Einführung in die Logik für Informatiker

A
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. Thomas Streicher
Alexander Rohr
Peter Lietz
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Sommersemester 2001
28. Mai 2001
Einführung in die Logik für Informatiker
Sechstes Übungsblatt
Präsenzübungen
Skript (TEX-Version) Seiten 18 bis 24
(P 16) Rekapitulation einiger Definitionen, Kompaktheitssatz
Sei T eine Menge von Formeln und C eine Formel. Erläutere die folgenden Begriffe
a) T ist erfüllbar.
b) T ist endlich erfüllbar.
c) T ist unerfüllbar.
d) C ist allgemeingültig.
e) T |= C.
Was sagt der Kompaktheitssatz aus?
Zeige:
f) T |= C
⇐⇒
T ∪ {¬C} ist unerfüllbar
g) T |= C
⇐⇒
es existiert Γ ⊆endl. T mit Γ |= C
In Definition 8.3 wird die semantische Folgerungsbeziehung |= eingeführt. Zuvor war jedoch in
Definition 5.1 schon die Gültigkeit einer Sequenz in einem Modell eingeführt worden. Zeige, daß
für jede endliche Menge Γ von Formeln die folgenden beiden Aussagen äquivalent sind.1
(1) Γ |= C (bzgl. Def. 8.3)
(2) Für alle % ∈ pVal gilt Γ |=B,% C (bzgl. Def. 5.1)
(P 17) Anwendung des Kompaktheitssatzes auf den Vierfarbensatz
Eine Landkarte heißt n-färbbar, wenn die in ihr vorkommenden Länder derart mit n Farben
gefärbt werden können, dass benachbarte Länder verschiedene Farben haben. Zeige, dass eine
abzählbare Landkarte genau dann 4-färbbar (n-färbbar) ist, wenn jede endliche Teilkarte 4-färbbar
(n-färbbar) ist.
Hinweis: Finde eine abzählbare Formelmenge zur Beschreibung der Landkartenfärbung und benutze den Kompaktheitssatz. Es ist hilfreich, die Menge PC zu ersetzen durch die gleichmächtige
Menge {pl,f | l ∈ N, f ∈ {1, . . . , 4}}. Man kann dann die atomare Aussage pl,f denken als: Das
”
Land l hat die Farbe f .“
1
Numerierung bezieht sich auf die TEX-Version des Skripts.
(Bemerkung: 1890 zeigte Heawood, dass jede endliche Landkarte 5-färbbar ist. Ein mit Computerunterstützung geführter Beweis für die 4-Färbbarkeit endlicher Landkarten gelang 1976 Haken
und Appel.)
Hausübungen
Skript (TEX-Version) Seiten 18 bis 24
Abgabe in den Übungen am 11. Juni 2001
(H 18) Konjunktive Normalformen
Definition. Ein Literal ist eine propositionale Konstante oder eine negierte propositionale Konstante, also eine Formel der Form pn oder ¬pn . Eine Klausel ist eine (endliche) Disjunktion von
Literalen. Eine Formel ist in konjunktiver Normalform (KNF) wenn sie eine (endliche) Konjunktion von Klauseln ist. Eine Klausel heißt reduziert wenn für kein pn ∈ PC sowohl pn als auch ¬pn
als Glieder der Disjunktion vorkommen.
Finde zur folgenden Formel ein klassisch äquivalente Formel in KNF.
(p0 ∧ (p0 → p1 )) → p1
Zeige informell, daß jede aussagenlogische Formel klassisch äquivalent ist zu einer Formel in
konjunktiver Normalform. Orientiere Dich dabei am Beweis von Lemma 9.2 im Skript.
(H 19) Alternativer Beweis des Vollständigkeitssatzes
Was sagt der Vollständigkeitssatz bezüglich 2-wertiger Modelle“ aus?
”
Wir geben hier einen einfacheren Beweis, der im Vergleich zu dem im Skript präsentierten Beweis
allerdings den Nachteil hat, daß der Kompaktheitssatz extra bewiesen werden muß.
Im folgenden bezieht sich der Begriff Herleitbarkeit auf klassische Herleitbarkeit. Zeige die folgenden Behauptungen.
a) Eine Klausel ist allgemeingültig genau dann, wenn sie nicht reduziert ist.
b) Eine Klausel ist nicht reduziert, genau dann wenn sie herleitbar ist.
c) Eine Formel in konjunktiver Normalform ist allgemeingültig genau dann, wenn sie herleitbar
ist.
d) Eine beliebige Formel ist allgemeingültig genau dann, wenn sie herleitbar ist.
e) Eine Sequenz ist allgemeingültig genau dann, wenn sie herleitbar ist.
(H 20) Anwendung von Kompaktheitssatz und Vollständigkeitssatz
Sei T eine Menge von Aussagen derart, daß für jede Belegung % ∈ pVal ein A ∈ T existiert mit
JAKB% = true. Zeige: Es gibt eine endliche Teilmenge {A1 , . . . , An } ⊆ T so daß ` A1 ∨ · · · ∨ An
(klassisch) herleitbar ist.
Hinweis: Untersuche die Menge der Formeln {¬A | A ∈ T } im Hinblick auf Unerfüllbarkeit.
Verwende (und beweise), daß eine Formel C allgemeingültig ist genau dann, wenn ¬C unerfüllbar
ist.