Ph 10/13 K_Online-Ergänzung

Ph 10/13 K_Online-Ergänzung
Quantengravitation
in der Schule?
C ARSTEN B USCH – B JÖRN S CHMEKEL
Online-Ergänzung
Aufgabenbeispiele
1 Stärke der Wechselwirkungen
Im Wasserstoffatom ziehen sich Proton und Elektron gegenseitig an. Einerseits gibt es eine anziehende Kraft aufgrund der
unterschiedlichen elektrischen Ladungen (elektrische Kraft
oder Coulombkraft FC), andererseits gibt es eine anziehende
Gravitationskraft FG aufgrund der beiden Massen. Vergleichen
Sie die »Stärke« (Beträge) der beiden Kräfte!
2 Dirac Hypothese
6 LHC
Der englische Physiker DIRAC stellte 1936 folgende, sehr umstrittene Hypothese auf:
F
Ausdehnung des beobachtbaren Universums ___
_________________________________________
= C ≈ 1040
Protonenradius
die ungefähre »Größe« eines Wasserstoffatoms im Grundzustand. Dieser Radius hängt sicherlich von der Ladung e und
der Masse me des den Kern »umkreisenden« Elektrons ab. Da
die Masse des Protons im Kern sehr viel größer als die Masse
des Elektrons ist, wird der Bohr-Radius nur unwesentlich von
der Protonenmasse abhängen.
Die Quantenmechanik sorgt dafür, dass das Wasserstoffatom
stabil ist, also wird der Radius vom planckschen Wirkungsquantum h bestimmt. Da der Bohr’sche Radius nicht relativistisch berechnet wird, spielt die Lichtgeschwindigkeit c keine
Rolle. Wie kann man also aus den Konstanten e, me und h eine
physikalische Größe mit der Einheit einer Länge bilden?
FG
Man geht heute allgemein davon aus, dass sich das gesamte Universum seit dem »Urknall« vor ca. 14 Milliarden Jahren ausdehnt.
Wenn DIRACs »Hypothese der großen Zahlen« zutrifft, welche
Konsequenz hätte die Expansion des Universums für das Verhältnis der Stärken von Gravitationskraft und Coulombkraft?
3 Planckskala
Berechnen Sie die Planckzeit (Zeit, die das Licht benötigt, um
die Planck-Länge zu durchqueren), die Planckenergie, die
Planckmasse und die Planckdichte!
Tipps: Die Einheit des Planckschen Wirkungsquantums h ist
J · s. Es gilt die Einstein’sche Äquivalenz von Masse und Energie: E = mc2 .
4 Größenordnung der Planckskala
Informieren Sie sich über den neuen Beschleuniger LHC am
internationalen Elementarteilchenforschungszentrum CERN
bei Genf. Die maximale Teilchenenergie, die in einem ringförmigen Beschleuniger wie dem LHC erreicht werden kann,
ist abhängig von der maximalen magnetischen Flussdichte B,
vom Radius r des Rings und von den Teilcheneigenschaften. Es
gilt für hohe Energien näherungsweise:
Emax = r · q · B · c .
Dabei ist r der Radius des Synchrotronbeschleunigers, q die Ladung des beschleunigten Teilchens, B die magnetische Flussdichte der Ablenkmagneten und c die Lichtgeschwindigkeit.
Schätzen Sie ab, welche maximale Energie der LHC bei einer
magnetischen Flussdichte von ca. 8 T erreichen kann. Schätzen
Sie dann grob ab, welchen Radius ein solcher Beschleuniger
haben müsste, um die Quantengravitation experimentell zu
überprüfen! Erläutern Sie, weshalb die experimentelle Überprüfung der Quantengravitation damit unmöglich scheint.
7 Vakuumpolarization
7.1
Die Planck-Länge ist extrem klein. Überlegen Sie sich, mit welchem anschaulichen Bild man dies verdeutlichen kann!
Begründen Sie, warum das Vakuum nicht leer ist!
5 Einheitenbetrachtung
7.2
Wir wollen aus Einheitenüberlegungen wie bei der Plancklänge die Größenordnung des Bohr’schen Radius herleiten (Faktoren wie π oder 0,5 werden dabei nicht berücksichtigt), also
Berechnen Sie die Zeitspanne, in der ein virtuelles ElektronPositron-Paar gemäß der Heisenberg’schen Unschärferelation
existieren kann.
MNU 64/4 (1.6.2011) Seiten 1–4, ISSN 0025-5866, © Verlag Klaus Seeberger, Neuss
1
QUANTENGRAVITATION IN DER SCHULE? // C ARSTEN B USCH – B JÖRN S CHMEKEL
7.3
leiten. Für das gravitative Beschleunigungsfeld in drei Dimensionen würde er lauten
Informieren Sie sich über Myonen und Tauonen. Im Vakuum
entstehen andauernd virtuelle Teilchen-Antiteilchen-Paare, die
nach sehr kurzer Zeit annihilieren. Begründen Sie, warum in
der »Wolke« aus virtuellen Teilchen um eine »nackte« Ladung
vor allem Elektron-Positron-Paare und kaum Myon-Antimyon-Paare oder Tauon-Antitauon-Paare zu finden sind!
Leiten Sie das Beschleunigungsfeld für eine punktförmige
Massenverteilung her.
8 String-Theorie?
10.2
Informieren Sie sich über die String-Theorie und über die Kontroverse um die String-Theorie. Führen Sie eine Podiumsdiskussion mit Vertretern und Gegnern der String-Theorie durch!
Begründen Sie, warum die Feldstärke in höherdimensionalen
Räumen schneller abfällt als r–2 . Die Oberfläche der n-dimensionalen Kugel skaliert sich wie Sn–1 ⬀ rn–1 . Wie lässt sich hiermit
die relative Schwäche der Gravitation erklären?
9 Divergenz des Coulombpotentials
0
_____
______
∫ⴰ g› · dA› = – 4πGM .
∂V
11 Das anthropische Prinzip
9.1
Leiten Sie das elektrische Feld einer Punktladung mit Hilfe des
Satzes von GAUSS her. Bestimmen Sie das elektrische Potential.
Wie viel Energie würde man benötigen, um zwei sich am gleichen Ort aufhaltende Punktladungen räumlich zu trennen?
9.2
Leiten Sie das elektrische Feld einer elektrisch geladenen Kugel sowohl außerhalb als auch innerhalb der Kugel her. Die
Kugel habe die gleichmäßige Ladungsdichte ρ und den Radius
R. Bestimmen Sie das Potential.
In der folgenden Aufgabe soll verdeutlicht werden, dass in einem Universum, in dem menschliches Leben möglich ist, die
Naturkonstanten nicht völlig willkürlich sind. Nehmen wir
hierzu an, dass die Beträge der Ladungen von Elektron und
Proton nicht völlig identisch seien. Da es in einem Atom dann
nicht mehr zu einer vollständigen Ladungskompensation
kommt, hätte unsere Erde einen leichten Ladungsüber- bzw.
unterschuss. Die somit von Null verschiedene – hier auf Masse
bezogene – Ladungsdichte der Erde werde mit η bezeichnet.
Man betrachte ein an der Erdoberfläche gelegenes Massestückchen der Masse ∆m und der Ladung ∆q = η∆m . Wie groß könnte η höchstens sein, damit die Erde noch ein stabiler Planet
ist? Der Ladungsunterschied würde zu einer Abstoßung der
Teilchen in der Erde führen, die jedoch von der Schwerkraft
kompensiert werden würde.
9.3
Vergleichen Sie die Ergebnisse aus den ersten beiden Aufgaben. Welche qualitativen Unterschiede erkennen Sie? Welche
Konsequenzen ergeben sich daraus?
10 Konsequenzen höherdimensionaler
Theorien
In dieser Aufgabe untersuchen wir die Konsequenzen aus
physikalischen Theorien mit mehr als drei räumlichen Dimensionen. In solch einer Theorie wäre unser dreidimensionales
Universum eine flache Scheibe in einem höherdimensionalen
Raum, ähnlich einem dünnen Blatt Papier im dreidimensionalen Raum. Während sich die elektromagnetischen Felder auf
den dreidimensionalen Raum beschränken ließen, so würde
sich die Gravitation nach gängiger Vorstellung in allen Raumdimensionen ausbreiten. Da wir nicht mehr als drei räumliche
Dimensionen wahrnehmen, müssen die zusätzlichen Dimensionen auf einen kleinen Bereich begrenzt sein. Wir nehmen
an, dass es sich bei dieser Längenskala um die Plancklänge
handelt. Es soll gezeigt werden, dass sich mit Hilfe einer solchen Theorie die relative Schwäche der Gravitation gegenüber
der elektromagnetischen Wechselwirkung erklären lässt.
10.1
Aufgrund der Ähnlichkeiten von Elektrostatik und Gravitation lässt sich auch für die Gravitation ein Satz von GAUSS her-
2
12 Quantisierung des Gravitationsfelds
eines schwarzen Loches, Hawking- und
York-Strahlung
Aus der populärwissenschaftlichen Literatur ist bekannt, dass
auch schwarze Löcher schwache Strahlung abgeben können.
Schwarze Löcher der Masse M haben den Radius rs = 2 GMc–2 ,
der in einer quantisierten Theorie der Gravitation leicht
fluktuieren kann, wobei Masse bzw. Energie entweichen kann
(Ansatz von YORK). Die Unschärfe des Gravitationsfelds ∆g
führt zu einer Unschärfe in rs sowie zu einer Unschärfe in der
kanonisch konjugierten Größe ∆p (eine Art Impuls mit eventuell anderen Einheiten). Wir definieren δr = r − rs . In einer
Theorie der Quantengravitation sollte dann eine Art Unschärferelation
∆g · ∆p ≈ h
gelten.
12.1
Bestimmen Sie mit Hilfe von Dimensionsbetrachtungen die
Größenordnung von δr, indem Sie geeignete Ausdrücke für ∆g
und ∆p finden. Da die Fluktuationen im Vakuum stattfinden,
hängt das Ergebnis nicht von G ab (Die Masse des schwarzen
Loches ist im Mittelpunkt konzentriert.). Nehmen Sie an, dass
sowohl ∆g als auch ∆p linear von δr abhängen (Bei einem har-
MNU 64/4 (1.6.2011)
QUANTENGRAVITATION IN DER SCHULE? // C ARSTEN B USCH – B JÖRN S CHMEKEL
monischen Oszillator hängen sowohl Elongation als auch Geschwindigkeit bzw. Impuls linear von der Amplitude ab.).
A.4
2
h
rBohr ≈ ____
mee2
12.2
Bestimmen Sie mit Hilfe von Dimensionsbetrachtungen die
Größenordnung der Massenänderung δM, die von δr resultiert.
Diese Masse kann nun entweichen. Welcher (Strahlungs)energie
und welcher Temperatur entspricht dieser Betrag? Diese Ergebnisse können von G abhängen.
Zusatzbemerkung: Im ursprünglichen Ansatz von HAWKING
wird nicht das Gravitationsfeld, sondern es werden die Materiefelder quantisiert. Der Radius des schwarzen Loches bleibt
in erster Näherung konstant. Virtuelle Teilchen können auf
dem Ereignishorizont bei r = rs gebildet werden, wovon eins
nach außen entweichen und eins ins schwarze Loch zurückfallen kann. Interessanterweise ergeben beide Ansätze fast das
gleiche Ergebnis.
Lösungen
A.5
Emax _________________________
14 TeV
rLHC ≈ ____
= 5,8 km
=
qBc 1,6 · 10–19 C · 8 T · 3 · 108 ms–1
Emax _______________________
109 J
rPlanck-Beschleuniger = ____
=
–19
qBc 1,6 · 10 · 8 T · 3 · 108 ms–1
rPlanck-Beschleuniger = 2,6 · 1015 km
Ein »LHC-Beschleuniger« müsste einen Durchmesser von größenordnungsmäßig einem Hundertstel des Durchmessers der
Milchstraße haben (ca. 100000 Lichtjahre), um in den Bereich
der Planckenergie bzw. Planckmasse vorzustoßen! Das ist
technisch natürlich nicht umsetzbar.
A.6
A.1
Gravitation:
Mp · me
1,67 · 10–27 · 9,1 · 10–31
FG = G _______
N
= 6,67 · 10–11 ___________________
r2B
(5,3 · 10–11)2
Das Elektron und sein Antiteilchen, das Positron, haben dieselbe Masse 9,1 · 10–31 kg bzw. 0,511 MeV. Zur Erzeugung eines
virtuellen e+e–-Paares muss also aus dem Vakuum eine Energie
∆E = 2mec2 geborgt werden. Nach einer ungefähren Zeitspanne
h = _____
h ≈ 10–21 s annihiliert es wieder. Im Vergleich
von ∆t ≈ ___
∆E 2mec2
zur Planck-Zeit ist das allerdings eine »Ewigkeit«!
FG = 3,61 · 10–47 N
A.7
Coulombkraft:
Das Myon hat ähnliche Eigenschaften wie ein Elektron, ist
aber ca. 200-mal schwerer. Daher ist zur Erzeugung eines virtuellen Myon-Antimyon-Paares eine 200-mal so große Energie
notwendig. Die Lebensdauer eines solchen Paares ist nach der
Heisenberg’schen Unschärferelation also noch weit geringer als
die eines e+e–-Paares. Das Tau ist sogar fast 3500-mal so schwer
wie ein Elektron, so dass Tau-Antitau-Paare zu vernachlässigen sind.
Q ·q
p
e
1 ______
FC = ____
= 8,19 · 10–8 N
2
4πε0
rB
Verhältnis:
FC/FG = 2,3 · 1039
Also ist die Coulombkraft wesentlich(!) größer als die Gravitationskraft.
A.8
A.8.1
0
_ _ _ _ ›_ _
_____
∫›
ε0 ⴰ E · dA = Q = ε0E(r) · 4πr2
A.2
∂V
Die relative Stärke der Gravitation würde im Laufe der Zeit
immer weiter abnehmen, insbesondere bei einer beschleunigten Expansion des Universums, von der man seit Ende des 20.
Jahrhunderts ausgeht.
Q
E(r) = ______2
4πε0r
A.3
W = qΦ(0) → – ⬁
r
Q
Φ(r) = E(r')dr' = – _____
4πε0r
–⬁
∫
________
Planckzeit
c = lpt–1
⇒ tp = √ h · G · c–5 ≈ 10–43 s
p
Planckenergie
Ep = ht–1
≈ 109 J
p
Planckdichte
ρp = mpl–3
≈ 1096 kg m–3
p
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A.8.2
Wir unterscheiden die Fälle innerhalb und außerhalb der Kugel. Außerhalb der Kugel (r > R) erhalten wir das Ergebnis aus
3
QUANTENGRAVITATION IN DER SCHULE? // C ARSTEN B USCH – B JÖRN S CHMEKEL
a.), da das Oberflächenintegral nur von der Gesamtmenge der
eingeschossenen Ladung abhängt, nicht jedoch von deren Verteilung. Innerhalb der Kugel (r < R) haben wir
0
_ _ _ _ ›_ _
_____
∫›
4 πr3 ρ = ε E(r) · 4πr2
ε0 ⴰ E · dA = __
0
3
∂V
ρ
E(r) = ___ r
A.11
∆g und ∆p seien so beschaffen, dass aus der Unschärferelation
2
c
δr · δr · M · M · __
≈h
h
folgt. Auflösen nach δr ergibt
ћ .
δr ~ ___
cM
3ε0
0
ρ
Φ(r) = E(r')dr' = ___ r2 – V0
6ε0
r
∫
A.12
Hierbei ist V0 eine im Prinzip beliebige Konstante, die so gewählt wird, dass das Potential bei r = R stetig ist.
Ableiten von rs nach M ergibt
2
δM ___
____
= c
δr
A.8.3
2G
(Ableitung der Umkehrfunktion). Damit erhalten wir
Entscheidend ist, dass sich im Fall b.) mit R > 0 (»ausgedehnte Ladungsverteilungen«) die angesprochenen Singularitäten
vermeiden lassen.
2
c δr ~ ____
ħc
δM = ___
2G
MG
ħc3
δE ~ ____
MG
3
ħc .
T ~ ______
kBMG
A.9
A.9.1
0
_____
______
∫ⴰ g› · dA› = – 4πGM = g(r) · 4πr
Tatsächlich erhält man die Hawking-Temperatur
2
∂V
GM
g(r) = – ____
r2
3
ħc
T = ________
.
8πkBMG
gc
A.9.2
Die linke Seite im Satz von GAUSS ist proportional zur
Kugeloberfläche. Daher ist die Feldstärke proportional zu
1/rn–1 . Innerhalb der Plancklänge fällt die Stärke der Gravitation nun sehr schnell ab, während sich oberhalb der Plancklänge
das bekannte 1/r2-Verhalten der Feldstärke zeigt. Da die Feldstärke mit zunehmender Entfernung nur abnimmt, fängt das
1/r2-Verhalten bei einem viel kleineren Ausgangswert an. Mit
einer geeigneten Anzahl an Dimensionen könnten Gravitation
und elektromagnetische Wechselwirkung bei kleinen Abständen so gleich stark sein.
A.10
Das Massestückchen an der Erdoberfläche wird durch die Gravitation von der Erde mit der Kraft
M∆m
FG = G _____
r2
angezogen. Der Ladungsunterschied zwischen Elektron und
Proton bewirkt eine Abstoßung mit der Kraft
ηMη∆m
1 _______
Fe = ____
4πε0
r2
Im Grenzfall sind beide gleich groß. Gleichsetzen ergibt
______
η = √ 4πε0G = 8,6 · 10–11 Cm–3
4
MNU 64/4 (1.6.2011)