Sur quelques extensions algébriques infinies

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
W OLFANG K RULL
Sur quelques extensions algébriques infinies
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 16, no 2 (1962-1963), exp. no 26,
p. 1-21
<http://www.numdam.org/item?id=SD_1962-1963__16_2_A12_0>
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26-01
Séminaire DUBREIL-PISOT
(Algèbre et Théorie des nombres)
16e année, 1962/63, n° 26
27 et 28 mai 1963
ALGÉBRIQUES
SUR QUELQUES EXTENSIONS
10
Pour
nous
expliquer
Ka (resp= N )
le corps
prendrons
Résumée
idées fondamentales
nos
KRULL
Wolfang
par
en
INFINIES
français.
sur un
aussi
exemple
simple que pcssible,
briques). K désignera un corps quelconque compris entre h 0
étudier systématiquement les sur-corps infinis K de
K , on
dier la structure du
se
plus grand
résoluble
M
corps
N . Si l’on veut
et
part étuD’autre part, on doit
sur
doit d’une
demander comment obtenir des énoncés concernant la structure de
le deuxième
descendant
problème,
il est
plutôt qu’en
ses
conjugués
cas
tion
est
ou
qui suit,
ce
première
une
effet,
pour
le corps de Hensel
toujours
servation
suivant F. K. SCHMIDT
nous
aux
appellerons
Z
classe de
chaque valuation
correspondant (sur
R-corps. Si l’on veut sortir
suivante indique une voie possible.
un
v
M . Dans
procéder en
lesquels N luiR-corps.
Ab-
réels et de
algébriques
est fournie par la théorie
le corps de
de
un corps de base
K
des classes de corps de
On
sur
de
corps des
ces
R-corps
N
[3],
sur
corps
trivial du corps de tous les nombres
sur
de la valuation. En
en
montant et de s’intéresser
même est résoluble. Dans
straction faite du
naturel;
(resp. algé-
de tous les nombres rationnels
connaît,
décomposi-
quelconque)
Hensel,
l’ob-
corps de Hensel
Z,
propriété suivante soit v Z la restriction à Z de la valuation v de ï~ ~
chaque valuation Vz de Z , différente de
est "saturée", c’est-à-dire que
l’extension v’ de la valuation
Vz à N n’augmente ni le corps des restes, ni le
pour
un
la
groupe des valeurs. Or
tion
Zl
n .ee
n
les restrictions
toutes
discrètes,
constate que cette remarque se laisse étendre à l’intersecd’un nombre fini de corps de Hensel, à condition de
supposer que
vK,i , au corps de base K , des valuations v des Z sont
on
Zn
ce
qui
est
toujours
étudier de plus près les corps
sur
rées. Ah vrai dire, cette recherche
qu’à
des
pas des
résultats négatifsô
R-corps,
le
cas
lesquels
ne
pour
K =
K .
On est alors conduit à
presque toutes les valuations sont satu-
conduit
guère, quant
au
problème
il est facile de construire des
corps
bien que toutes leurs
K
des
qui
R-corps,
ne
sont
valuations, à l’exception de n d’entre
elles, soient saturées ( n pouvant même être égal à 0 ~ ~ Cependant la généralisation d’une méthode connue pour la construction de
polynômes à coefficients entiers
et à groupe symétrique ou alterné,
fournit, au moins, des conditions nécessaires
auxquelles doit satisfaire le corps des restes de la valuation d’un R-corps. Mais
avant tout, on peut opposer au théorème que, sur un corps de Hensel Z et sur tous
les surcorps de Z 9 toutes les valuations, sauf une au plus, sont saturées, le théorème suivant : si
K
luation de
telles que
tions
non
n’est pas
K
non
saturée,
corps de Hensel et s’il existe
alors il existe
(i
chaque corps
saturées,
un
tandis que
sur
toujours
0 , 1, ...)
chaque corps
=
toutes les valuations sont saturées. On constate
téressantes surprises
on
doit s’attend,re dans
possède une infinité
(i 1 , 2 , ...)
de valua-
presque
=
sur un
étude
à
exemple,
in-
quelles
systématique des extensions
démonstrations, est un lemme
algébriques infinies. Le moyen décisif, dans toutes les
connu d’après lequel, étant donné un corps
K 9 il existe toujours
... , v
gébriques finis L sur lesquels n valuations
posent d’une manière donnée d’avance, dès qu’il
saturée vK de K différente des
une va-
des suites
ici,
une
moins
au
existe seulement
des sur-corps al-
de K
se
décom-
valuation
une
non
vK,i .
R-corps, c’est la théorie de Galois et non la théorie des valuations qui fait faire un pas essentiel. On peut définir, dans le groupe
de Galois G de N sur K, des p-groupes de Sylow, et étendre à G les théorèmes de Sylow de la théorie des groupes finis. Du point de vue de la théorie des
corps, il en résultes pour chaque nombre premier p 9 il existe toujours entre K
Dans l’étude du
N
et
P
est
un
des
Sylow
p-corps de
un
K .
sur
problème
P . Ces corps sont tous
p-corps de
Sylow
sur
K
conjugués
les
uns
des autres
si et seulement si les deux conditions
suivantes sont réalisées :
(a) Tout sous-corps de P 9 fini sur K 9 a
(b) Chaque sous-corps de ~~ 9 fini sur P ,
de
un
degré
sur
admet pour
K
degré
non
sur
divisible par
P
une
p;
puissance
p .
Tout corps
corps
Q, compris entre
d’un p-corps de Sylow P
finis sont
résolubles,
K
.
et
Enfin,
que tous les
qui vérifie
la
propriété (b)
il résulte du fait que tous les
p-corps de
Sylow
sont des
est
sur-
p-groupes
R-corps.
Naturellement, on étudie ensuite de plus près les relations entre les p-corps de
Sylow et les corps de Hensel et ceci, d’abord pour I~C et M . Dans le cas du corps
on constate qu’aucun
p-corps de Sylow n’est corps de Hensel, mais aussi, inversement, qu’aucun corps de Hensel ne peut contenir un p-corps de Sylow. Ici, ce
sont des
considérations
luations
qui jouent
un
les groupes des valeurs et le corps des restes des varôle essentiel. On obtient un résultat tout à fait simple en
sur
prenant
comme
corps de
base
le
plus grand corps
M
résoluble
sur
Du fait que
sont saturées et que
chaque nombre premier p a, dans
M
une valeur positive, résulte facilements sur
une infinité de valuations de
aucun
p-corps de Sylow n’est un corps de Hensel ; chaque p-corps de Sylow est souscorps d’un corps de Hensel, et chaque corps de Hensel est, pour un nombre premier p
p-corps de Sylow.
déterminée un sur-corps
toutes les valuations de
M
plus important est peut-être la remarque suivante ~x dans l’étude
des R-corps, il vaut mieux prendre, a priori, M comme corps de base. On a alors
seulement à faire avec des valuations saturées, et on ne risque pas d’attendre trop
de la théorie des valuations. Par contre, on voit que l’importance de la théorie des
valuations ne doit pas non plus être sous-estimée car elle pose un problème important pour les travaux ultérieurs, celui de la recherche précise des rapports entre
les corps de Hensel et les p-corps de Sylow sur M . Remarquons du reste que nos
considérations conduisent aussi à des questions concernant la structure de M sur
Le résultat le
KO . Il
K~ et
du
ne
serait
M
des "suites
sans
doute pas
sans
remarquables
type précédemment décrit.
de
intérêt de chercher s’il existe
corps"
déjà
entre
~:~‘~°~~~-~~~.~ en
~1~
H,-..w.~’,.
Um unsere Grundgedanken am einfachsten Beispiel zu erläutern, wählen wir
für bzw. den Körper aller rationalen bzw. aller algebraischen Zahlen.
sei irgendein Körper zwischen and Will man unendliche Oberkörper
von systematisch untersuchen, so wird man einerseits den Aufbau des
größten über auflösbaran Körpers studiere müssen. Andererseits wird
man sich fragen, wie man zu Aussagen über den Aufbau von N über N kommen
kann. Bei dem zweiten Problem liegt der Oedanke nane, nach dem Vorbild von
F.K. Schmidt (Sitz.Ber. Heidelcerger Akud.Wiss. 1938) gewissermaßen von
oben statt von unten aus anzufangen and sich für solche Körper zu interessieren, uber denen N selbst suflösbar ist, d.h. über denen jederendliche
1~
~~I
wi,. ) ,
Normaloberkörper eine auflösbare Galoisgruppe
besitzt. Wir wollen derartige
.. t
M
.~.
3
i..C ~
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} ~.:
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i ~n ir .1
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ii
G
ai
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d
ir=
~. ‘,..’r.l.,
G’
~‘
Körper im Folgenden kurz als R-Körper tezeichnen. Abgesehen von dem Trivial-
fall des körpers aller reellen algebraischen Zaalen une der zu ihm über
konjugierten Körper wird eine srsts Klasse von R-Körpern durch die Bewer-
tungstheorie geliefert. Denn für gede bewertung v von N ist der (über
einem beliebigen Grunikörper K gebildete) Zerlegungs- oder Henselkörper Z
stets ein R-Körper. will man über die Klasse der Henselkörper hinauskommen,
sc scheint zunächat die folgerde Beobachtung einen Weiterweg zu weisen:
Bei einem Renselkörper Z weiß man: Let vz die Restriktion der definierenden
Sewertung v von N , so ist jede von vz verschiedene Bewertung v’z von Z
abgesättigt, d.h. es wird bein Übergang zu einer Fortsetzung v’ von v’z auf N
weder die Wertgrape noch der Restklassenkörper vergrößert. Es zeigt sich
i.‘,w,.;;~ f‘‘’,W..~.°/’~"
r"~ .’ ’.,S’r..
ay~
,
rw..,
.
i
‘
....
i:-s-~r.
._y,...,.~..T_.
B~
a
,...
v
~r-,,y
Verallgemeinerung
mit
Polynôme
denen die
einer bekannten Méthode
Restklassenkörper
auchbei aller;.
nahme
Oberkörpern
Henselkörper,
gesattigt.
Sa tz, daß
2
von
und
Bewertungen besitzt,
Bewertungen abgesättigt
fur
licher
merkwürdigen
notwendige Bedingungen,
da-s
Henselkörper Z
bel einem
allé
und damit
mit höchstens einer Aus-
Bewertungen
folgende Theorem gegenüberstellen:
(i=1,2,...)
während bei jedem
sind..... Es
Körper
beim
man
an
einem
fallen, falls
es
wertung vk
von
mit
systematischen Studium unend-
rechnen muB. Das entscheidende
zu
einem
L existie-
vk,
nu.r
e.irie
den
von
verscL..ieaene,
.
nicht
zer-
abgesättigte
Be-
K gibt.
Bei dem Problem der
R-Körper
führt nicht die
Galoistheorie eilien
gruppe G
fast allé
Beispiel,
K stetsendliche algebraische Oberkörper
vk,1,..., n von K in vorgegebener Weise
n
abgesättig-
(i=1 ,2,..)
L21
sich hier
zeigt
Überraschungen
unendlich viele nicht
Hilfsmittel bei allen Beweisen ist ein bekanntes Lemma, nach dem
ren, in denen
Es sei
Bewertung von nicht abK = L ~ L1 ~ L 2 ~ L3 ~ ...
algebraischer Körpererweiterungen
gegebenen Grundkörper
müssen.
sei mindestens eine
es
L2i+1
jeder Körper
Gruppe
ganzzahliger
Bewertungen eines R-Körpers genügen
existieren stets Folgen
daß
derart,
was
der
abgesattigt sein, müssen,
kein
te
dem
man
Konstruktion
oder alternierender
symmetrischer
Vor allem aber kann
sur
Bewertungstheorie
sondern die
Sc,hritt weiter. Man kann in der Galois-
von N über K p-Sylowgrappen
definieren u.nd die
Sylowsätze
aus
der Théorie der endlichen
Gruppen auf G übertragen. Körpertheoretisch folgt
daraus dann: Es gibt zwischen K und N fur jede Primzanl
p stets
körper D. Dièse ôind. allé
kcnju.gi.ert. ? ist ùber K
genau dann
p-Sylowkörper,
endiiche
b)
Jeder
von
Im Falle
nun
p-Gruppen:
natürlich die
naher
K. ergibt sich,
K
&
und
P
eine
der
p-Sylowkörper
Beziehungen
vor
zwischen
p-Potenz
b)
sich
Allé
daß kein
Jeder ùber
Tk:
Bi
N hat über
-
und
a)
einen durch p unteilbaren Grad
von
N mit
gilt:
sind
aus
zum
ist Oberder Auflös-
R-Korper.
p-Sylowkörpern
und Hensel-
allem -fur aie
p-Sylowkörper ein Henselkörper ist, da3
Henselkörper einen p-Sylowkörper enthalten kann.
spi.elen Betrachtungen über
Wertgruppen und
von Be-
aber auch umgekehrt kein
Hier
über
p-Sylowkörpers ’?
barkei t der endlichen
korpern
P
Körper Q zwischen K
eines
Man wi:rd
fur ihn zweierlei
liber ? endliche Unterkörper
Grad. Jeder
körper
wenn
wertungen eine wesentliche Rolle. Im Falle N erhält man, wie J. Neukirch
gezeigt hat ,ein ganz einfaches Resultat: Hier ist jeder Henselkörper gleich
N. Die bewertungstheorie versagt also gewissermaßen, und es bleiben an
nichttrivialen R-Körpern allein die von der Galoistheorie gelieferten p-Sylowkörper übrig.
~ « ~~ ~~,d~
Für Körper verwenden wir die Buchstaben K,L,M,N,P,Q,K,Z. Mit K bezeichnen
N die algebraisch-separable Hülle
"Grundkörper", mit
wir stets den
von K, also den Körper aller über K algebraisch-separablen Elemente. Sehr
of wählen wir für N den Körper aller algebraischen Zahlen, für K einen
beliebigen Unterkörper; K. bezeichnet in diesem Fall immer den Körper der
rationalen Zaalen. G ist stets die Galoisgruppe von N über K. Wir versehen G mit der natürlichen Topologie, bei der die Umgebungen des Eins.d° Vav is.’ ) ~,s 1/ ~"~ 1~ fw ~
4....d° ’~ C.ac.d .t f,!
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~w ~ .~, ~t4E.~.
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K endlichen, separablen Normaloberkörpern von K gehören. Es zerden nur
topologisch abgeschlossene untergrupen von G betrachtet (bezeichnet mit
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Untergruppen H von G and den Körpern L zwischen K und N umkehrbar eindeutig ist. G heißt p-Gruppe bzw. auflösbar, wenn für jede Umgebungsgruppe U
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betrachtungen
grundlegende
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’?
..,
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a
y-
.-;»
,r~
f
..~
..
y,
°i‘
,~,~
Der Grundkörper K ist genau dann ein R-Körper im Sinne der Einleitung, wenn
G auflösbar ist (1).
Mit v (v1,...) tezeichmen zir die (einrangigen, also bei passender Normierung
reellzahligen0 Bewertungen von N, mit N (N1,...) bzw. (1,...) den RestJ.~ ~~
~,~"
. E t.~
körper
(Restklassenkörper) bzs. die Webbgrsppe von v (v.,...).
"Verschiedene"
pY
S
.w
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Y
~..3
f’j
a
’‘.p.. ...,r
i~
~
Bewertungen sind
siegehören also zu
verschiedenen Beserzungsringeg. Rewertungen eines Körpers L C N
schreiben wir v1 (v1
,...). Gehen wir von einer Bewertang v_K,j (v11...) von N
.:.
aus, so bedeutet v1 (v1,1,...) stets die einschrankung von v (v1,...) auf L .
i
Àl
..
;
OJ
-a
.
,
;..-
.....
’-.."......-
;
’--/..
--
..-
.~-
...;-
%.
:x ; -
...;
tt
>
o
*
,
,
~---.;
’
Den Reatkörper bzw. die Wertgruppe von v1 (v1,1,...) bezeichnen wir mit K1
(K1,1,...) bzw. 1 (1,1,...).
(1)
Vgl. [2].
b.!
algebraischer Oberkörper
über
den Grad
[0393m: 0393l)
es
von
""
’
soll,’ .»ie üblich,
’
Verzweigungsexpon
von
K, ,
1
n-1
ritt
g
i7i
e
natùrii-°he
ii
1
Torsionsgruppe darstell t. Ist speziell
eine Abelsche
algebraisch
endlich
Von
aller Quotienten
(also di-e
Zahl) nâ T/ f7
gruppe
.nd
~
abgeschlossene titille, Km eii;
gehörige Divisionswährend 4à àïe zU
g/_yL Q ࣠, so
jst
É
SO soll
iKm:KIJ bzw.
Ki
2/F endlich,
Km über Ki ’;.o=>...*. ie Ordnung von Ç/ r’i bedeuten,
der Trägheits- b,,.y,.
[i""m*.K1 ) iao-,;; (j"m* . Ç]
li_
von
’~
’bP*.
v
endlichem Grade
:"i
nz>
’~
"’
.
i+ gpr;annt
î>C : f j
N ~ M ~ L
werden. Ist
d ,
liber
besi tzt
sQ
auf
Bewrtungv1urendlichvelFortsezung vm,1. vm,f
jede
M,
und
es
gilt:
(Gradungleichung
Bei einer diskreten Bewertung
zeichen, die
Gradungleichung
v,
der Bewertungstheorie) .
(1) immer das Gleichheitsstets xu.r Gradgleichung
in
von
läßt sich also hier
verschärfen(2).
Wir setzen schließlich tests
eine
Ein
p sed stets eine
Wertgruppe r soll p-abgesättigt heißen,
Kor.per
K
kein endlicher Ober-
wen.n
Í
körper K’t
bz/,.. keine endliche
[K’:K] bzw. die
gruppe mit der
zugehörigen Divisionsgruppe 0394 , so gibt
schiedenen Primzahl q
wenn
gleichzeitig
ist,
so
K
Zwischengruppe,
q-abgesättigt
p) bezeichnen. - Die
gruppe
derart daß der Crad
durch p teilbar ist. Ist
Ordnung
stets eine kleinste
(
Obergruppe r existiert,1
==
daB bei
N
Bewertung
jeder
von
L
soll
algebraisch abgeschlossen
jeder Fortsetzung vm
von
v1
von
p
und
ver-
Zwischengruppe mit
ist. Wir wollen dièse
v-
eine
zwischen
es
die hinsichtlich
r’
abgesättigt heißen,
1
und
=
au.f einen
Zl
Divisions-
Oberkörper M
von L immer Km = K1,genannt,
m= 1 gilt. DerBewertungen
Körper L selbst
wird abgesättigt
L
bzw.
fast abgesättigt
wertungen von L mit
Bei dem
Körper N
Es
schließliche
höchstens endlich
aller
Interesses steht, sind
Bemerkung 1.
wenn
gibt
bzw. alle Be-
von
vielen Ausnahmen
algebraischen Zahlen,
der im
abgesättigt
Vordergrund
sind.
des
folgende Bemerkungen wichtig:
nur
Betrachtung
(2) [1], Bd.
allé
1, (1C a),
einrangige Bewertungen
solcher
S
136
von
N ,
so
da6 die
aus-
Bewertungen keinerlei Einschränkung bedeutet.
2,
(21.10), S.
76
Bemerkung 2.
Grundkörper K.
Der
algebraische Zahlkörper
und
v.
ist der
es
jedem
zu
der Charakteristik p stets
Bewertung
Ist
Bemerkung 4
bzw.
K-.
(2)C... ,
algebraisch
eine
Folge
mit einem
vko
fur
jede
Primzahlcharakteristik und
abgesättigt
hinsichtlich p,
bel der s tets
1
rationalen Zahlen.
von
K~~C...
K. - K~~C
Be-
Restkörper
Körper L ~ N
jedem
Additionsgruppe
nicht
1
endliche
Primzahicharakteristik,
von
von
jeder
Bewertungen.
diskret; bel jeder
Bewertung
ist bel
Entsprechend
absolut
K1
stets eine imendiiche
C
Primkörper
p g’eran. Aire
(bel passender Normierung)
(1)
sind
.(,#
gibt
zwar
Ko
von
ein
Restkörper
abzählbar viele
nur
Allé Bewertungen vko
Bemerkung 3*
wertung
besitzt
der rationalen Zahlen sowie
==
so
existiert
P~~
[(n) : (n-1)]=
r’
p bzw.
C
==
l
,
)J
p
(n=1,2,~.).
Bel
Bemerku.ng 5*
Huile N über K-,
jedem Restkörper
separabel
JL
ist die
K1
algebraisch abgeschlossene
und auflösbar.
~
Der
wenn
Körper L
nur
v.
*
wertung
eine
L
Lemma 1.
soll Henselkörper
einzige Fortsetzung
N
C
hinsichtlich der Bewertung
ist, wenn
überhaupt,
besitzt.
hinsichtlich einer
.nu.r
einzigen
Be-
v1 Henseikörper.
Falls L
nient
abgesättigt ist,
folgt
späteren Lemma 7, aufdessen (sehr
den.
S.
N
auf
v
v- heißen,
die
Behauptung
B
einfachen)
ist der Beweis bei
146). -
wegen unbedenklich
von
tionsgemäß
den
fur
uns
vor
aus
Beweis wir nâher eingehen
L
n.
Lemma 1ist
unmittelbar
allemdeswegen
(vgl. [1],
Dutziich,
Bd.
dem
wer-
2,
weilwir seinet-
der ausgezeichneten Bewertung v eines Henselkörpers
K ~ N bzw. von. der zu L in N gehorigen Bewertung v (nämlich der
einzigen Fortsetzung von v1 auf N) reden du.rfen. Der Körper N ist définier
ist
auch
zu
Henselkörpern
zu
Henselkörper hinsichtlich jeder
Lemmata formulieren bekannte Sätze
Erweiterungen
(vgl. dazu
aus
rechnen
seiner Bewertungen. -
2, Kap.
III).
Die
der Galoistheorie der
bewerteter Körper in der fur
Bd.
("uneigentlicher" Henselkörper);
unsere
Zwecke
folgenden.
algebraischen
bequemen
Form
Zwischen
Lemma 2.
tung
einen
v
v
Fur
und Wertgruppe
Restkörper
~ ~ ~ ’
Lemma 3.
N über K ,
der
N
Gruppe
il
t
Ist
K
von
Jf
Grappe
und
vk gil t
Restkörper
z
so
ist
J
Erweiterung v von v auf T*
separablen Elemente von N. Fur die
der ausgezeichneten
Kz
N
über
T
Abelsch,
Charaktergruppe
normale
T
über
Bewertung
und
(Définition
isomorph
aise
Bel
ist der
läßt sich
zwischen T
"
v
z
einschalten.
Charaktergruppe der Abelschen
siehe § 1 ). Die Gruppe von N
auflösbar.
jedem Henselkörper
Trägheitskörper T
selbst ist genau dann ein
wenn
Z
c
N
mit der ausgeein
von v
z
der Restkörper K
Kz
heran,
so
ejn
von v
Z
ist.
Gruppe von E liber K z ist
inséparable Elemente enthalten sollte.
so
der
von
N
s
Zieht
man
K . falls
Bemerkung 5.
von
imn:
À
Ist
len,
Gru.ppe
zur
(p)
von
z
ist die
zwar
"Verzweigungskörper V von
ist
"X
von
v
/.
z
von
so
Man beachte: Die
1
des Rest-.
Gruppe
zur
2:
§
,
der
K
Primzahlcharakteristik p,
zeichneten Bewertung vz
N über
Kk
.
Restkörper
von
isomorph
r.z
==
ist eine
R-Korper
aller der
ausgezeichneten Bewertung v z
ein"Trägheitskörper T von
ist
aller über K
1. Korollar zu Lem a 3 - 5.
Z
liber
isomorph
über
i
(p)/z
Grappe
über
T
über
Gruppe
Z
s
der
Die
der
von v
.
T"
Der
dem
Ist der
Lemma 5.
hinsichtlich der
mit der
normale
von
Charakteristik 0,
N
Bewer-
"Zerlegungskörper
Einschränkungen v,. z
liber) 2
über Kz.
Wertgruppen gil t
Lemma 4.
jeder
zu
auf sich selbst abbilden.
v
Henselkörper Z
der
von v
gleich
der
Invariantenkörper
die
Zwischen den
schalten. Die
körpers
der
es
Z , der
Körper
%ist
ist.
gibt
.
läßt sich
von
Henselkörper
im üblichen Sinn, d.h.
von
von
bestimmten kleinsten
von v
Automorphismen
ist
Grundkörper T
und dem
eindeutig
Einschränkung
über K "
N
Korper
aller
algebraischen
Za.h-
ç Jsf
sind allé
2. Korollar.zu Lemma 3 - 5.
abgesättigten Bewertung vz
,
zahlcharakteristik p und
der
ea
Ist
Z
C N
Henselkörper hinsichtiich der
so besitzt der Restkörper K von v eine Primz
ist die Galoisgruppe G von N über Z
eine
’
~
’
~~’
.
Einschränkung vk der Bewertung
Man beachte: Ist die
körper K
Tk,
lich
abgesättigt,
Möglichkeit Z
auch dann mit der
zahicharakteristik p
Charakteristik 0
Kk)
von
folgender Überlegung:
die
N
von v
rechnen,
wenn
in diesem Fall nicht
(,wie
==
zu
Möglichkeit Z ~ N
Prim.
bel
vornherein ausge-
von
R-Körper spielt angesichts
Bei dem Problem der
Körper N
1. der
Spezialfalles von Korollar
ausgezeichnete Rolle. Hier
aber
liegt
aller
algebraischen Zahlen
eine
Körper K.
der
zwischen den
es
aus
des
größten über K. auflösbaren Körper M
zu fragen. FUr M
über M
vorzugsweise nach
rationalen Zahlen und N
zuschalten und
auf den
Wichtigkeit abgesättigter Bewertungen ergibt sich
Die
schlossen werden. -
nur
ea
N
Zerlegungskörper "Z
ist bel dem
so
v von
ein-
den
aber
gilts
Lemma 6.
Der
größte
K.
über
Beweisskizze: Mari betrachte zunächst den
also den
Körper M
auflösbare
Körper aller Einheitswurzeln.
wurzelkörper folgt mühelos, daB
bel
größten
über
lich@ Zahl und
JL
es
suB
v
v
= 1 (a ~
va
~
(a) = 1 n
M
von
M) ,
"
.
sein, Die
der
endlichen Einheits-
von A
"
Wertgruppe
der Rest-
muË also auoh fur den Rest-
Ist ferner
so gehört
Körper A.
Abelschen
jeder Bewertung
gelten.
abgesattigt.
K.
Ans der Théorie
körper algebraisch abgeschlossen ist* Das gleiche
körper jeder
ist
mit
a
’
’
n
auch
eine
a
beliebige
zu
’
besteht also sicher
von v
"’
und
aux
all en rationalen Zahlen.
Aus Lemma
6. foigt zunächst: Ist
teristik ihres
entweder
Restkörpers.
Tp
>
gleich N oder die
Tatsächlich gilt,
v
Gruppe
eine
> 0,
von
Zerlegungskörper gleich N (3). Man
feststellen, da6
.
§
2 hatten wir
ausgezeichnete Bewestung
(3 )
Noch
so
N
von
N
und p die
Zerlegungskörper X’
über Z ist eine p-Gruppe.
ist der
Cher
wic Herr J. Neukirch kürzlich bewiesen hat:
allé
In
Bewertung
kann also mit einem
über M
M
sind
gewissen Recht
versa.gt.
3.
uns
vor
X interessiert,
allem fur
v1 abgesättigt
ist. Im
deren
allgemeinen Fall haben
wir
folgende Lemma,
das
L
Henselkörper hinsichtlich v1,
schiedene Bewertung v’1 von L abgesättigt.
Ist
Lemma 7.
wurden
Im Anschluß
ar
a)
jeder
Ist etwa
von
Jf
werden soll?
später gegeben
dessen Beweis erst
gelegentlich
verschiedene
jede
von
v1
Fragen aufgeworfen:
die
L ,
Körper
abgesättigt sind, ein Henselkörper?
b) Ist 3& Henselkörper hinsichtlich v1,
ist
so
bel dem allé Bewertun-
gen
von
Beide
wir
a)
verschiedenen
v1
Fragen
une
Der
v1 diskret
wenn
Bewertungen von L abgesattigt
sind leicht
sind ?
nötigen Beispielen beschränken
vei’.neinen« Bel den
zu
während elle
ist,
Körper N aller algebraischen Zahlen.
auflösbare Körperm ist kein R-Körper
groBte über K.
auf den
mid damit auci,
in § 2)
Henselkörper. (Vgl. Spezialfall des 1. Korollars zu Lemma 3 -* 5
Aber M ist abgesättigt (Lemma 6. von § 2)...
kein
b)
Man kann auf Grund eines allgemeinen Existenzsatzes unter Ausnützung der
C K, C K, C . .
von § 1 zu K. eine Folge
algebraischen Zahlkörpern K; so konstruieren, daB
Bemerkung 2.
den
aller
v-
auf
L . 03B2) vabgesättigt
Bedingungen. Es
und damit auch
ist
ist
von
diskret,
eine
vk nur
K.
besitzt
allé
während
sind. - Dann
aber L
Vereinigungskorper
der
kein
von
genügt 65
eine
nur
v1
(beliebig
Eine
folgenden Bedingungen genügt: 03B1)
vorgeschriebene) Bewertung v.
endlichen
von
einzige Fortsetzung
verschiedenen
Bewertungen
Frage b) angegebenen
den in
Demi andernfalls besäße v1
Henselkörper.
einzige Fortsetzung
v
N ,
auf
sicher
was
zutrifft.
Auf die
der
ein. Auch hinsichtlich des
det,
sei
allgemeinen Existenzsatzes,
sei auf die Literatur verwiesen
angegeben,
da
unsere
a.u
gehen wir nicht
(’);
weiteren
ein
nur
gebe
es
zu
Bewertung
K
v1, 1,...,v1,N
irgendwelche
existiert stets ein
da6
(~)
einen
Oberkorper
K
von
v1
oder
verschiedene
~
ri
Oberkörper M
von
L
der
v..
genau
> 1
Bewertungen
von L ,
eine
und
Obergruppe
wird. Sind d.ann
L ,
von
so
mit der Ei-
vom
Relativgrade
n
n
verschiedene .
Fortsetzungen
°
Bd.
zu
n
besitzt.
fiT!,
dièses Salues
ID
n ~ 1 bsw.
r~
auf M
Spezialfall
Grundlage bil-
Überlegungen anknüpfen.
Es sei v1 eine nichtabgesät igte
zwar
der die
sofort,daß das
Man sieht
ist. Wendet
leima das
Kir
die
man
Lemma
’7* eine unmittelbare Folge des Existenzlemmas
Gradungleichung
§
von
1
erhält
so
dem Existenz-
man
zu
M
(i=1,..., N )
folgende Korollar:
jede Fortsetzung
einer der
v
v ,
JL ~ 2.
auf
’
K . K, . ; F" . - f ’
=
Bel der
Frage b) zeigte
der
Beantwortung
satz mit Nutzen auch da
reicht,
wegen
so
um
zeigt
die Existent
merkwürdig sind,
überraschenden
sich,
da6 schon das
gewisser Körperfolgen
weil
hier
man
Erscheinungen
man
einem
an
rechnen
muË,
algebraischen Erweiterungen überschreitet.
Ausnahmefälle
Körper N
Satz 1.
vermeiden, beschränken wir
zu
L.
L weder
Ist
abgesättigt
nm
handelt.
die Konstraktion
Verfolgt
.ma.n
diesen
spezielle Existenziemma
aus-
die
vor
allem des-
Beispiel sieht,
mit
was
zu
sichern,
wenn man
fur
den Rahmen der endlichen
gewisse praktisch
uns
im
Folgenden
wieder auf den
noch
Henselkörper, so gibt es stets eine
die folgenden Bedingungen genügt:
,
zwei nicht abgesättigL mit
L2
ist endlich algebraisch über
ten Bewertungen v1o, o, v1o, 1
L2i+1 (i=1,2,...) ist
~....° ’ ~.~,1
~.,1
2.
.
fast
"-
~"
dabei ist
Um
sich
all,gemei.ne
aller algebraischen Zahlen.
Körperfolge L ~ L ~ L1
1.
es
wo
Körpererweiterungen
es
daB der
oben,
a,ngewandt werden kann,
’von unendlichen algebraischen
Gedanken weiter,
sich
abgesättigt,
besitzt aber zwei
"i....r - ~.,1 ! r~~,. q~~
die
v
12i+1,1
(r-o.i) ,
,.
L2i+1.
3
L
v~~ ,
~1-- r
(i=1,2,...)
2i
fur die
besitzt überabzählbar viele
~~~= K~~ ~ ~~~
~~~~ ~~~ die
Beweis: 1. Sei
v1
eine nicht
abgesâttigte Bewertung
von
der v1o,o noch
2. Es sei
v1o,
L2i
auf
und
v1(a)
fur i
vo, v1
sein.
auf
von
(a) .
von
v
von
kein
L
auf
Dann sind die Ein-
L. verschieden,
4
und
es
von
§ 1.)
können
we-
Satz 1 bestimmt. Fur i = 0
1. Fur i > 0 sei
eine
L
(Beachte Bemerkung
0 bereits im Sinn
v12i,o irgend
L . Da L
v ,
Lo =
und
von
~~ .
verschiedene Fortsetzungen
abgesättigt
Bewertung
v1o,o , v1o,1 die
v1
1
von
03C3
~~
auf
von
v1o,o , v1o,1
=
v
Henselkörper ist, gibt es zwei
mit
N . Sei a
6 N
vo(a) ~
schränkungen
Fortsetzungen v1
v .i
aus
die
Einschränkung
der Reihe der
v
von
Schließlich sei
v(i)o
Zornschen Lemma
foigt die Existenz mindeste:ns
L2i
von
vo(i) bzw.
irgendeine Fortsetzung
auf
von
N.
Aua dem
Obe:rkorpers L*
daB die Einachr&nkung v(i)1*,o
bsw. v1*,1
von
gleiche Wertgruppe und den gleichen Restkörper be-
mitder
eines maximalen
’’1
die
v1 auf L*
sitzt wie v
bzw.
Aus dem Existenzlemma mid der Maximalität von
v..
~.~
’’’~~~
~?~
X ergibt sich welter sofort, daË allé von ~. und
verschiedenen
.
Bewertungen
v1*,o(i)
*"
L* abgesättigt
von
v12i+1,o , v1*,1 = v12i+1,
3. Es sei
1
L* =
L2i+1 ,
setzen.
für ein fastes i ~ 0 berei.ts bestimmt. Da.nn kann
L2i+1
Berücksichtigung
sind. Wir können aise
man
unter
der
Bemerkung 4 von § 1 anf Grund des Existenzlemmas und
seines Korollars eine Körperfolge
L(1) C L(2)C
bilden,
bel der jeder Körper L(k) über L(k-1) jeweils einen festen
Primzahlgrad p
L2i+1 = L(c) C
hat,
und bel der außerdem
L(k)
besitzt,
die
haben wie
.
per
Korollar
zu
Satz 1.
einigungskörper L
Unterkörper
(vgl.
’.’
pk
verschiedene
Fortsetzungen auf
notwendig allé denselben Restkörper und dieselbe Wertgruppe
Man überzeugt sich nun mühelos, da8 der
Vereinigungskör-
v12i+ ,1
L’ aller L(k)
1
immer genau
...
v12i+ 1,1
einen
Körper
Ist die
.IfJ
des über
L2i+2
Bewertung v,
einer im Sinne
L.
Satz
im Sinne
von
Sais
von
Sa tz 1. darstell t.
L diskret,
so
ist der Ver-
gebildeten Körperfolge Lk>
gebildeten Zerlegungskörpers X 1 der Bewertung vi
von
1.
2., S. 12), und es ist dabef die Einschränkung von
v auf L(1)
sicher nicht abgesättigt. Können wir also die Konstruktion eo
einric:hten, daB
se
kein
L(1) ~ Z1 ausfällt,
Henselkörper, und wir können eine
merkwürdige
neue
Körperfolge
L(1) C L(1)o ~ L(1)1 ~ L(1)2 ~
...
im Sinne
bilden. Hier erhebt sich demgemäß die Frage nach der Ex:istenz
merkwürdigen Körperfolgen, wobei es
Ordnungszahlen zu kommen, natürlich
der Abzählbarkeit
von N
Untersuchungen vorliegen;
Problems begnügen.
Dagegen
wenn
sei noch kurz auf die
wir die
Beschränkung
auf
Satz 1
wohlgeordneten
Interesse wâre, zu möglichst groBen
innerhalb der 2. Zahlklasse, die man wegen
von
nient überschreiten kann. Da in dieser
keine
des
von
von
müssen wir
uns
Richtung
!loch
mit dem Hinweis auf die Existenz
Frage eingegangen, welche Komplikationen eintreten,
dan Körper N aller algebraischen Zahlen fallen
lassen. Wir haben im wesentlichen eine
ungünstige Möglichkeit
2U
berücksichtigen,
nämlich die, daB in L nur solche nicht
abgesättigte Bewertungen auftreten,
bel denen die Wertgruppe die Gruppe der rationalen
Zahlen, der Restkörper aber
algebraisch abgeschlossen ist.
Hier muB die Möglichkeit berücksichtigt werden, daË schon ein endlicher algebraischer Oberkörper von L
abgesättigt sein kann. Im übrigen sind die 2;um
von
Charakteristik 0 und
Beweis
von
nicht
réelle aber
zwar
unwesentlich
Satz 1. benutzten Schlüsse nur
Bel der Konstruktion der
L2i+1 wurde
Körper
modifizieren.
zu
Zornschen Lemma Gebrauch ge-
vom
macht. Es ist bemerkenswert, daB im Falle diskreter Bewertungen
vly’)
eine
des
passende Verallgemeinerung
(v1 , v1,
o
,
des
Begriffes
Zerlegungskörpers
dièse Verallgemeinerung
.
anstelle des Zornschen Lemmas benutzt werden kann. Da
soll s-ie kurz diskutiert werden.
besitzen dürfte,
seibstândiges Interesse
Dabei kann N ein beliebiger,
separabel-algebraisch abgeschlossener Körper
sein.
Einschränkung v der Bewertung v von N auf K diskret,
X von v über K der Vereinigungskörper aller
so ist der Zerlegungskörper
der H ~ K , bei denen
v. die gleiche Wertgruppe und den gleichen RestSatz 2
Ist die
körper besitzt
wie
&
Beweisskisze: Ist
ein endlicher
Normaloberkorper
Z
wie üblich definierte Zerlegungskörper
Daraus schlie3t
von E
leic],it: Es
man
mit der in Satz 2.
Sei
Ke 3
*?’"
’
-"
E’o ~ Ze .
K jedenfal s
Aus Satz 2.
Satz 3.
von
-
"
"
o
von
Z’e
=
dann ist
-°’
..~----~-«.»
anwendbaren
v,,
2
ist sowohl über
[Ke:Kk]. [e:k], d.h. es ist Ze
entha.lten ist.
uber
von v
E ~ Z
K.
X
°°
ist der
TL gleich
6
Aus der Galoietheorie
der Diskretheit
von E
weiter: Der Grad
~
so
jeder
an.geg’ebeneu
@
ergibt sich wegen der angesichts
daB
zu zeigen,
’
’
~
uber
von v
K ,
von
aïs auch über
Z’e gleich
~ Re .
folgt sofort:
M = {
Es soi
Bewertungen
von
beliebige, irgendwie indizierte Menge
N ,
and
es
seien die
Einschränkungen
der
v.
k,f
vf
auf K alle diskret; Zf sei der Zerlegungskörper von vf K . Daim
isi ZM =
der größte Unterkörper K
N 0152it der EigenZf
von
schaft,
dajB bei
jedem
die
gruppe und den
Einschränkung vh,f
gleichen Restkörper besitzt wie
Angesichts
Satz 3’
von
wertungsmenge M
man
daim sofort aïs
vf
über
ZM
liegt
es
nahe,
K
su
bezeichnen. Auf
Verallgemeinerung
von
die
die
aïs den
gleiche(diskrete) Wert-
Einschränkung
Zerlegungskörper der Be-
Grund des
Lemma 7:
v
Existenzlemmas erhält
(
Satz 4. Ist M =
and sind die
Einschränkungen
ZM
Zerlegungskörper
( 1,1 , .
v
zM,i
v1,...,vN}
* . ;
N)
%v,
eine endliche
( i=1,
x,ù- ,
von M
4. zeigt insbesondere: Bei der
Satz
.. ,
7£
über
Bewertungen
alle
s
N)
alie
abgesehen
v
zM
zum
Menge
Bewertungen
von
diskret,
den
von
.von
sind bei ;iem
so
Einschränkungen
abgesättigt.
Beweis
von
Satz 1
*
unter 2. benutzten
L2i+1 gleich dem eindeutig bestimmten Zerlegungskörper
beide iisfl4 m L v§"1 /v1 } über L2i , falls v12i,o(i) und v12i,
Konstruktion wird
der
Menge
mit der Diskretheit
kret sind, (was
für die
also ein
des
1
,
von
«i-= gleichwertig ist).
praktische Brauchbarkeit
Begriffes "Zerlegungskörper".
unserer
Andererseits muß
Wir haben hier
Verallgemeinerung
aber beachten: Besteht
man
M aus mehr als einem Element, so ist ZM kein Henselkörper (vgl. Lemma 1.).
gibt also stets mit
Körperfolgen"
Z, L. beginnende "merkwürdige
Es
=
im Sinne
vo;
Satz 1
4.
Angesichts
Bewertungs theoretische Kriterien
Satz 1 ,
von
abgesättigt
besteht,
ein gegebener
Es sei
(z.B.
(Z.3.
nB
©in
ei
£,
àer
Daß diese
Mög-
4, zeigen. Zunächst untersuchen
Bewertungstheorie liefern kann, daß
ist. Unsern
Ausgangspunkt bildet
Spezialisierungstheorie.
3$§
ein ganz
mit
mit
aem
dem
Bewertungsring)
ewertungsring)
V°n
Körper
überhaupt die
uns
Lemma aus der
Homomorphiesatz.
Nicht-R-Körper
e,j_ii
- vt _ri ; sich in §
Kô±per 111
allgemeines
für
o°v ein
îg=>i; ,
welche Kriterien
wir,
à,j_é-
ls,eg-t
noch Henselkörper
lichkeit durchaus
ein
..
R auf
abgeschlossener Integritätsbereich
ient enkörper
Quot
Quotientenkörper
den Körper
lgÎo ’ ,
J£
K ,
,
der ein
un
und es
es sei
ein
se1
separables Polynom
j=:(±,1)
aus R[x] auf das gleichfalls separable Polynom (x) aus K[x] abbildet:
schließlich sei G bZ"
G
diÊ
Jé "DIzW. K
bzw. p(x) über
*
Galoisgruppe
des
Dann ist stets
G
Zerfällungskörpers
zu
einer
von
Untergruppe
p(x)
von
çg
isomorph.
Korollar: È8 Sei
algebraisch
wenn
?(x)
gleich
von
p(x)
irreduzibel über
JC
von Primzahlgrad
p und >i
Primzahlcharakteristik. Daim ist G sicher nicht
einen über K irreduziblen Faktor
p noch ein Teiler
von
F(x) besitzt,
auflösbar,
dessen Grad
p-i ist.
/
ve= eia-
Denn unter den
Untergruppe
Bedingungen
des Korollars besitzt G sicher eine
der
q und
zyklische
weiß, daß bel einer auflösbaren Gruppe,
die sich aïs transitive Permutationsgruppe von p Elementen darstellen läßt,
die Ordnung q stets gleich p oder ein Teiler von p-1 ist DaB
Korollar fur
eine bequeme Möglichkeit liefert, um ganzzahlige Polynôme mit nichtK = Ko
auflösbarer Gruppe zu konstruieren, ist altbekannt. Untersuchen wir unter Beschränkung auf den Körper N aller algebraischen Zahlen, wo die Restkörper
von
man
aller
Bewertungen absolut
Tragneite des Korollars genauer,
Es sei der
neten Primzahlen pi,
den
l&Ët,
zu
sei die
denen sich
Beweis: Es sei etwa
pm
müssen fur
so
allé Teiler
kein
von
kein
von
Henselkörper ist,
sowie
und
K1,n
von
Satz 1.
nicht
pn-abgeschlossen
unter 1.).
(wenn such
nicht
Durchschnitt S der
~
M
pn-1 (sn).
eine
hier
K kein
aus
dem
R-Korper
eine
weder
> 1 die Primzahlen
Aus dor
Voraussetzung,
analoge
daa beim
v. ,
Bedingung
aus
dem
L irreduzibles
voR
S auf
in einen
K .
auf ein
irreduziblen
verschiedene Linearfaktoren
zum
Homomorphiesatz
L
und da-
sein.
die
K
fragen: Gibt
von
beim Beweise
aber
ein über
Homomorphismus
in
-ar.d
man
Überlegung
Bedingungen folgt
.md
von
algebraischer Zahlkörper
jeder
die der
M
fin-
grundiegende Bedeutung in § 2 hervorgehoben
speziellen Existenzlemma): Es gibt sicher im
Bewertungsringe
folg.t insbesondere
Natürlich wird
.
Bemerkung 4. von § 1 schließt man
algebraischen Oberkörper
von
zerfällt. Es konn-te daher nach dem Korollar
Kein endlicher
n
v
desaen
Grades und im
Aus Satz 5.
is t . I s t daim
mit
m
mit auch
Bewertung
geord-
aus
Unter den angegebenen
von
Faktor
aber kein Kensel-
der nach wachsender Größe
jedes p
(vgl.
ist
p(x.)
Primzahlgrad pn,
das seinerseits über Kl,
Polynom p(x) abgebildet wird,
Polynom
R-Körper,
v1,m , v1 ,n , derart daß K1,m nicht pm-
allgemeinen Existenzsatz,
wurde
Folge
ein
sein.
p -1
leicht: Es g-ibt sicher einen
und
K
folgendem Theorem:
pi-abgeschlossen
einelementig,
p1,...,pn-1
zu
jeweils mindestens
deren Restkörper Kk,i nicht
leer noch
daß K
kommen wir
so
algebraische Zahikörper
( p1,p2,... } = M
körper.
Primzahloharakteristik sind, die
von
.es
M
ist ein
g-leich der Menge
überhaupt
unendliche
Denn
es
ist
aller
Primzahlfolgen
Satz 5 genügen? Die Antwort lautet: Ja.! Ist
,
M
braucht
so
k
= {p1,...,pn} eine
n
die
Bedingung
der arithmetischen
und
man
Satz 5. karm noch etwas verschärft werden,
die
per sondern auch auf
daË
an
p(x)
auch dann noch
gruppe
von
Sat2 6.
zu
der eine
ein
Bewertung
Daim mûssen fur
der
K
wenn zwar
R-Körper
v. mit
q mit
jede
Restkörper
aber kein
nicht
und die
Folge
Progression
mn
ein Glied
verletzen.
Der
nicht
auf die Restkör-
nur
allgemeine
Existenzsatz zeigt,
Satz 5. die Konstruktion des Polynoms
von
möglich ist,
hat die
wenn man
pM-abgesättigt iet. Daraus
v1,n
Es sei
zu
Wertgruppen achtet.
der entscheidenden Stalle
5’ genügende Primzahlfolge,
aua
Satz 5.
von
Satz
von
p . eine Primzahl
(k=1,2,...) su
1
verlängert, ohne
Bedingung
fur
man nur
(p ,...,pn) +
der
der
die Wert-
Restkörper, aber nicht
folgt sofort:
p soi eine
Henselkörper;
Primzahl,
p-abgeechlossenem Restkörper existiert.
q ’> p ,
q-1 ~ 0(p) bei jeder Bewertung
Wertgruppe q-abgeschlossen sein.
Um einzusehen, daô die Bedeutung der Sätze 5*
6. nicht überschätzt werden
1. Sind bel dem Körper K die Restkörper aller Bewertungen
darf, beachte man:
algebraisch abgeschlossen, so können .vir aus dem Homomorphiesatz keinerlei BeEs iGt
denkbar, daß K ein
dingung fur die Wertgruppen ableiten.
R-Körper ist,
obwohl allé
Einleitung betont, daB
es
K.
beim
diBkret
der
sein
a,lgebraische-n
Uber
Bewertungen
auflösbaren Körper M
2. Es wurde schon in
R-Unterkörper
dürfte, nicht K.,
aïs kleinsten
des
Körpers
N
sondem den
Grundkörper
zu
aller
größten
wählen. Bei
M
Oberkörpern von M sind aber, wie schon früher hervorgehoben, allé
Bewertungen abgesâttigt* Mit Kriterien, die sich auf die spezielle Natur ge-
und allen
wieser
Restkörper
oder
Wertgruppen stützen,
ist
überhaupt nichts mehr
fangen.
5~.
Wir wenden
=ç>-§/iagi£«
rein
wir die in
gruppentheoretischen Betrachtungen, wobei
den Vorbemerkungen bereits eingeführten
Défini tionen mid Bezeichnungen bedefinieren wir neu: Die (abgeschlossene!)
Untergruppe
der
fur jede
p-sylowgruppe von G heißen, wenn
der endlichen Gruppe G/U
im
Umgebungsuntergruppe U von G eine
uns
zu.
H
üblichen Sinne des Wortes darstellt.
Genau wie bel den
gelten dann
folgenden Sylowsätze:
die
p-Sylowgruppen. Allé p-Sylowgruppen
G besi tzt stets
Jade
die
p-Untergruppe
von
p-Sylowgruppen
die
G ist in einer
körper der p-Sylowgruppen
beliebigen
einer
Es
b)
7. a)
Die
Ein
über
sind also
es
( )
von
G
den
Invariantenkörper
bezeichnen wir natürlich die Invarianten-
Entsprechend wollen wir
~~..-.,~~~~~~
G einen
von
Allé
nem’ien*
Sylowkörper
von
uber K
N
P
Körper
K,
wen.n
N
zwischen
jeder
endliche
konn.en au ch charakterisiert werden aïs
K.
N über
von
K konjugiert.
K sind über
N über
von
die kleinsten p-Unterkörper
c)
p-Untergruppen
konjugiert.
dann:
gilt
Satz
G.
von
G- sind in G
enthalten,
maximalen
von N über K
Als p-Sylowkörper
von
K
und
ist genau dann ein
X
Oberko:rpe.r
p-U:n terkorper
P über P
von
von
p-Potenz
eine
aïs Grad besitzt.
d)
Ein
wenn
y
p-Unterkörper
P enthaltener,
ein in
N
uber
uber
K endlicher
von
K
ist genau dann eiD
Korper L stets
uber
einen durch p unteilbaren Grad hat.
e)
Jeder p-Sylowkörper ist
Der Beweis
vou
Satz 7.
ein
folgt
sätzen und den
R-Körper.
leicht
sache,
daË die
lichen
separablen Normalobeskörper E
czw.
Beauptung richtig ist,
Invariantenkörper
e-iner
wir,
§
2
daß der
P
wird. Die
W’lr!..4...uJ..e
JJ
man
setzt.
einer
G sowie die Ta t-
von
und ans-telle
N einen endvon
p-Sylowgruppe
Behauptang d)
ist
beachte man
der
triviale
P den
(endiichen!)
da
jede
ab wieder,wie schon früher, auf den Körper N
wir M = K aïs Grundkörper, se
von
algebraischen Zahlen. Wählen.
per, und
K
anstelle
d)
und
ist.
uns
wie schon in
?
c)
von
wenn man
p-Unt.er.grup,:e b2:w.
uber
Bei
der
von
Galoisgruppe von E
p-Gruppe auflösbar
aller
gruppentheoretischen Sylow-
der Galoisschen Théorie.
die Définition, der p-Untergruppe
Wir beschränken
den rein
aus
ist ohne
sind als-o
a.L so
Einführung
Henselkörper jeder Bewertung gleich N
die K
kleinsten
e211S ven bekannten
e anntf.:::n
R-Kör- :":¿-Koy..",
vorläufig ale
vor.1.a..ul1g’
ei.ner bisher unbekannten völlig
neuen
Kon-
zeption ausschließlich auf die Galoissche Théorie angewiesen, wenn man den
bau von N über K = M weiter
untersuchen will. Man wird etwa darar;
denken, Aussagen über
von
N liber M
(5)
Vgl.
hierzu
die Normalisa toren der
zu
[2"! .
gewianen, doch ist
es
p-Sylowgruppen
völlig ungewiß,
der
was
Auf-
G
fur einen
N
ein Versuch in dieser
Erfolg
Wählen wir
K.
dag’egen
aïs
Grundkörper, eo ist es eine nichttriviale Aufgabe,
den Henselkörpern der Bewertung’en von
und den
Beziehungen zwischen
die
p-Sylowkörpern
körper Z
genauer
einer
ten. Man
Es
f
0
vp’ >
a)
b)
gegebenen Bewertung auch
B
c)
’P
p-Sylowkörper
ist stets der
p’
p’ gibt
=
endliche
auf den
von
sich auch die
von
§
Einschränkung v1
d)
7
dem
eine
Bewertung
r
mit des
auf
diskret ist,
Oberkörper p-te.n Grades J&
Fortsetzungen besitzt,
P~Z
L
X
in
enthalten
ausgeschlossen.
ist die
mi t . einer
unter denen
befinden mu6. Aus dem Korollar
3 folgt weiter, daB
p’-Kôrper ist,
so-
ausgeschlossen.
einen
L
folgt
Grades besi tzt. Es ist also
ist
es
P ~ R .
mit
p-Gruppe.
identischen Automorphismus.
p’ ist die Gruppe von N uber V
H
Grappe
von
PHr
N
über V.P
p’ besteht aiso H
stets in einer
p-Sylowgruppe
G enthalten.
so
N
v’ mit
von
der
A
.Du.rch
Bewertung
wissen wir nach Satz 8
V’
körpers
der
von
und eine
det,
§
von
ist daller.
bekanntlich ein
Gehen wir nicht
von
zu
P ~Z
auch vz
es
3 gibt
von v
P
und
d.h.
p-Körper,
der Durchscnnitt einer p’-Gruppe
von
(über Ko)
von
Oberkörper beliebigen
Existenzlemma und Satz 2.
R
vko
genau p verschiedene
sein muB. Nach Satz
c)
v
oder
p-Sylowkörper
da6
N-ach dem Existenzlemma
Fur p =
sei
es
Vereinigungskörper R-P
eiuen
es
für keine Primzahl p ein
nur aus
und
Z ~ (P
kann
Aus der
fort) daß Z
Da
dera Hensel-
gleich N .
Beweis: a 03B1)
b)
zweckmäßig, neben
Verzweigungskörper
Dann gilt:
p~
(p
zàm
es
ihren
p’ Primzahlen,
p
NI’ keinen
a 03B2)
stu.d.ieren. Dabei ist
zu
dann:
Satz 8.
mit
haben könnte.
Richtung
v’
wird aber
die der
c) :
Es
v’p > 0 ,
ist.
auf
sondern
v
einem
gibt jedenfalls
derart daß
Satz 7
P
V
von
a) gibt
es
P
gegebenen p-Sylowkörper
einen
P’ Unterkörper des Verzweigungsferner einen Automorphismus A
und selbstverständlich p auf sich selbst a.bbildet.
auf den
Bedingung vp >
0
Verzweigungskörper
genügt,
und
aus
V
V’~ P’
einer
Bewertung
y.
foigt
v
abgebil-
D.h. aber,
wir können Satz 8. ergänzen durch:
Satz 8
d).
mit vp >
0y
Zu
jedem p-SylowkörperP
derart daß
(P Unterkörper
gibt
des
es
(über Ko )
eine
Bewertung
Verzweigungskörpers V
von v
v
ist.
~~.~~
ti
K
herein die beiden Möglichkeiten
~’~.:~
a
e
K = Ko
= M und
gestellt hatten. Man sieht sofort, daß Satz
Ko
dur ch
in den Vordergrund
8. uneingeschränkt gilt,
nde
irge
i n en Kör
Le
per
wir
wenn
b e i d e m alle Be wertun
r s e t z e n,
~~~~~,°~~i.
’
ge n
diskr e t
v1
sind, also insbesondere, wenn wir für K einen beliebigen endlichen algebrai s c hen Zahlkörper
wählen. Lassen wi
-
r ferner
die triviale~
..,t.
ü
.4
.i....v.3..
k .l,
.i~~ ~.~..i.‘w~.~
Möglichk
4a
,âl.
V
ei t
~....
tt
N
=
zu, und fordern wir statt V ~ P nur V ~ P, so gelten die Behauptungen
b), c), d)
3. offenbar ganz allgemein. Im übrigen wollen wir darauf
von Satz
verzichten, bei a) bis d) nach notwendigen und hinreichenden Bedingungen zu
suchen,da es sich hier um eine verhältnismäßig nebeasäcoliche Frage handelt.
i>,--eniliche algebraische ZahlDagegen 4 noch F ur:z ;=-af gewi sse :ç.;*i,i;’"
spezielle
körper hingewiesen, deren Wahl als Grundkörper durch Satz 8. nahegelegt wird.
Untersuchungen
zeigt jedenfalls, daß es sich
Satz 8.
bei den
für ei ne feste Primzahl
sätze mpfiehlt,
imKreis der Sylow-
p einersei ts die Menge al
1er
p-Sylow-
körper zu betrachten, andererseits die Menge 03C6p aller der Bewertungen v, die
der
r.:
,~ ~ ~
4:
’
»
t
~,.
..~
r
‘~~’"! =~.~.
’
~’X~ ’.~ i.
~r.~.
~
~
~,:
> ’,,’’a ~.~~
.f’l.~.:~
o
~~~’i?~’~~.~’,.~.‘~’~’~.c,~,~~~"~’.~’’~~
L,I tA.
,
~,, ~ ^ 3^ "y,~ 4’‘;
man fragen: Kann man nicht bei fest vorgegebenem p einen einfach gebauten algebraischen Zahlkörper
1
Mp angeben
",
. Bei allen Bewartungen
Ve r zweigungsk
2 . De±’-°’
Wir
1 .
ö rp e r
V
’
~
v
zu
03C6p fäl t
samme
’’~’
~
Der Bew is möge nur
Ln,p ,
anged
der durch dieMenge
bei denen
,tt,~ f.r~ ~J,’1 tJ .i.~ ~i G ~
Z
i..: ,
’B
mi t dem
JV’
eu tet
we rden:
~
s.,
INp . Dann
1=n1
ist
Mp enthält
Einhei tswurzeln
Bei jeder Bewertung
=
n
Polynoms
Mp
Mp gerade
7
ein
*
aller n-ten
vp
~ 03C6p hat
.‘
Zahlen, L
v
~
algebraisch abgeschlossenen Restkörper
wertung v
genügt:
;,
’~o "
à.. °-’
"
körper
p unteilbaren aturlichen
dêr gewünschten Art
normiert, daß
de r Hensel
4 ~
Kà§
.y
man:
’
"
nun :
gungskörper al er der
aber weiß
den Bedingungen
n.
pdieMngealerdurch
Es sei IN
344
’ "°°’
übe r Mp
~x~’.~~~~~~.,~~.~,.~’;z00FF~~~~"~~° "~
behaup ten
Körper
der den folgenden bei
,
’+0
1 wird. Wei ter
ergibt
03C6
p
jedenfalls
mit n ~
hat di e Verengung
und die
Körper
den
INp erzeug
Von
wird.
v
ep
auf ~
Wertgruppe Z , falls
sich ohne Schwi
~ p
p einen
man
erigkeit: Bei j
~
so
eder Be-
diet J4 ~y .a.Verengung
vmp auf Mp einen ‘ialgebraisch
abgeschlossenen
’i~
i 1=il>=
~ i.4.3. , ’ r" ,r .w, ’~’r
l
’
%"’
....
p
"
t,~
.J
,o.
r~ ~ ,g a
w
p
26-21
Eigenschaften folgt aber
Aus diesen beide:n
gungstheorie fur
v ~
nach den
03C6p sof rt: Z = V ~
N .
Hauptsätzen der Verzwei-
übrigen
die
V gleich
dem
Man ka.nn im
~
Aussage
V ~ N
Verzweigungskörper von v über
nichts
geändert.
Es ist sogar
noch wesentlich verschärfen:
Ko ,
hat aiso hier
die
Doch soll auf den Bétels dieser
8.
zichtet werden. Als Endergebnis unserer mit Satz
können wir ein
Es sind fur
Program..m
fur die
jade Primzahl
Weiterentwicklung
p sowohl über
mit Hilfe der Galoisschen Théorie die
die zwischen den
p-Sylowkörpern
bestehen.
(Bel
aller der
p-Sylowkörper,
sind, bzw. über
Ergänzungsbemerkung
den
die
Lagerbeziehungen
der
R-Körpertheorie aufstellen:
aïs auch über
genauer
Verzweigungskörpern
an
die in einem bestimmten
Menge aller
der
K = K.
ist
ver-
beginnenden Überlegungen
Lagebeziehungen
und den
hier
su
der
Aussagen gedacht
untersuchen,
Bewertung
über die
Verzweigungskörper
Verzweigungskörper,
K = Mp
v ~
(?p
Menge
enthalten
die einen bestimmten
p-Sylowkörper enthalten.)
BIBLIOGRAPHIE
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ENDLER (O.). - Bewertungstheorie unter Benutzung einer Vorlesung
Bonner mathematische Schriften, t. 15, 1963, n° 1 et 2.
[2]
KRULL (W.). - Zur Theorie der
math. Sem. Univ. Hamburg (à
[3]
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Gruppen
mit
paraître).
Untergruppentopologie,
von
W.
Krull,
Abhandl.