1. Informationen zum Praktikumsablauf (Medizin)

Physikalisches Praktikum für Studierende der
Medizin
Hinweise und Erläuterungen
zum Physikalischen Praktikum
Universität Hamburg
Fachbereich Physik
Name:
Gruppe:
SS 2006
Wissenschaftliche Leitung:
Prof. Dr. C. Hagner
Dr. Uwe Holm
Dr. H. Salehi
Technische Leitung:
Dipl.-Ing. Jürgen Hauk
Stand: 6. April 2006
Hinweise zum Physikalischen Praktikum
Seite - 3 -
Inhalt
1. INFORMATIONEN ZUM PRAKTIKUMSABLAUF ............................................................. 4
2. REGELN ZUM VERFASSEN EINES PHYSIKALISCHEN PROTOKOLLS .................... 6
3. BASISGRÖßEN UND BASISEINHEITEN DES SI - SYSTEMS........................................... 7
4. DEZIMALE VIELFACHE UND TEILE VON EINHEITEN (VORSÄTZE) ....................... 7
5. GRAFISCHE DATENAUSWERTUNG ................................................................................... 8
5.1. GRAFISCHE REGRESSION ....................................................................................................... 8
5.2. LOGARITHMISCHE DARSTELLUNGEN ..................................................................................... 9
6. STATISTIK UND FEHLERBEHANDLUNG ........................................................................ 10
6.1. MITTELWERT EINER MESSREIHE .......................................................................................... 10
6.2. STANDARDABWEICHUNG DER EINZELMESSUNG .................................................................. 11
6.3. STANDARDABWEICHUNG DES MITTELWERTES .................................................................... 12
6.4. FEHLERFORTPFLANZUNG BEI EINFACHEN BEISPIELEN ......................................................... 13
7. ERGÄNZUNGEN ZUM VERSUCH „RADIOAKTIVITÄT“ .............................................. 15
7.1. STRAHLENBELASTUNGEN .................................................................................................... 15
7.2. STRAHLENKRANKHEITEN .................................................................................................... 15
7.3. GRENZWERTE ...................................................................................................................... 16
7.4. ABSCHÄTZUNG DER ÄQUIVALENTDOSIS BEIM UMGANG MIT DER –QUELLE ...................... 16
8. ANHANG ................................................................................................................................... 17
8.1. PHYSIKALISCHE GRÖßEN UND DEREN EINHEITEN ................................................................ 17
8.2. AUSWAHL PHYSIKALISCHER KONSTANTEN ......................................................................... 18
8.3. GRIECHISCHE BUCHSTABEN ................................................................................................ 19
9. NETZE ....................................................................................................................................... 20
3
Seite - 4 Hinweise zum Physikalischen Praktikum
1. Informationen zum Praktikumsablauf (Medizin)
Das Praktikum umfasst 5 Versuche, die Propädeutik-Klausur und die Abschlussklausur
für das SS 2006.
Die 5 Versuche sind in ihrem Schwierigkeitsgrad leicht gestaffelt. Fertigkeiten, die Sie in
den ersten Versuchen bezüglich des Umganges mit Messgeräten und der Behandlung
von Messwerten sowie im Umgang mit physikalischen Größen erworben haben, sind für
spätere Versuche notwendige Voraussetzungen.
Jeweils zwei Praktikumsteilnehmer/innen bearbeiten einen Versuch gemeinsam.
Während der Versuchsdurchführung sind die Fragestellungen, Aufbau und Ablauf der
Messungen, die Messwerte und die daraus abgeleiteten Messergebnisse sorgfältig zu
protokollieren. Jede/r Studierende führt ein eigenes Protokoll.
Nach Abschluss der Praktikumszeit wird für die unmittelbar während der Versuchsdurchführung protokollierten Messwerte von der/dem Assistentin/ten ein Vortestat
erteilt, wenn alle Teilaufgaben des Versuchs vollständig bearbeitet wurden. Eine sachlich
fachliche Gültigkeit der Messwerte ist damit noch nicht bestätigt und verbleibt in Ihrer
Verantwortung. Nach der Versuchsdurchführung wird mit der Auswertung der
Messergebnisse begonnen, sofern es die Praktikumszeit gestattet.
Nach vollständiger Darstellung des Versuchs im Protokollheft und richtiger Lösung aller
dazu gehörenden Aufgaben wird dafür das Haupttestat erteilt. Hierfür muss das
Versuchsprotokoll spätestens am folgenden Praktikumstag unter Beigabe der
vortestierten Messwerte vorgelegt werden. Spätere Abgaben sind nur in sachlich
begründeten Fällen nach Absprache mit der Praktikumsleitung zulässig. Eine Abgabe
ohne beigegebene Messwerte ist nicht zulässig.
Ein Punktesystem dient zur Leistungsbewertung:
Es werden für jeden der 5 durch Haupttestat abgeschlossenen Versuche
maximal 8 Punkte vergeben. Jeder Versuch, der mit mindestens vier
Punkten bewertet wurde, erhält das Endtestat. Der praktische Teil gilt als
bestanden, wenn alle Versuche das Endtestat bekommen haben und
insgesamt 28 Punkte erreicht wurden.
Die Klausuren gelten als bestanden, wenn 50% der m insgesamt
möglichen Punkte aus beiden Klausuren erreicht werden.
Der Praktikumsschein wird erteilt, wenn der praktische Teil und die
Klausuren bestanden wurden.
Bei Versuchen, die wegen zu geringer Bewertung kein Endtestat erhalten haben, besteht
die Möglichkeit, den Versuch nach Terminabsprache zu wiederholen.
Für Protokolle, die mit nicht selbsttätig ermittelten Messwerten ausgewertet wurden,
wird kein Endtestat erteilt; eine Versuchswiederholung ist ausgeschlossen.
Wird das Praktikumsziel allein durch unzureichende Punktzahl der Klausuren nicht
erreicht, so können Sie die Klausuren in den nächsten Semestern wiederholen.
Physikalisches Praktikum für Studierende der Medizin
Hinweise zum Physikalischen Praktikum
Seite - 5 -
Voraussetzungen
Zur Durchführung des Praktikums benötigen Sie den Abiturstoff in Physik und
Mathematik. Sie müssen sich auf jeden Versuch gründlich vorbereiten, da Ihre
Teilnahme sonst nicht erlaubt ist.
Die wichtigste Voraussetzung für die erfolgreiche Versuchsdurchführung ist die
Vorbereitung: Jede/r Praktikumsteilnehmer/in hat sich mit den Grundlagen des zu
bearbeitenden Versuches vor Beginn des Praktikums ausgiebig vertraut zu machen.
Die AssistentInnen überprüfen das zu Beginn des Praktikums mit Hilfe von Testfragen.
Mangelhafte Vorbereitung wird zu Punktabzug führen oder den Ausschluss vom
Praktikumstag zur Folge haben.
Diesen „Hinweisen und Erläuterungen “ ist das Skript „Grundlagen zu den
Versuchen“ beigegeben. Es beinhaltet die physikalischen Inhalte und die durchzuführenden Versuche des Physikalischen Praktikums. Das Skript ersetzt allerdings kein
Lehrbuch der Physik, sondern ist vielmehr als Einstieg in die Versuchsinhalte und als
Leitfaden für das Literaturstudium vorgesehen. (Literaturvorschläge erhalten Sie in der
Physikvorlesung oder bei Ihren PraktikumsassistentInnen.)
Für die Protokollierung und Auswertung der Messwerte benötigen Sie fünf karierte
DINA4 Hefte (keine Ringheftung wie bei College–Blöcken). In diesen Heften werden die
von Ihnen protokollierten Messwerte vortestiert. Weiter benötigen Sie für die grafische
Darstellung vom Messwerten zumindest einen Block mit linearen Netzen (sog.
„Millimeterpapier“). Die für diese Art der Auswertung ebenfalls oft notwendigen
logarithmischen Netze sind diesem Skript als Vorlagen beigegeben (ab Seite 20), so dass
Sie sich diese bei Bedarf kopieren können. Die grafischen Darstellungen kleben Sie in die
Hefte zu Ihren Auswertungen hinein. Der Umgang mit den Heften hat nach den Regeln
für den Umgang mit Dokumenten zu geschehen, d.h. insbesondere werden keine Blätter
herausgerissen und keine Messwerte mit Bleistift protokolliert. Die Hefte sind bis zur
Scheinausstellung von Ihnen als Beleg für ihre Versuchsdurchführungen zu verwahren.
Zur praktischen Arbeit sollten Sie u.a. einen wissenschaftlichen Taschenrechner und ein
Geodreieck mitbringen. Ein Kittel ist nicht erforderlich.
Unterstützung
Neben dem Praktikum besteht die Physikausbildung aus der Vorlesungen „Experimentalphysik für Studierende der Medizin“.
Zu Beginn eines jeden Praktikumstages geben Ihnen die AssistentInnen eine Einweisung
über den Umgang mit den Geräten des Versuches und besprechen mit Ihnen kurz die
theoretischen Grundlagen. Hier besteht für Sie die Möglichkeit, noch offen gebliebene
Fragen im Gespräch zu klären.
Schlussbemerkung
In den Versuchsräumen darf nicht gegessen, getrunken und geraucht werden. Verlassen
Sie nach Beendigung eines jeden Versuches den Praktikumsplatz aufgeräumt!
Haben Sie einen Versuch versäumt oder einen Abgabetermin nicht eingehalten, so
müssen Sie den Versuch nachholen. Vereinbaren Sie dazu einen besonderen Termin mit
der Technischen Leitung des Praktikums.
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Seite - 6 Hinweise zum Physikalischen Praktikum
2. Regeln zum Verfassen eines physikalischen Protokolls
 Für die Protokollierung und Auswertung der Messergebnisse benötigen Sie fünf Hefte
im DIN A4-Format, von denen Sie eines für die Protokollierung der Messwerte zu
jedem Praktikumstag verfügbar haben müssen. Nicht dokumentenecht erfasste
Messwerte (Bleistift, lose Blätter) sind nicht testatfähig.
 Für die Erfassung von Messergebnissen ist es oft sinnvoll, eine Tabelle zu entwerfen,
deren Spalten oder Zeilen den Messgrößen und ggf. Zwischenergebnissen zugeordnet
werden. Sie sollten sich vor dem Versuch überlegen, welche physikalischen Größen
Sie messen werden und mit welchen Zwischenergebnissen Sie Ihre Auswertung
erleichtern können. Manchmal werden auch die Ergebnisse in die Tabelle mit
aufgenommen, wenn diese in entsprechender Anzahl vorliegen.
 Bei der Protokollierung von Messwerten in Tabellen müssen Sie darauf achten, dass
keine physikalischen Inhalte verloren gehen oder verändert werden. Üblich ist es,
Einheiten und Vorsätze im Tabellenkopf zu notieren. Über die Nomenklatur geben
Ihnen die Bemerkungen unter Punkt 8.1. Auskunft. Es dürfen nur selbständig
ermittelte Messwerte protokolliert und bearbeitet werden.
 Sind besondere Netze zur grafischen Darstellung der Messwerte nötig, so werden
diese von Ihnen in die Versuchshefte eingeklebt.
 Alle Eintragungen (Messwerte, Texte, Grafiken) müssen dokumentenecht vorgenommen werden, d. h. kein Bleistift, kein Radieren, „Killen“ oder überkleben!
 Die Verwendung von Textverarbeitungsprogrammen ist erlaubt. Ausdrucke werden
ins Protokollheft eingeklebt. Computerausdrucke von Grafiken sind nicht gestattet!
 Das Protokoll ist in Form und Inhalt allgemeinverständlich zu verfassen. Eine
beliebige (physikalisch gebildete) Person sollte nach Studium der Versuchsanleitung
und des angefertigten Protokolls in der Lage sein, den Versuch auszuführen und zu
verstehen. Kurze und knappe Beschreibungen und Kommentare zum Versuch sind
auszuführen. Dazu geben die AssistentInnen genauere Informationen.
 Keine physikalische Größe ohne Einheit ! Die Aussage „Die Spannung U beträgt:
U = 20“ ist ebenso wertlos wie die Aussage „Die Spannung U beträgt: U = V“.
 Wenn ein Endergebnis aus einem Mittelwert besteht, ist grundsätzlich auch die
Standardabweichung des Mittelwertes (Mittlerer Fehler des Mittelwertes) erforderlich.
 Viele Dezimalstellen bei aus Messwerten berechneten Größen täuschen oft eine
Messgenauigkeit vor, die durch die verwendete Messmethode nicht erreicht werden
kann. Lösung: Sinnvoll auf– bzw. abrunden !
 Grafiken sind mit Bildunter– bzw. Bildüberschrift zu versehen. Es genügt nicht:
„Graph von Versuch 10“, richtig ist z. B. „Viskosität von Wasser als Funktion der
Temperatur“ zu schreiben. Auch Tabellen bedürfen einer Untertitelung.
 Keine „Fieberkurven“ zeichnen. Richtig ist, eine ausgleichende Kurve zu zeichnen.
 Messpunkte werden durch dokumentenechte Kreuze gekennzeichnet.
 Am Schluss wird ein kurzes Resümee gezogen. Ist der Versuch gelungen? Wurden
gute Ergebnisse erzielt? Verfälschten Fehlerquellen das Ergebnis? Fehlerquellen gibt
es immer, z. B. Reibung, Temperaturschwankungen, idealisierte Zusammenhänge
zwischen physikalischen Größen, die im Versuch nur näherungsweise erfüllt sind.
 Beachten Sie den Aushang zur Punktevergabe der Protokolle.
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Hinweise zum Physikalischen Praktikum
3. Basisgrößen und Basiseinheiten des SI - Systems
Eine physikalische Größe setzt sich immer zusammen aus dem Produkt von Zahlenwert
und physikalischer Einheit:
Beispiel: Brennweite f = 6,73 m
Dabei ist „f “ das Formelzeichen für die physikalische Größe „Brennweite“; „6,73“ ist der
Zahlenwert und „m“ ist das Einheitenzeichen für die Einheit „Meter“. Damit Werte
physikalischer Größen vergleichbar werden, legt das internationale Einheitensystem SI
(International System of Units; Système International d` Unités) sieben physikalische
Basiseinheiten fest:
Basisgröße
Name
Zeichen
Länge
Zeit
Masse
Stoffmenge
Elektrische Stromstärke
Thermodynamische Temperatur
Lichtstärke
Meter
Sekunde
Kilogramm
Mol
Ampere
Kelvin
Candela
m
s
kg
mol
A
K
cd
Tab. 1: Basiseinheiten im SI - System
Alle anderen Größen werden aus Produkten und Quotienten der sieben Basisgrößen
gebildet. Die Anzahl der physikalischen Größen ist grundsätzlich beliebig; sie wird
durch messtechnische und didaktische Gesichtspunkte bestimmt. Es gibt auch Einheiten
außerhalb des SISystems, die weit verbreitet sind (Minute, Stunde, Hektar, Tonne, Liter,
Bar, Torr, Grad Celsius, Elektronenvolt, ). Einheiten aus dem CGSSystem
(Zentimeter, Gramm, Sekunde) sollte man besser vermeiden!
4. Dezimale Vielfache und Teile von Einheiten (Vorsätze)
Die untenstehende Tabelle 2 zeigt international eingeführte Vorsätze für Einheiten. Sie
bezeichnen dezimale Vielfache oder Bruchteile einer Einheit und werden verwendet, um
besonders große oder kleine Zahlen darzustellen. So wird der Wellenlängenbereich des
sichtbaren Lichtes mit ca. 400nm–800nm angegeben, also 400  10 9 m  800  10 9 m .
In Tabelle 2 wird die Exponentenschreibweise benutzt wie sie beim Taschenrechner
Anwendung findet: es steht z. B. 1 E 12 für 11012 .
Multiplikator
1E1
1E2
1E3
1E6
1E9
1 E 12
1 E 15
Vorsilbe Zeichen Multiplikator
Vorsilbe Zeichen
Deka
Hekto
Kilo
Mega
Giga
Tera
Peta
Dezi
Zenti
Milli
Mikro
Nano
Piko
Femto
da
h
k
M
G
T
P
1 E -1
1 E -2
1 E –3
1 E –6
1 E –9
1 E –12
1 E –15
d
c
m
µ
n
p
f
Tab. 2: Dezimale Einheitenvorsätze
Ein Beispiel zum Umgang mit physikalischen Größen (Kraft):
F  m a  m
s
3m
3m
3
 1 kg
 1 kg

 10 6 N  0 ,19 MN
2
2
6 2
16
4 ms 
t
16  10  s
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5. Grafische Datenauswertung
Physikalische Zusammenhänge prägen sich in Form von Grafiken oft leichter ein als
durch eine mathematische Formel. Diagramme sind oft ein wichtiger Bestandteil des
Protokolls; sie werden immer mit einem dünnen, schwarzen Filzstift oder
Kugelschreiber auf ein Netz (sogenanntes Millimeter- oder logarithmisches Papier)
eingetragen. Vor der Erstellung eines Diagramms überlege man sich dessen Größe.
Solange die Achsen ordentlich beschriftet sind, kann man durch kleine „Tricks“ die
Übersichtlichkeit eines Graphen erhöhen; insbesondere brauchen die Achsen nicht
immer bei Null (bzw. bei logarithmischen Achsen bei Eins) zu beginnen, die Achsen
können verschiedene Skalierungen haben, wie z. B. linear, logarithmisch, reziprok oder
hyperbolisch. Werden mehrere Kurven in das gleiche Diagramm eingetragen, werden
die verschiedenen Kurven numeriert und in einer Legende bezeichnet. Zu jedem
Diagramm gehört eine Bildunter– oder Bildüberschrift. Daraus soll in knappen Worten
hervorgehen, wozu die Grafik gehört und was sie aussagt.
5.1. Grafische Regression
Viele physikalische Gesetze beschreiben lineare Zusammenhänge von physikalischen
Messgrößen, d. h. die durch Messungen gewonnenen Graphen im Diagramm sind
Geraden. Die einzelnen Messpunkte weichen jedoch meistens durch unvermeidliche
Ungenauigkeiten bei den Messungen und regelrechte Falschmessungen von der
erwarteten Geradenform ab. Liegt solch ein Fall vor, verbindet man nicht etwa die
einzelnen benachbarten Messpunkte durch Geraden miteinander (Fieberkurve), sondern
zeichnet eine Gerade, welche die Abstände zwischen den Messpunkten und der Geraden
minimiert (Ausgleichsgerade). In den meisten Fällen ist eine sogenannte grafische
Regression ausreichend, d. h. man zeichnet die Ausgleichsgerade mit Hilfe eines
Geodreiecks oder Lineals und etwas Augenmaß in das Diagramm ein. Falsch ist in jedem
Falle, sich nur am oberen und unteren Messpunkt zu orientieren und diese Messpunkte
durch eine Gerade zu verbinden.
Abb. 1a
400
300
300
200
200
100
100
0
0
2
4
Abb. 1b
400
6
8
10
12
0
0
2
4
6
8
10
12
Abb. 1a: Dies ist keine Ausgleichsgerade, der
Abb. 1b: Ausgleichende Gerade zwischen den
lineare Zusammenhang zwischen den
Messwerten repräsentiert den linearen
Messgrößen geht nicht aus der Kurve hervor!
Zusammenhang der Größen.
Für anspruchsvollere Zwecke kann man mit Hilfe eines mathematischen Verfahrens
(Lineare Regression) die Lage der Ausgleichsgeraden aus den einzelnen Messwerten
berechnen.
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Hinweise zum Physikalischen Praktikum
5.2. Logarithmische Darstellungen
Oft können physikalische Zusammenhänge durch Differentialgleichungen beschrieben
werden. Lösungen dieser mathematisch oft komplizierten Gleichungen sind gelegentlich
Exponentialfunktionen, denn diese haben einige besondere Eigenschaften,
z. B.: f ( x )  ex  f ( x )  f ( x ) .
Beispiele für solche exponentiellen Zusammenhänge physikalischer Größen, die Ihnen
im Praktikum begegnen werden, sind:
•
Schwächung der Strahlungsintensität beim Durchgang durch Materie der Dicke d :
I(d )  I 0  e  d
•
(Schwächungsgesetz)
Anzahl der noch nicht zerfallenen radioaktiven Kerne nach der Zeit t :
N (t )  N 0  e   t
(Zerfallsgesetz)
Im linearen Netz gezeichnet ergeben Exponentialfunktionen keine linearen Graphen
mehr, sondern Kurven veränderlicher Steigung. Solche Ausgleichskurven zu zeichnen
ist aber schwieriger als die Konstruktion von Ausgleichskurven konstanter Steigung.
Um diese Probleme beim Zeichnen zu vermeiden, aber auch um einen bestimmten
exponentiellen Zusammenhang nachzuweisen, bedient man sich des halblogarithmischen Netzes. Durch die logarithmische Skalierung einer Achse werden die
Funktionswerte der betreffenden physikalischen Größe beim Zeichnen grafisch logarithmiert; man erhält so Messpunkte, die im Rahmen ihrer Fehler auf einer Geraden liegen.
Die weitere Vorgehensweise ergibt sich dann aus Abschnitt 5.1.
1. Exponentiell steigende Kurve
6
2. Exponentiell fallende Kurve
1. Exponentiell steigende Kurve
2. Exponentiell fallende Kurve
10
1.
2.
1
4
1.
2.
0,1
2
0
2
4
6
0,01
8
Abb. 2a: Exponentialkurven auf linearem Netz.
Ausgleichskurve ist schwer zu zeichnen.
2
4
6
8
Abb. 2b: Exponentialkurven auf halblogarithmischem Netz. Es ist nun einfach,
eine Ausgleichsgerade zu zeichnen!
Betrachten wir etwas näher, was mit einer Gleichung des Typs f ( x )  e x beim
Auftragen auf ein halblogarithmisches Netz geschieht. Die dekadische (!) Logarithmierung der Funktion führt zu:
f ( x)  e x

lg f  x  lg e x   x  lg e  x  0,4343
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Seite - 10 Hinweise zum Physikalischen Praktikum
Wir erhalten dadurch einen linearen Zusammenhang zwischen lg f x und x . Bei der
Protokollierung von Messwerten, die einer solchen Funktionen genügen, werden wir
also auf halblogarithmischem Netz eine Kurve konstanter Steigung erwarten, wenn wir
f(x)–Werte der logarithmischen und x–Werte der linaren Koordinate zuordnen.
In unseren Beispiel f ( x )  e x ist die Steigung negativ. Den Einfluß des Koeffizienten
kann man gut an Abbildung 2a+b erkennen, in der Exponentialfunktionen mit positiven
(Graph 1) und negativen (Graph 2) Koeffizienten zu Geraden mit positiver und negativer
Steigung führen.
Bei der Bestimmung von Halbwertszeiten und Halbwertsdicken sollte man etwas
Vorsicht walten lassen, denn durch die logarithmische Skalierung ist der Achsenmaßstab
gegenüber der linearen Skalierung extrem verzerrt, was zum Umdenken beim Ablesen
einer Größe nötigt. Insbesondere hat das Zeichnen einer Ausgleichsgeraden durch die
auf logarithmischem Netz aufgetragenen Messpunkte bei einer deutlichen Streuung
naturgemäß nicht mehr durch die visuelle Mitte zu geschehen, sondern ist dem
logarithmischen Verlauf der Achsenwerte anzugleichen; die Ausgleichsgerade scheint
sich also zu etwas höheren Werten zu verschieben. Selbstverständlich ist dieser Aspekt
ist auch zu berücksichtigen, wenn Fehlerbalken zu den Messpunkten gezeichnet werden;
die obere Grenze des Fehlerbalkens scheint eine kleinere Differenz zum Meßpunkt
aufzuweisen als die untere Grenze.
6. Statistik und Fehlerbehandlung
Messungen physikalischer Größen sind immer fehlerbehaftet. Systematische Fehler
können durch unvollkommene Messgeräte, vernachlässigte Einflüsse, Unachtsamkeit
etc. entstehen. Systematische Fehler sind kein Thema der Fehlerrechnung. Zufällige
Fehler von Messungen dagegen haben statistischen Charakter und besitzen beiderlei
Vorzeichen. Die Messwerte streuen um einen Mittelwert. Bei einer einzigen Messung
verbietet sich eine Fehlerrechnung, der Fehler ist dann zu schätzen. Für die Darstellung
eines physikalischen Messergebnisses muss dessen Stellenzahl der des Fehlers angepaßt
werden (gleiche Anzahl der Dezimalstellen bei gleicher Einheit).
6.1. Mittelwert einer Messreihe
Wird eine physikalische Größe x unter messtechnisch gleichen Bedingungen n–fach
gemessen (x1, x2, ..., xi, ..., xn), so streuen die Messwerte über einen gewissen Wertebereich. Große Abweichungen von der Mitte des Wertebereiches sind seltener als kleine.
Der arithmetische Mittelwert x nähert sich dem wahren Wert mit zunehmender Anzahl
der Messungen immer mehr an.
Messreihe:
( x1 , x2 , x3 ,, x n 1 , x n )
n : Anzahl der Messwerte
Arithmetischer Mittelwert:
x
x1  x2   xn
1 n
   xi
n i 1
n
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(1)
Seite - 11 -
Hinweise zum Physikalischen Praktikum
Beispiel: Es wurde fünfmal (also n = 5) mit gleicher Genauigkeit und unverändertem
Versuchsaufbau die Schwingungsdauer eines Pendels gemessen.
Die Messreihe lautet:
Messung i
T/s
1
2
3
4
5
20,1
22,2
19,5
20,0
21,2
Der arithmetische Mittelwert berechnet sich dann aus Formel (1) zu:
x
20,1s  22,2 s  19,5s  20,0s  21,2 s
 20,6s also ist T = 20,6 s
5
6.2. Standardabweichung der Einzelmessung
Die Standardabweichung der Einzelmessung (kurz: Fehler der Einzelmessung) ist ein
Maß für die Zuverlässigkeit der einzelnen Messwerte innerhalb einer Messreihe, also ein
Maß für den Vertrauensbereich einer Einzelmessung. Die Standardabweichung der
Einzelmessung ist gegeben durch:
( x 1  x) 2  ( x 2  x) 2  ( x n  x) 2
 xi 
(n  1)

1 n
 ( x i  x)2
n  1 i 1
(2)
Eine Zunahme der Anzahl n von Messungen führt nicht zu einer spürbaren
Verkleinerung der Standardabweichung; deshalb ist diese Definition günstig für die
Charakterisierung von Einzelmessungen. Bei einer sehr großen Anzahl von Messungen
fallen 68,3% der Messwerte in den Bereich x   (statistische Sicherheit P=68,3%).
Das Quadrat der Standardabweichung (2) wird als Streuung (Varianz) bezeichnet.
Beispiel:
T 
Berechnung der Standardabweichung der Einzelmessung für die oben
angegebene Messreihe aus (2):
20 ,1  20 ,6 2 s 2  22 ,2  20 ,6 2 s 2  19 ,5  20 ,6 2 s 2  20 ,0  20 ,6 2 s 2  21,2  20 ,6 2 s 2
 T  1,09 s
51

T i   1,09 s
D. h. 68,3% aller Einzelmessungen liegen im Bereich zwischen 19,51s und 21,69s
(wenn die Anzahl der Messungen deutlich größer wäre).
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Seite - 12 Hinweise zum Physikalischen Praktikum
Die Bestimmung der Standardabweichungen (Einzelmessung oder Mittelwert) ist bereits
bei wenigen Messwerten einfacher und übersichtlicher mit einer Tabelle zu erledigen.
Dabei wird neben den Messwerten auch für die Differenzen und deren Quadrate eine
Spalte vorgesehen. Für unser Beispiel ergibt sich die folgende Tabelle:
i
1
2
3
4
5

T/s
20,1
22,2
19,5
20,0
21,2
103,0
T  T  /s
T  T 
-0,5
1,6
-1,1
-0,6
0,6
0,0
0,25
2,56
1,21
0,36
0,36
4,74
2
/s 2
Die Kontrollgröße ergibt immer Null
T
1 5
103 s
 T 
 20 ,6 s
n i 1 i
5
T i 
5
1
1
  (T i  T ) 2 
 4 ,74 s 2   1,09 s
n  1 i 1
51
6.3. Standardabweichung des Mittelwertes
Die Standardabweichung des Mittelwertes (kurz: Fehler des Mittelwertes) ist ein Maß
für die Zuverlässigkeit des aus einer Messreihe berechneten Mittelwertes. Der Fehler des
Mittelwertes ist eine für die Physik wichtige Größe, denn sie wird zusammen mit dem
Mittelwert der Messgröße angegeben. Allein diese Standardabweichung werden Sie im
Praktikum benötigen.
 x  x 
n
1
 (x i  x)2
n(n  1) i 1
(3)
Der Vertrauensbereich des Mittelwertes wird kleiner, wenn die Zahl der Messungen
größer wird. Darin liegt der wesentliche Unterschied zur Standardabweichung der
Einzelmessung. Viele Messungen gleicher Genauigkeit erhöhen also die statistische
Sicherheit P des Mittelwertes weil die Standardabweichung des Mittelwertes mit
steigendem n kleiner wird.
Wie man leicht erkennt gilt:
x 
und damit für unser Beispiel:
T 

(4)
n
1,09 s
5
  0,5 s
Insgesamt erhalten wir damit für unsere Messung:
T = T  T = 20,6 s  0,5 s
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Seite - 13 -
Hinweise zum Physikalischen Praktikum
Die Aussage der Fehlerrechnung ist hier:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 68,3% liegt der wahre Wert der Größe T innerhalb des
Intervalls von 20,1 s bis 21,1 s. Die Fehlerrechnung macht also nur Wahrscheinlichkeitsaussagen. Damit kann der wahre Wert auch außerhalb der angegebenen
Fehlergrenzen liegen.
6.4. Fehlerfortpflanzung bei einfachen Beispielen
In vielen Fällen kann man die zu bestimmende physikalische Größe nicht direkt messen,
sondern muss sie aus anderen gemessenen Größen berechnen.
Beispiel: Bestimmung der gleichförmigen Geschwindigkeit eines Körpers durch
Weg / Zeit - Messungen.
Aus der in der Zeit t zurückgelegten Strecke s kann nach v  s t
(= Messgleichung) die Durchschnittsgeschwindigkeit des Körpers berechnet
werden. Folgende Messreihen wurden protokolliert:
Wegmessung
15,1 m
14,6 m
15,3 m
16,0 m
15,5 m
 s  15,3 m
 s  0,23 m
2,9 s
2,8 s
3,0 s
 t  2,96 s
 t  0,068 s
Zeitmessung
3,2 s
2,9 s
Das Problem besteht nun darin, die beiden Standardabweichungen des Mittelwertes
( s und t ) in das Ergebnis für v einfließen zu lassen.
Eine Lösung liefert das Gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetz. Es lautet:
Es sei z = z (x, y, ...) die Messgleichung (bei uns: v  s t ). Dann ist der
beste Mittelwert für z (also unser gesuchtes v ) gegeben durch:
z  z x , y, (also Einsetzen der Mittelwerte in die Messgleichung!)
Die Standardabweichung der Gesamtmessung z (also unser gesuchtes v )
berechnet sich aus:
  z   z
z   x
   y
  .
  x   y
2
2
(5)
Zurück zu unserem Beispiel: Die Berechnung des Mittelwertes v ist einfach. Man erhält
ihn durch Einsetzen der beiden Mittelwerte s und t in die Messgleichung v  s t .
Also :
v
s 15 ,3 m
m

 5 ,17
t
2 ,96 s
s
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Für den Fehler gilt dann nach (5):
2
s 2
m
 s 




v 
 t 2   0 ,14
 t 
 t 
s
Insgesamt gilt damit dann:
v  5,17  0 ,14 
m
s
Betrachten wir nun noch etwas näher, wie groß der Einfluß der Standardabweichungen
der jeweiligen Mittelwerte der gemessenen Größen auf die Standardabweichung der
Messgröße (also z) ist: Aus Formel (5) folgt sofort, dass Standardabweichungen der
gemessenen Größen um so mehr die Standardabweichung der Messgröße vergrößern, je
höher die Potenz ist, mit der die gemessene Größe in die Messgleichung eingeht.
Liegt beispielsweise eine Messgleichung der Form P  k  A  T 4 (Versuch 5b) vor, so
sollte man bestrebt sein, die Größe T sehr genau zu messen, da sich die Standardabweichung von T wegen der großen Potenz (= 4) stark im Endergebnis von P
niederschlägt.
P  k  A T 4 
2
P  
P 

P   A 
   T 

A  
T 

2

k  A  T 4 2  4  k  T  A  T 3 2
Für den relativen Fehler erhält man nach dividieren von P  k  A  T 4 :
 A   T 
P
 

  4 
P
 A   T 
2
2
Der Faktor 4 rührt aus dem Exponenten von T in der ursprünglichen Gleichung.
Mit diesem Beispiel ist der Einfluß des Exponenten einer Messgröße auf die Standardabweichung deutlich geworden.
In der Praxis genügen auch Näherungsverfahren:
Mit der Werten  s  s  und  t  t  ergibt sich z. B. die Geschwindigkeit  v  v  mit
v
s
t
und v  v  v 
s  s
.
t  t
Den größten Wert von v  v  v  v  erhält man, wenn der größte Wert von s  s  s  s 
und der kleinste Wert von t  t  t  t  eingesetzt werden:
v  v 
s  s
.
t  t
Damit ist v bestimmt und man hat auf einfache Weise v  v  v .
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Hinweise zum Physikalischen Praktikum
7. Ergänzungen zum Versuch „Radioaktivität“
7.1. Strahlenbelastungen
Man unterscheidet zwischen natürlichen und zivilisatorischen Strahlenbelastungen.
(Über die zivilisatorischen Strahlenbelastungen siehe Radioaktivitätsseminar.)
Natürliche Strahlenbelastung
mittlere Ganzkörperdosis über die Bevölkerungszahl gemittelt
1.
1.1.
1.2.
2.
2.1.
2.2.
Äußere Strahlungsquellen
Kosmische Strahlung 1
Terrestrische Strahlung 2
Innere Strahlungsquellen
Aufnahme mit Nahrung (14C, 40K, Radon, Radium)
Aufnahme mit Atemluft 3 (Radon, Radium)
SUMME
0,3 mSv/a
0,5 mSv/a
0,3 mSv/a
1,3 mSv/a
2,4 mSv/a
Wegen möglicher genetischer Schäden hat die ICRP4 die höchstzulässige Ganzkörperdosis für
Normalpersonen auf 5mSv/a festgelegt.
7.2. Strahlenkrankheiten
 Energiedosen bis 0,3 Gy heilen in fast allen Fällen wieder aus. Ab einer Ganzkörperdosis von 1 Gy (kritische Dosis) werden nachweisbare klinische Symptome
beobachtet:
Fieber, Infektionen, Blutungen, beginnender Haarausfall; Strahlenspätschäden.
 Bei 4,5 Gy führt die Hälfte aller Strahlungserkrankungen zum Tode. Symptome:
Haarausfall, Blutbildveränderung (Lympho - und Leukopenie), Zeichen von Anämie,
Entzündungen in Mund und Rachen; Strahlenspätschäden.
 Energiedosen über 6 Gy sind in allen Fällen tödlich. 100% Mortalität in der 3. Woche.
 Bei extrem hohen Dosen (>100 Gy) tritt der Tod in Minuten ein.
1
Mit zunehmender Höhe nimmt die Höhenstrahlung zu.
Im Freien ca. 25 % niedriger als in Gebäuden.
3 In ungelüfteten Betonräumen sind die Werte ca. fünfmal höher.
4 International Commission on Radiological Protection (Internationale Kommission für Strahlenschutz)
2
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7.3. Grenzwerte
Folgende Äquivalentdosisleistungen sind in der BRD von Gesetzes wegen zugelassen:
(StrSchV von 1989, 3. Teil, §45.1)
1. Effektive Dosis, Teilkörperdosis für Keimdrüsen,
Gebärmutter, rotes Knochenmark
0,3 mSv/a
2. Teilkörperdosis für alle Organe und Gewebe,
soweit nicht unter 1. und 3. genannt
0,9 mSv/a
3. Teilkörperdosis für Knochenhautoberfläche, Haut 1,8 mSv/a
7.4. Abschätzung der Äquivalentdosis beim Umgang mit der –Quelle
Wie gefährlich ist die Teilnahme am Versuch „Radioaktivität“ ?
Annahmen:
•
3 Stunden Praktikumszeit
•
1 Meter mittlerer Abstand
•
Maximale Aktivität der verwendeten Quellen: 241Am 1,85.105 Bq
•
Gammaenergie der 60Co–Quelle: 1,3 MeV, daraus folgt eine spezielle
Gammastrahlenkonstante:
  2,54  10 18
C  m2
.
kg
(Tabellenwert)
•
Der Bewertungsfaktor von –Strahlen ist 1: RBW (  ) = 1.
•
Für die Umrechnung der Ionendosis J in Energie-, bzw. Äquivalentdosis H gilt:
1 Gy  2,58.10-2 C/kg oder
1 C/kg  38,8 Gy
bzw. für Muskelgewebe gilt:
1 C/kg  38,8 Sv
Die Ionendosis pro Zeit J/t ist gleich der Gammastrahlenkonstante  mal der Aktivität
A, geteilt durch das Quadrat des Abstandes r.
J
 A
 2 ,
t
r
H 
2
  At
3h
C
18 Cm
J 
 2,54  10
1,85  105 Bq  2  50  10 10
2
kg
kg
r
1m
50  1010
2,58  10  2
Sv  0,2 Sv
( RBW = 1 )
Die maximale Dosis von der –Quelle während des Versuches beträgt also H=0,2µSv.
Vergleichen Sie diesen Wert mit den natürlichen Strahlenbelastungen aus 7.1. !
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8. Anhang
8.1. Physikalische Größen und deren Einheiten
Zeichen
Einheit
v
c
a
g
F
W
P
I
p
m/s
m/s
m / s2
m/s2
N
(Newton)
J
(Joule)
W
(Watt)
W/m2
Pa
(Pascal)
bar
(Bar, Meteorologie)
Torr
(Torr, Vakuumtech.)
N/m
g/cm3
m
(Meter)
dpt
(Dioptrie)
(Eins)
1
m
(Meter)
Hz
(Hertz)
1/s
s
(Sekunde)
s
(Sekunde)
grd
(Grad)
rad
(Radian)
K
(Kelvin)
C
(Grad Celsius)
J
(Joule)
J/ K
KJ/(kg.K)
g/cm3
(Pascalsekunde)
Pa.s
(Eins)
1
A
(Ampere)
V
(Volt)
(Ohm)

W
(Watt)
C
(Coulomb)
C
(Coulomb)
Geschwindigkeit
konstante Geschwindigkeiten von z. B. Licht oder Schall
Beschleunigung (a=dv / dt; Geschwindigkeitsänderung pro Zeit)
Erdbeschleunigung
( Normwert: go=9,80665 m/s2 )
F
H
Gy
Sv
Sv/Gy
C/kg
Bq
Kapazität 1F=1A.s/V (Ladung, die je ein Volt aufgenommen wird)
Induktivität 1H=1V.s/A (Spannung je Stromänderungsgeschw. dI /dt )
Energiedosis 1Gy=1J/kg (in einem Körper deponierte Energie je kg)
Äquivalentdosis 1Sv=1J/kg
( H = q.D ; früher: Dq )
Bewertungsfaktor
( q = H/D)
Ionendosis
( erzeugte Ladung eines Vorzeichens je ein kg )
Aktivität 1Bq=1/s
( Anzahl der Zerfälle je eine Sekunde )
D

f
D
n

 f

T
t


T
t
Q
C
cm
c


I
U
R
P
Q
e
C
L
D
H
q
I
A
(Farad)
(Henry)
(Gray)
(Sievert)
(Becquerel)
Erklärung mit Umrechnung
Kraft 1N=1kgm/s²
( F = m.a, Masse mal Beschleunigung )
Arbeit, Energie 1J=1N.1m=1W.1s
Leistung
1W=1J/s
( P = W / t; Arbeit pro Zeit )
.
Intensität
( I = E / (A t) Energie je Zeit- und Flächeneinheit )
Druck 1Pa = 1N/m²
( p = F / A; Kraft pro Fläche )
Umrechnung: 1bar = 1000 hPa = 100 kPa = 750 Torr
Normluftdruck: po= 101,325kPa = 1013,25hPa = 1013,25mbar = 760Torr
Federkonstante
( D = F / s; Kraft pro Auslenkung )
Dichte
( Masse pro Volumeneinheit )
Brennweite
Brechwert(-kraft) 1dpt=1m-1
( D = 1/ f ) {nicht Brechzahl !}
Brechzahl
( n = co / c ) {nicht Brechwert od. Brechungsindex}
Wellenlänge
Frequenz 1Hz=1/s
(Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit)
Kreisfrequenz
( = 2..)
Periode
( T = 1/ ; Dauer einer Schwingung )
Zeit
Winkel, (Null-)Phasenwinkel in Grad 360º=6,28rad=2
Winkel, (Null-)Phasenwinkel im Bogenmaß
( 2 
 360 )
Temperatur
( thermodynamische, absolute )
Temperatur
( relative )
Wärmeenergie, auch Wärmemenge
Wärmekapazität
( Energie pro Kelvin )
spezifische Wärmekapazität (Energie pro Kelvin + Kilogramm)
Konzentration einer Lösung
( oft in g/100cm3 angegeben )
dynamische Viskosität 1Pa.s = 1N.s/m²
Wirkungsgrad (z. B. als Energieverhältnis: Enutz / Eaufgewendet)
elektrische Stromstärke
( transportierte Ladung je Sekunde )
elektrische Spannung (Potentialdiffernz zwischen zwei Punkten)
elektrischer Widerstand 1=1V/A
( R = U/I )
elektrische Leistung 1W =1V.A
elektrische Ladung 1C=1A.s
Elementarladung: eo= 1,602.10-19 C
Tab. 3: Im Praktikum benutzte Größen und deren Einheiten
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8.2. Auswahl physikalischer Konstanten
1
mol
Avogadro  Konstante
N A = 6,022  10 23
Molare Gas konstante
Rm  8,3145
Boltzmann  Konstante
k
Elektrisch e Elementa rladung
e0 = 1,6  10 19 C
Faraday  Konstante
F
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
c0 = 2,99 792 458  10 8
Normfallbe schleunigu ng
g
= 9,80665
Planck  Konstante
h
= 6,626  10 34 J  s
Schallgeschwindigkei t in Luft (bei t = 20 C)
c =
Stefan  Boltzmann  Konstante
 = 5,67  10 -8
Viskosität von Wasser (be i t = 20 C)

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J
mol  K
= 1,38  10 23
C
mol
= 96 485,3
344
J
K
m
s2
m
s
W
m  K4
2
= 1,002 mPa  s
m
s
Seite - 19 -
Hinweise zum Physikalischen Praktikum
8.3. Griechische Buchstaben
Zur Darstellung physikalischer Größen und Einheiten werden oft Buchstaben des
Griechischen Alphabetes herangezogen.
















































a
b
g
d
e
z
e
Alpha
Beta
Gamma
Delta
Epsilon
Zeta
Eta
th
j
k
l
Theta
Jota
Kappa
Lambda
m
n
x
o
p
My
Ny
Xi
Omikron
Pi
r
s
t
y
ph
ch
ps
o
Rho
Sigma
Tau
Ypsilon
Phi
Chi
Psi
Omega
Tab. 4 Griechisches Alphabet
Pi: In der Euklidischen Geometrie ist die Zahl Pi definiert als das Verhältnis des
Umfanges zum Durchmesser eines Kreises:  = U/d. Pi ist eine transzendente Zahl und
heute auf mehr als 480 Millionen Stellen berechnet (David und Gregorny Chudnovsky,
Columbia Univ. USA). Im Praktikum ist es nicht unbedingt nötig, mit so hoher
Genauigkeit zu rechnen,  = 3,14 tut´s auch.
 = 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164
0628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172
5359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964422810975
6659334461284756482337867831652712019091456585669234603486104543266482 
Letzte Änderung : 06.04.06
Physikalisches Praktikum für Studierende der Medizin
&
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9. Netze
Die Netze auf den nachfolgenden Seiten sind für Sie eine Kopiervorlage. Bitte kopieren Sie die
Blätter rechtzeitig und in ausreichender Menge vor den Versuchsauswertungen. Die Kopien
dienen Ihnen dann der grafischen Protokollierung von Messwerten, wie sie in den verschiedenen
Versuchen anfallen und werden in die Versuchshefte eingeklebt. Die Angaben in der Tabelle sind
eine Abschätzung des zu erwartenden Bedarfes.
Daneben benötigen Sie noch einen Block mit linearen Netzen (sogenanntes Millimeterpapier).
Stück
Seite
etwa für Versuch
4
4
5
8
21
23
25
3, 5
5, 6
5, 9
3, 5, 8, 9

Koordinatenteilungen
halblogarithmisch:
2 Dek./ linear
halblogarithmisch:
3 Dek./ linear
halblogarithmisch:
4 Dek./ linear
linear / linear (selber kaufen)
Tab. 5 Geschätzte Mengen der im Praktikum erforderlichen Netze
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