Mathematik > Vektorrechnung > Kreuzprodukt

Michael Buhlmann
Mathematik > Vektorrechnung > Kreuzprodukt
Einleitung
 a1 
 b1 
−>
 
 
Für zwei Vektoren a =  a 2  und b =  b2  gelten im dreidimensionalen reellen Vektorraum
a 
b 
 3
 3
−>
neben der Addition (Vektoraddition) und der Multiplikation mit einer reellen Zahl (skalare
Multiplikation) auch multiplikative Verknüpfungen:
−> −>
−>
−>
a) inneres Produkt, Skalarprodukt: a ⋅ b = a ⋅ b cos ϕ = a1b1 + a 2 b2 + a3 b3 mit dem Winkel
−>
−>
φ als eingeschlossenen Winkel zwischen a und b ;
 a 2 b3 − a 3 b2 


b) äußeres Produkt, Vektorprodukt oder Kreuzprodukt: a × b =  a 3 b1 − a1b3  mit der Bea b −a b 
2 1 
 1 2
−>
−>
−>
−>
−>
−>
ziehung: a × b = a ⋅ b ⋅ sin ϕ und dem Winkel φ als eingeschlossenen Winkel zwischen
−>
−>
den Vektoren a und b ;
− > − > −>
 − > −>  − >
c) Spatprodukt: [ a , b , c ] =  a × b  ⋅ c = (a 2 b3 − a3 b2 )c1 + ( a3 b1 − a1b3 )c 2 + ( a1b2 − a 2 b1 )c3 mit


 c1 
−>
 
einem dritten Vektor c =  c 2  und der Kombination aus Kreuz- und Skalarprodukt.
c 
 3
Kreuzprodukt
−>
−>
−>
Das Kreuzprodukt erzeugt aus zwei Vektoren einen dritten Vektor n = a × b , der (als
Normalenvektor) senkrecht auf den erzeugenden Vektoren steht.
Das Kreuzprodukt besitzt folgende Eigenschaften:
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1
−>
−>
−>
−>
−>
−>
−>
−>
a) Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf a und b , d.h.: ( a × b ) ⋅ a = 0 , ( a × b ) ⋅ b = 0 .
−>
−>
b) Die Länge des Kreuzproduktvektors ist gleich dem Flächeninhalts des durch a und b
aufgespannten Parallelogramms, d.h.:
−>
−>
−>
−>
AParalle log ramm = a × b = a ⋅ b ⋅ sin ϕ .
c) Das Kreuzprodukt ist antikommutativ, distributiv und gemischt assoziativ, d.h.:
−>
−>
−>
−>
b× a = − a× b
−>
 −> −> 
 − > −>   − > −>   −> − >  −>
 −> −>   −> −> 
a ×  r b + s c  = r  a × b  + s  a × c  ,  r a + s b  × c = r  a × c  + s b × c 



 
 


 

 −> −>  −>  −> −>  − >  − > −>  −>
 a × b  × c =  a ⋅ c  b −  a ⋅ b  c (Graßmann-Identität)






d) Das Kreuzprodukt von zwei parallelen Vektoren ist der Nullvektor, d.h.:
0
 
a× r a = o = 0 .
0
 
−>
−>
−>
e) Es gelten die Identitäten:
−>
 − > − >  − >  − > − >  − >  −> −>  −>
a ×  b × c  + b ×  c × a  + c ×  a × b  = o (Jacobi-Identität)






−> − >
−> −>
−> −>
−> −>
−> − >

 
 

 
 −> − > 
a
×
b
⋅
c
×
d
=
a
⋅
c
b
⋅
d
−
b
⋅
c

 
 

 
 a ⋅ d  (Langrange-Identität).

 
 

 


Kreuzprodukt und Vektorrechnung
Es seien nachfolgend einige Beispiele und Formeln zur Verwendung des Kreuzprodukts in
der analytischen Geometrie/Vektorrechnung angeführt. Die Beispiele betreffen: Ermittlung
des Kreuzprodukts, Winkelberechnung, Umwandlung einer Ebenengleichung von der Parameter- in die Koordinatenform, Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks, Berechnung des Abstands zwischen Punkt und Gerade, Ermittlung einer Schnittgeraden.
1
0
−>
 
 
1) Für die Vektoren a =  − 1 und b =  − 1 ergibt sich als Kreuzprodukt:
0
1
 
 
−>
 1   0   − 1 ⋅ 1 − 0 ⋅ (−1)   − 1
    
  
a × b =  − 1 ×  − 1 =  0 ⋅ 0 − 1 ⋅ 1  =  − 1
 0   1  1 ⋅ (−1) − (−1) ⋅ 0   − 1
    
  
−>
−>
1
0
−1 −1
(⊳ Wiederholung der ersten Zeilen der beiden Vektoren zur besseren Rechnung)
In der Tat gelten dann die Orthogonalitätsbeziehungen:
 − 1 1 
  
 − 1 − 1 = −1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−1) + (−1) ⋅ 0 = −1 + 1 = 0
 − 1 0 
  
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sowie:
 − 1 0 
  
 − 1 − 1 = −1 ⋅ 0 + (−1) ⋅ (−1) + (−1) ⋅ 1 = 1 − 1 = 0 .
 − 1 1 
  
−>
−>
Das Kreuzprodukt steht also senkrecht auf den beiden Vektoren a und b .
−>
−>
−>
−>
2) Winkelberechnung: Aus der weiter oben angeführten Formel a × b = a ⋅ b ⋅ sin ϕ folgt
−>
−>
sofort eine Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren a und b :
sin ϕ =
−>
−>
−>
−>
a× b
.
a ⋅b
3) Umwandlung einer Ebene von Parameter- in Koordinatenform: Gegeben ist die Ebene
 2   2   1 
−>
     
in Parameterform E: x =  − 3  + r  0  + s − 2  . Wir bestimmen den Normalenvektor zu E
 4   − 3  1 
     
als nachstehendes Kreuzprodukt:
 2   1   0 ⋅ 1 − (−3) ⋅ (−2)   − 6 
  
    
n =  0  ×  − 2  =  − 3 ⋅1 − 2 ⋅1  =  − 5  .
 − 3   1   2 ⋅ (−2) − 0 ⋅ 1   − 4 
    
  
−>
Die Ebenengleichung lautet somit in Normalenform:
 − 6    2 
  − >  
E:  − 5   x −  − 3  = 0
 − 4    4 
    
und weiter in Koordinatenform:
 − 6  2 
 − 6
  − >   
E:  − 5  x =  − 5  − 3  , also: E:
 − 4
 − 4  4 
 
  
 − 6  x1 
  
 − 5  x 2  = −12 + 15 − 16 , also:
 − 4  x 
  3 
E: -6x1 – 5x2 – 4x3 = -13 oder: E: 6x1 + 5x2 + 4x3 = 13.
4) Das durch die Ecken A(4|-2|1), B(2|1|6) und C(4|-4|8) gegebene Dreieck ∆ABC hat we − 2
 0 
−>
−>
 
 
gen AB =  3  und AC =  − 2  sowie wegen dem Kreuzprodukt:
 5 
 7 
 
 
 − 2   0   31
     
AB× AC =  3  ×  − 2  = 14 
 5   7  4
     
−>
−>
den Flächeninhalt:
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3
ADreieck
 31
1  1
1
= 14  =
312 + 14 2 + 4 2 =
1173 ≈ 17,125 FE.
2  2
2
4
5) Flächenberechnung eines beliebigen Dreiecks: Allgemein gilt, dass ein durch die Ecken
A, B, C gegebenes Dreieck ∆ABC die Fläche:
A∆ =
1 −> −>
1 −> −>
1 −> −>
AB× AC = AB× BC = AC× BC
2
2
2
hat.
 − 4 0
   
6) Den Abstand des Punktes P(-4|3|-5) von der Geraden g: x =  5  + t  6  bestimmen wir
 6  8
   
−>
−>
vermöge der Formel: d(P,g) =
 −> −> 
u ×  OP− a 


−>
−>
−>
u × AP
=
u
−>
−>
−>
mit u als Richtungs- und a = OA
−>
u
0
 
als Stützvektor der Geraden. Wir bilden zunächst den Differenzvektor: AP =  2  und dann
11
 
−>
das Kreuzprodukt:
 0   0   50 
     
u × AP =  6  ×  2  =  0  .
 8  11  0 
     
−>
−>
Es ergibt sich:
d(P,g) =
 0  0 
   
 6 ×  2 
 8  11
   
 0
 
 6
8
 
=
 50
 
0
0
 
 0
 
 6
 8
 
=
502 + 0 2 + 0 2
0 2 + 6 2 + 82
=
50
=5
10
als Abstand zwischen Punkt und Geraden.
7) Abstand zwischen Punkt und Gerade: Für den Abstand zwischen einer Geraden
−>
−>
−>
g: x = a + t u und einem nicht auf der Geraden liegenden Punkt P gilt – siehe oben – die
Abstandsformel:
−>
d(P,g) =
 −> −> 
u ×  OP− a 


−>
u
−>
−>
u × AP
=
−>
u
−>
Beweis: I. Wir betrachten das Kreuzprodukt des Differenzvektors AP von Punkt P und
−>
 − > −> 
Stützvektor A der Geraden g und des Richtungsvektors der Geraden g, also: u ×  OP− a  .


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−>
 −> − >  −> −> − >
Der Betrag des Kreuzprodukts ist dann: u ×  OP− a  = u ⋅ OP− a ⋅ sinϕ mit dem Winkel φ


−>
−>
−>
zwischen den Vektoren u und OP − a . Der Betrag des Kreuzprodukts entspricht damit der
−>
−>
−>
Fläche AP des durch u und OP − a aufgespannten Parallelogramms.
II. Die Höhe dieses Parallelogramms ist der Abstand des Punktes P von der Geraden g,
also: d(P,g).
−>
−>
 −> −> 
III. Es folgt mit: AP = u ×  OP− a  und AP = u ⋅ d(P,g) durch Gleichsetzen und Umformen:


−>
−>
 −> −> 
u ×  OP− a  = u ⋅ d(P,g) 

−>
d(P,g) =
 −> −> 
u ×  OP− a 


−>
−>
−>
u × AP
=
−>
u
u
die allgemeine Formel für die Berechnung des Abstandes zwischen Punkt und Geraden.
8) Schnittgerade von zwei Ebenen: Für zwei nichtparallele Ebenen E und F in Koordinatenform (KF) mit:
E: ax1+bx2+cx3 = d
F: ex1+fx2+gx3 = h
ergibt sich vermöge der Normalenvektoren der Ebenen:
a
e
−>
−>
  −>  
nE =  b  , nF =  f  mit nE ≠ k ⋅ nF
c
g
 
 
−>
−>
−>
−>
−>
der Richtungsvektor u der Schnittgeraden g: x = a + t u als:
−>
−>
−>
u = n E × nF
−>
, der Stützvektor a
Gleichungssystems (*):
der Schnittgeraden als eine Lösung des linearen 2x3-
ax1+bx2+cx3 = d
ex1+fx2+gx3 = h
, wobei durch Nullsetzen von x1 oder x2 oder x3 ein lineares 2x2-Gleichungssystem von
der Form (**):
bx2+cx3 = d
fx2+gx3 = h
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bzw.
ax1+cx3 = d
ex1+gx3 = h
bzw.
ax1+bx2 = d
ex1+fx2 = h
entsteht, mit einer eindeutigen Lösung für die übrigen Variablen (als Komponenten des
Stützvektors). Sind die Ebenen E und F parallel, so gilt im Übrigen:
−>
−>
−>
nE × nF = o .
9) Für die nichtparallelen und sich damit schneidenden Ebenen
E: x1+x2+2x3 = 4
F: 3x2+2x3 = 6
ergibt sich als Richtungsvektor der Schnittgeraden:
 1  0  − 4
     
u =  1 ×  3 =  − 2 .
 2  2   3 
     
−>
Aus dem linearen Gleichungssystem
x1+x2+2x3 = 4
3x2+2x3 = 6
ergibt sich mit x3=0 das reduzierte, eindeutig lösbare Gleichungssystem:
x1+x2 = 4
3x2 = 6
mit den Lösungen x2 = 2 und x1 = 2. Der Stützvektor der Schnittgeraden ist somit:
 2
 
a =  2 .
 0
 
−>
 2  − 4
   
Die Schnittgerade insgesamt lautet: g: x =  2  + t  − 2  .
 0  3 
   
−>
www.michael-buhlmann.de / Michael Buhlmann, 12.2015
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