Theorie zur mündlichen RP aus Mathematik

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1.
mai 2006
Welche Zahlenmengen gibt es? – Beispiele?
Menge der natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3, …}
Menge der ganzen Zahlen Z = {… –2, –1, 0, 1, 2, …}
Menge der rationalen Zahlen Q = Menge aller als Bruch darstellbaren Zahlen
Bruch ist Error! mit Nenner  0
Brüche lassen sich darstellen als: ganze Zahl oder endliche Dezimalzahl oder unendlich
periodische Dezimalzahl.
Z und Q sind abzählbar, d. h. sie haben gleich viele Elemente wie N (Georg Cantor)
Menge der reellen Zahlen R
besteht aus rationalen Zahlen und irrationale Zahlen (nicht als Brüche darstellbar, Beispiele sind
nicht ganzahlige Wurzeln (algebraisch) oder transzendete Zahlen wie die Eulersche Zahl e und .
2.
Was sind transzendente Zahlen? – Beispiele?
Transzendente Zahlen lassen sich weder als Bruch (sie sind daher irrational) noch als Ergebnis einer
algebraischen Gleichung (Polynom = 0 oder Summe von Potenzen = 0) darstellen (sie sind daher nicht
als Wurzelterm darstellbar). Berühmte Beispiele sind e und .
3.
Warum darf man durch Null nicht dividieren?
Weil dann die Probe nicht funktionieren würde. Das liegt im Wesentlichen am Ein-mal-Null.Wäre
Error! = b würde gelten müssen: a = b · 0 = 0, und das funktioniert für a  0 nicht.
4.
Was sind Potenzen?
Potenzen sind Ausdrücke der Form
5.
BasisExponent
Was bedeutet a–n?
Negative Hochzahlen sind Darstellungen von Brüchen
6.
a–n = Error!
Was bedeutet a1/n?
Gebrochene Hochzahlen sind Darstellungen von Wurzeln
7.
a1/n = n;a
Wie rechnet man mit Potenzen?
gleiche Basis: Potenzen werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert
Potenzen werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert
Potenzen werden potenziert, indem man den Exponenten multipliziert
Wurzel aus Potenzen werden gezogen, indem den Exponenten durch den Wurzelexponenten dividiert
8.
Was sind algebraische Gleichungen?
Gleichungen der Form: Summe von Potenzen von x (=Polynom) = 0 heißen algebraisch.
9.
Wann ist eine Gleichung linear?
Eine Gleichung der Form ax + b = 0 heißt linear. Der Funktionsgraph einer linearen Funktion ist eine
Gerade.
10.
Wann ist eine Gleichung quadratisch und wie löst man sie?
Eine Funktion der Form ax2 + bx + c = f(x) heißt quadratisch. Die Gleichung f(x) = 0 ist eine
quadratische Gleichung und wird mit der Formel von Vieta gelöst:
Vieta wendete dabei die Methode: Ergänzen auf vollständige Quadrate an.
1x2 = Error!
11.
Was ist ein kubischer Term (Gleichung)?
Ein Term der Form ax3 + bx2 + cx + d heißt dritten Grades oder kubisch.
12.
Wie sieht eine Exponentialfunktion aus?
f(x) = m qx oder besser mit der Basis e (Eulersche Zahl). f(x) = m e x
m = f(0) q hat die Bedeutung: in jeder x-Einheit ändern sich die Funktionswerte um 100 · (q – 1)
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Prozent. Die relative Wachstumsrate bleibt konstant. Nur bei diesem Funktionstyp ist es sinnvoll,
Vervielfachungsintervalle (z.Bsp. Verdopplungszeiten, Halbwertszeiten) anzugeben.
13.
Was ist eine Logarithmusfunktion?
Logarithmusfunktionen sind die Umkehrfunktionen von Exponentialfunktionen. Sie machen
Exponentialfunktionen rückgängig. Es gibt so viele Logarithmusfunktionen wie es Basen gibt.
Sinnvolle Basen: 2 ( lb) 10 (lg oder log) e (ln = natürlicher Logarithmus)
14.
Wie löst man eine Exponentialgleichung?
I.A. durch Anwenden irgeneiner bekannten Logarithmusfunktion (ln) und Anwenden der Rechenregeln:
ln (a · b ) = ln a + ln b
ln (ab) = b ln a
15.
Was ist eine Umkehrfunktion?
Eine Umkehrfunktion macht die Originalfunktion rückgängig: f–1(f(x)) = x
Wurzeln sind die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen
Logarithmen sind die Umkehrfunktionen von Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funktionen (sin, cos, tan) haben die Arcusfunktion als Umkehrfunktion (sin –1 , usw.)
16.
Was ist eine Nullstelle?
Eine Nullstelle ist das Argument x einer Funktion mit f(x) = 0. Der Funktionswert ist also 0.
Geometrisch der Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der Abszisse (x-Achse)
17.
Was ist ein Extremwert? Welche gibt es?
Wenn sich in einer beliebig kleinen Umgebung eines Punktes eines Funktionsgraphen einer stetigen
Funktion keine Punkte mit kleinerem Funktionswert (Minimum) oder größerem Funktionswert
(Maximum) finden lassen, dann heißt dieser lokaler oder relativer Extremwert.
Ist m ein lokaler Extremwert, dann hat die 1. Ableitung von f an der Stelle m den Wert 0. (die
Umkehrung gilt nicht)
es gibt Minima und Maxima.
18.
Was ist ein Wendepunkt? Wie kann man ihn errechnen?
Ein Wendepunkt ist ein Punkt des Funktionsgraphen einer stetigen Funktion, in dem sich der
Krümmungssinn der Kurve ändert (von Link- auf Rechtskurve bzw. umgekehrt)
Im Wendepunkt ist die 2. Ableitung der Funktion Null.
Der Wendpunkt ist auch der Punkt mit extremer Steigung.
19.
Was ist die algebraische Vielfachheit einer Nullstelle?
Läßt sich aus dem algebraischen Term f(x) der Gleichung f(x) = 0 ein Term (x – m)k herausheben, dann
heißt m k-fache Nullstelle in der algebraischen Zählweise.
20.
Was ist eine Doppelnullstelle und welche analytischen Eigenschaften hat sie?
Eine Doppelnullstelle ist gleichzeitig Nullstelle und Extremwert. An dieser Stelle sind Funktionwert
und Wert der 1. Ableitung (der Differentialquotient) gleich Null.
21.
Was ist eine Dreifachnullstelle und welche analytischen Eigenschaften hat sie?
Eine Dreifachnullstelle ist gleichzeitig Nullstelle und Wendepunkt mit waagrechter Wendetangente (=
ein Terrassenpunkt). An dieser Stelle sind Funktionswert, der Wert der 1. und der 2. Ableitung gleich
Null.
22.
Wann ist eine Funktion stetig?
Eine Funktion ist stetig, wenn durch eine beliebig kleine Änderung der Argumente auch die Änderung
der Funktionswerte beliebig klein gemacht werden kann. Funktionsgraphen einer stetigen Funktion sind
ohne Absetzen oder Aufheben des Zeichengerätes zeichenbar.
23.
Beispiele für Unstetigkeitsstellen?
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Pole sind Unstetigkeitsstellen, an denen der Funktionswert bei Annäherung divergiert, also gegen
Unendlich strebt. Tritt auf bei Funktionsgleichungen mit der Variable im Nenner. Polstellen sind
Stellen, an denen der Nenner den Wert 0 annehmen würde.
Sprungstellen sind Stellen, an denen der Funktionswert einen Sprung macht. Tritt auf bei stückweise
definierten Funktionen (Bsp. sprungfixe Kosten)
24.
Was ist ein Pol?
Würde der Nenner einer gebrochen-rationalen Funktion den Wert 0 annehmen, dann tritt an dieser
Stelle ein Pol auf. Die Funktion divergiert an dieser Stelle. Es gibt keinen Funktionswert, man kann nur
das Verhalten bei Näherung an den Pol (von links, bzw. von rechts) feststellen.
25.
Was ist eine Asymptote?
Eine Asymptote ist ein Funktionsgraph einer Funktion a(x), für den die Differenz f(x) – a(x) gegen 0
strebt, wenn x gegen plus oder minus Unendlich strebt. Geometrisch bedeutet das, dass sich Funktion
und Asymptote immer mehr nähern. Für sehr große oder sehr kleine Argumente kann man dann gleich
mit der Asymptote rechnen ohne große Fehler zu machen. Ist a(x) linear, dann ist der Funktionsgraph
von a(x) eine Tangente an einem Fernpunkt.
26.
Was ist eine Folge?
Eine Folge ist die Einschränkung einer Funktion auf natürliche Argumente. Die Funktionswerte heißen
Glieder der Folge. Das Argument gibt man als Index an.
27.
Was ist eine arithmetische Folge?
Eine arithmetische Folge ist die Einschränkung einer linearen Funktion auf N. Die Differenz zwischen
zwei aufeinanderfolgenden Gliedern ist konstant.
28.
Was ist eine geometrische Folge?
Eine geometrische Folge ist die Einschränkung einer Exponentialfunktion auf N. Der Quotient
zwischen zwei aufeinanderfolgende Gliedern ist konstant. Damit sind die relativen Wachstumsraten und
die Vervielfachungsintervalle auch konstant.
29.
Was ist eine Reihe?
Eine Reihe ist die Summation von n Gliedern einer Folge.
30.
Wie lauten die Summenformeln für arithmetische und geometrische Reihen?
sn = Error!
sn = Error!
31.
Was ist ein Grenzwert?
Außerhalb einer beliebig kleinen Umgebung des Grenzwerts liegen nur endlich viele (man kann also
angeben, wie viele) Glieder einer Folge. Ist das der Fall, dann heißt diese Zahl Grenzwert (Limes) und
die Folge heißt konvergent, andernfalls divergent. Eine Folge mit dem Grenzwert 0 heißt Nullfolge. (sie
konvergiert gegen 0)
32
Konvergieren geometrische Reihen?
das ist gleichbedeutend mit der Frage: kann man unendlich viele Summanden addieren und das
Ergebnis ist nicht unendlich groß?
Geometrische Reihen konvergieren nur dann, wenn  q  < 1 ist, das heißt, wenn q zwischen – 1 und 1
liegt. s = Error!
33.
Was ist der Differenzenquotient und welche geometrische Interpretation gibt es dafür?
der Differenzenquotient ist Error! = Error!
und er entspricht der Steigung der Sehne (Gerade zwischen zwei Punkten einer Kurve)
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34.
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Was ist der Differentialquotient und welche geometrische Interpretation gibt es dafür?
der Differentialquotient ist lim;
Error! = Error! Error!, also der Grenzwert des
x → ∞
Differenzenquotienten für x gegen 0
und er entspricht der Steigung der Tangente an f(x) an der Stelle x.
35.
Was ist die 1. Ableitung?
die 1. Ableitung ist eine Funktion, die jedem x – Wert den Wert des Differentialquotienten zuordnet.
Der Wert der 1. Ableitung an der Stelle x entspricht also der Steigung der Tangente an f(x) an der Stelle
x. Sie gibt also Änderungsraten der Funktion f(x) an.
36.
Was ist die 2. Ableitung?
die 2. Ableitung ist die Ableitung der 1. Ableitung. Sie gibt die Änderung der Steigung an und gibt in
an, wie stark die Krümmung des Funktionsgraphen ist.
37.
Wie differenziert man Summen?
Ableitung von Summen = Summe von Ableitungen
38.
Wie differenziert man Produkte?
Produktregel. (u v)’ = u v’ + u’ v
39.
Wie differenziert man Bruchterme?
Quotientenregel: Error!
40.
Wie differenziert man verkettete Funktionen?
Kettenregel: Man differenziert die äußere Funktion und multipliziert dann mit der Ableitung der inneren
Funktion (innere Ableitung)
41.
Ableitung von Konstanten?
Die Ableitung einer Konstanten = 0
42.
Ableitung von linearen Termen?
Error! = a
43.
Wie differenziert man Potenzen?
Error! = n xn – 1 also Hochzahl als Faktor nach vorne, Exponent um 1 reduzieren.
44.
Wie differenziert man Exponentialterme
Error! = qx · ln q und speziell gibt es eine Basis (Eulersche Zahl e) mit Error! = ex.
ex ist die einzige Funktion, die identisch mit ihrer Ableitung ist.
45.
Wie differenziert man Brüche?
Quotientenregel Error!
47.
Wie differenziert man trigonometrische Funktionen?
(sin x)’ = cos x
(cos x)’ = – sin x
(tan x)’ = Error! = 1 + tan2x
48.
Was ist das unbestimmte Integral?
Integrieren ist die Umkehrung des Differenzierens. Die Menge aller Funktion F(x), deren Ableitung die
Funktion f(x) ergibt, heißt unbestimmtes Integral.
49.
Was ist das bestimmte Integral?
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Das bestimmte Integral ist die Differenz zweier Funktionswerte einer bestimmten Stammfunktion (eines
unbestimmten Integrals). Es ist also eine Zahl.
50.
Was sagt der Hauptsatz der reellen Analysis?
Man bildet eine Funktion, die aussagt, wie groß der Inhalt (= Summe über x · f(x), wenn das x gegen
0 konvergiert), abhängig vom Argument x ist. (Startwert a). Die Ableitung dieser Funktion ist dann f(x).
Das heißt man kann solche Inhalte über das Integral berechnen.
Zerlegung von [a
lim;
 ;b]
; f(x) x = Error!
x→∞
Immer, wenn eine Summe der Form f(x) x zu berechnen ist, und f(x) eine stetige Funktion ist, muss
man integrieren.
51.
Wie integriert man eine Konstante?
Das Integral über die Konstante k ist kx + C
52
Wie integriert man eine Summe?
Das Integral über eine Summe ist gleich der Summe der Integrale der Summanden.
53
Welche Integrationsmethoden gibt es?
Substitution – partielle Integration – Partialbruchzerlegung – Integration durch Ansatz
54
Was ist eine Partialbruchzerlegung?
Die Partialbruchzerlegung ist die Umkehrung der Bruchaddition. Aus einem Bruchterm wird dadurch
wieder eine Summe von möglichst einfachen Brüchen, die einfach zu integrieren sind.
55
Wie integriert man Potenzfunktionen?
Error! = Error! + C für n  –1 speziell Error! = ln x  + C
also: Exponent um 1 erhöhen, durch die neue Hochzahl dividieren (außer bei Error!)
56
Wie integriert man Bruchterme?
Wenn im Zähler ein konstantes Vielfaches des Nenners steht, durch Substitution, sonst meist durch
Partialbruchzerlegung.
57
Wie integriert man Exponentialfunktionen?
ex ergibt integriert wieder ex. Produkte aus Potenzen und Exponentialtermen werden meist partiell
integriert.
58
Wie integriert man trigonometrische Funktionen?
Integral über sin ist –cos. Integral über cos ist sin.
59
Warum tritt eine Integrationskonstante auf?
Integrieren heißt einen Funktionsverlauf aus den Änderungsraten ermitteln. Das geht nur bis auf eine
additive Konstante genau. Mathematisch wird aus der Integrationskonstanten beim Differenzieren Null
und daher spielt sie für die Probe keine Rolle.
60
Wie viele Lösungen hat eine algebraische Gleichung n-ten Grades?
In der Menge der komplexen Zahlen hat eine algebraische Gleichung n-ten Grades genau n Lösungen
(algebraisch gezählt). In R sind je zwei Lösungen eventuell konjugiert komplex, daher hat die
Gleichung dann höchstens n Lösungen. Die fehlenden reellen Lösungen treten paarweise auf.
61
Was ist ein uneigentliches Integral?
Es wird über ein unendlich großes Intervall integriert – das Integral kann trotzdem konvergieren.
Eigentlich ist Error! = Error!Error!
62
Konvergiert das Integral über Error! ?
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Nein, das Error!dx = ln  x  + C und der natürliche Logarithmus divergiert (er steigt immer weiter
an)
63
Konvergiert das Integral über Error!
Ja, das Error!dx = C – Error! und der Grenzwert ist C
64
Was geschieht bei linearer Substitution?
Im Prinzip wird die Variable x durch u = ax + b ersetzt. Fortführung des Verfahrens ergibt letztlich eine
Division durch die innere Ableitung.
65
Was ist dekursive und antizipative Verzinsung?
Dekursiv verzinsen heißt, die Zinsen vom Anfangskapital zu berechnen und am Ende der
Verzinsungsperiode zu kapitalisieren (dem Kapital zuzuschlagen).
Antizipativ ist es genau umgekehrt.
66
Wie zinst man zinseszinsmäßig auf bzw. ab?
Es wird mit der entsprechenden Potenz des Aufzinsungsfaktors multipliziert, bzw. dividiert (oder mit r –n
multipliziert)
67
Was ist einfache Verzinsung?
Einfach verzinsen heißt, die Zinsen immer vom ursprünglichen Kapital zu berechnen. Nur tauglich für
Laufzeiten unter einem Jahr.
68
Was ist eine Rente?
Eine Rente ist eine gleichbleibende Zahlung in gleichbleibenden Abständen.
69
Was ist der Barwert (present value) oder Endwert (final value) einer Rente?
Der Barwert ist der Wert aller Raten samt Zinsen am Beginn der Rentendauer. Der Endwert ist dieser
Wert am Ende der Rentendauer.
70
Was ist der Kapitalwert?
Werden alle Zahlungsflüsse (mit geeignetem Vorzeichen versehen) mit dem Kalkulationszinssatz auf
den Zeitpunkt der Investition abgezinst, dann erhält man den Kapitalwert der Investition. Ist er positiv,
dann rentiert sich der Kapitaleinsatz mit mehr als dem Kalkulationszinssatz.
71
Was ist der Kalkulationszinssatz?
Vom Investor festgesetzter Zinssatz. Orientiert sich an den Zinssätzen, die bei Alternativanlagen zu
erzielen wären (z.Bsp. Geldmarkt)
72
Was ist die Gewinnannuität?
ist der finanzmathematisch (als Rente) auf die Laufzeit der Investition aufgeteilte Kapitalwert. Gibt also
einen durchschnittlichen Rückfluss an.
73
Was ist die Amortisationszeit?
Zeitraum, in dem die Rückflüsse incl. Verzinsung den Kapitaleinsatz hereinspielen. Kann auch
unendlich sein, wenn die Rückflüsse kleiner als die jährlichen Zinsen für den Kapitaleinsatz sind.
74
Was ist die Rentabilität (Rendite, Effektivzinssatz, Return on Investment)?
Zinssatz, der genau die erwarteten Rückflüsse einer Investition ergäbe, wenn mit dem
Kalkulationszinssatz verzinst würde.
75
Welcher Typ Gleichung tritt bei Berechnungen von Zahlungen i.A. auf?
Lineare Gleichung – leicht und exakt lösbar
76
Welcher Typ Gleichung tritt bei Berechnungen von Laufzeiten i.A. auf?
Exponentialgleichung – durch Anwenden von ln exakt lösbar.
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Welcher Typ Gleichungen tritt bei Berechnungen von Zinssätzen i.A. auf?
meist Gleichung höheren Grades – nicht exakt lösbar – Näherungsverfahren oder nummerische
Verfahren
78
Wann sind zwei Zinssätze äquivalent?
Wenn sie bei gleichem Anfangskapital und gleicher Laufzeit das gleiche Endkapital ergeben.
79
Was ist ein Bezugspunkt?
Fiktiver Zeitpunkt, zu dem alle Konten abgerechnet werden.
80
Kann man eine höhergradige Gleichung i.A. durch exakte Methoden lösen?
Nein, es müssen nummerische Näherungsverfahren verwendet werden.
81
Welche berühmte Zahl ist das Ergebnis einer unterjährigen Aufzinsung von 1 GE,
wenn man die Anzahl der Verzinsungen pro Jahr gegen unendlich laufen lässt?
Die Eulersche Zahl e
82
Wie löst man Extremwertaufgaben?
Man bildet eine Zielfunktion, substituiert durch Nebenbedingungen so lange, bis die Zielfunktion nur
mehr von einer Variablen abhängt, bildet die Ableitung und setzt sie gleich Null
83
Was ist eine Kostenfunktion?
Die Kostenfunktion ist der Zusammenhang zwischen der erzeugten Menge x (dem Beschäftigungsgrad
und den dafür auftretenden Vollkosten.
84
Was ist eine Nachfragefunktion?
Die Nachfragefunktion ist der funktionale Zusammenhang zwischen verlangtem Preis und absetzbarer
Menge, meist in der Form Preis als Funktion der Menge p(x)
85
Was ist der Erlös?
wertmäßiger Umsatz, d. h. das Produkt aus Preis mal Menge.
86
Spezielle Punkte der Nachfragefunktion?
Sättigungsmenge ist jene Menge, bei der der Preis schon Null ist (die Nullstelle der Nachfragefunktion)
Prohibitiv- oder Maximalpreis ist der Preis, bei dem nichts mehr verkauft werden kann. (Schnittpunkt
der Nachfragefunktion mit der y-Achse)
87
Spezielle Punkte der Erlösfunktion?
Der Erlös ist 0, wenn p = 0 oder x = 0 ist, also bei x = 0 und der Sättigungsmenge. Bei linearem
Nachfrageverlauf ist der maximale Erlös dann bei der Hälfte der Sättigungsmenge.
88
Was sind Break-even-Punkte?
In den Break-even sind die Gewinne gleich 0.
89
Was ist der Cournotpunkt?
ist ein Punkt auf der Nachfragekurve. Er gibt jene Menge und jenen Preis an, bei dem der Gewinn
maximal ist.
90
Graphische Ermittlung des Cournotpunktes?
Man sucht den Schnittpunkt zwischen Grenzkosten und Grenzerlös. Der Punkt auf der Nachfragekurve
mit gleicher x-Koordinate ist dann der Cournotpunkt.
91
Was ist die Elastizität der Nachfrage?
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das negative Verhältnis zwischen relativer Absatzänderung und relativer Preisänderung. Ist die
Elastizität größer als 1 bedeutet eine Preisreduktion einen überproportionalen Anstieg des Absatzes und
damit eine Erhöhung der Erlöses. So eine Nachfrage heißt elastisch.
92
Auf welchen Typ Gleichung führt die Berechnung von p(x) aus dem
Elastizitätsverlauf?
auf eine Differentialgleichung, also eine Gleichung für die Berechnung einer Funktion, in deren Angabe
auch Ableitungen der Funktion vorkommen.
93
Was ist eine Differentialgleichung?
Eine Gleichung, bestehend aus Informationen über die Funktion und ihren Ableitungen. Die Lösung
einer Differentialgleichung ist keine Zahl, sondern eine Funktion.
94
Welche Typen von Kostenfunktionen gibt es?
Linear
Progressiv (quadratischer Ansatz)
S-förmig (kubischer Ansatz, weil es einen Wendepunkt geben muss)
Linear – progressiv (stückweise definierte Funktion, 1. Teil linear, 2. Teil quadratisch mit stetigem
Übergang)
95
Welche Zentralmaße gibt es?
Arithmetisches Mittel (bei linearen Modellen), Geometrisches Mittel (bei exponentiellen Modellen),
Harmonisches Mittel, Modus, Median
96
Welche Streuungsmaße gibt es?
Standardabweichung, mittlere absolute Abweichung, Interquartilspannweite, Spannweite
97
Was ist Kombinatorik?
Lehre, die sich mit den Anordnungs- und Auswahlmöglichkeiten beschäftigt.
98
Welche kombinatorischen Modelle gibt es?
Permutation: Anordnung von n Elementen auf n Plätzen (Vertauschung)
Variation: Anordnung von n Elementen auf k Plätzen
Kombination: Auswahl von k Elementen aus n Elementen
99
Was ist Wahrscheinlichkeit?
Pascal-Definition: das Verhältnis günstige Fälle zu mögliche Fälle
statistische Definition: der Grenzwert der relativen Häufigkeiten
100
Was ist ein Ereignisbaum?
die Darstellung aller Varianten eines mehrstufigen Prozesses mit den Astwahrscheinlichkeiten (=
bedingte Wahrscheinlichkeiten)
101
Was ist der Additionssatz?
Wahrscheinlichkeiten von unabhängigen Ereignissen können addiert werden
102
Was ist bedingte Wahrscheinlichkeit?
Die Wahrscheinlichkeit W(A  B) ist die Eintrittswahrscheinlichkeit von A, wenn B schon realisiert ist.
103
Was sagt der Satz von Bayes?
Die Formel von Bayes rechnet mit bedingten Wahrscheinlichkeiten und errechnet im Prinzip W(B  A),
wenn W(A  B) bekannt ist.
104
Was sind diskrete Merkmale?
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Ein Merkmal ist diskret, wenn es abzählbar viele Ausprägungen hat, d.h. wenn eine Anzahl (eine
natürliche Zahl) angebbar ist.
105
Die diskreten Verteilungen und ihre Beziehung zueinander?
Hypergeometrische Verteilung: aus einer endlichen (kleinen) Grundgesamtheit wird eine kleine
Stichprobe gezogen
Binomialverteilung: aus einer unendlich großen (sehr großen) Grundgesamtheit wird eine kleine
Stichprobe gezogen. Entsteht aus der Hypergeometrischen Verteilung durch folgende Grenzübergänge:
M   N   Error!  p
Poissonverteilung: die Einzelwahrscheinlichkeit strebt gegen 0, weil die Stichprobe unendlich groß ist.
Entsteht aus der Binomialverteilung durch: n   p  0 np  µ
106
Was sind stetige Merkmale?
Stetige Merkmale haben Ausprägungen,die durch ein reelles Intervall angegeben werden können. Jeder
Wert ist möglich. Die Ausprägungen werden gemessen, nicht gezählt.
107
Welche Merkmale muss eine stetige Verteilungsfunktion aufweisen?
Eine stetige Verteilung muss die Normierungsbedingungen erfüllen. Das heißt der Wert am linken Rand
des Definitionsintervalls muss 0 sein, am rechten Rand 1.
108
Was ist eine Dichte?
bei diskreten Verteilungen gibt die Dichte die Einzelwahrscheinlichkeiten an, die Verteilungsfunktion
gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass der Wert der Zufallsvariablen höchstens dieser Wert ist.
Bei stetigen Verteilungen ist die Dichte ein Maß für die Eintrittswahrscheinlichkeit von Intervallen,
nicht von Einzelwerten.
109
Welcher Zusammenhang besteht zwischen Dichte und Verteilung?
distribution (k) =  ;
i=0
distribution(x) = Error!
110
k
;
density(i)
Was ist die Normalverteilung?
Die Normalverteilung entsteht als stetige Fortsetzung der Binomialverteilung, wenn man die
Intervallbreite gegen 0 streben lässt. Ihre Dichte läuft wie e–x².
111
Wie sieht die Dichte der Normalverteilung aus?
Der Graph der Normalverteilung ist symmetrisch zum Mittelwert, strebt asymptotisch gegen 0 für x 
  . Er sieht aus wie eine Glocke und heißt deshalb auch Gaußsche Glockenkurve.
112
Wie rechnet man Werte der Normalverteilung?
Das Integral über e–x² ist analytisch nicht fassbar (es gibt keine Formel dafür). Werte können nur
nummerisch berechnet werden. Praktisch aus Tabellen, Taschenrechnern, Spread-sheet-Progamme
(EXCEL) oder CAS (Derive)
113
Wie löst man lineare Gleichungssysteme?
Eliminationsverfahren nach Gauß. Durch geeignete Linearkombinationen (Multiplikation von
Gleichungen und anschließendes Addieren) werden der Reihe nach Variable eliminiert.
114
Was ist eine Prüfplankurve?
Die grafische Darstellung der Annahmewahrscheinlichkeit bei einer Stichprobenuntersuchung.
115
Was ist eine Konfidenzintervall?
Will man den Merkmalsanteil einer unbekannten Grundgesamtheit aus den Ergebnissen einer
Stichprobe schätzen, so kann man das nur mit einer sogenannten statistischen Unsicherheit tun. Das
Konfidenzintervall gibt dann den Bereich an, in dem der wahre Anteil des Merkmals in der
Grundgesamtheit liegen kann.
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Was bedeutet Methode der kleinsten Quadrate?
Mit der Methode der kleinsten Quadrate (Regression, Ausgleichsrechnung, Trendanalyse) kann man
eine Funktion vorgegebener Form an empirische Daten anpassen. Dabei wird die Summe der Quadrate
der Abweichungen zwischen tatsächlichen und gerechneten Werten minimiert. Dies geschieht durch
eine Extremwertrechnung (die partiellen Ableitungen werden der Reihe nach 0 gesetzt)
117
Was gibt der Korrelationskoeffizient an?
Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für die Güte einer Regression. Sollte im Bereich 80 % bis 100
% oder –80% bis – 100% liegen. Das Vorzeichen des Korrelationskoeffizienten zeigt direkte oder
indirekte Proportionalität an.
118
Wie sind die trigonometrischen Funktionen definiert?
am rechtwinkeligen Dreieck: sin = Error!
cos = Error!
tan = Error!
im Einheitskreis: sin = y-Koordinate eines Punktes am Kreis, cos = x-Koordinate, tan = Error!
119
Warum steht im Nenner der Formel für die unterjährigen Rente die p-te Wurzel (oder
hoch (1/p)?
Der gegebene Zinssatz wird an die Rentenperiode äquivalent angepasst. (1 + i m)m = (1 + ip)p
120
Was ist das Betriebsoptimum?
Das Betriebsoptimum ist der Beschäftigungsgrad (Menge), bei dem die Durchschnittskosten minimal
sind. Berechnung durch Error! = 0. (Durch x dividieren, ableiten, Null – setzen)
121
Was ist die langfristige Preisuntergrenze?
= die minimalen Durchschnittskosten. Dieser Preis bringt weder Gewinn noch Verlust, wenn man im
Betriebsoptimum produziert und ist daher lang durchzuhalten. Berechnung durch: Betriebsoptimum
–
ausrechnen und wieder in K; (x) einsetzen.
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