Trigonometrie
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Beipielpool Trigonometrie 001 Berechnen Sie die Gleichung eines periodischen Vorgangs aus folgenden Fakten: Erstes Minimum nach 4 Stunden mit einem Wert von – 20 Einheiten. Zweites Minimum nach 32 Stunden Wert zum Zeitpunkt 11 Stunden 5 Einheiten Berechnen Sie zuerst die Periode. Wie hoch ist die Mittellage und das Maximum? f(x) = 5 + 25 sin Error! Lösung: Periode = 32 – 4 = 28 Stunden Verschiebung = Argument(Minimum) + Viertelperiode = 4 + 7 = 11 Ansatz: –20 = m + a sin Error! – 20 = m – a 5 = m + a sin Error! 5 = m a = 25 002 In einem allgemeinen Dreieck kennt man die Winkel α = 43° und β = 72° und die Seite c = 22 cm. (Standardbeschriftung). Berechnen Sie die fehlenden Seiten. γ = 180 – 43 – 72 = 65° Error! = Error! a = 22 • Error! = 16,56 cm Error! = Error! b = 22 • Error! = 23,09 cm 003 In einem allgemeinen Dreieck kennt man den Winkel α = 34° und die Länge der Seiten b = 10 cm und c = 13 cm. Berechnen Sie die fehlenden Winkel und die Seite a? a2 = b2 + c2 – 2 bc cos α Error! = Error! 84° = 100 + 169 – 215,55 = 53,45 Die Spitze S eines Bauwerkes wird von zwei d = 38 m entfernten Punkten unter den Winkeln α = 25° und β = 32° gesehen. Berechnen Sie die Höhe h des Bauwerks ! a = 7,31 cm sin γ = sin 34° • Error! γ = sin–1 (0,994 …) = β = 180° – 34° – 84° = 62° 004 005 tan α = Error! tan β = Error! tan α = Error! d tan α + Error! = h x = Error! Berechnen Sie die Länge l eines Trägers, der eine h = 8,50 m hohe Stange mit dem Erdboden verbindet. Der Winkel α zwischen Stange und Träger sei 48°. cos α = Error! l = Error! = 12,7 m 006 Von einem allgemeinen Dreieck kennt man: α = 38° 42’, y = 10 cm, z = 15 cm. Berechnen Sie die fehlenden Winkel und die Seite x. ( = 71,6° γ = 69,7° x = 15,2) 007 Von einem h = 2,50 m hohen Beobachtungspunkt wird ein Gebäude unter den Winkeln α = 6° und β = 14° gesehen. Berechnen Sie die Entfernung des Gebäudes d und seine Höhe a! (d = 23,79 m a = 8,43 m) 008 Die vom Beobachtungspunkt 3.800 m entfernte Strecke AB erscheint unter dem Sehwinkel 16°. Wie lang ist diese Strecke? (1.068,1 m) h = Error!= 69,83 m 009 Ein Flugzeug fliegt h = 5.800 m hoch und legt bis zur Landung die Strecke x = 17 km zurück. Wie groß ist der Gleitwinkel α? (19,9°) 010 Berechnen Sie die Gleichung eines periodischen Vorgangs aus folgenden Fakten: Erstes positives Minimum nach 48 Stunden, zweites Minimum nach 108 Stunden Wert zum Zeitpunkt 10 Stunden 63,46 Einheiten, Wert zum Zeitpunkt 43 –13,30 Einheiten. Berechnen Sie zuerst die Periode. Wie hoch ist die Mittellage und das Maximum? Lösung: Periode = 108 – 48 = 60 Stunden Verschiebung = Argument(Minimum) + Viertelperiode = 48 + 15 = 63 Ansatz: 63,46 = m + a sin Error! 63,46 = m + 0,66913 a –13,30 = m + a sin Error! – 13,3 = m – 0,8660 a 76,76 = 1,53513 a = 50 Einsetzen liefert: 63,46 = m + 0,66913 * 50 m = 30 011 In der in der Skizze rechts dargestellten Situation kennt man: = 35°, = 8° und a = 5 m. Berechnen Sie x und y. tan(43°) = Error! tan(35°) = Error! x tan(43°) = a + y = a + x tan(35°) x (tan(43°) – tan(35°)) = 5 x = 21,52 m und y = 15,1 m 012 Im rechten Dreieck sind bekannt: r = 7 m, s = 5 m, γ = 55°. Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel. Error! = 35,8° = 180 – 55° – 35,8° = 89,2° Error! t = 8,5 cm 013 In nebenstehendem Dreieck kennt man die Seiten a = 15 cm und b = 10 cm und den Winkel = 29°. Berechnen Sie c und die anderen beiden Winkel! c2 = a2 + b2 – 2ab cos = 62,61 c = 7,91 cm Error! sin = Error! = sin–1 15 · sin 29°;7 = 66,8° ,aber der tatsächliche 91 Winkel ist 180° – 66,8 = 113,2°, weil der TR nur den Hauptstamm der Arkussinusfunktion angibt. = 180° – – = 37,7° 014 Von einem asymmetrischen Dach kennt man die Gesamtbreite g = 18 m, den linken Neigungswinkel = 25° und die Höhe des Firstes h = 5,5 m. Berechnen Sie b und und die Längen der Dachsparren x und y! tan = Error! a = Error! = 11,79 m b = 18 – 11,79 m = 6,21 m tan = Error! = 41,5° sin = Error! x = Error! = 13,01 m y = Error!8,30 m 015 Ermitteln Sie die Gleichung eines periodischen Vorgangs, der zwischen 20 und 100 Einheiten mit der Periode 60 h schwankt und ein Minimum bei t = 40 hat. 9 8 7 6 y = 60 + 40 sin Error! = 60 + 40 sin Error! = 60 + 40 sin Error! 5 4 3 2 016 Skizzieren Sie den Funktionsgraph von y = 5 + 3 sin Error!. 017 Ermitteln Sie aus der nebenstehenden Graphik: die Periode, die Mittellage, die Amplitude und die Phasenverschiebung der Sinusfunktion und stellen Sie die Gleichung auf. p = 10 m=7 2a = 17 – (–3) = 20 a = 10 v=5 y = 7 + 10 sin Error! = 7 + 10 sin(0,314x – 1,571 018 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Ein periodischer Vorgang gehorcht der Gleichung f(x) = 80 + 30 sinError!. Wie hoch sind Minimum und Maximum? Wie groß ist die Periode? Geben Sie die kleinste positive x-Koordinate eines Minimums an. Maximum = 80 + 30 = 110 Minimum (66 / 50) Minimum = 80 – 30 = 50. p = 80 019 In einem allgemeinen Dreieck (Standardbeschriftung) kennt man die Seiten a = 10 cm, b = 15 cm und c = 20 cm. Berechnen Sie alle Winkel! a2 = b2 + c2 – 2 b c cos cos = Error! = 0,875 = 29° Error! = Error! sin = Error! = 0,726 = 46,6° γ = 180° – – = 104,4° 020 Ein Gebäude wird von einem 2 m über dem Boden gelegenen Punkt anvisiert. Die Sehwinkel betragen: = 20,14° und = 0,76°. Berechnen Sie die Höhe des Gebäudes h und die Entfernung des Beobachters d! (Siehe nebenstehende Skizze) tan 0,76° = Error! d = Error! = 150,77 m. h – 2;150 tan 20,14° = h = 150,77 · tan 20,14° + 2 = 57,3 m 77 021 Ermitteln Sie die Gleichung eines periodischen Vorgangs mit folgenden Eigenschaften: Schwankung der Funktionswerte von –5 bis +15 mit einem Minimum bei x = 10 und dem nächsten Maximum bei x = 22. Periode: Error! = 12 p = 24 Amplitude: 2a = 20 a = 10 Verschiebung v = 22 – 6 = 16 bzw. –8 daher: f(x) = 5 + 10 sin Error! = 5 + 10 sin( 0,262 – 4,189) 022 Die Temperatur in einem Keller schwankt mit T(x) = 13 + 5 sin(0,0172x – 2,582), wobei x die Anzahl der Tage nach dem 31. Dezember bedeutet. Zwischen welchen Werte schwankt die Temperatur? Wieviele Tage ist die Periode? Wann erreicht die Temperatur ein Maximum? (Angabe muss nicht als Datum erfolgen, z. Bsp. reicht die Angabe: 100 Tage nach dem 31. Dezember) Temperatur schwankt zwischen 8 und 18 Grad. Error! = 0,0172 p = 365 Tage Maximum bei 0,0172x – 2,582 = Error! x = 241,44 nach dem 31. Dezember, d.i. der 28. August 023 Von einem allgemeinen Dreieck (Standardbeschriftung) kennt man: a = 6 cm, b = 8 cm und = 47°. Berechnen Sie die fehlende Seite und die fehlenden Winkel. Error! sin = sin 47° · Error! = 0,975 = sin–1 (0,975) = 77,2° = γ = 180° – 77,2° – 47° = 55,8° Error! c = Error! = 6,79 cm = c 024 Von einem erhöhten Beobachtungspunkt B aus werden die Spitze S und der Fußpunkt F eines Gebäudes anvisiert. Man misst dabei die Winkel = 4° und = 16°. Es wird auch die Spitze einer Antenne auf dem Gebäude anvisiert und dieser Winkel ist γ = 18°. Berechnen Sie die Höhe des Gebäudes h und die Höhe der Antenne s, wenn x = 10 m ist. tan = Error! d = Error! = 143 m tan = Error! h = d tan + x = 143 tan 16° + 10 = 51 m = h tan γ = Error! s = d tan γ + x – h = 143 tan 18° + 10 – 51 = 5,46 m = s 025 Ein periodischer Vorgang hat ein Maximum zum Zeitpunkt x = 3 mit dem Funktionswert 40. Das nächste Maximum ist bei x = 18. Der Funktionswert schwankt um den Wert 10. Ermitteln Sie die Gleichung dieses Vorgangs. Bei welchem x-Wert liegt das Minimum mit dem kleinsten positiven xWert? Periode: p = 18 – 3 = 15 p = 15 Amplitude: a = 30 Verschiebung v = 18 – 3,75 = 14,25 daher: f(x) = 10 + 15 sin Error! Minimum bei x = 10,5 026 Wie hoch sind Periode, Amplitude und Verschiebung für f(x) = 10 + 5 sin(0,2x + 3). Geben Sie eine Stelle an, an der die Funktionswerte ein Minimum aufweisen. 027 Von einem allgemeinen Dreieck (Standardbeschriftung) kennt man: b = 6 cm, c = 8 cm und = 47°. Berechnen Sie die fe 028 Von einem erhöhten Beobachtungspunkt B aus werden die Spitze S und der Fußpunkt F eines Gebäudes anvisiert. Man misst dabei h = 40 m, x = 5 m, = 5°, γ = 33°. Berechnen Sie die Höhe der Antenne s! tan = Error! d = Error! = 57,15 m tan = Error! = tan–1 0,612… = 31,48° tan γ = Error! s = d tan γ – h + x = 2,11 m = s 029 Ermitteln Sie die Gleichung für einen periodischen Vorgang mit folgenden Eigenschaften: Minimum bei x = 8 mit f(8) = – 20. Nächstes Maximum bei x = 30 mit f(30) = 140. m = Error! = 60 a = 140 – 60 = 80 p/2 = 30 – 8 p = 44 f(x) = 60 + 80 sin Error!= 60 + 80 sin (0,143 x – 2,713) v = 19 030 Skizzieren Sie den Funktionsgraph von f(x) = 40 + 10 sin(0,628x + 3,142). Ermitteln Sie dazu Mittellage, Amplitude, Periode und Verschiebung. Zeichnen Sie den Funktionsgraph so, dass mindestens 2 Minima und 2 Maxima sichtbar sind. a = 10, m = 40, Error! = 0,628 p = 10 Error! = 3,142 v = 5 60 50 40 30 20 10 0 -10 -5 0 031 Aus einer Entfernung x = 500 m wird ein Turm mit der Höhe a = 30 m anvisiert. Visiert man die Spitze der auf dem Turm befindlichen Antenne mit der Höhe b an, dann entsteht ein Sehwinkel = 1,14°. Berechnen Sie die Höhe der Antenne. tan = Error! = arctan Error! = 3,434 ° = 1,14° + = 4,574° tan = Error! b + a = 500 tan (4,574°) = 40 b = 10 m 5 10 15 20 25 032 Ein Dreieck (Normalbeschriftung) hat die Seitenlängen a = 8 cm, b = 10 cm und c = 12 cm. Berechnen Sie alle Winkel. c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ cos γ = 0,125 γ = arccos ( 0,125) = 82,8° Error! = arcsin Error! = 41,4° = 180° – – γ = 55,8° 033 Berechnen Sie die Gleichung eines periodischen Vorgangs mit der Periode 200 Stunden mit einem Minimum von 30 ME (Mengeneinheiten) bei t = 10 und einem Maximum von 90 ME. f(t) = 60 + 30 sin Error! 034 Berechnen Sie für f(x) = 20 + 50 sin Error! die Maximal- und Minimalwerte und bei welchen x-Werte diese auftreten. Geben Sie jeweils die kleinsten positiven Werte an. Minimum (35 / – 30), Maximum (15 / 70) 035 Berechnen Sie für f(x) = 10 + 40 sin (0,021x – 0,147) die Periode und die Verschiebung. Runden Sie die Periode dabei auf Zehner und die Verschiebung auf Ganze. Geben Sie drei hintereinanderliegende, positive Mittellagendurchgänge an. 0,021 = Error! p 300 0,147 = Error! v 7 Mittellagendurchgang bei x = 7, x = 157 und x = 307 036 037 Skizzieren Sie den Verlauf von f(x) = 20 + 30 sin Error!. Maßstab: x-Achse 1 : 2, y-Achse 1: 10. Es soll mindestens eine volle Schwingung dargestellt werden. 60 50 40 Von einem allgemeinen Dreieck (Standardbeschriftung kennt man: = 40°, a = 7 cm und b = 10 cm. Berechnen Sie . Error! sin = Error! = 0,918… = sin–1 0,918… = 66,7° 30 20 10 0 038 Im allgemeinen Dreieck (Skizze) sind die Seiten x = 8 km, s = 9 km und t = 12 km bekannt. Wie groß ist der Winkel ? -15 -10 -5 0 5 -10 -20 x = s + t – 2st cos 64 = 81 + 144 – 216 cos cos = 0,745 = 41,8° 2 2 2 039 Ein Turm mit der Höhe y = 120 m wird aus einer Entfernung von d = 360 m mit dem Winkel anvisiert. Wie groß ist ? tan = Error! tan = 0,333… = 18,4° 040 Berechnen Sie die Höhe des Sendemastes x auf dem Turm, wenn d = 360 m und = 20° und = 2° ist. tan () = Error! y = d tan = 360 tan 20° = 131,0 m tan ( + ) = Error! d tan( + ) – y = x = 360 tan 22° – 131,0 = 14,42 m 041 Im allgemeinen Dreieck (Skizze) kennt man x = 10 cm, y = 8 cm und z = 7 cm Berechnen Sie die Winkel (auf Zehntelgrad runden). y2 = z2 + x2 – 2xz cos = cos1 Error!= 52,6° Error! = Error! sin γ = Error! γ = sin–1 Error! = 83,22° = γ = 180° – – γ = 44,18° = 10 15 20 042 Ein Gebäude mit der Höhe h = 80 m wird aus einer Entfernung von d = 200 m mit den Winkeln = 2° und anvisiert. Berechnen Sie die Höhe a und den Winkel tan = Error! a = d tan = 6,98 m h–6 tan = = tan –1 Error! = 20° 98;d 043 Der Wasserstand in einem Staubecken verläuft periodisch. Nach 29 Stunden tritt ein Minimum mit einem Wasserstand von 10 m3 auf. Das vorhergehende Maximum war 14 Stunden früher und betrug 40 m3. Geben Sie eine Gleichung für diesen Vorgang an. Error! = 14 p = 28 Stunden Phasenverschiebung v = 29 – 3 · 7 = 8 W(t) = 25 + 15 sin Error! 044 Die Gleichung eines periodischen Vorgangs ist f(t) = 50 + 30 sin Error!. Geben Sie zwei aufeinanderfolgende Zeitpunkte mit minimalem Funktionswert und diesen minimalen Funktionswert an. t soll positiv und möglichst klein sein. p = 40 Error! = 10 Phasenverschiebung = 58 oder 58 – 40 = 18 Minimum t = 18 + 30 = 48 bzw 8 mit f(8) = f(48) = 20 045 Ermitteln Sie aus der rechten Grafik die Periode, Amplitude und Verschiebung der dargestellten Sinusfunktion. Geben Sie die Gleichung für diesen Vorgang an. p = 30 a = 100 v = 10 200 f(t) = 50 + 100 sin Error! 150 100 50 0 046 Geben Sie für die Funktion f(x) = 40 + 20 sinError! das Minimum mit dem kleinsten positiven x-Wert an. Wann tritt dieses Minimum als nächstes auf? -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 -50 -100 Minimum (55 / 20), nächstes Minimum (119 / 20) 047 Berechnen Sie für f(x) = 30 + 40 sin (0,14x – 2) die Periode und die Verschiebung. 0,14 = Error! p 44,9 2 = Error! v 14,3 048 Geben Sie die Gleichung eines periodischen Vorgangs mit folgenden Eigenschaften an: Maximum ist 800 ME bei t = 5 h, nächstes Minimum ist 300 ME bei t = 25 h. Error! = 20 daher p = 40 m = Error! = 550 a = Error! = 800 – 550 = 550 – 300 = 250 v = 5 – 10 = –5 oder 25 + 10 = 35 daher f(t) = 550 + 250 sin Error! 049 Von einem allgemeinen Dreieck (Standardbeschriftung kennt man: = 40°, β = 70° und c = 15 cm. Berechnen Sie die restlichen Seitenlängen. γ = 180° – – = 70° Error! a = Error! = 10,26 cm = a Error! b = 15 cm 050 Die nicht direkt vermessenbare Strecke c = XY soll durch die Messung von a = SY = 180 m, b = SX = 250 m und = 32° 18’ bestimmt werden. Berechnen Sie c. c2 = a2 + b2 – 2 a b cos = 1802 + 2502 – 2 · 180 · 250 · cos 32,3° = 18.826,4 c = 137,2 m 051 Die Spitze eines Turmes S wird von zwei d = 500 m entfernten Punkten mit den Winkeln = 70° und = 40° anvisiert. Berechnen Sie die Höhe h des Turmes. tan = Error! tan = Error! x tan = d tan – x tan x = Error! = 116,98 m h = x tan = 321,4 m = h Wie groß ist , wenn h = 300 m, = 70° und d = 500 m wäre? x = Error! = 109,2 y = 500 – 109,2 = 390,8 tan = Error! = tan-1 (0,768) = 37,5° = 052 Im allgemeinen Dreieck (Skizze) kennt man = 55°, x = 8 cm und y = 10 cm. Berechnen Sie die fehlende Seite und die restlichen Winkel (auf ganze Grad runden). Error! = Error! sin γ = Error! γ = sin–1 Error! = 41° = γ 180° – 41° – 55° = 84° = Error! = 12,1 cm 053 Error! = Error! z = Ein Gebäude wird aus einer Höhe von a = 5 m über Grund mit den Winkeln = 1,4° und = 18° anvisiert. Berechnen Sie die waagrechte Entfernung d und die Höhe des Gebäudes h. tan = Error! d = Error! = 204,6 m = d tan = Error! h = d tan + a = 71,5 m = h 054 Die Temperatur in einem Vorratskeller schwankt zwischen 6° C und 20° C. Das Minimum tritt zum Zeitpunkt 35 Tage auf und das vorhergehende Maximum ist bei t = 17 Tage. Geben Sie die Gleichung für diesen Vorgang an. Error! = 35 – 17 = 18 p = 36 Tage Phasenverschiebung v = 17 – 9 = 8 f(t) = 13 + 7 sin Error! = 13 + 7 sin(0,175 t – 1,396) 055 Die Gleichung eines periodischen Vorgangs ist f(t) = 12 + 7 sin Error!. Wie hoch ist die Temperatur zum Zeitpunkt t = 50? Geben Sie das Maximum mit dem kleinsten positiven Argument an. f(50) = 9,2 Error! = 7,5 Maximum bei t = 3 + 7,5 = 10,5 mit f(10,5) = 19 056 Von einem viereckigen Grundstück ABCD kennt man die Winkel = 50° und = 110° und die Seiten a = 100 m, b = 90 m und d = 80 m. Berechnen Sie die Länge der fehlenden Seite c und die Länge der Diagonale BD = e. e2 = d2 + a2 – 2ad cos = 802 + 1002 – 2 · 80 · 100 cos 50° e = 78,2 m Error! = Error! 1 = 51,6° 2 = 110° – 51,6° = 58,4° c2 = e2 + b2 – 2eb cos 2 c = Error! = 82,7 m = c 057 Der Temperaturverlauf in einem Weinkeller schwankt jahreszeitlich mit der Periode 12 Monate insgesamt um 10° C (das ist also die Differenz zwischen größter und kleinster Temperatur. Das Maximum beträgt 15° C und tritt Ende August (t = 8) auf. Berechnen Sie die Gleichung für den Temperaturverlauf (t in Monaten). Wann ist die Temperatur minimal? T(t) = 10 + 5 sin Error! = 10 + 5 sin Error! Minimum bei Error!+ 8 = 14 bzw. 14 – 12 = 2, also Ende Februar 057 Berechnen Sie die Gleichung eines periodischen Vorgangs mit folgenden Eigenschaften: die Funktion schwankt zwischen den y-Werten 20 und 100, wobei ein Minimum beim x-Wert 24 und das nächste Maximum beim x-Wert 64 auftritt. p/2 = 40 p = 80 m = Error! = 60 a = 100 – 60 = 60 – 20 = 40 Phasenverschiebung = 64 – 20 = 44 f(x) = 60 + 40 sin Error! 058 Sei f(t) = 5 + 3 sin(0,03 t + 4). Berechnen Sie die Periode, die Phasenverschiebung, Amplitude und Mittellage dieser periodischen Funktion. Geben Sie zwei aufeinanderfolgende Minima mit x- und y-Wert an. 0,03 = Error! p 209,4 4 = Error! v –133,3 Mittellagen = 5, Amplitude = 3 Minimum bei (–185,7/ 2) und (23,8 / 2) und (233,2/2) 059 Skizzieren Sie den Verlauf von f(x) = 5 + 3 sin Error! im Bereich [–6 / 10] in nebenstehendem Koordinatensystem. Achten Sie auf die korrekte Lage der Minima und Maxima. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 060 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 Im allgemeinen Dreieck (Skizze) sind die Seiten x = 15 m, s = 10 m und der Winkel = 50° bekannt. Berechnen Sie die fehlenden Bestimmungsstücke. 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Error! = Error! sin = Error! = 0,51… = 30,71° = 180° – 50° – 30,71° = 99,29° Error! = Error! t = Error! = 19,32 m = t 061 Ein Sendemast mit der Höhe h = 20 m wird von der Spitze weg durch zwei Stahlseile verspannt. Wie lang sind die Seile (x und y ), wenn die Winkel = 40° und = 48° sind. sin = Error! x = Error! = 31,11 m = x sin = Error! y = Error! = 26,91 m = y 062 Ein Mast mit der Höhe x steht auf einem Hügel mit dem Böschungswinkel . Auf dem Hang werden von zwei Punkten A und B im Abstand s die Höhenwinkel der Sehstrahlen zur Spitze S des Mastes mit und bestimmt. Berechnen Sie die Höhe x des Mastes. = 18,4° = 29,24° = 34,90° s = 89 m Dreieck SFB: Error! = Error! und Dreieck SBA Error! = Error! x = Error! mit den Winkeln: γ=– = 90° + = 180° – – γ (und weil = 180° – ( – ) ist) = – – γ = – daher x = Error! eingesetzt: γ = – = 10,84° = 90° + = 108,40° = 180° – – γ (und weil = 180° – ( – ) ist) = – – γ = – = 5,66° und x = Error! 50,8 m 063 Ein abseits der Straße stehender Baum mit der Höhe x wird von drei Punkten A, B und C mit den Abständen AB = a und BC = b anvisiert. Die Höhenwinkel betragen dabei , und γ. Wie hoch ist der Baum? a = 158 m b = 96,30 m = 18,32° = 23,51° γ = 11,82° Sei = AFB dann gilt s2 = r2 + a2 – 2ar cos und t2 = r2 + (a + b)2 – 2(a + b) r cos cos = Error! = Error! Error! = Error! Error! + a – Error! = Error! + a + b – Error! (1) Error! – Error! = Error! + b – Error! und mit tan = Error! tan = Error! tan γ = Error! r tan = s tan = t tan γ = x r = Error! s = Error! t = Error! einsetzen in (1) liefert Error! – Error! = Error! + b – Error! x2 Error!= b x = Error! oder mit den eingesetzten Angabedaten: x = 35,1 m 064 Ermitteln Sie die Gleichung eines periodischen Vorganges mit folgenden Eigenschaften: Maximum bei x = 7 mit dem Wert 300 nächstes Minimum bei x = 15 mit dem Wert – 100. 0,5 p = 15 – 7 = 8 p = 16 m = Error! = 100 a = 300 – 100 = 200 daher f(x) = 100 + 200 sin Error! = 100 + 200 sin Error! 065 Geben Sie 2 aufeinanderfolgende Minima (x- und y-Koordinate) von f(x) = 18 + 10 sin(0,0157x – 0,0785) an. Error! = 0,0157 p = 400 – Error! = –0,0785 v = 5 daher MIN (305 / 8) und MIN (705 / 8) 066 Auf einem Turm mit der Höhe (ohne Dach) t = 40 m steht ein Dach mit der Höhe h. Aus einer horizontalen Entfernung d = 200 m erscheint das Dach unter dem Blickwinkel = 2,7°. Ermitteln Sie die Höhe des Daches. tan() = Error! = tan–1 Error! = 11,3° tan( + ) = Error! h = 200 tan(2,7° + 11,3°) – 40 = 9,87 m 067 Das viereckige Grundstück ABCD hat in B einen rechten Winkel. Die Seitenlängen betragen a = 100 m, b = 50 m, c = 80 m und d = 90 m. Berechnen Sie den Winkel an der Ecke D. e2 = a2 + b2 e = 111,80 m und e2 = d2 + c2 – 2cd cos() = cos–1 Error! = 82° 068 Berechnen Sie in einem allgemeinen Dreieck mit = 40° und = 60° und c = 10 cm die restlichen Seiten. γ = 180° – – = 80° Error! = Error! a = 10 Error! = 6,53 cm Error! = Error! b = 10 Error! = 8,79 cm 069 Ermitteln Sie die Gleichung eines periodischen Vorgangs, der zum Zeitpunkt t = 5 h sein Maximum mit dem Wert f(5) = 120 erreicht und das nächste Minimum zum 35 Zeitpunkt t = 45 mit f(45) = 20 hat. Geben Sie die Zeitpunkte 30 dreier hintereinander folgender Minima an. 25 f(t) = 70 + 50 sin Error! = 70 + 50 sin Error! Minima bei t 20 = 45, 125 und 205 15 070 Geben Sie für den nebenan abgebildeten Funktionsgraph eine mögliche Funktionsgleichung an: f(x) = 10 + 20 sin Error! 10 071 5 0 -25 -20 -15 -10 -5 0 -5 Ermitteln Sie für die Funktion f(x) = 30 + 10 sin (0,157x – 1,57) die Koordinaten eines Minimums. Bestimmen Sie dazu zuerst die Periode, die Mittellage und Amplitude und die Verschiebung. m = 30 a = 10 Error! = 0,157 p = 40 – Error! = – 1,57 v = 10 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 -10 -15 daher MIN (40 / 20) 072 Im nebenstehenden allgemeinen Dreieck kennt man die Seite x = 10 cm und die Winkel = 20° und = 110°. Berechnen Sie die Seiten y und z. Error! = Error! y = 3,64 cm Error! = Error! z = 8,15 cm 073 Im nebenstehenden allgemeinen Dreieck kennt man die Seiten x = 20 cm, y = 14 cm und z = 16 cm. Berechnen Sie alle Winkel. x2 = z2 + y2 – 2yz cos cos = Error! = 0,116 = cos–1 (0,116) = 83,3° = Error! = Error! sin = sin · 0,7 = 44,0° = 180° – 44,0° – 83,3° = 52,7° = 074 Auf einem Gebäude mit der Höhe a steht ein Sendemast mit der Höhe h (s. Skizze). Aus einer Entfernung von d = 500 m misst man den Sehwinkel zum Sendemast = 3° und den Elevationswinkel zur Spitze des Gebäudes mit = 14°. Wie groß sind a und h? tan = Error! a = d tan = 500 tan 14° = 124,66 m = a tan ( + ) = Error! h = d tan( + ) – a = 500 tan 17° – 124,66 = 28,2 m = h 075 Um die Höhe h zu bestimmen, werden von zwei gegenüberliegenden Punkten aus die Winkel = 30° und = 20° gemessen. Die Punkte liegen in einer Entfernung von x + y = 800 m. Wie groß ist h? tan = Error! h = x tan tan = Error! h = (800 – x) tan x tan = 800 tan – x tan x = Error! = 309,3 m = x h = 178,6 m 076 In einem allgemeinen Viereck kennt man die Winkel = 40° und γ = 25° und die Seiten a = 20 m und d = 30 m. Bestimmen Sie die Länge der Diagonale e. e2 = a2 + d2 – 2ad cos = 380,75 e = 19,51 m 077 Ein Flugzeug fliegt mit einer Geschwindigkeit von 360 kn über Grund. Die Sinkrate ist 1.800 ft/min. (1 kn = 1 nm/h, 1 nm 6.000 ft). Wie groß ist der Gleitwinkel? In welcher Entfernung zum Flughafen, bzw. wie lange vor der Landung muss der Sinkflug aus einer Höhe von 30.000 ft. beginnen? Entwickeln Sie eine Formel für die Entfernung x (in nm) zum Landeplatz mit den Parametern v in kn und Sinkrate s in ft/min. Weg in einer Minute = Ankathete = Error! = 6 nm = 36.000 ft. Höhendifferenz in einer Minute = Gegenkathete = 1.800 ft = tan–1 Error! = tan–1(0,05) 3° tan = Error! x = Error! = Error! = Error! = 100 nm entspricht ca. 17 Minuten x = Error! = Error! mit angepassten Einheiten, mit den geforderten Einheiten: h nm = 6.000 h ft, v kn = nm/h s ft/min = s Error! = 0,01 s nm/h daher x = Error! = Error! x=
