Blatt 07 08.12.2015 15.12.2015 17.12.2015

Quantenmechanik
Übungsblatt 7
Dr. Tobias Huber,
Marius Höfer, Christian Fleper, Mariami Gachechiladze
Ausgabe: 27. November 2015
Abgabe: 4. Dezember 2015
H21: Eichinvarianz der Schrödingergleichung
8 P
Die Schrödingergleichung für ein Teilchen der Ladung q und Masse m in einem äußeren
elektromagnetischen Feld ist gegeben durch
!
(p − qA(x, t))2
Hψ(x, t) =
+ qφ(x, t) ψ(x, t) = i~∂t ψ(x, t)
(1)
2m
Dabei sind A(x, t) und φ(x, t) das Vektor- bzw. skalare Potential, die aus der Elektrodynamik
bekannt sind und über folgende Gleichungen mit dem E- und B-Feld verknüpft sind:
B(x, t) = ∇ × A(x, t)
(2)
E(x, t) = −∇φ(x, t) − ∂t A(x, t)
(3)
Diese Gleichungen sind invariant unter der Eichtransformation
A → A0 = A + ∇Λ
(4a)
0
φ → φ = φ − ∂t Λ
(4b)
mit Λ = Λ(x, t). Zeigen Sie, dass die Schrödingergleichung (1) ebenfalls invariant ist unter
(4), solange für die Wellenfunktion gilt:
q ψ → ψ 0 = exp i Λ ψ
(5)
~
H22: Messung am Zwei-Zustands-System
8 P
Betrachten Sie einen zweidimensionalen Hilbertraum mit ONB {|0i , |1i}, sowie den Zustand
1
3
|ψi = √ |0i + √ |1i
10
10
(6)
und die Operatoren
 = |0ih1| + |1ih0|
B̂ = −i |0ih1| − |1ih0|
(7)
(a) Â werde im Zustand |ψi gemessen. Was sind die möglichen Messergebnisse und mit
welchen Wahrscheinlichkeiten treten diese auf?
(b) Würde man nun direkt noch einmal  messen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ergäbe
sich welches Ergebnis, angenommen, bei der ersten Messung hat man den größtmöglichen Messwert erhalten?
(c) Statt ein zweites Mal  soll nach der Messung von  unmittelbar B̂ gemessen werden.
Was sind nun die möglichen Ergebnisse und deren Wahrscheinlichkeiten, angenommen,
bei der Messung von  ergab sich der größtmögliche Messwert?
(d) Als dritte Messung folgt wieder Â. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man nun
welches Ergebnis, angenommen, auch die Messung von B̂ ergab das größtmögliche Ergebnis? Was bedeutet das im Bezug auf (b)?
1
H23: Impulsraumdarstellungen
4 P
Aus der Vorlesung ist Ihnen die Ortsraumdarstellung von Orts- und Impulsoperator bekannt:
hx|x̂|ψi = xψ(x)
(8)
hx|p̂|ψi = −i~∇ψ(x)
(9)
Berechnen Sie die Impulsraumdarstellung der beiden Operatoren.
2