Willkommen zur Analysis I

Analysis I
SS 2012
Prof. Dr. Hans-Jürgen Schuh
Dr. Axel Stäbler
Übungsblatt 1
23.4.2012
Willkommen zur Analysis I
Es wird pro Woche jeweils Montags ein neues Übungsblatt geben. Der Abgabetermin ist in der
Regel jeweils der darauffolgende Montag bis 12 Uhr. Ihre (zusammengetackerte!) Abgabe werfen
Sie bitte in den für Ihre Übungsgruppe vorgesehenen Kasten im 4. Stock des Mathematikgebäudes.
Sie dürfen maximal in Zweiergruppen abgeben. Alle Mitglieder einer solchen Gruppe müssen die
selbe Übungsgruppe besuchen. Sie sollten nach Aufforderung in der Lage sein, ihre Lösung in der
Übung an der Tafel zu präsentieren.
Weitere aktuelle Informationen zum Übungsbetrieb (und aktuelle Übungsblätter) finden sie
auf http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/staebler/analysis-ss12. Dazu wie
man ein Übungsblatt bearbeitet gibt es einen hervorragenden Text von Prof. Dr. Manfred Lehn:
http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/uebungsblatt.
Aufwärmaufgaben
Aufgabe A
Seien A, B, C Mengen. Zeigen Sie folgende Aussagen:
(a) Wenn B ⊆ A und C ⊆ B, dann auch C ⊆ A.
(b) Wenn A ∩ B = ∅ und C ⊆ B, dann auch C ∩ A = ∅.
(c) Wenn B ⊆ A und C ∩ B 6= ∅, dann auch C ∩ A 6= ∅.
Aufgabe B
Seien A, B Mengen. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
(i) A ⊆ B.
(ii) A ∩ B = A.
(iii) A ∪ B = B.
Aufgabe C
Verneinen Sie folgende Aussagen.
(a) Alle Zahlen sind gerade.
(b) Es gibt ein Übungsblatt mit dem jeder Student zufrieden ist.
(c) Es gibt kein Übungsblatt mit dem jeder Student zufrieden ist.
bitte wenden
Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe 1 (4 Punkte) Sei G eine beliebige Menge, I 6= ∅ eine Indexmenge und (Ai )i∈I eine Familie von Teilmengen von G, also Ai ⊂ G für i ∈ I. Beweisen Sie die sogenannten de Morgan’schen
Regeln:
!
!
\
[
[
\
{G
Ai =
{G (Ai ),
{G
Ai =
{G (Ai ).
i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
(Hierbei bezeichnet {G (B) := G \ B für eine Teilmenge B ⊂ G das Komplement von B in G.)
Aufgabe 2 (6 Punkte) Seien A, B, C und D Mengen. Entscheiden Sie in den folgenden Fällen,
ob die jeweilige Aussage stets wahr oder evtl. falsch ist, und geben Sie jeweils einen Beweis oder
ein möglichst einfaches, konkretes Gegenbeispiel an:
(1) (A ∩ C) × (B ∩ D) = (A × B) ∩ (C × D).
(2) (A ∪ C) × (B ∪ D) = (A × B) ∪ (C × D).
(3) A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C).
Aufgabe 3 (4 Punkte) Entscheiden (d. h. also beweisen oder widerlegen) Sie ob folgenden Relationen auf R Äquivalenzrelationen sind oder nicht:
(a) x ∼ y
:⇐⇒
0 ≤ x − y < 1.
(b) x ∼ y
:⇐⇒
x − y ∈ Z.
Aufgabe 4
(6 Punkte) Geben1 Sie jeweils eine Menge M und eine Relation R auf M an, sodass
(a) R reflexiv und symmtetrisch aber nicht transitiv ist.
(b) R symmtetrisch und transitiv aber nicht reflexiv ist.
(c) R reflexiv und transitiv aber nicht symmetrisch ist.
Abgabe der Aufgaben: Bis zum 30.4.2012, 12 Uhr in die jeweiligen Kästen im 4. Stock des
Mathematikgebäudes (neben der Fachschaft).
1 Das
heißt natürlich, dass jeweils zu beweisen ist, dass die behaupteten Eigenschaften auch gegeben sind.