1) ¤¦ © 1 ¢© 1 2 + = © 1 2 ©"! ¢© 1 . # .W

2
= ( 1)
.
Als quadratische Irrationalität genügt einer quadratischen Gleichung
2
+
+ = 0; der Vektor 1 wird also von der quadratischen
2
2
+
annulliert. Da mit
+
auch alle Vielfachen
Form
dieses Vektors dieselbe Gleichung erfüllen, gilt dasselbe für den dazu
proportionalen Vektor
1 .
proportional zueinander.
1
und
1
1
2
1
2
$
(
#
+
=0
genügen. Diese Gleichung können wir uns explizit verschaffen, indem
wir
2+
1
=
2+
1
+
2
+
2
2
+
2
2
2
0
0
2
1
=
=
2
2
0
+
1
2
1
)
+
0
1
0
)
*
)
1
2
2
1
.
1
-)
)
,
)
1
)
"
"
6
--
3
././.
1 21
0
././.
6
6
!
6
)
6
-)
6
( ) .
-6
5
*
6
6
6
6
-)
6
.
( ) +
( ) . Somit
beschränkt durch eine
)
5
"
"
und
1. Somit ist
5
( ) +
4
2
1
Genauso zeigt man die Ungleichung
sind die Beträge der Koeffizienten
von unabhängige Konstante.
1
1
1
( )
2
1
,
+
,
Hierbei ist ( ) = 0, und
1
+
1
+
)
( )
--
= ( )+
+
1
2
eine quadratische Funktion ist, führt die TAYLOR-Entwicklung
auf die Formel
=
+
)
1
Da
um
und
2
0
=
in die Gleichung ( ) = 0 2 + 0 + 0 = 0 einsetzen und mit
dem Nenner multiplizieren. Zumindest für die Koeffizienten
und
ergeben sich einigermaßen erträgliche Formeln:
+
,
Daraus folgt die Gleichheit von (
2 +
1 )(
+
2 +
+
1)
und (
2 +
1 )(
+
2 +
+
1 ), und ausmultipliziert wird
dies zu einer quadratischen Gleichung für . Der Koeffizient von 2
ist
2 +
2 +
2 +
2 , was als Summe positiver Zahlen nicht
null sein kann; wir haben also eine echte quadratische Gleichung. Somit
läßt sich
in der Form = +
schreiben, und damit auch
+
2
1
.
=
2+
1
Beweis: Angenommen, hat eine periodische Kettenbruchentwicklung.
Dann gibt es ein und ein
0, so daß + =
ist. Nach der Formel
am Ende von 2 von Kapitel III ist daher
2+
1
+
+
2+
+
1
+
2+
+
1
=
=
.
=
+
+
+
2
1
+
+
2
+
1
+
2
+
1
,
Satz (LAGRANGE 1766): Die Kettenbruchentwicklung einer irrationalen Zahl ist genau dann periodisch, wenn eine quadratische Irrationalzahl ist.
*
Dies ist ein wesentlicher Schritt für den Beweis des folgenden Satzes:
Die Matrix zu dieser quadratischen Form sei . Wie wir aus dem vorigen
Paragraphen wissen, erfüllen die Komponenten von
dann die
1
quadratische Gleichung zur Form mit Matrix
, die zu der mit
äquivalent ist und somit dieselbe Diskriminante hat. Also haben alle
dieselbe Diskriminante wie , denn da Multiplikation mit
einen
2
definiert, sind die Einträge von genau dann
Isomorphismus 2
ganzzahlig und teilerfremd, wenn es die von
sind.
&
eine quadratische
Umgekehrt sei = +
mit quadratfreiem
Irrationalität, die der Gleichung 0 2 + 0 + 0 = 0 genüge. Dann zeigt
die Konstruktionsvorschrift für die , daß auch diese Zahlen sowie ihre
Inversen in entsprechender Form geschrieben werden können und damit
Gleichungen der Form
Somit sind die Vektoren
=
1
Kap. 5: Quadratische Formen
%&
det
und wie wir ebenfalls aus Kapitel III wissen, ist
Zahlentheorie SS 2007
'
(
*
Wie wir oben gesehen haben, hat
dieselbe Diskriminante wie ; die
Diskriminante
= 2
4
hängt also nicht ab von . Daher
folgen aus der obigen Schranken für
und
auch Schranken für
2
= +4
, so daß auch der Betrag von
beschränkt ist.
(
7
*
%&
$
#
7
" Zahlentheorie SS 2007
8
9
9
(
Somit gibt es nur endlich viele Tripel (
), also auch nur endmit
lich viele verschiedene Werte für . Es muß daher zwei Zahlen
1 geben derart, daß
= + ist, und die Kettenbruchentwicklung
wird spätestens ab der -ten Stelle periodisch.
9
:
%
;
;
;
%
;
;
;
A
"B
4
3
=
<=
3
<=
=
1
+
und
1
]=
1
=
1
1
+
1+ =
1 ist, im Widerspruch zur
= 0, die Kettenbruchentwicklung von
+
<
Umgekehrt habe eine rein periodische Kettenbruchentwicklung der
Periode mit Koeffizienten 0 1
. Wegen
= 0 ist dabei auch
mit
0
müssen
ja
positiv
sein. Somit ist
positiv,
denn
alle
0
insbesondere
1.
9
< <
<
Um zu sehen, daß zwischen 1 und 0 liegt, beachten wir, daß
dieselbe quadratische Gleichung erfüllt wie . Da diese Gleichung genau
9C
<
1] .
C
=[
A
<
<
<
0
< B
C
1 und
1
+
"B folgt dann aber, daß auch
Minimalität von . Somit ist
also rein periodisch.
+
=
]=[
"B <
0
A
B
<
1
A
< B
1
B
"B <
0
:A
ist. Aus den Gleichungen
+
B
wird, da 0 eine rationale Zahl ist, durch
.
nach Voraussetzung zwischen 1
1 Da
:
< B
1
:A
=[
1
A
+
B
< B
+
0 +
0
B
B
0
1
0.
Die Gleichung =
Konjugation zu =
und 0 liegt, ist somit
1
+1
1
0 gilt
< B
Beweis: Sei zunächst
1 und 1
0. Der Trick zum Beweis
der reinen Periodizität der Folge der besteht darin, die
= [1 ]
durch die konjugierten Elemente auszudrücken.
und
0.
< B
Satz: Die Kettenbruchentwicklung von
ist genau dann rein periodisch, wenn
1 ist und sein konjugiertes Element zwischen
1 und 0 liegt.
1+
1
1
1
2+
bei denen das nicht der Fall ist. Für eine rein periodische Kettenbruchentwicklung brauchen wir also noch zusätzliche Bedingungen:
2+
<=
,
@
Daraus folgt nun leicht die Periodizität der Kettenbruchentwicklung
von : Wir wissen bereits, daß sie periodisch wird; es gibt also irgendeinen Index
0 und eine Periode , so daß
für alle
+ =
. Wir betrachten das minimale
mit dieser Eigenschaft. Die
Kettenbruchentwicklung von ist genau dann rein periodisch, wenn
= 0 ist. Für
1 können wir aber aus
und + =
+ =
folgern, daß auch
@
1
+1
<=
1+
=
=
1
<=
4
3=1+
+
=
folgt wie im Fall = 0, daß = [
+1 ] ist, und da die Koeffizienten
für
0 bei jeder Kettenbruchentwicklung mindestens gleich eins
sind, folgt auch die Ungleichung für 1 +1 genau wie dort.
=
=
oder
1
1
2+
1
1. Aus
1
2+
<=
1
und
@
3
2+
+1 ]
=
Dazu nehmen wir an, dies gelte für
=[
1
:
3
=
2+
=
1
3
3
2+
1
@
3
1
1 folgt außerdem
>
2=1+
=[ ]
3
Der gerade bewiesene Satz charakterisiert Zahlen, deren Kettenbruchentwicklung periodisch wird; er besagt nicht, daß die Kettenbruchentwicklung einer quadratischen Irrationalität von Anfang an periodisch
ist, und in der Tat kennen wir ja Beispiele wie
0
<
Wir wollen induktiv zeigen, daß auch für alle
Wegen
Kap. 5: Quadratische Formen
?
3
3
>
=
9
<
E
<
D
1 = 0.
<
<
:
4
!
1) .
Dieser ist positiv, da sowohl die Folge der Zähler als auch die der Nenner
der Konvergenten von monoton steigt.
2
+(
3
2)
%
%&
9
3
1
2
.
1
.
2 2
13 32 = 4
13 332 = 4 .
112
;
I
& Zumindest a priori ist nicht klar, ob es überhaupt eine Konvergente gibt,
die auf eine Lösung der PELLschen Gleichung führt.
1 und 1192
;
13 52 =
13 22 =
9
182
72
9
13 = 3
9
42
9
;
=1
9
2
sein.
;
Umgekehrt liefert aber nicht jede Konvergente der Kettenbruchentwickeine Lösung der PELLschen Gleichung: Beispielsweise
lung von
hat
1
13 = 3 +
,
1
1+
1
1+
1
1+
1
1+
6+
die Brüche
7
11
18
119
4
1
2
3
5
33
als seine ersten Konvergenten, aber
Kettenbruchentwicklung von
;
;
2
nicht
somit eine Konvergente der
2
1
+
, also folgt
;
FHG
%&
Im letzten Kapitel hatten wir gesehen, daß eine Einheit +
von
2
die Gleichung 2
= 1 erfüllen muß. Hauptziel dieses Paragraphen ist die Lösung der PELLschen Gleichung
§6: Die Pellsche Gleichung
Damit ist der Satz vollständig bewiesen.
.
././
1
=(
././.
%&
1
2
+
%&
%&
2
!
1
0 an,
Nach dem Satz aus Kapitel III, 3 muß
2
%&
Hier nimmt die quadratische Funktion bei 0 den Wert
und an der Stelle -1 den Wert
= 0.
%&
1
2
3
2
%&
%&
+(
1
+
2
%&
=
2
%&
2
%&
=
=
3
1
=
) = 1,
Überkreuzmultiplikation macht daraus die quadratische Gleichung
und
%&
Für
2 verwenden wir die bereits im vorigen Satz benutzte Formel
aus Kapitel III, 2, und beachten, daß
= 1 ist. Dies führt auf die
Gleichung
2+
1
2+
1
=
=
.
+
+
2
1
2
1
+
1
Wegen der Positivität der rechten Seite ist
=
E
1 nimmt an der Stelle 0 den
0; somit gibt es eine Nullstelle
0
2
+
0
)(
Die quadratische Funktion
0
Wert 1 an, und bei = 1 den Wert 0
zwischen diesen beiden Punkten.
=
und damit ist
( +
1
+
%&
0
9
=
9
2
J
1
K
Faktorisierung der linken Seite der PELLschen Gleichung führt auf
= 1 ist
J
oder –da es auf das Vorzeichen von
2
.
Für
)
2
für (
)
ankommt– (
Kap. 5: Quadratische Formen
>
zwei Nullstellen hat und größer als eins ist, genügt es, wenn wir
zeigen, daß diese Gleichung im Intervall ( 1 0) eine Nullstelle hat. Das
wiederum folgt aus dem Zwischenwertsatz, wenn wir zeigen können,
daß die quadratische Funktion auf der linken Seite an den Stellen 0
und 1 Werte mit entgegengesetzten Vorzeichen annimmt.
Zahlentheorie SS 2007
>
& >
L
%&
Um hier mehr zu erfahren, müssen wir uns die Kettenbruchentwickim folgenden stets eine
lung von
genauer ansehen. Dabei sei
quadratfreie natürliche Zahl.
Zahlentheorie SS 2007
&
%&
%&
%&
%&
N
%&
M
N
%&
M
C
C
%&
<
<
9C
9
N
%&
M
N
%&
M
N
%&
M
N
%&
M
%&
<
%&
<
@:
<=
&
C
C
<
<
9C
9
<
%&
N
%&
M
<
<
4
" <
4
%&
<
9C
#
<"O
9
<"O
9
< O
"
N
%&
M
%&
<
O
C
C
<
O
O
O
O
O
O
O
O
+
<
2
O
=(
1 0)
+
1
9C
&
%&
1
%&
+
%&
1 0)
.
1
= ( 1)
2
1
2
+
= ( 1)
1
2
.
1
1
1 0
1 0
.
421 200 = 1 .
Allgemein haben wir gezeigt, daß die PELLsche Gleichung für jedes
quadratfreie
eine Lösung hat; zusammen mit dem Satz aus Kapitel IV, 6 folgt, daß die Einheitengruppe eines jeden reellquadratischen
;
+
=
13 32 400 = 421 201
2
1
1 0
;
(
%&
oder
C
9
+
%
0
& 1
C
<
9
+
9
13 1802 = 421 201
2
#
9
1
J
6492
+
K
Im Eingangsbeispiel
= 13 zeigt eine genauere Rechnung, daß sich
die Koeffizienten 1 1 1 1 6 periodisch wiederholen, wir haben also
die ungerade Periode fünf. Damit liefern die vierte, vierzehnte, vierundzwanzigste Konvergente der Kettenbruchentwicklung Lösungen der
2
= 1, was wir für die vierte bereits nachgerechnet
Gleichung 2
haben. Lösungen der PELLschen Gleichung liefern die neunte, neunzehnte usw. Konvergente. Die neunte Konvergente ist
649
1
13 = 3 +
=
,
1
180
1+
1
1+
1
1+
1
1+
1
6+
1
1+
1
1+
1
und in der Tat ist
9
0
A
&
1
O
Im Falle einer geraden Periode ist somit (
1
1 ) für jedes
eine Lösung der PELLschen Gleichung ; für ungerade Perioden
liefern nur die geradzahligen Vielfachen von Lösungen, während die
2
= 1 führen.
ungeradzahligen zu Lösungen der Gleichung 2
=
2
1
O
9
+
#
& 2
1
O
=
O
O
1
1
1, erhalten wir die Gleichung
B
2
B
<
& +
+
2
=
B
O
O
2
mit
1
B
&
O
9
=
O
Einsetzen in die obige Formel führt auf
O
B
O
Ist speziell =
ein Vielfaches einer Periode, hat 1
eine Kettenbruchentwicklung mit Koeffizienten
; nach dem
+1
+2
gerade bewiesenen Satz stimmt das überein mit der Folge 2 0 1 2
,
d.h.
1
= 0+
=
+
.
O
!
O
O
Bezeichnet
wieder die -te Konvergente dieser Kettenbruchentwicklung, so ist nach der schon oft benutzten Formel
2+
1
.
=
2+
1
O
<
Satz: Ist eine quadratfreie natürliche Zahl, so ist die Folge 0 1
der Koeffizienten der Kettenbruchentwicklung von
ab 1 periodisch.
Bezeichnet die Periode, so ist = 2 0 = 2
.
2
O
Setzen wir dies ein in die aus Kapitel III, 2, bekannte Formel
und
O
Die Kettenbruchentwicklung von
=
unterscheidet sich
von der von nur im ganzzahligen Anteil. Dieser ist im Falle von
gleich 2
, im Falle von
nur
. Danach folgen in beiden
1. Wegen = 0 = 2
gilt daher
Fällen die mit
&
1 0
<
1
<
Das konjugierte Element zu
ist
und somit kleiner als 1;
die Kettenbruchentwicklung von
ist also nicht rein periodisch.
=
+
, so ist natürlich
1. und
Betrachten wir aber
=
liegt zwischen 1 und 0. Somit hat eine rein
periodische Kettenbruchentwicklung. Die Periode sei und die Koeffi.
zienten seien 0 1
=
>
2
Durch Koeffizientenvergleich folgt:
Kap. 5: Quadratische Formen
P
&
!
%&
O
<
O
O
O
O
%&
<
O
O
>
Q
FRG
J
J
#
O
I
%&
4
%&
+
geschrieben werden,
Natürlich kann auch in der Form
eine Konvergente der Kettenbruchentwicklung von
wobei
ist. Da Zähler und Nenner der Konvergenten strikt monoton ansteigen
, für die
mit , handelt es sich hier um die erste Konvergente
2
2
= 1 ist.
4
%&
%
&
4
`
\
&
& I
B
&
A
B
TVU
T
S
W
YU
XU
SU
O
I
%&
%&
Z
^
F G
&
4
[]\
I
&
#
%&
%&
J
#
gerade bzw. ungerade ist.
a
die Periode
HELMUT HASSE: Vorlesungen über Zahlentheorie, Springer, 2 1964.
!
Bleibt die Frage, für welche
&
Wie eine genauere Untersuchung zeigt, ist dies genau dann möglich,
wenn
5 mod 8, jedoch nicht für alle solche . Wenn es eine
,
Grundeinheit dieser Form gibt, liegt ihre dritte Potenz in
der Kettenbruchalgorithmus gibt dann also nur die dritte Potenz der
Grundeinheit. Einzelheiten findet man beispielsweise in 16, 5D des
Buchs
^
Wenn wir dieses Ergebnis akzeptieren, können wir die Einheitengruppe eines jeden reellquadratischen Zahlkörpers [
] explizit berech1 mod 4: Dann ist
=
, so daß
nen, zumindest für
die Einheiten genau den ganzzahligen Lösungen der beiden Gleichun2
= 1 entsprechen. Ist die Periode der Kettenbrugen 2
und
die (
1)-te Konvergente, so ist
chentwicklung von
= +
die Grundeinheit, und jede andere Einheit läßt als
mit einem
schreiben. Für gerades sind dies alles Einseinheiten,
für ungerades bekommen wir für gerade Einseinheiten und sonst
Einheiten der Norm 1.
%&
im Kapitel über LAGRANGE im (nur im Inhaltsverzeichnis benannten) Paragraphen Lösung
der Fermatschen (Pellschen) Gleichung ab Seite 64. Es gibt zwar Rückverweise, aber wer
den obigen Beweis verstanden hat, muß nur einem wirklich folgen. Zu beachten sind die
ist
unterschiedlichen Bezeichnungen: Was hier heißt, ist dort , aber das dortige
. Die hießigen
werden dort mit
bezeichnet.
hier 1
;
+ 3 13 = 1 .
WINFRIED SCHARLAU, HANS OPOLKA: Von Fermat bis Minkowski – Eine Vorlesung über
Zahlentheorie und ihre Entwicklung, Springer, 1980
&
1
2 (11
9
Wer sich für diese Rechnungen interessiert, findet sie zum Beispiel in
N
\
Mit Rechnungen, die sehr ähnlich zu den obigen sind, kann man zeigen,
2
daß die oben gefundenen Indizes
mit 2
= 1 tatsächlich
die einzigen sind mit dieser Eigenschaft. Da wir schon viel mit Kettenbrüchen gerechnet haben und es noch viele andere interessante Teilgebiete der Zahlentheorie zu entdecken gilt, möchte ich auf diese Rechnungen verzichten.
Die zweite Frage ist: Was passiert für
1 mod 4? Wie wir wissen,
sind dann auch die Zahlen 12 ( +
) für ungerade ganze Zahlen
ganz, es kann also auch Einheiten dieser Form geben. In der Tat haben
wir beim Eingangsbeispiel = 13 bereits solche Fälle kennengelernt:
Für die dritte Konvergente 11 4 ist 112 13 32 = 4, d.h.
Diese Frage muß nicht nur in dieser Vorlesung unbeantwortet bleiben:
Es handelt sich hier um eines der vielen zahlentheoretischen Probleme,
die trotz jahrhundertelanger Bemühungen auch heute noch offen sind.
Kap. 5: Quadratische Formen
>
Zahlkörpers unendlich ist und daß es speziell für die Gruppe der Einheiten mit Norm eins (der sogenannten Einseinheiten) ein Element
gibt, so daß jede Einseinheit in der Form
mit einem
geschrieben werden kann. ist die kleinste Einseinheit größer eins.
Zahlentheorie SS 2007
_
&
r
D
p
o
+
,
b
\
K
D
2
hat den Kern +1 1 , also besteht das Bild aus
quadratischen Resten.
q
2
Elementen, den
s<
d
D
J
c
d
d
d
D
D
0
d
e
<
d
D
<
f 0
g 0 f
J
D
D 9 c
0
0
0
c
0
<
g 0
f
D
s
<
;
,
+
=
1
t
.
1
2
#
D
D
g 0
f
J
D
g 0
f
. Dann ist offensichtlich
Beweis: sei ein erzeugendes Element von
jede Potenz
mit geradem ein quadratischer Rest, und da es genau
1
2 verschiedene solcher Potenzen gibt, sind das auch alle quadratigenau dann ein quadratischer Rest, wenn
schen Reste. Somit ist
gerade ist.
ist
d
Lemma(EULER): Für ungerades
D
ist und
Trivialerweise ist das Produkt zweier quadratischer Reste wieder ein
quadratischer Rest. Ist = 2 ein quadratischer Rest und ein Nichtrest,
so ist auch
ein quadratischer Nichtrest, denn wäre
= 2 , wäre
1 2
=(
) ein quadratischer Rest. Da Multiplikation mit injektiv ist,
folgt, daß sich jeder quadratische Nichtrest in der Form darstellen läßt,
wobei ein quadratischer Rest ist. Damit folgt, daß das Produkt zweier
quadratischer Nichtreste ein quadratischer Rest ist, denn
= 2 ,
wobei und Quadrate in
sind.
9
d
ds
ADRIEN-MARIE LEGENDRE (1752–1833) wurde in Toulouse oder Paris geboren; jedenfalls ging er in Paris zur
Schule und studierte Mathematik und Physik am dortigen Collège Mazarin. Ab 1775 lehrte er an der Ecole
Militaire und gewann einen Preis der Berliner Akademie für eine Arbeit über die Bahn von Kanonenkugeln.
Andere Arbeiten befaßten sich mit der Anziehung von
Ellipsoiden und der Himmelsmechanik. Ab etwa 1785
publizierte er auch Arbeiten über Zahlentheorie, in denen er z.B. das quadratische Reziprozitätsgesetz bewies
sowie die Irratinalität von und 2 .
1
= 1 , und 1 = 12 ist ein quadratischer Rest.
o
d
Sind
zwei modulo kongruente natürliche Zahlen, so ist offensichtlich
=
. Wir haben daher auch für
ein wohldefiniertes
LEGENDRE-Symbol
, das durch die Vorschrift 0 = 0 auf ganz
fortgesetzt wird.
2
p
ungerade. Der Homomorphismus
= 2 ist
f
Sei nun
Beweis: Für
g
0
Im ersten Fall bezeichnen wir als quadratischen Rest modulo , andernfalls als quadratischen Nichtrest. Für eine durch teilbare Zahl
setzen wir
= 0.
jmn
g 0
f
mod
;
Dq
g 0
f
2
g 0
f
i jml
k
gibt mit
falls es ein
sonst
+
,
D
+1
1
+
=
9
0
Definition: Für eine Primzahl und eine nicht durch teilbare natürliche Zahl ist das LEGENDRE-Symbol
o
,
§1: Das Legendre-Symbol
Für = 2 ist dies der triviale Homomorphismus, für ungerade ist er
surjektiv. Insbesondere gibt es dann jeweils 2 1 quadratische Reste und
Nichtreste.
p
Kapitel 6
Quadratische Reste
>
Lemma: Das LEGENDRE-Symbol definiert einen Gruppenhomomorphismus
+1 1
:
.
Kap. 6: Quadratische Reste
'
#
Ou
Ou
u
0
h
h
0
v
>
8
v
0
u
0
u
u
u
O
Oa
t
Ou
t
D
t
1
1
`
u
1
Ou
D
D
\
b
+
\
t
1
,
t
w
t
,
+
9
+
,
1
,
+
1
1
N 0
g 0
f
=
=1
; dann ist 0
und
#=
=
#=
d ~
\
o
p
y
y
x
ƒ
{
{
=
‚
@
‚
C
9
C
9C
9
p
C
9
y
C
y 9C
o
z
C
9
C
9C
9
y
y
=
=
z
[
1
2
;
=
1
{
+
,
2
=
+
+1
2
=
;
;
@
B
‚
=
A
z
x
ist, d.h.
D
9
D B
"
9
C
C
9C
o
D
DB
9
C
C
9C
z
+
d 9
C
C
9C
y
y
d
( + 1)
=
2
9C
{
‚
B
=1
=
=
2
2
+
, ist also
C
‚
=1
=
= ( 1)
. Falls
C
‚
=1
d
+
= 1
p
1
o
1
2
=
ist
( 1)
8
1
8
1
=1
8
2
1
mod
.
.
+
=
+
modulo
= 2 zugelassen. Für
und
Außerdem wissen wir aus dem ersten Schritt, daß
( + 1)
2
=1
=
=1
@
=
D=
+ )+
(
‚
=1
‚
Andererseits ist
„
+
B
=1
=1
d‡=
;
9
x
{
y
d 9
C
C
9C
{}|
=1
=
O…
d ~
kongruent ist zu einem negativen Element
falls
0 ist dagegen = . Somit ist
sei
=
02 †
D~
y
mod .
M =
p
@
( )= !
2
A
d
D
1
+
5
1

Im Beweis sei zunächst auch noch der Fall
mit
#=
J
=
Beweis: 1
seien die negativen Elemente von , die zu Elementen aus kongruent sind, 1
die positiven. Dann ist
,
=
x
kongruent sind zu einem negativen
= ( 1)
{}‚
3
D=
von bezeichnet, die modulo
Element von .
!.
2. Schritt (GAUSS): Für zwei ungerade Primzahlen
@
=
B
‚
die Anzahl jener Elemente
D=
ƒ
O…
N 0
#=
=1
=
= ( 1) , wobei
D=
Vergleich mit der obigen Konguenz zeigt, daß dann
ist, also nach dem vorigen Lemma
= ( 1) .
\
0
20 †
Primzahl. Dann ist
d =
„
M =
‚
1. Schritt (GAUSS): sei eine beliebige Primzahl und = eine ungerade
D=
d ~
2
2
;
D~
2
Weiter sei =
verschiedene Elemente von
d ;
;
;
+
.
2
. Da und teilerfremd sind, haben zwei
verschiedene Restklassen modulo .
\
D"B
;
;
;
D
B
,
@
1
d ~
d
[
@
=
\
.
mit
d ~
{
5
1 1
d ~
y
=
€
Zum Beweis betrachten wir ein zum Nullpunkt symmetrisches Vertrein , nämlich
tersystem von
€
B
t
1
Quadratisches Reziprozitätsgesetz: Für zwei verschiedene ungerade
ist
Primzahlen
2 1
(
1)(
1)
2
= ( 1) 4
= ( 1) 8 .
und
D=
§2: Das quadratische Reziprozitätsgesetz
@
5
= ( 1)
y
1 mod 4
.
3 mod 4
5
+ 1 falls
1 falls
B
1
y
y
1
Korollar: Für ungerades ist
1
1
= ( 1) 2 =
D=
genau dann gleich eins, wenn ein quadratischer Rest ist, und 1 sonst.

= ( 1)
D~
1
€
2
[
=
6
1
6
9
5
2
./.
d ~
./.
=( )
y
Natürlich sind und
für = zwei verschiedene Zahlen, genauso
=
sein, denn sonst wäre
auch und . Außerdem kann auch nie
,
einerseits + = 0, andererseits gäbe es aber Zahlen 1
so daß
und
mod . Also wäre ( + ) durch teilbar,
was nicht möglich ist, denn +
2 =
1. Damit sind die Beträge
der und der genau die Zahlen von 1 bis , d.h.
€
2
Kap. 6: Quadratische Reste
L
1
Da ein erzeugendes Element ist, kann ( 1) 2 nicht gleich eins sein;
1
= 1 ist,
da nach dem kleinen Satz von FERMAT aber sein Quadrat
( 1) 2
folgt
= 1. Für = ist somit
Zahlentheorie SS 2007
?
d‡=
;
@
=
d =
=
D=
=
\
=
d ;
;
;
D"B
;
;
;