Aufgabenblatt 5 - geometric analysis

Prof. Dr. Klaus Ecker
Fachbereich Mathematik und Informatik
Freie Universität Berlin
26.11.2015
Abgabe: 3.12.2015
10.00 Uhr, Tutorenfächer
Aufgabenblatt 5
zur Analysis I
17. Konvergenz von Zahlenfolgen II
(2+2 Punkte)
(i) Sei (an )n∈N eine reelle Zahlenfolge mit lim an = a für ein a ∈ R. Zeigen Sie
n→∞
lim An = a für An :=
n→∞
a1 + a2 + . . . + an
.
n
(ii) Geben Sie ein Beispiel für eine nicht konvergenten Folge (an )n∈N , für welche aber die
Folge (An )n∈N konvergiert.
18. Grenzwert einer rekursiv definierten Folge
(2+2 Punkte)
Sei 0 < a1 < b1 . Wir definieren rekursiv
an+1 :=
p
an bn ,
bn+1 :=
an + bn
.
2
(i) Zeigen Sie, dass (an )n∈N und (bn )n∈N konvergent sind.
(ii) Zeigen Sie, dass beide Folgen den gleichen Limes haben.
Hinweis: Satz über monotone Folgen!
19. Limes inferior und limes superior
(2+2+2 Punkte)
Sei (xn )n∈N eine beschränkte Folge reeller Zahlen. Wir setzen
yn := sup {xn , xn+1 , xn+2 , . . .} .
(i) Zeigen Sie, dass die Folge (yn )n∈N konvergiert.
Der Limes lim yn wird mit
n→∞
lim sup xn
n→∞
oder limn→∞ xn
bezeichnet und heißt Limes superior der Folge (xn )n∈N .
(ii) Geben Sie eine entsprechende Definition für den Limes inferior der Folge (xn )n∈N :
lim inf xn
n→∞
oder
limn→∞ xn .
(iii) Berechnen Sie den Limes inferior und den Limes superior der Folge
1
n
(xn )n∈N gegeben durch xn := (−1) 1 +
.
n
Bitte wenden!
(1 + 1 ∗ + 1 + 1 ∗ Punkte)
20. Äquivalenz von Konvergenzaussagen
(i)
Leiten Sie das Intervallschachtelungsprinzip aus dem Satz über monotone Folgen her.
(ii)∗ Leiten Sie die Aussage des in der Vorlesung angegebenen Vollständigkeitsaxioms aus
dem Intervallschachtelungsprinzip her.
(iii)
Beweisen Sie den Satz über monotone Folgen mit Hilfe des Satzes von Bolzano Weierstraß.
(iv)∗ Beweisen Sie den Satz von Bolzano -Weierstraß mit Hilfe des Cauchyschen Konvergenzkriteriums.
Also sind folgende fünf Aussagen äquivalent:
(1) Jede monotone und beschränkte Folge reeller Zahlen ist konvergent (Satz über monotone Folgen).
(2) Jede Folge von abgeschlossenen Intervallen (In )n∈N in R mit In+1 ⊂ In für alle n ∈ N
hat einen nichtleeren Durchschnitt (Intervallschachtelungsprinzip).
(3) Jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge von reellen Zahlen hat eine kleinste
obere Schranke (Vollständigkeitsaxiom aus der Vorlesung).
(4) Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge (Satz von
Bolzano - Weierstraß).
(5) Jede reelle Cauchyfolge konvergiert (Cauchyfolgenkriterium).
Denn nach (i) gilt
(1)
=⇒
(2),
(2)
=⇒
(3).
ferner nach (ii)
In der Vorlesung wurde gezeigt, dass man mit dem Vollständigkeitsaxiom den Satz über
monotone Folgen beweisen kann. Also gilt weiter
(3)
=⇒
(1).
Damit sind (1) bis (3) untereinander äquivalent. Der Satz von Bolzano -Weierstraß wurde
in der Vorlesung anhand von (1) bewiesen. Zusammen mit (iii) gilt
(1)
⇐⇒
(4).
Das Cauchyfolgen-Kriterium wurde in der Vorlesung mit Hilfe von (4) bewiesen. Zusammen
mit (iv) ergibt dies
(4) ⇐⇒ (5).
Insbesondere könnte man bei der Definition von Vollständigkeit eines geordneten Körpers
das Vollständigkeitsaxiom aus der Vorlesung durch eine der Aussagen (1), (2), (4) oder (5)
ersetzen.