Rechenregeln für Produkte
Werbung
Allgemeine Rechenregeln Wir habe drei Typen von Objekten: Zahlen (Körperelemente), Vektoren (Spaltenvektoren), Matrizen Additionen 1) Additionen sind nur zwischen Objekten gleichen Typs definiert. x1 .. . + x3 y1 x1 + y1 .. = .. , . . yn xn + yn a11 · · · a1n b11 · · · b1n a11 + b11 · · · a1n + b1n .. .. + .. .. = .. .. .. .. .. . . . . . . . . . am1 · · · amn bm1 · · · bmn am1 + bm1 · · · amn + bmn 2) Alle Additionen sind kommutativ: a + b = b + a. 3) Alle Additionen sind assoziativ: ( a + b) + c = a + (b + c). 4) Alle Additionen haben ein Neutralelement, welches mit 0 bezeichnet wird, d.h. a + 0 = a. 5) Zu jedem Objekt a gibt es ein − a (das additive Inverse), mit a + (− a) = 0 Multiplikationen Alle Multiplikationen auf einen Blick Multiplikationen können sowohl für Objekte gleichen Typs, als auch für Objekte unterschiedlichen Typs definiert sein (Die Tabelle ist zu lesen als “Zeile mal Spalte”) Vektor ~x µ · x1 .. . Zahl λ µ·λ Zahl µ Vektor ~y Matrix B y1 · λ .. . yn · λ b11 λ · · · b1m λ .. .. .. . . . b p1 λ · · · b pm λ µ · xn x2 y3 − x3 y2 ∑nk=1 xi yi , x3 y1 − x1 y3 x1 y2 − y2 x1 p ∑k=1 b1k xk .. . Matrix A µa11 · · · µa1n .. .. ... . . µam1 · · · µamn nur für einzeilige Matrizen p ( BA)ij = ∑m k=1 Bik Akj ∑k=1 bmk xk Für alle obigen Multiplikationen (•) gelten die Distributivegesetze a • (b + c) = a • b + a • c und (b + c) • a = b • a + c • a Alle diese Multiplikationen sind mit der Multiplikation mit Skalaren λ (·) verträglich: λ · ( a • b) = (λ · a) • b = a • (λ · b) = ( a • b) · λ und es gilt: 0•a = a•0 = 0 Mehrfache Multiplikationen Das Skalarprodukt und das Matrix-Vektorprodukt sind Spezialfälle des Matrizenproduktes, wenn mann Die Vektoren als einspaltige Matrizen auffaßt: ~x · ~y = ~x t · ~y A · ~x = A · ~x Dabei bezeichnet der Punkt auf der linken Seite oben das Skalarprdukt und unten das Matrix-Vektor-Produkt. Der Punkt auf der rechten Seite bezeichnet jeweils das Matrizenprodukt. Da das Matrizenprodukt assoziativ ist gilt dies also auch für eine beliebige Kombination der gennanten drei Produkte, also z.B: ( A · B) · ~x = A · ( B · ~x ) oder (~x t · A) · ~y = ~x t · ( A · ~y) In allen diesen Fällen kann man also die Klammern weglassen, da keine Mißverstädnisse entstehen können. Achtung: Das Matrizenprodukt ist im allgemeinen nicht kommutativ, das Skalarprodukt ist es aber. Speziell gilt noch ~x · ( A · ~y) = ( At · ~x ) · ~y Grund: ~x · ( A · ~y) = (~x · A) · ~y = (~x · A)t · ~y = ( At~x t ) · ~y = At · (~x t · ~y) = At · (~x · ~y) = ( At · ~x ) · ~y Gemischte Produkte mit Kreuzprodukt Das Kreuzprodukt verhält sich völlig anders. Zunächst ist klar, daß eine Regel der Form (~x × ~y) ·~z = ~x × (~y ·~z) unmöglich ist, da das Kreuzprodukt von Skalaren mit Vektoren nicht definiert ist. Es gilt aber (wie man durch brutales Nachrechnen zeigen kann): (~x × ~y) ·~z = (~y ×~z) · ~x = (~z × ~x ) · ~y Einer dieser (und damit jeder) Ausdrücke heißt Spatprodukt der drei Vektoren ~x, ~y, ~z. Das Ergebnis ist das (orientierte) Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds. Weiter gilt die sogenannte “bac-cap”-Regel: ~a × (~b ×~c) = ~b(~a ·~c) −~c(~a · ~b) (Die weggelassenen Multiplikationspunkte bedeuten Multiplikation von Vektoren mit Skalaren).
