1.15 VEKTORANALYSIS 1.15.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine

1.15 VEKTORANALYSIS
1.15.1 Kurven
Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem
Intervall I = [a; b] ∈ R in den R𝑛 : f : I → R𝑛
• f ist in dem Fall ein Weg in R𝑛 .
• Das Bild f(t) des Weges wird als Kurve in R𝑛 bezeichnet.
• f(a) ist Anfangspunkt und f(b) der Endpunkt der Kurve.
• Eine geschlossene Kurve liegt vor für f(a) = f(b).
(Anmerkung: Wir beschränken uns auf Wege innerhalb des R𝑛 .)
.
1
1.15 VEKTORANALYSIS
1.15.1 Kurven
Parameterdarstellung der Kurve:
𝑥1 (𝑡)
𝑥2 (𝑡)
Eine stetige Funktion 𝑥(t) =
des Parameters t ∈ I und
⋮
𝑥𝑛 (𝑡)
I ∈ R wird als Parameterdarstellung der Kurve f(t) bezeichnet.
2
Beispiele:
a) Parabel:
R2
R→
𝒙∶
t → (t, at 2 )
Dieser Parametergleichung entspricht den beiden Gleichungen:
x=t
y = at²
y = ax²
b) Ellipse:
→ R2
[ 0, 2π ]
𝐱∶
→ (a cos t, b sin t )
t
x = a cos t
y = b sin t

𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1(Ellipsengleichung)
Für a = b erhält man die Parameterdarstellung eines Kreises mit
dem Radius r = a.
3
Eine Kurve kann verschiedene Parameterdarstellungen (Wege)
haben:
Zwei Parameterdarstellungen 𝐱 𝟏 |I1 → R𝑛 und 𝐱 𝟐 |I2 → R𝑛
beschreiben die selbe Kurve, wenn es eine stetige, monoton
steigende Funktion g gibt mit 𝐱 𝟏 (t) = 𝐱 𝟐 (g(t))
Beispiel:
R2
R→
𝐱 𝟏 (t) =
t → (t, at 2 )
R2
R →
𝐱 𝟐 (t) = 3
t → (t 3 , at 6 )
g(t) = t³
4
Die Parameterdarstellung einer Kurve wird auch als
Vektordarstellung bezeichnet:
𝑥1 (t)
𝒙 (t) = 𝑥1 (t) 𝑒𝑥 + 𝑥2 (t) 𝑒𝑦 + 𝑥3 (t) 𝑒𝑧 = 𝑥2 (t) .
𝑥3 (t)
Hierbei sind 𝑒𝑥 , 𝑒𝑦 und 𝑒𝑧 die Einheitsvektoren eines
kartesischen Koordinatensystems:
1
𝑒x = 0 ,
0
0
𝑒y = 1 ,
0
0
𝑒z = 0 .
1
5
Eigenschaften einer Kurve:
Es sei I ⊂ R ein Intervall und 𝒙 (t) =
𝑥1 (t)
𝑥2 (t)
⋮
𝑥𝑛 (t)
für alle t ∈ I eine
Parameterdarstellung einer Kurve.
1. Die Kurve 𝒙 (t) ist genau dann stetig, wenn alle 𝑥1 (t) stetig
sind.
2. Die Kurve 𝒙 (t) ist auf dem Intervall I differenzierbar, wenn
alle 𝑥1 (t) auf I differenzierbar sind.
𝑥1 ´t)
𝑥2 ´(t)
3. Die erste Ableitung 𝒙´(t) ist gegeben zu 𝒙´(t) =
.
⋮
𝑥𝑛 ´(t)
6
4. Analog heißt eine Kurve n-fach differenzierbar, wenn alle
𝑥𝑖 (t) auf I n-fach differenzierbar sind.
5. Die n-te Ableitung ist gegeben zu 𝑥 (𝑛) (t) =
𝑥1 𝑛 𝑡
𝑥2 𝑛 𝑡
⋮
𝑥𝑛 𝑛 𝑡
.
7
1.15.1.1 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen
Parameterdarstellung einer Geraden g(t) durch den Punkt
𝑥0
𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) :
g(t) = 𝑦0 + t 𝑎
𝑧0
𝑎 ist Vektor, der parallel zu g(t) ist.
Beispiel:
Die Parameterdarstellung der Tangente g(s) an die Kurve 𝑥(t)
für t = 𝑡0 lautet: g(s) = 𝑥(𝑡0 ) + s 𝑥0 (𝑡0 )
8
1.15.1.1 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen
Parameterdarstellung einer Ebene:
Für die Parameterdarstellung einer Fläche im R³ werden 2
Parameter benötigt.
Das einfachstes Beispiel hierfür ist eine Ebene.
Eine Ebene im R³ wird von zwei linear unabhängigen Vektoren
𝑎 und 𝑏 aufgespannt.
Parameterdarstellung einer Ebene h(r,s), die den Punkt
𝑥0
𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) enthält,
h(r,s) = 𝑦0 + r 𝑎 + s 𝑏
𝑧0
9
Tangentialebene:
Eine Fläche im R³, die durch die Funktion f(x,y) = z beschrieben
wird, kann am Punkt P0 (x0 , y0 , z0 ) durch die Tangentialebene
approximiert werden (vgl. Mathe I).
Parameterdarstellung der Tangentialebene durch 𝐏𝟎 (𝐱𝟎 , 𝐲𝟎 , 𝐳𝟎 )
𝑥0
0
1
h(r,s) = 𝑦0 + r 0 + s 1
𝑧0
𝑓𝑦
𝑓𝑥
Herleitung:
Das totale Differential dz lautet:
dz = 𝑓𝑥 dx + 𝑓𝑦 dy
 𝑓𝑥 dx beschreibt die Änderung von z in x-Richtung,
 𝑓𝑦 dy beschreibt die Änderung von z in y-Richtung.
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Normalenvektor
Ebenen werden gerne durch einen Normalenvektor 𝒏
beschrieben.
𝑛 steht senkrecht zu allen Vektoren innerhalb der Ebene.
Vorteil:
Die Orientierung der Ebene im Raum kann durch einen Vektor
beschrieben werden.
Für eine Tangentialebene gilt:
0
1
𝑛= 0 x 1
𝑓𝑦
𝑓𝑥
−𝑓𝑦
=> 𝑛 = −𝑓𝑥
1
.
11
4.1.2 Ableitung von Vektoren:
𝑥1 (t) und 𝑥2 (t) seien differenzierbare Parameterdarstellungen
einer Kurve und f(t) eine differenzierbare Funktion.
Für die Ableitungen gilt:
1. Ableitung einer Summe von Vektoren:
𝑑
(𝑥1 (t) + 𝑥2 (t) ) = 𝑥1 (t)´ + 𝑥2 (t)´
𝑑𝑡
2. Ableitung des Skalarproduktes:
𝑑
(𝑥1 (t) • 𝑥2 (t) ) = 𝑥1 (t)´ • 𝑥2 (t) + 𝑥1 (t) • 𝑥2 (t)´
𝑑𝑡
3. Ableitung bei Skalarmultiplikation:
𝑑
𝑑
𝑑
( f(t) • 𝑥(t) ) = f(t) • 𝑥(t) + f(t) 𝑥(t)
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
4. Für den R³ gilt (Kreuzprodukt):
𝑑
(𝑥1 (t) 𝘅 𝑥2 (t) ) = 𝑥1 (t)´ 𝘅 𝑥2 (t) + 𝑥1 (t) 𝘅 𝑥2 (t)´
𝑑𝑡
12
4.2 Skalarfelder
Ein Skalarfeld ist eine Abbildung, die jedem Punkt im Raum
einen Skalar zuordnet.
Definition
Es sei m ≥ 2 und A ⊂ R𝑚 . Eine Abbildung U | A → R wird als
Skalarfeld bzw. skalares Feld bezeichnet.
Beispiele:
• Temperatur
• Potential einer Ladung
• Dichte
• Luftdruck
Mathematisch gesehen entspricht ein Skalarfeld einer
Funktion von m Variablen: U = U(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑚 ).
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Wichtige Skalarfelder:
1. Ebenes Feld: U(x, y, z) = 𝑈0 = constant
2. Zentralsymmetrisches Feld: U(x,y,z) = V( 𝑥² + 𝑦² + 𝑧²) =V(r)
Beispiel: Potential einer Punktladung mit
𝑞 1
U(x,y,z) =
4𝜋𝜀0 𝑟
3. Axialsymmetrisches Feld:
U(x,y,z) = V( 𝑥² + 𝑦²) =V(r)
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Niveauflächen:
Als Niveauflächen eines Skalarfeldes U(x,y,z) bezeichnet man
die Flächen, auf denen der Wert von U konstant
ist. Entsprechend spricht man von Niveaulinien für U(x,y).
Stationäre Skalarfelder:
In der Realität ist es durchaus nicht selten, dass U von der Zeit
abhängt: U = U(x(t),y(t),z(t)).
Beispiel: Änderung der Temperatur in der Umgebung einer
Herdplatte, die gerade eingeschaltet worden ist.
Bei einem Skalarfeld beschränkt man sich auf zeitunabhängige
(stationäre) Phänomene.
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4.3 Vektorfeld
Ein Vektorfeld ist eine Abbildung, die jeden Punkt eines
Raumes einen Vektor zuordnet.
Definition:
Es sei m ≥ 2 und A ⊂ R𝑚 . Eine Abbildung V| A → R𝑚 wird als
Vektorfeld bezeichnet.
Beispiel: Ein Vektorfeld im R³
𝑉1 (x,y,z)
𝐕 (x,y,z) = 𝑉2 (x,y,z)
𝑉3 (x,y,z)
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Beispiele:
•
•
⋮
Elektrische Feld
Geschwindigkeit der Teilchen einer strömenden Flüssigkeit
Darstellungen eines Vektorfeldes:
•
•
⋮
Feldlinien
Vektorschar
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Elektrische Feld
In der Chemie befasst man sich mit Elektronen im Feld von
Atomkernen. Im weiteren werden wir daher das elektrische Feld
näher betrachten:
• Eine positive Punktladung 𝑞1 führt in ihrer Umgebung zu einem
elektrischen Feld. 𝑞1 sei im Ursprung des Koordinatensystems.
• Auf eine negative Punktladung 𝑞2 wirkt eine zum Ursprung
gerichtete Kraft.
• Nach dem Coulomb-Gesetz gilt:
𝐹=𝜀0
r
𝑒𝑟
𝑞1 |𝑞2 | 1
4𝜋𝜀0 𝑟 2
𝑒𝑟
Konstante,
Abstand zwischen 𝑞1 und 𝑞2
Einheitsvektor, der von 𝑞1 nach 𝑞2 zeigt
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Wenn 𝑞2 die Koordinaten x, y, z hat, gilt:
F hängt vom Ort x, y, z (Abstand r) und der Ladung 𝑞2 ab.
Die Ladung 𝑞2 ist in der Regel konstant.
Wir betrachten den Fall 𝑞2 = -1 (z.B. für ein Elektron).
=> Über das Coulomb-Gesetz wird jedem Punkt im Raum ein
Vektor F zugeordnet. Es liegt ein Vektorfeld vor:
Elektrische Feld E = -
𝑞1 1
4𝜋𝜀0 𝑟 2
𝑒𝑟 .
Die Niveauflächen von dem elektrische Feld E sind
Kugelschalen mit dem Radius 𝑟0 = | 𝑟 |.
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Elektrisches Feld und Skalarfeld:
Dem elektrische Feld 𝐸(𝑟) kann ein Skalarfeld zugeordnet
werden, wenn man die Arbeit betrachtet, die benötigt wird um
eine Ladung 𝑞2 im Raum zu bewegen.
• Da lim 𝐸(𝑟) = 0, wird r = ∞ als Bezugspunkt (Nullpunkt)
𝑟→∞
•
•
•
•
•
gewählt.
Betrachtet wird per Definition eine positive
Elementarladung: 𝑞2 = 1.
Zentralsymmetrische Potential: Es wird nur der Abstand r
betrachtet.
W(r) ist die Arbeit, die erforderlich ist, um die Punktladung
𝑞2 von 𝑟1 = ∞ nach r zu bringen.
W(r) ist unabhängig vom Weg.
Jedem Punkt im Raum wird ein Skalar zugeordnet.
20
1.16 Gradient
Am Beispiel des elektrischen Feldes haben wir gesehen, dass
ein enger Zusammenhang zwischen Skalarfelder
und Vektorfeldern besteht.
In diesem Abschnitt wird eine Funktion vorgestellt, die einem
partiell differenzierbaren Skalarfeld U(x, y, z) ein Vektorfeld
𝐕 (x, y, z) zuordnet. Das Vektorfeld soll die Änderung von U
bei einer Bewegung vom Ort 𝑟 = (x, y, z) zum Ort 𝑟 + d 𝑟
beschreiben.
Voraussetzung hierzu ist, dass U(x, y, z) partiell differenzierbar
ist.
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1. Wie ändert sich der U(x, y, z) bei einer kleinen Bewegung
im Raum?
∆𝑥
Betrachtet wird zunächst eine kleine Bewegung um ∆ 𝑟 = ∆𝑦
∆𝑧
Es gilt:
U(x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z) = U(x, y, z) + ∆U
∆U
= U(x+∆x, y+∆y, z+∆z) - U(x, y, z)
2. U(x+∆x,y+∆y,z+∆z) kann durch eine Taylorentwicklung
approximiert werden
𝜕𝑈
𝜕𝑈
𝜕𝑈
U(x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z) ≈ U(x, y, z) + ∆x + ∆y + ∆z
∆U
≈
𝜕𝑈
∆x
𝜕𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑈
∆y
𝜕𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑈
∆z
𝜕𝑧
𝜕𝑧
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3. Beim Übergang von einer kleinen Änderung ∆𝑟 zu einer
𝑑𝑥
beliebig kleinen (infinitesimalen) Änderung d𝑟 = 𝑑𝑦 gilt:
𝑑𝑧
𝜕𝑈
𝜕𝑈
𝜕𝑈
𝑑U
≈
𝑑x + 𝑑y + 𝑑z
𝑑U
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
≈ 𝑈𝑥 𝑑x +𝑈𝑦 𝑑y + 𝑈𝑧 𝑑z
Die gleichen Überlegungen führten in Mathe I bei der
Herleitung des totalen Differentials zum selben Ergebnis.
dU ist das totale Differential der Funktion U(x,y,z).
An dieser Stelle soll das totale Differential im Rahmen der
Vektoranalysis behandelt werden.
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𝑑𝑥
d𝑟 = 𝑑𝑦 sei der Vektor, der eine beliebig kleine Änderung im
𝑑𝑧
R³ beschreibt. Für die Änderung dU eines partiell differenzierbaren Skalarfeldes U(x,y,z) bei einer Bewegung in
Richtung d𝑟 gilt:
dU =
𝜕𝑈
𝜕𝑥
𝜕𝑈
𝜕𝑦
𝜕𝑈
𝜕𝑧
•
𝑑𝑥
𝑑𝑦 .
𝑑𝑧
Das totale Differential entspricht dem Skalarprodukt von d𝑟 mit
einem Vektor, der die 1. partiellen Ableitungen von U nach x, y
bzw. z enthält.
24
dU =
𝜕𝑈
𝜕𝑥
𝜕𝑈
𝜕𝑦
𝜕𝑈
𝜕𝑧
•
𝑑𝑥
𝑑𝑦 .
𝑑𝑧
Dieser Vektor wird als Gradient von U bezeichnet.
Schreibweise: grad U
grad U =
𝜕𝑈
𝜕𝑥
𝜕𝑈
𝜕𝑦
𝜕𝑈
𝜕𝑧
=
𝑈𝑥
𝑈𝑦 .
𝑈𝑧
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Verallgemeinerung auf den 𝑹𝒏
Gegeben sei ein skalares Feld U(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ), dessen partielle
Ableitungen 𝑈𝑥𝑖 für alle 𝑥𝑖 existieren.
Der Gradient grad U von U ist ein Vektor des Rn , der gegeben ist
zu:
𝑈𝑥1
𝑈𝑥2
grad U =
= 𝑈𝑥1 𝑒𝑥1 +𝑈𝑥2 𝑒𝑥2 + …. + 𝑈𝑥𝑛 𝑒𝑥𝑛
⋮
𝑈𝑥𝑛
Das totale Differential dU ist das Skalarprodukt von grad U mit d𝑟:
𝑈𝑥1
𝑑𝑥1
𝑈𝑥2
𝑑𝑥2
dU =
•
= grad U • d𝑟
⋮
⋮
𝑑𝑥𝑛
𝑈𝑥𝑛
Die Menge der Gradienten von U bilden ein Vektorfeld.
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Nabla-Operator:
Für die Beschreibung des Gradienten wird gerne der
sogenannten Nabla-Operator verwendet.
Der Nabla-Operator ist ein vektorartiger Operator des Rn
𝜕
Komponenten sind die partiellen Ableitungsoperatoren
𝜕𝑥𝑖
Als Symbol verwendet man 𝛻 oder 𝛻
𝛻=
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
im R3 bzw. 𝛻 =
𝜕
𝜕𝑥1
𝜕
𝜕𝑥2
⋮
im Rn
𝜕
𝜕𝑥𝑛
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In Kugelkoordinaten lautet der Nabla-Operator:
𝛻=
𝝏
𝒆r
𝝏𝒓
+
𝟏
𝒓
𝝏
𝒆𝜗
𝝏𝝑
+
𝟏
𝒓 𝒔𝒊𝒏𝝑
𝝏
𝒆𝜑
𝝏𝝋
Die Vektoren 𝒆r, 𝒆𝜗 und 𝒆𝜑 sind die Einheitsvektoren in Kugelkoordinaten.
Die Anwendung des Nabla-Operator auf ein Skalarfeld ergibt
das Vektorfeld der Gradienten:
𝜵U = gradU
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