aufgaben zur lehreinheit 02

75880738
UNTERRICHT
ZUR VORBEREITUNG AUF DEN
UNMITTELBAREN EINTRITT IN EINEN
REALSCHULREIFELEHRGANG
ODER
FACHSCHULREIFELEHRGANG
DER
BUNDESWEHRFACHSCHULE
M A T H E M A T I K
LEHREINHEIT 02
INHALT: Bruchrechnung
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Stand: 01.07.2006
75880738
INHALTSVERZEICHNIS ZUR LEHREINHEIT 02
2.
BRUCHRECHNUNG
3
2.1
Form und Wert von Brüchen
3
2.2
Erweitern
5
2.3
Kürzen
7
2.4
Addition und Subtraktion von Brüchen
1. Fall: Die Nenner sind gleich
2. Fall: Die Nenner sind verschieden
8
9
10
2.5
Multiplikation mit Brüchen
1. Fall: Multiplikation eines Bruches mit einer natürlichen Zahl
2. Fall: Multiplikation von Brüchen
12
12
13
2.6
Division mit Brüchen
16
2.7
Dezimalzahlen
Brüche und Dezimalzahlen; Umwandlungen
Runden von Dezimalzahlen
18
19
20
Aufgaben zur Lehreinheit 02
21
Lösungen der Übungen und Aufgaben
22
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Stand: 01.07.2006
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2. Bruchrechnung
2.1 Form und Wert von Brüchen
Wenn Sie 4 runde Streuselteilchen an 4 Kinder verteilen, dann ist dies
völlig unproblematisch, da jedes Kind ein ganzes Streuselteilchen erhält
( 4 : 4 = 1 ). Haben Sie dagegen für die 4 Kinder nur ein Streuselteilchen, dann sollten Sie dieses zunächst zur Vermeidung von Streitigkeiten, wie abgebildet, in 4 gleich große Teile zerlegen.
Jedes Kind erhält ein Viertel.
1
4
Haben Sie für die 4 Kinder 3
Streuselteilchen, dann sollten
Sie wie oben geschildert vorgehen, nur erhält in diesem
Fall jedes Kind 3 mal ein
Viertel, d.h. drei Viertel.
Schreibweise: 1:4 =
Schreibweise: 3 ∙
1
4
1
4
1
4
1
4
3
1
=
4
4
Man kann auch sagen 3 : 4 =
3
4
Bei 5 Streuselteilchen erhält jedes der Kinder 5 : 4 =
5
.
4
1 3
5
,
und
handelt es sich um Brüche (Bruchzahlen).
4
4 4
Man erhält also eine Bruchzahl, indem man bei der Division zweier natürlicher
Zahlen das Zeiten „:“ durch einen waagerechten Strich,
den Bruchstrich, ersetzt. Die Zahl über dem Bruchstrich heißt Zähler,
unter dem Bruchstrich steht der Nenner.
Bei den Zahlen
Ein Bruch mit dem Zähler 1 heißt Stammbruch.
Von einem echten Bruch spricht man, wenn der Zähler kleiner als
der Nenner ist, der Wert des Bruches ist stets kleiner als 1.
Bei einem unechten Bruch ist der Zähler größer als der Nenner, der Wert des
Bruches ist größer als 1. Ist der Nenner ein Teiler des Zählers, dann lässt sich der
Bruch als natürliche Zahl schreiben.
Beispiel:
2
ist ein echter Bruch
5
12
ist ein unechter Bruch
5
10
= 10 : 5 = 2 ist eine natürliche Zahl
5
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Stand: 01.07.2006
75880738
Addiert man eine natürliche Zahl und einen Bruch, dann erhält man bei
Wegfall des Additionszeichens eine gemischte Zahl. Diese lässt sich in
einen unechten Bruch umformen.
Beispiel:
2+
2
2
2
= 2
5
5
(gemischte Zahl)
2
2
10
2
12
=2+ =
+
=
5
5
5
5
5
(unechter Bruch)
Übungen zu 2.1
1. Schreiben Sie als natürliche Zahlen.
21
Beispiel:
=3
7
a)
6
10
9
8
50
200
b)
c) d)
e)
f)
6
10
3
4
10
25
2. Schreiben Sie als Viertel.
28
Beispiel: 7 =
4
a) 2
b) 4
c) 9
3. Verwandeln Sie in gemischte Zahlen.
15
2
2
17
2
Beispiel:
=
+
=3+
=3
5
5
5
5
5
a)
100
19
51
23
17
23
b)
c)
d)
e)
f)
3
8
7
5
4
13
4. Verwandeln Sie die gemischten Zahlen in Brüche.
1
1
1
31
30
Beispiel: 5 = 5 +
=
+
=
6
6
6
6
6
a) 3
3
5
7
1
3
7
b) 2 c) 4 d) 16 e) 13 f) 18
4
8
9
3
5
10
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2.2 Erweitern
Schneidet man
1
Kuchen in der
4
Mitte durch, dann erhält man
2∙
1 2
1
2
=
Stück Kuchen, d.h.
= .
8 8
4
8
Aus den restlichen
3
Stück Kuchen
4
6
3
6
3
6
3 ·2
Stück,
= . Die Rechnung dazu lautet:
=
=
8
4
8
4
8
4 ·2
Eine derartige Veränderung eines Bruches heißt erweitern.
erhält man
Wie wird ein Bruch erweitert?
Man erweitert einen Bruch, indem man Zähler und Nenner mit der gleichen
Zahl, der Erweiterungszahl, multipliziert. Dabei ändert sich nur die Form
des Bruches, sein Wert bleibt gleich.
Beispiel:
a)
3
3
3 ·5
erweitert mit 5 ergibt
=
4
4
4 ·5
b)
3
12
=
; die Erweiterungszahl ist 4 (denn 3 ∙ 4 = 12; 8 ∙ 4 = 32).
8
32
c)
•
4
=
; die Erweiterungszahl ist 5 (denn 7 ∙ 5 = 35),
7
35
=
15
20
d.h. in das Kästchen gehört die Zahl 4 ∙ 5 = 20.
Übung 1:
Erweitern Sie mit 4:
a)
1
2
3
2
; b) ; c) ; d)
2
3
4
5
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Stand: 01.07.2006
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Ein Problem:
3
7
, B erhält
. Wer erhält mehr?
8
20
Zur Beantwortung der Frage kann man die Brüche so erweitern, dass
sie den gleichen Nenner haben. Der kleinste gemeinsame Nenner, der
Hauptnenner, ist das kgV von 8 und 20 (vgl. LE-01/ 1.5), es ist die Zahl 40.
Von einer Erbschaft erhält der Erbe A
3
15
7
14
=
Anteil von B:
=
8
40
20
40
15
14
ist mehr als
, also erhält A mehr als B.
40
40
Anteil von A:
Merken Sie sich:
Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Einzelnenner.
Übung 2:
Welcher Bruch ist größer:
7
5
oder ?
12
8
Übungen zu 2.2:
5
2
b)
c)
6
7
4
7
2. Erweitern Sie mit 9:
a)
b)
c)
9
9
3. Wie groß ist die Erweiterungszahl?
1. Erweitern Sie mit 2:
a)
a)
5
3
d)
7
8
3
9
d)
10
11
2 10
3 18
4 28
8 96
=
b) =
c) =
d) =
3 15
8 48
7 49
9 108
4. Bestimmen Sie die Erweiterungszahl und den fehlenden Nenner bzw.
Zähler:
3 •
4 12
13 •
7 42
a) = b) =
c)
=
d)
=
4 8
5 •
20 100
12 •
5. Erweitern Sie folgende Brüche so, dass der Nenner 36 ist:
2 3 5 5
; ; ;
3 4 6 12
6. Ordnen Sie der Größe nach mit Hilfe des Hauptnenners:
3 4
3 2 4
a) ,
b)
, ,
5 7
10 5 15
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Stand: 01.07.2006
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2.3 Kürzen
4
Isst man
eines Kuchens auf, so kann man auch behaupten, dass man
6
2
des Kuchens aufgegessen hat (4 kleine Stücke = 2 große Stücke).
3
4 4:2 2
Die Rechnung dazu lautet: =
= . Diese Rechnung
6 6:2 3
heißt kürzen des Bruches. Sie ist die Umkehrung des Erweiterns.
Man kürzt einen Bruch, indem man Zähler und Nenner durch dieselbe
Zahl, die Kürzungszahl, dividiert. Dabei ändert sich nur die Form des
Bruches, sein Wert bleibt gleich.
Beispiele:
a)
28
28 28 : 7 4
gekürzt mit 7 ergibt
=
=
35
35 35 : 7 5
b)
98 49 7
98 : 14 7
= =
oder
=
182 91 13
182 : 14 13
c)
84 2
= Kürzungszahl ist 42.
126 3
Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler mehr haben.
Übungen zu 2.3
Kürzen Sie so weit wie möglich und nennen Sie die Kürzungszahl.
1.
a)
2
4
8
4
b)
c)
d)
4
6
12
20
2.
a)
27
25
30
10
b)
c)
d)
45
45
45
36
3.
a)
66
12
36
39
b)
c)
d)
96
180
84
91
7 / 25
Stand: 01.07.2006
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2.4 Addition und Subtraktion von Brüchen
Haben Sie sich mittlerweile mit den Brüchen (wieder) angefreundet?
Ich habe versucht, es Ihnen möglichst schmackhaft zu machen
(Streuselchen, Kuchen).
In diesem Teilkapitel sollen Brüche addiert bzw. subtrahiert werden.
Das weckt unter Umständen manche unangenehme Erinnerung an die
Schulzeit....
2 1
 ?
5 4
Hoffentlich denken Sie nicht an
2
5

3
 2 1

 = !
9
4 5 4
1
Warum sollen heutzutage überhaupt derartige Rechnungen durchgeführt
werden? Es gibt doch Taschenrechner!
So ist
2 1
  2 : 5  1 : 4  0,65
5 4
Vielleicht haben Sie sogar einen Taschenrechner, der die Bruchrechnung
13
2 1

„beherrscht“. Dann erhalten Sie für
das Ergebnis
.
20
5 4
Die Techniken der Bruchrechnung werden besonders dann benötigt, wenn
Variablen vorkommen. Dazu ein „einfaches“ Rätsel:
Gesucht ist eine Zahl. Wenn man zum achten Teil der gesuchten Zahl den
1
Bruch
addiert, dann ist das Ergebnis 22.
2
Welches ist die gesuchte Zahl?
Wer nicht raten möchte, kann es so versuchen:
Die gesuchte Zahl soll x heißen, für den achten Teil kann man x : 8
x
x 1
oder
schreiben. Dann erhält man   22 .
8
8 2
Wie in LE 01/ 1.6 kann x durch Probieren gefunden werden. In den LE 04 und 09
werden Sie lernen, wie man in solchen Fällen x berechnen kann. Dazu wird das
Rechnen mit Brüchen benötigt.
(Die Lösung des Rätsels finden Sie im Anhang).
Die Addition und Subtraktion von Brüchen ist besonders einfach, wenn
die Nenner gleich sind. Damit geht es nun los.
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Stand: 01.07.2006
75880738
1. Fall: Die Nenner sind gleich
Denken Sie an einen in 9 gleichmäßig große Stücke geteilten Kuchen.
5 Stücke + 2 Stücke = 7 Stücke, d.h.
5 2 7
 
9 9 9
Ausführlicher kann man so rechnen:
5 2 52 7
 

9 9
9
9
7 Stück – 2 Stück = 5 Stück, d.h.
7 2 72 5
 

9 9
9
9
Brüche mit gleichem Nenner werden addiert oder subtrahiert, in dem
man nur die Zähler addiert oder subtrahiert.
Beispiele:
1 2 3
a)  
7 7 7
b)
10 3
7
 
11 11 11
c)
3 8 7 4
  
5 5 5 5
Mit gemischten Zahlen geht es auch!
Beispiel:
2
3
5
a) 3  5  8
7
7
7

2
3
5
 ausführlich 3 
 5 
 8  
7
7
7

b) 4
2
2
4
1
3  7  8
3
3
3
3
d) 6
1
3
5
3
2
1
3  5 3  2  2
4
4
4
4
4
2
c) 5
4
1
3
3 2
5
5
5
Übung 1:
Berechnen Sie (Die Ergebnisse sollen so weit wie möglich gekürzt werden):
a)
3 1

5 5
b)
8
7

15 15
c)
d)
3 1

4 4
e)
13 7
3


40 40 40
3 7
f) 5 
8 8
5
1
g) 1  3
6
6
17 7

20 20
5
2
h) 6  3
9
9
9 / 25
Stand: 01.07.2006
75880738
2. Fall: Die Nenner sind verschieden
Da man nur bei Brüchen mit gleichem Nenner die Addition bzw. Subtraktion
durchführen kann, bringt man Brüche mit verschiedenen Nennern vorher auf den
Hauptnenner (so einfach ist das).
Beispiele:
a)
3 5
9 10
9  10
19
7
 



 1
4 6
12 12
12
12
12
b)
7 5
21 20
21  20
1
 



8 6
24 24
24
24
1
1
2
3
5
 8
c) 5  3  5  3
6
4
12
12
12
Übung 2:
Berechnen Sie:
a)
2 1

3 6
b)
5 3

8 16
c)
7 3

15 5
e)
3 7

8 12
f)
5 4

6 9
g) 4
1
1
3
2
5
10 / 25
d)
6 2

7 3
h) 6
3
7
1
4
8
Stand: 01.07.2006
75880738
Übungen zu 2.4
1. Berechnen Sie
a)
3 2

7 7
e) 7 
5
12
b)
23 17

50 50
c) 5
1
5

12 12
3
1
5
g) 2  4  2
8
8
8
7 3

9 10
c)
3 1

7 3
d)
1 3
5


7 28 14
f)
1 2 1
 
2 3 6
g)
5 1 2
 
8 6 3
f) 7
11 7

12 12
5 3
d) 3 
8 8
h) 10
2
3
4
3 2
5
5
5
2. Berechnen Sie:
a)
5 1

12 4
e)
3 1 7
 
5 4 20
b)
h)
3 3 1
 
5 10 6
3. Berechnen Sie:
a) 5
1 1

2 3
b) 6
3
2
2
4
5
c) 2
1
3
3
1  5
2
4
10
4. Berechnen Sie:
3 1 1 3 
a)       
 5 4   2 10 
5  3
1
 1
b)  2  1    2  1 
6  4
2
 2
11 / 25
Stand: 01.07.2006
75880738
2.5 Multiplikation mit Brüchen
Können Sie noch mit Brüchen multiplizieren? Probieren Sie!
5
3
=?;
4
3
 14 = ? ;
7
2 5
 =?
5 8
3
1
Wenn Sie sich für die Lösungen 3 ; 6;
entschieden haben, dann haben Sie
4
4
Recht. Es ist trotzdem empfehlenswert, dass Sie auch dieses Teilkapitel bearbeiten.
1. Fall: Multiplikation eines Bruches mit einer natürlichen Zahl
2
2 2 2 2 8
 4 bedeutet:    
9 9 9 9 9
9
2
24 8
Dieses Ergebnis erhält man schneller, wenn man rechnet:  4 =

9
9
9
Die Multiplikation bedeutet:
Es gilt folgende Regel:
Man multipliziert einen Bruch mit einer natürlichen Zahl, indem man nur den Zähler
multipliziert.
Beispiele:
a)
2
24 8
2
4 
 2
3
3
3
3
b)
17
17  22
 22 
 ....
44
44
Ein begnadeter Kopfrechenkünstler benötigt keinen Taschenrechner, das Ergebnis
374
lautet
, dieser Bruch muss jetzt „nur noch“ gekürzt werden. Ich schlage Ihnen
44
einen anderen Weg vor! Kürzen Sie vor der Rechnung 17 22 !
17
17  22 17 1 17
1
 22 

 8
44
44
2
2
2
Durch frühes Kürzen lassen sich oft unangenehm große Zähler und Nenner
vermeiden!
c) 8 
7 8  7 2  7 14
2


 4
12 12
3
3
3
2
3
d) 5  4  20
8
2
 22
3
3
12 / 25
Stand: 01.07.2006
75880738
Übung 1
Berechnen Sie! Falls möglich, kürzen Sie vor dem Ausmultiplizieren.
a)
4
5
9
e) 5
b)
6
7
11
c)
1
3
4
15
4
5
5
d)
7
 30
45
4
5
f) 5  2
g) 5 10
Angenommen, Sie brauchen
1
von 40 kg Zement.
8
Wieviel kg sind dies?
1
von 40 kg bedeutet: 40 kg : 8 = 5 kg.
8
Das gleiche Ergebnis erhält man durch die Multiplikation
1 40kg
1
 40 kg =
= 5 kg.
8
8
Man kann so rechnen:
3
1
von 40 kg Zement benötigen, dann sind dies von 40 kg = 5 kg,
8
8
und davon das Dreifache, also 15 kg. Auch hierbei kann man multiplizieren:
Wenn Sie
3
3  40 kg
 40 kg =
 15kg .
8
8
Also ist
3
3
von 40 =
8
8
Übung 2:
Berechnen Sie:
1
a)
von 12
4
2
c)
von 60m
3
.
40, das Wörtchen „von“ bedeutet ein „.“.
2
von 80
5
7
d)
von 50kg
10
b)
2. Fall: Multiplikation von Brüchen
Zähler mal Zähler
?
Nenner mal Nenner
4
2
1
4
2
1 4 2
Die Hälfte von
ist , d.h.
von
= , d.h. . = .
7
7
2
7
7
2 7 7
1 4 1 4 1 2 2
Die genaue Rechnung sieht so aus: . =
=
= .
2 7 2  7 1 7 7
Brüche multipliziert man, indem man die Zähler und die Nenner miteinander
multipliziert.
Erinnern Sie sich noch an die angenehme Regel
13 / 25
Stand: 01.07.2006
75880738
Beispiele:
5 2 5  2 5 1 5
 


6 3 63 33 9
4 10 7 4  10  7 1  2  1 1  1  1 1



b)   
5 21 8 5  21  8 1  3  2 1  3  1 3
a)
(ohne Kürzen erhalten Sie zunächst
3 17 45  35 5  5 25
1


 12
c) 6  1 
7 18
7  18 1  2
2
2
2
9
2  9 1 3 3



d)
von
3
14 3  14 1  7 7
280
!)
840
Übung 3:
Berechnen Sie! Falls möglich, kürzen Sie vor dem Ausmultiplizieren!
2 4
3 7
3 5
3 8 2
a) 
b) 
c) 
d)  
3 5
5 13
8 8
4 9 5
22 7
1 5
2
3
7
9

e)
f) 13 
g)
von
h)
von
35 33
2 9
10
3
5
8
Übung zu 2.5
1. Berechnen Sie! Kürzen Sie möglichst früh und soweit wie möglich!
3
4
8
4
f) 3  2
5
3
k)
von 12
4
a)
7
7
5
d) 8 
15
12
3 14
5 1
h) 
i)  3
7 9
9 2
1 5 16
m)  
2 4 15
5
9
4 2
g) 
9 5
5
1
l) von
8
2
b) 7 
c)
1
e) 5  9
3
3 1
j) 1  2
4 2
5
3
n)  4 
9
16
2. Es folgen Übungen mit den Grundrechenarten + ; - ; * in der Bruchrechnung.
Beachten Sie die Vorrangregeln (LE 1; 1.4)!
Beispiele:
3 1

16 8
9 1

=
16 8
9
2

=
16 16
a) 3 
=
11
16
1 3
b) 5    
2 4
2 3
= 5  
4 4
5
= 5 
4
=
25
1
= 6
4
4
14 / 25
Stand: 01.07.2006
75880738
a) 3 
4 3
4 3 

b) 3    
5 10
 5 10 
1 1
d) 12  3    
 2 3
e)
c)
4 3
 3
5 10
2 15 3 1
  
5 16 4 2
f)
14 2
 4
15 15
1
1
g) 3  3 
2
2
Nun folgen Textaufgaben, bei denen die Bedeutung des Wörtchens "von" als „· "
besonders deutlich wird.
Beispiel:
Von einem, 96 cm langen Brett werden
3
der Länge abgesägt. Von dem abgesägten
4
2
seiner Länge abgeschnitten.
3
Wie lang ist das Stück, das als letztes abgesägt wurde?
Stück werden
Lösung:
2 3
3
2
1
von ( von 96 cm ) =  · 96 cm = · 96 cm = 48 cm
3
2
4
3 4
Ergebnis: Das zuletzt abgeschnittene Stück ist 48 cm lang.
3. Von einem 24 m langen Stoffballen schneidet man
5
seiner Länge ab
6
4
von dem abgeschnittenen Stück.
5
a) Wieviel m Stoff wurde verarbeitet?
b) Wieviel m bleiben von dem Ballen übrig?
c) Wieviel m bleiben von dem zuerst abgeschnittenen Stück übrig?
und verarbeitet
4. Ein elektrisches Kabel ist 72 m lang. Ein Monteur bekommt
mit zum Arbeitsplatz und verbraucht
5
davon
8
4
des mitgenommenen Stückes
9
bei der Installation.
a) Wieviel m hat der Monteur verbraucht?
b) Wieviel m bleiben am Lager?
c) Wieviel m bringt der Monteur zurück?
d) Wie lautet eine mögliche Probe?
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Stand: 01.07.2006
75880738
2.6 Division mit Brüchen
Zu diesem Thema gibt es erfreulicherweise einen äußerst hilfreichen Begriff - es ist
der Begriff Kehrwert! Wissen Sie noch, was man darunter versteht?
Man bildet den Kehrwert eines Bruchs, indem man den Zähler mit dem Nenner
vertauscht. Den Kehrwert einer natürlichen Zahl ermittelt man ebenso, indem man
sie zunächst mit dem Nenner 1 schreibt.
Beispiele:
7
8
hat den Kehrwert
8
7
5
1
c) 5  hat den Kehrwert
1
5
a)
1
6
hat den Kehrwert = 6
6
1
2 5
3
d) 1  hat den Kehrwert
5
3 3
b)
Mit Hilfe des Kehrwerts kann man jede Division mit Brüchen in eine Multiplikation
verwandeln!
Beispiele:
8
2
ist
,
9
9
8
8:4
2
d. h. : 4 =
=
9
9
9
Das gleiche Ergebnis erhält man so:
8 1
8
8 1
2
:4= ·
=
=
,
9
9 4
9
94
d.h. die Division durch 4 entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert von 4, also
1
mit .
4
a) Der 4. Teil von
b)
8 2
2
8
:
= 4 ( Probe : 4 · = )
9 9
9
9
oder
8  9 4 1
8 2
8 9
:
= ·
=
=
=4
9 9
9 2
9  2 1 1
Auch hierbei liefert die Multiplikation mit dem Kehrwert das gleiche Ergebnis!
c) 3 :
1
2
 3  6
2
1
d)
2 3 2 4 24 8
:   

3 4 3 3 33 9
Regel:
Man dividiert durch einen Bruch (oder eine natürliche zahl), indem man mit dem
Kehrwert der Zahl multipliziert, die hinter „geteilt“ steht.
Nicht verwechseln! man darf nicht mit dem Kehrwert der ersten Zahl rechnen!
2 3 3 3
:   !
3 4 2 4
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Stand: 01.07.2006
75880738
Übungen zu 2.6:
Kürzen Sie auch hierbei so früh wie möglich und soweit wie möglich!
9
: 12
10
1
e) 1 :
5
1 1
h) 2 : 1
2 2
4
:2
9
1
d) 2 :
3
9 4
:
g)
25 25
1. a)
5
2. a) 8
7
11
1
c) 4 : 3
2
1 1
f) :
9 27
5 7
i) :
8 11
b)
?
Keine Angst!
Das ist ein harmloser Doppelbruch mit dem
längeren Hauptbruchstrich in der Mitte, es ist nur eine andere
Schreibweise der Übung 1. i).
3
b) 4
3
8
3
d) 4
5
3
c)
4
5
3. Es folgen Übungen mit allen Grundrechenarten. Beachten Sie speziell dazu die
Vorrangregel 2 (LE 01/1.4).
Beispiel:
5 1
5 2
524
: 4  4
5
8 2
8 1
8 1
Sie dürfen hierbei nicht zuerst
a)
3 9
8
:  3 b) 4 : : 2
3
5 10
6

d)  4   : 2
5

e)
8 3
 :5
11 11
1
 4 rechnen!
2
6
c) 4  : 2
5
f)
5
4
: 10  2 
9
9
17 / 25
Stand: 01.07.2006
75880738
2.7 Dezimalstellen
3
1
17
= 3,5 ; 3
= 3,85 !
2
20
Dezimalzahlen sind meistens „angenehmer“ und „vertrauter“ als Brüche. Die heutige
„Taschenrechnerzeit“ ermöglicht es, dass an dieser Stelle auf eine Behandlung der
Grundrechenarten mit Dezimalzahlen verzichtet werden kann (die Lehreinheit 02 ist
ohnehin schon lang genug, oder?). Allerdings müssen einige Begriffe erklärt werden.
Was ist eine Dezimalzahl (auch Dezimalbruch genannt) innerhalb der
Bruchrechnung?
Es ist eine andere Schreibweise für einen Bruch.
1
1
1
1
= 0,1;
= 0,01 ;
= 0,001 ;
= 0,000001 usw.
10
100
1000
1000000
Darauf aufbauend erhält man:
3
7
56
50
6
5
6
= 0,3 ;
= 0,007 ;
=
+
=
+
= 0,56
10
1000
100 100 100 10 100
Die Stellen hinter dem Komma heißen Dezimalstellen. Sie werden Ziffernweise
gelesen.
„0,308“ liest man null, Komma, drei, null, acht. Bei dieser Zahl handelt es sich um
3
0
8
.
+
+
10 100 1000
Brüche und Dezimalzahlen; Umwandlungen
Um Brüche in Dezimalzahlen zu verwandeln, dividiert man den Zähler durch den
Nenner. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten:
1. Man erhält endliche Dezimalzahlen, wenn man diese Division vollständig
durchführen kann.
Beispiele:
1
5
3
a ) = 1: 4 = 0,25 ; b ) = 5 : 8 = 0,625 ; c ) = 0,1875
4
8
16
2
6
9 109
d ) = 0,4 ; e )
= 0,24 ; f ) 5
=
= 5,45
5
25
20 20
2. Man erhält unendliche periodische Dezimalzahlen. In ihnen wiederholt sich eine
bestimmte Anzahl von Dezimalstellen, die Periode heißt und überstrichen
geschrieben wird.
Beispiele:
2
= 2 : 3 = 0,666... = 0, 6, gelesen : "0 Komma Periode 6"
3
5
b)
= 5 : 12 = 0,41666... = 0,416
12
6
c)
= 0,46153846 1538... = 0, 461538
13
a)
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75880738
Übung 1: Verwandeln Sie in Dezimalzahlen:
a)
4
1
4
9
2
7
3
3
; b) ; c)
; d)
; e)
; f)
; g)
; h) 3
5
8
25
100
3
9
11
8
Bei der Verwandlung endlicher Dezimalzahlen in Brüche geht man davon aus,
dass durch die Anzahl der Dezimalstellen der Nenner des Bruches bestimmt ist (1
Dezimalstelle ergibt den Nenner 10, 2 Dezimalstellen den Nenner 100 usw.).
Beispiele:
a) 0,6 =
6 3
7
45
9
376
47
=
; b) 0,007 =
; c) 0,45 =
=
; d) 8,376 = 8
=8
10 5
1000
100 20
1000
125
Übung 2: Schreiben Sie als Bruch: a) 0,3 ; b) 0,05 ; c) 0,15 ; d) 0,625 ; e)
2,32 ; f) 1,005
Die Umwandlung von unendlichen periodischen Dezimalzahlen in Brüche ist
schwieriger, besonders dann, wenn die Periode nicht direkt hinter dem Komma
beginnt. Es genügt, wenn Sie es in den Fällen können, wo die Periode direkt hinter
dem Komma beginnt.
In diesem Fall kann man zunächst in den Nenner des gesuchten Bruchs eine Zahl
nur mit „Neunen“ hinschreiben, wobei die Anzahl der Neunen gleich der Anzahl der
gegebenen Dezimalstellen ist.
Beispiele:
a) 0, 7 =
7
358
; b) 0, 358 =
9
999
; c) 0, 63 =
63 7
=
99 11
Übung 3: Schreiben Sie als Bruch: a) 0, 6 ; b) 0,16 ; c) 0,033
Bei dem Runden von Dezimalzahlen auf eine bestimmte Zahl von Dezimalstellen
werden die für natürliche Zahlen gültigen Auf- und Abrundungsregeln angewendet
(vgl. LE 01; 1.2). Dabei lässt man die Dezimalstellen hinter der letzten gerundeten
Ziffer gewöhnlich fort.
Beispiele:
a) 2,5382  2,538
2,5382  2,54
2,5382  3
(gerundet auf 3 Dezimalstellen)
(gerundet auf 2 Dezimalstellen)
(gerundet auf Ganze)
b) Der Bruch 2 soll als gerundete Dezimalzahl mit 2 Dezimalstellen geschrieben
3
2
werden: = 2 : 3 = 0,666...  0,67
3
Übung 4:
a) Runden Sie auf 3 Dezimalstellen: 0,83749 ;
5,26382 ;
27,5925 ;
b) Schreiben Sie als Dezimalzahl (gerundet auf 2 Dezimalstellen): 5 ;
3
4
;
9
0,00349
7
;
12
23
30
Rundet man 2,896 auf 2 Dezimalstellen, so erhält man 2,90 = 2,9; rundet man auf 1
Dezimalstelle, erhält man ebenfalls 2,9. Will man andeuten, dass man auf 2
Dezimalstellen gerundet hat, schreibt man in diesem Fall die 0 bei der 2.
Dezimalstelle mit, also 2,896  2,90.
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Stand: 01.07.2006
75880738
Sie haben jetzt bereits rund 2.0 Lehreinheiten bewältigt, nach Bearbeitung der
folgenden Aufgaben und Testaufgaben sogar genau 2.
Dies ist dann insgesamt 2 = 1 des Fernkurses. Für die restlichen 1 - 2 = 10 = 5
12
6
12
12
6
wünsche ich Ihnen weiterhin viel Erfolg.
Falls Ihnen die Bruchrechnung nicht sonderlich zugesagt hat - ein Trost: Die nächste
Lehreinheit und noch einige andere werden weitgehend frei von Brüchen sein.
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Stand: 01.07.2006
75880738
AUFGABEN ZUR LEHREINHEIT 02
1. Kürzen Sie: a) 10 ;
15
b)
12
28
;
c)
5  16
10  12
;
d) 4
8
14
2. Berechnen Sie; die Ergebnisse sollen soweit wie möglich gekürzt sein; falls
möglich, sind gemischte Zahlen anzugeben:
2 3
5 5
3 14 1
2 7
6 8
2 5
3
+ ; b) ; c) 
1 ; d ) 5 - + ; e ) :
; f ) +  10 - 6 
3 4
8 12
7 9
2
9 9
5 15
3 3 
5
3
8
3 15
4
4
5
g)4 +
: 5 ; h ) 4 ; i ) 0,3 + ; j ) + 0, 5 ; k )
- 0, 12
8 4
3
5
9
33
4
Berechnen Sie: a) 3 von 8 ; b) 1 von 6,72 ; c) 2 von 2 5
4
3
5
8
a)
3.
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Stand: 01.07.2006
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LÖSUNGEN DER ÜBUNGEN UND AUFGABEN
Übungen:
Übungen zu 2.1: 1. a) 1 ; b) 1 ; c) 3 ; d) 2 ; e) 5 ; f) 8
2. a) 8 ; b) 16 ; c) 36
4
4
4
3
10
2
; f )7
3. a ) 4 3 ; b ) 4 1 ; c ) 33 1 ; d ) 2 ; e ) 1
5
4
3
8
13
7
4. a ) 15 ; b ) 21 ; c ) 43 ; d ) 49 ; e ) 68 ; f ) 187
4
2.2, Übung 1:
2.2, Übung 2:
9
3
8
12
;
c)
;
12
16
7 14 5 15
5 7
=
, =
, daher ist 
12 24 8 24
8 12
a)
4
8
8
;
b)
Übungen zu 2.2: 1. a) 10 ;
12
2. a) 36
81
4
14
63
b)
81
b)
;
;
;
10
14
27
c)
90
c)
d)
;
;
5
10
8
20
6
16
81
d)
99
d)
3. a) 5 ; b) 6 ; c) 7 ; d) 12
4. a) 2, z = 6 ; b) 3, n = 15 ; c) 5, z = 65 ; d) 6, n = 72
5. 24 , 27 , 30 , 15
36 36 36 36
6. a) 3 = 21 , 4 = 20 , daher ist 3  4
5 35 7 35
5 7
3
9 2 12 4
8
2 3 4
b)
=
, =
,
=
, daher ist 

10 30 5 30 15 30
5 10 15
Übungen zu 2.3: 1. a) 2 = 1 , Kürzungsza hl K = 2 ; b) 4 = 2 , K = 2
2.
3.
4 2
8 2
c)
= ,K = 4 ;
12 3
10 5
a)
= ,K = 2 ;
36 18
36 3
a)
= , K = 12 ;
84 7
66 11
c)
= ,K = 6 ;
96 16
6 3
4 1
d)
= ,K = 4
20 5
27 3
25 5
30 2
b)
= , K = 9 ; c)
= , K = 5 ; d)
= , K = 15
45 5
45 9
45 3
39 3
b)
= , K = 13 ;
91 7
12
1
d)
= , K = 12
180 15
2.4, Rätsel:
x = 172
2.4, Übung 1:
a)
4
1
1
9
1
1
; b) 1 ; c) 1 ; d) ; e)
; f) 6 ; g) 5 ; h) 3
5
5
2
40
4
3
2.4, Übung 2:
a)
5
7
1
4
; e) 23 ; f) 7 ; g) 7 7 ; h) 4 7
; b)
; c) 1
; d)
6
16
15
21
24
18
10
8
22 / 25
Stand: 01.07.2006
75880738
Übungen zu 2.4: 1. a) 5 ; b) 4 ; c) 6 1 ; d) 3 1 ; e) 6 7 ; f) 6 2 ; g) 9 1 ; h) 4
7
5
2
4
12
3
8
2
43
16
17
1
1
2. a) ; b)
; e) 1 ; f) 1 ; g) ; h) 7
; c)
; d)
3
90
21
28
5
8
15
5
3
1
3. a) 5 ; b) 9
;
; c) 6
6
20
20
4. a) 1 ; b) 1 11
20
12
2
9
2
; e) 4 ; f) 10 2 ; g) 58
; b) 3
; c) 4 ; d) 4
9
11
3
3
3
2.5, Übung 1:
a) 2
2.5, Übung 2:
a) 3;
2.5, Übung 3:
a)
b) 32 ; c) 40 m; d) 35 kg
8
21
3
4
;
; b)
; c)
; d)
15
64
13
15
e)
2
1
3
21
; f) 7 ; g) ; h)
15
2
5
40
Übungen zu 2.5: 1. a) 1 1 ; b) 3 8 ; c) 2 1 ; d) 4 2 ; e) 48 ; f) 7 3 ; g) 8 ; h) 2
2
9
3
3
5
45
17
3
5
2
5
i) 1
; j ) 4 ; k) 9 ; l )
; m) ; n)
18
8
16
3
12
2. a) 2 7 ; b) 3 3 ; c) 1 7 ; d) 9 1 ; e) 3 ; f) 2 ; g) 2
10
10
10
2
4
5
3
3. a) 16 m ; b) 4 m ; c) 4 m
4. a) 20 m ; b) 27 m ; c) 25 m ;
d) 20 m + 27 m + 25 m = 72 m
Übungen zu 2.6: 1. a) 2 ; b) 3 ; c) 1 1 ; d) 6 ; e) 5 ; f) 3 ; g) 2 1 ; h) 5 ; i ) 55
9
40
2
4
55
3
3
2. a)
; b) 2 ; c) 3
; d)
56
4
20
3. a) 2 ; b) 3 ; c) 4 3 ; d) 2 3 ; e) 37 ; f) 17
4
5
5
55
18
2.7, Übung 1:
3
56
a) 0,8 ; b) 0,125 ; c) 0,16 ; d) 0,09 ; e) 0, 6 ; f) 0,7 ; g) 0, 27 ;
h) 3,375
2.7, Übung 2:
a)
3
1
3
; d) 5 ; e) 2 8 ; f) 1 1
; b)
; c)
10
20
20
8
25
200
2.7, Übung 3:
a)
2
3
2.7, Übung 4:
a) 0,837 ; 5,264 ; 27,593 ; 0,003 ;
b) 1,67 ; 0,44 ; 0,58 ; 0,77
;
b)
16
99
;
c)
11
333
Aufgaben:
2
3
3
7
2
3
4
7
Aufgabe 1:
a)
Aufgabe 2:
5
5
5
;
; b)
; c) 1 ; d) 5
12
24
9
1
1
i ) 1,1 oder 1
; j ) 1 ; k)
10
33
Aufgabe 3:
a) 6; b) 1  6,72 = 6,72 = 2,24 ; c) 1 1 oder 0,4  2,625 = 2,05
;
b)
;
c)
;
a) 1
3
3
d) 4
e) 2
1
1
1
2
; f) 6 ; g) 2 ; h) 11
4
3
4
3
20
23 / 25
Stand: 01.07.2006
75880738
Unterricht der Bundeswehrfachschule
Dienstgrad; Name,
Vorname
Einheit
Standort
DZE
Privatanschrift
Datum
Email
Kürzen Sie bei allen Aufgaben so früh wie möglich und soweit wie möglich.
1. Aufgabe:
2 3
+
5 10
1
1
e) 3 + 5
4
12
1 4
i)3 
2 5
a)
7 3
8 8
1
1
f) 3  + 5 
4
12
4 1
j) : 3
5 2
b)
1 7
5 15
3 4
g) 
8 5
5 16 3
k) 

8 25 2
c) 2
3 1 5
- +
4 2 8
5 5
h) :
7 14
5
l)  2 : 5
8
d)
2. Aufgabe:
1 1 1
  
2 3 6
1
d) 0, 6  1
2
a)
12
1
:4
25
2
1
e) 0, 27 +
3
b)
11 3
2
15 15
2
f) - 0, 2
5
c)
3. Aufgabe
Ein Land hat eine Fläche von 120 000 km2.
3
3
von der Gesamtfläche ist bewaldet. Auf der Waldfläche steht Nadelwald.
16
5
Wie viel km² Nadelwald gibt es in dem Land?
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Stand: 01.07.2006
75880738
DstGrd
Name
Vorname
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Blatt:
Stand: 01.07.2006