Aufgaben aus vergangenen Klausuren

Aufgabe 4 „Glückspasch" (16 Punkte)
Auf dem Schulfest bietet Peter als Spielleiter das Glücksspiel "GlücksPasch" an.
Spielregeln: Einsatz 1€. Der Mitspieler würfelt mit 2 Oktaederwürfeln. Fällt ein Pasch, erhält er die erwürfelte
Augensumme in Euro als Gewinn. Ansonsten geht er leer aus.
a)
Geben Sie den Wahrscheinlichkeitsraum (W,P) für den doppelten Würfelwurf an, wenn die beiden Würfel
stochastisch unabhängig voneinander geworfen werden. (1 Punkt)
b) Beschreiben Sie die folgenden Ereignisse als Teilmengen von W in charakterisierender Form und bestimmen
Sie jeweils die zugehörige Wahrscheinlichkeit P(A), P(B) und P(C). (3 Punkte)
A: „Es fällt ein Pasch.“
B: „Mindestens einer der Würfel zeigt eine 8.“
C: „Die Augensumme ist größer als 12.“
c)
Die Zufallsgröße X bezeichne die Augensumme des doppelten Würfelwurfs mit den Oktaederwürfeln.
Bestimmen Sie die Wertemenge von X und geben Sie eine formale Definition von X als Abbildung an. (2
Punkte)
d) Drücken Sie Ereignis C aus Teilaufgabe b) mit Hilfe der Zufallsgröße X aus. (1 Punkt)
e)
Die Zufallsgröße Y bezeichne den Nettogewinn (Gewinn minus Einsatz) eines Mitspielers, der sich auf das
GlücksPasch-Spiel von Peter einlässt. Geben Sie den Wertebereich von Y an und stellen Sie tabellarisch die
Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y dar. (3 Punkte)
f)
Berechnen Sie den Erwartungswert E(Y) der Zufallsgröße Y. (2 Punkte)
g) Wie hoch hätte Peter den Einsatz festsetzen müssen, damit er als Spielleiter im Mittel pro Spiel 25 Cent
Gewinn bekäme? (1 Punkt)
h) Wie würden Sie an diesem Beispiel das Gesetz der großen Zahl für den Erwartungswert visualisieren und
begründen? (3 Punkte)
Aufgabe 5 „Urnenziehung" (5 Punkte)
In einer Urne befinden sich 16 gleich große Kärtchen, auf denen jeweils nur ein Buchstabe aufgedruckt ist.
Kärtchen mit den Buchstaben:
Anzahl der Kärtchen:
a)
A
2
E
5
F
3
L
2
T
4
Man darf dreimal hintereinander ein Kärtchen ziehen, ohne es zurück zu legen.
Wahrscheinlichkeit dafür, dass man drei gleiche Buchstaben zieht. (2 Punkte)
Bestimmen Sie die
b) Man zieht fünf Karten mit einem Griff. Wie wahrscheinlich ist es, dass man aus den gezogenen Karten das
Wort „Falle“ legen kann. (3 Punkte)
Aufgabe 6 „Multiple-Choice-Test" (17 Punkte)
Der Dozent einer Lehrveranstaltung macht Ihnen folgende Klausurangebote für den Erwerb eines
Leisungsnachweises:
1.
Multiple-Choice-Test mit 10 Fragen (jeweils drei Antwortmöglichkeiten, von denen eine richtig ist), mindestens
50% der Fragen müssen richtig beantwortet sein.
2.
Multiple-Choice-Test mit 20 Fragen (jeweils drei Antwortmöglichkeiten, von denen eine richtig ist), mindestens
50% der Fragen müssen richtig beantwortet sein.
Sie möchten gerne den Schein erwerben, können aber nicht für die Klausur lernen.
a)
Unter welchen Voraussetzungen könnte man die Anzahl der richtigen Antworten in den Tests als
binomialverteilte Zufallsgröße modellieren? (2 Punkte)
b) Modellieren Sie die Anzahl richtiger Antworten als Zufallsgrößen X1 im 10er-Test und X2 im 20er-Test mit
einer geeigneten Binomialverteilung.
i. Berechnen Sie P(X1 = 5), die Wahrscheinlichkeit, dass Sie den 10er-Test gerade bestehen, wenn Sie nur
raten. (1 Punkt)
ii. Berechnen Sie P(X1 ≥ 5), die Wahrscheinlichkeit, dass Sie den 10er-Test bestehen, wenn Sie nur raten.
(2 Punkte)
Aufgabe 3 „Glücksrad“ (23 Punkte)
Bei einer Benefizveranstaltung wird für die Gäste ein Glücksspiel mit rechts abgebildetem
Glücksrad angeboten. Das Glücksrad darf dreimal gedreht werden.
a)
Beschreiben Sie die Ergebnismenge W des 3-stufigen Zufallsexperiments formal.
Bestimmen Sie |W|. (2 Punkt)
b) Beschreiben Sie die folgenden Ereignisse als Teilmengen von W in charakterisierender Schreibweise und
bestimmen Sie jeweils die zugehörige Wahrscheinlichkeit P(A), P(B) und P(C). (6 Punkte)
A: „Die erste gedrehte Zahl ist gleich 2.“
B: „Genau eine der drei gedrehten Zahlen ist eine 2.“
C: „Die Summe der erdrehten Punkte ist 9.“
Ein Gast darf an diesem Glücksspiel mit einem Einsatz von 10€ teilnehmen. Die erdrehten Punkte werden
aufsummiert. Erreicht der Spieler eine Endpunkzahl von höchstens 4 Punkten, so gewinnt er 30€. Erreicht er eine
Endpunkzahl von höchstens 6 Punkten, so gewinnt er 15€. Andernfalls geht er leer aus.
Die Zufallsgröße X sei der Nettogewinn (Gewinn minus Einsatz).
c)
Geben Sie die Wertemenge Ŵ X der Zufallsgröße X an. (1 Punkt)
d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X. Begründen Sie Ihre Ergebnisse.
(Kontrolle: P(X=20)=1/16) (10 Punkte)
e)
Bestimmen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße X. (2 Punkte)
f)
Welche Bedeutung hat der berechnete Erwartungswert. (2 Punkte)
Aufgabe 5 „Statistische Kennzahlen“ (15 Punkte)
Sei X ein numerisches Merkmal mit den Werten:
13, 4, 9, 1, 6, 2, 1, 7, 5, 4, 3, 17, 20, 6.
a)
Berechnen Sie das arithmetische Mittel von X. (2 Punkte)
b) Berechnen Sie alle benötigten Kennzahlen des Merkmals X, um einen Boxplot nach Tuckey zeichnen zu
können. Erläutern Sie Ihren Rechenweg. (10 Punkte)
c)
Zeichnen Sie den Boxplot nach Tuckey von X in folgendes Diagramm: (3 Punkte)
X
Aufgabe 1 „Aussagen“ (16 Punkte)
Kreuzen Sie an, ob folgende Aussagen richtig oder falsch sind.
Für jede richtige Antwort erhalten Sie einen Punkt. Bei einer falschen Antwort wird Ihnen ein Punkt abgezogen. Für
nicht bewertete Aussagen erhalten Sie null Punkte. Eine negative Endpunktzahl wird auf null Punkte getilgt.
Statistik:
richtig
falsch
• Bei einer rechtsschiefen Verteilung ist der Median kleiner als das arithmetische Mittel
• Der Median der Abweichungen vom Median ist gleich null.
☐
☐
☐
☐
☐
☐
• Beim Boxplot ist ein Anreiner in der oberen Datenhälfte der kleinste Ausreißer nach oben.
• Das Intervall (Q1, Q3) enthält genau 50% der Daten.
☐
☐
☐
☐
• Der Median ist robust gegen Ausreißer.
☐
☐
• Sei X ein numerisches Merkmal und a,b ∈. Dann gilt: median(a·X + b) = a·median(X) + b. ☐
☐
• Das Maximum eines numerischen Datensatzes ist immer größer als das dritte Quartil Q3.
☐
☐
Wahrscheinlichkeitsrechnung:
richtig
falsch
☐
☐
☐
☐
• Beim Münzwurf mit einer ungezinkten Münze ist 10 mal hintereinander Wappen gefallen.
Nach dem Gesetz der großen Zahlen ist zu vermuten, dass bei den nächsten 10 Würfen
wahrscheinlich häufiger Zahl geworfen wird.
☐
☐
• In einer Urne liegen zwei gelbe und zwei blaue Kugeln. Zwei Kugeln werden ohne Zurücklegen
gezogen. Die Wahrscheinlichkeit zwei gleichfarbige Kugeln zu ziehen beträgt 1/3.
☐
☐
☐
☐
☐
☐
• Sei W eine Ergebnismenge und P eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über W. Dann gilt für
alle Ereignisse A, B ⊂ W: P(A∪B) = P(A) + P(B).
☐
☐
• Beim sechsfachen Würfelwurf ist das Ergebnis (6,3,4,2,1,3) wahrscheinlicher als (2,2,2,6,6,6).
☐
☐
• Ein Histogramm zeigt die Verteilung eines numerischen Merkmals mit relativen Häufigkeiten.
Die Summe der Flächen aller Säulen ist immer gleich 1.
• Die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments ist die Menge aller möglichen Ergebnisse, die bei
dem Zufallsexperiment auftreten können.
• Bei sehr häufigen Durchführen eines Zufallsexperiments erwartet man, dass sich die
Wahrscheinlichkeit mit der ein Ereignis in der Versuchsreihe auftritt, um die relative
Häufigkeit dieses Ereignisses einpendelt und sich immer mehr annähert.
• Die Augensumme beim Doppelwürfel ist gleichverteilt.
• In einem großen Krankenhaus, in dem durchschnittlich 80 Kinder pro Woche geboren werden
ist die Wahrscheinlichkeit geringer, dass mehr als 60% der geborenen Kinder Jungen sind, als
an einem kleinen Krankenhaus mit durchschnittlich 30 Geburten pro Woche.
Aufgabe 2 „erratene Punkte“ (22 Punkte)
a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in Aufgabe 1 volle Punktzahl zu erreichen, wenn man nur rät? (2 Punkte)
b) Begründen Sie von welchen Annahmen und Regeln Sie bei Ihrer Rechnung in Aufgabenteil a) ausgegangen
sind. (3 Punkte)
c)
Sei X die Zufallsgröße, die die Anzahl der richtig gelösten Aufgaben angibt. Bestimmen Sie die Wertemenge
ŴX von X und geben Sie eine Formel für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten an (P(X=k)= ) (2 Punkte)
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in Aufgabe 1 mindestens 85% richtig zu beantworten, wenn man nur rät?
Erläutern Sie Ihren Rechenweg. (6 Punkte)
e)
Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße X. (2 Punkte)
f)
Sei Y die Zufallsgröße, die die erreichte Endpunktzahl angibt (1 Punkt = richtig gelöste Teilaufgabe, -1 Punkt
= falsch gelöste Teilaufgabe). Hier sind als Endpunktzahl auch negative Punkte zugelassen. Geben Sie die
Wertemenge ŴY für Y an. (1 Punkt)
g) Geben Sie Y als eine Funktion von X an (Y= ). (2 Punkte)
h) Bestimmen Sie den Erwartungswert von Y. (Hinweis: Sie können Ihre Ergebnisse aus den Teilaufgaben e)
und g) verwenden.) (2 Punkte)
i)
Stimmt Ihr rechnerisches Ergebnis von Aufgabenteil h) mit Ihrer Intuition überein? Begründen Sie (2 Punkte)
Aufgabe 3 „Fernsehbesitzer“ (14 Punkte)
Die Auswertungstabelle gibt die Aussagen über den
Besitz eines eigenen Fernsehgerätes der
Schülerinnen und Schüler aus dem MuffinsDatensatz wieder. Acht der Befragten haben keine
Angabe gemacht. Diese brauchen bei den folgenden
Berechnungen nicht berücksichtigt werden.
a)
Bestimmen Sie mit den Angaben aus
obiger Auswertungstabelle die fehlenden
sechs Zeilenanteile in nebenstehender
Tabelle. Ergänzen Sie die Tabelle mit
Ihren berechneten Werten (auf ganze
Prozentzahlen gerundet).
(6 Punkte)
b) Erstellen Sie ein Baumdiagramm, das erst nach TV-Besitz und dann nach Geschlecht kategorisiert.
Beschriften Sie das Baumdiagramm vollständig mit den zugehörigen relativen Häufigkeiten (4 Punkte)
c)
Rechts abgebildete Auswertungstabelle zeigt
die Spaltenanteile auf ganze Prozentzahlen
gerundet. Betrachten Sie die Werte, die sich
auf die männlichen Befragten beziehen.
Weisen Sie analog zur Vorlesung nach, dass
sich die 44% als gewichtete Mittel aus den
47% und den 36% ergibt. (Sie benötigen zu
Begründung die absoluten Häufigkeiten aus
der Tabelle von vorhergehender Seite.)
(4 Punkte)
Aufgabe 5 „Mittelwerte und Boxplot“ (7 Punkte)
Sei X ein numerisches Merkmal mit den ungeordneten Werten x1,...,xn. Das arithmetische Mittel sei
a)
x.
Geben Sie eine formale Definition des ersten Quartils Q1 an. (3 Punkte)
b) Begründen Sie, dass die Summe der Abweichungen vom arithmetischen Mittel gleich null ist. D. h. zeigen Sie
n
folgende Gleichung:
∑ (x -x) = 0 .
i =1
i
(4 Punkte)
Aufgabe 6 „Würfelwurf“ (13 Punkte)
Wir betrachten die Augensumme beim zweifachen Würfelwurf. Peter behauptet, die Wahrscheinlichkeit eine 6, 7 oder
8 zu werfen sei gleich, nämlich jeweils 3/21, also etwa 14,3%.
a)
Aufgrund von welchen Modellannahmen könnte Peter zu seiner Berechnung gekommen sein? (3 Punkte)
b) Mit welcher Ergebnismenge W und Wahrscheinlichkeitsverteilung P modelliert man üblicherweise den
doppelten Würfelwurf? (2 Punkt)
c)
Bei welchen Bedingungen an das Realexperiment erwarten Sie, dass das Modell gut passt, bei welchen
Bedingungen eher weniger? (4 Punkte)
d) Die Augensumme des doppelten Würfelwurfs ist eine Zufallsgröße, die wir mit X bezeichnen. Geben Sie eine
formale Definition von X als Abbildung an und bestimmen Sie die Wertemenge Ŵ X . (2 Punkte)
e)
Sei E:= { w ∈ W | X(w) = 6 }. Berechnen Sie P(E). (2 Punkte)