2.2

Ortsabhängige Kräfte Bsp.: Rakete im Gravitationsfeld (g nicht const.)
v
mM v
F (r )  G 
 er
2
r
Nur r-Komp.
a
(später mehr)
v  v r (Abschuss vom Pol)
dv

dv

dr
dt
dr

dv
r
v
 a  dr  v  dv



v  dv   
1
v 
2
GM
2

r
C1 
Gaub
1
2
M
GM
r
2
v0
v
er
dr
dt
}{
2
R
Erde
 dr

 C1
 v0 
h=r-R
GM
R

1
2
E1 WS14/15
2
 v0  g  R
1


1
v 
2
GM
2

r
1
2
2
 v0  g  R
M
mit a ( R )   g  G 

1
v 
2
2
g  R2

r
1
2
2
1 (
v0
}{
v0
v
er
v (rmax )  0
 v0  g  R
2
R
 rmax 
v0  v2 
R
r
M
  für v 0 
2
2Rg
h=r-R
R
Erde
2Rg
)

km


11
.2

2Rg
Fluchtgeschwindigkeit
(2.kosmische Geschwindigkeit)
s
Kleinste Kreisbahn (Newton) 1. Kosmische Geschwindigkeit
v1
2
R
Gaub

G  M 
 v1 
2
R
GM
R

g R 
E1 WS14/15
v2
2
 7.9
km
s
2
v
dp
v
d v  dm v d m  v
m
 m 

v 
 v  0
dt
dt
dt
dt
dt
Gesamtimpuls
(Rakete+Gas)
im All
Newtons Sicht:
Actio = Reactio!
v
m v
Gas


bezogen auf
Erdoberfläche



m

m0
Für t< T
T
t
m
v
dv
dt


dm
Viel Treibstoff
schnell verbrennen

Gaub
Raketengleichung
v
 ve
dt
Triebwerks-Schub
 dv   v e 
 dv   v
dm
e

Nur z-Richtung
m
m (t)
v(0)

Ausstoßgeschwindigkeit
relativ zur Rakete
v e  v  v  const
v( t )
mT
0
 0
dm  d m 
Rakete
m  v 
v
dv

m (0)
1
m
 dm
v(t )   v e (ln m t  ln m 0 )
 v(t )  v e  ln
E1 WS14/15
m0
mt
bei Start von
der Erde:
 v(t )  v e  ln
m0
mT
 g t
3
Bsp.: 1. Stufe Saturn V
ve  4 
km
s
}
m 0  3  10  kg
6
m T  1  10  kg
6
T  100  s

km
 v(T )  4, 4 
s
g0
 v(T )  3, 4 
km
s 2
g  9, 81 m / s
 unterhalb der Fluchtgeschwindigkeit

 Mehrstufige Trägerraketen
Apollo 11 Saturn V lauch
http://www.youtube.com/watch?v=wvWHnK2FiCk
Gaub
E1 WS14/15
4
§2.7 Energiesatz der Mechanik
v v
dW  F  d r
Arbeit + Leistung
Bahnkurve
p2
W 1 2 

v v
d
r
 v  dt
z
P2
y
x
„Arbeit“[W]= Nm = Joule


v v
F  dr 
x2

v
v
Fx  d x 
x1
y2

v
v
Fy  d y 
y1
z2

v
v
Fz  d z
z1
v v
Anmerkung: W = 0 für F  d r



p1
v
r (t )
P1
v v
F  dr
p1
p2
v
F
Linienintegral

Leistung:
P
dW
[P]=
 F v
dt

v
v
Bsp. Gleichförmige Kreisbewegung: v  v  e t ;
J
=Watt=W
s
F  F  er
v v
 F  dr  0  W  0

Bsp.: Dehnarbeit einer Feder von 0  x :

W

x
Fx  d x


 D  x  d x 
0

1
D x
2
2
Gaub
E1 WS14/15
5

Konservative Kraftfelder
P2
v
dr
I
z

P2
II
W II 
P2
Wenn


y

v v
F  dr
P1

P1
v v
F  dr
P1
v
Fg
v
r (t )

WI 

W I  W II  W III  
=> Integral wegunabhängig

 Kraftfeld
x
v
F (r )
konservativ
Konservatives Kraftfeld:
P2
W I  W II 

P2
P1
F  dr 

F  dr


P1
F  dr 

P1
P2
P1
P2
I
II
II
I

F  dr 

v v
F  dr  0
Die Arbeit hängt nur von Start- und Endpunkt, nicht vom Weg ab.

Vektoranalysis: Stokes´scher
Satz  konservativ falls rot F  0

Gaub
E1 WS14/15
6

 0 
v  
Fr   0 
 
Fz 
Bsp.: homogenes Kraftfeld
z
P2
z2
WI 
P2
II
 F  dr
z2
0
P1

z1
x1
z
 dz
z1
22
W II 
I
P1
F

Fz  dz  0
z1
x2


x
F  dr  0 
Konservatives Kraftfeld
v
Bsp.: zentrales Kraftfeld F  f (r)

P2
P2


II
Gaub


Fr  dr  0


Fr  dr
r2
r1
konservativ
F  dr  0 


I
P1
F  dr 
P1

r1
r2

E1 WS14/15
7
Potentielle Energie
konservatives Kraftfeld 
P2

W 
v v
F  dr
Def !
 E p (P1 )  E p (P2 )  E p
P1
v
F

dr

Bemerkung:
I. Vorzeichen so gewählt, dass Arbeit, die am Körper am
Körper verrichtet wird, dessen E p erhöht

W P 

v v
F  dr
 E p (P ) 
Arbeit die geleistet wird um P
ins Unendliche zu bringen
P
II. Nullpunkt wird oft so gewählt, dass

Gaub
E1 WS14/15
E p ()  0
8
Bsp. Gravitationsfeld
Nahe Erdoberfläche  g = const.
h
v
v
W   F  d r    m  g  dz   m  g  h  E p (0 )  E p ( h )
0
mit
E p (0 )  0
 E p ( h)  m  g  h
Geleistete Arbeit hat zur Zunahme der E p geführt

Für grösseren Entfernungsbereich gilt das Gravitationsgesetz

 W 
r
G M m v v
 er  d r  
2
r


r
G M m
r
2
 dr  
G M m
r
 E p (r )  E p ( )
Ep
R
m  g  R
Gaub
r
Ep  

G M m
r
E1 WS14/15
9
Energiesatz der Mechanik
t

v
v
t
t
v
v v
dv
dv v
F m
  F  v  d t  m  
 v  d t 
dt
d t 
t0
t0
konservatives Kraftfeld
P
v v
v v
F  v  d t   F  d r  E p (P0 )  E p ( P )  W
P0
t 0
v1
v
t
m
m
2
2
dv v
v v


v


v
m
 v  d t  m   v  d v
1
0
2
2

d
t
t0
v0


Def.:
E kin 
m
v
2
2
  E kin  W
Die Zunahme der kinetischen Energie eines
Körpers ist gleich der an ihm geleisteten Arbeit
E  E p (P0 )  E kin (P0 )  E p ( P )  E kin (P )
 Im konservativen Kraftfeld ist die Summe aus
potentieller Energie und kinetischer Energie konstant

Gaub

E1 WS14/15
10
Bsp: freier Fall
v (h )  0 ; z  h ; E P (0 )  0
z
E P (z )  
  m  g  dz
 m  g z
0
E kin (z ) 
m
2
v 
2
m
2
 (g  t )  m  g  (h  z )
2
weil 1 / 2  g  t  (h  z )
2
E  E P (z )  E kin ( z )  m  g  h Unabhängig von z!

Gaub
E1 WS14/15
11
v
F ( x  x, y  y)
Potential  Kraftfeld
P 

v
r

E P 
E P ( x  x , y  y )
v
F ( x, y )
E P
x
 x 
E P
y
 y 
E P
z
 z
y
Dafür benötigte Arbeit
P
E P ( x, y )

x
v v
W  F  d r    E P
 E P
E P
E P

 F x  x  F y  y  Fz  z   
 x 
 y 
 z

  x

y
z
Def.: Potential = Potentielle Energie pro Masse
Bsp.: Gravitation
V ( r)   G 
ME
r
=> Schwerkraft
Gaub

F (r )   grad (V )m
 E 
P


Nabla

x


v
E P
   grad ( E P )   E P
 F   
  y 
 E P 


  z 
E1 WS14/15

12
Bestimmung von G, Bsp: Gravitationswaage
= 2 L FG
Drehmoment des
verdrillten Fades

Schema Gravitationswaage
Gaub
E1 WS14/15
13
Drehimpuls
Ebene beliebig gekrümmte Bahn
v
L
v
v
r (t ), v (t )

O
v v
r (t 2 )

v
r (t )

vr
In Polarkoordinaten:
v
v  v v
v v
v v
L  m ( r  ( v r  v ))  m ( r  v r )  m ( r  v  )

v v
0 weil r v r
v
v
p  m v

v
v
und
r
v
Ebene
 von

weil

Kreisbewegung:

Gaub
Def.: Drehimpuls
v
v v
v v
L  (r  p )  m  (r  v )
v
v v
L  r , v
v v
2
Ý
r  v  r  

v
2
Ý
L  m  r  

2
Ý   ; v  v   L  m  r  



E1 WS14/15
14
Drehmoment:
Newton
v
dL
v
v
d r
v  v d p 
v v
v vÝ
   p  r 

(
v

p
)

(
r
 p )  (r  F )

dt
 
dt
dt 
v v
0 weil v p

Def: Drehmoment
v
dL
dt

Für zentrale Kraftfelder
D

v
v v
 D  (r  F )

.
v
r

v
F  f (r )  eˆr
ist
v v
D0
.
v
F

v

 L = const. bzgl. Kraftzentrum  Drehimpulserhaltung


Zeitliche Veränderung
des Drehimpulses ist gleich dem wirkenden Drehmoment
Gaub
E1 WS14/15
15
v
L
Man Beachte:
O1

und

werden bzgl. eines festen Punktes O im Raum definiert
v
L1  0
v
v
m
v
D
Gerade Bewegung kann Drehimpuls
haben bzgl. O 2
v
r



L 2  m  r  v  sin   0
O2

Analogie:

Später noch:
Gaub



v
rv
vv
Fv
p
 m

E kin


v

v
v
D
v
L
I
E ro t
E1 WS14/15
16
Johannes Keppler
Tycho Brahe
Gaub
E1 WS14/15
17
Planetenbewegung:
Kepplergesetze
(Basierend auf Beobachtung Tycho Brahes))
I. Planeten bewegen sich auf Ellipsen mit Sonne im Brennpunkt
II. Fahrstrahl von Sonne zu Planet überschreitet in gleichen Zeiten gleiche Flächen
P ( t1 )
P ( t2   t)
A1
A2
S
P ( t2 )
P ( t1   t )
III. Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die 3. Potenzen
ihrer großen Halbachsen
T1
T2
Gaub

2
2

a1
a2
3
3
oder
Ti
ai
2
3
 const
E1 WS14/15
für alle Planeten
18
Zum 2. Kepplerschen Gesetz
v
r (t  dt )
v v
d s  v  dt
h
dA

S
ds

v
r (t )


p
 dA 

dA
dt

1
2
1
2
Bogen ≈ Sehne
 r  v  dt  sin 
 r  v  sin  
1
2m
v v
r p 
1
2m
v
 L
+ 1. Gesetz (planare Bahn) => Richtung L konst
v
 L  const



Gaub
E1 WS14/15
19
Newtons Analyse:
!!
Planetenbahnen
Selbe Axiomatik
Gravitation !
Fallender Apfel
aus
!!
v
FG (r )  f (r )  eˆ r
v
L  const . 
(Zentralkraft)
aus Actio = Reactio 
FG ~ m 1  m 2

v
FG (r )  G  m 1  m 2  f (r )  eˆr

2
Mit Ellipse ~ Kreis =>  m p  w p  rp  G  m p  m s  f (ri )

3. Keppler
2
w ~T
2
~r
 f (r ) ~ r
3
2

mp  M S
 eˆr
  F  G 
2
r

Newtonsches Gravitationsgesetz
G= 6,67384⋅10−11m3/kg⋅s2
Gaub

E1 WS14/15
20
Bestimmung von g: Mathematisches Pendel
Ft  m  a t
Ý
Ý
m  g  sin    m  l  

sin    
l
3

5
3!
5!
...
sin   
l  (1  cos  )
Ft
Fr
Ý
Ý 
 
g
l

mg
Lösung der DGL:
 T  2  
Gaub
g
  (t )  A  sin
E1 WS14/15
l
l
t
 g
g
21
Genauer:
m
E kin 
E p  m  g  l  (1  cos  )
E  E kin  E p  m  g  l  (1  cos  ) 
m
2
l
g
0


 0
d
cos   cos  0
T 4
T ( 0 )  2   

d
g


0
l
g
sin
1  k 2  sin 2 
 (1 
1
16
; k  sin
2
  0  .....)

2  g  (cos   cos  0 )
l

+ Bronstein oder
Mathematica
2
mit sin  

d
2
sin
T
Start
dt
4
0

l

dt 
2
2
Ý2
 l  
2
2
 l  Ý  E p 0  m  g  l  (1  cos  0 )

4
v 
2

T
m
2
0
2
T ( 0 )
0
T0
2
1.02

1.01
1.00
10
Gaub
E1 WS14/15
20 30
0
22
Kreisscheibe der Dicke dx schneidet aus der Kugelschale
der Dicke da das Volumenelement (Kreisring)
Gravitation Kugelschale
da
a

r
y
m 
{
P
R
ds
X
dA
ds
dx
dx
dA = y dds
2
dV= y dds dx
ds
y d
x
Aufsicht

Schnittfläche
Gaub
y = a sin,
ds = da / sin
 dE P  G 
m    dV
r
 dV KR  y  ds  dx 
 d
0
 2    y  ds  dx
Nebenüberlegung: Kreisring in n Segmente dV unterteilen
und Beiträge zu Ep
aufaddieren:
m  dm KR
 m    dV
 dE PKR   dE P   n  G 
G
r
r
n
E1 WS14/15
23
Kreisscheibe der Dicke dx schneidet aus der Kugelschale
der Dicke da das Volumenelement (Kreisring)
Gravitation Kugelschale
da
a
y

dV = 2  y ds dx,
y = asin,ds=da/sin
r
m 
{
P
R
dm    2    a  da  dx
m  dm
 dE P  G 
r a
ds
E P  2      G  m  a  da 
dx
r  y  (R  x)
2
2
a

2
2
2
a R 2Rx
2
2
Gaub

m  m
R
mit m  4    a 2    da

r
Ra
 2      a  da  m 
EP 
 G   dr
R
r R a
E P  G 
dx / dr  r / R

 dx / r  dr / R

dx
x  a
2
 y x R 2Rx
14 2 43
2
dV = 2  a dx da
X
E1 WS14/15
= Masse der KS
24
 Außerhalb der Hohlkugel erscheint die gesamte Masse konzentriert in O
EP
R
a
0
Innerhalb Hohlkugel:
G 
m  m 
G 
m  m 
R
a
R innerhalb der Kugel!
r a  R


F
a
0
E Pi ~
R

r a  R
 E Pi  G 
F 0
F  G 
dr   2  R
m  m
m  m 
R
2
v
F   gradE
 const. R  a !
a
P
0
für R < a

Gaub

E1 WS14/15
25
Gravimetrie der Erdoberfläche
1 Gal = 1 cm/s² = 0,01 m/s²; also etwa ein Promille der durchschnittlichen Erdbeschleunigung
von ca. 9,81 m/s² ≈ 10 m/s² = 1000 Gal,
Gaub
E1 WS14/15
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Varianten der Coulomb WW
Gaub
E1 WS14/15
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Varianten der Coulomb WW
Siehe J.N. Israelachvili, Intermolecular and Surface Forces with Applications to Colloidal and
Biological Systems, Academic Press 1985
Gaub
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Bsp.: VdW-Potentiale ausgedehnter Körper
B

A
dw  n B 
2  ydyd 
( d   )
2
y
2


y

d
A
A
A
B
d
B
M
3
B
r
dy

w AB 

 
n B
dw   
6d
y 0  0
d
3
3
WAB~ 1/d
a)
b)
WAB~ 1/d
Nochmalige Integration
=> Potetial zwischen 2 Wänden
a
W AB  
 2nA nB  1
12
d
2

HAB typisch ≈10-20 J
Hamaker
Konstante
Gaub
H AB 1
12 d
L
d
R
d
2
WAB~ 1/d
E1c)WS14/15
5
d)
WAB~ 1/d
29
2
Van der Waals Wechselwirkung hält den Gecko am Glas fest
Gaub
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