3. LZK

3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik
2 ck – hiebaum
Montag, 7. März 2016
Gruppe A
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
1.
2.
3.
A
a)
Auf einer Karte im Maßstab 1 : 50 000 beträgt der Abstand zweier 50 m – Höhenlinien 8 mm.
Berechnen Sie die Steigung des Geländes in der Falllinie und den Steigungswinkel.
8 mm … 400 m Steigung = Error! = 0,125 = 12,5 %
tan α = 0,125   = 7,125°
b)
Eine Auffahrtsrampe soll einen Höhenunterschied von 15 m überbrücken. Der Steigungswinkel soll aus
Sicherheitsgründen nicht über 8° sein. Berechnen Sie die Länge der Rampe.
sin  = Error!  r = Error! = Error! = 107,8 m
a)
Begründen Sie, warum die Winkel α = 40° und β = 320° den gleichen
Kosinuswert ergeben. Verwenden Sie für die Argumentation eine
Einheitskreisskizze.
der Winkel β = 360° – , also hat der Schnittpunkt des Schenkels mit
dem Einheitskreis die gleiche x-Koordinate, daher gilt cos(40°) =
cos(320°)
b)
Von einer b = 20 m hohen
Plattform B wird die Spitze eines
Turmes S unter dem Höhenwinkel
 = 2,86° gesehen.
Der Fußpunkt F des Turmes
erscheint unter dem Winkel  =
5,71°.
Berechnen Sie die Höhe des
Turmes.
tan  = Error!  d = Error!
= 200,02 m
tan  = Error!  a = d tan  =
200 tan 2,86° = 10 m
a)
Erstellen Sie für die Situation, die in der Skizze
dargestellt ist, eine Formel für die Höhe h, wenn die
Größen a,  und  bekannt sind.
tan  = Error!  SQ = a tan 
tan  = Error!  SP = a tan 
h = SP – SQ = a (tan  – tan )
b)
Ergänzen Sie die folgenden Formeln:
Die Bezeichnungen beziehen sich auf die
nachfolgende Skizze. Verwenden Sie nur die in
der Skizze bezeichneten Größen.
sin φ =
Error!
tan (90° – φ ) = Error!
Error! = sin (φ – α )
wegen
∠ ABC = 90°
– (90° – φ + α ) = φ – α
4.
a)
Ermitteln Sie durch Einzeichnen am Einheitskreis die Winkel im
Bereich [0°; 360°], die die Bedingung cos α = 0,6 erfüllen.
α = 53° und α = 307°
b)
Ermitteln Sie durch Einzeichnen am
Einheitskreis den Wert tan 60°
und tan 230° so genau wie
möglich.
tan 60° = 1,7
tan 230° = 1,2
3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik
2 ck – hiebaum
Montag, 7. März 2016
Gruppe B
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
1.
2.
3.
a)
Auf einer Karte im Maßstab 1 : 50 000 beträgt der Abstand zweier 50 m – Höhenlinien 6 mm.
Berechnen Sie die Steigung des Geländes in der Falllinie und den Steigungswinkel.
6 mm … 300 m Steigung = Error! = 0,167 = 16,7 %
tan α = 0,167   = 9,462°
b)
Eine Auffahrtsrampe soll einen Höhenunterschied von 5 m überbrücken. Der Steigungswinkel soll aus
Sicherheitsgründen nicht über 8° sein. Berechnen Sie die Länge der Rampe.
sin  = Error!  r = Error! = Error! = 35,9 m
a)
Begründen Sie, warum die Winkel α = 40° und β = 320° den gleichen
Kosinuswert ergeben. Verwenden Sie für die Argumentation eine
Einheitskreisskizze.
der Winkel β = 360° – , also hat der Schnittpunkt des Schenkels mit
dem Einheitskreis die gleiche x-Koordinate, daher gilt cos(40°) =
cos(320°)
b)
Von einer b = 40 m hohen
Plattform B wird die Spitze eines
Turmes S unter dem Höhenwinkel
 = 2,86° gesehen.
Der Fußpunkt F des Turmes
erscheint unter dem Winkel  =
5,71°.
Berechnen Sie die Höhe des
Turmes.
tan  = Error!  d = Error!
= 400,02 m
tan  = Error!  a = d tan  =
400 tan 2,86° = 20 m
a)
Erstellen Sie für die Situation, die in der Skizze
dargestellt ist, eine Formel für die Höhe h, wenn die
Größen a,  und  bekannt sind.
tan  = Error!  SQ = a tan 
tan  = Error!  SP = a tan 
h = SP – SQ = a (tan  – tan )
B
b)
Ergänzen Sie die folgenden Formeln:
Die Bezeichnungen beziehen sich auf die
nachfolgende Skizze. Verwenden Sie nur die in
der Skizze bezeichneten Größen.
cos φ =
Error!
sin (90° – φ ) = Error!
Error! = tan (φ – α )
4.
a)
wegen
Ermitteln Sie durch Einzeichnen am Einheitskreis die Winkel im
Bereich [0°; 360°], die die Bedingung cos α = 0,6 erfüllen.
α = 53° und α = 307°
b)
∠ ABC = 90° – (90° – φ + α ) = φ – α
Ermitteln Sie durch Einzeichnen am
Einheitskreis den Wert tan 60°
und tan 230° so genau wie
möglich.
tan 60° = 1,7
tan 230° = 1,2
3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik
2 ck – hiebaum
Montag, 7. März 2016
Gruppe A
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
1.
2.
3.
a)
Auf einer Karte im Maßstab 1 : 50 000 beträgt der Abstand zweier 50 m – Höhenlinien 8 mm.
Berechnen Sie die Steigung des Geländes in der Falllinie und den Steigungswinkel.
b)
Eine Auffahrtsrampe soll einen Höhenunterschied von 15 m überbrücken. Der Steigungswinkel soll aus
Sicherheitsgründen nicht über 8° sein. Berechnen Sie die Länge der Rampe.
a)
Begründen Sie, warum die Winkel α = 40° und β = 320° den gleichen Kosinuswert ergeben. Verwenden
Sie für die Argumentation eine Einheitskreisskizze.
b)
Von einer b = 20 m hohen
Plattform B wird die Spitze eines
Turmes S unter dem Höhenwinkel
 = 2,86° gesehen.
Der Fußpunkt F des Turmes
erscheint unter dem Winkel  =
5,71°.
Berechnen Sie die Höhe des
Turmes.
a)
Erstellen Sie für die Situation, die
in der Skizze dargestellt ist, eine Formel für die Höhe
h, wenn die Größen a,  und  bekannt sind.
b)
Ergänzen Sie die folgenden Formeln:
Die Bezeichnungen beziehen sich auf die
nachfolgende Skizze. Verwenden Sie nur die in
der Skizze bezeichneten Größen.
sin φ =
tan (90° – φ ) =
Error! =
A
4.
a)
Ermitteln Sie durch Einzeichnen am Einheitskreis
die Winkel im Bereich [0°; 360°], die die
Bedingung cos α = 0,6 erfüllen.
b)
Ermitteln Sie durch Einzeichnen am Einheitskreis
den Wert tan 60° und tan 230° so genau wie
möglich.
3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik
2 ck – hiebaum
Montag, 7. März 2016
Gruppe B
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
1.
2.
3.
a)
Auf einer Karte im Maßstab 1 : 50 000 beträgt der Abstand zweier 50 m – Höhenlinien 6 mm.
Berechnen Sie die Steigung des Geländes in der Falllinie und den Steigungswinkel.
b)
Eine Auffahrtsrampe soll einen Höhenunterschied von 5 m überbrücken. Der Steigungswinkel soll aus
Sicherheitsgründen nicht über 8° sein. Berechnen Sie die Länge der Rampe.
a)
Begründen Sie, warum die Winkel α = 40° und β = 320° den gleichen Kosinuswert ergeben. Verwenden
Sie für die Argumentation eine Einheitskreisskizze.
b)
Von einer b = 40 m hohen
Plattform B wird die Spitze eines
Turmes S unter dem Höhenwinkel
 = 2,86° gesehen.
Der Fußpunkt F des Turmes
erscheint unter dem Winkel  =
5,71°.
Berechnen Sie die Höhe des
Turmes.
a)
Erstellen Sie für die Situation, die in der
Skizze dargestellt ist, eine Formel für die
Höhe h, wenn die Größen a,  und  bekannt
sind.
b)
Ergänzen Sie die folgenden Formeln:
Die Bezeichnungen beziehen sich auf die
nachfolgende Skizze. Verwenden Sie nur die in
der Skizze bezeichneten Größen.
cos φ =
sin (90° – φ ) =
Error! =
B
4.
a)
Ermitteln Sie durch Einzeichnen am
Einheitskreis die Winkel im Bereich [0°; 360°],
die die Bedingung cos α = 0,6 erfüllen.
b)
Ermitteln Sie durch Einzeichnen am
Einheitskreis den Wert tan 60° und tan 230°
so genau wie möglich.