Trigonometrie

Trigonometrie
Die so genannten trigonometrischen bzw. Winkel-Funktionen Sinus, Kosinus und
Tangens ordnen jedem spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ein entsprechendes
Seitenverhältnis zu (siehe Tabelle).
Achtung: Die Gegenkathete und Ankathete hängt vom jeweils betrachteten Winkel ab!
Betrachter Winkel α
a
sin (α) =
c
b
cos (α) =
c
a
tan (α) =
b
Betrachter Winkel β
b
Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis
sin (β) =
von Gegenkathete zur Hypotenuse.
c
a
Der Kosinus eines Winkels ist das
cos (β) =
Verhältnis von Ankathete zur Hypotenuse.
c
b
Der Tangens eines Winkels ist das
tan (β) =
Verhältnis von Gegenkathete zur Ankathete.
a
Merkhilfe:
Für die trigonometrischen Funktionen gilt: (Auflistung nach der Reihefolge auf dem Taschenrechner)
sin =
G
H
cos =
A
H
tan =
G
A
cot =
A
G
(GAGA-HühnerHof AG)
mit: G = Gegenkathete, A = Ankathete , H = Hypotenuse
Darstellung der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis (Radius = 1):
Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen:
Für alle Winkel α mit 0° ≤ α ≤ 90° gilt:
1) sin² (α) + cos² (α) = 1
2) tan (α) =
sin(α )
cos(α )
*
(für α≠90°)
* Schreibweise: Statt (sin(α))² schreibt man auch sin²(α). Analog schreibt man cos²(α) und tan²(α).
Vorgehensweise zur Berechnung von fehlenden Winkeln und Seiten am Dreieck:
Bei der Berechnung in rechtwinkligen Dreiecken wird meist der „Satz des Pythagoras“
benutzt. Dieser gilt jedoch nur in rechtwinkligen Dreiecken, so dass bei der Berechnung in
allgemeinen Dreiecken auf den Sinus- bzw. Kosinussatz zurückgegriffen werden muss.
Rechtwinkliges
Dreieck?
Gegeben
ja
1 Seite, 2 Winkel
ja
2 Seiten, 1 Winkel
nein
1 Seite, 2 Winkel
2 Seiten, 1 Winkel
(SWS)
nein
2 Seiten, 1 Winkel
(SSW)
Lösungsstrategie
bzw.
-
3. Winkel mit Winkelsummensatz
2. Seite mit Sinus, Kosinus oder Tangens
3. Seite mit Pythagoras
3. Seite mit Pythagoras
2. Winkel mit Sinus, Kosinus oder Tangens
3. Winkel mit Winkelsummensatz
3. Winkel mit Winkelsummensatz
2. Seite mit Sinussatz
3. Seite mit Sinussatz
3. Seite mit Kosinussatz
2. Winkel mit Sinussatz
3. Winkel mit Winkelsummensatz
2. Winkel mit Sinussatz
3. Winkel mit Winkelsummensatz
3. Seite mit Kosinussatz
Satz des Pythagoras:
Ein Dreieck ist rechtwinklig
⇔
Es gilt: a² + b² = c²
(mit a, b = Katheten, c = Hypotenuse)
Winkelsummensatz:
In einem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel 180°, also:
α + β + γ = 180°
Sinussatz:
In einem allgemeinen Dreieck gilt:
sin(α ) sin( β ) sin(γ )
=
=
b
c
a
Kosinussatz:
In einem allgemeinen Dreieck gilt:
a² = b² + c² – 2 b c cos(α)
b² = a² + c² – 2 a c cos(β)
c² = a² + b² – 2 a b cos(γ)