Gedanken zur Redundanz - ein

Gedanken zur
Redundanz
- ein Einführungsvortrag -
Prof. Dr.-Ing. Steffen Krätzig
Vortrag Fachgruppe am 20.10.2006
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Ein Versuch, sich dem Thema zu nähern
•
Definition und Ursprung
•
Redundanz
•
Mathematische Beschreibung
Zuverlässigkeit
Verfügbarkeit
– Statistische Grundgrößen
– Zuverlässigkeitskenngrößen
– Zeitverhalten
•
Redundanzstrukturen
•
Aktuelles Beispiel aus der Netzplanung
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Definition der Redundanz:
Funktionsbereites Vorhandensein von mehr als für die
vorgesehene Funktion notwendigen technischen Mittel
DIN 40042
Vorhandensein von mehr funktionsfähigen Mitteln in einer Betrachtungseinheit, als für die Erfüllung der geforderten Funktion notwendig sind.
Birolini,
Zuverlässigkeit von Geräten und Systemen,
Springer, 1997
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Lebensdauer
Ursprung
Risikobewertung Redundanz
n
H ( X )  E{ I ( X )}   p( xi ) f ( xi )
i 1
Shannon
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 I ( xi )  ld
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1
p( xi )
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Beispiel aus der Nachrichtenübertragung
Äquivokation
H(X|Y)
X
Q
Quellcodierer
Kanalcodierer
Ü - Kanal
R
R  H max  H
fehlertoleranter
Leitungscode
N
Y
Transinformation
T(X,Y)
H(X|Y)
Irrelevanz
 Kanalkapazität C  max T ' (X, Y)
p(X)
Creal  C
- Redundanz im Quellcodierer
- Redundanz aus dem Kanalcodierer
- wirtschaftliche Abwägung von (S/N)Empfänger
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Redundanz
Def:
Zuverlässigkeit
dependability
p(Eigenschaft einer Einheit, während einer Zeitdauer T (0,t) ausfallfrei zu
arbeiten)
kurz: „Zuverlässigkeit ist Qualität auf Zeit“
Zuverlässigkeitsfunktion R(t) reliability
Ausfall
Ausfallrate λ(t)
Erwartungswerte E(T)
„Badewanne“
MTTF
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MTBF
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Redundanz
Def:
Verfügbarkeit A(t)
availability
p(Einheit ist funktionsfähig zum Zeitpunkt t)
Reparatur - / Unterhaltungskonzepte
maintanance concept
Reparatur
MTTR
Reparaturrate µ(t)
Redundanz
Sicherheit
safety
Sicherheitskenngrößen
Gefährdungswahrscheinlichkeit G(t)
Sicherheitswahrscheinlichkeit S(t)
Auswirkungen einer Gefährdung
Risiko
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Statistische Grundgrößen
pi
i  {N }
•
•
Wahrscheinlichkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeit
p( x | y ) 
•
Unabhängige Ereignisse
p( x, y )  p( x )  p( y )
•
Verteilfunktion
F ( x )  p( X  x )
p( x, y )
p( y )
Detail >>>
Zufallsgröße X
•
Verteilungsdichte
f ( x) 
dF ( x )
dx
x
F ( x) 
 f ( )d


•
Erwartungswert
E ( X )   x  f ( x )dx stetig
0
  xi  f ( xi ) diskret
i
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Detail: Beispielhafte Verteilfunktionen
Name
Verteilfunktion Dichte Ausfallrate Mittelwert Eigenschaften
Exp
F ( t )  p(T  t ) f (t )  e
(Weibull)
 t

E (T ) 
1

gedächtnislos
p(T  t  t | T  t )  p(T  t )  e t

keine Alterung
R( MTBF )  e MTBF  e1  0,37
0,37
t
1
Poisson
pk  p ( X  k )
m  t
./.
m k m

e
k!
pk
z.B. m=3
mi  m
p( X  k )   e
i 0 i!
k
0,2 0,1 -
k
2
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p(genau k Ausfälle in (0,t)) ;
exp verteilte Ausfallzeiten mit
Parameter λ
4
6
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Zuverlässigkeitskenngrößen
Lebensdauer T
•
Ausfallwahrscheinlichkeit
probability of failure
•
Zuverlässigkeitsfunktion
Überlebenswahrscheinlichkeit
•
Ausfalldichte
•
Ausfallrate
hazard rate h(t)
F ( t )  p (T  t )
R( t )  (  t )  1  F ( t )
ausfallfreie Arbeitszeit τ
f (t ) 
 (t ) 
Annahme: λ(t) = λ
dF ( t )
t
dt
f (t )
dR( t ) / dt
d ln R(t )


1  F (t )
R( t )
dt
t
R ( t )  e  0
•

Erwartungswert
 ( t ) dt
 e  t

E (T )   R(t )dt   et dt 
0
0
1

MTBF
Erweiterung Instandhaltung >>>
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Erweiterung: Instandhaltungskenngrößen
Verfügbarkeit
Instandhaltung
Wartung
(planmäßig)
Instandsetzung
(außerplanmäßig mit Reparaturzeit)
Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)
probability of failure
Instandsetzungswahrscheinlichkeit M(t)
maintainability
M (t )  p(TR  t )
m( t ) 
Ausfallrate λ(t)
Reparaturrate µ(t)
dM ( t )
dt
1
d ( Mt )

1  M (t )
dt 
  µ ( ) d
Lösung : M ( t )  1  e
µ( t ) 
0
mit µ(t) = µ :
M (t )  1  e µt

E (TR )   t  m(t )dt 
0
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1
µ
MTTR
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Zeitverhalten
Zustandsdiagramm
Stochastische Modellbildung
Markovkette für Einzelelement:
Markov mit Poisson-Prozeß
System ausgefallen
Ausfall
p1,1 ( t )  1  t
bleibt nach Δt
mit p1,1 in Z1
p1, 2 ( Δt )  t
wechselt nach Δt mit
p2,1 in Z1
p1 (t )
aus Taylorentwicklung für e-Fktn.
Z2
p2 , 2 ( t )  1  µt
p 2 ,1( t )  µt
System funktionsfähig
Reparatur
oder System war in Z2
p1 ( t  t )  p1 ( t ) p1,1 ( t )  p2 (t ) p2,1 ( t )
p2 (t  t )  p2 (t ) p2, 2 ( t )  p1 (t ) p1, 2 ( t )
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p2 (t )
wechselt nach Δt mit
p1,2 in Z2
Z1
System war in Z1
kein Übergang in Δt.
dp1 ( t )
  p1 ( t )  p2 ( t ) µ
dt
dp2 ( t )
 p1 ( t )  p2 ( t ) µ
dt
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Zeitverhalten
stationäre Verfügbarkeit
Erweiterung auf beliebige, endlich viele Zustände möglich.
Laplace Transformation
p1 (t ) 
Lösungen für das Einzelelement:
p2 (t ) 
stationär : lim A(t ) 
t 0
Für   µ

µ
1
1

E (TB ) MTBF
1
1

E (TR ) MTTR
µ
µ
lim  1 
t 
1
µ
µ

µ

µ
 (   µ ) t

e
µ µ

µ


µ
e (   µ ) t
MTBF
MTBF + MTTR
stationäre Verfügbarkeit
A(t )  p1 (t )

µ
N (t )  p2 (t )
t
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Redundanzstrukturen
Kurze Zwischenbilanz:
Statistische Grundgrößen
Zuverlässigkeitskenngrößen
ohne
E (T ) 
1

mit Instandhaltung
MTBR = 1 = E (TR )
= MTBF
µ
+ Zeitverhalten
Verfügbarkeit
Anwendung auf Redundanzstrukturen:
•
Serien-/Parallelsysteme
•
mvn-System
•
nvn-System
•
Verallgemeinerung auf vernetzte Strukturen
z.B.
MTBF1v 2 
3

MTBFkvn 
;
1
n
1

 i  k 1 i  1
Aktuelles Beispiel aus der Netzplanung
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Aktuelles Beispiel aus der Netzplanung
Auftrag: Redundanzanalyse
Engpass
Basis:
R(t) Überlebenswahrscheinlichkeit
Vorgehen:
1. Engpaß
Netzdynamik
Schaltredundanz als kalte Reserve
Bedientheorie, Markov Prozeß
m
B
20/21
T  m
C
i 1
G m gi 1
1 m 1
 
 
B i 1 G Ci  gi B i 1 Ci  1
gi
D
A
gi  A E 
E
50/22
F
g i  Gewicht ( Fluß ) auf Kante i
G   gi
gi
 Ti
G
Engpass
min(
Ci
 1) bei 57 % Überlas t
gi
T/ms
i  m
i
Ci  Kapazität auf Kante i
B   bi , j  Bedarfsma trix B
i, j
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114
x=1
x=1,57
x=2,1
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B x
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Aktuelles Beispiel aus der Netzplanung
2. Netzdynamik mit QoS-Vorgabe des Auftraggebers: T = ø Verweilzeit im Netz/Paket
Problem:
1
min C  f (T ) mit Ci  gi (1 
BT

gi d i
gi d i
 min( Kosten)
u.d.N. Ci beliebig wählbar
lineare Kostenfun ktion d i  Ci  ai (CA - Problem)
Ergebnisse: wie vorgefunden ( schwarz ):
T = 114ms
nach Redundanzanalyse
optimiert ( rot ):
mit Vorgabe T = 100ms
Redundante Reserve aus Netzplanung:
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Kosten 170 Mio.
Kosten 149 Mio.
21 Mio.
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Gedanken zur Redundanz - eine Einführung -
Vielen Dank für Ihre
Aufmerksamkeit
Prof. Dr.-Ing. Steffen Krätzig
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