Stetige Verteilungen

stetige verteilungen – theorie
5 ck
schuljahr 2005 / 06
Stetige Verteilungen
die Uhrverteilung U(x) – eine Gleichverteilung
Sekundenzeiger einer Uhr
Variante 1: Sie macht tick tack
k  {0, 1, … 59}
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Sekundenzeiger beim zufälligen Anschauen
W(20) = u (20) = Error!
genau auf 20 steht?
höchstens auf 39 steht
W(k = 0,1, …, 39) = u(0) + u(1) + u(2) + … + u(39) = U(39) = Error!
k  {0, 1, 2, … 60}
also U(k) = Error! mit
zwischen 21 und 50 steht?
W(21  k  50) = W(k = 21, 22, …, 49, 50) = U(50) – U(20) = Error! = 0,5
Variante 2: Sie macht sssumm x  [0 / 60)
genau auf 20 steht?
W(20) = u(20) = ??
höchstenst auf 40 steht W(x  40) = Error!
was ist dann u(20)??
u(30) = Error! = Error! = Error!
also eigentlich u(x) = lim;
Error! d.h.
x→∞
Error! ?????
also U(x) = Error!
u(x) = Error!(x)
U(x) = Error! mit den Randbedingungen U(linker Rand) = 0 und U(rechter Rand) = 1
© mag. wolfgang streit
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Zusammenfassung:
Eine Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) ist definiert im reellen
Intervall [a , b], d.h. jeder reelle Wert zwischen a und b ist für
x möglich.
f(x) hat einen Wert, der nicht als Wahrscheinlichkeit
interpretiert werden kann!
F(x) = Error!, d. h. mit der Randbedingung F(b) = 1
oder
F(x) = Error! mit den Normierungsbedingungen
F(a) = 0 und F(b) = 1
Wahrscheinlichkeiten können nur für Intervalle aus [a, b]
angegeben werden:
W(a  x  b) = F(b) – F(a) = Error!
Mittel- oder Erwartungswert:
µ = Error!
Streuung:  = Error!
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Interpretationen:
diskrete Verteilung
stetige Verteilung
k stammt aus einer abzählbaren
Menge {0, …, b} mit n Elementen
x stammt aus einem reellen Intervall
[a, b]
f(k) gibt die Wahrscheinlichkeit an,
dass genau k Ereignisse eintreffen
f(x) ist die
Wahrscheinlichkeitsdichte und kann
nicht als Wahrscheinlichkeit
interpretiert werden.
f(x) ist die 1. Ableitung der
Verteilungsfunktion F(x).
F(k) gibt die Wahrscheinlichkeit an,
dass zwischen 0 und k Ereignisse
eintreffen
F(x) gibt die Wahrscheinlichkeit an,
dass der Wert der Zufallsvariable
zwischen a und x liegt
F(k) ist die Summe aller
Einzelwahrscheinlichkeiten f(i), wobei
i von 0 bis k läuft
F(x) ist das Integral über f(x) mit
der Normierung:
F(a) = 0
und F(b) = 1
Die Wahrscheinlichkeit,
dass zwischen m und n Ereignisse
eintreffen ist:
F(m) – F(n – 1)
Die Wahrscheinlichkeit,
dass der Wert von x
zwischen a und b liegt ist:
F(b) – F(a)
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in unserem Beispiel:
Gleichverteilung in [0 / 60)
u(x) = k
mit den Randbedingungen U(linker Rand) = 0 und U(rechter Rand) = 1
dh.
u(x) = k
 U(x) = Error! = kx + C mit U(0) = 0 = k · 0 + C  C = 0
U(60) = 1 = k · 60  k = Error!
d.h. u(x) = Error! und
Error!
U(x) =
und
1
0,9
0,8

0,7
µ = Error! = Error! Error! =
Error! = 30

2 = Error! = Error! Error!
= Error! = 300   = Error! 
17,3
0,6
f(x)
F(x)
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
10
Exponentialverteilung in [0 / )
f(x) = k e– 0,1x
20
30
40
50
60
1
0,9
F(x) = Error! = Error!= C – 10 k e–0,1x
mit F(0) = 0 = C – 10 k  C = 10 k und
F() = lim;
F(x) = 1 = C  C = 1 und k =
x→∞
0,1
(wegen e–0,1x  0 für x  )

f(x) = 0,1 e–0,1x und F(x) = 1 – e–0,1x
1 e–0
1x
–0,1x
Mittelwert = µ = 
 · x dx ) = –10(x + 10) e
0;; 0
0,8
0,7
0,6
f(x)
F(x)
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
10
20
30
40
 ;0 = 0 – (–100)
50
60
70
80
= 100
1 e–0
1x
2
–0,1x ;0

Streuung = 2 =
= 0 – (–8.200) = 8.200
 dx = – (x – 180x + 8.200) 0,1 e
2
0;;(x – 100) 0
  = 8.200  90,6

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