Kreuzprodukt

Kreuzprodukt
Das Kreuzprodukt ~a×~b (auch Vektorprodukt, vektorielles Produkt oder äußeres
Produkt genannt) zweier Vektoren ~a und ~b im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum ist ein Vektor ~c, dessen Richtung senkrecht auf der von ~a und ~b aufgespannten
Ebene steht und mit ihnen ein Rechtssystem bildet, wobei der Betrag des Vektors ~c dem
Flächeninhalt des Parallelogramms mit den Seiten ~a und ~b entspricht.
In der Physik tritt das Kreuzprodukt beispielsweise beim Drehmoment oder bei der
Lorentzkraft auf.
Das Kreuzprodukt wird mit einem Kreuz als Multiplikationszeichen geschrieben. Es
gilt
~a × ~b = |~a| |~b| sin θ ~n .
Dabei sind |~a| und |~b| die Längen der Vektoren ~a und ~a und sin θ ist der Sinus des von
ihnen eingeschlossenen Winkels θ der Vektor ~n ist der Richtungsvektor von ~c nämlich
der zu ~a und ~b senkrechte Einheitsvektor, der die zwei Vektoren zu einem Rechtssystem
ergänzt, das heißt, ~a, ~b und ~a ×~b verhalten sich wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger
der rechten Hand (Rechte-Hand-Regel).
Komponentenweise Berechnung
Im euklidischen Vektorraum R3 mit der Standardbasis gilt für das Kreuzprodukt:
    

a1
b1
a2 b3 − a3 b2
~a × ~b = a2  × b2  = a3 b1 − a1 b3  .
a3
b3
a1 b2 − a2 b1
Bilinearität, Antisymmetrie
Das Kreuzprodukt ist bilinear, für alle Zahlen α, β und γ und alle Vektoren ~a, ~b und ~c
gilt:
~a × (β ~b + γ ~c) = β (~a × ~b) + γ (~a × ~c) , (α ~a + β ~b) × ~c = α (~a × ~c) + β (~b × ~c) .
Da die Fläche jedes Parallelogramms verschwindet, das ein Vektor mit sich aufspannt,
~a × ~a = 0 ,
ist das Kreuzprodukt antisymmetrisch,
0 = (~a + ~b) × (~a + ~b) = ~a × ~a + ~a × ~b + ~b × ~a + ~b × ~b = 0 + ~a × ~b + ~b × ~a + 0 ,
~a × ~b = − ~b × ~a .
Bei Vertauschung der Vektoren ändert sich also das Vorzeichen. Das Kreuzprodukt ist
”antikommutativ” oder ”schiefsymmetrisch.”
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Beispiele
Die folgenden Beispiele sollen der besseren Verständlichkeit dienen.
Drehmoment
~ einer einzelnen, am Punkt ~r angreifenden Kraft F~ in Bezug auf
Das Drehmoment M
den Punkt r~0 lässt sich mit einem Kreuzprodukt berechnen:
~ = (~r − r~0 ) × F~ ,
M
befindet sich der Punkt r~0 im Koordinatenursprung:
~ = ~r × F~ .
M
Der Kraftpfeil lässt sich auf seiner Wirkungslinie so verschieben, dass der Abstandsvektor senkrecht zu ihm steht. Er wird dann als Hebelarm bezeichnet. Betragsmäßig gilt
dann Kraft mal Hebelarm.
Lorentzkraft
Die (allgemeine) Lorentzkraft F~ wird auf eine elektrische Ladung q ausgeübt, die sich
mit der Geschwindigkeit ~v durch ein elektromagnetisches Feld bewegt. Für sie gilt:
~ + ~v × B
~ .
F~ = q E
~ die elektrische Feldstärke und B
~ die magnetische Flussdichte.
Dabei ist E
Teilweise wird nur die magnetische Komponente als Lorentzkraft bezeichnet, hier gilt
dann:
~ .
F~L = q ~v × B
Die Kraft durch die elektrische Komponente
~
F~C = q E
wird dabei als Coulombkraft bezeichnet.
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