Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
(nach www.lrz-muenchen.de/~poe/ )
Zufällige Ereignisse: ω1, ω2, ω2, ω3, … bzw. Elementarereignisse
Ergebnismenge: Ω = { ω1, ω2, ω2, ω3, … , ωn }
Bsp. Würfel: Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Ereignis A: Jede Teilmenge der Ergebnismenge Ω
Bsp.: An = „Summe der geworfenen Augen bei 2 Würfeln ist n“
Komplemetärereignis: Ᾱ = Ω A
Vereinigung Aj Ak wird auch als „Summe“ Aj + Ak bezeichnet. [ω liegt in Aj oder Ak ]
Durchschnitt Aj Ak wird auch als „Produkt“ Aj * Ak bezeichnet. [ω liegt in Aj und Ak ]
Relative Häufigkeit hn = =
mit 0 ≤ hn(A)
Für disjunkte Ereignisse gilt hn(Aj + Ak) = hn(Aj) + hn(Ak).
Laplacesche Wahrscheinlichkeit (jedes Ereignis ist gleichwahrscheinlich, z.B. Würfel)
Wahrscheinlichkeit P(A) =
Bsp. Würfel: P(1) = P(2) = P(3) = … =
Bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn sein Eintreten von der Vorgeschichte
abhängt.
Bsp. Urne mit 3 weißen und 2 schwarzen Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit beim 1. Ziehen eine
weiße Kugel zu bekommen ist (und sie ist , eine schwarze zu ziehen).
Beim 2. Ziehen ist die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu ziehen , falls beim 1. Ziehen eine
weiße Kugel gezogen wurde und sie ist , falls beim 1. Ziehen eine schwarze gezogen wurde. Gut
geeignet ist die Darstellung durch ein Baumdiagramm!
Dazu die Pfadregeln beim Baumdiagramm:
1. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein bestimmter Pfad durchlaufen wird, ist das Produkt
der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades.
2. Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses ist gleich der Summe der
Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen.
Permutation Pn = n! (alle Elemente verschieden) Bei k Klassen von
je n1, n2, … nk gleichen Elementen mit n = n1+ n2,+ … +nk ist Pn =
Bei n geordneten Stichproben aus N Elementen gibt es N*(N-1)*(N-2)* … *(N-n+1) =
Möglichkeiten. Wenn es auf die Reihenfolge nicht ankommt, gibt es
.
Möglichkeiten k aus N Elementen „anzukreuzen“, wie im Lotto.
Die Zufallsgröße X ist ein Zahlenwert X eines Elementarereignisses ω, z. B. das Gewicht eines
zufällig gewählten Exemplars ω einer Gesamtmenge Ω, also
X: ω X(ω)
.
Dadurch ist eine graphische Abbildung möglich (Kreisdiagramme, Balkendiagramme, Strichlisten,
Flächendiagramme).
Ist insbesondere Ai eine Teilmenge der Gesamtheit Ω, so dass für alle ωk Ai X(ωk) = xi ist,
(also z. B. A2= alle Studenten ωk der Studiengruppe Ω, die die Note 2 geschrieben haben),
so wird Ω in disjunkte Teilmengen zerlegt.
1
Den Elementarereignissen ωk werden Wahrscheinlichkeiten P(ωk) zugeordnet. Damit ist bestimmt,
mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsgröße X den Wert xi annimmt.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsgröße X ist eine Funktion, die jedem xi der
Zufallsgröße X eine Wahrscheinlichkeit f(xi) zuordnet, z.B. X=2, d.h. mit 2 Würfeln die
Augensumme 2 zu bekommen, hat die Wahrscheinlichkeit P(X=2) =
,
Die Verteilungsfunktion F(x) der Zufallsgröße X gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die
Zufallsgröße X Werte annimmt die x sind, (also aufintegriert).
F(x): = P(X
=
i) Die Verteilungsfunktion F(x) ist monoton wachsend und es
ist
1. Bei Stetigkeit ist F (x) = f(x) und F(x) =
.
Der Erwartungswert einer Zufallsgröße X ist E(X) =
i*f(xi)
(= Schwerpunkt) oder
bei Stetigkeit E(X) =
(= Schwerpunkt oder Mittelwert μ und ist ein Moment 1. Ordnung wie das Drehmoment)
Eigenschaften von E(X): E(a) = a; E(aX) = aE(X); E(X+Y) = E(X) + E(Y); (Linearität)
E(X*Y) = E(X)*E(Y), falls die Zufallsgrößen stochastisch voneinander unabhängig sind.
Mittelwert μ und Varianz Var(X) einer Zufallsgröße X:
μ = E(X); Var(X) = E((X – μ)2) = σ2 , d.h. die Varianz ist gleich dem Erwartungswert
(Mittelwert) des Quadrats der Abweichungen vom Mittelwert.
Var(X) = E((X – μ)2) = σ2 =
i
)2f(xi) im diskreten Fall und
–
– µ)2f(x)dx bei stetiger Wahrscheinlichkeitsfunktion.
Var(X) = E((X – μ)2) = σ2 =
(Moment 2. Ordnung wie das Trägheitsmoment.)
2
2
Var(X) = E(X ) – [E(X)] ; Var(aX+b) = a2 Var(X);
Var(aX + bY) = a2 Var(X) + b2 Var(Y), für unabhängige Zufallsgrößen und. insbesondere
Var(X–Y ) = Var(X+Y) für unabhängige Zufallsgrößen.
Normalverteilung:
F(X, σ2) = P(X x) =
t, µ, σ2) dt mit F(– ∞) = 0, F( ) = 0,5; F(+ ∞) = 1
Und es ist P(a < X
t, µ, σ2) dx = F(b) – F(a)
b) =
Standardnormalverteilung: Durch die Transformation U =
erhält man aus jeder
Normalverteilung die Standardnormalverteilung mit E(U) = 0, (μ = 0)
und Var(U) = 1, d.h. σ = 1.
exp(- u2/2) und die Verteilungsfunktion ist
Die Dichtefunktion ist f(u, 0, 1) =
2
F(u, 0, 1) = ϕ(u) =
/2)dt.
ϕ(u) ist nur numerisch integrierbar und liegt uns in Tabellen vor.
Z.B. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% nimmt die standardnormalverteilte Zufallsgröße U
Werte an, die höchstens gleich 2,054 sind. P(U 2,024) = 0,98
Beispiel: Eine Zufallsgröße sei normalverteilt ( σ2). Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt X
Werte an, die im Intervall x1 = – k σ bis x2 = + k σ liegen?
Lösung: u1 =
=
=–k
und : u2
=
=
= +k
P(x1 < X x2) = P(– k < U k) = ϕ(k) – ϕ(– k) = ϕ(k) – [1 – ϕ(k)] = 2 ϕ(k) – 1.
k = 1: 2 ϕ(1) – 1 = 2*0,8413 – 1 = 0,6826 = 68,26%
k = 2: 2 ϕ(2) – 1 = 2*0,9772 – 1 = 0,9544 = 95,44%
k = 3: 2 ϕ(3) – 1 = 2*0,9987 – 1 = 0,9974 = 99,74%
k = 4: 2 ϕ(4) – 1 = 2*0,99996833 – 1 = 0,99993666 = 99,99%
2
Also ist
P( – 1* σ < X
P( – 2* σ < X
P( – 3* σ < X
P( – 4* σ < X
+ 1* σ) = 68,26%
+ 2* σ) = 95,44%
+ 3* σ) = 99,74%
+ 4* σ) = 99,99%
Einsatz von Wahrscheinlichkeitspapier:
Beim Wahrscheinlichkeitspapier wird auf der Mitte der x-Achse das gezeichnet und die Werte
σ, 2σ, 3σ, 4σ werden nach links und rechts in konstantem Abstand (irgend ein Maßstab)
eingetragen. Auf der y-Achse sind die Wahrscheinlichkeiten nicht linear, sondern (durch
Projektion auf eine schräge Gerade) derartig verzerrt dargestellt, dass eine normalverteilte
Zufallsvariable im Wahrscheinlichkeitspapier eine Gerade ergibt.
D.h., wenn man die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariablen auf dem W-Papier
einzeichnet, kann man schnell erkennen, ob sie normalverteilt ist.
Beispiel: (6. Aufgabe Der Diplom-Vorprüfung, Mathe II im WS 09/10)
Eine Maschine B stellt Gemüsekonserven mit dem Sollgewicht 500 g her. Eine Stichprobe von 50
Dosen wird gezogen. Sie ergibt die Spalten 1,2 und 5 der folgende Tabelle, der Rest ist berechnet:
abs.
Rel.
kumulierte rel.Häuf
Δi =
Δi2*hi
Häufigk Häufigk Häufigk
dichte
mi - x
(k)
®
hi
ri=hi/n. ri
di =ri/bi
0,04
0,04
0,004
-27,6
1523,52
2
0,30
0,34
0,030
-17,6
4646,40
15
0,20
0,54
0,020
- 07,6
0577,60
10
0,14
0,68
0,014
+02,4
0040,32
7
0,06
0,74
0,006
+12,4
0461,28
3
0,16
0,90
0,016
+22,4
4014,08
8
0,10
1,00
0,010
+32,4
5248,80
5
50
16512,00
x = (475*2+485*15+495*10+505*7+515*3+525*8+535*5)/50 = 502,6 (arithmetisches. Mittel)
Klassen
unter
grenze
470
480
490
500
510
520
530
Klassen
ober
grenze
480
490
500
510
520
530
540
Klassen
breite
bi
10
10
10
10
10
10
10
Stichprobenvarianz = s2 =
Klassen
mitte
mi
475
485
495
505
515
525
535
= 336,9796; s = 18,357
Transformation ist nicht nötig, sondern man kann gleich das W-Papier benutzen, indem man
die Punkte unter Gleichsetzung von μ = x und σ = s
– 2* σ = 502.6 – 2*18,357 = 465,89
Ordinate ϕ(– 2) = 1 - ϕ(1) = 0,0228
– 1* σ = 502,6 – 1*18,356 = 484,24
Ordinate ϕ(– 1) = 1 - ϕ(1) = 0,1587
+ 0* σ = 502,6
= μ
Ordinate ϕ(+ 0) = 0,5000
+ 1* σ = 502,6 + 1*18,356 = 520,96
Ordinate ϕ(+ 1) = 0,8413
+ 2* σ = 502,6 + 2*18,356 = 539,31
Ordinate ϕ(+ 2) = 0,9772
auf der x-Achse markiert (in irgendeinem Maßstab) und senkrechte Linien bis zur Ordinatenhöhe
einzeichnet. Das ergibt dann die zugehörige Gerade der Normalverteilung.
Dann trägt man die kumulierten Häufigkeiten hi zu den oberen Klassenrändern ein – sie müssten
bei Normalverteilung eine Gerade ergeben, die mit der Geraden der zugehörigen
Normalverteilung zusammenfällt. Was sie nicht tut, also ist die Stichprobe nicht normalverteilt!
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