5. Reibung Die bisher und weiterhin aufgestellten und

5.
Reibung
Die bisher und weiterhin aufgestellten und angewendeten Gesetze der Mechanik beziehen
sich auf eine idealisierte Natur. Das kommt vor allem im Energiesatz der Mechanik zum
Ausdruck, dessen Gültigkeit offenbar dann gegeben ist, wenn man von Kräften absieht, die
energieverzehrend wirken, und konservative Kräfte allein betrachtet. Die Ergänzungen zur
reinen Mechanik, von denen hier gesprochen wird, faßt man unter dem Begriff Reibung
zusammen. Es handelt sich dabei um komplizierte Phänomene der Festkörperphysik bzw. der
Physik von Fluiden und Gasen, die in dieser Vorlesung nicht physikalisch aufgeklärt werden
können, sondern nur in ihren Auswirkungen bzw. in ihrer Erscheinung beschrieben werden
sollen. Ihre praktische Bedeutung ist sehr groß.
Man muß unterscheiden:
Haftreibung, Gleitreibung, Rollreibung, Bohrreibung (äußere Reibung, Energieverlust bei
Bewegungen zweier verschiedener Körper zueinander)
sowie
innere Reibung in Gasen und Flüssigkeiten bei Bewegung der Atome und Moleküle eines
Stoffes gegeneinander. Innere Reibung wird später behandelt.
5.1.
Haftreibung
FH Haftreibungskraft
FN
Normalkraft
Das größte Gewicht G, das bei dieser Anordnung den Körper K gerade noch nicht in
Bewegung setzt, ist die Haftreibungskraft FH = G
FH = µH ⋅ FN
µH Haftreibungszahl, FH ist unabhängig von der Größe der Berührungsfläche.
Erklärung der Unabhängigkeit der Kraft FH von der Fläche dadurch, daß Berührungsfläche in
Wirklichkeit nicht eben ist (nur im technischen Sinne), sondern daß Berührung nur
punktweise (in der Regel ≥ 3 Punkte) erfolgt.
Genauere Betrachtungen dazu, daß F und FGl nicht von der Fläche A der Berührungsfläche
abhängig sind.
Die Reibungskräfte sind proportional zur Anzahl NA der ineinander verhakten Spitzen
zwischen den berührenden Flächen.
Die Größe NA ist proportional
( FN A, FN = Normalkraft):
zur
Fläche
A
und
zum
Auflagedruck
NA ∝ A
NA ∝
FN
A
Daher gilt:
FH , Gl ∝ N A ∝ A ⋅
FN
∝ FN .
A
FH , Gl ist daher unabhängig von A!
5.2.
Gleitreibung
FGl Gleitreibungskraft
FGl = µ Gl ⋅ FN
µ Gl Gleitreibungszahl. Stets gilt: µ Gl < µ H .
Bestimmung der Reibungszahlen mittels schiefer Ebene
FH:
Winkel α so, daß Bewegung gerade
eintritt:
FH = FG ⋅ sin α = FN ⋅ µ H
= FG ⋅ cos α ⋅ µ H
µ H = tan α
FGl :
Um µGl zu bestimmen, muß nach eingetretener Bewegung der Winkel α sofort verkleinert
werden: α ' < α .
Wenn Körper gerade mit konstanter Geschwindigkeit abwärts gleitet, d. h. Fx = FGl gilt, erhält
man:
FG ⋅ sin α ' = FG ⋅ cos α ' ⋅ µ Gl
µ Gl = tan α '
Vergrößerung
der Kraft bis
zum Eintritt
der Bewegung
Die Behinderung einer Bewegung durch
Reibungskräfte
Anwendung zur Gleitreibung (Versuch)
Bremskraftmesser (Pronyscher Zaum)
F
von Motor ausgeübte Kraft, n Umdrehungen pro s
FR Reibungskraft von gleicher Größe wie F,
F = FR
Das Gewicht wird so gewählt, daß Gleichgewicht:
FG ⋅ l = F R ⋅ r = F ⋅ r
Hier: FG über Federwaage (Hookesches Gesetz)
Leistungsmessung:
Kraft (F ) ⋅ Weg (s = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ n ⋅ t )
Zeit (t )
F ⋅ s FG ⋅ l ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ n
P=
=
= FG ⋅ l ⋅ 2 ⋅ π ⋅ n
t
r
P=
2 ⋅ π ⋅ n ≡ ω (Kreisfrequenz )
FG ⋅ l ≡ Drehmoment ( s. später ) am Umfang
5.3.
Viskose Reibung
= Körper bewegen sich nicht zu schnell in einer vikosen Flüssigkeit.
Reibungskraft:
FR = R ⋅ v
Stokessche Reibung
F ist proportional zur Geschwindigkeit
Sir George Gabriel Stokes (1819 – 1903)
Für Kugel mit Radius r in viskoser Flüssigkeit ist R ∝ r , der Proportionalitätsfaktor ist 6 ⋅ π ⋅
η, η ist die Viskosität (Zähigkeit).
[η ]= N ⋅2s =1 Pa(scal ) ⋅ s =10 Poise
m
Wasser: + 20° C
[η ]=1,002
Einheit ist [ Pa*s ]
=1,792 m ⋅ Pa ⋅ s
0° C
Glyzerin: + 20° C
m ⋅ Pa ⋅ s
[η ]=1480
m ⋅ Pa ⋅ s
=12100 m ⋅ Pa ⋅ s
0° C
= Schnelle Bewegung; z. B. Fall in Gasen (Luft)
FR = C ⋅ v 2
Newtonsche Reibung
6.
Kräfte in bewegten Bezugssystemen
6.1.
Zur Klassifizierung von Kräften. Teil 2
Unter Ziffer 2.1. (Teil 1 der Klassifizierung) sind die Kräfte nach ihrer relativen Stärke und
Reichweite in vier Arten aufgeteilt worden. Die nachfolgende Unterscheidung erfolgt unter
Berücksichtigung des Einflusses bewegter Bezugssysteme (Folie).
Bisher haben wir stets vorausgesetzt, daß die Messungen und Beobachtungen von einem
Inertialsystem aus erfolgten. Darunter verstanden wir ein Bezugssystem, das sich z. B.
gegenüber dem Fixsternhimmel in Ruhe oder in einer gleichförmigen Bewegung befindet. Die
Inertialsysteme sind so eingeführt worden, daß sich in ihnen nach dem 1. Newtonschen
r
r
Axiom ein kräftefreier Körper F = 0 mit konstanter Geschwindigkeit (a = 0) bewegt.
(
)
Wenn Vorgänge aus der Sicht eines Beobachters betrachtet werden, der sich in einem
Nichtinertialsystem befindet (beschleunigt bewegtes Bezugssystem), müssen zusätzliche
Kräfte eingeführt werden (Trägheitskräfte).
Für Trägheitskräfte gilt das 3. Newtonsche Axiom (actio = reactio) nicht.
Abgesehen von den Erscheinungen, die anschließend besprochen werden, kann für alle
praktischen Anwendungen, die zur Definition der fundamentalen Größen der Physik wie
Masse und Kraft führten, die Erde als Inertialsystem angenommen werden. Beschleunigungen
unseres mit der Erde verbundenen Bezugssystems müßten dann berücksichtigt werden, wenn
wir genauer als 10-7 messen wollten. Dieser Schluß ist vor allem darin begründet, daß die
bisherigen besprochenen Experimente in einem Labor durchgeführt wurden, das fest mit der
Erde verbunden war.
6.2.
Gleichförmig bewegte Bezugssysteme
6.2.1.
Galilei – Transformation
Physikalische Vorgänge sind unabhängig vom gewählten Bezugssystem. Allerdings kann ihre
mathematische Formulierung in einem speziell gewählten Koordinatensystem oft einfacher
sein als in einem anderen. Wie sich dies in zwei zueinander, mit konstanter Geschwindigkeit,
bewegten Koordinatensystemen verhält, wird im Folgenden beschrieben.
Wir betrachten zwei Koordinatensysteme Σ, Σ’ mit Σ(x, y, z ) und Σ’(x’, y’, z’). Beide
r
Koordinatensysteme werden mit konstanter Geschwindigkeit v R gegeneinander bewegt. Zum
Zeitpunkt t =0 sollen die Koordinatenursprünge O und O’ zusammenfallen.
Ebenso soll stets t = t’ gelten, das heißt zur Zeitmessung sollen in beiden Systemen
gleichgehende Uhren verwendet werden.
z’
A
y’
z
y
r
r’
Koordinaten eines
Punktes A in zwei sich
mit v gegeneinander
bewegenden Systemen
x’
v *t
x
Es gelten folgende Beziehungen:
r r r
r ' = r − vR ⋅ t
oder in Koordinatenschreibweise:
x’(t)= x(t)- v R, x
y’(t)= y(t)- v R, y
z’(t)= z(t)- v R, z
t’= t
Für die Geschwindigkeit des Körpers A gilt:
v’= v- v R
Für die Beschleunigung ergibt sich:
a’= a → Die Beschleunigung ist invariant: a ' x = a x , a ' y = a y , a ' z = a z
r
Bei Betrachtung des speziellen Falls der Bewegung v R = (v R ,0,0 ) gilt:
x' = x − v R ⋅ t , y ' = y, z ' = z , vor allem stets t = t ′ . Das ist Galilei – Transformation.
Da dt = dt ' , gilt für Geschwindigkeit:
v' x = v x − v R , v' y = v y , v' z = v z , t = t '
Die Beschleunigung ist wie oben erwähnt invariant: a ' x = a x , a ' y = a y , a ' z = a z
Falls also die Newtonschen Axiome in Σ gelten (Σ ist Inertialsystem), dann gelten sie auch in
r
r
r
Σ’, unabhängig von der Größe v R . Denn das Gesetz F = m ⋅ a ist invariant gegenüber dieser
Transformation.
6.3.
Gleichförmig beschleunigte Systeme
Bewegen sich zwei Koordinatensysteme ∑ und ∑’ mit zeitlich veränderlicher
Geschwindigkeit (gleichförmig beschleunigt) gegeneinander, so messen die Beobachter in
den beiden Koordinatensystemen unterschiedliche Werte für die Beschleunigung eines
Punktes A, und deshalb auch unterschiedliche Kräfte. Bei Berücksichtigung dieser
Beschleunigung im bewegten Bezugssystem ∑ ’ ändert dies jedoch auch hier nichts an der
Gültigkeit der physikalischen Gesetzmäßigkeiten. Jedoch ist zu beachten, dass ∑’ kein
Inertialsystem darstellt.
Wir wollen uns analog zu 6. 2. auch hier zunächst die Darstellung der Position und der
Geschwindigkeit eines Punktes A in Koordinatenschreibweise ansehen, unter der
Voraussetzung, dass sich ∑’ nur in x Richtung beschleunigt bewegt:
Für den Beobachter im System ∑ gilt: x(t)= v0 t +1/2 a t 2 + x’
v0 = v(t= 0)
y(t)= y’
z(t)= z’
zur Zeit t = 0 fallen die Koordinatenursprünge zusammen.
Für die Geschwindigkeiten ergibt sich für den Beobachter in ∑ :
v x = v 0 + v’x + at
vy = v’y
vz = v’z
Bei der Betrachtung der Kräfte ergeben sich folgende experimentelle Erfahrungen:
In anfahrenden oder bremsenden Fahrzeugen treten für mitfahrenden Beobachter zusätzliche
Kräfte auf: Trägheitskräfte.
r
r
Für den nichtbewegten Beobachter wirkt eine effektive Kraft Feff , die sich aus der Kraft F
r
und der Trägheitskraft Ft zusammensetzt. Demonstration durch Überlagerung mit der
Schwerkraft (vgl. Kap. 5.3.) ergibt:
r
r
r r r
Feff = m ⋅ ( g − a ) = FG + Ft
r
Versuch: Fallende Waage FG = m ⋅ g , Ft = − m ⋅ g , Feff = 0
Versuch: Poggendorff – Waage
Versuch: Brett auf schiefer Ebene
Fs = m ⋅ g ⋅ sinα = m ⋅ as
Ft = - m ⋅ as
r r
Neuinterpretation d. Newtonschen Axioms: Ft + F = 0 im abgeschlossenen System.
6.4.
Trägheitskräfte im rotierenden Bezugssystem
Zentrifugalkraft FZ
siehe
auch
Kap.
1.3.:
Wir Betrachten eine Kreisbewegung mit konstanter
2 ⋅π
Winkelgeschwindigkeit ( ω =
, T = Umlaufzeit (-dauer) in s ) am Beispiel der Erde: Es
T
gilt:
FZ = m ⋅ ω E2 ⋅ r =
m ⋅ v2
2 ⋅π
, v =ω E ⋅ r, ω E =
⋅ s −1 , r = RE ⋅ cos φ
r
86400
Z =ˆ FZ = m ⋅ ω E2 ⋅ Re ⋅ cos φ
Z R = FZ ⋅ cos φ = m ⋅ ω E2 ⋅ Re ⋅ cos 2 φ
φ = geographische Breite
P = Nordpol
R = Re Erdradius
r = Radius des (Klein-) Kreises bei φ
geff = g -
ZR
= g - ω E2 ⋅ Re ⋅ cos2φ
m
= 0,034 m ⋅ s-2
für φ = 0
Einführung der Coriolis – Kraft: Die Corioliskraft ist eine Scheinkraft, die eingeführt werden
muß, wenn die Bewegung eines Körpers in einem Nichtinertialsystem, b.z.w. unter
Nichtberücksichtigung einer Rotation, beschrieben wird.
r
r r
FC = 2 ⋅ m ⋅ v × ω
r
ω (s. o.) in Richtung Drehachse
FC = 2 ⋅ m ⋅ v ⋅ ω ⋅ sin α
r
v Bahngeschwindigkeit
r
r
α Winkel zwischen v und ω
Versuche zur Corioliskraft
Abweichung (Ablenkung) eines Balls (Faserschreiber) auf rotierende Scheibe
Drehscheibe mit konst. Winkelgeschwindikeit ω,
Ball aus Mitte radial mit Geschwindigkeit v nach
außen. Für mitbewegten Beobachter ist Abweichung
von A nach B festzustellen.
y = AB
y = r ⋅α = v ⋅ t ⋅ ω ⋅ t
1
= v ⋅ ω ⋅ t 2 ≡ ⋅ aC ⋅ t 2
2
Versuch: Rechtsabweichung auf rotierender Scheibe:
Definition der Coriolisbeschleunigung: aC = 2 ⋅ v ⋅ ω zur Erklärung der Abweichung im
bewegtem System ( dazu auch Folie (90 a) ).
Rosettenschleife eines über einer Drehscheibe schwingenden Pendels
Versuch:
Dazu: Abb. 5.18 und 5.19 siehe : Paul A. Tipler, Physik, Spektrum Akademischer Verlag,
Heidelberg
Nachweis der Erdrotation durch Foucaultschen Pendelversuch im Pantheon v. Paris
L. Foucault (1819 – 1868)
Nordpol: Pendel → Erhaltung der Schwingungsebene → Erde dreht sich in 24 h einmal unter
Pendel weg, Rosette mit 15° pro h
In geographischer Breite φ wirkt Komponente:
ω N = ω ⋅ cos(90° − φ ) = ω ⋅ sin φ .
Daraus Rosette mit 15° ⋅ sin φ pro h Rechtsabweichung.
Erklärung für mitrotierenden Beobachter durch Corioliskraft:
FC = − 2 ⋅ m ⋅ ω ⋅ v ⋅ sin ϕ .
Folie:
Windrichtungen bei Zyklonen (Tiefdruckgebieten) auf Nord- und Südhalbkugel infolge
Erdrotation.
Zusammenfassung
Zur Beschreibung einer Bewegung benötigt man Koordinatensysteme
• Koordinatensysteme heißen dann Inertialsysteme, wenn in ihnen die drei
Newtonschen Axiome gelten
• Ein Koordinatensystem, das sich gegenüber einem Inertialsystem mit konstanter
Geschwindigkeit bewegt, stellt ebenfalls ein Inertialsystem dar
• Der Übergang von Ort, Zeit und Geschwindigkeit von einem in ein anderes
Inertialsystem kann für kleine Geschwindigkeiten (in Bezug auf die
Lichtgeschwindigkeit) durch die Galileitransformation erfolgen
• Bei der Beschreibung von Bewegungen in beschleunigten Bezugsystemen müssen
zusätzliche Beschleunigungen und damit Trägheitskräfte (Scheinkräfte) eingeführt
werden
7.
Mechanik starrer Körper
Starre Körper sollen ausgedehnte, nicht deformierbare Körper mit fester Form und
Massenverteilung kennzeichnen, bei denen die Körper nicht notwendigerweise am gleichen
Punkt angreifen. Deren Dynamik wird vollständig durch die Newtonschen Axiome
beschrieben, wobei die Bewegung sowohl durch Verschiebungen (Translation) als auch
durch Drehungen (Rotation) gekennzeichnet sein kann. Daneben können sich die einzelnen
Atome des Festkörpers durch kleine Auslenkungen aus ihrer Ruhelage (Schwingungen)
bewegen.
7.1.
Grundbegriffe
7.1.1.
Freiheitsgrade der Bewegung
Wir betrachten ein System aus NA (Avogadrokonstante) Massenpunkte, die nicht miteinander
gekoppelt sind. Für jeden Massenpunkt gibt es drei unabhängige Bewegungsmöglichkeiten
(Freiheitsgrade). Das gesamte System besitzt 3 NA Freiheitsgrade (FG). Von diesen FG
entfallen 3 auf die Translation (T) des Körpers aus NA Massenpunkten und 3 auf die Rotation
(R), die übrigen entfallen auf Schwingungen (S).
3 ⋅ N A = 3(T ) + 3( R) + 3 ⋅ N A − 6( S )
Transl.
Rotat.
Schwingung
Im Idealfall völlig starr miteinander verbundener NA Massenpunkten wären nur T und R zu
betrachten. Im folgendem werden die Schwingungen nicht berücksichtigt. Deshalb kann man
die Bewegungen des starren Körpers in Translation und Rotation aufspalten. Translation ist
eine Bewegung bei der alle (Masse) Punkte gleiche Bahnen beschreiben. Die Bahnen dürfen
durchaus gekrümmt sein. Die Gesetze die wir vom Massepunkt her kennen bleiben die
gleichen. Bei der Rotation allerdings beschreiben alle Punkte konzentrische Kreise um die
Drehachse und wir müssen neue Begriffe entwickeln.
Translation des MMP
r
r
r
r o r
M ⋅ &r&S = ∑ m j ⋅ &r&j = ∑ Fijo + ∑ Faj = Fa
j
j
=0
(innere
Kräfte)
j
(äußere
Kräfte)
Der MMP bewegt sich unter dem Einfluß der äußeren Kräfte wie ein Teilchen mit der Masse
r
M (Massepunkt) unter der Kraft Fa . Dies rechtfertigt die bisherige Punktmechanik und gilt
generell für abgeschlossene Systeme
r
r
r
r
Erhaltungssatz für Impuls Falls Fa = 0, gilt M ⋅ r&S = ∑ p j = p S = const.
7.1.2.
Massenmittelpunkt (MMP) = Schwerpunkt (SP)
a) Definition
Der MMP ist der Kräftemittelpunkt der Schwerkraft (Schwerpunkt) mit den Koordinaten
r
r
1
rS = ⋅ ∑ mi ⋅ ri
M i
mit M = ∑ mi Gesamtmasse
i
r
und mi = Massenpunkte mit der Lage ri
r
Bei Massenverteilungen mit Massendichte ρ (r ) ist Summe durch Integral zu ersetzen.
r
r
r
kg
mit [ρ (r )] = 3
M = ρ (r ) ⋅ V
=> dm = ρ (r ) ⋅ dV
V=Volumen
m
r 1
r
r
rs = ⋅ ∫ r ⋅ ρ (r ) ⋅ dV
M V
r
mit M = ∫ dm = ∫ ρ (r ) ⋅ dV
V
V
r
Besonders einfach ist die Berechnung für konstante Dichte: ρ (r ) = ρ = const.
r
r
1
1 r
rS = ⋅ ρ ⋅ ∫ r ⋅ dV = ⋅ ∫ r ⋅ dV
M
V
Bsp. 1) Quader mit V = a ⋅ b ⋅ c
r 1
⇒ rS = ⋅ (a, b, c )
2
aus geometrischen Mittelpunkt
r a b d 
⇒ rS =  , , 
3 3 2
2)
1
VD = ⋅ a ⋅ b ⋅ d
2
3)
1
h
AP = ⋅ π ⋅ R 2 ⋅ h ⇒ z S =
3
4
hier mit z S =
1 r
r ⋅ dA
AP ∫
4) Einfache Betrachtungen zur Wirkung von 2 Kräften. Aus Definition des MMP
xS =
x1 ⋅ m1 + x 2 ⋅ m2
m1 + m2
x2 ⋅ m2
m ⋅x
a m
, b = x2 − xS = 1 2 , d . h. = 2
b m1
m1 + m2
m1 + m2
falls Gleichgewicht herrscht
a=
.
folgt sofort
Versuche 1)
Finden des Schwerpunktes über Reibung nahe an MMP
=> große Kraft => Haftreibung dominiert.
2) Ermittlung des MMP als Schnittpunkt der Wirkungslinien von FG = M ⋅ g
bei unterschiedlicher Aufhängung des Körpers.
7.1.3.
Arten des Gleichgewichts
indifferent
Körper, der im MMP aufgehängt ist.
stabil
Aufhängepunkt liegt senkrecht über MMP
metastabil
MMP im lokalen Minimum
labil
Aufhängepunkt senkrecht unter MMP
7.1.4. Drehmoment
Definition:
r r r
T = r × F = r⊥ ⋅ F ⋅ sin α
r
T = torque
r
r ... Abstand der Wirkungslinie vom Drehpunkt
r
F ... dort angreifende Kraft,
r
r
α ... Winkel zwischen F und r
S ist der MMP.
Einheit:
[Tr ] = N ⋅ m (wie Arbeit)
r
Beschreibung: Es wirkt eine Kraft F , die im Punkt P eines Festkörpers angreift
r
r r
F ist ersetzbar durch die gleiche Kraft F = F ' ' im MMP und durch ein zus. Kräftepaar
r r′
r
F , F1 = − F .
r
T = ( y ⋅ Fz − z ⋅ Fy , z ⋅ Fx − x ⋅ Fz , x ⋅ Fy − y ⋅ Fx )
r
r
r
Die Richtung von T ist die Richtung der Drehachse, senkrecht zu r und zu F
r r
r r
r , F und r × F bilden Rechtsschraube
re-ha-Regel: r...Zeigefinger,
z-Achse...Daumen
Fläche
F...Mittelfinger
Versuche:
1) Drehmomentenkörper , 3 Hauptachsen
2) Stabilität bei angestellter Leiter
Gleichgewichtsbedingungen
I)
r r
F = Fa = 0 (Summe aller äußeren Kräfte)
II)
r
T =0
(Gesamtdrehmoment ist null)
Bedingung I:
Fx + (− FW ) = 0
Fy + (− m ⋅ g ) = 0
FW = FH = µ H ⋅ m ⋅ g ( Haftr.)
Bedingung II:
a) Dazu wählen wir den Fußpunkt der Leiter als
Ursprung (Drehpunkt zur Berechnung des
Drehmomentes):
F ⋅ l ⋅ sin θ + (− m ⋅ g ⋅ s ⋅ cosθ ) = 0
1W4243 1442443
senkrecht auf
Papierebene
Daraus:
FW =
m⋅ g ⋅s
⋅ cot θ
l
b) Einsetzen in Bedingung I daraus Berechnung der Haftreibungskraft
zeigt in Papier −
ebene hinein
FH = µ H ⋅ Fy = µ H ⋅ m ⋅ g
z. B. µ H = 0,4
und Vergleich von FH mit Fx = FW : FW =
m⋅ g ⋅s
⋅ cot θ = FH = µ H ⋅ m ⋅ g
l
=> s = µ H ⋅ l ⋅ tan θ
3) Kippen eines Quaders
Ankippen: F ⋅ h = M ⋅ g ⋅
b
2
Kippwinkel:
b
α K = β T = M ⋅ g ⋅ ⋅ sin (β − α K ) = T (β )
2
b
, T (α K ) = 0
h
= M ⋅ g ⋅ d ⋅ cos(α − β )
tan β =
W pot
α = 0 : M ⋅ g ⋅ d ⋅ cos β
α = β : Wmax = m ⋅ g ⋅ d
Kipparbeit: M ⋅ g ⋅ d ⋅ (1 − cos β )
7.1.5
Winkelgeschwindigkeit
Betrachte Drehung um kleinen Winkel dϕ (infinitesimale Drehung) um eine gegebene Achse.
r
Der Vektor d ϕ zeigt in Achsenrichtung (re-ha Regel). 0 liege im MMP des Körpers.
r
dr = r ⋅ dϕ ⋅ sin θ
r⊥ = r ⋅ sin θ
Vektorschreibweise:
r r
r
dr = [dϕ × r ]
r
r
dr steht senkrecht auf Ebene, die durch dr und
aufgespannt wird.
r
dϕ
Division mit Zeit dt, die man für infinitesimale Drehung benötigt:
r
r
r r r dϕ
dr r  dϕ r 
=v =
× r  = [ω × r ], ω =
dt
dt
 dt

Winkelgeschwindigeit zeigt ebenso in Richtung der
momentanen Drehachse, die ihre Lage ändern kann.
Zur Beschreibung der Bewegung des starren Körpers:
1.) Translation des MMP bezüglich eines “ruhenden”, d. h. Inertialsystems:
r
r
v0 = v S
2.) Rotation in einem mit MMP starr verbundenen System. Die Überlagerung führt zur
Geschwindigkeit:
r r
r r
v = v 0 + [ω × r ]
r
v 0 setzen wir im Folgenden gleich null.
7.1.6.
r
Drehimpuls L
Def.:
r r r
L = [r × p ] = ( y ⋅ p z − z ⋅ p y , ... , x ⋅ p y − y ⋅ p x )
r r
L = r ⋅ p ⋅ sin (r , p ) = r⊥ ⋅ p
Wobei r⊥ der senkrechte Abstand der Wirkun
(des Impulses p) vom Drehpunkt ist.
Der Drehimpuls entlang der momentanen Drehachse DA gerichtet,
r
r
d. h. senkrecht zur Ebene von r und p
DA muss nicht unbedingt durch den MMP gehen.
Bei Festkörpern bzw. System von Massenpunkten mi, in Bezug auf Koordinatenursprung wird
r
r r
der Drehimpuls: L = ∑ [ri × p i ]
i
r
Betrachte Spezialfall der Drehung ω des starren Körpers um eine Symmetrieachse
r r
L = ω ⋅ ∑ mi ⋅ ri⊥2
r
r
L hier parallel zu ω
i
I ω = ∑ mi ⋅ ri 2⊥ = ∫ r⊥2 ⋅ ρ (r ) ⋅ dV
i
r
Trägheitsmoment bei Drehung um ω .
V
r
Falls 3 Symmetrieachsen: L = (I xx ⋅ ω x , I yy ⋅ ω y , I zz ⋅ ω z )
Die Komponenten Li liegen also jeweils parallel zu den Komponenten ω i der
Winkelgeschwindigkeit in diesem Hauptachsensystem. Nur die Rotationen um die Achsen mit
dem kleinsten bzw. größten Wert von Ie (e = XX,YY,ZZ) sind stabil.
Versuche:
r
a) Zum Nachweis des vektoriellen Charakters von L . Speichenrad mit verlängerter Achse.
r
Wie muß sich Rad drehen → Richtung von L ?
b) Drehschemel – Versuch: Übergabe eines “Drehimpulses”
c) Hundsche Kiste. Stabile Achsen bei Rotation, mittleres Trägheitsmoment-> instabile
Drehung
7.2.
Dynamik des starren Körpers
Wir untersuchen hier die Umorientierung starrer Körper und fragen nach der Ursache und den
Formen dieser Bewegung.
7.2.1.
Bewegungsgleichung des starren Körpers
Wir untersuchen, wie sich der Drehimpuls ändert und wodurch diese Änderungen bewirkt
werden.
r dLr
zeitliche Änderung L& =
:
dt
r
r
r r
r r
r r
L = ∑ [ri × p i ] es folgt L& = ∑ r&i × pi + ∑ ri × p&
[
i
i
]
[
]
i
[
]
r r
r r
r
r
Da der Vektor r&i = vi parallel zu pi = m ⋅ vi ist, entfällt das erste Vektorprodukt: r&i , pi = 0 .
Für das zweite Vektorprodukt beachten wir das 2. Newtonsche Axiom:
r
r
r
p& i = ∑ Fki( inn ) + Fi ( äuß )
k
r
Fki(inn ) bezeichnet die zwischen den einzelnen Massenteilchen wirkenden inneren Kräfte.
r
Wenn mi auf mk die Kraft Fik(inn ) ausübt, dann muß nach Reaktionsprinzip die Masse mk auf
r
r
Masse mi mit Kraft Fki( inn ) = − Fik( inn ) wirken. In der Summe
r r (inn )
r
∑ i × Fki
i ,k
r r
tritt zu jedem Beitrag ri × Fki(inn ) , der eine Wirkung auf mi enthält, ein entsprechender Beitrag
r r
r r
rk × Fik(inn ) = − rk × Fki(inn ) , der auf mk wirkt. Die Summe besteht also aus Beiträgen der Form
r
r
(rri − rrk ) × Fki(inn) . Nun ist zu beachten, daß die Kräfte Fki(inn) längs des Verbindungsvektors
r
r
r r
r r
r r
ri − rk wirken, d. h. (ri − rk ) und Fki(inn ) sind parallel. Das Vektorprodukt (ri − rk ) × Fki( inn ) = 0.
r
r r
dL r&
= L = ∑ ri × Fi
dt
i
r
Fi = äußere Kräfte
r r
Bewegungsgleichung: L& = T
7.2.2.
r
T = Drehmoment der äußeren Kräfte
Beispiel zur Bewegung starrer Körper.
Messung von Trägheitsmomenten, Drehschwingungen.
a) Drehpendel
r
Spiralfelder über Drehmoment aus T :
r
r
T = −D ⋅ϕ
D = Winkelrichtgröße (Direktionsmoment)
r
ϕ = Auslenkwinkel in Richtung der Drehachse ( = Symmetrieachse)
Bewegungsgleichung:
r r
r
r
r
L& = T = − D ⋅ ϕ ,
L = I ω ⋅ ω,
r
r
r
r
L& = I ω ⋅ ω& = I ω ⋅ ϕ&& = − D ⋅ ϕ
r r
ω = ϕ&
r
r
Da ϕ&& und ϕ parallel zueinander sind, können wir auch nur die Beträge betrachten:
ϕ&& = −
D
ϕ
Iω
Differentialgleichung für harmonische Schwingungen
Lösung (von früher bekannt):
τ = 2 ⋅π ⋅
ωS =
Iω
D
D 2 ⋅π
=
τ
Iω
ϕ (t ) = ϕ 0 ⋅ sin (ω S ⋅ t )
Periode der Schwingung
Winkelgeschwindigkeit der Schwingung.
Versuch: ω S unabhängig vom Winkel der Auslenkung, (natürlich auch unabhängig von T,f)
b) Physikalisches Pendel
Homogener Stab (oder allg. fester Körper) sei an Punkt A so aufgehängt, dass der MMP
unterhalb A im Abstand s ist
r r r
L& = T ; T = − M ⋅ g ⋅ s ⋅ sin ϕ ⋅ eϕ
r
r
L& = I A ⋅ ϕ&&
Bewegung für kleine Winkel
=> sin ϕ ≈ ϕ .
ϕ&& = −
M ⋅ g ⋅ s ⋅ϕ
IA
Lösung der Gleichung:
ϕ (t ) = ϕ 0 ⋅ sin (ω S ⋅ t )
ωS =
M ⋅g⋅s
,
IA
T = 2 ⋅π ⋅
IA
M ⋅g⋅s
Analogie zum math. Pendel
l red . =
IA
M ⋅s
... reduzierte Pendellänge
IA: Trägheitsmoment bei Drehung um feste Achse durch A.
Versuch:
1) Vergleiche physisches und math. Pendel mit l = l reduziert : Gleiche Schwingungsdauer!
2) Messung von Trägheitsmomenten mit Drehtisch
Messe Schwingungsdauer T:
a) Messung von DT (Winkelrichtgröße Tisch) mit Zugabe eines Körpers mit bekanntem I
hier: Zylinder mit IZ
b) ohne Zylinder
T1 = 2 ⋅ π ⋅
T0 = 2 ⋅ π ⋅
IT
DT
IT + I Z
DT
DT =
(2 ⋅ π )2 ⋅ I Z
T12 − T02
2
 T 
I T =  0  ⋅ DT =
 2 ⋅π 
T02
⋅ IZ
T12 − T02
c) Messung I eines unbekannten Körpers
Zylinder mit unbekannter Trägheitsmoment
T = 2 ⋅π ⋅
7.2.3.
IT + T
DT
I=
T 2 − T02
(2 ⋅ π )2
⋅ DT =
T 2 − T02
⋅ IZ
T12 − T02
Berechnung von Trägheitsmomenten
r
Wir berechnen I ω , d. h. Trägheitsmoment bei Rotation um eine Achse ω , die keine
Symmetrieachse sein muss:
I ω = ∑ mi ⋅ ri⊥2
i
ri⊥ senkrechter (!) Abstand der Masse mi von der Drehachse.
r
Bei homogener Massenverteilung ρ (r ) = const. mi → dm = ρ ⋅ dV
Integration über gesamtes Körpervolumen:
I ω = ∫ r⊥2 ⋅ ρ ⋅ dV
V
1) Quader mit Volumen V = a ⋅ b ⋅ c und Masse M = ρ ⋅ V
Berechnung von I ω für die Rotation um drei senkrechte Achsen parallel zu den Kanten durch
den MMP.
bei Drehung um z-Achse:
r⊥2 = x 2 + y 2
IZ = ρ ⋅
a b c
+ + +
2 2 2
∫ ∫ ∫ (x
2
)
+ y 2 ⋅dx ⋅ dy ⋅ dz
a b c
− − −
2 2 2
Wir integrieren nur über
0≤ x≤
a
2
1
-tel des gesamten Volumens, nämlich für positive Werte
4
0≤ y≤
b
2
−
c
c
≤ c≤
2
2
a b
2 2
(
a
2
 b 2  b 3 1 
4 ⋅ ρ ⋅ c ∫  ⋅ x +   ⋅  ⋅dx
 2  3 
2
0 
)
I Z = 4 ⋅ ρ ⋅ c ⋅ ∫ ∫ x + y ⋅ dx ⋅ dy =
2
2
0 0
 b 1  a 3 a 1  b 3 
1
= 4 ⋅ ρ ⋅ c ⋅  ⋅ ⋅   + ⋅ ⋅    = 4 ⋅ ρ ⋅ a ⋅ b ⋅ c ⋅ ⋅ a2 + b2
2 3  2  
48
 2 3  2 
[
IZ =
I=
(
M
⋅ a2 + b2
12
M 2
⋅a
6
)
]
Quader mit Volumen V = a ⋅ b ⋅ c
Würfel mit Volumen V = a ⋅ a ⋅ a
2) Zylinder bei Drehung um die Symmetrie - Achse:
ρ=
M
M
=
, dV = dh ⋅ dr ⋅ r ⋅ dϕ
V π ⋅ R2 ⋅ h
2⋅π
2 ⋅π ⋅ h ⋅ R4 ⋅ M
M
IZ =
⋅ r ⋅ dr ∫ dϕ ∫ dh ⋅ r =
π ⋅ R 2 ⋅ h ∫0
4 ⋅π 2 ⋅ R2 ⋅ h
0
0
R
h
Iz =
1
M ⋅ R2
2
3) Stab
Achse senkrecht durch seine Mitte:
+
IZ =
l
2
M
⋅ ∫ A ⋅ x 2 ⋅ dx
A⋅l l
−
2
IZ =
1
⋅ M ⋅l2
12
4) Kugel wobei die Achse durch den Mittelpunkt geht
x
y
z
= r ⋅ cos φ ⋅ sin θ
= r ⋅ sin φ ⋅ sin θ
= r ⋅ cosθ
dV = r ⋅ dr ⋅ r ⋅ dϕ ⋅ sin θ ⋅ dθ
IM =
M
V
R 2π
∫ φ∫ θ
π
2
∫ r⊥ ⋅ d V =
r =0 =0 = 0
M
V
2π
R
∫
r 4 dr
r =0
∫
φ
=0
π
dϕ ∫ (sin 2 θ ) d θ
θ =0
4
mit V = π ⋅ r 3
3
Übersicht über Trägheitsmomente
1) Zylinder, voll
1
⋅ M ⋅ R2
2
1
1
I x = I y = ⋅ M ⋅ R2 + ⋅ M ⋅l 2
4
2
Iz =
2) Dünne Scheibe
wie 1), l << R
3) Hohlzylinder
(
)
1
⋅ M ⋅ ra2 + ri 2
2
1
1


I x = I y = ⋅ M ⋅  ra2 + ri 2 + ⋅ l 2 
4
3 

Iz =
1
⋅ M ⋅ R2
2
1
I x = I y = ⋅ M ⋅ R2
4
Iz =
4) Dünner Hohlzylinder wie 3.), ra ≈ ri ≈ R
1
⋅ M ⋅ 2 ⋅ R2 = M ⋅ R2
2
1
1


Ix = I y = ⋅ M ⋅2 ⋅ R2 + ⋅l 2 
4
3 

Iz =
5) Quader mit a,b,c in x,y,z –Richtung
Iz =
(
)
(
)
(
1
1
1
⋅ M ⋅ a2 + b2 , I y = ⋅ M ⋅ a2 + c2 , I x = ⋅ M ⋅ b2 + c2
12
12
12
)
6) Zweiatomiges Molekül
Massen m1 , m2 ; Abstand R; Kerndurchmesser klein
(
)
gegen R d ≈ 10 −15 m, R ≈ 10 −10 m ,
daher m1 , m2 wie Punktmassen;
Beiträge der Elektronenhülle vernachlässigbar; µ - reduzierte Masse
I S = m1 ⋅ r12 + m2 ⋅ r22 =
m1 ⋅ m2
⋅ R2 = µ ⋅ R2
+
m1 m2
↑
7.2.4.
r1 m2
=
r2 m1
m1 ⋅ r1 = µ ⋅ R
Steinerscher Satz
Wenn das Trägheitsmoment in Bezug auf eine
Achse A’ durch MMP (S) bekannt ist, dann läßt
sich das Trägheitsmoment bzgl. einer dazu
parallelen Achse A nach dem Steinerschen Satz
berechnen:
I A = IS + M ⋅ a2
r
r
r
r
I A = ∑ mi ⋅ ri 2 = ∑ mi ⋅ ri '2 + ∑ mi ⋅ a 2 + 2 ⋅ a ⋅ ∑ mi ⋅ ri '
i
i
i
i
1
424
3 1
424
3 1442
44
3
Dies folgt aus:
IS
M ⋅a 2
0
r
Letzter Betrag Null, da ri ' bzgl. Schwerpunkt definiert.
Versuch: Drehtisch, Überprüfung des Steinerschen Satzes
Winkelrichtgröße DT , Trägheitsmoment (Tisch) I T , Zylinder I Z
a) T0 = 2 ⋅ π ⋅
IT
DT
b) T1 = 2 ⋅ π ⋅
IT + I Z
DT
c) Ta = 2 ⋅ π ⋅
IT + I Z + m ⋅ a 2
−T
Nur Tisch daraus DT und I T
Ta2 =
4 ⋅π 2
T


2
a
⋅  IT + I Z + m
⋅
 123 123

∝ a2 
 const .
T 2 − T02
⋅ IZ
T12 − T02
=>
I unbek . =
=>
Darstellung I unbekannt über a2
Versuch: Drehpendel zur Messung von Trägheitsmomenten
Messung von Schwingungsdauern
Ti = 2 ⋅ π ⋅
Ii
D
a) Messung von D mit bekanntem I0
I0 (Vollzylinder, Hammerschlag)
I0 =
1
⋅ M ⋅ R 2 = 1,341 ⋅ 10 −3 kg ⋅ m 2
2
T0 = 47,6 s ,
M = 0,742 kg , R = 60 ⋅ 10 −3 m
Dexp = 2,337 ⋅ 10 −7 N ⋅ m
b) Zylinder unbekannt
Iz =
1
⋅ M ⋅ R2
2
Ix = Iy =
1
1
1
⋅ M ⋅ R2 + ⋅ M ⋅l 2 ≈ ⋅ M ⋅ R2
4
2
4
T1 = 46,1 s ( I z ) ,
D = 2,34 ⋅ 10 −5 N ⋅ m
T2 = 32,9 s ( I x , I y )
c) Quader mit x, y, z = 120, 20, 60 mm
Theoretische Werte
Trägheitsm. ( kg ⋅ m 2 )
Messung
Theorie
7.2.5.
Tx = 14,8 s
14,8
1,29 ⋅ 10-4
Tz = 28,4 s
27,7; 28,0
4,785 ⋅ 10-4
T y = 31,33 s
29,9; 30,2
5,82 ⋅ 10-4
T = 18,71 (Raumdiagonale)
18,7; 19
Exp.
Rotationsenergie
Zur Berechnung der kinetischen Energie des starren Körpers betrachten wir diesen als System
von diskreten Massenpunkten mi:
E Kin
r
mi ⋅ vi2
=∑
2
i
r
Drehachse sei ω :
Berechnung von vi , d. h. der Bahngeschwindigkeit bei einer Rotationsber
wegung mit Winkelgeschwindigkeit ω :
r
r r
vi = ω × r
r
r 2
2
vi2 = vi = (ω ⋅ ri⊥ )
ri⊥ = ri ⋅ sin θ
r r
∠ω , ri = θ
Wkin =
Verallgemeinerung des Zusammenhanges
Wkin =
r
1 r r
1 r
⋅ ω ⋅ ω ⋅ Iω = ⋅ ω ⋅ Iω ⋅ ω
12
3
2
2
r
Lω
1 2
⋅ ω ⋅ ∑ mi ⋅ ri 2⊥ ; Iω = ∑ mi ⋅ ri 2⊥
2
i
i
1
= ⋅ ω 2 ⋅ Iω
2
r r
Falls I ω von Richtung ω ω abhängig ist:
Wkin =
I = Trägheitstensor
r 1
1 r
⋅ ω ⋅ I ⋅ ω = ⋅ ∑ I lk ⋅ ω l ⋅ ω k
2
2 l ,k
Im Hauptachsensystem von I = I ges
 I xx

I = 0
 0

Wkin =

ω 
 r  x
, ω =  ω y 
ω 
I zz 
 z
0
0
0
I yy
0
(
1
⋅ I xx ⋅ ω x2 + I yy ⋅ ω y2 + I zz ⋅ ω z2
2
)
 cos α 


r r
ω = ω  cos β  mit α = ∠(ω , e x ) !!
 cos γ 


r
Wkin =
(
)
1 2
⋅ ω ⋅ I xx ⋅ cos 2 α + I yy ⋅ cos 2 β + I zz ⋅ cos 2 γ
1444444424444444
3
2
Iω
r
Falls ω || Symmetrieachse gilt
Wkin
r
L2
,
=
2 ⋅ Iω
r
r
da L = I ω ⋅ ω
Quantenmechanische Verallgemeinerung:
r
L2 = h 2 ⋅ J ⋅ ( J + 1) ,
h
h=
2 ⋅π
Wkin
J = Drehimpulsquantenzahl für Rotation
h2
=
⋅ J ⋅ ( J + 1) ≡ E J :
2 ⋅ Iω
Rotationsenergie ist diskret, J = 0,1,2,3,...
Bsp. H-Cl Molekül
r
I ω , ω durch Schwerpunkt
 1
1
µ =  +
 m1 m2



−1
Iω = µ ⋅ R2
J = 2, E 2
WKin
∆W2
∆W2 = E 2 − E1 = 2 ⋅ h 2 I ω
J = 1, E1
∆W1
∆W1 = h 2 I ω = E1 − E 0
J = 0, E 0
0
∆W J = E J − E J −1 =
h2
h2
⋅ ( J ⋅ ( J + 1) − ( J − 1) ⋅ J ) =
⋅J
Iω
2 ⋅ Iω
∆W J
h2
Iω
J=1
2
3
J
Rotationsspektrum eines 2 – atomigen Moleküls (Bestimme R mit Präzision!)
7.3.
Lösung von Bewegungsgleichungen für verschiedene starre Körper
7.3.1.
Rollbewegung auf schiefer Ebene
A: Lage der momentanen Drehachse
IA Trägheitsmoment um A
I A = I S + M ⋅ r 2 ( Steiner )
α Neigungswinkel der schiefen Ebene
Aus L& = I A ⋅ ω& = T , mit I A und T = Drehmoment = M ⋅ g ⋅ sin α ⋅ r , folgt:
ω& ⋅ (I S + M ⋅ r 2 ) = M ⋅ g ⋅ r ⋅ sin α
Beschleunigung (beim Abrollen):
M ⋅ g ⋅ r ⋅ sin α
&s& = r ⋅ ω& = r ⋅
=
IS + M ⋅ r2
g ⋅ sin α
,
IS
1+
M ⋅r2
(
)
Bogen : s = r ⋅ ϕ
s& = r ⋅ ϕ& = r ⋅ ω
&s& = r ⋅ ω&
Vergleich mit Translationsbewegung auf schiefer Ebene; hier galt:
&s& = g ⋅ sin α
Bei Rollbewegung ist g zu ersetzen durch:
a=
g
, &s& = a ⋅ sin α
IS
1+
M ⋅r2
Spezialfälle:
1
⋅M ⋅r2
2
IS =
Vollzylinder:
Dünner Hohlzyl.: I S = M ⋅ r 2
IS =
Kugel:
2
⋅M ⋅r2
5
a=
2
⋅g
3
a=
1
⋅g
2
a=
5
⋅g
7
Nochmals Betrachtung über Energiesatz
(Versuch) Rollbewegung, beginnend mit v0 = 0 :
E kin = Etrans + E rot =
(
)
IS 
1
M 2 
⋅ M ⋅ v2 + ω 2 ⋅ IS =
⋅ v ⋅ 1 +

2
2
2
 M ⋅r 
E pot = M ⋅ g ⋅ s ⋅ sin α
wird aus
Dies ergibt
v2 =
erzielt.
−1

IS  

 :
mit h = s ⋅ sin α , a = g ⋅ 1 +
2
 M ⋅ r  

2 ⋅ g ⋅ s ⋅ sin α
= 2⋅a⋅h
IS
1+
M ⋅r2
(
)
[statt
2 ⋅ g ⋅ h]
Aus dem Vergleich der Endgeschwindigkeit beim Abrollen von Körpern auf der schiefen
Ebene läßt sich die Formel
v = 2⋅
g
⋅h
IS
1+
M ⋅r2
nachprüfen.
7.3.2.
Reversionspendel (Ergänzung zum Physik. Pendel)
Im Abschnitt 7.2.2. hatten wir abgeleitet:
Kreisfrequenz:
ωS =
Schwingungsdauer:
τ=
M ⋅g⋅S
(in s-1), S = Schwingung
IA
2 ⋅π
ωS
reduzierte Pendellänge: l red =
= 2 ⋅π ⋅
l
IA
= 2 ⋅ π red
M ⋅g⋅S
g
IA
M ⋅S
Trägheitsmoment, Drehung um feste Achse durch A:
IA
Reversionspendel: Das physik. Pendel besitzt die gleiche Schwingungsdauer, wenn es im
Punkt A’ aufgehängt ist, der vom Punkt A längs der Linie AS um die Strecke lred verschoben
ist:
Beweis durch Steinerschen Satz:
I A = IS + M ⋅ S 2
I A' = I S + M ⋅ (l red − S )
(
2
2
= I S + M ⋅ l red
− 2⋅l ⋅ S + S2
TA = 2 ⋅ π ⋅
)
I + M ⋅S2
l
IA
= 2 ⋅π ⋅ S
= 2 ⋅ π ⋅ red
M ⋅g⋅S
M ⋅g⋅S
g
Durch Ausrechnen unter Verwendung der Definition von l red = I A (M ⋅ S ) läßt sich zeigen:
l red =
IA
I A'
=
, d . h. τ A = τ A' .
M ⋅ S M ⋅ (l red − S )
7.3.3.
Kreisel
r
r
Wir hatten bereits festgestellt, daß der Drehimpuls L und die Richtung ω , d. h. die
momentane Drehachse, im allgemeinen nicht parallel sind:
r
Präzession: L dreht sich um z Achse
Nutation:
r
r
ω dreht sich um L
meist:
r
r
ω || Figurenachse, ω || Drehachse
a) Kräftefreier Kreisel
r
Das Drehmoment T = 0 , z. B. durch spezielle Lagerung des Kreisels. Dann ist die Größe
r
r
L = konstanter Vektor in Zeit. Betragsmäßig gilt L2 = const. Weiterhin ist die kinetische
Energie konstant.
In Formeln:
L2x + L2y + L2z = C1
2
1  L2x L y L2z 
⋅
+
+
= C2
2  I x I y I z 
Geometrische Interpretation:
(Kugel)
(Ellipsoid)
r
r
Die Spitze von L liegt auf Schnittkurve von Kugel und Ellipsoid. L ist raumfest. Die Größe
r
ω (Figurenachse, momentane Rotationsachse), die mit Ellipsoid verbunden ist, führt eine
r
Nutationsbewegung um L aus.
b) Versuche: Kräftefreier Kreisel, Kardanische Aufhängung, Nutationsbewegung
c) Schwerer Kreisel
Es wirkt Gewichtskraft:
r
r
r
F = m ⋅ g = −m ⋅ g ⋅ e z
r
Damit ergibt es ein Drehmoment T ≠ 0.
r
dL r
= T führt auf Präzesseionsbewegung
Die Anwendung der Bewegungsgleichung
dt
r
T zeigt in Ebene hinein!
r
d) Versuch: Aufhängung eines Rades an Achse ω
Präzessionskreisfrequenz (ω P ) .
ωP =
m⋅ g ⋅r
Iω ⋅ ω
7.4.
Zusammenfassung
Analogien zwischen Behandlung und Begriffen von Translation und Rotation
Translation
Rotation
r
Lage: Ortsvektor r (t )
r
Orientierung: Drehachse und Drehwinkel: ϕ (t )
r
r
Geschwindigkeit: v (t ) = r&
r r
Winkelgeschwindigkeit: ω = ϕ&
r r r
Beschleunigung: a = v& = &r&
r r
Winkelbeschleunigung: ω& = ϕ&&
Masse: m
Trägheitsmoment: I kl
im Allgemeinen 6 verschiedene Größen bei
unsymetrischer Massenverteilung
r
r
Impuls: p = m ⋅ v
r
r
Drehimpuls: L = I ⋅ ω
r
r
( p und v parallel )
r
r
(i. allg. zeigen L und ω in verschiedenen
Richtungen, bestimmt durch Tensor I )
r
Kraft: F
r r
Bewegungsgleichung: p& = F
r r r
Drehmoment: T = r × F
r r
L& = T
r
Impulserhaltung: p& = 0
r
Drehimpulserhaltung: L& = 0
r
r
bei F = 0 = ∑ Fi ( äuß )
r
r
r
bei T = 0 = ∑ Ti von Fi ( äuß )
i
Energie: E kin =
m r2 1 r r
⋅v = ⋅v ⋅ p
2
2
i
E kin =
Iω r 2 1 r r
⋅ω = ⋅ω ⋅ L
2
2