1.1 Das Prinzip von No Arbitrage

Finanzmärkte
Tri Vi Dang
HS 2006
Universität Mannheim
1.1 Das Prinzip von No Arbitrage
1.1.A
Das Framework
1.1.B
Beispiele
1.1.C
Das Fundamental Theorem of Finance
1.1.D
Interpretation des Theorems und Zustandspreise
1.1.E
No Arbitrage (NA) und die Existenz eines linearen Preisoperators
1.1.F
Eigenschaften des Preisoperators und Eigenschaften von Märkten
1.1.G
Das Repräsentations-Theorem
1.1.H
Optionspreisbewertung als NA-Pricing
1
1.1.A
Das Framework
Annahme A.1
Annahme A.2
Es gibt S Umweltzustände in t=1
S={s1, s2,...., sS},
die mit folgenden Wahrscheinlichkeiten auftreten
π={π1, π2,...., πS}.
Bemerkung A.1
Annahme A.3
Es gibt N Wertpapiere.
In t=0 beträgt der Preis des Wertpapiers i pi.
Wertpapier i generiert im Zustand s im Zeitpunkt t=1 eine Auszahlung von xis.
Annahme A.4
Es gibt ein Konsumgut in der Ökonomie in t=0 und t=1. (Vereinfachung)
Die Auszahlung xis erfolgt in Einheiten des Konsumguts.
2
Bemerkung A.2
Notation A.1
Sei der (N-) Vektor der N-Wertpapierpreisen :
p=(p1, p2,...., pN)
Sei der (S-) Vektor der Auszahnlungen von Wertpapier i:
xi=(xi1, xi2,...., xiS)
Sei X die Auszahlungsmatrix der N Wertpapieren in den S Umweltzuständen:
Umweltzustände
[1
S]
 x 11 L x 1S  Wertpapier 1
X =  M O M 
 x N1 L x NS  Wertpapier N
3
1.1.B
Beispiele
Was kann man zu folgenden Wertpapieren (WP) und deren Preisen sagen?
(a)
(b)
(c)
(d)
S=2, N=2
WP 1: x1=(1, 2)
p1=2
WP 2: x2=(3, 4)
p2=1
S=2, N=2
WP 1: x1=(1, 2)
p1=3
WP 2: x2=(6, 8)
p2=4
S=2, N=2
WP 1: x1=(1, 0)
p1=10
WP 2: x2=(0, 100)
p2=1
S=3, N=3
WP1: x1=(1, 2, 3)
p1=1.4
WP2: x2=(2, 1, 4)
p2=1.8
WP3: x3=(1, 3, 1)
p3=2.
Zu (a)
1 2
X=

3 4
 2
und p =  
1 
4
Eine profitable Handelsstrategie
t=1
:
“verzichtet“ auf Auszahlung=(1,2)
bekommt dafür Auszahlung=(6,8)
Implikation
Zu (b)
1 2
X=

6 8 
3
und p =  
 4
5
Zu (c)
1 0 
10 
X=
und p =  

0 100
1 
Kann es “sein“, dass WP2 weniger kostet als WP1?
CAPM : WP, die eine positive Korrelation (Beta gross) zum Marktportfolio aufweisen,
haben eine hohe erwartet Rendite und einen niedrigeren Preis.
Zu (d) :
Aufgabe 1
6
1.1.C
Das Fundamental Theorem of Finance
Definition C.1
Es gibt N Wertpapiere. Seien α und p N-Vektoren. Ein Portfolio α heißt selbstfinanzierend
(self-financing), wenn gilt
α⋅p≤0.
Bemerkung C.1
Um Notation zu sparen, werden Vektoren bei der Multiplikation nicht in transponierter Form
geschrieben.
Bemerkung C.2
Der Preis (Kosten) von Portfolio α beträgt
 p1 


α⋅p = (α 1 ......α N )M  =reele Zahl.
p 
 N
Definition C.2
Es gibt N Wertpapiere. Seien α und p N-Vektoren und X eine (N×S) Matrix. Ein Arbitrage
oder eine arbitrage Möglichkeit ist ein N-Vektor α, so dass gelten
α⋅p≤0
(nicht-positive Kosten)
α⋅X>0
(strikt größer Null für mindestens ein Element)
und
mit
 x11 L x1S 
α⋅X= (α 1 ......α N ) ⋅  M O M  = Zeilenvektor.
 x N 1 L x NS 
7
Bemerkung C.3
Theorem (The Fundamental Theorem of Finance)
Seien q ein S-Vektor, p der N-Vektor der Werpapierpresien und X die (N×S)- Matrix der
Auszahlungen der N Wertpapiere in den S Umweltzuständen.
NA ⇔ {∃q>>0 : Xq=p}.
Verbal
Beweis (The Fundamental Theorem of Finance)
"⇐"
Annahme
Es gilt {∃q>>0 : Xq=p}.
Es gebe ein Arbitrage mit
(1) αp≤0
and
αX>0
(2) αp<0
and
αX=0.
oder
8
Zu (1)
Falls αX>0 , dann folgt für q>>0
was αp≤0 widerspricht.
Zu (2)
Falls αX=0, dann folgt für q>>0
was αp<0 widerspricht.
"⇒"
Benötigt ein Trennsatz-Argument und wird hier nicht bewiesen.
9
1.1.D
Interpretation des Theorems und Zustandspreise
Bemerkung D.1
Wenn alle Elemente von q strikt größer als Null sind, dann gibt es kein Arbitrage.
Wenn ein Element von q Null oder kleiner als Null ist, dann gibt es Arbitrage.
Bemerkung D.2
Im Beispiel 1.1.B gilt
(a)
1 2
X=

3 4
 2
und p =  
1 
Xq=p
1 2  q 1 
3 4 ⋅  q  =

  2
⇔
q1
 p1 
 
 p2 
+ 2q 2 = 2
3q 1 + 4q 2 = 1
Das Gleichungssytem hat als einzige Lösung
Æ
Da q1=−3≤0, gibt es Arbitrage.
(b)
1 2
X=

6 8 
3
und p =  
 4
10
(c)
1 0 
10 
X=
und p =  

0 100
1 
Bemerkung D.3
Definition D.1
Folgende Wertpapiere werden Zustands-Wertpapiere (pure contingent claims, ArrowDebreu securities) gennant:
WP 1 :
e1=(1,0,0,....,0)
WP 2 :
:
WP S :
e2=(0,1,0,....,0)
eS=(0,0,0,....,1).
WP i generiert nur in Umweltzustand i eine Zahlung von 1 und sonst null.
Definition D.2
Gegeben q=(q1,....,qS).
Aus NA
S
PZ = qz = ∑ q i ⋅ z i
i =1
folgt, dass der Preis pi von Zustands-WP i genau qi beträgt.
Daher wird der Vektor q als Vektor der Zustandspreise (state prices, Arrow-Debreu-Preise)
genannt und qi der state price von dem contingent claim i genannt.
11
1.1.E
NA und die Existenz eines linearen Preisoperators
Korollar (The Fundamental Theorem of Finance)
NA ⇔ {∃ ein positive linearer Operator L(⋅) : pz=L(z), ∀z=(z1,....,zS)}.
Verbal
Als Umkehrung folgt: Wenn der beobachteter Preis PZ≠L(z) ist, dann gibt es Arbitrage.
Beweis Korollar
Theorem besagt, dass für den Preis von WP j gilt:
S
p j = X q = ∑ q i ⋅ x ij .
j
i =1
Für den Preis eines WP z mit Auszahlung (z1,....,zS) folgt
S
PZ = qz = ∑ q i ⋅ z i .
i =1
.
Definiere die Menge Z als
Definiere die Abbildung L als
L : Z Æ R definiert als L(z)=z⋅q.
12
Dann ist L(⋅) linear, weil L(αz)=αL(z) für alle z∈Z and α∈R.
Bemerkung E.1
z ist ein beliebiger Auszahlungsvektor, den man als Linearkombination aus den vorhandenen
N Wertpapieren generieren kann.
13
1.1.F
Eigenschaften des Preisoperators und Eigenschaften von
Märkten
Definition F.1
Es gebe S Umweltzuständen. Eine Menge von Wertpapieren heißt aufspannende Menge,
wenn jeder mögliche Auszahlungsvektor in (dem Vektorraum) RS als Linearkombination der
vorhandenen Wertpapieren erzeugt werden kann.
Definition F.2
Ein System von Wertpapiermärkten ist (oder kurz Wertpapiermärkte sind) vollständig, wenn
es eine aufspannende Menge von Wertpapieren gibt.
Definition F.3
Ein Wertpapier heißt redundant, wenn sein Auszahlungsvektor als Linearkombination der
anderen Wertpapieren erzeugbar ist.
Beispiel
Seien S=2, WP 1mit
x 1 = (1,0) und WP2 mit x1 = (0,100) (d.h. X = 
1 0 
 ).
0 100
Jeder Vektor h=(h1,h2) ist erzeugbar, und zwar als Linearkombination von x1 und x2:
Z.B. gegeben WP1 und WP2, WP3 mit x 3 = (−6,7) ist ein redundantes WP.
Lemma
Wenn Märkte vollständig sind, dann ist der Preisoperator (bzw. der Vektor q von
Zustandspreisen) eindeutig.
Wenn Märkte nicht vollständig sind, dann ist der Preisoperator nicht eindeutig. (Es gibt viele
Vektoren q, die mit NA vereinbar sind.)
14
Beweis (Lemma)
Es gibt S Umweltzustände.
Fall 1
Es gebe N=S Wertpapiere.
Sei X die Auszahlungsmatrix der N Wertpapiere.
Schritt 1 (Vollständige Märkte)
Märkte sind genau dann vollständig, wenn für alle y∈RS gilt
y=αX.
Ein elementares Ergebnis der Linearen Algebra besagt:
Wenn der Rank(X)=S ist, dann ist jedes y=hX als Linearkombination der N WP erzeugbar.
Bemerkung F.1
Schritt 2 (Eindeutigkeit)
Eindeutigkeit von q folgt aus einem weiteren Ergebnis der Linearen Algebra.
p=Xq
Æ
q=X−1p
15
Fall 2
Es gebe N>S Wertpapiere.
Falls Rank(X(n))=S, dann gilt
Æ
Fall 1.
Fall 3
Falls Rank(X)<S, dann sind Märkte unvollständig.
Æ
q ist nicht eindeutig.
Ein Ergebnis der Linearen Algebra besagt:
Bemerkung F.2
S>N bedeutet, dass es mehr Unbekannten (Variablen) als Gleichungen gibt.
Die Menge Q der zulässigen Vektoren von Zustandspreisen
ist die Schnittmenge einer S−N (affinen) dimensionalen Teilmenge mit dem positiven
Orthanten.
Bemerkung F.3
Siehe Aufgabe 1 und Aufgabe 2.
16
1.1.G
Das Repräsentations-Theorem
Bemerkung G.1
Der positive lineare Preisoperator in dem Fundamental Theorem besitzt wichtige
(äquivalente) Repräsentationen.
Definition G.1
Risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten ist eine Menge von Wahrscheinlichkeiten
π*=(π1*,....,π1*) so dass der Wert (Preis) V(z) jedes Wertpapiers z mit Auszahlung
z=(z1,...,zS) wie folgt gegeben ist:
V(z) =
1 *
1 S *
E [z] =
∑ πi z i ,
1+ r
1 + r i =1
wobei r der risikolose Zinssatz ist und E* der Erwartungsoperator bezüglich der risikolosen
Wahrscheinlichkeiten darstellt.
Definition G.2
Der stochastic discount factor (state price density, , pricing kernel, deflator) ist ein Vektor
ρ=(ρ1,ρ2,....,ρS), so dass der Wert V(z) jedes Wertpapier mit Auszahlung z=(z1,....,zS) wie
folgt gegeben ist:
S
V(z) = E[ ρz] = ∑ π i ρ i z i ,
i =1
wobei π der Vektor der (tatsächlichen) Wahrscheinlichkeiten ist und der Erwatungswert
bezüglich dieser Wahrscheinlichkeiten gebildet wird.
Das Repräsentations-Theorem
Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
(1)
(2)
(3)
Die Existenz eines positiven linearen Preisoperators.
Die Existenz positiver risikoneutraler Wahrscheinlichkeiten und der dazugehörige
risikoloser Zins. (Martingal Eigenschaft)
Die Existenz eines stochastic discount factor
17
Beweis
(1) ⇒ (2)
Schritt 1
Sei e=(1,1,1,...,1) das sichere Wertpapier.
Betrachte die Summe der qi
Für den risikolosen Zinssatz r gilt
⇒
⇒
r +1=
1
V ( e)
1 
S
1

1 + r  ⇒ qe = ∑ q i =
1+ r
i =1
V(e) = qe 
V (e ) =
S
1
= ∑ qi
1 + r i =1
Bemerkung G.2
18
Schritt 2
Definiere
Æ
π i* > 0
Æ
∑π
S
i =1
*
i
da q i > 0 für alle i
=1
Aus Aussage (1) folgt
⇔
V(z) = (∑ q i ) ⋅ ∑
S
i =1
qi
⋅ zi
∑ qi
⇔
V(z) =
S
q
1
⋅ ∑ i ⋅ zi
1 + r i =1 ∑ q i
⇔
V(z) =
S
1
⋅ ∑ π *i ⋅ z i
1 + r i =1
⇔
V(z) =
1
⋅ E * [z]
1+ r
(2) ⇒ (1)
19
Definiere
.
Dann folgt
S
1
⋅ π *i ⋅ z i
i =1 1 + r
⇔
V(z) = ∑
⇔
V(z) = ∑ q i ⋅ z i
S
i =1
(1) ⇒ (3)
Definiere den stochastic discount factor als
Daraus folgt
⇔
S
q
V(z) = ∑ π i ⋅  i
i =1
 πi

 ⋅ z i

20
⇔
S
V(z) = ∑ π i ⋅ ρ i ⋅ z i
i =1
⇔
V(z) = E[ρ ⋅ z]
(3) ⇒ (1)
Definiere
Daraus folgt
⇔
S
V(z) = ∑ q i ⋅ z i
i =1
QED.
Æ
Aufgabe 3.
21
1.1.H
Optionspreisbewertung als NA-Pricing
Bemerkung H.1
Definition H.1
Eine Call-Option (oder Call) ist ein Wertpapier, das ein Recht und keine Verpflichtung
beinhaltet, im Zeitpunkt T (Ausübungszeitpunkt) ein anderes Wertpapier/Objekt (Underlying)
zum Preis E (Ausübungspreis) kaufen zu können.
Eine Put-Option (oder Put) ist ein Wertpapier, das ein Recht und keine Verpflichtung
beinhaltet, im Zeitpunkt T (Ausübungszeitpunkt) ein anderes Wertpapier/Objekt (Underlying)
zum Preis E (Ausübungspreis) verkaufen zu können.
Auszahlung der Option im Zeitpunkt T
Sei St der Marktpreis des Objekts zum Zeitpunkt t
Für die Auszahlung im Zeitpunkt T gilt:
Ausübung des Calls, falls E≤ST.
Falls E>ST, dann ist es billiger das Objekt am Markt zu kaufen
Ausübung des Puts, falls E≥ST.
Falls E<ST, dann kann man das Objekt am Markt zu einem höheren Preis verkaufen.
22
Graphik
Auszahlung Call in T
E
ST
Auszahlung Put in T
E
E
ST
23
Das Zwei-Zeitpunkt-Binomial-Modell
Annahme H.1
Es gebe nur 2 Zeitpunkt : t=0 und T=1.
S1 kann nur zwei Realisationen annehmen (2 Umweltzustände in T=1)
S1=a⋅S0 mit Wahrscheinlicht π
S1=b⋅S0 mit Wahrscheinlicht 1−π
Annahme H.2
Es werden zwei (linear unabhängige) Wertpapiere gehandelt.
Das Underlying (Stock)
Preis t=0:
S0
Preis t=1:
S1 ∈{a⋅S0, b⋅S0}
Risikoloses Wertpapier (Bond)
Preis t=0:
B0
Preis t=1:
B1=(1+r)⋅B0
(r : risikoloser Zinssatz)
Bemerkung H.2
24
Wie hoch ist der Preis P0 eines Calls mit Ausübungspreis E?
Methode 1:
Zustandspreise
Schritt 1
Stock
⇔
1 = qa ⋅ a + qb ⋅ b
Bond
⇔
1
= qa + qb
1+ r
(Siehe auch Beweis in Schritt (1) ⇒ (2) in 1.1.G.)
Lösung des Gleichungssystems (mit den Unbekannten qA und qB)
1 = qa ⋅ a + qb ⋅ b
(1)
1
= qa + qb
1+ r
(2)
Aus (1) folgt
qa =
1
− qb
1+ r
(1’)
25
Einsetzen von (1’) in (2) folgt,
 1

− qb  ⋅ a + qb ⋅ b =1

1 + r

⇔
q b ⋅ (b − a) = 1 −
⇔
a
1+ r
qb =
b−a
⇔
qb =
a
1+ r
1−
(1 + r ) − a
(1 + r )(b − a )
Einsetzen in (1) folgt
qa =
1
(1 + r) − a
−
1 + r (1 + r)(b − a)
⇔
qa =
(b − a) − (1 + r) + a
(1 + r)(b − a)
⇔
qa =
b − (1 + r )
(1 + r )(b − a )
Schritt 2
PC = q a ⋅ max[a ⋅ S 0 − E,0] + q b ⋅ [b ⋅ S 0 − E,0]
Æ
PC =
b − (1 + r)
(1 + r) − a
⋅ max[a ⋅ S 0 − E,0] +
⋅ max[b ⋅ S 0 − E,0]
(1 + r)(b − a)
(1 + r)(b − a)
Bemerkung H.3
PC =

1  b − (1 + r)
(1 + r) − a

⋅ max[a ⋅ S 0 − E,0] +
⋅ max[b ⋅ S 0 − E,0] 
(1 + r)  (b − a)
(b − a)

Da gilt a>1+r>b, folgt
PC =
1  (1 + r) − b
a − (1 + r)

⋅ max[a ⋅ S 0 − E,0] +
⋅ max[b ⋅ S 0 − E,0] 

1+ r  a − b
a−b

26
Bemerkung H.4
(1 + r) − b
a−b
ist die risikoneutrale Wharscheinlichkeit πA*.
a − (1 + r)
a−b
ist die risikoneutrale Wharscheinlichkeit πB*.
Bemerkung H.5
PC =
1
(π A ⋅ max[a ⋅ S0 − E,0] + 4
π B ⋅ max[b ⋅ S 0 − E,0])
44444443
1 + r 1444444442
*
E (x C )
Bemerkung H.6
Warum verlangt NA, dass a>1+r>b?
(1)
Falls max[a,b]<1+r
Æ
Bond dominiert Stock
(2)
Falls min[a,b]>1+r
Æ
Stock dominiert Bond
27
Beispiel
Was ist der Preis PC eines Call Options auf Stock mit E=2?
NA:
Æ
qX=p
qA=0.5
qB=0.5
PC = q a ⋅ max[1 − E,0] + q b ⋅ [3 − E,0]
PC = 0.5 ⋅ 0 + 0.5 ⋅ 1 = 0.5 .
Formel :
PC =
b − (1 + r)
(1 + r) − a
⋅ max[a ⋅ S 0 − E,0] +
⋅ max[b ⋅ S 0 − E,0]
(1 + r)(b − a)
(1 + r)(b − a)
mit a= 0.5, b=1.5, r=0, S0=2 und E=2, folgt
Æ
PC = 0.5
Æ
Aufgabe 4.
28