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Strömung realer Flüssigkeiten Laminare Strömung Hagen-Poiseuillesches Gesetz Stokessches Gesetz Inhalt • Strömung idealer Flüssigkeiten – Die Kontinuitätsgleichung – Die Gleichung von Daniel Bernoulli • Strömung realer Flüssigkeiten – Laminare Strömung, Newtonsche Gleichung – Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz – Reibungskraft auf eine Kugel: Das Gesetz von Stokes • Die Grenzschicht und die Reynoldssche Zahl, Turbulenz Die reale Flüssigkeit • Bei Bewegung gibt es Reibung zwischen den Teilchen – innerhalb des Mediums – zwischen Medium und Wänden Beachte: Trotz konstanter Kraft ist die Geschwindigkeit konstant! Die laminare Strömung vo D Ein Objekt in Höhe D bewege sich mit der Geschwindigkeit vo • Die angrenzende Schicht der Flüssigkeit bewegt sich auch mit vo, • Die am Boden des Gefäßes anliegende Schicht steht still • In den dazwischen liegenden Schichten verändert sich die Geschwindigkeit linear mit dem Abstand zu den Grenzen Geschwindigkeit der „Lamellen“ bei laminarer Strömung vo D x Einheit v0 v( x) x D 1 m/s Geschwindigkeit einer Lamelle im Abstand x vom Boden vo 1 m/s Geschwindigkeit des Objekts x 1m Abstand der Lamelle zum Boden Gradient der Geschwindigkeit vo D x Einheit dv v0 dx D 1 m/s Gradient der Geschwindigkeit vo 1 m/s Geschwindigkeit des Objekts D 1m Abstand des Objekts vom Boden Kraft zur Bewegung bei laminarer Strömung vo D x dv F A dx 1N Newtonsche Gleichung Die Kraft gegen die Reibung ist proportional zum Gradienten der Geschwindigkeit Die Newtonsche Gleichung Einheit dv F A dx A 1N Kraft zur Bewegung einer Schicht in einer Strömung mit Geschwindigkeitsgradient dv/dx 1 N·s/m2 Viskosität der Flüssigkeit 1 m2 Fläche der Schicht „Newtonsche Flüssigkeiten“: Flüssigkeiten, in denen dieses Kraftgesetz gilt Nicht „Newtonsche Flüssigkeiten“: z. B: Polymere und Dispersionen Aussage der Newtonschen Gleichung für die Reibung in viskosen Medien: In viskosen Medien ist die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit • Folge: – Eine beliebig kleine Kraft führt zum „Kriechen“ – Bei konstanter Antriebskraft stellt sich - bei genügend langer Fahrbahn - eine konstante Geschwindigkeit ein Anwendung der Newtonschen Gleichung: • Strömung in einem Rohr – Hagen-Poiseuillesches Gesetz • Fallgeschwindigkeit einer Kugel in einem viskosen Medium – Stokessches Gesetz Strömung in einem Rohr Druckkraft r Reibungskraft l Die Druckkraft ist im Gleichgewicht mit der Reibungskraft Parabelförmiges Geschwindigkeitsprofil im Rohr p1 r p2 dr Zur Herleitung: Die Reibungskraft der Mantelfläche bei Bewegung des Zylinderrings aus Flüssigkeit mit Geschwindigkeit v ist gleich der Druckkraft auf die Stirn-Fläche des Rings (vgl. http://www.unituebingen.de/uni/pki/skripten/mechanik.html Abschnitt Hydro- u. Aerodynamik…) Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz Einheit dV I dt p1 p 2 4 I R 8 l 1 m3/s 1 m3/s Definition der Volumenstromstärke Die Volumenstromstärke in einem Rohr nimmt mit der vierten Potenz des Radius zu Versuch zur laminaren Strömung • Linearer Druckabfall in Strömungsrichtung bei laminarer Strömung zwischen den Wänden Versuch zum Hagen-Poiseuilleschen Gesetz • In der Strömung durch ein Rohr wird das Parabel-förmige Geschwindigkeitsprofil der Flüssigkeit durch „Verziehen“ eines Fadens aus gefärbter Flüssigkeit sichtbar Das Stokessche Gesetz Die Kugel fällt nach einiger Zeit mit konstanter Geschwindigkeit: Gleichförmige Bewegung, also kräftefrei Versuch zum Stokesschen Gesetz • Fall von Kugeln unterschiedlichen Durchmessers in Glyzerin. Man erkennt, dass sich nach kurzer Beschleunigung eine vom Radius abhängige, konstante Geschwindigkeit einstellt Das Stokessche Gesetz Einheit F 6 r v r v 1N 1 N·s/m2 Reibungskraft auf eine Kugel Viskosität 1m Radius der Kugel 1 m/s Geschwindigkeit Weshalb fällt die Kugel – trotz Gravitation - kräftefrei? • Nach unten zieht die Schwerkraft • Entgegen der Bewegungsrichtung steht die Reibungskraft • Konstant bleibt die Geschwindigkeit - d.h. der Fall ist kräftefrei - wenn die Reibungskraft gleich der Schwerkraft ist Kräfte beim Fall in ein viskoses Medium : Schwerkraft, Trägheitskraft, Reibungskraft Kräfte Gleichgewicht beim Fall in viskosen Medien Einheit F 6 r v F m g m 4 3r 3 6r 4 3gr 2 gr 9 3 1N Reibungskraft auf eine Kugel 1N Schwerkraft Masse einer Kugel, 1kg Dichte ρ, Radius r Gleichgewicht 1 m/s zwischen Reibungsund Schwerkraft 2 Konstante Fall-End1 m/s Geschwindigkeit Fall im viskosen Medium Nicht alle Körper fallen gleichschnell • Bei gleicher Form fallen schwere Körper schneller • Bei gleicher Dichte fallen große Körper schneller • Körper fallen mit konstanter Geschwindigkeit, das heißt kräftefrei, wenn die Reibungskraft gleich der Schwerkraft ist Zusammenfassung • Bei der Strömung realer Flüssigkeiten gibt es Reibung • Laminare Strömung • Newtonsche Gleichung: Reibungskraft proportional zu – Gradient der Geschwindigkeit im Medium – Viskosität – Fläche der bewegten Lamelle • „Newtonsche Flüssigkeit“: Kraft zur Bewegung proportional zum Gradienten der Geschwindigkeit • Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz • Reibungskraft auf eine Kugel ist proportional zur Geschwindigkeit: Das Gesetz von Stokes – Konstante End-Geschwindigkeit beim Fall in viskosen Medien finis
