Einführung in die Algebra

A
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. Klaus Keimel
Alexander Rohr
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Wintersemester 2001/2002
14. Januar 2002
Einführung in die Algebra
Zehntes Übungsblatt
Skript: Kapitel II, Abschnitte 2 und 3
Präsenzübungen
(P 33) Ein Faktorring der ganzen Gaußschen Zahlen
Gegeben sei die Teilmenge 2Γ = 2(m + in)m, n ∈ Z} des Rings Γ der ganzen Gaußschen Zahlen.
(a) Skizziere die Mengen Γ und 2Γ in der Gaußschen Zahlenebene. Beweise, daß 2Γ ein Ideal des Rings
Γ ist.
(b) Es sei ≡ die durch das Ideal 2Γ definierte Kongruenzrelation. Wann gilt (r + is) ≡ (m + in) für zwei
Zahlen r + is und m + in ∈ Γ? Beschreibe die Quotientenmenge Γ/2Γ.
(c) Laut Skript ist die Quotientenmenge Γ/2Γ mit geeignet definierter Addition und Multiplikation ein
Ring, der Faktorring Γ modulo 2Γ. Gib die Verknüpfungstafeln für die Addition und Multiplikation
im Faktorring Γ/2Γ an.
(d) Untersuche, ob Γ/2Γ ein Körper ist. Falls nicht, gib die Einheitengruppe des Faktorrings Γ/2Γ an
und finde ein nichttriviales Ideal I von Γ mit 2Γ $ I.
(P 34) Ringhomomorphismen und Ideale
(a) Es sei f : R → S ein Ringhomomorphismus und J ⊆ S ein Ideal. Zeige, daß das Urbild f −1 (J) ⊆ R
ebenfalls ein Ideal ist.
(b) Beweise den sogenannten dritten Isomorphiesatz für Ringe: sind I und J Ideale eines Rings R
mit I ⊆ J und bezeichnet πI : R → R/I den kanonischen Homomorphismus, so ist J := πI (J) ein
Ideal des Faktorrings R := R/I und es gilt R J ∼
= R/J .
(P 35) Rechnen mit Kongruenzen
Es sei z ∈ Z. Untersuche, welche Restklasse modulo 4 die Quadratzahl z 2 besitzen kann.
Leite aus Deinem Resultat ein notwendiges Kriterium dafür ab, daß eine natürliche Zahl die Summe
zweier Quadrate ist.
Hausübungen
Abgabe in den Übungen am 21. Januar 2002
(H 48) Ein weiterer Faktorring der ganzen Gaußschen Zahlen
Gegeben sei die Teilmenge 3Γ = 3(m + in)m, n ∈ Z} des Rings Γ der ganzen Gaußschen Zahlen.
(a) Skizziere die Mengen Γ und 3Γ in der Gaußschen Zahlenebene und beweise, daß 3Γ ein Ideal des
Rings Γ ist.
(b) Es sei ≡ die durch das Ideal 3Γ definierte Kongruenzrelation. Wann gilt (r + is) ≡ (m + in) für zwei
Zahlen r + is und m + in ∈ Γ?
Bitte wenden!
(c) Beschreibe die Elemente des Faktorrings Γ/3Γ und gib die Verknüpfungstafeln für die Addition und
Multiplikation an.
(d) Gib die Einheitengruppe des Faktorrings Γ/3Γ an und untersuche, ob dieser Ring ein Körper ist.
(H 49) Die 11er-Probe
Als die alternierende Quersumme aq(n) einer natürlichen Zahl n bezeichnen wir die Summe ihrer Ziffern
in der Dezimaldarstellung mit wechselnden Vorzeichen. Zum Beispiel ist aq(121) = 1 − 2 + 1 = 0.
Zeige, daß eine Zahl n genau dann durch 11 teilbar ist, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11
teilbar ist.
(H 50) Maximale Ideale
Ein Ideal I eines kommutativen Rings R heißt maximal, wenn I in keinem Ideal enthalten ist außer in
I und R.
(a) Bestimme alle maximalen Ideale des Rings Z.
(b) Zeige, daß ein kommutativer Ring R 6= {0} genau dann ein Körper ist, wenn er kein Ideal außer
den trivialen Idealen {0} und R besitzt.
(c) Folgere, daß ein Ideal I eines kommutativen Rings R 6= {0} genau dann maximal ist, wenn der
Faktorring R/I ein Körper ist. Hinweis: Verwende Aufgabe P 34.
(d) Für welche Zahlen n ∈ N ist also der Restklassenring Zn ein Körper?
(H 51) Primideale
Ein Ideal I eines kommutativen Rings R heißt Primideal, wenn für alle a, b ∈ R gilt: liegt das Produkt
ab in I, so gilt bereits a ∈ I oder b ∈ I.
(a) Zeige: jedes maximale Ideal ist prim. Gib ein Beispiel eines Primideals an, das nicht maximal ist.
(b) Bestimme alle Primideale des Rings Z.
(c) Zeige: Das Ideal {0} ist in einem kommutativen Ring R genau dann ein Primideal, wenn R ein
Integritätsbereich ist.
(d) Beweise allgemeiner: Ein Ideal I eines kommutativen Rings R ist genau dann prim, wenn R/I ein
Integritätsbereich ist.
(H 52) Rechnen mit Kongruenzen
Der französische Mathematiker Pierre de Fermat vermutete seinerzeit (also um 1640), daß für jede
n
natürliche Zahl n > 0 die Zahl Fn := 2(2 ) + 1 eine Primzahl ist. Dies ist auch tatsächlich richtig für
n ≤ 4. Es war jedoch lange Zeit unklar, ob es auch für größere Werte von n stimmt.
Erst knapp 100 Jahre später zeigte der Schweizer Leonhard Euler 1732, daß die Zahl F5 = 232 + 1 nicht
prim ist, sondern durch 641 teilbar ist. Bis heute wurde keine weitere Zahl n mehr gefunden, für die Fn
eine Primzahl ist. Für alle n < 34 und für zahlreiche weitere Zahlen bis einschließlich n = 382447 wurde
gezeigt, daß Fn nicht prim ist. (Vgl. http://www.fermatsearch.org/)
Versuche durch Rechnen modulo 641 ebenfalls zu zeigen, daß F5 nicht prim ist. Verwende dabei die
Zerlegungen 641 = 54 + 24 = 5 · 27 + 1.