Komplexe Zahlen
Roger Burkhardt ([email protected])
2008
2
Einführung
Die Unvollkommenheit des Körpers der reellen Zahlen
In der Menge der natürlichen Zahlen N = {1,2,3,4,...} sind sowohl
Addition wie Multiplikation uneingeschränkt durchführbar, d.h.
zwei natürliche Zahlen addiert (bzw. multipliziert) ergibt wieder
eine natürliche Zahl. Will man nun auch noch die Subtraktion
einführen, so steht man vor dem Problem, dass es zu zwei
natürlichen Zahlen nicht immer eine natürliche Differenz gibt. Um
nun auch uneingeschränkt subtrahieren zu können, muss man eine
andere Zahlenmenge zugrunde legen. Am besten eine Zahlenmenge
in der die Menge der natürlichen Zahlen schon enthalten ist und auf
der die alten Operationen weiterhin definiert sind, eine sogenannte
Mengenerweiterung. Diese neue Zahlenmenge sind die ganzen
Zahlen
Z = {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}
3
4
Wie sieht es nun mit der Division - der Umkehrung der Multiplikation
- aus? Auch diese ist nicht uneingeschränkt in der Menge der ganzen
Zahlen durchführbar. Wieder müssen wir den Zahlenbereich sinnvoll
erweitern. Diese Erweiterung findet man in der Menge der rationalen
Zahlen Q = ⎧⎨b : b = z ∧ z ∈ Z ∧ n ∈ N ⎫⎬
n
⎩
⎭
Soweit kamen auch die Pythagoräer (6 Jh.v.Ch.). Sie fanden ihre
Zahlen nicht nur schön sondern sahen auch göttliche Absicht in den
Zahlen (alles ist Zahl). Doch schon ein Schüler (Hippasos von
Metapont) von Pythagoras fand heraus, dass es „etwas“ gibt, das nicht
durch rationale Zahlen darstellbar war (z.B. die Diagonale in einem
Quadrat mit der Seitenlänge Eins). Um auch solche Grössen zu
beschreiben erweitert man die rationalen Zahlen zu den reellen
Zahlen. Hier eine Definition:
Definition: Eine Zahl heisst reell, wenn sie in Gestalt eines unendli-5
6
chen Dezimalbruches geschrieben werden kann, also Grenzwert einer
Ergänzungsfolge von Dezimalbrüchen ist.
Ein grosser Teil (Grenzwerte, Reihen, Differentialrechnung, Integralrechnung, usw.) der Analysis beruht auf dieser Definition. Können
wir uns nun zurücklehnen? Es gibt immer noch Operationen die auf
dieser Zahlenmenge nicht uneingeschränkt durchführbar sind (z.B. die
Quadratwurzel aus einer negativen Zahl). Betrachten wir einmal die
folgenden einfachen beiden Gleichungen:
x2 −1 = 0
x2 = 1
x2 + 1 = 0
x2 = −1
x1,2 = ±1
x1,2 = ?
Die erste Gleichung besitzt reelle Lösungen die zweite Gleichung nicht!
7
8
Definition
Ausgehend von der Gleichung x2 + 1 = 0 definieren wir:
Definition: i := − 1 . Die Zahl i nennen wir imaginäre Einheit.
Nun gilt sicher:
i = −1
( −1) = −1
= ( − 1) = i i = (− 1)i = −i
= ( −1) = i i = (−1)(−1) = 1
i2 =
2
i3
3
2
4
2 2
i4
i5 = i 4i = i
Wir können uns zwar noch nicht allzuviel unter dieser neuen Grösse
vorstellen, doch können wir nun alle quadratischen Gleichungen
9
lösen!
10
Betrachten wir
dazu zwei Beispiele:
2
Beispiel: x + 4 = 0
x2 = −4
x1,2 = ± − 4 = ± − 1 4 = ±2i
Beispiel:
x2 + x + 1 = 0
2
3
⎛ 1⎞
⎜x+ ⎟ = −
4
⎝ 2⎠
1⎞
3
3
3
⎛
⎜ x1,2 + ⎟ = ± − = ± −1 = ± i
2⎠
4
2
2
⎝
1
3
x1,2 = − ± i
2 2
11
12
Definition komplexe Zahlen
Definition: Die Summen z = a + ib mit a, b ∈ R aus einer reellen
Zahl a und dem Produkt einer reellen Zahl b mit der imaginären
Einheit (kurz der imaginären Zahl ib ) heissen komplexe Zahlen. Wir
bezeichnen a als Realteil und b als Imaginärteil der komplexen Zahl
z . Die Menge der komplexen Zahlen wird mit C bezeichnet.
13
14
Grundoperationen auf C
Nun haben wir eine neue Zahlenmenge definiert, doch was nutzen
uns diese neuen Zahlen, wenn wir nicht mit ihnen rechnen können?
Damit uns die komplexen Zahlen etwas nützen, müssen wir sie in
einem ersten Schritt in einen direkten Zusammenhang mit den reellen
Zahlen bringen. In einem zweiten Schritt wollen wir dann sinnvolle
Rechenoperationen auf C definieren, so dass die Rechnungen mit
reellen Zahlen als Spezialfall des Rechnens mit komplexen Zahlen
resultiert.
Satz: Die Menge der komplexen Zahlen enthält die Menge der
reellen Zahlen, es gilt also:
R⊂C
Dies ist einfach einzusehen, da sich jede reelle Zahl a als komplexe
Zahl a + i0 schreiben lässt. Wie sieht es nun mit den Rechenoperationen aus?
15
16
Gleichheit komplexer Zahlen
Bevor wir die Rechenoperationen besprechen betrachten wir noch den
folgenden Satz:
Satz: Zwei komplexe Zahlen a + ib und c + id (a, b, c, d ∈ R) sind
genau dann gleich, wenn sie in Real- und Imaginärteil übereinstimmen. Formal:
a + ib = c + id ⇔ a = c ∧ b = d
Um nun die Rechenoperationen zu definieren, betrachten wir eine
komplexe Zahl z als eine abstrakten Term und rechnen einmal so, als
wären alles nur reelle Zahlen. So gilt dann für die Addition:
z1 + z 2 = (a + ib ) + (c + id ) = a + ib + c + id
= a + c + ib + id = (a + c ) + i (b + d )
Da die Koeffizienten der komplexen Zahlen alle reell sind, ist das
erhaltene Resultat auch eine komplexe Zahl. Wir definieren:
17
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Addition, Subtraktion und
Multiplikation
Definition: Man addiert (bzw. subtrahiert) zwei komplexe Zahlen,
indem man ihre Real- und Imaginärteile addiert (bzw. subtrahiert).
Formal:
(a + ib) ± (c + id ) = (a ± c) + i(b ± d )
Diese Vorschrift ist einfach zu handhaben und stimmt mit der
Addition reeller Zahlen überein.
Beispiel: (1 + i 2) + (3 − i4) = (1 + 3) + i(2 − 4) = 4 − i 2
Das Problem der Multiplikation gehen wir analog an:
z1z2 = (a + ib)(c + id ) = ac + iad + ibc + i 2bd
= (ac − bd ) + i(ad + bc)
Hier erhalten wir schon ein komplizierteres Resultat.
Definition: Man multipliziert zwei komplexe Zahlen wie folgt:
(a + ib)(c + id ) = (ac − bd ) + i(ad + bc)
19
20
Betrachten wir einige Beispiele:
Beispiel:
(1 + i2)(3 − i4) = (1* 3 − 2 * (− 4)) + i(1* (− 4) + 2 * 3) =
Beispiel:
Beispiel:
(3 + 8) + i(− 4 + 6) = 11+ i2
7 * (− 8) = (7 + i 0 )((− 8) + i 0 )
= (7 * (− 8) − 0 * 0 ) + i (7 * 0 + 0 * (− 8)) = −56 + i 0 = −56
(a − ib)(a + ib) = (a2 − (− b)b) + i(ab + (− b)a) =
(a2 + b2 ) + i(ab − ab) = a2 + b2
Da wir nun multiplizieren können, können wir auch potenzieren:
Beispiel: (1 + i2)5 = 1 + 5(i2) + 10(i2)2 + 10(i2)3 + 5(i2)4 + (i2)5
= 1 + 10i − 40 − 80i + 80 + 32i = 41− 38i
21
22
Division
Bevor wir die Division betrachten, führen wir noch eine wichtige
Grösse ein:
Definition: Zwei komplexen Zahlen die sich nur im Vorzeichen des
Imaginärteils unterscheiden, nennt man zueinander konjugiert
komplex. Wir schreiben:
z1 = a + ib = a − ib
Nun erinnern wir und an das 3-te Binom Lehrsatz und finden für die
Division:
z1 a + ib a + ib c − id (ac + bd ) + i(bc − ad ) ac + bd bc − ad
= 2
+i 2
=
=
=
2
2
2
z2 c + id c + id c − id
c +d
c +d
c + d2
Definition: Man dividiert zwei komplexe Zahlen wie folgt:
z1 z1 z2 a + ib ac + bd bc − ad
=
=
=
+i
z2 z2 z2 c + id c2 + d 2 c2 + d 2
23
24
Diese letzte Formel kann man sich sicher nicht merken! Doch das
Vorgehen ist eigentlich recht simpel.
Beispiel:
1 + i 2 (1 + i 2 )(3 + i 4 ) (3 − 8) + i (4 + 6 )
5
10
1 2
=
=
= − +i = − +i
3 − i 4 (3 − i 4 )(3 + i 4 )
9 + 16
25 25
5 5
Beispiel:
(
)
a + ib (a + ib)(a + ib) a2 − b2 + i(2ab) a2 − b2
2ab
=
=
+
i
=
a − ib (a − ib)(a + ib)
a 2 + b2
a 2 + b2 a 2 + b2
25
26
Gauss‘sche Zahlenebene
Jede komplexe Zahl z = a + ib (a, b ∈ R) entspricht einem
2
geordneten Zahlenpaar (a, b) ∈ R aus reellen Zahlen. Dies ergibt uns
die Möglichkeit die komplexen Zahlen darzustellen und sie so besser
zu verstehen. Ein geordnetes Zahlenpaar kann man eindeutig einem
Punkt im kartesischen Koordinatensystem zuordnen. Der komplexen
Zahl z = a + ib entspricht dabei der Punkt mit der Abszisse a und der
Ordinate b. Diese Bildebene nennt man Gauss‘sche Zahlenebene.
Satz: Es gibt eine Abbildung f : C → R2 , a + ib a (a, b) , welche
bijektiv jeder komplexen Zahl z = a + ib einen Punkt (a, b) ∈ R2
zuordnet. Diese Abbildung liefert uns eine Identifikation zwischen C
und R2 . Die Bildmenge dieser Abbildung nennt man Gauss‘sche
Zahlenebene.
27
28
Beispiele:
4
3
z3 = −2 + 2i
2
z1 = 2 + i
1
0
-1
z4 = 3 − 2i
-2
z2 = −1 − 2i
-3
-4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
29
30
Betrag einer komplexen Zahl
Definition: Unter dem Betrag einer komplexen Zahl z = a + ib ∈ C
versteht man den Wert a 2 + b 2 ∈ R , welcher der Entfernung des
2
Punktes (a, b) ∈ R vom Ursprung entspricht. Formal:
z = a2 + b2
Beispiel: 1 + 2i = (1) + (2 ) = 5
Punkte in einem Koordinatensystem müssen nicht unbedingt in
kartesischen Koordinaten angegeben werden. Wir können z.B. auch
polare Koordinaten verwenden. Es gilt für die Umrechnung:
2
2
K a r t e s is c h - > p o la r
r = x2 + y2
tan ϕ =
y
x
P o la r - > k a r t e s is c h
x = r cos(ϕ )
y = r sin (ϕ )
31
32
Goniometrische
Darstellungsform
Aus der obigen Umrechnung finden wir nun die goniometrische Darstellungsform komplexer Zahlen:
Satz: Jede komplexe Zahl lässt sich eindeutig in folgender Form
+
schreiben:
z
∈
R
0
z = z (cos(ϕ ) + i sin (ϕ ))
0 ≤ ϕ < 2π
z nennt man den Betrag und ϕ den Phasenwinkel (oder Argument)
der komplexen Zahl.
Beispiel: z = −2 + i2 3
⇒ z = (− 2) + (2 3)
2
2
= 16 = 4
⎛ 2 3 ⎞ 2π
⎟⎟ =
⇒ ϕ = π + arctan⎜⎜
⎝ 2 ⎠ 3
⎛ ⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞ ⎞
z = 4⎜ cos⎜ ⎟ + i sin⎜ ⎟ ⎟
3
⎝ 3 ⎠⎠
⎝ ⎝ ⎠
33
34
Rechenoperationen in der
Gauss‘schen Zahlenebene
Die Addition zweier komplexer Zahlen lässt sich als Summe zweier
Vektoren interpretieren. Wir betrachten dazu ein Beispiel:
z1 = 1 + 2i
Beispiel:
Im( z )
Re( z )
z1 + z2 = 5 − i
z2 = 4 − 3i
35
36
Die Multiplikation
Bevor wir die Multiplikation in der Gauss‘schen Zahlenebene interpretieren können, müssen wir uns überlegen, wie man komplexe
Zahlen in der goniometrischen Form multiplizieren kann. Seien die
beiden folgenden komplexen Zahlen gegeben:
z1 = r1 (cos(ϕ1 ) + i sin(ϕ1 ))
Wir finden nun:
z2 = r2 (cos(ϕ2 ) + i sin(ϕ2 ))
z1z2 = r1 (cos(ϕ1 ) + i sin(ϕ1 )) * r2 (cos(ϕ2 ) + i sin(ϕ2 ))
= r1r2 (cos(ϕ1 )cos(ϕ2 ) − sin(ϕ1 )sin(ϕ2 ) + i(sin(ϕ1 )cos(ϕ2 ) + cos(ϕ1 )sin(ϕ2 )))
= r1r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 ))
Satz: Der Betrag des Produktes ist somit das Produkt der Beträge der
Faktoren und der Phasenwinkel des Produktes ist die Summe der
Phasenwinkel der Faktoren. Formal:
z1z2 = z1 z2 = r1r2
arg( z1z2 ) = arg( z1 ) + arg( z2 ) = ϕ1 + ϕ2
37
38
Beispiel:
⎛ ⎛π π ⎞
⎛π π ⎞⎞
z1z2 = 3 * 5⎜ cos⎜ + ⎟ + i sin⎜ + ⎟ ⎟
⎝ 6 4 ⎠⎠
⎝ ⎝6 4⎠
⎛ ⎛ 5π ⎞
⎛ 5π ⎞ ⎞
= 15⎜ cos⎜ ⎟ + i sin⎜ ⎟ ⎟
⎝ 12 ⎠ ⎠
⎝ ⎝ 12 ⎠
⎛ ⎛π ⎞
⎛ π ⎞⎞
z2 = 3⎜ cos⎜ ⎟ + i sin⎜ ⎟ ⎟
⎝ 4 ⎠⎠
⎝ ⎝ 4⎠
⎛ ⎛π ⎞
⎛π ⎞⎞
z1 = 5⎜ cos⎜ ⎟ + i sin⎜ ⎟ ⎟
⎝ 6 ⎠⎠
⎝ ⎝6⎠
39
40
Die Division
Analog findet man für die Division:
Satz: Der Betrag eines Quotienten komplexer Zahlen ist gleich dem
von ihren Beträgen gebildete Quotient. Der Phasenwinkel des
Quotienten ist gleich der Differenz der Phasenwinkel von Dividend
und Divisor. Formal:
z
z
1
z2
=
1
z2
(cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 ))
⎛
⎛π ⎞
⎛ π ⎞⎞
Beispiel: Wir suchen den Quotienten von z1 = 1 + i 3 = 2⎜ cos⎜ ⎟ + i sin⎜ ⎟ ⎟
⎝ 3 ⎠⎠
⎝ ⎝3⎠
und z2 = 2 + i 2 = 2⎛⎜ cos⎛⎜ π ⎞⎟ + i sin⎛⎜ π ⎞⎟ ⎞⎟
⎝ 4 ⎠⎠
⎝ ⎝4⎠
Wir erhalten:
z1 2 ⎛ ⎛ π π ⎞
⎛π π ⎞⎞
⎛π ⎞
⎛π ⎞
= ⎜ cos⎜ − ⎟ + i sin ⎜ − ⎟ ⎟ = cos⎜ ⎟ + i sin ⎜ ⎟
z2 2 ⎝ ⎝ 3 4 ⎠
⎝ 3 4 ⎠⎠
⎝ 12 ⎠
⎝ 12 ⎠
41
42
Potenzen, Wurzeln und
Logarithmen
Wir können nun die vier Grundrechenoperationen mit den komplexen
Zahlen sowohl in der arithmetischen als auch in der goniometrischen
Darstellung durchführen. Als nächstes betrachten wir die
Operationen Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren. Wir
beginnen mit der Potenz einer komplexen Zahl. Da die Multiplikation
in der goniometrischen Darstellung einfacher zu berechnen ist,
wollen wir die Potenzen ebenfalls in goniometrischer Darstellung
betrachten (ansonsten müssten wir mit der binomischen Formel
arbeiten). Als einführendes Beispiel betrachten wir das Quadrat einer
komplexen Zahl:
⎛
⎞
2
2
2⎜
2
2
z = (r(cos(ϕ ) + i sin(ϕ ))) = r cos (ϕ ) − sin (ϕ ) + i2sin(ϕ )cos(ϕ )⎟
1442443 144244
3
⎜
⎝
z 2 = r 2 (cos(2ϕ ) + i sin(2ϕ ))
cos( 2ϕ )
sin( 2ϕ )
⎟
⎠
43
44
Wie wir weiter vorne schon gesehen haben, werden bei der
Multiplikation die Beträge der Faktoren miteinander multipliziert und
die Argumente der Faktoren addiert. Beim Quadrieren wird also der
Betrag quadriert und das Argument verdoppelt. Allgemein gilt:
Satz (Moivre):
z n = (r (cos(ϕ ) + i sin (ϕ ))) = r n (cos(nϕ ) + i sin (nϕ ))
n
Bemerkung: Da die trigonometrischen Funktionen periodisch sind
gibt es für eine komplexe Zahl mehrere (unendlich viele)
gleichwertige goniometrische Schreibweisen:
z = r(cos(ϕ ) + i sin(ϕ )) = r(cos(ϕ + 2kπ ) + i sin(ϕ + 2kπ ))
k ∈Z
Somit lässt sich obiger Satz auch wie folgt schreiben:
z n = r n (cos(nϕ + 2knπ ) + i sin (nϕ + 2knπ ))
45
46
Radizieren
Während es im Körper der reellen Zahlen beispielsweise nur zwei
Zahlen gibt, deren vierte Potenz gleich Eins ist (-1 und 1), enthält der
Körper der komplexen Zahlen vier solche Werte (-1,1,i und -i). Die
Gleichung z 4 = 1 hat also im Körper der komplexen Zahlen vier
Lösungen.
Definition: Die Lösungen der Gleichung x n = z x, z ∈ C ∧ n ∈ N \ {0}
heissen komplexe n-te Wurzeln von z .
Die Zahl 1 hat also die komplexen vierten Wurzeln 1,i,-1 und -i.
Beispiel: Wir wollen alle komplexen dritten Wurzeln der Zahl
⎛ ⎛ 2π
⎞
⎛ 2π
⎞⎞
x = −2 + i2 3 = 4⎜ cos⎜ + 2kπ ⎟ + i sin⎜ + 2kπ ⎟ ⎟
⎠
⎝ 3
⎠⎠
⎝ ⎝ 3
bestimmen. Es muss nun folgendes gelten:
⎛ ⎛ 2π
3
z 3 = (r (cos(ϕ ) + i sin (ϕ ))) = r 3 (cos(3ϕ ) + i sin (3ϕ )) = 4⎜ cos⎜
⎝
⎞
⎛ 2π
⎞⎞
+ 2kπ ⎟ + i sin ⎜
+ 2kπ ⎟ ⎟
⎝ 3
⎝ 3
⎠
47 ⎠ ⎠
48
Durch das Vergleichen der beiden Formeln finden wir also:
r3 = 4
⇒
r =3 4
2π
2π 2kπ
3ϕ =
+ 2kπ ⇒ ϕ =
+
3
9
3
Für k liefern die Werte 0,1 und 2 verschiedene Lösungen. Für andere
Werte für k wiederholen sich die Lösungen wieder. Also finden wir:
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞ ⎞
3 ⎛
z1 = 4⎜ cos⎜ ⎟ + i sin⎜ ⎟ ⎟
⎝ 9 ⎠⎠
⎝ ⎝ 9 ⎠
⎛ ⎛ 2π 2π ⎞
⎛ 2π 2π ⎞ ⎞
z2 = 3 4⎜ cos⎜ + ⎟ + i sin⎜ + ⎟ ⎟
3⎠
3 ⎠⎠
⎝ 9
⎝ ⎝ 9
⎛ ⎛ 2π 4π ⎞
⎛ 2π 4π ⎞ ⎞
z3 = 3 4⎜ cos⎜ + ⎟ + i sin⎜ + ⎟ ⎟
3⎠
3 ⎠⎠
⎝ 9
⎝ ⎝ 9
49
50
Allgemein erhalten wir:
Definition: Jede von Null verschiedene komplexe Zahl z hat genau n
verschiedene komplexe n -te Wurzeln. Der Betrag der n -ten Wurzel
von z ist gleich der n-ten Wurzel aus dem Betrag von z . Die
Argumente der komplexen n-ten Wurzeln erhält man, indem man
zum Argument der komplexen Zahl z das k-fache k ∈ {0,1,..., n − 1}
des Vollwinkels addiert und die Summe durch n dividiert. Formal:
z
n
1
n
= (r (cos(ϕ ) + i sin (ϕ )))
⎛ ⎛ ϕ + 2kπ
r ⎜ cos⎜
n
⎝ ⎝
1
n
=
⎞
⎛ ϕ + 2kπ
⎟ + i sin ⎜
n
⎠
⎝
⎞⎞
⎟⎟
⎠⎠
k ∈ {0,1,2,..., n − 1}
51
52
Bemerkungen zum Radizieren
Untersuchen wir die obige Formel, so stellen wir folgendes fest:
•Radizieren und Potenzieren sind Umkehroperationen voneinander:
1 n
n
⎛z ⎞ = z
⎜ ⎟
⎝ ⎠
•Alle komplexen n-ten Wurzeln liegen auf einem Kreis in der
n
Gauss‘schen Zahlenebene mit Radius r .
•Die verschiedenen komplexen n -ten Wurzeln unterscheiden sich nur
im Argument. Zwischen zwei benachbarten Wurzeln liegt der Winkel
2π
n
53
54
z = r(cos(ϕ ) + i sin(ϕ ))
z2
ϕ
2π
n
ϕ
n
⎛ ⎛ϕ ⎞
⎛ϕ ⎞⎞
z1 = n r ⎜ cos⎜ ⎟ + i sin⎜ ⎟ ⎟
⎝ n ⎠⎠
⎝ ⎝n⎠
55
56
Beispiele
Beispiel: Wir wollen die Quadratwurzel aus Eins berechnen:
2
1 = [1(cos(2kπ ) + i sin (2kπ ))]
1
2
= 1(cos(kπ ) + i sin (kπ )) = cos(kπ ) = ±1
Beispiel:Dritte Wurzel aus Eins:
1
⎛ π + 2kπ ⎞
⎛ π + 2kπ ⎞
−1 = [1(cos(π + 2kπ ) + i sin(π + 2kπ ))] 3 = cos⎜
⎟ + i sin⎜
⎟
⎝ 3 ⎠
⎝ 3 ⎠
3
⎛π + 0 ⎞
⎛π + 0 ⎞
⎛π ⎞
⎛π ⎞ 1
k =0
cos⎜
⎟ + i sin⎜
⎟ = cos⎜ ⎟ + i sin⎜ ⎟ = + i
2
⎝ 3 ⎠
⎝ 3 ⎠
⎝3⎠
⎝3⎠ 2
⎛ π + 2π ⎞
⎛ π + 2π ⎞
cos⎜
⇒ k =1
⎟ = cos(π ) + i sin(π ) = −1
⎟ + i sin⎜
3
3
⎠
⎝
⎝
⎠
3
⎛ π + 4π ⎞
⎛ π + 4π ⎞
⎛ 5π ⎞
⎛ 5π ⎞ 1
k = 2 cos⎜
⎟ + i sin⎜
⎟ = cos⎜ ⎟ + i sin⎜ ⎟ = − i
2
⎝ 3 ⎠
⎝ 3 ⎠
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠ 2
3
57
58
Logarithmieren
Bevor wir mit dem Logarithmieren starten können benötigen wir
noch eine weitere Darstellungsform für die komplexen Zahlen. Dies
ist die sogenannte Exponentialform einer komplexen Zahl. Um diese
Darstellungsform herzuleiten müssten wir den Begriff der
Potenzreihe kennen. Hier sei nur erwähnt, dass wir Funktionen mit
bestimmten Eigenschaften als eine Potenzreihe schreiben können.
Diese Potenzreihe ist dann eine äquivalente Beschreibung der
Funktion. Hier einige wichtige Potenzreihen:
∞ k
x 2 x3 x 4
x
e x = 1 + x + + + + ... = ∑
k!
2! 3! 4!
k =0
sin( x) = x −
2k +1
∞
x x x
k x
+ − + −... = ∑(−1)
(2k + 1)!
3! 5! 7!
k =0
cos( x) = 1 −
2k
∞
x 2 x 4 x6
k x
+ − + −... = ∑(−1)
(2k )!
2! 4! 6!
k =0
3
5
7
59
60
Das Argument der Funktionen sei hierbei reell. Doch was geschieht,
wenn wir in diesen Potenzreihen eine komplexe Zahl einsetzen?
Versuchen wir es einmal:
2
3
4
(
ix) (ix) (ix)
ix
e = 1 + (ix) +
+
+
+ ...
2!
3!
4!
x 2 x 3 x 4 x5 x 6 x 7
= 1 + ix − − i + + i − − i + ...
2! 3! 4! 5! 6! 7!
⎛ x 2 x 4 x6
⎞ ⎛ x3 x5 x 7
⎞
= ⎜⎜1 − + − + −...⎟⎟ + i⎜⎜ x − + − + −...⎟⎟
! 4! 6!
3! 5! 7!
⎝1424
4
424444
3⎠ ⎝1444424444
3⎠
cos( x )
= cos( x) + i sin( x)
sin( x )
61
62
Exponentialform
Ein sehr erstaunliches Resultat. Wir fassen zusammen:
Satz (Eulersche Formel): Es gilt:
e ix = cos( x ) + i sin ( x )
Diese Formel ist eine der wichtigsten in der ganzen Mathematik.
Wir können nun eine komplexe Zahl auch wie folgt schreiben:
z = r (cos(ϕ ) + i sin (ϕ )) = re iϕ
Dies nennt man die Exponentialform einer komplexen Zahl. Sie
beinhaltet wie die goniometrische Darstellung den Betrag und das
Argument der komplexen Zahl (also keine neuen Informationen), doch
können wir nun bestimmte Rechnungen einfacher durchführen- z.B.
können wir nun logarithmieren!
63
64
Der Logarithmus einer
komplexen Zahl
Wir möchten den Logarithmus einer komplexen Zahl berechnen. Liegt
die komplexe Zahl in der Exponentialform vor, so ist dies einfach:
( )
( )
ln ( z ) = ln re iϕ = ln (r ) + ln eiϕ = ln (r ) + iϕ
Beispiel: Wir suchen
den natürlichen Logarithmus der komplexen
π
i
Zahl z = i + 1 = 2e .4
π
⎛
i ⎞
π 1
π
4 ⎟
⎜
( )
ln( z ) = ln⎜ 2e ⎟ = ln 2 + i = ln(2) + i
4 2
4
⎠
⎝
Betrachten wir das obige Beispiel, so sehen wir noch folgendes, was
man bei einem ersten hinsehen übersehen könnte. Liegt die komplexe
Zahl in der Exponentialform (oder in der goniometrischen Form) vor,
so gibt es unendlich viele verschiedene Argumente (Periodizität).
Daher muss es auch unendlich viele Logarithmen einer Zahl geben!
65
66
Es gilt daher:
Satz:
iϕ
( ) = ln(re (ϕ
ln re
i
+ 2 kπ )
) = ln(r ) + i(ϕ + 2kπ )
k∈N
Betrachten wir dazu die folgende Grafik:
Im(z)
ϕ+4π
ln(z)
ϕ+2π
ln(z)
ϕ
ln(z)
ϕ−2π
ln(r)
ln(z)
ϕ−4π
ln(z)
Re(z)
67
68
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Komplexe Zahlen