b) Drehimpuls
Der Bewegungszustand eines rotierenden Körpers
wird durch seinen Drehimpuls L beschrieben.
Analog zum Drehmoment nimmt der Drehimpuls
mit dem Impuls p und dem Bahnradius r zu.
Für Massenpunkt auf Kreisbahn:
L=r· p
Für Massenpunkt auf beliebiger Bahn im Raum:
r r r
L = r xp
r
r
Entsprechend F = dp dt
ändert ein Drehmoment den Drehimpuls, denn
r r r r
Vektorprodukt auf beiden Seiten, r x F = r x dp / dt
r
r dL
M=
dt
ergibt:
Treten keine äußeren Drehmomente auf (M=0),
ist der Gesamtdrehimpuls erhalten (L=const.)
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Beispiele zur Drehimpulserhaltung
Kreisel: sowohl Betrag als auch Richtung
des Drehimpulses (Achse)
bleiben erhalten
Solange keine äußeren Drehmomente
wirken, bleibt der Gesamtdrehimpuls
des Systems (Person + Schwungrad)
erhalten (da der Drehimpuls des Rads
geändert wird, muss die Person ein
inneres Drehmoment ausüben).
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Drehimpuls starrer (ausgedehnter) Körper
- Alle Elemente rotieren mit fester Winkelgeschwindigkeit ω
r r
- Summation über Massenelemente r
L = ∑ ri × p i
Wegen pi=mi· vi=mi · Ri · ω lassen sich die Beiträge
der Massenelemente im Trägheitsmoment zusammenfassen:
I = ∑ m i ⋅ R i2 = ∫ R i2 ⋅ dm
i
Die ‘Rotationsträgheit’ eines Körpers steigt
quadratisch mit dem Abstand der
Massenelemente von der Drehachse
L = I⋅ω
vektoriell:
r
r
L = I⋅ω
Vektoren
r
L und
r
ω in Richtung der Drehachse
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Beispiele zur Drehimpulserhaltung
Drehimpuls (erhalten)
L = I ⋅ω
mit Trägheitsmoment I =
∑m ⋅ R
i
2
i
i
Rotierende Hantel:
ω1
ω2
Bremsen der Rotation durch
Ausdehnen der Massenverteilung
ω3
ω1 : ω2 : ω3 = (1/1,2) : (1/2,3):1/8
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Beispiele für Trägheitsmomente
Hohlzylinder I = m · R²
Vollzylinder I = (1/2) mR²
Kugel I = (2/5) mR²
m = Gesamtmasse ; Drehung um Zylinderachse bzw. um Achse
durch Mittelpunkt der Kugel.
Steinerscher Satz
Trägheitsmoment eines Körpers für beliebige Drehachse A
IA = Ic.m. + Ma²
wobei Ic.m. = Trägheitsmoment für Achse parallel zu A durch
Schwerpunkt,
a = Abstand zwischen beiden Achsen
M = Gesamtmasse des Körpers
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Rotationsenergie (kinetische Energie der Rotationsbewegung)
für Massenpunkt:
2
1
kin , rot
2
E
= m(rω)
Für Körper mit Trägheitsmoment I :
Ekin , rot = 12 I ⋅ ω2
Beispiel: Rollende Körper gleicher Masse und gleichen Durchmessers
aber unterschiedlicher Massenverteilung auf schiefer Ebene
Trägheitsmoment nimmt von
links nach rechts ab, Rotationsenergie ebenfalls, deshalb nimmt
kinetische Energie der Translation
von links nach rechts zu.
Zieleinlauf
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Vergleich Drehbewegung - Translationsbewegung
Rotation
Translation
Winkel φ [rad]
Weg
Winkelgeschwindigkeit
Winkelbeschleunigung
Trägheitsmoment
r
M
rot
=
r r
= rxF
∆ϕ
∆t
∆ω
∆t
I = Σ∆ m i r i
Rotationsenergie E
Drehmoment
ω =
1
Iω
2
bzw.
r
r
r
s = x2 − x4
Ort
Geschwindigkeit
Beschleunigung
2
Masse
2
r
x
oder
r
r
∆s
v =
∆t
∆v
∆t
M = Σ∆ m i
Translationsenergie E
Kraft
r
r
kin
=
1
Mv
2
2
r
F
M = r ⋅ F ⋅ sin α
Drehimpuls
r
r
L = I⋅ω
Impuls
r
r
p = M ⋅v
Mit der „Übersetzungsvorschrift“ v → ω, m → I, p → L , F → M
können alle Gesetze der linearen Bewegungen (Translation) in
die Drehwelt übertragen werden, z.B.
Dynamische Gleichungen
r
r ∆(I ⋅ ω
)
M=
∆t
r ∆( pv )
F=
∆t
Erhaltungssätze für abgeschlossene Systeme
r
Σ L i = const
r
Σpi = const
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4. Mechanische Eigenschaften von Stoffen
Protonen
Neutronen
Kernkräfte
Atomkern
Elektronen
Elektrische W.W. (Coulomb W.W.)
Atom
Atom
Atom
Elektrische W.W. (Coulomb-, v.d. Waals W.W.,
H-Brückenbindung)
(Gas-)Molekül, Flüssigkeit, Festkörper
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Gas
Flüssigkeit
Festkörper
Dichte in kg m-3
Luft
Ca. 1,3
H2O
Ca. 1000
Stahl
7900
Ordnung
Keine Ordnung
Nahordnung; große
Schwankungen der
Atomabstände um
einen Mittelwert r0
Regelmäßige Struktur
(Kristallgitter); geringe
Abstandsschwankungen
infolge thermischer
Bewegung
Form
nicht formbeständig
nicht formbeständig
(falls dünnflüssig);
Formbeständig (falls
zähflüssig, z.B. Glas)
formbeständig
Energiebilanz
thermische Energie
größer als
Bindungsenergie
thermische Energie
ausreichend zur
Verschiebung der Atome
gegeneinander
thermische Energie klein
gegen
Bindungsenergie
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a) Deformation von Festkörpern
Verformungen:
Dehnung - Stauchung
Scherung - Torsion
Biegung - Knickung
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a) Deformation von Festkörpern
Dehnung - Stauchung
Hooke’sches Gesetz:
F = D . x
Die Länge L ändert sich beim Anlegen einer
Kraft F um ∆L, wobei
∆L
F = E ⋅ A⋅
= D ⋅ ∆L
L
E: Elastizitätsmodul (statt Federkonstante)
Man nennt:
∆L F
σ = E⋅
=
L
A
N
 m2 
 
„mechanische Spannung“
Zahlenwerte für Elastizitätsmodul (E in 109 Nm-2): (groß = steif)
Al: 73
Cu: 125
Fe: 216
Beton: 10
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a) Deformation von Festkörpern
Das Hooke’sche Gesetz gilt nur für
kleine,elastische Verformungen
Spannungs-Dehnungs-Diagramm
Über den elastischen Bereich hinaus
beginnen manche Stoffe zu fließen, bis
zum Zerreißen
Spröde Materialien:
keine plastische Verformung möglich
Plastische (=bleibende) Verformung:
Durch Gleiten längs bestimmter Gitterebenen
Hooke
Das wird energetisch
möglich, indem
Versetzungen
wandern:
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a) Deformation von Festkörpern
Scherung und Torsion
Kraft greift tangential an.
Relevante physikalische Größe:
Schubspannung
F
σS =
A
Führt zur Scherung um den Winkel: α = σ s / G
Verdrehen (Torsion) z.B. eines
Drahtes läßt sich auf Scherung zurückführen
Kompression von
Festkörpern:
G= Schub-, Scher-,
Torsionsmodul
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a) Deformation von Festkörpern
Biegung und Knickung:
außen: Zugkräfte
innen: Druck
gestrichelt: “neutrale Zone”,
ändert Länge nicht
Jenseits des elastischen Bereichs:
Verformung bis zum Knicken des Balkens
Bei Druckbelastung längs eines Objektes (Knochen, Balken) weicht
das Objekt aus, bis es bricht. Hier ist die Knickspannung proportional
zu E (Elastizitätsmodul)
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a) Deformation von Festkörpern
Knochen: kleine Kristalle (50 nm) in elastischer Fasermatrix
Spannbeton: Beton (druckfest, nicht zugfest), kombiniert mit
Stahl (elastisch, zugfest)
Kohlefaser- oder glasfaserverstärkte Plastikmaterialien
Detaillierte Beschreibung von Spannung,
Druck im Knochengerüst in Kamke/Walcher
(Kap. 6.3.3)
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b) Hydrostatik,
Hydrostatik, Aerostatik
Hydrostatik – Lehre von ruhenden Flüssigkeiten:
fest
flüssig
gasförmig
•Bindungsenergie ~ kinetische Energie der Teilchen
•Keine Scherelastizität (Teilchen gleiten aneinander)
•Kaum komprimierbar (fast wie Festkörper)
•Starke Kohäsionskräfte (Oberflächenspannung)
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Hydrostatik – Lehre von ruhenden Flüssigkeiten:
Die Oberfläche einer
Flüssigkeit steht immer
senkrecht zu wirkenden
Kräften (hier Wand und
Schwerkraft)
Eine flache Oberfläche ist
energetisch am günstigsten,
eine Flüssigkeit zerfließt
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Stempeldruck (vernachlässigbare Schwerkraft):
Eine Kraft F drückt senkrecht auf einen
beweglichen Stempel der Fläche A, der
ein Gefäß abschließt
Druck p =
Kraft F  N 
Fläche A  m2 
1 Pa = 1 N m2 = 10−5 Bar
Der Druck breitet sich in alle Richtungen
gleichmäßig aus (isotrop), an allen Stellen
der inkompressiblen Flüssigkeit und an
allen Ausgängen herrscht der
gleiche Druck p = F/A
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Anwendung: Hydraulische Presse
Hebelgesetz der Hydrostatik:
Betrachten wir eine Verschiebung um
den Weg s1 (entspricht Flüssigkeitsvolumen V1), wodurch der Kolben rechts
um s2 angehoben wird. Dann wird links
die Arbeit F1· s1 = F1· V1 / A1 geleistet.
Sie ist gleich der am rechten Kolben
geleisteten Arbeit
F2· s2 = F2· V2 / A2 , weil V1 = V2 (Inkompressibilität) und weil F1/A1 = F2/A2
Damit ist Energieerhaltung
gewährleistet.
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b) Drehimpuls Drehimpuls