Vorlesung 4

Dynamik
4.Vorlesung EP
I) Mechanik
1. Kinematik
2.Dynamik
a) Newtons Axiome (Begriffe Masse und Kraft)
b) Fundamentale Kräfte
c) Schwerkraft (Gravitation)
d) Federkraft
e) Reibungskraft
Versuche:
Raketenversuche: Impulserhaltung
Freier Fall: Schwerkraft
Beschleunigung von Schlittenmasse und Gewicht
Feder, Kraftmessgerät (Newtonmeter)
Haft und Gleitreibung
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EPI WS 2007/08 Dünnweber Faessler
Dynamik
Kommentar und Fragen zu vorangegangener Vorlesung (Kinematik)
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>On Thu, 25 Oct 2007, Eva Eibl wrote:
Lieber Professor Faessler,
Ich bin in Ihrer Physikvorlesung am Montag und Mittwoch Mittag und habe eine Frage zu einem
Versuch, den wir am Montag gemacht haben. Sie haben da mit dem Gewehr auf zwei rotierende
Scheiben geschossen. Dann konnte man messen, dass sich die hintere Scheibe noch um 15°
weiter gedreht hat. Ich verstehe aber nicht, wie man sicher sein kann, dass sich die Scheibe nicht
z.B. 375° (360°+15°) weiter gedreht hat. Das kann man ja mit bloßem Auge nicht wirklich
beurteilen und wenn sie sich tatsächlich um 375° gedreht hat, käme dann eine andere
Geschwindigkeit für die Kugel raus.
Mit freundlichen Grüßen
Eva Eibl
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>On Fri, 26 Oct 2007, Martin Faessler wrote
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Liebe Eva Eibl,
Sie haben vollkommen recht, unsere Beobachtung schloss in diesem Fall nicht aus, daß
der Winkel n mal 360 Grad + 15 Grad war, mit n = 0,1,2,....
Schon für n= 1, also 375 Grad, käme allerdings eine so kleine Geschwindigkeit für die Kugel
heraus:12 m/s, so daß man die Kugel beim Flug mit bloßem Auge verfolgen könnte.
Das Problem der Mehrdeutigkeit bei der Kreisbewegung kommt bei Aufgabe 2 der Übung 2 auch
nochmals zur Sprache.
Vielen Dank für Ihre Bemerkung, werde in der Vorlesung darauf eingehen.
Beste Grüße
Martin Faessler
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Dynamik
Träge Masse mi ist eine grundlegende Eigenschaft von Körpern
Versuche (letztes Mal auf Luftkissenschiene und Skate board) heute Rakete zur
Impulserhaltung und Masse: z.B. beide Massen vor Wechselwirkung, in Ruhe:
r
r
v1 (t vorher) = v2 (t vorher) = 0
(Ausführlich:) ∆t= tnachher – tvorher
vi(tnachher) = ∆vi
Nach Wechselwirkung (interne Kraftwirkung, gleiche aber entgegengesetzte Kräfte)
r
r
m1v1 (t nachher) + m2 v2 (t nachher) = 0
m1
v
=− 2
m2
v1
(Ausführlich:) Newton# 2 → Fi ∆t = mi ai ∆t = mi ∆vi
Newton# 3 → F1 = -F2
Masse mi ist Eigenschaft des Körpers und kann durch Vergleichsmessung
mit Referenzmasse bestimmt werden, z.B. mit obigen Experimenten
Masse ist unsere 3. Basisgröße.
Referenzmasse, d. h. Basis(Maß)einheit für träge Masse m
1 Kilogramm = 1 (kg) liegt als Urkilogramm bei Paris
(Masse 1 kg entspricht ziemlich genau der Masse von
1 (dm)3 = 1 Liter Wasser bei 4°C, 1 bar Druck)
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Dynamik
Das 2. Newtonsche Prinzip beschreibt empirischen Zusammenhang
zwischen Kraft und zeitlicher Änderung des Impulses p=mv:
r
F
=
r
∆ (p)
∆t
und definiert Einheit der Kraft (1 Newton) auf der Basis der
3 Basiseinheiten m, s, kg:
 kg ⋅ m 
1[N] = 1[Newton] = 1 2 
 s 
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b) Fundamentale Krä
Kräfte
Es gibt in der Natur 3 fundamentale Krä
Kräfte, die zwischen Elementarteilchen
wirken:
● Schwerkraft (Gravitation)
> wirkt auf Masse oder Energie: Führt zur Bildung (Massenakkretion) und
Bewegung von Planeten, Sternen, Galaxien...
● ElektroElektro-MagnetischMagnetisch-Schwache Kraft (oder kurz: Elektroschwache Kraft)
> wirkt auf elektrische und schwache Ladung: Elektrische Anziehung führt zur
Bildung von Atomen, Molekülen, Festkörper ...; schwache Kraft führt zur
Umwandlung Neutron ⇄ Proton, Fusion pp zu d auf Sonne, Kernzerfälle
● Starke Kraft
>wirkt zwischen Quarks, Gluonen: Bindung von Quarks zu Proton (p), Neutron (n)
und von p und n zu Kernen, Ursache von Kernkräften
Alle Krä
Kräfte kö
können auf diese 3 elementaren Krä
Kräfte zurü
zurückgefü
ckgeführt werden.
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Schwerkraft
c) Schwerkraft
Trä
Trägheit und Gewichtskraft
Beobachtungen:
Gegenstände auf der Erdoberfläche werden beschleunigt (Erdbeschleunigung,
siehe Experiment mit evakuiertem Fallrohr)
Damit Gegenstand nicht fällt, ist eine (Halte-) Gegen-Kraft notwendig
Versuche zur Beschleunigung im Erdfeld:
1.Fallender
1.Fallender Gegenstand
Beschleunigte Bewegung mit Erdbeschleunigung g, d.h. nach Newtons
Newtons Gesetz
2 wirkt auf den Kö
Diese Kraft heiß
Körper die Kaft:
Kaft: FG = m g.
heißt Gewicht!
Gewicht!
(Man sollte als Physiker eigentlich nicht sagen, „das Gewicht von X ist Y kg“ –
Die Masse ist Y kg, das Gewicht auf der Erde ist dann 9.81 mal Y Newton)
Als verkürzte Sprechweise für „das Gewicht ist wie das einer Masse X von Y kg“ akzeptiert)
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Schwerkraft
2. Versuch: Fallender Gegenstand (Masse mG) zieht , d.h. beschleunigt
zweite Masse (Schlittenmasse mS)
Gesamtmasse = mGesamt =mG + mS wird beschleunigt durch Kraft FG = mG g
Gewicht = beschleunigende Kraft:
F = mG ⋅ g = mGesamt⋅ a = (ms + mG) ⋅ a
Die Beschleunigung wird also durch die
zusätzliche (Schlitten) Masse verringert!
Der Versuch veranschaulicht die begriffliche
Unterscheidung zwischen träger und schwerer Masse.
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Schwerkraft
Newtons Gravitationsgesetz:
Zwischen 2 Körpern wirkt eine Kraft, die von den Massen der Körper abhängt:
M1 ⋅ M 2
F = GN
r2
Richtung der Kraft (anziehend) siehe Skizze
mit GN = 6,67
10-11
 Nm 2 
 2 
 kg 
Einschränkung: Dieses einfache Gesetz gilt nur, wenn Abstand r größer als Summe der Radien
der beiden Körper. Für Punktmasse M2 innerhalb Körpers M1 nimmt F mit r ab.
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Schwerkraft
Spezialfall: Schwerkraft auf der Erdoberfläche:
Masse der Erde M1 = MErde (= 6 ⋅ 1024 kg) und Radius r (= 6400 km) ergibt:
24
M1 ⋅M 2
−11 6 ⋅10 ⋅ M 2
F = GN
= 6,67⋅10
2
2
r
6400000
≈ 9,81 m/s² M2
Erdbeschleunigung g =9.81 m/s²
m/s
Gewicht = Kraft, die Erde auf Körper ausübt.
Allgemeine Aussagen (empirisch):
1. Erdgeschleunigung g hängt nicht von M2 ab
Versuch mit evakuiertem Fallrohr: Feder und Stein fallen gleich schnell
2. Postulat: Schwere und träge
tr ge Masse sind identisch! (Einstein→
(Einstein allgemeine
Relativitätstheorie).
Relativit tstheorie). Damit wird begriffliche Trennung (siehe Versuch S.7)
zwischen träger
tr ger und schwerer Masse aufgehoben.
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Federkraft
d) Federkräfte
Federkr fte
Äußere Kräfte bewirken eine elastische Verformung von Festkörpern wie Stahl
(siehe deformierbare Medien). Gegenkraft kommt letztlich durch elektromagnetische Kräfte zwischen Atomen zustande.
Für "kleine" Kräfte F und kleine Verformungen x
(besser „Δx“) gilt ein linearer Zusammenhang:
r
r
F = −D x
D ist die "Federkonstante“, F die Kraft, ´mit der
die Feder zieht´.
Federn können als Kraftmesser eingesetzt werden.
"Newtonmeter", "Dynamometer„ sieh Versuch
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Dynamik
e) Reibung:
Reibung
Mußte in unseren Versuchen unterdrückt werden;
im Alltag lebensnotwendig (Gehen, Bremsen ..)
Reibung ist durch elektrische Kräfte zwischen
Atomelektronen an den Grenzflächen bedingt
Einfachste Formen: a) Haft-, Gleit-, Rollreibung
b) innere Reibung bei Flüssigkeiten (Stokes)
Erfahrung: Um einen Körper in Bewegung zu setzen, ist eine Kraft
FR notwendig, die proportional zur Normalkraft FN und
der Art der Oberfläche ist.
= mg
r
r
FRH = µ H FN
µΗ : Haftreibungs-Koeffizient (0.05-0.8)
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Dynamik
Reibung
Die Haftreibung hängt nur von der Normalkraft ab,
nicht von der Größe der Auflagefläche.
Rutscht der Körper, dann nimmt die Reibungskraft ab
F
Versuch: (Ziehen mit
Newtonmeter)
r
r
r
FRG = µG FN ≤ µ H FN
t
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Dynamik
ANHANG fü
für Interessierte: Rollreibung durch Verformung von Rad und Untergrund:
Stokes Reibung (Viskose Reibung)
Wann: fester Körper, der sich langsam durch Fluid bewegt, mit Relativgeschwindigkeit v
FR ~ v
Beispiel:
Kugel mit Radius r in Fluid mit Viskosität η
FR = 6 πηrv
[Versuch zur Stokes-Reibung]
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Dynamik
ANHANG fü
für Interessierte: Newton Reibung Bei schneller Bewegung!
(Wirbelbildung). Der Körper verdrängt und beschleunigt Fluidteile FR ~ v 2
FR = 0.5C WρAv 2
Mit ρ = Dichte des Fluids, A = Querschnitt des Körpers senkrecht zur
Bewegungsrichtung, v = Geschwindigkeit und Widerstandskoeffizient CW
(formabhängig) Kugel CW = 1, Auto CW = 0.2 – 0.5
Bei konstanter Kraft wird die maximale Geschwindigkeit durch die Reibung bestimmt:
FR (v) = Fext
Beispiel:
Auto mit CW = 0.5; A = 2m²
ρLuft = 1.3 kg/m³
Maximale Leistung WMax = 100 kW, Fext = WMax /v
 2WMax 
1
WMax
m
 km 
2
 = 53  = 192 
FR = C WρAv = Fext =
→ v max = 
2
v
s
 h 
 C WρA 
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