Euklidische Geometrie und Matrizen
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Euklidische Geometrie Matrizen und Tensoren Max Camenzind Senioren Uni Würzburg Was bedeutet Geometrie? Geometrie ist, etwas salopp ausgedrückt, das Studium von "Abständen". Aus dem Mathematikunterricht kennen wir die Geometrie der Zeichenebene (auch euklidische Ebene genannt): Wir wissen, was der Abstand zweier Punkte ist (daher haben wir einen Begriff von der Länge einer Strecke und der Bogenlänge einer Kurve), und wir kennen einige elementare Sachverhalte, die in geometrischen Figuren wie Dreiecken, Vierecken oder Kreisen auftreten: etwa den Satz über die Winkelsumme im Dreieck, den Satz von Pythagoras oder die Beziehung u = 2πr zwischen Umfang und Radius eines Kreises. (Der Winkelbegriff ist aus dem Längenbegriff abgeleitet. In einem Dreieck mit gegebenen Seitenlängen sind alle Winkel eindeutig bestimmt. Dies − oder die bekannte Geschichte mit der Bogenlänge des Kreissektors − kann man dazu benutzen, um zu definieren, was ein Winkel ist). Newton: die Welt ist dreidimensional Vektoren: Kräfte, elekrische Felder Vektoren Betrag & Richtung Skalarprodukt & Orthogonalität Das Vektorprodukt in 3D N-dim Vektorraum: Das Skalarprodukt Beispiel: Skalarprodukte Beispiel: Skalarprodukte und Winkel Orthogonale Vektoren Beispiel 1: kleine quadratische Matrix Beispiel 3: Graustufen im Pixelbild Beispiel 4: Zählraten im CCD-Pixelbild Hermitsche Matrizen: U = U+ Was sind Tensoren ? Bei einemTensor handelt es sich um eine mathematische Funktion, die eine bestimmte Anzahl von Vektoren auf einen Wert abbildet (multilinear): T(u,v,w,…) R. Die Anzahl von Vektoren, die ein Tensor entgegennimmt, wird als Rang oder Stufe des Tensors bezeichnet. Basis-Vektoren Tensor-Komponenten Einstein Summation! Tij Was sind Tensoren ? Der Spannungstensor T(n,F) R T hängt von Normalrichtung n und Kraftrichtung F ab! Der metrische Tensor g(X,Y) R g(X,Y) = g(Y,X) R g(X,X) = |X|²: Länge² g hängt von zwei Vektoren ab X und Y Winkel Tensor dritter Stufe T(u,v,w) R in 3D Der total antisymm. Epsilontensor eijk e123 = +1 e132 = -1 e312 = +1 e231 = +1 e112 = 0 ….
