Übung 2

Übung 2
Abgabe bis zum ………………………
4. Rechnen mit Vektoren (10 P)
=
Betrachten Sie die drei Vektoren
) + ; )5 ∙ ; )2 ∙
) +
"
2
ℎ)
3
+ 4)#) ∙
3
1 ,
−1
+
1
= 0 ,
0
=
1
2 . Berechnen Sie wenn möglich:
−3
− 3 ∙ ; ) ∙ ; ) ∙
4
1
+ 5$) ∙ %&
&
3
5 '
∙ ; )| | +
5. Winkel, Kreuzprodukt, Orthogonalität (10 P)
Gegeben sin die folgenden beiden Vektoren im Anschauungsraum ℝ) :
=
a) Berechnen Sie den Winkel zwischen
b) Berechnen Sie das Kreuzprodukt
c) Bestimmen Sie einen Vektor
d) Gibt es einen Vektor
∈ ℝ) ,
−2
1
2 , = −3
0
−3
und .
× .
∈ ℝ) , ≠ 0, der orthogonal zu
ist (i.Z.:
≠ 0, der orthogonal zu beiden Vektoren
⊥ ).
und
ist?
6. Dreieck (10 P)
Gegeben ist das Raumdreieck ABC mit / 4| − 2|2), 0 0|2|2)und 1 2| − 1|4). Stellen Sie die
Seitenkanten des Dreiecks als Spaltenvektoren dar. Berechnen Sie den Umfang und die Fläche des
Dreiecks.
(freiwilliger Zusatz) Spiegeln Sie das Dreieck ABC im Punkt 2 4|4|3). Fertigen Sie ein Schrägbild des
Dreiecks ABC und des gespiegelten Dreiecks an.
Bonusaufgabe: (Beweistraining)
Das Vektorprodukt der Vektoren
Verifizieren Sie die Gleichung
34
= 54 und =
64
34
3'
5
× = 4 × 5'
64
6'
×
=− × .
3'
5' ist definiert durch
6'
54 6' − 64 5'
= 64 3' − 34 6'
34 5' − 54 3'
Für den mathematischen Arbeitsspeicher …
Auf die folgenden Fragen sollte man jederzeit eine richtige Antwort geben können. Zur Not, mit Hilfe eines
vorbereiteten Zettels:
1)
Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte in der Ebene?
2)
Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte im Raum?
3)
Was versteht man unter einem Anschauungsraum?
4)
Was unterscheidet ein ebenes kartesisches Koordinatensystem von einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem?
5)
Was versteht man unter einer Abzissen- bzw. Ordinatenachse?
6)
Erklären Sie, was es bedeutet, dass ein räumliches kartesisches Koordinatensystem ein „Rechtssystem“ bildet.
7)
Was ist ein Vektor und wozu braucht man ihn?
8)
1
Finden Sie einen Vektor im Anschauungsraum ℝ) , der zu 2 parallel ist.
3
Neu:
9)
Was ist ein Punkt im Anschauungsraum ℝ) ? Was ist der zugehörige Ortsvektor? Geben Sie jeweils ein frei gewähltes Beispiel an.
10) Was ist die Euklidische Norm eines Vektors? Nennen Sie ein Synonym für den Begriff „Euklidische Norm“ im Anschauungsraum ℝ) .
1
11) Berechnen Sie die Länge des Vektors 2 .
3
12) Wie kann man zwei Vektoren im ℝ' 68.ℝ) addieren, subtrahieren, multiplizieren?
13) Wie ist das Skalarprodukt zweier Vektoren im ℝ' 68.ℝ) definiert?
14) Wie ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren im ℝ' 68.ℝ) definiert?
15) Was ist ein Nullvektor?
16) Wann nennt man zwei Vektoren im Anschauungsraum ℝ) orthogonal?
17) Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?
18) Geben Sie unter Benutzung des Vektorprodukts eine Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms bzw. eines Dreiecks an.
(Diese Liste wird fortlaufend ergänzt.)