funktion von
hat die Stetigkeit der willkürlichen Potenz
x.
x"'
zu unter-
suchen.
Kapitel XIX.
Grleiclimäßige Konvergenz.
§ 81.
Wir
Gleichmäßig konvergente Fundamentalreihen.
setzen über die Zahlenfolge
fo(^), fi(^), Üi:^),
(1)
•
•
; fn{x),
•;
deren Elemente Funktionen von x sind, voraus, daß
vergiert,
wenn x
das
Kontinuum
Fundamentalreihe wird durch
lich
ist,
K durchläuft;
F {x) bezeichnet.
sie
stets
kon-
der Grenzwert dieser
Wenn
es
dann mög-
für eine vorgegebene, willkürlich kleine positive Größe € eine
Gleicliinäßige Konvergenz.
Kapitel XIX.
solche positive ganze Zahl
N zu
(2)
n^ N
immer
£
I
I
wird, welchen
bestimmen, daß für
- f\x) <
F{x)
239
§ 81.
im Kontinuum Ä" man auch anwendet, so
Fundamentalreihe (1) im Kontinuum
gleichmäßig
Wert von
a:
K
sagt man, daß die
zu seinem Grenzwerte F{x)
konvergiert.
Bei der gleichmäßigen Konvergenz hängt also die positive ganze
N
allein von s, nicht aber von x ab.
Es sei nun p eine willkürliche positive ganze Zahl, dann hat
man wegen (2) auch für n ^ iV" immer
Zahl
aus der Identität
- fn(^) = F(^) - fnip) - (F{X) - f]^^^{x))
U,{^)
ergibt sich dann
während p jede beliebige
Beispiel
1.
Setzt
positive ganze Zahl bezeichnen kann.
man
/;W =
so
n^N,
\U,i^)-fni^)\<^^,
(3)
i
n
für jedes
+n+
fi
+
---+sT'
hat die entsprechende Zahlenfolge (1) den Grenzwert
und
e^
ist
gleichmäßig konvergent in einem willkürlichen endlichen Kontinuum.
Beispiel
2.
Ist für jedes
n
fM =
so
1
—
nx-\-l'
hat die entsprechende Zahlenfolge (1) den Grenzwert
und
1
ist
gleichmäßig konvergent, wenn x ein willkürliches Kontinuum durchläuft,
die
wenn
dies
Kontinuum
so beschaffen
haben kann.
untere Grenze
Ist
ist,
dies
daß in ihm
der Fall, so
|
x nicht
ist
\
unsere
Zahlenfolge nicht gleichmäßig konvergent.
Über gleichmäßig konvergente Fundamentalreihen
gilt
der wich-
tige Satz:
Sind die Elemente f^(x) der Fundamentalreihe (1) für jedes n
X stetige Funhtionen, ivenn x das Kontinuum
durchläuft, und ist
I.
in
K
die Zahlenfolge (1) in
K
F{x) auch eine in
Gehören x und x
K gleichmäßig
stetige
-\-
konvergent, so
Funldion von
h beide
ihr
ist
Grenzwert
x.
dem Kontinuum
K an,
und bedeutet
s
eine vorgegebene willkürlich kleine positive Größe, so ist es möglich^
eine solche positive ganze Zahl
1
F{x)
- fXx) |< |,
N zu bestimmen, daß
\F{x
+ h)-fSx +
für
},)
I
n^N immer
<I
man demnach
werden; bestimmt
ist,
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
Dritter Teil.
240
man
so erhält
F(x
+
h)
|
|
<
<?
immer
- F(x) = (Fix + h) - f\{x + h)) +
\h\^6 gültige
+
{f,^{x
-
-fjx))
h)
(Fix)
- f^ixi),
Ungleichung
+ A) - F{x) <
F{x
e.
\
I
In diesem
daß für A
so,
aus der Identität
+
die für
6
Zusammenhang
betrachten wir die Funktion f{x,
a),
über welche wir voraussetzen, daß
f(a, a)
= lim f{x,
a)
x=a
endlich und bestimmt
läuft; die positive
wenn a
ist,
Zahl
6, die
immer, für ein bestimmtes
so beschaffen
ay<B
a)-f{x,
im allgemeinen außer von
wird, hängt
Ungleichung
daß
ist,
K durch-
für \x — a\^6
a,
\f{a,
(4)
Kontinuam
ein gewisses
b
auch von a
(4) für dasselbe a richtig, welchen
ab.
Ist
aber die
Wert von x man
in
K
auch wählt, so sagt man, daß f\x, a) gleichmäßig gegen seinen Grenzwert
von
a, so
wenn a
a) konvergiert,
f'{a,
Beispiel
Kontinuum
und ist g
das
Sind x und a positiv,
3.
K durchläuft.
Grenze
die untere
konvergiert die Funktion
a
X
gleichmäßig gegen die Null mit
Man
x,
^
e
wenn nur ^9
a
a
- ^ 2a^
X-
wenn
ist,
>
angenommen
wird.
hat in der Tat, weil a und x positiv sind,
x^^as
woraus
~^
X
^
^ ^ ^
^ 2«
'
wird, und also um so mehr, wenn x<i2gE
deutlich hervorgeht.
Konvergenz für ^
die obengenannte Konvergenz nicht mehr
angenommen
die gleichmäßige
Ist aber
cc
g =
0, so ist
>
gleichmäßig.
163.
Man soU
die
Zahlenfolge fi{x), f^{x),
•,
f„{x),
•
.,
wo
ist,
für
•
allgemein
f\{x)
zu setzen
reelle
ist,
je
=
ä;
+
*^-
nachdem x
x untersuchen.
,
fXx)
rational
=
x-\
oder irrational
,
Gleichmäßige Konvergenz.
Kapitel XTK.
164. Sind
die
Funktionen von x, so daß die Funda-
sämtlicli
y,^^
241
§ 82.
mentalreihe
Vqj Viy
K stetig,
'}
'
'
und
ist
F{x)
so ist die Zahlenfolge
, F(yJ,
F{yo), F{y.), F(y,),
K
im Kontinuum
eine
'
UnJ
K gleichmäßig konvergiert,
einem Kontinuum
in
in
'
y^ij
•
•
•
gleichmäßig konvergente Fundamen-
talreihe.
165. Sind die y^
sämtlich Funktionen von
^
x, so
daß die p Funda-
=
2, 3
mentalreihen
2/,-,
07
2/., 2.
2/r,l.
ist
q){x^,
x.^,
•
man
Variabein, so hat
To?
=
wo aUgemein %,
xj
•
^
"
*
yr,n,
'
K
Kontinuum
sämtlich in einem
und
-,
•
•
1
,
•
,
p
Funktion ihrer p
rationale
eine
,
gleichmäßig konvergieren,
die Zahlenfolge
^27
9^17
(p(y^ ,„,
•
•;
•
y-2,n,
Vn>
'
•
'y
•
•;
2/^,»)
gesetzt
worden
zu untersuchen.
ist,
Gleichmäßig konvergente Reihen.
§ 82.
Die unendliche Reihe
s{x)
(1)
= Uq{x) +
Ui(x) -{-u^{x)
deren Glieder Funktionen von x sind,
Kontinuum K, wenn
die aus den
h u^{x)
-\
ist
-]
,
gleichmäßig konvergent im
Partialsummen
gebildete Zahlenfolge
Sq{X), S^[X), s^{x),
in
K gleichmäßig konvergiert.
Rn,pi^)
(2)
•
s^[x),
•,
= Sn+pi^) - SÄOO) =^ M„ + ,(^)
der Reihe (1) ein, so hat
man wegen
unendliche Eeihe {1)
gleichmäßig konvergent, wenn
positive von
ganze Zahl
ist
es
positive ganze
§ 81, (3) den Satz:
bezeichnet,
e
möglich
> N,
ist,
eine solche positive
indem p eine
immer
\K,M\<'
(3)
wird, welchen Wert aus
K man auch
Nielsen, Lehrbucli der unendlichen
K
für eine vorgegebene willkürlich kleine
hestimmen, daß für n
Zahl
=1
dann und nur dann im Kontinuum
Null verschiedene Größe
N zu
•
Führt man das Restglied
2
L Die
•
Reilien.
für x
einsetzt.
16
beliebige
242
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
Dritter Teil,
Beispiel
Die uueudliche Reihe
1.
cos o;
j2
ist
cos 2 a;
r
jTä
für jeden endliclien reellen
denn
cos 3 a;
2^
ß
I
-j-
.
.
.
Wert von x gleichmäßig konvergent;
es ist
+ S}^
+
^C^ cos (»4
^
(«
Beispiel
1
(w
S)«
Aus
2.
(4)
die
—
1)
('^
+
"^
*)
**
1
(pa;+l)((i)4-l)a;
man
*
der offenbaren Identität
X
findet
-|-
+
l)
^ja;
+
1
(i)
+ l)a;+l
für die unendliche Reihe
= ^q^ +
Summe s{£) = 1,
s{x)
(^_j_i)(2a;
+
^"
l)
"*
'
(2a;+l)(3a;4-l)
während man für
die
Partialsumme und das
Restglied die Ausdrücke
sAx)
Aus
findet.
Reihe (4)
nicht
— —r^,
=1—
;
diesen
=
'R„ix)
r-r;
Bemerkungen
— —rr =
ergibt
— sAx)
daß die unendliche
sich,
jedem Kontinuum, für welches
in
s{x)
r-r.
-,
die untere
x
Konvergenz
Grenze für
|
\
ist,
gleichmäßig konvergiert; für x
unserer Reihe unendlich langsam;
man
hat
=
z.
ist
die
(4)
auch für x
B.
1
^.(«i.)
auf der Hand,
es liegt
aber
mit der
Summe
Beispiel
das
3.
Kontinuum
^5
daß unsere Reihe
=^
1 konvergiert.
Bezeichnet
G,^ die
K durchläuft,
Gliedern ZlG,^, so
ist
die
obere Grenze von
und konvergiert
die
|
uj^x)
|,
indem x
Reihe mit positiven
Reihe (1) in diesem Kontinuum iC gleich-
mäßig konvergent.
Der Begriff gleichmäßig konvergente Reihen ist beinahe gleichzeitig von Stokes^) und Seidel^), am klarsten bei dem letzten,
eingeführt worden; aber zuerst durch die Vorlesungen Weierstraß'
ist
die
fundamentale Bedeutung dieses Begriffes in helles Licht ge-
treten.
Denken wir uns, daß die Glieder u,^{x) der Reihe
für jedes n stetige Funktionen sind, so ist
tinuum
K
1)
2)
(1)
im Kon-
sicher jede
Trausactions of the Cambridge phil. Society, Bd. 8, p. 533; 1848.
Abhandlungen der Münchener Akademie Bd. 7 1848. Ostwalds Klas-
siker Nr. 11(3 (1900).
;
'
Grleichmäßige Konvergenz.
Kapitel XIX.
einzelne Partialsumme auch
eine
in
K stetige
243
§ 82.
Funktion von X] aus
§ 81j I finden wir daher unmittelbar den folgenden Satz:
Sind die Glieder u^x) der unendlichen Beihe (1) sämtlich in x
II.
dem
Reilie (1) in
die
ist die
Beihensumtne s(x) eine in
Cauchy^) behauptete, daß
sei, wenn die
und
die
und
,
außer-
ist
diesem Kontinuum gleichmäßig konvergent, so
Funktion von x
sind,
K durchläuft
FunJdionen, wenn x das Kontinuum
stetige
K
Funktion von
stetige
s(a;)
eine
x.
im Kontinuum K.
stetige
K stetig
einzelnen Reihenglieder in
Reihe (1) außerdem konvergiert, wenn x dies Kontinuum
durchläuft schon A b eP) bemerkte, daß diese Behauptung im allgemeinen
;
nicht
richtig
sein kann;
Wenn
dies
mit
aber
Einwaudes
Richtigkeit dieses
die Reihenglieder u^J^) sämtlich in
Reihensumme
der
Cauchy^)
später hat
viel
erst
die
erklärt.
s{x)
nicht
der
K stetig sind,
Fall ist, so
während
kann die
Reihe (1) sicher in TL nicht gleichmäßig konvergieren.
Die Reihe (4) ist nicht in einem Kontinuum, welches den Wert
a;
=
gleichmäßig konvergent; ihre
enthält,
in diesem
Kontinuum
der
stetig.
= x x{\ — x) x{\ — xY + x{\. — x^
für
^ < 2 konvergent; das Restglied ist
s{x)
für
-\-
-\-
-\-
•
•
•
ic
< <2
rc
Summe
aber doch
ist
Die Reihe
Beispiel 4.
ist sicher
Summe
ist
s{x)
lich langsam;
=
man
unsere Reihe daher gleichmäßig konvergent mit
1; für
x
hat
B.
i^„ [l
also bei hinreichend
z.
—
==
konvergiert diese Reihe aber unend•
«7
e
=
großen n von
X = hat unsere Reihe
demnach für x =
(wo
[e
die
= e~»
1 beliebig
Summe
die
»7
0.
wenig verschieden; für
Die Reihensumme
s (x) ist
Reihe nicht gleichmäßig konvergiert)
unstetig.
166.
Es
ist
zu beweisen, daß die unendliche Reihe
für jeden endlichen
Wert von x gleichmäßig
1)
Analyse algebrique,
2)
Journal für Mathematik Bd. 1; 1826.
3)
Comptes rendus Bd. 36,
konvergiert.
p. 131; 1821.
p.
,
454—459;
(Euvres Bd. 1, p. 224.
1853.
16*
-
244
Dritter Teil.
167.
Man
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
beweisen, daß die unendliche Reihe
soll
«
/w
=»
,
^J
3«4-l\
,
'"'("+
y:
2
)
für jeden endlichen Wert, der weder Null noch negativ ganz
ist,
gleichmäßig konvergiert, und daß für positive a,x will-
kürlich endlich,
lim fix
+
=
ö)
ist.
168.
Es
ist
zu beweisen, daß die durch die unendliche Reihe in
Aufgabe 167
definierte
Funktion f{x) der Fundamentalgleichung
- fix +1)=^^,
fix)
genügt; dadurch
soll
man
endlich für fix) diese andere Ent-
wicklung
^w == ^ + (^ip + W^VW
"*"
*
'
herleiten (Catalan)^).
169.
Man
hat für reelle x die unendliche Reihe
m=oo
fix)
V
=
=
n
inxe-""'"
-
+
in
D^re"
("
+
i)^')
l
ZU untersuchen und das Restglied B^{x)
B. für
z.
x
=n
_
1
zu
^
betrachten (Darboux).^)
170.
Man
unendliche Reihe s(x)
soll die
=
Uu^^i^x)
und ihre Summe
untersuchen, indem u^^ix) durch die Ausdrücke
^«(^)
von n
=
=
(1
— ^)^"}
an zu definieren
irrational
^^ni^)
ist,
je
=
(^
+
^)(— ^T
nachdem x
rational
171. Die periodische Funktion aix) mit der additiven Periode
also
aix
^ ^
a;
ist.
1)
-{-
1)
ist,
-^-
Man
unstetig
=
wird so definiert,
c^i^),
während
o:
(a;)
= —
ic
1 für
-}r
daß aix)
<,x
^1
=x
-f-
1,
für
zu setzen
hat zu beweisen, daß die Funktion
ist
Memoire sur
für x
la
=
i2p
-\-
1) :(2w),
wo
transformatiou des series,
Annales de l'Ecole Normale
(2)
dieser
p. 18.
de sav. etrangers de TAcad. de Belgique Bd. 33; 1865.
2)
oder
ist.
Bd. 4; 1875.
Bruch
irredu-
Mem. couronnes
et
1
Gleichmäßige Konvergenz.
Kapitel XIX.
und
ziebel ist,
245
§ 83.
Sprünge der Funktion für diesen Wert
Wie verhält sich diese Funktion für
die
von X zu bestimmen.
Wert von
jeden andern reellen
(Riemann)^).
a;?
Gleichmäßig konvergente Produkte.
§ 83.
Das unendliche Produkt
= J7
-pc^)
(1)
^^
+
'*«^^')^'
dessen Faktoren Funktionen von x sind, heißt gleichmäßig konvergent
im Kontinuum K, wenn
a + %i^))
=12
=
Pni^)
(2)
den Partialprodukten
die aus
r
gebildete Zahlenfolge
in
,
P,(x),P,(x), P,{x),
(3)
K
P^x),
...
gleichmäßig gegen ihren endlichen und von Null verschiedenen
Grenzwert
P (x)
konvergiert.
Betrachten wir nunmehr die unendliche Reihe
n
L(x)^
(4)
CO
^
M
so
=
log (1
+
u^ (x)
)
= log P (x)
-f 2q7ti,
=
sind die Partialsummen X„(^) dieser Reihe für jedes n mit den
Partialprodukten (3) durch die Gleichungen
A.
(5)
= log P„ (x) +
(x)
Mühe
verbunden, woraus der folgende Satz ohne
I.
Das imendliclie Produkt (1)
und nur dann gleichmäßig
auch in
Ist
setzt
K gleichmäßig
ist
nämlich die Reihe
für
entfließt:
einem Kontinuum
wenn
konvergent,
L{x)
so
in
e Ki^)
K
dann
die unendliche Reihe (4)
konvergiert.
man
durchläuft,
ist
=
P„ (x)
2r^i,
n^N
in
(4)
K
gleichmäßig konvergent, und
= L^{x)-^Q,^{x),
(x) < e, indem
immer q^^
und wir erhalten somit wegen
j
\
(4)
x das Kontinuum
und (5)
K
P {x) = /« + ^" = P„ {x) e"" ,P(x)- P„ {x) = P{x)-(l- e"^"^"0
da nun P (x) endlich
und da e~^'^'^^> seinem Grenzwerte 1 gleich^"^
^"^
^'^
ist,
mäßig
1)
zustrebt,
wenn n über
jede
Göttinger Abhandlungen 1867.
Grenze hinauswächst,
Werke,
p. 242.
indem x
246
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
Dritter Teil.
K
durchläuft, so
das Kontinuum
mäßig konvergent.
Ist umgekehrt das Produkt
und setzt man
^(^•)
so
N
immer
n ^
und man hat
für
ist
durchläuft,
L
da nun log
(x)
+
(1
= L,{x)
(?„
(x)
)
^.u')a
<?^
(x)
-\-
IL
die
Ist
Kontinuum
K
+
log (1
+
man den
K
gleich-
gleichmäßig konvergent,
^„(^)),
indem x das Kontinuum
£,
+
(?„(^))
2g;r^•;
gleichmäßig zustrebt,
seinem Grenzwerte
so ist auch die Reihe (4) in
Speziell findet
<
\
K
in
(1)
=
[
^
das Produkt (1) in
ist
gleichmäßig konvergent.
folgenden Satz:
Reihe mit positiven Gliedern 2J
gleichmäßig Ttonvergent,
so
\
u^ (x)
Txonvergiert
\
in einem
das unendliche
K
gleichmäßig, wenn l-eine der Funktionen u^ (x)
ProduJd (1) auch in
1 annehmen kann, indem x das genannte Kontinuum
den Wert
K
—
durchläuft.
Aus der
WO
Identität
zwar mit x
k^^
variiert,
(6)
G
ist,
indem x das Kon-
durchläuft, ergibt sich ohne
V
indem
•
K7
dem Grenzwerte 1
Mühe
eine Fundamentalreihe mit
K
'•,
^"2,
/q,
A'o,
tinuum
aber so daß die Zahlenfolge
+
log (1
u^^, {X))
< G J;
.
j
,
u^^^ix)
I,
die obere Grenze der absoluten Beträge der Zahlen (6) be
zeichnet; damit ist unser Satz aber bewiesen.
Aus dem allgemeinen
Satze § 81, I finden wir hier speziell:
Sind sämtliche Funktionen m„ (x) in einem Kontinuum
tige Funktionen von x, und konvergiert außerdem das Produkt (1)
mäßig in K, so ist der Wert F (x) dieses Produktes eine in
TIT.
K
Funktion von
K
stetige
x.
Als erstes Beispiel betrachten wir das unendliche Produkt
P(x)-fj{l + l)e";
(7)
n
=
1
aus der Entwicklung
ß
«
=
1*
1
y
+ in- — btr
IT"
-,
11
'
o
,.
o
•
K„.
"'
ste-
gleich-
Kapitel XIX.
WO
Gleichmäßige Konvergenz.
K^^ stets endlich bleibt,
wegen
ergibt sich
wenn x nur endlich angenommen
wird,
(7)
=
n
es ist
247
§ 83.
1
demnach
U„ (X)
=—
i—-
+
'
1.
K'n
ZU setzen.
Dem
Satze II zufolge
konvergent für
Funktion
Ist
P (x)
das unendliche Produkt (7) gleichmäßig
ist
endlichen x, die nicht negativ ganz sind, und die
alle
für alle diese
ist
Werte
x
eine in
stetige Funktion.
X negativ ganz, und läßt man aus (7) den Null werdenden FakProdukt auch für diesen Wert von
tor weg, so ist das so erhaltene
X konvergent.
Die Funktion
P
{cc)
verschwindet offenbar für negative ganze
Werte von x aber sonst für keinen anderen endlichen Wert von
Aus II haben wir noch den spezielleren Satz herzuleiten:
IV.
toren
,
endlichen
uenn
es
endlichen
gegen Null divergiert; das
x
=
+
stetige
letzte
Produkt
Funktion dar, und
^t„• a;)
für jeden
konvergent,
stellt
außer
aber für alle
es gilt eine
Entwick-
Form
+
u,^-x)
=
1
+Ä^x+Ä,x^^Ä,x^ +
•••,
=
die Reihe
rechter
mäßig und unbedingt
die
\u^\) mit positiven Fak-
00
J"J(1
w
x
eine in
7t
(8)
-\-
Produkt iT(l
Wert von x gleichmäßig und unbedingt
lung von der
wo
das Produkt 11 {1
Konvergiert
so ist das andere unendlicJie
x.
Hand
für jeden endlichen
Wert von
x' gleich-
konvergiert.
Wenden wir nämlich die Formel § 59, (10) an und führen wir
Rechnungen rechter Hand aus, so werden die zu den verschie-
denen Potenzen von x gehörigen Koeffizienten durch Reihen darkonvergieren,
gestellt, die sicher
absoluten Betrag
|
m^^
|
einführt.
tenzen von X bis zu x" aus,
Produkte
sämtliche
vom
so
wenn man
Nehmen
jedem u^^ seinen
nun sämtliche Po-
anstatt
wir
haben wir aus dem ausgerechneten
Partialprodukte
P,^
herrührende
Glieder
Da nun
die
und außerdem noch andere Glieder mitgenommen.
übrigbleibende Summe mit unendlich wachsendem n gegen Null konvergiert, selbst wenn man jedes Glied durch seinen absoluten Be-
trag ersetzt, so
ist
unser Satz damit bewiesen.
—
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
Dritter Teil.
248
172.
Ist
'
>
rt
I
man
hat
SO
1,
die
rührende Formel:
n
=
p=
(i
_
-)
a"J
\
?(
=
V
CO
1
p
1
<x>
= + .^
=
Euler ^) her
folgende von
—
t--i^^;^^
(a_i)(a2_i)...(oP_i)
1
und a; < 1 voraus, so hat man
folgende von Euler^) herrührende Formel:
man
Setzt
173.
VT
w
|
a
|
<
1
|
y
=1+
'
=
7'
=
^
1
Die Gammafunktion.
Grenzwert von Gauß.
§ 84.
Anwendung
Als eine
die
|
der vorhergehenden Entwicklungen über
gleichmäßig konvergente Produkte wollen wir
den
speziellen
Satz
beweisen:
Seist
I.
man
für positive ganze n
_
1.2.3...in-l).n^
so ist die Zahlenfolge
r,(x), i\{x), r,(x),
(2)
r^x),
.-.,
...
oder negativ ganz sind, gleichmäßig
für alle endlichen x, die nicht
konvergent; der Grenztvert dieser Zahlenfolge heißt die
Gammafunktion
und kann auch durch das unendliche Produkt
Cx
e
^w = V-J7
(3)
WO C
die Eulersclie Konstante hezeichnet, dargestellt werden.
Schreiben wir der Kürze halber
^xlogn
j
^•(^)
(^)
und
=
^-(.+l)(.+l)...(IT^^'
setzen wir
C,
(5)
=i+^+i+
also
C
(6)
1)
..-
+ ^^^-log«,
= limC^,
Introductio in analysin infinitorum Bd.
2) loc.
cit.
p. 313.
I,
§
306; 1748.
Gleichmäßige Konvergenz.
Kapitel XIX.
so ergibt sich,
wenn wir aus
n wegen
(4) log
C„ X
p-^n^
—
-r—r
II
249
§ 84.
(5) wegschaffen
X
p
und unser Satz ist demnach eine unmittelbare Folge des im vorhergehenden Pai^agraphen über das unendliche Produkt § 83, (7)
entwickelten.
Dadurch finden wir noch unmittelbar den Satz:
IL Die Gammafunktion ist für jeden endlichen Wert von x, der
jedoch weder Null noch negativ ganz sein darf, eine in x stetige Funktion, und sie verschwindet für keinen endlichen Wert von x.
Setzt man in (1) x -\- 1 anstatt x, ^o erhält man
r
(x4-
=
\\
woraus der neue Satz
III.
''-^{n-l)-n-n^
^
nx
_
.
.
_p
x
entfließt:
Die Gammafunktion genügt der Fundamentalgleichung
r{x+i) =
(7)
Da nun
immer
für jedes n
n(l)
man
hat
so
(7),
indem n eine
=
l
und daraus allgemeiner wegen
1
positive ganze Zahl bezeichnet:
r (w) =
(8)
=
ebenfalls jT (1)
ist,
x- r{x).
1
.
2
•
3
.
.
.
(w
-
1)
= (w -
1)!
Für den allgemeinen Binomialkoeffizienten
erhalten wir
/^
— 1\
/_
\
n
^
)
wegen
(1)
1
\n (1
—
a;)
(2
—
a;)
{n
.
— x)
1-2-3.4...W
^
den Ausdruck
der uns später nützlich sein wird.
Der Grenzwert
= lim
(10)
rix)
rührt von
Gau ß^)
gleichzeitig
[4:1-^-1:^:^1^111^1
= ü^
r„
(x)
während die Prodüktentwicklung (3) beinahe
von Schlömilch^) und Newman^) gefunden worden ist.
her,
1)
Comment. Götting. Bd.
2)
Grunert Archiv Bd.
3)
Cambridge and Dublin math. Journal Bd.
4, p.
2, p.
25—26;
Werke Bd.
1812.
171; 1844. Analytische Studien,
3,
p.
57
— CO;
III,
I,
p. 145.
p. 45; 1848.
1848.
:
250
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
Dritter Teil.
bemerkt, daß für x
=
der Zahlenfolge (2) den
Wert
allgemeiner gilt der Satz
Für
reelle
Wir haben schon
IV.
endliche
annehmen
1
ganze
x,
;
1
sämtliche Elemente
Werte kleiner als 2 ausge-
immer monoton und zivar wachsend
— 2n, n positiv ganz, sonst aber
—2n-\-\'>x'>
1
ode>'
^
>
für
immer abnehmend.
Es ist in der Tat
schlossen, ist die Zahlenfolge (2)
und
WO
wegen §
also ergibt sich
h^
für alle
n endlich
24, (18)
durch Ausrechnung erhält
bleibt;
man
daher
nn
y^^)
^^
^^^
-
^
1
(^
-
1)
K
+«^'
I
2n^
r„+i(.^)
alle n endlich bleibt; es ist demnach für
n der Quotient linker Hand in (11) größer als 1
oder kleiner als 1 je nachdem 1 >rr>0 oder nicht angenommen wird.
Für hinlänglich große n haben aber die F^^ (x) alle dasselbe
Vorzeichen, und damit ist unser Satz also bewiesen.
wo
l^
hinwiederum für
hinlänglich große
174.
Für ganze, nicht negative n hat man den Grenzwert
lim {x -^ n)
175.
Wenn
NuU
(-
F {x)
1)«
n:
und zwei der
Zahlen a, ß und y feste bestimmte Werte haben, während die
dritte in solcher Weise variiert, daß immer S^t (y — o: — jS)
y weder
noch negativ ganz
ist,
>
ist,
so ist die unendliche Reihe
F{a,
/3,
y, 1)
=1+
^--^
-\-
i.2.y(y4.iy-
+
•
•
•
— — ß)
a
unbedingt und gleichmäßig konvergent; ist aber ^{y
0, so kann diese Reihe niemals konvergieren, wenn
<
wirklich unendlich sein
soll.
sie
Kapitel XX.
Trigonometrische Reihen.
251
§ 85.
XX.
Kapitel
Trigonometrische Reilien.
Konvergenzkriterien.
§ 85.
Satz
von Malmsten.
Unter den trigonometrischen Reihen müssen wir uns auf den
folgenden Typus
n
^^
ttQ
l-
n
WO
die Koeffizienten a^
schränken.
Da
=
c
c
^
4-
=
nx
(ö^„cos
&„sin nx),
-{-
l
und
von x unabhängig
b^ sämtlich
sind, be-
allgemeine Frage über Konvergenz oder Nicht-
die
konvergenz der Reihe (1) überaus große Schwierigkeiten darbietet
so müssen wir uns hier auf den folgenden Satz, der in speziellerer
Form von Malmsten^) gegeben worden
1.
Wenn
befriedigen:
konvergent
,
U a^^cos nx
1.
so
für n
lim a,^^=
jede
ist
=
oo,
Zahl
beschränken:
2.
die Reihe 2J
—6, 2pn
-{-
\
a„—a^_^_^
U a^ cos nx
beiden Reihen
der
einzelne
in jedem Intervalle \2p7C
kürliche ganze
ist,
a„ die beiden folgenden Bedingungen
die Koeffizienten
wop
ö],
ist,
eine will-
gleichmäßig konvergent.
Die Konvergenz der beiden obengenannten Reihen
ist
eine un-
mittelbare Folge des Satzes § 39, II; denn die beiden Reihen 2/ cos
ist.
zu
ist
tvährend 6 eine willkürlich kleine von
bezeichnet,
Null verschiedene positive Zahl
und
\
und
nx
U sin nx oszillieren zwischen endlichen Grenzen, wenn x=^ 2p
Um die gleichmäßige Konvergenz dieser Reihen in helleres Licht
tc
stellen,
woUen wir unseren
Satz folgendermaßen beweisen:
Be-
trachten wir die Kosinusreihe, und multiplizieren wir das Restglied
K,p(^) =
(^n
durch 2 sin
+i
l-
cos(w+l)a;
mx =
sin (iu
-\
\-
Anwendung
erhalten wir unter
x, so
2 sin l'X cos
(2)
+ a„^2 cos{n-\-2)x
-f- -^-) ic
a„^^cos(w-f-i;)a;
der Identität
— sin (m —
-\)
x
den folgenden Ausdruck
= - «„^.1 sin (w
2 ^„,p(^) sin \x
s= p —\
+
^
s
=
(«« +
.-
<*„
-f-
+ . + i)
i)
•
a?
+ «„^^sin (w +i? + 1) x
sin
{n^rs^r
i)
1
woraus der Majorantwert
folgt:
s=p-\
=
1)
Nova Acta Upsalensis Bd.
12, p. 255;
1844.
1
*',
-f-
—
,
252
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
Dritter Teil.
Den beiden Voraussetzungen über
es für
ist
Summe
Hand
rechter
2
so hat
N
+ a < X ^{2 q +
q%
2)
TT
zufolge
möglicli eine solche
n^N
~
immer
die
außerdem
in (3j kleiner als e wird; ist
a
man auch
sin
1
und somit ergibt
wegen
sich
> sin
"
4- ß:
(3)
^
^
s
bestimmen, daß für
zu
a
die Koeffizienten
ein vorgegebenes willkürlich kleines
ganze Zahl
positive
,
2 sin
2
für die Kosinusreihe bewiesen
womit unser Satz
Ganz
derselben Weise kann
in
Malmsten
folge «1 «2 «3
a„
.
.
ist.
die Sinusreihe behandeln.
wo die Zahlenmonoton abnehmend mit dem Grenzwerte
nur denjenigen Fall,
betrachtete
...
man
.
Null war.
Setzt
man
den oben betrachteten Reihen x
in
^
(—
-\-
n
anstatt x,
n x und
in
unter
denselben
Voraussetzungen
wie
vorher
ly'a^^smnx
(
—
<C.
x ^ (2 p-\-l) %
a
jedem Intervalle von der Form (2^— l)jr + a
Diese Reihen können übrigens auch
gleichmäßig konvergieren.
x
direkt behandelt werden, indem man das Restglied mit 2 cos
leuchtet
so
ein,
daß
die
Reihen
beiden
1)" «„ cos
2^
i-
multipliziert.
Unter Anwendung der in § 42 gegebenen Entwicklungen leitet
man nunmehr unmittelbar aus I den folgenden spezielleren Satz, den
man Weierstraß^)
IL
verdankt, ab:
Existiert für die Koeffizienten
a„ eine Entwicklung
von der
Form
_^=l+^±i!^+...,
(5)
n
a positiv
ivo
U
a^ sin
(2
^
-j-
1)
so konvergieren
die beiden Reihen Z!
die
diesen
a^^
cos
nx und
-\-
a<a;<
Entwicklungen geht unmittelbar hervor,
daß die
n x gleichmäßig in jedem der
2) % — a.
Aus
durch
ist,
+l
Reihensumme
(1)
Intervalle
definierte
Journal für Mathematik Bd. 51; 1856.
tionenlehre p. 220; 1886.
Werke
Bd.
I,
p. 185.
Funktion
2 p^t
der
reellen
Ver-
Abhandlungen aus der Funk-
Kapitel XX.
Trigonometrische Reihen.
253
§ 86.
änderlichen x im allgemeinen nicht für x == 2^;r bzw.
ic
=
(2p
+
1)
;nr
stetig sein kann.
Es
176.
zu beweisen,
ist
Vielfaches von 2
je
ist,
jäe
i2e
1
L 1
immer
eine
in
positiv
ist.
L
x
Form
.
-
_1_
L
^
=
^ji
cos
nx^
f^
(x)
= ^^
n
n
=
=
CO
daß mindestens
>;«,&._,
h^^
cos
nx
h^^
sin
nx
Beihen
1
= X
=
1
1.
daß
=0
p=l
eine der vier Beihen mit positiven Gliedern
=
M
^!«„±«„+il,
>;'l&.±&„ + il
n
1
CO
=
1
sind die vier Produkte
A {x) A
(4)
Anzahl trigono-
•^"
=X
=
=
= ^^
«
M
71
g^ {x)
1
lim
(2)
n
nx,
Bedingungen befriedigen:
die beiden folgenden
Jconvergiert, so
(x)
der Satz:^)
gilt
9i (^) = x^ ^« Bm
(3)
M
immer als eine Reihe derselben
Über die Multiplikation zweier
(1)
2.
.
eine endliche
n
und
.
die Koeffisienten der vier trigonometrischen
t\ (^)
ist,
.
§ 85, (1) addiert oder subtrahiert,
werden kann.
dargestellt
Wenn
.
man
Form
erhaltene Resultat
so
trigonometrischen Reihen
I.
.
Funktion sein muß, wenn
stetige
metrischer Reihen von der
und daß das
ine
L
.r
auf der Hand, wie
liegt
kein
Reclinen mit trigonometrischeii Reihen,
§ 86.
Es
%
wenn der reelle Winkel
die Reihensumme
daß,
(x), /; (x)
(72
(:r),
/, (a;) g, (x), g^ {x)
g,^
(x)
nach der Cauchyschen Midtiplikationsregel zu entwickeln, wenn die
zu
multiplizierenden
Wert von
x,
und
Beihen
beide
konvergieren
für
ivenn dieser kein Vielfaches von
n
Betrachten wir zuerst die beiden Kosinusreihen
1)
Annali di Matematica 1907.
den betrachteten
ist.
f^
[x)
und
f^ [x),
254
.Reihen mit veränderlichen Gliedern.
Dritter Teil,
und setzen wir voraus, daß
Z
Reihe
die
h^
\
— ^« +
IS
R^ =
=
I
71
^^
sx
a^ cos
•
nx
(h^ cos
+
& _
cos {n
^
,
+ K-s + i-
Um
konvergiert, so
i
Form
schreiben wir das Restglied § 44, (2) in der
das Verhalten
Restglieds
dieses
—
cos
x
1)
-\-
•••
{n-s ^
unbegrenzt wachsen-
für
n zu untersuchen, multiplizieren wir die Gleichung
2 sin ^- X und erhalten dann wegen § 85, (2)
des
2sm^-xR^^ =
wo
der Kürze halber
(6)
Ä=
Ä-B-\i'
&,^
+
sin (n
-f)
s
«
=
=
=
4
=
;
=
cos sa;
f^'s
1
n
gesetzt
worden
n
ist,
und wo
-+
a;
+
U^_,^,)
Bedeutung haben
in (8) die JJ folgende
C^.= (&.-^. + i)sm(m
(9)
-|-)
1
C==^a^cossx-iU,_,+ V,_,+
{8)
mit
C,
^ ^^ ^s^n-s + i' COS sx sm(n — s +
(7)
(5)
n
^^
X
l)x).
i)^.
nun e eine vorgegebene willkürlich kleine positive
und beachtet man, daß die beiden Reihen f\ (x) und fl (x)
Bedeutet
Größe,
konvergieren, so
ist
es
ojBfenbar
Zahl N^ zu bestimmen, daß für
möglich eine solche positive ganze
n^ N^
immer
\Ä\<1
(10)
Wegen
wird.
(7)
und
(2)
ist
es aber
möglich eine solche positive
ganze Zahl N^ zu bestimmen, daß für n^JSf^ immer
\B\<1
(11)
ist.
Weiter
ist
wegen
(9)
und
(4)
die
Reihe 21
\
U„^
\
konvergent;
durch dieselben Überlegungen wie in den beiden Paragraphen 44
ergibt sich daher, daß es auch möglich ist eine solche posi-
und 45
tive
ganze Zahl
zu bestimmen, daß für
|C1<|
(12)
sein
N.^
muß.
n^ N^
immer
Kapitel XX.
N die größte
n^ N immer
der drei Zahlen N^,
nun
Ist
man
Trigonometrische Reihen.
für
2 sin
(13)
und damit
ist
•
I
I
J^J
<
§ 86.
255
.
N^ und N^,
so hat
e,
dieser Fall unseres Satzes bewiesen.
konvergent, so multipliziert man
Ist die Reihe 2^ fc„+ &„^i
beiden Seiten in (5) mit 2 cos ^ x, und die obenstehende EntI
die
wicklung
gilt
Ganz
auch
diesem Falle.
in
Weise werden
in derselben
die übrigen der
Produkte (4)
behandelt.
Da nun außerdem
symmetrisch
sein
das Restglied
muß,
so
unser
ist
R^
den a^ und
in
in (5)
h^
Satz hiermit vollständig be-
wiesen.
Wir haben
Entwicklung von der Form
also eine
wo
gefunden,
=
s
s
gesetzt
F,j,
y,+ ---+ ^„+---
der Kürze halber
—
n
\
V^ = ^^
für
n+
/;(^)/'2(^)= "^2+
(14)
=
sx cos {n
a^ h^ _ ^ cos
— s)x
1
worden ist; wir können indessen sehr leicht diesen Ausdruck
und zwar unter Zuhilfenahme der elementaren Identität
2 cos sx cos (n
umformen.
— s) x ^
cos
nx
-\-
+
•
cos (u
—
2s) x,
Setzen wir noch
ZV^
(15)
= «1
+
&„_1
«2 ^.-2
•
+
•
»«-1 h,
so ergibt sich in der Tat
(^^)
Vn=Y «^«cos nx +
i
'2' iaX-s+(^n-s'bs)
cos {n
- 2s) x,
4=1
WO
der Strich nach
für ein gerades
dem Summenzeichen
n das
rechter
letzte Glied zu halbieren
Hand
daß
angibt,
ist.
In gauz ähnlicher Weise finden wir die beiden anderen Formeln
f^{x)g,{x)=^ 7^
(17)
(1'^)
wo
^i(^) g^i^)
=
n
der Kürze halber
(19) F;
= I tv^ sin nx + 1
+
+
^
=
•
re
+ Fl + -.- + n + .-n + n' + ••• + v: + •••,
F^
—
1
2
^
(«.
K-s-
^s
««-.)
sm
{^
-
2
s)
x
256
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
Dritter Teil.
<==
2
(20)
Vn
=-
+
w„ cosnx-\- \ '^'{a, &„ _ ,
1-
.s
=
h,
{n~2s)x
a„ _ ,) cos
1
und wo der Strich nach dem Summenzeichen
Bedeutung wie in (16) hat.
§ 46 entwickelten Sätzen ergibt sich ohne weiteres
gesetzt worden sind,
in (20) dieselbe
Aus den
in
der folgende mei-kwürdige Spezialfall unseres Satzes
IL
Wenn
I:
die beiden Zahlenfolgen mit positiven Elementen
h h h
«1 «2 «3 ••• «« •'•,
•••
•
^n
monoton abnehmend mit dem Grenzwerte Null sind, so können
die
Produkte (4) nach der Cauchyschen Multiplikationsregel ausgerechnet
werden, falls das Produkt der beiden alternierenden Reihen 2J (— 1)" a^
und
2J
177.
..
=
{— ly b,^
diese Eigenschaft besitzt.
Mit denselben Bezeichnungen wie in § 86 gelten die Formeln
/ «
ft
"^
OD
^^ a^cosnx
=
\
oo
00
^\
'^ 6„ cos
\l
«
,
wiC
j
=»
X
n
/ M
\
I
— ^^ a^sin nxyl
=
CO
OD
^^b^^si
sm
'
^^
tix
j
«
=
/
1
\« =
/
1
'
re
=
/
1
\n =
1
= X
n
w^ cos n X
n=
,n
=
<xi
^^
/ M = oo
\
1
/
\n =
/
1
/n=
s«
M
=
§ 87.
Satz
=
=
\
00
II,
1
V
yr iv^Binnx.
von Pringsheim.
konvergiert;
Spezialfall unseres
für welchen die Reihe mit positiven Grliedern
«1 b^
(1)
n—'x>
CO
Mit Pringsheim betrachten wir denjenigen
Satzes § 86,
'
dieser
+
«2
FaU
^^2
+
»3 ^3 H
bietet
ein
\-
«« ^„ H
besonderes Interesse dar,
indem
wir unter Zuhilfenahme der in § 46 entwickelten Formeln beweisen
wollen, daß die Konvergenz der Reihe (1) eine hinreichende Beist, daß die im Satze S 86, II betrachteten Produkte
hinwiederum in trigonometrische Reihen entwickelt werden können,
indem wir einfacher Weise die Glieder der Produktreihen nach cos nx
dingung dafür
bzw. %va.nx ordnen.
,
Kapitel XX.
Trigonometrische Reihen.
257
§ 87.
Schreiben wir in der Tat die Reihe § 86, (14) folgendermaßen
fA^)U^) = (F,+ F3+ F,+
(2)
enthält
so
für welche
,
Summe
eingeklammerte
die
dukte a h
p
<^n
q
-\-
+ FJ
...
+E„,
Hand
rechter
sämtliche Pro-
und keine anderen; setzen wir
ist,
daher der Kürze halber
= &1 % + +
Bp^n = a^hp +
^P,n
(3)
(
wo
für
p
2r
-\-
=
ungerade
p
n oder
-\-
^2 «?'
i -\-
a^Opj^-2
p
aufgegebenes
ein
S
2^P^
=
p
•
~\-
•
•
•
•
•
+ ^r
+ a^
^i*
+
r
Oja
+
r
1,
—p
nachdem n
je
ist,
daß
gerade oder
so ergibt sich
ist,
(4)
+
2
Zahl r so zu bestimmen
die
=n—
2r
+
l
"^«'«
=
11
+ ^ '^'^'''s + ^s,n + B:,n)
2
=
4
Führen wir nunmehr
die in §
46 betrachteten Reihen
= a^ + &i + «j + &2 H
B, = &, +1«! + &j+2«2 H
J.^
cos SX.
1
\-
2
1
a.j
+
s'bs-^
^ \+.,^s H
;
also speziell
Aq
ein,
= Bq =
+
«i&i
a^h
+
•
•
•
+
a,fij
+
•
•
•
und setzen wir der Kürze halber
s
s
= oo
=l
— 00
s
-t5p,
n '^^ -^p
-^P, "
^"^^
y^i
s
so ergibt sich aus (2)
(5)
/;
und
+ « ^p + + $
?•
j
daß
(4),
= ^0 + ^ •^('^^^ +
{x)i\{x)
^1'
=l
^s
+
-^0 cos
s:r
+
Rn,
s=l
WO
der Kürze halber
s
Bn
(6)
=
Ist
worden
.^
ist,
nun n—p
sein
—p
S^
muß.
J-^'+i,«
den Faktor
4"
aber n
COS
=l
ungerade, so enthalten die ersten Grlieder der beiden
Reihen Äp^n und
FaUe
ist
n
— Äo,n " -^(X,« + K'n)
Rn
s
gesetzt
=
gerade,
Nielsen, Lelirbuch
so
'^ A"
enthält
der unendlichen Kelhen.
&r + i; es ist
.
das
demnach
in diesem
•
erste
Glied
in
17
^p,„
den
«
;
Faktor
ist
Reihen mit verändeiiichen Gliedern.
Dritter Teil.
258
fe,-
+
das erste Glied in Ä'p +
i,
i,„
aber den Faktor
b^,
und
es
demnacli hier
-^J),n
^ '^p + l,n
immer
SO ist
—p
nachdem n
setzen wir also, je
Ap^n
(7)
brCip
+ ,+l'i
ungerade oder gerade
— Ä'p+x^n
ist
CCp^n> 0,
-\-
und weiter hat man
(8)
«i,„
Nach
B'n in (6)
+
+
«2,«
---
««,»^"'«+i-
diesen Vorbereitungen haben wir
bedeutet
zu mitersuchen;
kleine positive Größe,
so
denn
und ^o,« sind
i?„
e
eine
nunmehr das Restglied
vorgegebene willkürlich
möglich eine solche positive ganze
es
ist
Zahl N^ zu bestimmen, daß für n
sind;
+
^
N^ immer
zweier
Restglieder
ja
konvergenter
Reihen; weiter setzen wir
=
Vn{x)
^
Ä.'^n
cos
SL
und erhalten somit
«
2sin^
•
v^{x)
= «-1
=^{Ä'ln
— Äs +
i,„)
sin
{s+ ^jx
+
Ä'n,„ sin
(n-\-^j
x—
4=1
— .ll'^siu-,
woraus, indem wir noch die Reihe
s
= n—l
einführen, die neue Gleichheit folgt:
s
2
sin |-t„(^)
+ <(^)= ^{-Kn — X'+i,n +
(9)
.v
da nun wegen (8)
sein
=n—l
muß,
2 sin
1
ccs,n)
sln (s
+
2)
=l
+ X',M
sin
()i
+ -^) ^ — ^1,«
sinf
<
+1
ist,
während J."„
— J."+i,„ + a^,« >0
|t^^(,^)l
*<''„
so erhalten wir aus (9)
i = M - 1
I
-y^
(x)
1
^
«(/•„
+1
+ ^(^'', « — -4"+
1,
«
+
«>, «)
+ -^«, + ^l
«
2
Kapitel XX.
Trigonometrische Reihen.
was offenbar dasselbe
oder,
2sm I
ist
•
ist
^ 2tVn + + 2^1%;
v^{x)
i
demnach x kein Vielfaches von
positive ganze Zahl
l^X,
(10)
Ganz
wird.
cos
so ist es möglich, eine solche
positive
immer
wir,
daß
auch möglich sein
es
ganze Zahl N^ zu bestimmen,
Bs'n coa
(11)
> N^
<i
sx
Weise sehen
in derselben
muß, eine solche
w ^ iVg immer
27C,
zu bestimmen, daß für w
N.^^
259
§ 87.
daß für
sx',<j
!
s
=l
wird.
nun
Sei
N
die
der Zahlen N^,
gi-ößte
und somit haben wir
A
=
N
Formel
die
n
n{x)f,{x)
(12)
N^ und iVg, und ist x
für n'>
immer
man demnach
kein Vielfaches von 27t, so hat
+
= 00
f^K +
^„
+ ^J
cos
nx
bewiesen.
Ganz
in
derselben Weise
findet
man
ähnlichen Entwick-
die
lungen
= \-^{iv^ - A +
t\{x)g^{x)
(13)
«
=
«
=A+
gi{x)g,{x)
(14)
= 00
l^iA + ^n- ^n) cos nx,
n=
und
{^(Pn
liegt auf der
/l
X
•
l
Anwendbarkeit unserer Methode auf das Produkt
die
cos a
^n) sin wa?
1
cos
nx
+
Hand.
ö/^
sin nx))
•
(^(&„
Bemerkt man noch
= 00
^
cos wrr
{a^^
cos wa;
+
a\^
sin
nx)
h[^
sin w;»))
die Identität
TO
= 00
+ sin ax -^
n=X
+
(«„ sin
nx — a\^
n—X
n = oo
=
^
«
(a^ cos {nx
+ ax) + «/
sin (w:»
+ aa;)),
=i
17*
cos nx)
,
260
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
Dritter Teil.
und setzt man px und rx
von Pringslieim:^)
I.
Sind
die aus a„,
x und ax, so
anstatt
a^,,
und
&„
entfließt
gebildeten Zahlenfolgen
h\^
abnehmend mit den Grenzwerten Null, und konvergieren
der Satz
monoton
die vier Beihen
mit positiven Gliedern
^a
b
^a
,
b'
^a'
,
h
^a' b'
,
Produkt der beiden trigonometrischen Reihen
so läßt sich das
n = oa
Oq
^
+^
+
7i=
71
&0
n
nach der
(a^^
cos {np
-{•
r)x
+
a',
{np
-\-
r)x
+
b'^
eitle
-\-
r)x)
=00
=
ib^ cos
sin {np
+
r)x)
l
Cauchy sehen
Multiplikationsrcgel bilden,
Umordnung der
Produktreihe kann wieder durch
in
sin {np
1
und
die so erhaltene
Reihenglieder direkt
gewohnliche trigonometrische Reihe verwandelt werden.
Dieser Satz
gilt
natürlich docli nur
schließung gewisser spezieller Werte von
Wir bemerken
im allgemeinen nach Ausx.
aber ausdrücklich, daß die obengenannte Produkt-
reihe vielleicht sehr wohl durch andere
Methoden
liche trigonometrische Reihe verwandelt werden
eine formale
178. Mit
Umformung
den
in eine
der Reihe nicht gestattet
Bezeichnungen
des
§ 87
gewöhn-
kann, selbst wenn
ist.
konvergiert
die
Reihe
2Jw„ cos nx.
179.
Man
Pringsheimschen
smx
sin '2a;
sva'dx
hat den
^
Satz auf das Quadrat der Reihe
sin
4«
'
2
'
3
4
*"
anzuwenden.
Kapitel XXI.
Potenzreihen.
§ 88.
Der Konvergenzkreis.
Sind die Koeffizienten a^ sämtlich von x unabhängig, so heißt
die unendliche
Reihe
^ {X) =
(1)
1)
«0
+
«1^
+
Mathematische Annalen Bd.
«2^^ H
26, p. 165;
+
^n^" H
1885.
Kapitel XXI.
im wesentlichen von Cauchy^)
Satz, der
Der Konvergenzhereich
eines gewissen Kreises
reiche
der folgende
gilt
herrühi-t:
einer Potenzreihe ist
immer das Innere
K mit dem Mittelpunkte in x = 0;
in diesem Be-
und mit der untenstehenden
auch gleichmäßig, während ihr Verhalten auf der Peri-
(4)
Reihe
die
Iconvergiert
Bedingung
261
§ 88.
über diesen Reihentypus
eine Potenzveihe in x\
I.
Potenzreihen.
unbedingt,
pherie dieses Kreises sehr verschieden sein kann.
K heißt Konvergenzkreis,
sein Radius B, Konvergenz-
=
oo, so heißt unsere Reihe
Dieser EJreis
radius der Potenzreihe.
beständig konvergent;
für
Ist speziell jR
aber jR
ist
= 0.
den einen Wert x
= 0,
so konvergiert die Reihe
unserer
In
folgenden
nur
Untersuchung
schließen wir diese beiden extremen Fälle aus.
Es
sei
vergiert,
nun q
ein solcher Zahlenwert, daß die Reihe '^(q) kon-
wir haben dann erstens zu beweisen, daß die Reihe '^(x)
gleichmäßig und absolut konvergiert, faUs nur
\x\
<
\q\
angenommen
wird; setzen wir in in der Tat
«
«
=
n
s=p
=
^{x) der Ausdruck
so ergibt sich für das Restglied in
j
= 00
s=p
s
=p
'^n
s
=l
6
;
=
1
Bezeichnet demnach
\(^n+s9"''^'\
5 =
^^^
1? ^; ^j
s
Ä
•
die
•
+ sY
q\
l
obere Grenze der positiven Zahlen
•;i^?
Reihe ^(()) konvergiert: aus
=
SO
ist
A
sicher endlich,
(2) ergibt sich
weil die
dann
--P
y,K^,x-^^\<A
n+
X
(3)
Es
sei
nun weiter
positive Zahl,
\x\
s"
\
I
<3
eine willkürlich kleine von
< l^lNuU
verschiedene
dann erhalten wir für
i;:c|^|pj_<y
(4)
wegen
(3)
den anderen Majorantwert
«
=1
woraus deutlich hervorgeht, daß
1)
Analyse algebrique; 1821.
die
Reihe
"^(x)
unbedingt und
262
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
Dritter Teil.
gleichmäßig konvergiert,
falls
Bedingung (4) erfüllt ist, und
haben wir jedoch nicht
die
die
Reihe ^(p)
die
Konvergenz der Reihe ^(p) vorausgesetzt, sondern nur, daß die
obere Grenze Ä der absoluten Beträge dieser Reihenglieder eine endEigentlich
konvergiert.
licJie
Zahl
ist.
Nehmen
vergiert, so
wir nun weiter an,
kann
die
daß die Reihe '^(q) nicht kon-
Reihe ^(a;) für |a;|>|p| nicht bloß nicht, selbst
nur bedingt, konvergieren, sondern ihre Glieder können nicht sämtlich endlich sein; denn wäre dies der Fall, so müßte die Reihe ^(p)
unbedingt und gleichmäßig konvergieren.
Hiermit
ist
unser Satz aber vollkommen bewiesen.
Eine Potenzreihe kann also nur höchstens auf einer Linie, der
vergent zu sein; setzt
so erhält
konvergieren ohne absolut kon-
des Konvergenzkreises,
Peripherie
man
für die
Punkte dieser Peripherie x
= Ii- e^^,
man
n =00
^
(5)
{R e'^)
= y' a„ B" (cos nß -^
n
und unsere Potenzreihe
i
n 6)
sin
,
=
ist
demnach
in eine trigonometrische
Reihe
verwandelt worden.
Das Verhalten der Reihe
Schwierigkeiten dar, die
mocht
(5)
daher
bietet
überaus
so
man noch keineswegs
große
zu überwinden ver-
Pringsheim^) hat wichtige Untersuchungen
hat; namentlich
über diese schwierige Frage angestellt.
Beispiel
1.
Reihe
geometrische
Die
1 -f
-f ^"
a'
+
^^
+
•
•
•
oszilliert zwischen endlichen Grenzen überall auf der Peripherie seines
= 1,
Konvergenzkreises, außer im Punkte x
Beispiel
2.
Die Reihe
+
unbedingt
konvergiert
radius 1
^^
"p
+
+
"p
wo
•
•
"
die
Reihe divergiert.
^^^^^
dem Konvergenz-
und gleichmäßig auf der ganzen
Peripherie seines Konvergenzkreises.
Beispiel
3.
Die Reihe
ganze Zahl bedeutet,
ist
x"'
x^"
y "^ "2~
'
"^
x^"'
3
+
*
'
>
^^ n
eine positive
bedingt konvergent auf der Peripherie seines
tpni
Konvergenzkreises, außer in den Punkten
a;
=e
"
wo
,
die Reihe
divergiert.
1)
Mathematische Annalen Bd.
'25,
p.
419
— 426;
der Münchener Akademie Bd. 25, p. 337—364; 1895
Bd. 31,
p.
505—524; 1901,
1885.
Bd. 30,
Sitzungsberichte
p.
37—100;
1900,
Kapitel XXI.
Beispiel 4.
Ist
=
-f 1.
Man
wendung von §
Beispiel 5.
tionen
.
.
.
a^^
.
.
.
monoton
ab-
Null, so konvergiert die Reihe Zla^x"
auf der Peripherie ihres Konvergenzkreises außer vielleicht
überall
a;
263
§ 89.
Zahlenfolge «q a^a^
die
nehmend mit dem Grenzwerte
für
Potenzreihen.
(f,
cos
erhält offenbar einen allgemeineren Satz unter
An-
85, IL
die wir als Definitionen der Funkx gewählt haben, sind beständig konvergente
Die Reihen,
X und
sin
Potenzreihen.
Beispiel
6.
+ |m^j),
Konvergiert das Produkt 77(1
andere Produkt mit veränderlichen Faktoren 77 (1
-f-
M^^rr)
so
kann das
in eine be-
ständig konvergente Potenzreihe verwandelt werden.
§ 89.
Wenn
Satz
die Potenzreihe '^{x)
von Abel.
= 2Ja^x"
in
einem Punkte
03
der
Peripherie ihres Konvergenzkreises konvergiert, wie verhält sich dann
Reihensumme zu der im Innern des Konvergenzkreises in x
stetige Funktion '^(x)? Daß diese Frage nicht ohne weiteres beantwortet werden kann, liegt auf der Hand, wenn man bloß bemerkt,
daß '?ß(x) im Innern des Konvergenzkreises unbedingt, im Punkte co
diese
aber vielleicht nur bedingt konvergiert.
Zur Beantwortung dieser Frage haben wir den folgenden Satz
von Abel, der später von Stolz verallgemeinert worden ist:
I.
Konvergiert die Potenzreihe ^{x)
Peripherie ihres Konvergenzkreises ,
so
=
a
Ua^x'^ im Punkte
stellt
die
der
Reihensumme ^(co)
genau denjenigen Funläionenivert dar, welchem die
stetige Funktion '^{x)
x vom Innern des Konvergenzkreises ausausrückt und zwar einem Wege folgend, der
zustrebt, u)enn die Variable
gehend in den Punkt
co
die untenstehende Bedingu^tg (10) befriedigt.
Ist r der
Konvergenzradius,
pherie des Konvergenzkreises,
SO
ist
es,
co
und
= re^^
setzt
der Punkt auf der Peri-
man
weil die Reihe ^(ra) konvergiert, für eine vorgegebene,
willkürlich kleine aber von Null verschiedene positive Größe
lich eine solche positive
ganze Zahl
N
immer, für jedes p,
|^J<^
(2)
wird; aus (1) erhält
(3)
man
n
weiter
r.-^"
+r
zu bestimmen, daß für
s
mög-
n^ N
264
Reihen mit veränderlichen Gliedern,
Dritter Teil.
und das Restglied der Potenzreihe
,v
=
kann demnach wegen
^..« -
(-„)'"
1
.s
=
1
auch folgendermaßen geschrieben werden
(ß)
+
(^.
'^(x)
'^^
- «.-
(^)
+
+
('.
- v.)(^)'-')
Umformung
oder nach einer einfachen
^.»-(r'{i-£)(^.+v(^)+-+v.-(r^)
(5)
'X\"+P
man demnach
Setzt
(6)
1^:
=
X
£0
l--=—~=u{co^cf.^i^mcp),
^'
< 1, wäkrend cp den Winkel zwischen der geraden Linie x co
und dem durch ca gehenden Radius des Konvergenzkreises bezeichnet;
so ist p
man
aus (6) erhält
-
(7)
unmittelbar
=1—«
woraus wegen
(2)
cos
und
— ia sin
(f
cp,
=1—
q^
2a
cos
q)
+
(5) folgt:
oder nach Summation der geometrischen Reihe, indem ^
(8)
l^„,.(^)
Aus der
I
< "i—p
•
«^
+ ^<(
letzten Gleichung (7) erhält
v""/
1
—
a^,
—p
2 cos
qp
J
,
+
l)
man nun
•
<
1
ist
^-
weiter
— a'
kann somit niemals unendlich groß werden,
wenn a seinem Grenzwerte Null zustrebt, wenn nur
der Quotient «
:
(1
^)
lim inf cos
|
ist,
oder was offenbar dasselbe
lim sup 1^1
(10)
Ist diese
Bedingung (10)
>
<y
erfüllt, so
hat
man wegen
(8)
\Rn,M<^i^+^),
(11)
wo
qp
ist
K
eine endliche positive Zahl bedeutet.
Da
die in B^^
(x)
vorkommende ganze Zahl n
als endlich
anzu-
XXL
Kapitel
sehen
Größe 6 bestimmen, daß für
tive
— x\ <
Icd
4
Da nun
wird.
^((o)
=
.V
=
offenbar
- fix) =2a^co^ -^a^^^ +
«=0
B,Jco)
- R^^^{x),
4=0
auch
s
—n
s
=n
|^(«)-^(:r)|^
muß, so hat man
+ \K,M
4=0
4=0
sein
immer
(?
<S
(12)
also
265
§ 89,
kann man auch eine solche von Null verschiedene posi-
so
ist,
Potenzreihen.
oflfenbar
wegen
(11)
(2),
-^Wp(^)\
— x\<C(3
und (12) für \a
immer
m(o)-f(x)\<6(K+'d),
und damit
ist
unser Satz bewiesen.
Den obenstehenden Beweis verdankt man Stolz ^):
den Satz nicht ganz genau formuliert,
jenige Kurve, welcher x folgt
um
in
indem
er hat jedoch
er fordert,
den Punkt
03
daß
die-
einzurücken, in
diesem Punkte den Konvergenzkreis nicht berühren darf; diese Beist aus zwei Gründen unzulässig:
1. x kann
dann keiner
Kurve folgen, die in cj eine bestimmte Tangente nicht besitzt;
2. die Bedingung (10) braucht nicht erfüllt zu sein, wenn die obengenannte Kurve den Konvergenzkreis im Punkte a nicht berührt.
Die Bedingung (10) tritt deutlich in einem von Pringsheim^)
dingung
gegebenen Beweis unseres Satzes hervor; diese Bedingung sagt also
wenn der Weg für x vorgeschrieben ist, es möglich sein
muß, zwei kleine Sehnen durch co zu ziehen, so daß der Weg
in dem von diesen Sehnen gebildeten stumpfen Winkel vollständig
aus, daß,
gelegen
ist.
AbeP)
bewies
nur
welchem x dem durch
Dieser Spezialfall
folgt.
denjenigen
g-ehenden
ra
ist
des
Spezialfall
Satzes I,
in
Radius des Konvergenzkreises
später in anderer
Weise von Dirichlet^)
bewiesen worden.
1)
1884.
p.
Zeitschrift für Math,
und Physik Bd.
20, p. 370; 1875,
Vorlesungen über allgemeine Arithmetik Bd.
2)
Sitzungsberichte der Münchener
3)
Journal für Mathematik Bd.
4)
Journal de Mathematiques
303—306.
I;
(2)
II,
Akademie Bd.
1826.
Bd.
7, p.
Bd. 29, p. 127;
p. 137.
27, p. 347
(Euvres Bd.
253—255;
I,
ff.
1897.
p. 229.
1863.
Werke Bd.
II,
266
Reihen
Dritter Teil.
Satz von Frobenius.
§ 90.
Die
Anwendung
erste
veränderlichen Grliedern.
tait
des Begriffes Summierbarkeit einer Reihe
wir überhaupt kennen, rührt von Frobenius^) her und gibt
die
eine interessante Verallgemeineruug des soeben bewiesenen
von Frobenius
Satzes; wir wollen hier den Satz
verallgemeinern, wie es Stolz mit
Wenn
I.
Jconvergiert,
die Potenzreihe '^{x)
dem Abelschen getan hat:
= ^a^x" für x = co zwar
sondern sunmiierdar mit der Mittelsumme s
den Konvergenzradius
diese Potenzreihe
Abelschen
Weise
in ähnlicher
und
\(o\,
ist,
nicht
so
hat
Mittelsumme
die
s
wenn die
den Punkt a
denjenigen Fmiktionemvert dar, welchem '^{x) zustrebt,
stellt
vom Innern des KonvergenzJireises ausgehend in
und zwar einem Wege folgend, der die Bedingung §
Variahele x
einrücl't
89, (10)
hefriedigf.
Setzt
man
der Kürze halber
= «0 +
s„_i
(1)
und bezeichnet
+
«i"
«2^3^ H
F-
a„_ira"-\
von Null
eine vorgegebene willkürlich kleine
e
Größe,
schiedene positive
so
möglich
es
ist
eine
solche
ver-
positive
ganze Zahl n zu bestimmen, daß, wenn
^0 ~l~ ^1 ~l~ ^2 ~t~
(2)
^
^
•
•
•
~l~
^n + k-l __ c 4-
n-\-k
gesetzt wird, für
=
/,•
0, 1, 2, 3,
j»
k
'
•
•
immer
•
\r,\<^
(3)
Aus
wird.
5o
«0
+
+
5i
«1
(2) erhält
+ «2
+ «2
man
weiter ohne
h s„+i_i
H
+
H
Sn+k
Mühe
= {n + A-)5 + (w + Ä;)n= (w + + 1) s + (w + +
/v
Ä;
l)r^.+j
und somit durch Subtraktion
s„+,
(4)
in
(:n
+ k+
ganz ähnlicher Weise erhält
s„
woraus wegen
(5)
=s+
+ ;._i
(1)
=s+
und
(n
+
l)r,^,
-
(w
+
k)r,-
man
Jc)r^
- (n + - l)r,_^,
A'
(4) folgt:
% + k^"'-' = (n + +
A-
l)n- + i
- 2(>^ + ^r, +
(n
Die Potenzreihe
^(^0=2««-^"=^«««"-(^)''
n
1)
=
Journal für Mathematik Bd. 89,
M
p.
=
262—264;
1880.
-\-
h
-
l)r,_,.
Kapitel XXI.
muß
Potenzreihen.
dem Konvergenzsatze
daher
vergieren; da aber ^(ra)
nicJit
267
§ 90.
§ 36, I zufolge
konvergiert, so
für
\x\
kann ^{x)
<
für
kon-
|(a|
\x\
>
|c}|
au eil nicht diese Eigenschaft besitzen; der Konvergenzradius unserer
Potenzreihe
Aus
;)
demnach genau gleich
man nun identisch
ist
|g)|.
(1) findet
p=n
= n+A-
p=n
p=0
p=0
p
p=0
woraus unter Anwendung von
p=n+k
(4)
=k
p—1
und
(5)
hervorgeht:
'
=s+
a^x^
(w
+
1) r^
-
wro
p=0
p=k
(6)
p=
+^
man demnach
in der
letzten
jenigen Koeffizienten auf, mit welchem r
für
p
man
= 0,
für 2
p
=
^p ^k —
^o
Nach
cop)
+
=k
-{-
Summe
Hand
rechter
multipliziert
den-
vorkommt,
so
den Ausdruck
1
bzw.
1
-.©"^'
und für
-
i
Sucht
findet
a^ {x^
=
p=0
p
1,
p
=k
(«+l),,(^-2).(f)bzw.
diesen Erörterungen finden wir
demnach wegen
(6)
den
neuen Ausdruck:
i
=n+k
"
•
0)
wo
(8)
\n-\
p=Q
p=:k
p=l
der Kürze halber
G {X) =
-^
a^
(cor'
_ ^.) + (^ + l),^ (i _ (_-)") _ nr, (l -
p=
gesetzt
worden
Setzt
ist.
man nun
= Q,
wie im vorhergehenden Paragraphen
1
=
cc
(cos
(p -j-
i
sm cp)
=
,
{^J^)
)
268
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
Dritter Teil.
Summe
SO ergibt sich für die
^..w=(i-„ter^'-f(«+p)v(„T
(9)
der Majorantwert
p=k
\B„(x)\£a^
Q" + ^-
6
•'^(M+j))()P<«2£(l
oder was offenbar dasselbe
(10
^
wo
K
ist
--^
— gY =
<^ s
J?„
(x)
n\-/
I
^^
£
71
so klein
eine endliche Zahl
ist,
+ —^^, <Ke,
,^
(2cosqp
(i
ay
'
angenommen
endlich bleibt, wie gi-oß auch k
Da
+ 2p + 3o2 + 4p^ + ---)
wird.
man a =
so leuchtet ein, daß
1-^
wählen kann, daß auch
G (x) <
'
I
£
Damit ist unser Satz aber bewiesen.
Holder^) hat später eine ganze Reihe ähnlicher Sätze gegeben;
von späteren Arbeiten auf diesem Gebiete erwähnen wir z. B. diejenigen von Knopp^).
wird.
180.
Es
der Satz von
ist
X
für
+
1
-\-
X cos
cp
=
1
und
(p =4=
§ 91.
Frobenius auf
x'^
cos 2(p
-\-
die
x^ cos 3 9?
Reihe
+
•
•
•
^^p^ anzuwenden.
Rechnen mit
Pctenzreilien.
Aus den Sätzen über Addition und Subtraktion unendlicher
Reihen ergibt sich unmittelbar der Satz:
I.
Die Summe einer begrenzten Zahl von Potenzreihen ist wieder
und ihr Konvergenzradius ist mindestens dem kleinsten
eine Potenzreihe,
der ursprünglichen Konvergenzradien gleich.
Wenn
ein einziger der
Konvergenzradien der gegebenen Potenz-
reihen Meiner als die übrigen
der
Summe;
radius
sonst
Summe
der
Summanden;
e^
ist,
es aber
größer wird
dies trifft
z.
so ist er genau Konvergenzradius
wohl
als
B. für die
eintreffen,
alle
daß der Konvergenz-
diejenigen
Summe
der
einzelnen
der beiden Potenzreihen
—
1
-
1
^
ein.
kann
~*
=
\-{-X-\-X^-\-X^-\----20, p. 535
1)
Mathematische Annalen Bd.
2)
Doktordissertation Berlin 1907.
— 549;
1882.
Palermo Rendiconti Bd. 25; 1908.
Kapitel XXI.
Potenzreihen.
man
ganz ähnlicher Weise erhält
In
Das Produkt
IL
begrenzten
einer
269
§ 91.
die Multiplikationsregel:
von
Zalil
wieder eine Potenzreihe und ihr Konvergenzradius
kleinsten der ursprünglichen
Von den
und
e^
(1
•
Konvergenzradien
mindestens
das Produkt
1;
—
rc)
den Konvergenzradius oo,
darstellen, hat die erste
den Konvergenzradius
ist
dem
gleich.
beiden Potenzreihen, die die Funktionen cos;r-(l
— x)~'^
die zweite
Potenzreihen
ist
aber eine be-
ist
ständig konvergente Potenzreihe.
Für
die beiden Potenzreihen
fix)
(1)
=^
?(
hat schon
Cauchy^)
n
f(x)g{x)
(2)
g
K
XI
aus dieser Multiplikationsregel (2) hat
IV
/•(1)
(3)
Es
hergeleitet.
=
Produktreihe (2)
^«.,
ist
dem
ist
aj^)x"'
positive ganze
Abel
seinen in
Satze § 89, I zufolge
9(^)-^K,
sicher für
a?
|
nun auch diese Reihe für x = 1, so
/"( 1)^(1), und damit ist der Satz bewiesen.
Für
+
seien nämlich die beiden
vergiert
181.
a^_^h^
-f
=
Reihen Ua^^ und Ub^ konvergent, dann
die
X-
=
die Produktreihe
§ 43 entwickelten Satz
und
=^ \
(x)
^^{a^\ + a,&^_^ +
n
angegeben;
=
a„ X",
=
ist
kon-
konvergent;
•< 1
ihre
Summe genau
n hat man das Produkt der beiden un-
endlichen Reihen
*=
8
CO
=
zu entwickeln und
dadurch,
die
Summe
der
ersten
dieser
Reihen zu bestimmen.
182.
Es
ist
die
K
Formel
=X
^
n \1
^
ZU beweisen und zu diskutieren.
1)
Analyse algebrique,
p. 156:
1821.
2
^
~
3
^ n — l)
ßeiheu mit veränderlichen Gliedern,
Dritter Teil,
270
Über die Bestimmung des Konvergenzradius.
§ 92.
Da
der Kouvergenzradius einer Potenzreihe nur von den Koeffi-
zienten der Reihe abhängt,
aufgegeben
Koeffizienten
so
ist
wenn diese
Bestimmung des
derselbe bestimmt,
Eine
werden.
solche
Konyergenzradius von den Koeffizienten aus bietet aber so
haben;
löst
viel
Cauchy
als
große
noch keineswegs ge-
dürfen wohl behaupten,
wir
ja
mehr wissen
Aufgabe
daß wir diese
Schwierigkeiten dar,
daß wir
noch nicht
der die ei'sten Regeln zur
Bestimmung
des Konvergenzradius einer vorgelegten Potenzreihe angegeben hat.
Wir haben
hier
beiden von
die
Cauchy gegebenen
Sätze in
verallgemeinerter F'orm darzustellen:
lim sup der unendliclien Zahlenfolge
Ist A
I.
l«il; ly«^';
(1)
\Vaz\, ••, [VC'nl^
••;
der Konvergenzradius der Potenzreihe
SO ist
^ (rr) =
(2)
gleich 1
:
+
«0
«1
^
+
«2 ^^
+
•
+
•
^n ^" H
A.
<
(k -{- d) an1 voraus, so kann man \x\ -^1
man a;
indem 8 eine willkürlich kleine von Null verschiedene
positive Größe bezeichnet. Wählen wir demnach die andere positive
Setzt
|
|
:
nehmen,
Zahl d, sodaß
< ^^ < ö
ist,
so ist es
dem
Satze § 14, II zufolge
N
zu bestimmen, daß für
möglich eine solche positive ganze Zahl
n^N immer
\V^n\<^ +
(3)
man
wird; dadurch erhält
und unsere Potenzreihe
für
ic
I
i
<
1
:
aber für
daher
(2) ist
dem
[
a;
|
>
1
:
A,
< d,
Satze § 36, III zufolge sicher
so hat
man a; ^ 1 (A — ö), wo
wählt man demnach 8^ so, daß
so setze
:
|
|
8 dieselbe Bedeutung wie vorher hat;
(3\
immer
A konvergent.
Ist andererseits
<
^.
n^ N
man dem
Satze § 14, II zufolge für unzählige n
iVa:J>A-^,;
dadurch erhält mau aber
unsere Potenzreihe (2) kann daher für |a;|> 1 A nicht konvergieren; denn
unendlich viele ihrer Glieder wachsen ihren absoluten Beträgen nach
:
über jede Grenze hinaus.
Die Potenzreihe
'^ ix)
hat daher den Konvergenzradius 1
:
A.
Kapitel XXI.
Potenzreihen.
die Zahlenfolge (1) eine
Tst
§ ü2
271
Fundamentalreihe mit dem Grenz-
Potenzreihe (2) den Konvergenzradius 1 A.
Form
ist der Satz I von Cauchy*) gegeben
In dieser speziellei^en
werte
X,
so
hat
die
:
worden.
II.
Bezeichnen
«1
(4)
L
und
l
lim sup und lim inf der Zaläenfolge
272
so
Dritter Teil.
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
Sind die beiden Zahlenfolgen (1) und (4) Fundamentalreiheu,
sie den Sätzen I und III zufolge denselben Grenzwert
müssen
haben; diese Tatsache
enthalten,
ist
wenn man nur
in
der
Cauchy sehen Formel
§ 19, (13)
dort
einsetzt.
Wir bemerken aber ausdrücklich, daß die Zahlenfolge (1) sehr
wohl konvergieren kann ohne daß dies mit (4) der Fall ist, während
(1) immer konvergieren muß, wenn (4) diese Eigenschaft besitzt.
Bedeutet z. B. d{n) die Anzahl der Divisoren in co, so ist d(n) = 2,
wenn n
eine Primzahl bezeichnet: in diesem Falle
ist
während das Verhalten der entsprechenden Zahlenfolge (4) ganz unbekannt ist; weil die Anzahl der Primzahlen unendlich groß, kann
d{n) für beliebig große n den Wert 2 annehmen, für die Nachbarwerte aber vielleicht beliebig groß werden.
183.
Man
U—,
„log n
hat den Konvergenzradius
der Potenzreihe
°
zu
bestimmen.
184.
Es
ist
der Grenzwert
lim
l/^ =
zu beweisen.
Kapitel XXII.
Dirichletsche Reihen
und Fakultätenreihen.
Folgerungen aus den Sätzen von Abel, du Bois Reymond
§ 93.
und Dedekind.
Um
gewisse andere Reihenformen mit veränderlichen Gliedern
zu untersuchen haben wir vor
allem
einige
Anwendungen
der
in
den §§ 15, 39 gegebenen Sätze zu entwickeln.
Aus den Ab eischen Sätzen § 15, I, II erhalten wir den folgenden:
I.
Wenn
die
honvergiert,
Zahlenfolge
a^a^ a^
wenn außerdem
indem x ein Kontinuum
Fundamentalreihe
ist,
2J a^ f^ (x) ebenfalls in
Wir können uns
K
K gleiclimäßig
a„
•
•
eine
•
monotone
die Reihe 2]f^(x) gleichmäßig
durchläuft,
so
ist
die Reihe
Jconvcrgent.
offenbar auf denjenigen Fall beschränken,
wo
}
XXU.
Kapitel
die
— a„
positiv sind; denn sonst hätten ja die
a,^
Sp
J.^
= fn +
und B^
+ fn +
reell
sind,
so
B
15,
der A^, G'^
und
g'^
indem x das Kontinuum durchläuft;
(5), indem noch für jedes m
+
«,,
(1)
^p»
*
,
+ l5'l'^ «» + 1 A. + 1
ist,
+
das Restglied der gegebenen
s^
"'"
'''"
^p
gegebene Zahlenfolge monoton ab-
^
ist
+ fn+pi^) =
•
^^^
worden
und damit
•
obere und untere Grenze
g'^
dann ergibt sich wegen §
|«,^
•
diese Eigenschaft;
•
ist
die
obere und untere Grenze der
gesetzt
+
273
§ 93.
•
4,
3,
(^)
2
nun
sei
und
G'^
2,
1,
(^)
l
Reihe Hf^^{x)\ es
nehmend,
=
nun für p
setzen wir
WO
und Fakultätenreihen.
Dirichletsche Reihen
^
+2
unser Satz bewiesen,
^"*
^
/^«
+
+2
weil
G'^^
•
•
•
^ »« +
und
G'l
1
C
gleichmäßig
gegen Null konvergieren, wenn n ohne Grenze wächst, und x das
durchläuft; denn das Restglied der Reihe Ha^ f^ {x)
Kontinuum
K
ist
ia
p=
l
Ganz in derselben Weise wird der andere
monoton wachsen, unter Zuhilfenahme von § 15,
Aus § 39, I ergibt sich der folgende Satz:
II.
wenn
Wenn
die Reihe
konvergiert,
indem x
ZaJ\{x) auch
Setzt man
man
mit
konstanten
H
mit positiven Gliedern
Kontinuum
ein
und hestimmt
lich f^ix) endlich
so hat
Reihe
die
ist
in der
wo
die
a,^
(8) behandelt.
Gliedern Za^^
konvergiert,
fj^x) —fnj^i{x)\ gleichmäßig
und wenn
durchläuft,
in diesem Kontinuum, so
K gleichmäßig
in
K
Fall,
schließ-
ist die
Reihe
konvergent.
Tat für jedes
für das Restglied R^^
m
der Reihe Xa^ /„ (x) wegen § 39,
(2) den Ausdruck
(2)
K,p=-{Sn^pfn+p{x)-^nfn + l{^))
+^\ +
9
Es
sei
nun
A
=
,(/"«
+ ,(^-) -/"» + , + 1 (^))-
1
obere Grenze der positiven Zahlenfolge
I
*0
l>
I
*1
i>
P2 h
•
•
•
>
1
*ra
b
'
•
•
dann ergibt sich
3=1
^Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen.
2=1
18
274
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
Dritter Teil.
aus den Voraussetzungen folgt dann unmittelbar, daß es niöglich
solche positive ganze Zahl N^
eine
zu bestimmen, daß für n
>
ist,
N^
immer
(4)
i^x
Aus der
wird.
<I
Identität
p=n
2(/p-/,+i(^))=/'o(^)-/;+i(^)
p=
und
der
schließt
foi^),
eine
sein
fi(x),
,
f2(^),
K
G
Kontinuum
= (s„^^-s,J/:«+p(-^H5«(/'„+p(^)-/; + i(a:));
obere Grenze sämtlicher Zahlen
K
|
durchläuft, so hat
es ist
wird, welchen
Wert von x im Kontinuum
S^ifn+p{^)
- fnU^)) ^ ^
•
I
demnach möglich die
daß
stimmen,
für n^N^ immer
es
ist
indem ^
Y
K
man auch
Endlich hat man, der Definition der Zahl
i
1?
positive ganze Zahl N<^ zu
l(Sn+p-0/'«+p(^)l<
(6)
/,„(*")
man immer
demnach möglich eine solche
bestimmen, daß für n ^ N^ immer
und
•••
fu(P^)y
gleichmäßig konvergente Fundamentalreihe
im Kontinuum
Weiter hat man identisch
bedeutet daher
und
f]^_^_^(x)\
muß.
(5)s„+^/-„^/;r)-s,J,^i(:r)
das
—
gleichmäßigen Konvergenz der Reihe ^\fnix)
die Zahlenfolge
man, daß
I
fn-,p{x)
A
einsetzt.
zufolge
" fnU^)
positive ganze Zahl
I
N^
,
so zu be-
\sAfnU^)-faU^))\<i
wird, indem x das
Kontinuum
K
durchläuft.
Bedeutet nun iV die größte der drei Zahlen
ist
demnach
für
n
^N
indem x das Kontinuum
185.
In
wieweit
Kontinuum
gilt
iV^,
N^ und
iVg,
so
immer
K
durchläuft.
der Satz § 93,
K Funktionen
II,
wenn
von x sind?
die
a,^
auch im
.
Anwendungen auf gewisse speziellere Punktionentypen.
Setzt mau in § 93, II ^(a?) = 1 und allgemein für n^l
/
X
SO ergibt eine einfache
_
g
+
(oi
•
•
(«
+n—
1)
-\-
,
i)---icc^n-J)
x{x-[-\)---{x
cc
oc
-{-
•
c^(c.+
/
(x)
ln\-^)
nun
1)
Ausrechnung
(X) = ^-f/« + iW
—
ia" x = u
a = a'
n
K^J
ist
275
§ 94.
94.
§
,
und Fakultätenreihen.
Dirichletsche Reihen
Kapitel XXII.
iv,
u^ a
und
,
+ n)
'
wo
-^ d,
d eine will-
kürlich kleine, aber von Null verschiedene positive Größe
man
erstens für positive ganze
\^
-\-
p'l^l'i''
p^—ii
-\-
p\^\<^'
-'r
und unter Zuhilfnahme der Zahlenfolge §
woraus wegen
f(x)
luV^)
rrw -^
-fIn + A-^)
x—
«'(«^
•
nun
ist
„
+ i)---(«^ + ^^-i)
x{x+\)---(x+n)
cc
\f(x')-f
84, (2)
(1) hervorgeht:
und somit erhält man, indem h endlich
(2^
^ -h p\
_ r,{a')
a{a-\-l)-..{a-\-n-l)
so hat
ist,
Ungleichung
die
(x^\<--\
^^(«^
+
.
_^(«0
^t
r„{a)
ist:
-{oc'-Vn-l)
1)-
J^«(«')
r„(«)
aber auch
a'(a'4-l)- ••(«'
+ %—!)
woraus schließlich wegen
^rM'
+ ^)
n
Je
(2) folgt:
\fn(^)-fn + li^)\<-^,
WO
obere Grenze der K^^ endlich
ist;
damit haben wir also den folgen-
den Satz bewiesen:
I.
Konvergiert die Reihe 27 a„, und
Zahl, die weder Null noch negativ ganz
f^\
.,
J-
V^
n
=
Ganz
(g -f 1)
.
ist,
ivillkürliche endliche
so ist die Reihe
- 1)
(a: -j- OT
1
wenn 'tR{x —
ganz angenommen wird.
gleichmäßig konvergent,
noch negativ
c,
a eine
ist
in derselben
a)
>
ist,
und x weder Null
Weise finden wir den analogen Satz:
18*
1
276
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
Dritter Teil.
IL Konvergiert die Reihe 2^a„, und
Zahl,
liche
a eine nillMrliche end-
ist
weder Null noch negativ ganz sein darf, so
die jedoch
konvergiert die Reihe
7!
=00
x{x
-\- 1)
«o+^«.-^ +
(4)
=
n
gleichmäßig für
—
{x -\-n
•
1)
•(« + «- 1)
l
endlichen x,
alle
1)
— «) <
der Bedingung '^(x
die
genügen.
In diesem
Zusammenhang haben wir noch
teilweise
nach Jensen^)
den folgenden speziellen Satz zu beweisen:
III.
Konvergiert die Reihe
Aq,
(5)
X^,
und
Zla^^,
Ag,
.
.
bezeichnet
A„,
.,
.
.
.
eine monoton ivachsende divergente Zahlenfolge mit positiven Elementen,
so Tionvergiert die Reihe
|l
Aq
(6)
gleichmäßig für
Setzt
man
+
"'.
Aj
in der
_
man
^
und
1
1
_
>
•
+
•
_
-\-
^^
A„
+
•
•
>
>
genügen.
iß und
_
1
ja
^n + l
n
1
_
1
.aJri^i
;
^n
"^
a + i fi
n +
^
n
1
p=n—
i_
sn
Reihen
die beiden unendlichen
erste für a
•
=a
Tat x
-a
'n
für jedes
p=n—
+
fl
Ag
endlichen x, die der Bedingung 9?(a;)
alle
n
SO hat
+
l
L_
1
^u„ und
von welchen
^v,^^,
positive Glieder hat, sind somit für
«
>
Weiter hat man
'^^^\-a-i.i
(3
__
setzt
_^ _ ^_,
^
man nun
der Kürze halber
'-ir-so hat
1)
1
^"
,,
-a
fir)'
man demnach auch
Tidsskrift for
Mathematik
(5)
Bd.
2,
p.
70; 1884.
die
konvergent.
1
woraus,
falls
a und
Es
und, da ß
277
iJL_J
1
<
\1—1
1 4_
nun
ist
1
§ 94.
beide positiv sind, folgt:
q^^
<1+
_j^
(7)
und Fakultätenreihen.
Dirichletsche Reihen
Kapitel XXII.
_ e-ii^c» =
und
2sin|^()„
—
(sin|9„/3
•
i
qo^\qJ),
^^ reell sind,
=
|l_e--i^^»i
|2sin|^9j^9„-|^|;
dadurch ergibt sich aber wegen (7)
l«J<(l +
(8)
Aus
v)'^^«-
man
der Ungleichung (8) kann
tate herleiten; erinnert
und bezeichnet
man
Grenze von
6 die obere
positiven Zahlen
p=
p=n+l
= a-\- iß,
a die untere Grenze der
|/3|,
man wegen
so hat
a,
aber noch wichtigere Resul-
nämlich an die Gleichung x
sich
(8) für jedes
n
p= cc
Oi
p = ni-l
p=n+l
es ist aber
i)
und somit erhalten wir
2
J-<-i
IL
=n+1
=M+1
womit unser Satz
186.
Man
cc
ä2'l^i<(l + ^)-T^'
P= +
H
1
vollständig bewiesen
ist.
hat die Entwicklung von Nicole^) und Stirling^)
1
X—a
_1
,
X
"^ £«:(«+ 1)
.^^
.^Lj
re
herzuleiten,
9^ (ic
+1
n
1
schließlich
p=
)
+
«
—
a)
>
=
-\X{x-\x(x
••
1)
\)
-(a+W — l)
•
•
•
(iC--\[X
vi)
1
und zu beweisen, daß die Reihe rechter Hand für
unbedingt und gleichmäßig konvergiert.
1)
Histoire de l'Academie (Paris) 1727, p. 257—268.
2)
Methodus
differentialis.
London
17^50.
278
Reihen mit veränderlichen
Dritter Teil.
187.
Es
Formeln
sind die beiden
_
1
x-\-n
Gliedei'u.
^
^j
i-^fpl
x{x-\-
(x
X -{-p)
1)
\p/
'
?j=0
=n
j)
(— If
x{x
188.
{x
-\- 1)
-\-
n)
(n\
p=
wo n positiv ganz ist, zu beweisen.
Durch Transformation der einzelnen Glieder unter Zuhilfenahme der beiden, in der vorhergehenden Aufgabe entwickelten Formeln hat man zu untersuchen, ob man die
eine der beiden in Aufgabe 122 betrachteten unendlichen
Reihen in ganz formaler Weise aus der anderen herleiten
kann.
Wenn
und wenn
Satz von Jensen.
Dirichletsche Reihen.
§ 95.
die Koeffizienten
von x unabhängig
sämtlich
^f,j
monoton wachsend und divergent
ist,
so
nennen
die
Avir
unend-
Reihe
liche
= ^ + ^ + ^^ +
D(^)
(2)
Dirichletsche Reihe; über
eine
I.
Der Konvergenzhereich
...
diese
+ ^. +
---
Reihenform
gilt
DiricJilet sehen
der
der endliche Teil einer durch eine Ungleichung von der
wo
sind,
Elementen
die Zahlenfolge mit positiven
k
eine
Zahl
reelle
Tat D{cc),
Ist in der
vergent, und
nimmt man
stets
wo
9i(a;
Form
bestimmten Halhebene.
bezeichnet,
Bereiche konvergiert die Reihe
der Satz:
Reihe Bix)
ist
>
5H {x)
A,
In diesem
gleichmäßig.
cc
eine
—
a)
>
endliche Zahl
an, so hat
bedeutet,
kon-
man wegen
(2)
von § 94,
III.
M= X
D{x)
(3)
-a
n
und unser Satz
ist
=—
oo,
Ist A
ist
nicht für endliche
I
eine unmittelbare Folge
so heißt die Reihe I){jc)
=
andererseits A
Der Satz
demnach
-f oo,
7
=
so
beständig konvergent,
konvergiert unsere Reihe
überhaupt
x.
(ohne
die
Gleichmäßigkeit
der
Konvergenz) rührt
:
'
.
von Jensen^) her, ist aber erst
Cahen^), der ihn wiedergefunden
Über
und Fakultäteureihen.
Dirichletsche Reihen
Kapitel XXII.
279
§ 95.
durch eine Arbeit von
viel später
bekannt geworden.
hat, allgemein
Jensen^) noch den folgen-
die allgemeine Reihe (2) hat
den Satz gefunden:
IL
Der Bereich
Konvergenz
absoluten
der
wo
X'
eine reelle
Ist
Zahl
— a)
für S)\{x
\a
n
\
a
_n
\
I
womit unser Satz bewiesen
$R(ic)
>
ist
X'/
ist
Diu) unbedingt
>
t
J_
I
_
k" r
I
^^
ist.
Die Reihe
1.
iH
(log«)'
immer
konvergiert für 9?(ic)>0 und zwar
für diese Reihe
Setzt
=^j
\
I
u^
Beispiel
und
eine endliche Zahl,
man
Form
bestimmten Halbebene.
bezeichnet,
a wie vorher
konvergent, so hat
Reihe D(x)
der
der endliche Teil einer durch eine Ungleichung von der
man
A = 0,
in (2)
A' = + oo.
und
«o =
X^^
= n,
bedingt:,
so
es
ist
entsteht
demnach
die
zuerst,
und zwar von Dedekind^) betrachtete Dirichletsche Reihe
®(^)
(5)
=
a
«„
+ -| + Tf
+ --6
über diese speziellere Reihe
III.
a
«„
12
Ti
gilt
+:+•;
n
der Satz:
Die Breite des Streifens der bedingten Konvergens
Reihe
X'-X£l.
Dieser Satz folgt unmittelbar aus
dem
anderen,
der
einleuch-
ist
IV.
Ist a eine
endliche Zahl,
Reihe %{a) endlich, so
für
diese
stets
(6)
tend
Mnn für eine
demnach für
ReiJte ®(:c) niemals die Einheit übersteigen, es ist
'3i(x
— a) >
Beispiel IL
ist
1
Für
die
^V^) =^
(V
und sind sämtliche Glieder der
die Reihe ®(a:;) sicher unbedingt lonvergent
"jäT
Reihe,
~r "^^
Mathematik
die
+
ga;
Bd.
Riemannsche
~\~
^x
~\~
'
'
1)
Tidsskrift for
2)
Annales de I'EcoIe Normale
3)
In Dirichlet: Vorlesungen über Zahlentheorie.
(5),
(3),
2,
Bd.
p. 70;
'
1884.
11, p. 85;
1894.
Zetafunktion,
.
280
hat
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
Dritter Teil.
man
A
=
=
A'
1
diese Reihe
;
kann demnach niemals bedingt kon-
vergieren; denn sie konvergiert nicht für x
Beispiel
Für
3.
hat
man
A
=
0,
2^
=
A'
1 -{-iß.
L4_i__L.l_
Jix
fQ^
\"/
=
Reihe
die
4*
3^
5^
1
Bei der Beantwortung der Frage über Konvergenz oder Nicht-
konvergenz einer vorgelegten Dirichletschen Reihe braucht
Werte von x in Betracht zu ziehen.
Über Dirichletsche Reihen vergleiche man noch
lung von Pringsheim^).
nur
man
reelle
189.
Man
Abhand-
hat die beiden Konvergenzbereiche derjenigen Reihet (x),
1)"~^ ist, außer wenn n eine Quadrata,^
(
= —
für welche
zahl
die
ist
— in diesem Falle hat man a^= — zu bestimmen.
1
Fakultätenreihen.
§ 96.
Sind die Koeffizienten a^ sämtlich von x unabhängig, so heißt
die unendliche
Reihe
Slix)
(1)
=
^^
n
x{x
-{-
{x -{-n)
1)
=
eine FahuUätenreihe erster Art]
eine
solche
tümlichkeit darbieten, daß sie überall in
Werte x
=
0,
—
1,
— 2,
•
•
•
Reihe kann die Eigen-
einem Bereiche, der die
außer natürlich in diesen
einschließt,
Punkten, konvergieren kann.
Der Konvergenzbereich der Reihe ^{oc) wird daher
welchem diese andere Reihe
als
der-
jenige Bereich aufgefaßt, in
*^
^
r{x)
jiLj
n
r{x-^n-\-i)
=
konvergiert.
Schon Jensen^) hat bemerkt, daß diese Reihen den Dirichletschen sehr ähnlich sind, indem er die beiden folgenden Sätze
(ohne die gleichmäßige Konvergenz) ausgesprochen hat.
I.
reelle
Der Konvergenzbereich der Fahultätenreihe
durch
liche,
Zahl
1)
2)
eine
Ungleichung von der
Form
bezeichnet, bestimmte Halbebene.
Sl{x)
'Si{x)
>
ist die
A,
unend-
ivo A eine
In diesem Bereiche
Mathematische Annalen Bd. 37, p. 38—60; 1890.
Tidsskrift for Mathematik (5) Bd. 2, p. 71; 1884.
l'on-
.
X
= 0, —
Der Bereich der
II.
eine reelle
•)
absoluten Konvergenz der Reihe Sl(a:)
Form
endliche Zahl, und konvergiert
^
/oN
w! a„
x{x-\-l)---{x-\-n)
und der Satz
Um
I
ist
+ !)•••(« + n)
II
{a
x{x
'
eine unmittelbare Folge
>
'?fi(x)
ist
X',
die
wo
A'
Reihe
die
il{cc),
so
-\- l)
{a
-\-
+
{x
+ n)'
1)
von § 94,
n)
I.
zu beweisen, schreiben wir folgendermaßen
(3):
+ l).--(a + w)
«(a
x{x-]-l)-.-{x-j-n)
nun Sl{a) unbedingt konvergent,
Eigenschaft,
a
«|_5,
«(«
auch den Satz
Formel
14)
ist
•
man
^^
die
•
,
hezeicimet, bestimmte Halbebene.
Zahl
Ist a eine
2
Ungleichung von der
durch eine
unendliche,
—
1,
281
§ 96.
{außer in den eventuell dort ge-
die Reihe stets (jleichmäßig
vergiert
legenen Punlcte
hat
und Fakultätenreihen.
Dirichletsche Reihen
Kapitel XXII.
wenn
^
—a)
'di(x
so hat die Reihe il(x) dieselbe
ist.
Jensen bemerkt noch, daß auch
oder die Falultätenreihe
r,, + i(o:)
ziveiter
die Binomialkoeffizientenreihe
Art
n =00
^w -2V.f
;>
=
(ö)
".
+2'°. '^- ">%-f.::.^^.
•
n
WO
von x unabhängig sein sollen, den
sind, indem er auch die beiden
Gleichmäßigkeit der Konvergenz) ausge-
die Koeffizienten a^ sämtlicli
Dirichletschen Reihen ähnlich
folgenden Sätze (ohne die
sprochen hat:
ni.
Der Konvergenzbereich
der BinomialkoeffizientenreiJie S&(x)
Form
der endliche Teil einer durch eine Ungleichung von der
wo X
eine reelle
Zahl
91 (x)
>
ist
X,
In diesem Be-
bezeichnet, bestimmten Halbebene.
reiche konvergiert die Reihe stets gleichmäßig.
IV.
Der Bereich
der absoluten Konvergenz der Reihe 18 (x)
der endliche Teil einer durch eine Ungleichung von der
'WO
A'
eine reelle
Ist
hat
(C\
Zahl
Form
9^ (x)
X',
bezeichnet, bestimmten Halbebene.
a eine endliche Zahl, und konvergiert die Reihe
93 (a),
man
p ~ 1\ _
und unser Satz
>
ist
III ist eine
("
— ^\
(1
—
a;)
(2
—
a;)
•
•
•
(w
—
g;)
unmittelbare Folge von § 94,
II.
so
282
Reihen mit veränderlichen Gliedern.
Dritter Teil.
Aus
man
(6) findet
und damit
ist
weiter
auch der Satz IV bewiesen.
Die Analogie der Dirichletschen Reihen '^{x) und der beiden
Arten von Fakultätenreihen ^{x) und S(a:) kann noch
viel
weiter
verfolgt werden; erstens beweisen wir die Sätze:
V.
Wenn
Beihe £i(a)
endliche Zahl
a eine
hziv.
und
bedeutet,
S8{a) sämtlich endlich sind,
die
Glieder
der
so konvergiert die ReiJie
wenn '^{x — a)y>l angenommen ivird.
Streifens der bedingten Konvergenz kann für
Sl(x) hzw. 33 (a;) sicher unbedingt,
VI.
Die Breite des
eine Beihe ü(ä;) oder 35 (a;) niemals die Einheit übersteigen.
und
Diese beiden Sätze sind unmittelbare Folgen der Formeln (4)
Zweitens beweisen wir den folgenden Satz von Landau^):
(7).
VII. Die beiden Beihen
ß« -^ ,i,,+ t\ +
(8)
n)
'
®
(^'
-2 ä
n=l
n=0
sind gleichzeitig konvergent, und dasselbe
für das andere Beihenpaar
®:W=2^=^-
«u)=J%.r;'),
(9)
gilt
=
M
Wir haben nur
M
=1
diesen Satz für reelle x zu beweisen; in diesem
Falle leuchtet ein, daß die Reihe
%{x)
in (8)
und
diese andere
n =00
®,w=2OT-=2'n^(i+^r+«»
=
=
(10)
n
n
gleichzeitig konvergieren;
\
denn der von Null verschiedene und
stets
endliche Faktor
ist
monoton mit wachsendem
w; weiter hat
ra
^K^)
^
= SsrxTr«-n.iW,
(« +
n
und somit ergibt
sich
wegen §
1)»
=
84, IV, daß die
Reihen ^{x) und %{x)
Sitzungsberichte der Münchener Akademie Bd. 36, p. Iü7 ff. 1906. InAbhandlung beweist Landau Verallgemeineningen der oben gegebenen
1)
dieser
man
= 30
von Jensen ausgesprochenen Sätze.
Kapitel XXII.
stets
und Fakultätenreihen.
konvergieren müssen-, denn der von Null
o-leichzeitig
und
Dirichletsche Reihen
endliche
§ 96.
283
verschiedene
Faktor .r„(^) bildet eine monotone Zahlenfolge.
In ähnlicher Weise findet
man
»=0
woraus
die gleichzeitige
unmittelbar
190.
Konvergens der beiden Reihen
Es sind
die Koeffizienten der
»
«
^i(oc)
Reihe
=
93 (:r)
gegeben
weiß, daß diese Reihenentwicklung möglich
giert für 'Si{x)
Man
und
= 00
zu bestimmen, wenn die Funktion
191.
S (x)
folg-t.
^
ist
und man
und konver-^
ist,
1.
hat die für 9i(a;)>
1
gültige
Entwicklung
i'r7vrr)-rr)+crv
herzuleiten.
192. Unter
erster
welchen Bedingungen können zwei Fakultätenreihen
Gattung dieselbe Funktion darstellen?
Anhang.
Weitere Übungsaufgaben.
193.
Es
zu beweisen, daß immer eine rationale Zahl zwischen
ist
zwei verschiedenen irrationalen gelegen
194.
Wie
verhält sich die reelle Zahlenfolge aoCf^ag"
ihre abgeleitete
n
195.
ist.
=
Menge
endlich
ist,
und lim
(a^^
"
'
'^',1'
'
wenn
'?
— a„_^j) =
für
00 ist?
Wenn
die
reelle Zahlenfolge Ö^ d^
Ö.^
•
•
•
ö,^
•
•
die beiden Be-
dingungen
lim sup
befriedigt,
Reihen
während
Uu^ und
<
ö,,
die
ti^^
lim inf
00,
d\^
>
sämtlich positiv sind, so sind die
2Ju^^ d^ gleichzeitig
entweder beide konvergent
oder beide divergent.
196.
In wie weit gilt der Satz der vorhergehenden Aufgabe,
die Zahlenfolge
197.
Wenn
man
die
die
<5^o^i
^2
"
"
*
'^n*
'
komplex
'
Ist
Reihe mit reeUen Gliedern 2Ju^ konvergiert, so hat
(1
+ w„)
anzugeben.
u eine primitive Wurzel der Gleichung a'P=
ganz, und setzt
giert
Wenn
man
^^,,
oder divergiert
nachdem ^ co
199.
ist?
notwendige und hinreichende Bedingung für die Kon-
vergenz des unendlichen Produktes JT
198.
wenn
die
>1
oder
=
das
«'*
•
w~ '", wo
unendliche
pcoKl
co
positiv
p
1,
ist,
positiv
so konver-
Produkt 7T(1-|-mJ,
je
ist.
unendliche Reihe Za^^ unbedingt konvergiert, und
wenn g<\x^'^G, wo
G
endlich und
^>0
ist,
vorausgesetzt
wird, so ist das unendliche Produkt
IT
=
n
'
immer gleichmäßig und unbedingt konvergent, außer
für
X
=
1.
vielleicht
—
Anhang.
200.
Es
Weitere Übungsaufgaben.
zu beweisen, daß der reguläre KettenbrucL.
ist
wo aQ=l
und
n
für
^
3
— Y(2^-^)
Weise
gesetzt wird, in solcher
(a^; ff^jagT")»
immer
1
^n
201.
285
oszilliert,
daß er nur zwei end-
annehmen kann.
4
liche
Werte mit der Differenz
Man
hat den regulären Kettenbruch (qq-
a^,
r/j,
•
wo aQ=0
),
•
und allgemein für positive ganze Stellenzeiger
_7l-\-l
n
202.
ist,
zu untersuchen.
Es
ist
"'2^
'
die
a,j
und
M
= 00
angenommen
203. Sind die
a^^
—>
1
lim inf
,
"'n
r?
immer
(a^
a^
konvergiert,
>
«J
•
= 00
wenn
wird.
und
h^ sämtlich positiv, so konvergiert der Ketten-
wenn die obere Grenze
Einheit
!%•••)'
&^ sämtlich positiv sind,
lim sup
bruch,
1
(^_|_1)2(^^_|_2)
zu beweisen, daß der unendliche Kettenbruch
^-(v,|.
wo
_
—
+1
nicht
der Zahlenfolge
^i &2 ^s
"
'
'
^«
"
"
*
^^^
und wenn außerdem entweder die
mit dem Grenzwerte 1 monoton
a^
übersteigt,
Zahlenfolge Oq
a^ a^
•
•
•
abnimmt, oder wenn
lim sup a„
n
angenommen
204.
Wenn
2J\a^
nuum
K
Wenn
— a^_^^\
konvergiert, und
gleichmäßig konvergiert, so
2J|a^
1
wird.
gleichmäßig konvergent.
205.
>
= 00
— a^^ij
wenn
ist 2J
2]u.^^(x)
Beispiele: Sätze § 39,
konvergiert,
im Konti-
a^ u^ (x) auch in
I
und §
wenn \ima^^=0
für
K
93,
I.
n=<x>
und wenn außerdem 2J u^ {x) stets zwischen endlichen
durchläuft, so ist
oszilliert, wenn x das Kontinuum
gleichmäßig konvergent.
Beispiele: Satz von
Zla,^u^^{x) in
Malmsten § 85, I und Satz § 39, IL
206. Wenn 2Jfl,,, zwischen endlichen Grenzen oszilliert, und wenn,
durchläuft, Uq {x) endlich und
indem x das Kontinuum
bestimmt, lim u^^ (x) =
für 11 = 00 ist, und die Reihe
ist
,
K
Grenzen
K
K
2? u^ (x)
—
r<„
auch
K
gleichmäßig konvergent.
I
in
^i(x)\ gleichmäßig konvergiert, so
ist
U
a^^
u^ (x)
Beispiel: Satz § 39, IL
207.
—
Anhang.
286
Wenn
Zusätze und Berichtigungen.
und wenn 2Ju^^(x) im Kontinimm Ä"
2J |a,/ konvergiei-t,
gleichmäßig konvergiert, so
K
Produktreihe auch in
208.
Wir
setzen
K
durch
und
I
^'o
(^)
g^^
die entsprechende
Cauchysche
beiden Reihen 2Ja^^u^(x) und 2Jh.^/v^(x)
die
Kontinuum
ist
gleichmäßig konvergent.
konvergent voraus und bezeichnen für
als
+ ^1 (^) H
i"
^n (^)
in
K
wenn dann
die
Grenze
obere
g^^
5
von
(x)
ti^^
Reihe 2J
\b^
i
im
n
und
alle
\
—
'b„_^_^\
wenn
konvergiert,
p=n
^
lim
und wenn außerdem
ist,
und
gl^
die oberen
U a^ u^ (x)
Wenn
G
Grenzen
und G' der aus
gebildeten Zahlenfolgen endlich sind,
U b^
und
(x) überall in
v^^
Regel multipliziert werden.
209.
=0
«^&„_^
K
alsdann
g^
dürfen
nach der Cauchyschen
Beispiele: Sätze § 86,
I,
II.
den Voraussetzungen in der vorhergehenden Auf-
mit
gabe die beiden zu multiplizierenden Reihen Z!a,^u^^{x) und
^^ti'^ni.^) ^^
^
gleichmäßig konvergieren, so
K gleichmäßig
reihe ebenfalls in
210.
Wenn
a endlich
ist,
und
die
ist
Produkt-
die
konvergent.
D (a)
Dirichletsche Reihe
oder
Fakultätenreihe Sl (a) oder die Binomialkoeffizientenreihe
die
33 (a)
zwischen endlichen Grenzen oszilliert, so konvergiert die ent-
sprechende Reihe
D (x), Sl {x)
oder
wenn nur ^(x — a)^ö
93 (x),
vorausgesetzt wird.
Zusätze und Berielitigungen.
Seite 4,
Formel
(9) steht
n
>
;
~,,
anstatt
Seite 12, § 5, I steht /<„-i-p>K+i, anstatt
n
>
)
Die Herleitung der Formel (3)
ist
kurz skizziert:
Setzt
man
Ä^
so hat
=
man
a„
der Identität s^
^^
,
•
l^+p>K+p.
'
Seite 109.
~
.,
— s^_i
=
anstatt tttt )
im Texte
(
etwas zu
Anhang.
—
und demnach
«1 «1
+
Zusätze und Berichtigungen,
+
•
•
•
woraus die Formel
Seite 172.
Zur Formel
man
findet
«2 «2
+
Seite 272, §
92
«;,
= l,
Schluß
;
««
= A-s«-i + *^.+
(3) unmittelbar hervorgeht.
(18): Setzt
man
a^
«„2 = w,
zahl sein darf, aber
lim||/a^J
287
lim sup
man
= w,
so hat
wo n
man
=oü, lim
-"-
vergleiche
die
keine Quadrat-
inf
-^^^^^
= 0.
vorhergehende Be-
merkung.
Seite 275,
Formel
(2).
Die im Texte nicht näher definierte Zahl
hat die folgende Bedeutung:
Ä;
=
(«'
-f ö)
-f d -f 1)
x(x-\-t)-
(«'
.
.
.
(«'
+d+ -
(a;+p— 1)
i9
1)
li
Druck von B. G. Tenbner in Leipzig.
Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin.
Nielsen, Dr. Niels, Dozent der reinen Mathematik an der Universität
Kopenhagen,
Handbuch
[XIV
S.]
u.
408
gr. 8.
der Theorie der Zylinderfunktionen.
Geb.
n. JL 14.—
1904.
Der erste Teil gibt, größtenteils nach früheren Arbeiten des Verfassers, die systematische
Theorie der Zylinderfunktionen, welche als Lösungen zweier Fundamentalgleichungen definiert
werden, und einiger allgemeineren Funktionen, die späterhin von großer Bedeutung werden.
(a;)
Außer den gewöhnlichen Zylinderfunktionen der ersten und zweiten Art /'' (.r) und
/»• {x)-\-i F'' (.r) und i?,'' {x)
werden noch zwei Funktionen der dritten Art, nämlich i/j'' (.r)
jv {x)
iY'^' (.r), eingeführt.
Der zweite Teil gibt eine neue, bisher noch nicht publizierte
Theorie der bestimmten Integrale mit Zylinderfnnktionen. Die altbekannten Resultate werden,
nebst vielen anderen durch allgemeine Methoden, in welchen die iif-Funktionen eine wichtige
Rolle spielen, hergeleitet. Zahlreiche asymptotische Reihen werden entwickelt; u.a. wird der merkwürdige Satz bewiesen, daß die Quadratsumme (/'' (x))*
(r'' (a;))^ in der ganzen unendlichen
a-Ebene, außer in a0, einen endlichen Wert hat; für v= + \ gewinnt man dadurch die altbekannte Identität cos- x -\- sin^ a:
Der dritte Teil entwickelt nach
1 als einfachsten Fall.
frühereu Arbeiten des Verfassers, eine Theorie der Entwicklungen analytischer Funktionen in
Reihen, die nach Zylinderfunktionen fortschreiten, d. h. Keumannsohe und Kapteynsche Reihen
und verschiedene andere.
Der vierte Teil behandelt die Darstellung willkürlicher Funktionen
durch Zylinderfunktionen, d. h. Reihen von Schlömilch und Fourier nach Dini und Integrale
von Keumann und Hankel. Nach früheren Arbeiten des Verfassers wird hier gezeigt, daß die
Schlömilchschen Reihen sämtlich NuUentwicklungen gestatten.
Der Theorie folgen ein Anhang
mit Hilfsformeln und Zusätze und ein ausführliches Literaturverzeichnis über Theorie und An-
—
y
=
—
=
,
+
=
—
=
,
—
—
wendungen der Zylinderfunktionen.
Handbuch der Theorie
gr. 8.
In Leinwand geb.
1906.
der Gammafunktion. [Xu. 326 S.]
n. Ji 12.—
Dies Handbuch versucht eine Gesamtdarstellung der bis jetzt bekannten Eigenschaften
und Anwendungen der Gammafunktion und verwandter Funktionen, in strenger und doch
möglichst elementarer
Der
Form zu
liefern.
des Buches gibt, ohne Zuhilfenahme bestimmter Integrale, sondern
ausschließlich durch Anwendung der Theorie analytischer Funktionen, eine elementare Entwicklung der Eigenschaften von
(x) und verwandter Funktionen, indem i'(.T) mittels seiner
Differenzengleichung definiert wird.
Im zweiten TeUe wird eine ziemlich voUständige Theorie der beiden Eulerschen
Integrale und der durch Gammafunktionen ausdrückbaren bestimmten Integrale sowie ihrer
Anwendung zur Herleitung der Reihen von Stirling, Kummer und Lerch gegeben; ebenso
werden die beiden Melünschen Umkehrprobleme und ihre Anwendung auf gewisse Funktionengattungen behandelt.
Der dritte und letzte Teil untersucht die reziproken Gammafunktionen als Entwicklungsfunktionen durch eine Darstellung der von Schlömilch, Jensen, Pincherle und vom Verfasser
ausgebildeten Theorie der Fakultäteureihen hier findet sich wohl zum ersten Male eine Würdigung der Methoden, die Stirling über solche Reihen angedeutet hat.
Das Buch enthält endlich ein möglichst vollständiges Verzeichnis der reichen Literatur
über die behandelten Theorien.
erste
Teil
F
;
Theorie des Integrallogarithmus und verwandter
Transzendenten. [VI u. 106 S.] gr. 8. 1906. Geh. n. Ji^ 3 60.
.
Das Buch versucht eine systematische Untersuchung
dem Erscheinen der Bücher von L. Mascheroni (1796) und
des Integrallogarithmus, dem seit
Soldner (1809) des verflossenen
J.
Jahrhunderts wohl zahlreiche Abhandlungen, aber kein zusammenfassendes Buch gewidmet
ist.
Als Ausgangspunkt der Betrachtung ist die Schlömilchsche Bemerkung genommen, daß der
Integrallogarithmus und die Krampsche Transzendente als Spezialfälle in der später als Prymsche
Q-Funktion bezeichneten Transzendenten enthalten sind.
Es ist so gelungen, die schon bekannten, sowie verschiedene neue Eigenschaften des Integrallogarithmus in systematischer
Weise herzuleiten.
Badunann, Professor Dr. Paul, in Weimar, Vorlesungen über die
Natur der Irrationalzahlen. [Xu. 151 S.] gi-. 8. 1892. Geh.
n.Jl.4..—
Cesäro, Dr. Ernesto, weil. Professor an der Kgl. Universität Neapel, Ele-
mentares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der
Infinitesimalrechnung. Mit zahlreichen Übungsbeispielen. Nach
einem Manuskript des Verfassers deutsch herausgegeben von Dr.
G. Kowalewski, Professor an der Universität Bonn. Mit 97 Figuren
im Text. [IVu.894S.] gr. 8. 1904. In Leinwand geb. n. ./^ 15.—
Niels Nielsen, Lehrbuch
der unendlichen Reihen.
—
Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin.
von Dantscher, Dr. Victor, Professor an der Universität Graz, Vorlesungen über die Weierstraßsche Theorie der irrationalen
Zahlen. [VI u. 79 S] gr 8. 1908. Geh. n. .^2.80, in Leinwand
geb.
Der VerfasBer hat
n. JC.
3.40.
sich entschlossen, seine an der Grazer Universität wiederholt gehaltenen Vorlesungen tlber die Weierstraßsche Theorie der irrationalen Zahlen
zu veröffentlichen, um den Studierenden Gelegenheit zu geben, auch diese Theorie die in den
Lehrbüchern meist nur andeutungsweise berücksichtigt wird, genauer kennen zu lernen.
Das Fundament bildet die Lehre von den additiven Aggregaten aus unendlich
vielen positiven rationalen Zahlen, deren Einführung durch das Verfahren der "Wurzelausziehung nahe gelegt wird. Die Hauptrolle spielt dabei die Entwicklung der Gleichheitserklärung; aus ihr ergibt sich naturgemäß die Unterscheidung zwischen konvergenten
und divergenten additiven Aggregaten; auf die eisteren werden die vier Kechnnngsoperationen im Gebiete der rationalen Zahlen ausgedehnt und gezeigt, daß es konv.-addit.
Aggregate gibt, deren Rte Potenz zwar nicht identisch sein kann mit einer vorgegebenen rationalen Zahl (welche nicht selbst Rte Potenz einer solchen ist), ihr aber doch nach der aufgestellten
,
=
1 ist.
Gleichheitserklärung gleich ist, so wie der periodische Dezimalbruch 0.9
Die Ausdehnung der Theorie auf addit. Aggregate, deren Glieder nicht mehr pos. rat.
Zahlen sind, vollzieht sich ohne Schwierigkeit.
Den Schluß bildet die Untersuchung der multiplikativen Aggregate, welche
nach Weierstraß durch additive erklärt werden.
GenoCcM, Dr. jur. Angelo, weiland Professor an der Universität Turin,
Differentialrechnung und Grundzüge der Integralrechnung,
herausgegeben von Giuseppe Peano. Autorisierte deutsche Übersetzung von Professor Dr. G. Bohlmann in Berlin und A. Schepp,
weiland Oberleutnant a. D. in Wiesbaden. Mit einem Vorwort von
Dr. A. Mayer, Professor an der Universität Leipzig. [VII u. 399 S.]
n. Ji. 12.
1899. In Leinwand geb.
gr. 8.
Lagrange, Joseph Louis, mathematische Elementar-Vorlesungen.
Deutsch von Dr. H.
gjmnasium zu
Niedermüller,
Leipzig.
[IV
u.
116
S.]
weil. Oberlehrer
gr. 8.
am
Nikolai-
1880. Geh. n.J(,2. 40.
Reichel, Geheimer Regierungsrat, Dr. Otto, Professor an der Kgl. Landwirtschaftlichen Hochschule zu Berlin, Vorstufen der höheren
Analysis und analytischen Geometrie. Mit 30 Figuren im
A
2.40.
n.
[Xu. 111 S.] gr. 8. 1904. In Leinw. geb.
In vorliegender Arbeit ist jegliche der natürlichen Zahlenreihe nicht angehörende Art
von Zahl aufgefaßt als rein „formales" GebUde, d. h. als eine ZeichcnzusammensteUung, welcher
nach den bis zu ihrem ersten Auftreten hin gegebenen Erklärimgen keine Zahl mehr entspricht,
obschon sie in einer Form erscheint, wie wenn sie eine Zahl bedeutete; auf die in
diesem Sinne ausgeführte Festsetzung des Begriffs folgt dann die Festsetzung des
Gebrauchs. Als Eichtschnur gut dabei, daß der Gebrauch der neuen Zahlart sich demjenigen
Insbesondere für das Irrationale
der älteren Zahlarten nach Möglichkeit anzupassen hat.
ist von diesem Gesichtspunkt aus eine strenge Theorie entwickelt; diese wird dann in eine
Beziehung zur Lehre von den Vektoren gebracht und benutzt, um die für viele Studierende
einmal vorhandene Kluft zwischen niederer und höherer Mathematik in möglichst befriedigender
Weise zu überbrücken; wobei noch hervorzuheben ist, daß dem Leser gewisse ermüdende Betrachtungen der sogenannten algebraischen Analysis (die besser durch die kürzeren Methoden
der höheren Analysis zu ersetzen bleiben) erspart werden konnton.
Text.
Schoenflies, Dr. Arthur, Professor an der Universität Königsberg
i.
Pr.,
die Entwicklung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten. 2 Teile.
Jahresbericht der Deutschen MathematikerI. Teil. A. u. d. T.:
Vereinigung. Vni, 2. Mit Figuren im Text. [VI u. 251 S.]
n. Ji 8.—
1900. Geh.
gr. 8.
A. u. d. T.: Jahresbericht der Deutschen Mathematikern, „
Vereinigung, der Ergänzungsbände. II. Band. Mit 26 Figuren
12.—
im Text. [X u. 431 S.] gr. 8. 1908. Geh. n.
A
Vorstehender Bericht über die Mengenlehre enthält in seinem ersten Teile in 3 Abschnitten: 1. Die allgemeine Theorie der unendlichen Mengen. 2. Die Theorie der Punktmengen.
Dabei nimmt in den beiden ersten Ab3. Anwendungen auf Funktionen reeUer Variabler.
Verlag von B.
G
Teubner in Leipzig und
Berlin.
weil der Verfasser nur so hoffen
die Darstellung die Form eines Lehrbuches an
konnte, bei einem in seinen Einzelheiten noch wenig gekannten Gebiete, sich in den Teilen,
Anwendungen enthalten, knapper und doch verständlich ausdrücken zu können.
Der zweite Teil ist vorzugsweise den geometrischen Anwendungen gewidmet. Insbesondere
hat hier derjenige Teil, der im Mittelpunkt der Analysis Situs steht, und in dem die geometrisch
invarianten Eigenschaften der geometrischen Gebilde zum Ausdruck kommen, eine zusammenhängende Darstellung erfahren. Außerdem enthält dieser TeU Nachträge zum ersten Teil. Im
übrigen ergibt sich der Inhalt aus folgenden Kapitelüberschriften 1. Allgemeine Mengensätze.
5. Die
4. Die gestaltlichen Grundbegriffe.
3. Punktmengensätze.
2. Die geordneten Mengen.
geometrischen Invarianten der Analysis situs. 6. Die stetige Kurve. 7. Die Kurvenmengen und
der Funktionalraum.
sclinitten
,
die die
:
Schröder, Dr.
Karlsruhe,
E.,
weiland Professor an der Technischen Hochschule zu
für Lehrer
Lehrbuch der Arithmetik und Algebra
und Studierende.
sieben
I. Band: Die
gr. 8.
1873.
[X
Operationen.
algebraischen
n.
der Operationskreis des Logikkalkuls.
gr.
1877.
8.
360
u.
Geh.
[VI
Geh.
u.
A
n.
S.]
8.—
Ji.
37
S.]
1.50.
Vorlesungen über die Algebra der Logik (exakte
Logik).
I.
3 Bände.
Mit vielen Figuren im Text.
1890.
Geh.
Band.
IL
—
—
III.
—
n.
1.
1891.
M.
u.
400
S.]
12.—
M.
n.
8.
16.—
A
A.
u. d. T.:
[Vmu.
Algebra und Logik der Relative.
649
im
S.]
Simon, Dr. Max, Professor
Universität Straßburg i.
In 2 Abteilungen
Text.
gr. 8.
n. Abteilung (Schluß),
in
gr.
S.]
n.
Herausgegeben im Auftrage der Deutschen
2. Abteilung.
Mathematiker-Vereinigung von Dr. E. Müller, Professor
an der Oberrealschule zu Konstanz. Mit einem Bildnis
[XXIX u. 206 S.]
E. Schröders und Figuren im Text.
8.—
n.
gr. 8.
1905. Geh.
HL
(in
1895.
Geh.
I.
n.
u.
108
Mit
Abteilung.
Ji.
16.—
Vorbereitung)
am Lyceum und Honorarprofessor an der
Methodik der elementaren Arith-
E.,
Verbindung mit algebraischer Analysis. Mit
[VI
figuren.
717
Geh.
vielen Figuren
metik
u.
Mit vielen Figuren im Text. [XV
Abteilung.
gr. 8.
[XII
S.]
gr. 8.
1906.
Geb.
n.
9 Text-
c/^3.60.
Die vorlieg nde Schrift bezweckt, den Studierenden die Ziele des arithmetisch-algebraischen Unterrichts der neunklassigen höheren Schulen zu zeigen und sie anzuleiten, den zuDie Schrift zerfällt
sammenfassenden Überblick auf der obersten Stufe methodisch zu geben.
in zwei nebeneinander herlaufende Teile: die Entwicklung des Zahlbogriffs vom Zählen an bis
zu den komplexen Zahlen und die Aiiflösung der algebraisch auflösbaren Gleichungen. Der
Begründung des Begriffs und der Kechnungsregeln der Irrationalzahlen ist besondere Sorgfalt
gewidmet, der Verfasser hat sich dabei wesentlich an die Georg Cantorsche Methode gehalten,
weil sie s. E. wesentliche Vorzüge vor der De dekin d sehen und Weierstraß sehen besitzt.
Eine geringfügige Modifikation ist durch die Auffassung des Verfassers vom Grenzbegriff als
Die ganze Enteiner Kategorie, d. h. eines irreduzibeln Grundvermögens der Vernunft bedingt
wicklung wird beherrscht von der Ausbildung des Funktionsbegriffs, dessen zentrale Stellung
im Unterricht der Verfasser schon seit mehr als 20 Jahren betont hat.
—
Stolz, Dr. 0., weil. Professor an der Universität Innsbruck,
Zahlen.
Rede
bei Gelegenheit der feierlichen
lösten Preisaufgaben
gr. 8.
'A
1891.
<t^^t
Geh.
am
2.
Größen und
Kundmachung der
März 1891 zu Innsbruck gehalten.
n. Ji.
[30
geS.]
—.80.
—
Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin.
und Dr. J. A. Gmeiner, Professor an der Universität Innstheoretische Arithmetik. 2. umgearbeitete Auflage aus-
Stolz, Dr. 0.,
bruck,
gewählter Abschnitte der „Vorlesungen über allgemeine Arithmetik"
gr. 8. 1902. In Leinw. geb. n. J'^ 10 60.
von O.Stolz. [IXu. 402S.]
.
Vorstehendes Buch ist die Neubearbeitung ausgewählter Abschnitte der „Vorlesungen
über allgemeine Arithmetik" von O. Stolz, die der „tlieoretischen Arithmetik" angehören, wobei
unter diesem Namen von den Verfassern die Lehren von den reellen und von den gemeinen komplexen Zahlen in Verbindung mit dem Nachweise, daß es außer den genannten keine Zahlen
gibt, mit denen nach denselben Regeln gerechnet worden kann, wie mit den reellen Zahlen,
vorstanden werden.
Veronese, Dr. Giuseppe, Professor an der Universität Padua, Grund-
züge derGeometrie von mehrerenDimensionenundmehreren
Arten geradliniger Einheiten in elementarer Form entwickelt.
Mit Genehmigung des Verfassers nach einer neuen Bearbeitung des Originals übersetzt von A. Schepp, weiland Oberleutnant a. D. in "Wiesbaden. Mit zahlreichen Figuren im Text. [XLVII
710
u.
S.]
gr. 8.
1894.
Geh.
n. Jt.
20.—
Vivanti, Dr. G., Professor an der Universität Messina, Theorie der
eindeutigen analytischen Punktionen.
Umarbeitung unter
Mitwirkung des Verfassers deutsch hrgb. von Dr. A. Gutzmer,
Professor an der Universität Halle a. S.
[VI u. 512 S.]
gr. 8.
1906. In Leinwand geb.
n. Jt. 12.
Der Verfasser
hat, einer Anregung des Herausgebers folgend, für die deutsche Ausgabe
erschienenen „Teoria delle funzioni analitioho" nicht nur die beiden ersten Teile
Elemente der Mengenlehre und Allgemeine Theorie der analytischen Funktionen
mehr
oder woniger großen Änderungen und Ergänzungen unterworfen, sondern insbesondere den
dritten Teil
Ergänzungen zur Theorie der analytischen Funktionen
fast ganz neu gefaßt.
So ist z. B. die neuere Theorie der ganzen Funktionen zu einer wahren Monographie des Gebietes geworden, in der die Ergebnisse der neuesten Untersuchungen systematisch und einheitlich entwickelt werden. Ebenso ist die Literatur ergänzt und die Bibliographie der Mengenlehre
eingefügt worden.
Das große Interesse, das sich an die neueren funktionentheoretischen
Untersuchungen, insbesondere über die ganzen Funktionen, knüpft, läßt hoffen, daß die vorliegende deutsche Umarbeitung den Kreisen der Mathematiker nicht unwillkommen sein werde.
seiner 1901
—
—
—
—
—
Weber, Dr.
i.
Band.
in.
—
—
füi-
Lehrer und Studierende. In 3 Bänden,
gr. 8.
Elementare Algebra und Analysis. Bearbeitet von Heinrich
Weber. 2. Auflage. Mit 38 Textfiguren. [XVm u. 5.S9 S.]
1906.
II.
Encyklopädie der Elementar-Mathe-
Eis.,
matik. Ein Handbuch
I.
Joseph Wellstein, Professoren an der Uni-
Heinricll, u. Dr.
versität Straßburg
In Leinwand geb.
Elemente der Geometrie.
n. .iL 9.60.
Bearbeitet von
Heinrich Weber,
Joseph Wellstein und Walther Jacobsthal.
Mit 251 Textfig. [XH u. 596 S.] 1907. In Leinw. geb.
2.
n.
Auflage.
JL 12.—
Angewandte Elementar-Mathematik. Bearbeitet von Heinrich
Weber, Joseph Wellstein und Bud. H. Weber (Heidelberg).
Mit 358 Fig. im Text. [XUI u. 666 S.] 1907. In Leinwand
geb.
Das vorliegende Werk wendet
n. JL 14.—
und künftigen
Studierenden der Mathematik unserer Hochschulen. Es
sich in erster Linie an die gegenwärtigen
Lehrer an höheren Schulen, an die
beansprucht nicht, wie die große Encylilopädie der mathematischen Wissenschaften, das Material
allseitig zu erschöpfen, nach der historischen und literarischen Seite hin vollständigen Aufschluß zu geben. Es will eine Vorbindung herstollen zwischen der höheren Mathematik und
der Mathematik der Schule, indem es einerseits dem Studierenden ein Führer ist, wo er der
Auffrischung und Ergänzung früher erworbener Kenntnisse bedarf, andererseits dem Lehrer ein
Wegweiser, um das im Studium der höheren Mathematik Erworbene der Vertiefung und Bereicherung des Unterrichts nutzbar zu machen. Besonderes Gewicht ist auf die wissenschaftliche Ausgestaltung der allgemeinen Grundlagen gelegt.
»86
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