4.2 Endliche und algebraische Körpererweiterungen

Algebra und Zahlentheorie
4.2
c Rudolf Scharlau, 2002 – 2014
321
Endliche und algebraische Körpererweiterungen
Die beiden ersten Definitionen und Bemerkungen dieses Abschnittes stehen im
unmittelbaren Zusammenhang zueinander.
Definition und Bemerkung 4.2.1 Es sei K ein Körper und
iK : Z ! K,
n 7! n.1K
der kanonische Ringhomomorphismus von Z nach K. Die Charakteristik char K
ist das nicht-negative Erzeugende der Kerns von iK . Diese Zahl ist gleich Null
oder eine Primzahl.
Bemerkung und Definition 4.2.2 Jeder Körper K enthält einen kleinsten Teilkörper Kprim , den sog. Primkörper von K. Man kann ihn wie folgt explizit beschreiben, wobei p := char K die Charakteristik von K ist.
a) Im Fall p = 0 ist Kprim := {iK (n)iK (m) 1 | n 2 Z, m 2 N}, und dieser
Körper ist isomorph zum Körper Q der rationalen Zahlen.
b) Im Fall p > 0 ist Kprim := Bild iK = {0, 1K , · · · , (p
Körper ist isomorph zu Fp = Z/pZ.
1).1K }, und dieser
Im Fall der Charakteristik 0 wird man i. A. eine ganze Zahl n mit ihrem Bild in
K identifizieren, also Z als Teilring des Körpers K au↵assen und oft auch n · m 1
n
als Bruch m
schreiben. Dann sieht Kprim auch genauso“ aus wie Q. Auch im
”
Fall char K > 0 kann man entsprechend Fp als Teilmenge von K au↵assen, denn
es gibt nur einen Isomorphismus Fp ! Kprim .
Wir erinnern daran, dass eine Körpererweiterung eines Körpers K ein Homomorphismus i : K ! L ist, wobei L wieder ein Körper ist. Wenn i sich aus
dem Kontext ergibt oder keine Rolle spielt, schreiben wir für die Erweiterung
kurz L : K. Die Eigenschaft, eine Erweiterung zu sein”, ist in folgendem Sinn
”
transitiv: Wenn L : K und K : F zwei ( übereinanderliegende“ oder aufein”
”
anderfolgende“) Erweiterungen sind, dann ist auch L eine Erweiterung von F .
Genauer ist folgendes gemeint: wenn die Erweiterung K : F durch einen Homomorphismus i : F ! K und L : K durch einen Homomorphismus j : K ! L
gegeben ist, dann ist L : F durch j i : F ! L gegeben.
Definition und Bemerkung 4.2.3 (Grad einer Körpererweiterung)
a) Unter dem Grad einer Körpererweiterung L : K, bezeichnet mit [L : K],
versteht man die Dimension von L als K-Vektorraum:
[L : K] = dimK L .
Man spricht von einer endlichen Körpererweiterung, falls ihr Grad endlich
ist.
Algebra und Zahlentheorie
c Rudolf Scharlau, 2002 – 2014
322
b) Jede endliche Körpererweiterung ist algebraisch.
Beweis: Wenn L : K eine endliche Körpererweiterung ist, so ist erst recht K[↵]
endlich-dimensional über K, für jedes ↵ 2 L, denn K[↵] ✓ L.
⇤
Die Umkehrung der Bemerkung 4.2.3 b) gilt nicht, wie wir unten in Beispiel 4.2.11
noch ausführen werden.
Satz 4.2.4 (Gradsatz) Es seien L : K und K : F zwei übereinanderliegende
Körpererweiterungen. Dann gilt
[L : F ] = [L : K] · [K : F ].
Insbesondere ist L : F genau dann endlich, wenn L : K und K : F endlich sind.
Im Beweis (siehe Vorlesung) ist L ein beliebiger K-Vektorraum, der immer auch
als F -Vektorraum aufgefasst werden kann.
p
p
p
Beispiele 4.2.5
a) Es sei F = Q, K = Q[ 2], L = K[ 2 + 2].
Dann ist [L : Q] = 4 = 2 · 2 = [L : K] · [K : Q].
p p
p p
b) Für Lp:= p
Q[ p2, 3] := Q[ 2][ 3] (s.u.) ist [L : Q] = 4, eine Basis von L
ist 1, 2, 3, 6.
In Beispiel a) bestimmt man die einzelnen Grade über das Minimalpolynom,
p
also mit Satz 4.2.6. Beispiel b) kann man mit dem gleichen K = Q[ 2] analog
behandeln; siehe auch Bemerkung 4.2.10 unten.
Wir spezialisieren nun Satz 4.1.8 auf den Fall, das die K-Algebra selbst ein Körper
ist.
Definition und Satz 4.2.6 Es sei K ein Körper und L eine Erweiterungskörper
von K.
a) Ein Element ↵ 2 L heißt algebraisch über K, falls sein Minimalpolynom
p↵ 2 K[X] nicht Null ist. In diesem Fall ist der Ring K[↵] selbst ein Körper.
Anderenfalls heißt ↵ transzendent über K.
b) Eine Körpererweiterung L : K heißt algebraisch, falls alle Elemente ↵ 2 L
algebraisch über K sind.
Beweis: Da K[↵] ✓ L auf jeden Fall nullteilerfrei ist, ist nach 4.1.8 b) auch
K[X]/(p↵ ) nullteilerfrei, das Ideal (p↵ ) nach Satz 3.1.16 a) also ein Primideal
in K[X], also p↵ ein Primelement und damit nach 3.3.10 auch irreduzibel. Nach
4.1.4 c) (bzw. direkt nach Lemma 3.3.11 zusammen mit Satz 3.1.16 b)) ist also
K[↵] ⇠
⇤
= K[X]/(p↵ ) sogar ein Körper.
Algebra und Zahlentheorie
c Rudolf Scharlau, 2002 – 2014
323
Der eben gegebene Beweis der Körpereigenschaft von K[↵] (bzw. auch schon der
Beweis von 4.1.4 c)) illustriert die allgemeine Theorie von Idealen und Restklassenringen von Hauptidealringen. Tatsächlich kommt man mit reiner linearer Al”
gebra” schneller zum Ziel: Es sei 2 K[↵] beliebig, 6= 0. Als Element des Körpers
L ist jedenfalls kein Nullteiler, die K-lineare Abbildung µ : L ! L, x 7! x also injektiv, ebenso µ : K[↵] ! K[↵] injektiv. Da K[↵] ein endlich-dimensionaler
K-Vektorraum ist, ist µ auf K[↵] auch surjektiv, insbesondere liegt 1 in Bild.
D.h. Es existiert ein 2 K[↵] so, dass
= 1. Somit besitzt ein Inverses
in K[↵], wie gewünscht. Für die explizite Berechnung von Inversen sind allerdings doch die Polynome das Mittel der Wahl; man geht genau so vor wie im
Restklassenring Z/mZ:
Bemerkung 4.2.7 (Explizite Berechnung von Inversen) Gegeben sei ein
Polynom h 2 K[X], o.B.d.A. von Grad < n = grad p↵ (vergl. 4.1.4 b)), das ein
beliebiges Element h(↵) 6= 0 von K[↵] ⇠
= K[X]/(p↵ ) repräsentiert. Finde mit dem
erweiterten euklidischen Algorithmus im Polynomring K[X] (siehe 3.2.15, 3.3.6,
4.1.5 b)) Polynome f, g 2 K[X] mit p↵ f + hg = 1. Dann ist g(↵) das Inverse von
h(↵).
Unter einer algebraischen Zahl“ (ohne weiteren Zusatz) versteht man eine kom”
plexe Zahl, die algebraisch über Q ist. Der Grad einer algebraischen Zahl ↵ ist
definitionsgemäß der Grad ihres Minimalpolynoms, also der Grad von Q[↵] über
Q. Komplexe Zahlen, die nach obiger Definition transzendent über Q sind, heißen
einfach nur transzendente Zahlen”.
”
Ein Element ↵ eines Erweiterungskörper ist genau dann algebraisch über K,
wenn K[↵] endlich-dimensional über K ist, und die Dimension ist dann nach Satz
4.1.8 b) gleich dem Grad von ↵.
Bevor wir das nächste Lemma formulieren, erweitern wir noch die Notation für
das Adjungieren von Elementen (siehe Lemma 3.2.5) in naheliegender Weise: Es
sei R ein kommutativer Ring und ↵1 , ↵2 , . . . , ↵m Elemente eines kommutatven
Erweiterungsringes. Dann setzen wir für m 2 induktiv
R[↵1 , . . . , ↵m ] := R[↵1 , . . . ↵m 1 ][↵m ].
Zum Beispiel ist etwas konkreter für m = 2
(
)
X
R[↵, ] =
rij ↵i j | rij 2 R, fast alle rij = 0 .
i,j2N0
Lemma 4.2.8 Es sei L : K eine Körpererweiterung und ↵1 , ↵2 , . . . , ↵m 2 L
algebraisch über K. Dann ist der Ring K[↵1 , . . . , ↵m ] endlich-dimensional über
K und ein Körper.
Algebra und Zahlentheorie
c Rudolf Scharlau, 2002 – 2014
324
Beweis: Wir wenden Induktion über die Anzahl m der Elemente an. Für m = 1
steht die Behauptung in Satz 4.2.6. Für m
2 ist K 0 := K[↵1 , . . . ↵m 1 ] nach
Induktionsannahme eine endliche Körpererweiterung. Weiter ist ↵m algebraisch
über K, erst recht über K 0 , und deshalb wieder nach 4.2.6 K[↵1 , . . . , ↵m ] =
K 0 [↵m ] ein Körper und K 0 [↵m ] : K 0 eine endliche Erweiterung. Nach dem Gradsatz 4.2.4 ist auch K 0 [↵m ] : K endlich.
⇤
Wir werden jetzt zeigen, dass nicht nur die Eigenschaft endlich“, sondern auch
”
die Eigenschaft algebraisch“ für Körpererweiterungen transitiv ist.
”
Satz 4.2.9 Es seien L : K und K : F zwei übereinanderliegende algebraische
Erweiterungen. Dann ist auch L : F algebraisch.
Beweis: Für 2 L seien ↵0 , ↵1 , ↵2 , · · · 2 K die Koeffizienten des Minimalpolynoms von über K. Dann ist K 0 := K[↵0 , ↵1 , ↵2 , . . . , ] nach 4.2.8 b) eine endliche
Erweiterung von K, weiter ist K 0 [ ] eine endliche Erweiterung von K 0 . Nach 4.2.4
ist also K 0 [ ] : K eine endliche Erweiterung und somit jedes Element von K 0 [ ],
insbesondere selbst, algebraisch über K.
⇤
Oft (z.B. im Beispiel 4.2.5 b)) wird eine Erweiterungskörper aus zwei Teilkörpern
eines großen“ Körpers, etwa der komplexen Zahlen, zusammengesetzt. Dieses
”
führt auf folgende Definition und Bemerkung.
Definition und Bemerkung 4.2.10 (Kompositum)
a) Es sei R ein kommutativer Ring und R1 , R2 ✓ R Teilringe. Dann ist die
Menge aller Summen (beliebiger Länge) von Produkten xy, x 2 R1 , y 2 R2
ein Teilring von R. Dieses ist o↵enbar der kleinste Teilring von R, der R1
und R2 enthält; er heißt das Kompositum von R1 und R2 .
e ◆ K eine Körpererweiterung und L1 ✓ K,
e L2 ✓ K
e Teilkörper von
b) Es sei K
e die beide K enthalten und endlich über K sind. Dann ist das KompoK,
situm L1 L2 eine endliche Körpererweiterung von K; es ist
[L1 L2 : K]  [L1 : K] · [L2 : K].
c) In der Situation von b) heißen L1 und L2 linear disjunkt über K, wenn
[L1 L2 : K] = [L1 : K] · [L2 : K] ist. Dieses gilt insbesondere dann, wenn
[L1 : K] und [L2 : K] teilerfremd sind.
p
p
Zwei verschiedene quadratische Erweiterungen
Q[
a]
und
Q[
b] von Q sind imp
p
3
3
mer linear
disjunkt.
Die
beiden
Körper
Q[
2]
und
Q[⇣
2]
vom
Grad 3, wobei
3
p
1+
3
⇣3 =
eine primitive dritte Einheitswurzel ist, sind nicht linear disjunkt,
2
p
denn ihr Kompositum ist gleich Q[⇣3 , 3 2] und hat folglich (nach Teil c)) den Grad
6 über Q. (Es handelt sich um den Zerfällungskörper“ des Polynoms X 3 2.)
”
Algebra und Zahlentheorie
c Rudolf Scharlau, 2002 – 2014
325
Bemerkung 4.2.11 Die Umkehrung der Bemerkung 4.2.3 b) gilt nicht, wie folgende allgemeine Konstruktion zeigt: Es sei K0 ⇢ K1 ⇢ · · · ⇢ Kn ⇢ Kn+1 ⇢
· · · eine unendliche Kette von Körpern, die alle Teilkörper eines sehrSgroßen“
e sind (etwa K0 = Q, K
e = C). Dann ist die Vereinigung K”:=
Körpers K
n2N0 Kn
e
ein Teilkörper von K, wie man sich schnell überlegt. Wenn weiter jedes Kn+1 endlich über Kn ist, so ist K algebraisch über K0 . Denn jedes 2 K liegt in Kn für
ein passendes n = n( ), und Kn ist endlich über K0 . Andererseits ist o↵enbar K
nicht endlich über K0 , denn [Kn : K0 ]  [K : K0 ], und [Kn : K0 ] strebt gegen
unendlich für n ! 1.
Wir wollen zum Schluss dieses Abschnittes noch die Grundlagen von Kapitel 3.6
vertiefen.
Definition und Bemerkung 4.2.12
a) Ein algebraischer Zahlkörper ist eine endliche Körpererweiterung der rationalen Zahlen. Eine algebraische Zahl ist eine Element eines algebraischen
Zahlkörpers.
b) Ein quadratischer Zahlkörper Erweiterung vom Grad [K : Q] = 2. Er heißt
reell-quadratisch, falls eine Einbettung K ,! R existiert, anderenfalls imaginär-quadratisch.
p
c) Jeder quadratische Zahlkörper K ist von der Form Q[ d], wobei d 2
Z r {0, 1} quadratfrei ist. Dabei ist d durch die Isomorphieklasse von K
eindeutig bestimmt. K ist reell-quadratisch, wenn d > 0, und imaginärquadratisch, wenn d < 0.
Wir erinnern an Abschnittp4.1, insbesondere an Beispiel 4.1.7 (2) für die verschiedenen Bedeutungen von d. Insbesondere kommen wir jetzt –anders als in der
vorläufigen Definition 3.6.1– ohne die komplexen Zahlen aus, da wir inzwischen
von unten” her neu konstruieren, nicht nur als Teilkörper eines schon vorhan”
denen großen” p
Körpers. Wenn wir im folgenden einen quadratischen Zahlkörper
”
in der Form Q[ d] mit d 2 Z schreiben, werden immer voraussetzen, dass d
quadratfrei ist, ohne dieses ständig zu wiederholen.
Definition 4.2.13 Ein Element ↵ eines Erweiterungskörpers K : Q heißt ganzalgebraisch, oder ganze algebraische Zahl , wenn es ein normiertes Polynom f =
a0 +a1 X +· · ·+X n 2 Z[X] gibt mit f (↵) = 0. Die Menge aller ganz-algebraischen
Elemente in K wird mit ZK bezeichnet.
Jede ganz-algebraische Zahl ist insbesondere algebraisch.
c Rudolf Scharlau, 2002 – 2014
Algebra und Zahlentheorie
Beispiele 4.2.14
1.
p
1+ 5
2
326
ist eine ganz-algebraische Zahl.
2. Jede Einheitswurzel ⇣, dabei ⇣ m = 1 ist eine ganz-algebraische Zahl.
3.
p
1+ 3
2
ist keine ganz-algebraische Zahl.
Das negative Resultat im dritten Beispiel wird im nächsten Satz verallgemeinert
und bewiesen.
Satz 4.2.15 Eine algebraische Zahl ist genau dann ganz-algebraisch, wenn ihr
Minimalpolynom Koeffizienten in Z hat.
Der Beweis folgt unmittelbar aus dem Lemma von Gauß“ für Polynome, Satz
”
3.4.5: Wenn es überhaupt ein normiertes Polynom f mit ganzen Koe↵zienten
und f (↵) = 0 gibt, dann hat auch das Minimalpolynom über Q von ↵ ganze
Koeffizienten, denn es teilt f .
Als nächstes wollen wir die ganz-algebraischen Zahlen
in einem quadratischen
p
Zahlkörper explizit bestimmen. Sei also K = Q[ d] mit d 2 Z r {0, 1} und d
quadratfrei. Wir benutzen wie in Definition 3.6.4 die Konjugation ↵ 7! ↵0 sowie
die Norm N (↵) und Spur S(↵) von Elementen von K.
Man beachte, dass ↵2 S(↵) ↵ + N (↵) = 0 ist, also S(↵) und N (↵) die
Koeffizienten des Minimalpolynoms von ↵ sind, sobald ↵ 2
/ Q, also ↵ 6= ↵0 bzw.
y 6= 0 ist. Unter Berücksichtigung von Satz 4.2.15 beweist dieses Teil a) des
nächsten Satzes.
p
Satz 4.2.16 Es sei K = Q[ d] ein quadratischer Zahlkörper, N : K ! Q die
Norm und S : K ! Q die Spur. Dann gilt für Menge ZK der ganz-algebraischen
Zahlen in K folgendes:
a) ZK = {↵ 2 K | S(↵) 2 Z und N (↵) 2 Z};
( p
1+ d
für d ⌘4 1
b) ZK = Z.1 + Z.!, wobei ! = p2
d
für d ⌘4 2, 3;
c) ZK = Z[!], dabei ! wie in b);
d) ZK ist ein Teilring von K.
Die Bezeichnung ZK wird für jeden algebraischen Zahlkörper K benutzt (sogar
für eine beliebige Erweiterung von Q, d.h. für einen beliebigen Körper der Charakteristik Null). Man spricht auch kurz von den ganzen Zahlen in K“. Der
”
Teil d) des Satzes gilt für jeden Körper K : Q; deshalb nennt man ZK auch den
Ring der ganzen Zahlen“ von K. Der Beweis ist komplizierter und wird in der
”
algebraischen Zahlentheorie geführt.
Teil b) des Satzes besagt, dass ZK eine Z-Basis“, genauer, eine Basis als
”
Z-Modul, aus zwei Elementen besitzt, nämlich 1, !. Der hier verwendete Begri↵
des Moduls“, genauer, R-Moduls für einen kommutativen Ring R, ist dabei eine
”
Algebra und Zahlentheorie
c Rudolf Scharlau, 2002 – 2014
327
natürliche Verallgemeinerung des Vektorraum-Begri↵s, wobei die Skalare jetzt
in einem kommutativen Ring R (hier R = Z) statt eines Körpers liegen. Wenn
der quadratische Zahlkörper K durch einen algebraischen Zahlkörper vom Grad
n = [K : Q] ersetzt wird, gilt Teil b) entsprechend, wobei dann die Z-Basis
von ZK aus n Elementen besteht (und gleichzeitig auch eine Basis von K als
Q-Vektorraum ist).