Anzahl möglicher Anordnungen bei 3 Elementen
Werbung
MathBuch 8 Lehrgang Kombinationen - Wahrscheinlichkeit LU 33/34 Bezirksschule Brugg Anzahl möglicher Anordnungen bei 3 Elementen Man kann die Anzahl möglicher Anordnungen der drei Buchstaben A, B und C mit einem Baumdiagramm bestimmen. 3 · 2 · 1 = 6 ! verschiedene Anordnungen Permutationen Die Anzahl möglicher Anordnungen nennt man Permutationen und wird wie folgt berechnet: 3! = 3 · 2 · 1 = 6 ! 3! heisst: 3 Fakultät n! = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 3 · 2 · 1 EXPERIMENT 1: Arbeitsblatt 1 Beispiel 1: Wie viele verschiedene Zahlen gibt es, in denen die ungeraden Ziffern jeweils einmal vorkommen (z.B. 35179)? Lösung: 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = = 5! = 120 " Es gibt 120 verschiedene Zahlen. Beispiel 2: An einem Tisch hat es 8 Stühle. Auf wie viele Möglichkeiten können sich die 8 Gäste an den Tisch setzen? Lösung: ______________________________________________________________ 1-8 MathBuch 8 Lehrgang Kombinationen - Wahrscheinlichkeit LU 33/34 Bezirksschule Brugg Beispiel 3: Wie viele „Wörter“ lassen sich aus den Buchstaben des Wortes PERMUTATION herstellen? Finde sinnvolle Wörter wie z.B. PERMUTATION " TRAUMPOETIN Lösung: ______________________________________________________________ Beispiel 4: Bei einem OL dürfen die Posten in beliebiger Reihenfolge angelaufen werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es bei 4 Posten? Lösung: ______________________________________________________________ Beispiel 5: In deinem Rucksack sind 7 verschiedene Bücher. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, diese aus dem Rucksack zu nehmen? Lösung: ______________________________________________________________ Beispiel 6: Ein Wirt bietet ein 4-Gang-Menü an: Suppe oder Salat, 3 Vorspeisen, 5 Hauptspeisen mit Fleisch, 3 Vegi-Hauptgerichte und 3 verschiedene Nachtische. Wie viele Menüzusammenstellungen mit Fleisch gibt es? Lösung: ______________________________________________________________ Wie viele 4-Gang-Menüs stehen einem Vegetarier zur Verfügung? Lösung: ______________________________________________________________ Beispiel 7: Ein Autohändler bietet einen Autotyp mit drei verschiedenen Motoren, 5 verschiedenen Farben und wahlweise mit oder ohne Extraausrüstung an. Aus wie vielen Kombinationen kannst du auswählen? Lösung: ______________________________________________________________ Beispiel 8: Hans hat 6 Hosen, 8 T-Shirts und 3 Jacken in seinem Kleiderschrank. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten hat er? Lösung: ______________________________________________________________ Wie viele Kombinationen hat er, wenn er keine Jacke trägt? Lösung: ______________________________________________________________ 2-8 MathBuch 8 Lehrgang Kombinationen - Wahrscheinlichkeit LU 33/34 Bezirksschule Brugg Beispiel 9: Brugger Glückskekse sind in 2 Grössen, in 5 Geschmacksvarianten und in 3 Farben erhältlich. Wie viele verschiedene Kekse gibt es? Lösung: ______________________________________________________________ Wie viele verschiedene kleine Kekse gibt es? Lösung: ______________________________________________________________ «3 aus 5» Das Baumdiagramm zeigt alle Möglichkeiten auf, wie man 3 aus 5 Zahlen ziehen kann. Es sind total 5 · 4 · 3 = 60 Möglichkeiten, wobei die Permutationen mit denselben Zahlen jeweils 3 · 2 · 1 = 6 mal vorkommen. (Beispiel: 6 Ziehungen mit den Zahlen 2; 3 und 5) In der Mathematik beschreibt man den Term der verschiedenen Ereignisse folgendermassen: 5 ! 4 ! 3 60 = = 10 3 ! 2 !1 6 " Es gibt 10 verschiedene Ereignisse Beispiel 1: Auf wie viele Möglichkeiten kann man 6 Zahlen aus 45 Lottozahlen ziehen? "45% 45 ! 44 ! 43 ! 42 ! 41 ! 40 5'864'443'200 Lösung: = = 8'145'060 $ '= 6 ! 5 ! 4 ! 3 ! 2 !1 720 #6& Beispiel 2: Lotto 6 aus 49? ! Lösung: ______________________________________________________________ 3-8 MathBuch 8 Lehrgang Kombinationen - Wahrscheinlichkeit LU 33/34 Bezirksschule Brugg Beispiel 3: 3 aus 33? Lösung: ______________________________________________________________ Beispiel 4: Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 13 Spielern 11 auszuwählen? Lösung: ______________________________________________________________ Beispiel 5: Aus 9 Personen sollen für einen Verein 5 für den Vorstand gewählt werden. Wie viele Personenkombinationen gibt es? Lösung: ______________________________________________________________ Beispiel 6: Bei einem Wettlauf beteiligen sich 8 Läufer. In einem Wettbüro kann man einen Tipp für die drei schnellsten Läufer ohne Berücksichtigung der Reihenfolge abgeben. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Lösung: ______________________________________________________________ Beispiel 7: Melanie darf sich im Eiscafé von 9 verschiedenen Eissorten 2 Kugeln aussuchen. Sie will aber keine Eissorte doppelt nehmen. Wie viele Möglichkeiten hat Melanie? Lösung: ______________________________________________________________ Beispiel 8: Von 20 Kindern der B-Jugend beim FC Brugg sollen 3 Spieler für die Regionalauswahl bestimmt werden. Wie viele verschiedene Auswahlmöglichkeiten kommen in Frage? Lösung: ______________________________________________________________ Beispiel 9: In der Pizzeria darfst du dir eine Pizza mit 3 verschiedenen Sorten Belag aussuchen. Es gibt Tomaten, Mozzarella, Schinken, Salami, Mais, Champignons, Thunfisch, Ananas, Oliven, Zwiebeln, Artischocken und Paprika. Du bist VegetarierIn. Wie viele Auswahlmöglichkeiten hast du, wenn du keinen Belag doppelt nimmst? Lösung: ______________________________________________________________ 4-8 MathBuch 8 Lehrgang Kombinationen - Wahrscheinlichkeit LU 33/34 Bezirksschule Brugg Wahrscheinlichkeit EXPERIMENT 2: Arbeitsblatt 2 Führe das Experiment gemäss den Anweisungen auf dem Arbeitsblatt durch. Die Resultate werden innerhalb der Klasse zusammengefasst. Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Zahl zu würfeln, ist gleich gross ! 1 6 Die Wahrscheinlichkeit p, dass ein Ereignis E eintritt ist immer p(E) = ! Anzahl "günstige Fälle" Anzahl "mögliche Fälle" und wird immer in % angegeben. Dabei gilt immer: 0 < p < 1 (p = 1 ! sicheres Ereignis, p = 0 ! unmögliches Ereignis) ! Wahrscheinlichkeiten mit einem Würfel 3 p(gerade Zahl) = = 0.5 6 = 50% p(1 oder 2) = = _______ = _________ p(grösser als 4)! = = _______ = _________ p(nicht 5) = = _______ = _________ Wahrscheinlichkeiten mit Jasskarten p(Herz) = = _______ = _________ p(Kreuz As) = = _______ = _________ p(ein König) = = _______ = _________ p(eine rote Karte) = = _______ = _________ p(eine Person) = = _______ = _________ Beim Lottospiel werden 6 aus insgesamt 49 gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel … eine einstellige Zahl ist? ________________ grösser als 40 ist? ____________________ eine Primzahl ist? _____________________ eine Zahl mit zwei gleichen Ziffern ist? _______ 5-8 MathBuch 8 Lehrgang Kombinationen - Wahrscheinlichkeit LU 33/34 Bezirksschule Brugg Berechnung der Wahrscheinlichkeit bei mehreren Ziehungen (Zi) Eine Münze wird 3-mal geworfen. Das Ereignis Kopf (K) und Zahl (Z) ist gleich wahrscheinlich, p = 0,5. Das Ereignis p(KKK) = 1 1 1 1 " " = . 2 2 2 8 Die Ereignisse auf einem Pfad (Ast, von links nach rechts) werden multipliziert. ! Wahrscheinlichkeiten nach der gleichen Anzahl von Ziehungen Die Summe aller muss 1 ergeben. Pfad _____ =1 p(genau 2 K) = 1 1 1 3 + + = 8 8 8 8 KKZ, KZK, ZKK p(mindestens 2x Kopf) = _____________________________________________________ p(kein ! Kopf) = _____________________________________________________________ p(zwei gleiche) = ___________________________________________________________ 6-8 MathBuch 8 Lehrgang Kombinationen - Wahrscheinlichkeit LU 33/34 Bezirksschule Brugg Ziehen mit/ohne zurücklegen In einer Urne liegen 4 schwarze und 3 rote Kugeln. Wir ziehen 3-mal hintereinander. Dabei gibt es zwei Verfahren: 1. ziehen mit zurücklegen Nach dem Ziehen wird die Kugel wieder in die Urne zurückgelegt. Dies hat zur Folge, dass sich die Wahrscheinlichkeit für den nächsten Zug der Kugeln nicht ändert. p(ssr) = 4/7 * 4/7 * 3/7 = 48/343 p(drei gleiche) = 4/7 * 4/7 * 4/7 + 3/7 * 3/7 * 3/7 = 64/343 + 27/343 = 91/343 = 13/49 p(zwei rote) = _______________________________________________________ p(zwei gleiche) = _______________________________________________________ p(höchstens 1 schwarze) = _________________________________________________ p(mindestens 1 rote) = _____________________________________________________ 7-8 MathBuch 8 Lehrgang Kombinationen - Wahrscheinlichkeit LU 33/34 Bezirksschule Brugg 2. ziehen ohne zurücklegen Nach dem Ziehen wird die Kugel nicht wieder in die Urne zurückgelegt. Dies hat zur Folge, dass sich die Wahrscheinlichkeit für den nächsten Zug der Kugeln immer ändert. p(ssr) = 4/7 * 3/6 * 3/5 = 6/35 p(drei gleiche) = 4/7 * 3/6 * 2/5 + 3/7 * 2/6 * 1/5 = 24/210 + 6/210 = 30/210 = 1/7 p(zwei rote) = _______________________________________________________ p(zwei gleiche) = _______________________________________________________ p(höchstens 1 schwarze) = _________________________________________________ p(mindestens 1 rote) = _____________________________________________________ p(höchstens 1 rote) = ______________________________________________________ 8-8 MathBuch 8 Lehrgang Kombinationen - Wahrscheinlichkeit LU 33/34 Bezirksschule Brugg Anzahl möglicher Anordnungen bei 3 Elementen Man kann die Anzahl möglicher Anordnungen der drei Buchstaben A, B und C mit einem Baumdiagramm bestimmen. 3 · 2 · 1 = 6 ! verschiedene Anordnungen Permutationen Die Anzahl möglicher Anordnungen nennt man Permutationen und wird wie folgt berechnet: 3! = 3 · 2 · 1 = 6 ! 3! heisst: 3 Fakultät n! = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 3 · 2 · 1 EXPERIMENT 1: Arbeitsblatt 1 Beispiel 1: Wie viele verschiedene Zahlen gibt es, in denen die ungeraden Ziffern jeweils einmal vorkommen (z.B. 35179)? Lösung: 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = = 5! = 120 " Es gibt 120 verschiedene Zahlen. Beispiel 2: An einem Tisch hat es 8 Stühle. Auf wie viele Möglichkeiten können sich die 8 Gäste an den Tisch setzen? Lösung: 8! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40’320 1-8 MathBuch 8 Lehrgang Kombinationen - Wahrscheinlichkeit LU 33/34 Bezirksschule Brugg Beispiel 3: Wie viele „Wörter“ lassen sich aus den Buchstaben des Wortes PERMUTATION herstellen? Finde sinnvolle Wörter wie z.B. PERMUTATION " TRAUMPOETIN Lösung: 11! = 39'916’800 Beispiel 4: Bei einem OL dürfen die Posten in beliebiger Reihenfolge angelaufen werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es bei 4 Posten? Lösung: 4! = 24 Beispiel 5: In deinem Rucksack sind 7 verschiedene Bücher. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, diese aus dem Rucksack zu nehmen? Lösung: 7! = 5’040 Beispiel 6: Ein Wirt bietet ein 4-Gang-Menü an: Suppe oder Salat, 3 Vorspeisen, 5 Hauptspeisen mit Fleisch, 3 Vegi-Hauptgerichte und 3 verschiedene Nachtische. Wie viele Menüzusammenstellungen mit Fleisch gibt es? Lösung: 2 · 3 · 5 · 3 = 90 Wie viele 4-Gang-Menüs stehen einem Vegetarier zur Verfügung? Lösung: 2 · 3 · 3 · 3 = 54 Beispiel 7: Ein Autohändler bietet einen Autotyp mit drei verschiedenen Motoren, 5 verschiedenen Farben und wahlweise mit oder ohne Extraausrüstung an. Aus wie vielen Kombinationen kannst du auswählen? Lösung: 3 · 5 · 2 = 30 Beispiel 8: Hans hat 6 Hosen, 8 T-Shirts und 3 Jacken in seinem Kleiderschrank. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten hat er? Lösung: 6 · 8 · 3 = 144 Wie viele Kombinationen hat er, wenn er keine Jacke trägt? Lösung: 6 · 8 = 48 2-8 MathBuch 8 Lehrgang Kombinationen - Wahrscheinlichkeit LU 33/34 Bezirksschule Brugg Beispiel 9: Brugger Glückskekse sind in 2 Grössen, in 5 Geschmacksvarianten und in 3 Farben erhältlich. Wie viele verschiedene Kekse gibt es? Lösung: 2 · 5 · 3 = 30 Wie viele verschiedene kleine Kekse gibt es? Lösung: 5 · 3 = 15 «3 aus 5» Das Baumdiagramm zeigt alle Möglichkeiten auf, wie man 3 aus 5 Zahlen ziehen kann. Es sind total 5 · 4 · 3 = 60 Möglichkeiten, wobei die Permutationen mit denselben Zahlen jeweils 3 · 2 · 1 = 6 mal vorkommen. (Beispiel: 6 Ziehungen mit den Zahlen 2; 3 und 5) In der Mathematik beschreibt man den Term der verschiedenen Ereignisse folgendermassen: 5 ! 4 ! 3 60 = = 10 3 ! 2 !1 6 " Es gibt 10 verschiedene Ereignisse Beispiel 1: Auf wie viele Möglichkeiten kann man 6 Zahlen aus 45 Lottozahlen ziehen? "45% 45 ! 44 ! 43 ! 42 ! 41 ! 40 5'864'443'200 Lösung: = = 8'145'060 $ '= 6 ! 5 ! 4 ! 3 ! 2 !1 720 #6& Beispiel 2: Lotto 6 aus 49? ! Lösung: ! "49% 49( 48( 47( 46( 45( 44 = 13)983)816 $ ' = 6( 5( 4( 3( 2( 1 #6& 3-8 MathBuch 8 Lehrgang Kombinationen - Wahrscheinlichkeit LU 33/34 Bezirksschule Brugg Beispiel 3: 3 aus 33? Lösung: "33% 33( 32( 31 = 5)456 $ '= 3( 2( 1 #3& Beispiel 4: Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 13 Spielern 11 auszuwählen? ! "13% Lösung: $ ' = 78 #11& Beispiel 5: Aus 9 Personen sollen für einen Verein 5 für den Vorstand gewählt werden. Wie viele Perso! nenkombinationen gibt es? "9% Lösung: $ ' = 126 #5& Beispiel 6: Bei einem Wettlauf beteiligen sich 8 Läufer. In einem Wettbüro kann man einen Tipp für die drei ! schnellsten Läufer ohne Berücksichtigung der Reihenfolge abgeben. Wie viele Möglichkeiten gibt es? "8% Lösung: $ ' = 56 #3& Beispiel 7: Melanie darf sich im Eiscafé von 9 verschiedenen Eissorten 2 Kugeln aussuchen. Sie will aber!keine Eissorte doppelt nehmen. Wie viele Möglichkeiten hat Melanie? "9% Lösung: $ ' = 36 #2& Beispiel 8: Von 20 Kindern der B-Jugend beim FC Brugg sollen 3 Spieler für die Regionalauswahl be! werden. Wie viele verschiedene Auswahlmöglichkeiten kommen in Frage? stimmt "20% Lösung: $ ' = 1140 #3& Beispiel 9: In der Pizzeria darfst du dir eine Pizza mit 3 verschiedenen Sorten Belag aussuchen. Es gibt ! Tomaten, Mozzarella, Schinken, Salami, Mais, Champignons, Thunfisch, Ananas, Oliven, Zwiebeln, Artischocken und Paprika. Du bist VegetarierIn. Wie viele Auswahlmöglichkeiten hast du, wenn du keinen Belag doppelt nimmst? "9% Lösung: $ ' = 84 #3& ! 4-8 MathBuch 8 Lehrgang Kombinationen - Wahrscheinlichkeit LU 33/34 Bezirksschule Brugg Wahrscheinlichkeit EXPERIMENT 2: Arbeitsblatt 2 Führe das Experiment gemäss den Anweisungen auf dem Arbeitsblatt durch. Die Resultate werden innerhalb der Klasse zusammengefasst. Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Zahl zu würfeln, ist gleich gross ! 1 6 Die Wahrscheinlichkeit p, dass ein Ereignis E eintritt ist immer p(E) = ! Anzahl "günstige Fälle" Anzahl "mögliche Fälle" und wird immer in % angegeben. Dabei gilt immer: 0 < p < 1 (p = 1 ! sicheres Ereignis, p = 0 ! unmögliches Ereignis) ! Wahrscheinlichkeiten mit einem Würfel 3 p(gerade Zahl) = = 0.5 6 1 p(1 oder 2) = = 0.333… 3 1 p(grösser als 4)! = = 0.333… 3 5 ! p(nicht 5) = = 0.8333… 6 Wahrscheinlichkeiten mit Jasskarten ! 9 p(Herz) = = 0.25 36 ! 1 p(Kreuz As) = = 0.0277… 36 4 p(ein König) ! = = 0.111… 36 9 ! p(eine rote Karte) = = 0.25 36 12 p(eine Person) ! = = 0.333… 36 = 50% = 33.33…% = 33.33…% = 83.33…% = 25% = 2.77…% = 11.11…% = 25% = 33.33…% ! Beim Lottospiel werden 6 aus insgesamt 49 gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel … ! 9 9 eine einstellige Zahl ist? grösser als 40 ist? = 0.1836.. = 0.1836.. 49 49 15 4 eine Primzahl ist? eine Zahl mit zwei gleichen Ziffern ist? = 0.3061.. 49 49 ! ! 5-8 ! ! MathBuch 8 Lehrgang Kombinationen - Wahrscheinlichkeit LU 33/34 Bezirksschule Brugg Berechnung der Wahrscheinlichkeit bei mehreren Ziehungen (Zi) Eine Münze wird 3-mal geworfen. Das Ereignis Kopf (K) und Zahl (Z) ist gleich wahrscheinlich, p = 0,5. Das Ereignis p(KKK) = 1 1 1 1 " " = . 2 2 2 8 Die Ereignisse auf einem Pfad (Ast, von links nach rechts) werden multipliziert. ! Wahrscheinlichkeiten nach der gleichen Anzahl von Ziehungen Die Summe aller muss 1 ergeben. Pfad _____ =1 p(genau 2 K) 1 1 1 3 + + = 8 8 8 8 1 1 1 1 = + + + = 8 8 8 8 1 = 8 1 1 1 1 = + + + + 8 8 8 8 = p(mindestens 2x Kopf) p(kein Kopf) ! p(zwei gleiche) ! ! 6-8 ! KKZ, KZK, ZKK 4 1 = 8 2 1 1 6 3 + = = 8 8 8 4 MathBuch 8 Lehrgang Kombinationen - Wahrscheinlichkeit LU 33/34 Bezirksschule Brugg Ziehen mit/ohne zurücklegen In einer Urne liegen 4 schwarze und 3 rote Kugeln. Wir ziehen 3-mal hintereinander. Dabei gibt es zwei Verfahren: 1. ziehen mit zurücklegen Nach dem Ziehen wird die Kugel wieder in die Urne zurückgelegt. Dies hat zur Folge, dass sich die Wahrscheinlichkeit für den nächsten Zug der Kugeln nicht ändert. p(ssr) = 4/7 * 4/7 * 3/7 = 48/343 p(drei gleiche) = 4/7 * 4/7 * 4/7 + 3/7 * 3/7 * 3/7 = 64/343 + 27/343 = 91/343 = 13/49 p(zwei rote) = 3* (4/7 * 3/7 * 3/7) = 108/343 p(zwei gleiche) = 3* (4/7 * 4/7 * 3/7) + 3* (4/7 * 3/7 * 3/7) = 144/343 + 108/343 = 252/343 p(höchstens 1 schwarze) = 3* (4/7 * 3/7 * 3/7) + (3/7 * 3/7 * 3/7) = 108/343 + 27/343 p(mindestens 1 rote) = p(nur schwarz) = p(sss) = (4/7 * 4/7 * 3/7) = 64/343 ! 279/343 7-8 MathBuch 8 Lehrgang Kombinationen - Wahrscheinlichkeit LU 33/34 Bezirksschule Brugg 2. ziehen ohne zurücklegen Nach dem Ziehen wird die Kugel nicht wieder in die Urne zurückgelegt. Dies hat zur Folge, dass sich die Wahrscheinlichkeit für den nächsten Zug der Kugeln immer ändert. p(ssr) = 4/7 * 3/6 * 3/5 = 6/35 p(drei gleiche) = 4/7 * 3/6 * 2/5 + 3/7 * 2/6 * 1/5 = 24/210 + 6/210 = 30/210 = 1/7 p(zwei rote) = 3* (4/7 * 3/6 * 2/5) = 72/210 = 12/35 p(zwei gleiche) = 3* (4/7 * 3/6 * 2/5) + 3* (4/7 * 3/6 * 3/5) = 72/210 + 108/210 = 180/210 p(höchstens 1 schwarze) = 3* (4/7 * 3/6 * 2/5) = 72/210 p(mindestens 1 rote) = p(nur schwarz) = p(sss) = 4/7 * 3/6 * 2/5 = 72/210 ! 138/210 p(höchstens 1 rote) = 3* (4/7 * 3/6 * 3/5) + (4/7 * 3/6 * 2/5) = 108/210 + 24/210 = 132/210 8-8
