Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Bundes

Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang
Bundes-ARGE
Variable und Terme
Text und Term
II 2A -Text transferieren
Geben Sie für die folgenden Sachverhalte einen mathematischen Term an.
Text
Addieren Sie x zur Zahl 25 und multiplizieren Sie die
Summe mit 2.
Das 5-fache der Zahl x minus 27
Das Produkt zweier Zahlen minus 35
Subtrahieren Sie 7 von x und dividieren Sie die
Differenz durch 3
Addieren Sie zum Fünffachen einer Zahl sieben und
dividieren Sie die Summe durch 9
Vermehrt man das Dreifache einer Zahl um 6
Vermindert man eine Zahl um 9
Term
Erklären Sie in diesem Zusammenhang alle verwendeten mathematischen Begriffe der
Textspalte.
Stellen Sie eine Übersicht über die mathematischen Begriffe der 4 Grundrechnungsarten
zusammen
Möglicher Lösungsweg
Text
Addieren Sie x zur Zahl 25 und multiplizieren Sie die
Summe mit 2.
Das 5-fache der Zahl x minus 27
Das Produkt zweier Zahlen minus 35
Subtrahieren Sie 7 von x und dividieren Sie die
Differenz durch 3
Addieren Sie zum Fünffachen einer Zahl sieben und
dividieren Sie die Summe durch 9
Vermehren Sie das Dreifache einer Zahl um 6
Vermindern Sie eine Zahl um 9
Term
(25+x) . 2
5x -7
xy-35
(x - 7) : 3
(5x+7) : 9
3x + 6
x -9
II 2A Eintrittskarten
Ein Verein fährt mit x Personen in einem Bus zu einer Ausstellung. Der Bus kostet für den
gesamten Verein p€, eine Eintrittskarte kostet k€.
Was bedeuten in diesem Zusammenhang folgende Ausdrücke:
a) x . k
b) p/x
c) p/x + k
Möglicher Lösungsweg:
a) Gesamtpreis für den Ausstellungbesuch (ohne Bus)
b) Buskosten pro Person
c) Gesamtkosten pro Person
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Bundes-ARGE
II 2A – Term übersetzen (Terme verstehen)
Finden Sie für den mathematischen Ausdruck der rechten Spalte einen passenden Text mit
den richtigen mathematischen Begriffen und schreiben Sie den Text in die linke Spalte.
zB Subtrahieren Sie vom Fünffachen einer Zahl die Zahl 3 --> 5x-3
Text
Term
4x + 7
(3x – 8) : 6
4x : 7
9x – 5
a und b sind Seitenlängen eines
Rechtecks.
Was bedeuten die Terme 2a+2b
und ab?
Möglicher Lösungsweg:
Text
Multiplizieren Sie 4 mit der Zahl x und addieren
Sie 7
Dividieren Sie die Differenz aus dem Dreifachen
einer Zahl x und 8 durch 6
Dividieren Sie das Vierfache einer Zahl x durch 7
Bilden Sie die Differenz des Neunfachen einer
Zahl x und 5
2a + 2b ist der Umfang
ab gibt den Flächeninhalt an
Term
4x + 7
(3x – 8) : 6
4x : 7
9x – 5
a und b sind Seitenlängen eines
Rechtecks.
Was bedeuten die Terme 2a+2b und
ab?
IV 3A,B Diesel
Ein Auto verbraucht auf jedem Autobahnkilometer a Liter Diesel, ansonsten pro km b Liter.
Ein Liter Diesel kostet p €.
Auf einer Fahrt werden x km auf der Autobahn und y km auf sonstigen Straßen (in der Stadt,
Landstraßen, etc.) gefahren.
a) Geben Sie in Worten an, was mit dem Term ax + by berechnet wird.
b) Geben Sie einen Term an, mit dem Sie die Kosten für die Gesamtstrecke berechnen
können.
Möglicher Lösungsweg:
a) ax + by gibt den Gesamtverbrauch in Liter auf x km Autobahn und y km Landstraße an.
b) Kosten= p(ax + by)
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II 2 A Tageseinnahmen
Für den Eintritt in ein Museum zahlen Erwachsene x €, Kinder zahlen nur ein Viertel des
Erwachsenenpreises. Wie groß sind die Tageseinnahmen für e Erwachsenen und k Kinder?
Möglicher Lösungsweg:
Tageseinnahmen = x . e + 0,25x . k
II 2A Flächenformeln
Geben Sie die Formel für den Flächeninhalt
a. eines Rechtecks an, wobei die Seite b dreimal so lang ist wie die Seite a.
b. eines allgemeinen Dreiecks an, wobei a halb so groß ist wie ha.
c. eines Kreises an, wobei der Radius r = 4x ist.
Möglicher Lösungsweg:
a) A (Rechteck) = a . b = a . 3a = 3a²
b) A (Dreieck) =
a  ha a  2a
=
= a²
2
2
c) A ( Kreis) = r² = (4x)² =16x²
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Klammerteme
II 2B Klammer-Knobeln-Wettbewerb
Den fehlenden Term einfügen, wer hat mehr richtige?
a) (-2x – 5) + (
) = 2x - 1
b) (3x – 3) – (
)=x+8
c) (2x – 1) – (
) = -3x – 3
d) (2x – 3) + (
) = 3x – 2
e) (0,5 x – 5) – (
) = -0,5 x - 8
f) (0,6x – 4) + (
) = -0,6x – 1
g) (0,3x – 2) – (
) = -3
Lösungen:
a) 4x +4
b) 2x – 11
c) 5x + 2
d) x + 1 e) x +3
f) - 1,2 x + 3
II 2B Binome multiplizieren
a) (x + 2) . (
) = -3x² - 7x – 2
b) (-2x – 2) . (
) = 2x2 – 8x – 10
c) (0,5 x – 5 ) . (
) = -0,5x² + 8x – 30
d) ( -2x + 2) . (
) = -4x² - 2x + 6
e) (-3x + 6 ) . (
) = -9x² + 36
f) (x-5) . (
) = x2 – 25
g) (2x + 4) . (
) = -4x² - 10x - 4
Lösungen:
a) -3x-1
b) –x+5
c) –x + 6
d) 2x+3
e) (3x +6)
f) x+5
g).-2x-1
g) 0,3x +1
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II 2B Binomische Formel, Fehlendes ergänzen
a) (3x – 2) . ( 3x + 2) =
b) (6x – 5) ² =
c) ( -3 – 4x) ² =
d) (
e) (
). (
) = x² - 4
) ² = x² - 12x + 36
f) (
).(
g) (
)² = x² - 1,6 x + 0,64
Lösungen:
a) 9x² - 4
e) (x – 6)²
) = x² - 0,16
b) 36x² -60x + 25
f) ( x-0,4) . (x+0,4)
c) 9 + 24x + 16x²
g) ( x – 0,8) ²
d) (x-2) . (x+2)
II 2B,D Klammerterme
Vereinfachen Sie den folgenden Term und erklären Sie Ihre Rechenschritte.
Wie könnte man mit einem Taschenrechner überprüfen, ob das Ergebnis stimmt?
Möglicher Lösungsweg
Innere (runde Klammern) zuerst auflösen - es gelten die Vorzeichenregeln und das
Distributivgesetz der Multiplikation, gleichzeitig kann man innerhalb der eckigen Klammer
die Terme bereits zusammenfassen:
wieder die innere (eckige Klammer) auflösen, das negative Vorzeichen vor der Klammer
verändert die Vorzeichen innerhalb der eckigen Klammer. In der geschwungenen Klammer
kann man zusammenfassen:
Nun können die letzten Klammern aufgelöst werden, wieder ist das Minus vor der 2.
Klammer für einen Vorzeichenwechsel in der 2. Klammer verantwortlich. Man kann
zusammenfassen:
Ergebnis:
Überprüfung mit dem Taschenrechner:
Wir setzen für x eine beliebige Zahl, zB ein x = 2
Nun berechnen wir die Angabe mit x = 2 --> 97
Dann setzt man x = 2 ins Ergebnis ein: -->97
Gleiche Werte deuten darauf hin, dass richtig gerechnet worden ist.
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Faktorisieren
II 2-B, D Zerlegen in Faktoren
Beim Faktorisieren sind Fehler unterlaufen.
4a2  16x4 y4 = 2a  4x2 y2 2a  4x2y2 
Finden Sie den Fehler und geben Sie an, welche Rechenregeln nicht beachtet wurden.
Möglicher Lösungsweg:
Die binomische Formel ist nicht richtig angewendet worden. Die Vorzeichen in den beiden
Klammern müssen unterschiedlich sein.
Richtig wäre:
4a2  16x4 y4 = 2a  4x2 y2 2a  4x2 y2 
II 2-B Ergänzen des fehlenden Faktors
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
12 x + 8x² = (
). (-3 -2x)
3x² – 6x = (
). (-x+2)
-9x² + 15x = 3x(
)
-1,5x² - 6x = -3x (
)
.
x² – 0,04 = (x+0,2) (
)
x² - 2,2x + 1,21 = (x-1,1) (
)
4x² – 6,4x + 2,56 = 4 (
)²
Möglicher Lösungsweg:
a) -4x
b) -3x
c) (-3x + 5)
d) (0,5x + 2)
e) x-0,2
f) ( x-1,1)
g) (x-0,8)
II 2-B Den gemeinsamen Teiler finden
Geben Sie den größtmöglichen gemeinsamen Teiler ggT an und dividieren Sie beide Terme
durch ggT
a) 150 a²b²cd, 36 a b³c d²
b) 5y²(9y²-4), (3y-2)(3y³+2y²)
c) mx-nx, x²
d) b²-4b+4, b²-4
e) 2a+1, 2a
f) 20a²-5ba, 45ab
g) 3x² + 3xy, 6xy
Möglicher Lösungsweg:
a) ggT= 6 ab²cd
c) ggT = x
e) ggT=1
g) ggT = 3x
25 a, 6 bd
m-n, x
2a+1, 2a
x+y, 2y
b) ggT = y² (3y-2)(3y+2)
d) ggT = b-2
f) ggT =5a
5,1
b-2, b+2
4a-b, 9b
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Bruchterme
II 2B,D Definitionsmenge des Bruchterms
Ergänzen Sie das Fehlende und begründen Sie Ihre Wahl
2x  3
a)T(x) 
, DQ {
}
15  3x
x 1
b)T(x) 
, DQ {
}
4x  8
0,5x  2
c)T(x) 
, DQ {
}
4x
5x
d)T(x) 
, D  Q {4}
(2x 
)
3x  2
e)T(x) 
, D  Q {2}
(
 3x)
Lösung: Der Nenner kann nicht Null sein, daher ergibt sich das Fehlende:
a) -5
b) 2
c) 0 d) 8
e) 6
II 2B,D Kürzen von Bruchtermen
Gegeben sind 4 Bruchterme:
Welcher dieser Brüche lässt sich nicht mehr kürzen? Begründen Sie Ihre Entscheidung.
Kürzen Sie die restlichen drei Bruchterme so weit wie möglich und erklären Sie die einzelnen
Rechenschritte.
Möglicher Lösungsweg
a) Lässt sich durch 3 kürzen, denn im Nenner kann man 3 herausheben.
b) Heben Sie im Zähler 7 heraus, im Nenner 4, dann können Sie durch (3x-5y) kürzen.
c) Wandeln Sie die binomische Formel im Zähler um: (x-3)², im Nenner ebenso: (x-3) .(x+3):
(x-3) kürzen
d) Dieser Bruch lässt sich nicht mehr kürzen, X² + 1 kann nicht in Faktoren zerlegt werden.
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II 2B Gemeinsamen Nenner finden
Geben Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner der beiden Brüche an und erweitern Sie.
4x  2 3
1
1
3
2
a)
,
b) ,
c)
,
x²  1 1  x
2x 2x  1
2x  2y x  y
d)
1
1s
,
2  2s 1  2s  s²
Möglicher Lösungsweg
a) kgV  x²  1 erweitert :
e)
3t
3
,
5t  1 50t²  20t  2
4x  2 3  3x
,
x²  1 x²  1
1
a
f)  b,
a
2b
b) kgV  2x(2x  1) erweitert :
2x  1
2x
,
4x²  2x 4x²  2x
3x  3y 4x  4y
,
2x²  2y² 2x²  2y
1  s 2  2s
d)kgV  2(1  s)² erweitert :
,
2(1  s)² 2(1  s)²
30t²  6t
3
e)kgV  2(5t  1)² erweitert :
,
2(5t  1)² 2(5t  1)²
2b  2ab² a²
f) kgV  2ab erweitert :
,
2ab
2ab
II 2B,D Rechenregeln
c)kgV  2(x  y)(x  y) erweitert :
Berechnen Sie:
1
s
t
 2 2:
=
st s t st
Geben Sie an. welche Rechenregeln beachtet werden müssen.
Möglicher Lösungsweg:
Der 1. Bruch wird mit (s+t) erweitert: Gemeinsamer Nenner s² - t² = (s-t)(s+t)
1
s
t
st
s
t

:
=

:
s  t s2  t2 s  t s2  t2 s2  t2 s  t
Es muss zuerst die Division beachtet werden –Rechenreihenfolge „Punkt vor Strich“

st  t²
s(s  t)
 2 2
2
2
t(s  t ) t(s  t )
Jetzt können die Zähler subtrahiert werden
t²  s(s  2t)

t(s²  t²)
Im Zähler wird die Klammer aufgelöst, dabei ändert sich das Vorzeichen in der Klammer:
t²  s²  2st

t(s²  t²)
Es ist auch eine andere Vorgangsweise möglich, dass man im 1. Schritt schon gleich die
Division berechnet und dann auf gemeinsamen Nenner bringt.
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II 2C- Was ist falsch?
1) Bei der folgenden Rechnung ist ein Fehler passiert.
Korrigieren Sie die Rechnung und erklären Sie, welcher Fehler begangen wurde.
Möglicher Lösungsweg
Wenn man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und auf einen gemeinsamen Bruchstrich
bringt, dann sind Klammern zu setzen. Vor dem Bruch steht ein Minus, daher rechnet man
so:
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Potenzterme
II 2C-Potenzknobelei
Finden Sie heraus, ob die folgenden Rechnungen wahr oder falsch sind.
Korrigieren Sie die falschen Rechnungen. Begründen Sie Ihre Korrektur!
a) 23 + 24 = 27
b) x + x2 = x3
d) u3 . u3 = u6
c) 2a2 = a2 + a2
e) 24 . 23 = 27
f) 24 . 22 = 28
Möglicher Lösungsweg
a) 23 + 24 = 27
werden
nicht wahr, unterschiedliche Hochzahlen, es kann nicht addiert
b) x + x2 = x3
nicht wahr, Begründung wie vorher
c) 2a2 = a2 + a2 wahr; Zahlen mit gleicher Basis und gleichen Hochzahlen können addiert
werden
d) u3 . u3 = u6 wahr: Bei Multiplikation von 2 Potenzen mit gleicher Basis werden die
Hochzahlen addiert.
e) 24 . 23 = 27
wahr: Begründung wie vorher
f) 24 . 22 = 28
falsch! Die Hochzahlen werden addiert, also 26
II 2 B,D Potenzen
3
-1
 3x -2   3x 
Welche der folgenden Umformungen entspricht dem Bruchterm 
   ?
 2y   y 
Begründen Sie Ihre Wahl.
o
9
8x 7 y2
o
9
2y2x 6
o
9y
8x 7 y 3
Möglicher Lösungsweg:
Richtig gerechnet erhält man:
9x -7
8y2
Die 1. Umformung ist richtig
Die 2. Umformung ist falsch, der Fehler liegt darin, dass die Zahl 2 nicht potenziert wurde
und x-1 übersehen wurde.
Bei der 3. Umformung lässt sich durch y kürzen. Damit ist diese Umformung richtig.
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II 2D – Potenzen, so oder anders?
Für die folgende Potenzrechnung finden Sie 4 angegebene unterschiedliche Rechenschritte.
Begründen Sie mit Hilfe der Rechenregeln für Potenzen, welche davon richtig sind!
Erklären Sie auch die Fehler, die in den Antworten vorkommen.
 3x  2 


 2y 
3
1
 3x 
   
 y 
Die Antworten zur Auswahl:
a)
 27 x  6   y 

  
3 
 8 y   3x 
b)
 9 x6 
 3 
 6y 
  3x 

 
 y 
c)
 9 
 7 2 
 8x y 
d)
 27 y 3 
  6 
 8x 
  3 x 1 
  1 
 y 
Möglicher Lösungsweg
a)
 27 x  6   y 

  
3 
 8 y   3x 
Hier liegt ein richtiger Rechenschritt vor: Bei Potenzen, die nochmals potenziert werden,
multipliziert man die Hochzahlen. die Hochzahl -1 bedeutet außerdem, dass der Kehrwert
gebildet werden soll.
Die Rechnung ließe sich fortsetzen zum Ergebnis: (9 x-7 y-2 /8)
b)
 9 x  6    3x 
 3   

 6y    y 
Der Fehler bei diesem Rechenvorschlag: Es wurde nicht potenziert, sondern mit den
Hochzahlen die Basis multipliziert.
Nur x-6 und y³ in der 1. Klammer sind richtig.
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c)
 9 
 7 2 
 8x y 
Hier liegen eine Reihe von richtigen Schritten vor, die letztlich zu dem richtigen Endergebnis
führen.
Rechnet man a) weiter, so kommt man auf das Ergebnis von c.
d)
 27 y 3    3 x 1 
  6    1 
 8x   y 
Die Rechenschritte sind falsch: die Zahlen in der 1. Klammer sind richtig potenziert, die
Variablen wurden mit -3 potenziert.
In der 2. Klammer wurde die Zahl im Zähler falsch potenziert, es heißt richtig 3-1.
II 2B, D Wo liegt der Fehler?
Wo liegt der Fehler? Begründen Sie die einzelnen Schritte!
3
1
1
3 2
2
x = 3 =
= 3 = x  = x
3
x
x
x2
-
3
2
1
1
Lösung:
Der Fehler korrigiert:
3
1

1
-3 2
2
= x  = x
x3
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II 2D Wahr oder falsch?
Begründen oder widerlegen Sie!
a
-n
n
b
a)   =  
b
a
b)
ab
 d = 5 - > ab  cd = 5c
c
c)
a-b
a-b
a-b
=
=
= -1
b - a (-1)  (b - a) (-1)  (-b + a)
d)
ab
d
=d -> c=
c
ab
e) a2 = a
f)  3x - 4y  = 9x2 -16y2
2
g)
3  5  2  2 
3
5


2x  4 x  2
2x  4
Möglicher Lösungsweg:
a) wahr: die negative Hochzahl bedeutet den Kehrwert.
b) falsch: d wird nicht mit c multipliziert, richtig ist:
ab
 d = 5 - > ab  d = 5c
c
c)falsch; Der zweite Bruch ist falsch, wenn man -1 heraushebt, dann verändern sich die
Vorzeichen, wie es dann im 3. Bruch gemacht wurde. Daher den 2. Bruch weglassen, dann
stimmt die Rechnung.
a-b
a-b
=
= -1
b - a (-1)  (-b + a)
d) falsch
ab
ab
=d -> c=
ist richtig
c
d
e) richtig
f) falsch, es wurde die falsche Formel benützt:
2
 3x - 4y  = 9x2 - 24xy + 16y2 ist richtig
g) falsch, der 2. Bruch wurde falsch erweitert.
die Nenner heißen: 2 (x+2) und x+2. der Bruch muss nur einmal mit 2 erweitert werden.
richtig ist:
3
5
3  5 2
13



2x  4 x  2 2x  4 2x  4
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II 2B,D Wer rechnet richtig?
Drei Personen haben den folgenden Term vereinfacht. Sie kommen auf unterschiedliche
Ergebnisse.
Wer rechnet richtig? Welche Rechenregeln werden verwendet? In welcher Reihenfolge
werden sie angewendet?
Paul: Ich potenziere zuerst die Klammer und erhalte
Ich bringe 6y-2 vom Nenner in den Zähler, wobei y-2 zu y2 wird. Dann kürze ich x2
mit x3 und es bleibt
Nun multipliziere ich noch 6 mit -9 und erhalte
Anna: Ich potenziere zuerst die Klammer und erhalte
Ich bringe y-2 vom Nenner in den Zähler, wobei y-2 zu y2 wird. Dann kürze ich x3 mit
x2 und es bleibt
Nun kürze ich 9 und 6 und erhalte
Ilse: Ich potenziere zuerst die Klammer und erhalte
Im Nenner wandle ich 6y-2 um in:
1
6y²
Dann löse ich den Doppelbruch auf und erhalte:
Nun kürze ich x2 mit x3 und es bleibt
Möglicher Lösungsweg
Richtig rechnet Anna. Zuerst ist in der Klammer zu potenzieren, dabei ist zu beachten, dass
eine negative Zahl mit sich selbst multipliziert positiv wird. Die Umwandlung von negativen
Hochzahlen in positive durch Bildung des Kehrwerts ist nun möglich, auch das Kürzen von x 3
und x2 und von 9 und 6 ist korrekt ausgeführt.
Paul machte 2 Fehler. Beim Potenzieren der Klammer hat er das Vorzeichen falsch. Beim
Umwandeln der negativen Hochzahl im Nenner kann man 6 nicht mitnehmen, 6 hat keine
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Hochzahl!
Ilse hat praktisch alle Rechenschritte falsch, übersieht die Aussage von Klammern, hält sich
nicht an die Rechenreihenfolge, wonach höhere Rechenarten Vorrang vor niedrigeren haben
setzt keine Klammern und kürzt falsch.