Supraleitung

Fortgeschrittenenpraktikum
- Teil B an der Universität des Saarlandes
Wintersemester 2006 /2007
Supraleitung
Eva Wollrab∗, Helge Rütz† ,
Serge Fomekia Chouna‡
∗
evawollrab (æt) gmx.de
helge (æt) ruetz-online.de
‡
chouna84 (æt) yahoo.fr
†
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2
2 Theoretische Grundlagen
2.1 Verschwindender elektrischer Widerstand
2.2 Magnetfeld im Supraleiter . . . . . . . . .
2.2.1 Feldverdrängung . . . . . . . . . .
2.2.2 Kritisches Feld . . . . . . . . . . .
2.2.3 Kritischer Strom . . . . . . . . . .
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2
2
3
3
4
5
3 Darstellung des Versuchs
3.1 Aufbau des Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
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4 Vorbereitende Fragen
4.1 Energie im Magnetsystem, Verdampfung von Helium
4.2 Kritischer Strom eines Zylindrischen Drahtes . . . .
4.3 Energielücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Spezifische Wärme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Kritisches Feld dünner Filme . . . . . . . . . . . . .
4.6 Legierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Auswertung
5.1 Bestimmung der kritischen Temperatur Tc . .
5.2 Bestimmung der kritischen Feldkurve Bc (T ) .
5.3 Bestimmung der kritischen Stromdichte jc (T )
5.4 Zusammenfassung der Ergebnisse . . . . . . .
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22
1
Einleitung
Supraleitung bezeichnet die Eigenschaft einiger Elemente oder Verbindungen, bei Unterschreiten einer bestimmten Temperatur TC fast sprungartig ihren elektrischen Widerstand
zu verlieren. Diese sog. Sprungtemperatur ist abhängig von vielen äußeren Faktoren, wie
dem äußeren Magnetfeld oder der Stromdichte im Inneren. Da die Sprungtemperatur bei
den meisten Supraleitern im Bereich sehr niedriger Temperaturen liegt, erfordert die Untersuchung solcher Materialien die Erzeungung von Temperaturen im einstelligen KelvinBereich. Die dabei zur Anwendung kommenden Methoden sowie die Untersuchung der
Zusammenhänge zwischen kritischer Temperatur, kritischem Widerstand und kritischer
Stromdichte sind das Ziel dieses Versuchs.
2
Theoretische Grundlagen
2.1
Verschwindender elektrischer Widerstand
Supraleiter haben wie eingangs erwähnt die Eigenschaft unterhalb einer bestimmten Temperatur Tc keinen elektrischen Widerstand mehr zu besitzen. Zum Verständnis dieses
Phänomens betrachten wir zunächst die Eigenschaften eines normalen Leiters. Der spezifische Widerstand eines solchen normalen Leiters genügt einer um einen Restwiderstand
ρ0 verschobenen T 5 -Abhängigkeit (siehe Abbildung 1(a)):
ρ(T ) = ρ0 + BT 5 .
Ein normaler Leiter weist also auch am absoluten Nullpunkt noch einen Restwiderstand
auf. Dieser rührt von der Streuung der Elektronen an Unreinheitem im Festkörper her;
die T 5 -Abhängigkeit liegt in der Streuung der Elektronen an Phononen begründet. Auch
ein Supraleiter genügt oberhalb der supraleitenden Phase dieser Beziehung. Allerdings
fällt sein spezifischer Widerstand wie in Abbildung 1(b) veranschaulicht bei T = Tc abrupt auf einen unmessbar kleinen Wert ab. Um dies zu verstehen, muß die sog. BCS-
ρ(T )
ρ(T )
ρ0
(H = 0)
Tc
T
(a) normalleitendes Metall
(b) Supraleiter (ohne Magnetfeld)
Abbildung 1: Abhängigkeit des spez. Widerstands ρ von der Temperatur T
2
T
Theorie herangezogen werden. Dieser Theorie zufolge führt bei einigen Festkörpern bei
tiefen Temperaturen die Bildung von Elektronen-Paaren (Cooper -Paaren) zu einer niedrigeren Gesamtenergie, ist also energetisch günstiger. Cooper -Paare entstehen durch die
Polarisation des Kristallgitters durch die Elekronenladung, wobei die attraktive Wechselwirkung des polarisierten Gitters mit den Elektronen die Coulomb-Abstoßung zwischen
den Elektronenladungen überwiegt.Cooper -Paare bestehen aus zwei Elektronen mit entgegengesetztem Spin und Impuls, zwei Elektronen bilden dadurch gemeinsam ein einziges
Teilchen mit Spin Null – also ein Boson. Bosonen haben quantenmechanisch die Eigenschaft, nicht dem Pauli-Prinzip genügen zu müssen, wodurch sich alle Cooper -Paare in
einem einzigen energetisch günstigeren Zustand befinden. In der supraleitenden Phase ist
die Energie, die nötig ist, ein Cooper -Paar zu trennen, größer als die durch Phononenstreuung übertragbare Energie. Um die Fermi-Energie herum entsteht so eine Energielücke der
Breite 2∆. Solange die durch Phononen übertragbare Energie kleiner als 2∆ ist, können die
Cooper -Paare nicht mit den Gitteratomen in Wechselwirkung treten (siehe [Kop93]). Die
Bewegung der Elektronen und damit der Stromfluß im Festkörper bleiben also verlustfrei;
der elektrische Widerstand ist somit verschwindend gering.
2.2
2.2.1
Magnetfeld im Supraleiter
Feldverdrängung
Aufgrund des in Abschnitt 2.1 erklärten verschwindenden Widerstands müßte sich ein
Supaleiter in einem Magnetfeld wie ein idealer Leiter (R = 0) verhalten. Wird ein idealer Leiter in ein äußeres Magnetfeld gebracht, so durchdringt das Magnetfeld den Leiter
und induziert so nach der Lenzschen Regel Kreisströme, die, da der Leiter widerstandsfrei ist, nicht abklingen und das Feld aus seinem Inneren verdrängen. Die Änderung des
Magnetfeldes verschwindet wegen
d ~
~ =0.
B∇ × E
(1)
dt
Wird also im nicht-idealleitenden Zustand ein Magnetfeld angelegt und der Leiter (durch
Kühlung) in den idealleitden Zustand mit ρ = 0 gebracht, so bleibt das Magnetfeld,
wie in Abbildung 2(a) auf der nächsten Seite veranschaulicht, wegen Gleichung 1 erhalten.
Letztgenanntes Verhalten zeigt ein Supraleiter allerdings nicht. Wie in Abbildung 2(b) auf
der nächsten Seite gezeigt, verdrängt er in der supraleitenden Phase selbst ein vor dem
Übergang in den supraleitenden Zustand angelegtes Magnetfeld völlig aus seinem Inneren.
Dieses Phänomen wird als Meißner-Ochsenfeld-Effekt bezeichnet. Er ist erklärbar durch
die London-Gleichungen
~ = 1 B
~ und ∆~j = 1 ~j
(2)
∆B
2
Λ
Λ2
wobei
r
m
Λ=
ns e2 µ0
die Londonsche Eindringtiefe bezeichnet. Aus der eindimensionalen Lösung von Gl. 2
~ = ρ · ~j = 0 ⇒
E
x
B(x) = H0 e− Λ
3
(a) Idealer Leiter (R = 0)
(b) Supraleiter
Abbildung 2: Magnetisches Verhalten eines idealen Leiters und eines Supraleiters
mit den äußeren Feld H0 ergibt sich, daß das Feld nur in eine dünne Schicht an der Oberfläche eindringen kann. Die in dieser Oberflächenschicht induzierten Ströme verdrängen
das äußere Magnetfeld, so daß das Innere des Supraleiters feldfrei bleibt.
2.2.2
Kritisches Feld
Die Verdrängung des Magnetfeldes aus dem Inneren kostet den Supraleiter Energie. Wenn
das angelegte Feld entsprechend hoch ist, ist es für den Supraleiter energetisch günstiger
in den normalleitenden Zustand überzugehen. Das äußere Feld, bei dem dies geschieht,
ist das kritische Feld Hc . Je nach dem, wie ein Supraleiter auf ein äußeres Feld reagiert,
unterscheidet man zwischen Supraleitern erster und zweiter Art. Bei der Unterscheidung
spielt die Wandenergie
1
EW ∝ √ ξ − Λ
(3)
2
wobei ξ die Kohärenzlänge ist, die die räumliche Ausdehnung eines Cooper -Paares beschreibt und Λ die Londonsche Eindringtiefe, die die Eindringtiefe des Magnetfeldes wiedergibt, eine wesentliche Rolle.
• Supraleiter 1. Art verdrängen unterhalb der kritischen Feldstärke Hc das Feld
komplett aus ihrem Inneren. Es gilt dann
~ = µ0 (H
~ +M
~)=0 .
B
4
oberhalb von Hc befindet sich der Supraleiter komplett im normalleitenden Zustand.
Die B-H-Kurve macht also wie in Abbildung 3(a) dargestellt bei Hc einen Sprung.
Bei einem Supraleiter 1. Art ist die Wandenergie (Gl. 3) positiv und somit der
Übergang in den normalleitenden Zustand ungünstig, sodaß ein angelegtes äußeres
Magnetfeld bis zur kritischen Feldstärke vollständig verdrängt wird.
• Supraleiter 2. Art besitzen zwei kritische Feldstärken Hc1 und Hc2 mit Hc1 < Hc2 .
Unterhalb von Hc1 bzw. oberhalb von Hc2 verhält sich ein Supraleiter 2. Art wie einer
1. Art, das Feld ist komplett aus seinem Inneren verdrängt bzw. er ist normalleitend. Zwischen Hc1 und Hc2 , der sog. Schubnikow -Phase, dringt der magnetische
Fluß partiell in den Supraleiter ein und bildet in ihm Flußschläuche innerhalb derer
die Supraleitung zusammenbricht. Dies geschieht bei einer negativen Wandenergie.
Außerhalb der Flußschläuche ist das Material weiterhin spuraleitend, weshalb Supraleiter 2. Art weitaus höhere äußere Felder vertragen.
Das kritische Feld Hc ist temperaturabhängig. Mit steigender Temperatur nimmt die kritische Feldstärke ab, da mit zunehmender Energie, die der Festkörper in Form von Gitterschwingungen (Phononen) inne hat, die Energie, die er auf die Verdrängung des äußeren
Feldes verwendet, sinkt. Abbildung 4 auf der nächsten Seite stellt das entsprechende Phasendiagramm dar.
2.2.3
Kritischer Strom
Die Supraleitung kann nicht nur durch ein von außen angelegtes kritisches Magnefeld zusammenbrechen, sondern auch durch ein von einem kritischen Strom Ic durch den Supraleiter erzeugtes. Ist das von dem Strom erzeugte Magnetfeld größer als Hc , wird geht der Supraleiter in den normalleitenden Zustand über. Da dabei die Ausdehnung des Festkörpers
natürlich eine Rolle spielt, ist die Größe, die dabei entscheidend ist, die Stromdichte j = AI .
Wir sehen also, daß Temperatur T , Magnetfeld H und Strom I in einer Phasenbeziehung
B
B
Hc
Hc1
H
(a) Supraleiter 1. Art
Hc2
(b) Supraleiter 2. Art
Abbildung 3: Magnetisierungskurven B(H)
5
H
H
Hc
normalleitend
Hc (T )
supraleitend
Tc
T
Abbildung 4: H-T -Phasendiagramm für den Übergang zwischen normalleitender und supraleitender Phase für einen Supraleiter 1. Art
Abbildung 5: Phasendiagramm: Kritische Grenzen des supraleitenden Zustands
zueinander stehen. Diese stellt Abbildung 5 anschaulich dar. Unterhalb der von Tc , Hc und
jc aufgespannten Phasenfläche ist der Festkörper supraleitend, darüber normalleitend.
3
3.1
Darstellung des Versuchs
Aufbau des Experiments
In diesem Versuch wollen wir anhand verschiedener Messungen die supraleitenden Eigenschaften von Niob untersuchen. Niob (Nb) ist ein Supraleiter 2. Art, bei dem allerdings
die kritischen Felder Hc1 = 0, 198 T und Hc2 = 0, 2 T [Kat99] so dicht beieinander liegen, daß wir nicht erwarten, diese differenziert messen zu können. Die Sprungtemperatur
von Niob wird in [Kat99] mit Tc = 9, 5 K angegeben. Um Messungen bei solch niedrigen
Temperaturen durchführen zu können, muß die Probe entsprechend abgekühlt werden. Zu
6
Abbildung 6: Schematischer Aufbau des Kyrostaten zur Erzeugung von tiefen Temperaturen
diesem Zweck steht uns in diesem Versuch ein Kyrostat zur Verfügung der mit flüssigem
Helium (Siedetemperatur von Helium: 4, 2 K) befüllt werden kann. Abbildung 6 zeigt den
schematischen Aufbau eines solchen Kyrostaten. Es handelt sich dabei um einen zylinderförmigen Container, dessen Außenwand aus einem Isolierbehältnis besteht. Innerhalb
befindet sich eine Kammer, in welche flüssiges Gas zur Kühlung gefüllt werden kann. In
die Mitte dieser Kammer kann der sich an einer langen Stange befindliche Probenhalter
eingeführt werden, so daß die Probe im unteren Teil des Kyrostaten thermisch gut an das
Kühlgas angebunden werden kann. Diese Anbindung wird durch eine Nadelventilkapilare ermöglicht, mithilfe derer sich der Probenraum entweder mit Flüssiggas durchströmen
oder füllen läßt. Die Steuerung des Ventils geschieht mittels eines an der Oberseite des Kyrostaten befindlichen Reglers. Umgeben ist die Probe mit einem in die Flüssiggaskammer
eingelassenen supraleitenden Magneten. Dieser kann bei einer Induktivität von L = 4, 26
H ein Maximalfeld von 8 T produzieren. An den Probenraum ist eine Vakuumpumpe und
ein Wärmetauscher angeschlossen. Somit ist die Regelung der Temperatur im Bereich von
ca. 1, 5 K bis Raumtemperatur möglich. Auf dem Probenhalter befinden sich neben der
Probe selbst eine Hall-Sonde zur Magnefeldmessung und zwei Thermometer. Bei der zu
untersuchenden Probe handelt es sich um einen Niob-Draht der Länge l = 9 cm und des
Durchmessers d = 0, 25 mm.
7
3.2
Messung
Alle zur Messung erforderlichen Geräte sind an einen Computer angeschlossen und können
mithilfe eines darauf eingerichteten Programms kontrolliert werden. Wie oben beschrieben ist der Widerstand bei tiefen Temperaturen sehr gering. Bei seiner Messung über
Strom und Spannung treten verfälschende Effekte, die durch den Widerstand RDraht des
Messdrahtes und den Widerstand RKontakt des Kontaktes des Messdrahtes mit dem Supraleiter entstehen, auf. Der gemessene Widerstand ist damit um RDraht + RKontakt zu
hoch. Um dennoch sinnvolle Messwerte erhalten zu können, wird die Messung im VierPunkt-Verfahren durchgeführt. Dabei werden Strom und Spannung getrennt voneinander, also mit vier statt nur zwei Kontakten, gemessen. Durch einen sehr großen Widerstand
im Spannungsmessgerät wird der Strom durch den Spannungsmessdraht möglichst klein
gehalten. Somit wird sichergestellt, daß der Widerstand relativ frei von unerwünschten
Nebeneffekten gemessen werden kann. Ein weiteres Problem, welches sich bei der Wiederstandsmessung ergibt, ist das Auftreten von Themospannung Utherm zwischen den
Enden des Probendrahtes. Thermospannung entsteht, wenn die beiden Enden des Drahtes eine unterschiedliche Temperatur haben. Bei den in diesem Experiment vorliegenden
niedrigen Spannungen würde diese in hohem Maße zur Verfälschung der Messergebnisse
beitragen. Da die Thermospannung unabhängig von der Richtung des Stroms ist, kann
sie durch Messung bei unterschiedlicher Stromrichtung aus den Daten herausgerechnet
werden. Durch Subtraktion von U1 = I · R + Utherm und U2 = −I · R + Utherm ergibt sich
der von thermischen Effekten befreite Widerstand zu
R=
U1 − U2
.
2I
Das Herausrechnen übernimmt in diesem Falle der Computer für uns, so daß uns am Ende
des Experiments die bereinigten Daten vorliegen.
4
4.1
Vorbereitende Fragen
Energie im Magnetsystem, Verdampfung von Helium
Schätzen Sie ab, wieviel Energie in dem vorliegendem Magnetsystem gespeichert werden
kann. Wieviel l Helium könnten durch einen Quench maximal verdampft werden und welche Gasmenge würde dabei entstehen?
Das Magnetsystem hat eine Induktivität von L = 4, 26 H. Bei einem maximalen Strom
von I = 93 A kann es also eine Energie von
E=
1 2
LI = 18, 422 kJ
2
speichern. Ein Quench entsteht, wenn ein Teil der Windungen des Magneten normalleitend
wird, so daß Energie in Form von Joulscher Wärme frei wird. Dadurch verdampft ein Teil
des Heliums und der normalleitende Bereich des Magneten vergrößert sich. Helium hat
8
eine Verdampungswärme von 22J/g. Insgesamt kann also eine Masse
E
= 837, 4 g
22J/g
m=
Helium verdampfen. Dies entspricht einem Volumen von
V =
4.2
837, 4 g
m
=
= 49, 7 l .
ρ
16, 84 gl
Kritischer Strom eines Zylindrischen Drahtes
Ein Strom von I A fließe in einem zylindrischen supraleitenden Draht vom Radius r cm.
Zeigen Sie, daß die Beziehung I = 5rHc gilt, wenn das Magnetfeld direkt außerhalb des
Drahtes Hc (in Gauss) beträgt. Berechnen Sie die kritische Feldstärke in A/m für einen
Draht (Durchmesser 1 mm), dessen kritischer Strom 100 A beträgt.
Aus dem Ampèreschen Gesetz
I
~ d~s = µ0 I
B
~
folgt für ein radialsymmetrisches Feld B
2πrB = µ0 I
Setzen wir
µ0 = 4 · 10−7 π
.
Tm
Gauß cm
= 4 · 10−1 π
A
A
ein, so erhalten wir
I = 5rB
.
Mit einem Draht mit Radius r = 0, 05 cm und einem Strom von I = 100 A ergibt sich das
B-Feld zu
I
B=
= 400 Gauß = 0, 04 T ,
5r
was einer Feldstärke von
B
1
A
H=
= · 105
µ0
π
m
entspricht.
4.3
Energielücke
Erläutern Sie anhand von Energiediagrammen, wie die I(U )-Kennlinie eines Metall-SupraleiterTunnelkontaktes (Abb. 7 auf der nächsten Seite) zustande kommt. Finden Sie einen einfachen Ausdruck für UGr
Wie in Abschnitt 2.1 erwähnt, besitzt ein Supraleiter eine Energielücke der Breite 2∆
in deren Mitte die Fermienergie EF liegt. Diese Lücke beschreibt eine ”verbotene” Zone
9
Abbildung 7: I(U )-Kennlinien eines Tunnelkontaktes (a) zwischen zwei Metallen, (b) zwischen einem Metall und einem Supraleiter
Abbildung 8: Energielücke beim Tunnelkontakt zwischen Normal- und Supraleiter.
10
für die Elektronen, d.h. daß es keine Elektronen mit einer Energie, die um weniger als ∆
von der Fermienergie abweicht, geben kann. Wird nun ein Normalleiter in Kontakt mit
dem Supraleiter gebracht, so können nur diejenigen Elektronen von dem einen in den anderen Leiter tunneln, die eine genügend große Energie haben, um in dem anderen Leiter
einen freien Zustand zu finden. Am Nullpunkt (T = 0 K) ist dies nicht möglich, da im
Normalleiter alle Zustände unterhalb der Fermienergie besetzt sind, im Supraleiter oberhalb der Fermienergie jedoch eine ∆ breite Energielücke klafft, in die hinein oder aus der
heraus keine Elektronen tunneln können. In Abbildung 8 auf der vorherigen Seite wird dies
in (a) veranschaulicht. Damit dennoch ein Tunnelstrom fließen kann, muß den Elektronen
eine Energie ∆ zugeführt werden. Dies kann beispielsweise durch Anlegen einer Spannung
UGr =
∆
e
geschehen (siehe Abbildung 8 (c) ). Bei Temperaturen T > 0 K verschmiert die Fermienergie und es reichen bereits kleinere Spannungen U < UGr aus, damit die Elektronen einen
”nicht-verbotenen” Zustand erreichen (siehe dazu Abbildung 8 (b) ) und so einen Tunnelstrom erzeugen können. [Buc94] Das Diagramm Abb. 7 auf der vorherigen Seite entsteht
also dadurch, dass Elektronen erst ab einer bestimmten angelegten Spannung, also Energie
die ihnen zugeführt wird, die Energielücke überwinden können. Für T → Tc nähert sich
die I-U -Kennlinie des Normal-/Supraleiter-Tunnelkontaktes immer mehr derjenigen von
zwei Normalleitern an, die keine Energielücke aufweisen.
4.4
Spezifische Wärme
Wie kann die spezifische Wärme eines supraleitenden Materials auch unterhalb der Sprungtemperatur im normalleitenden Zustand gemessen werden? Wie verhält sich die spezifische
Wärme eines Materials, dessen Zustandsdichte eine Lücke bei der Fermienergie hat aber
ansonsten konstant ist ?
Die spezifische Wärme ist in der Physik bei tiefen Temperaturen wichtig, um zu wissen, wie eine Probe auf Temperaturänderungen reagiert; ob sie lange braucht, um ihre
Temperatur zu verändern oder ob sie sensibel auf Temperaturänderungen reagiert. Sommerfeld hat durch Betrachtungen der Quantenstatistik und den Ausarbeitungen von Fermi
und Dirac folgenden Ausdruck für die spezifische Wärme formuliert:
Cv = AT + BT 3
.
Dabei gehen in den kubischen Term phononische Anregungen und in den linearen Term die
elektronischen Anregungen ein. Bei tiefen Temperaturen überwiegt der lineare Term. Eine
Auftragung von Cv /T über T 2 ergibt also eine Gerade, aus deren y-Achsen-Abschnitt
der Koeffizient der elektronischen Anregungen A ersichtlich ist. Für einen Supraleiter
unterhalb Tc ist diese Beziehung so nicht mehr gültig, wie in Abbildung 9 auf der nächsten
Seite zu sehen ist. Stattdessen ist die elektronische Anregung
− k ∆T
A∝e
11
B
Cv
T
Cv
+
=A
/T
BT
2
Supraleiter
A
Normalleiter
T2
Tc
Abbildung 9: Spezifische Wärmekapazität in Abhängigkeit der Temperatur bei einem Supraleiter
temperaturabhängig, was sich durch die Energielücke der Breite 2∆ des Supraleiters erklären läßt. Die Messung der spezifischen Wärme kann über Ultraschall erfolgen. Dabei
wird die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Ultraschallimpulsen in der Probe gemessen. Die
Geschwindigkeit hängt vom Schermodul, der Dichte und dem adiabatischen Kompressionsmodul der Probe ab, welches wiederum von der spezifischen Wärme abhängt.
4.5
Kritisches Feld dünner Filme
a) Wir betrachten eine supraleitende Metallplatte der Dicke δ. Senkrecht zur Metallplatte sei ein konstantes Feld B0 = µ0 H angelegt. Wir interessieren uns für das
Magnetfeld B(x) innerhalb der Metallplatte, die wir uns dazu mittig im Ursprung
denken. Mit der daraus resultieren Bedingung
δ
δ
B −
=B
= B0
2
2
suchen wir die Lösung der London-Gleichung
~ =
∆B
1 ~
B
Λ2
d2
1
B(x) = 2 B(x)
dx2
Λ
⇔
mithilfe des Ansatzes
x
x
B(x) = C (1) e Λ + C (2) e− Λ
.
Aus der Symmetrie folgt C (1) = C (2) =: C wobei sich C wegen
δ
δ
δ
B −
= C · e− 2Λ + e 2Λ = B0 = µ0 H
2
zu
µ0 H
C=
δ
2 cosh 2Λ
ergibt. Einsetzen in den Lösungsansatz führt schließlich auf
cosh Λx
,
B(x) = µ0 H
δ
cosh 2Λ
12
also das Feld innerhalb der Metallplatte.
b) Die effektive Magnetisierung M (x) der Platte ist gegeben durch B(x) = µ0 (H +
M (x)). Wir suchen M (x) für Λ2 ≫ δ2 . Setzen wir das Ergebnis aus a) ein und
benutzen die Taylorentwicklung des cosh
cosh ν = 1 +
so erhalten wir
ν2
+ O ν4
2
1
B(x) − H
µ0
!
cosh Λx
−1
=H
δ
cosh 2Λ
!
2
1 + 12 Λx 2
−1
≈H
δ2
1 + 12 4Λ
2
!
1 x2
1 δ2
2 Λ2 − 2 4Λ2
=H
δ2
1 + 12 4Λ
2
!
1
2
x − 14 δ2
2Λ2
=H
δ2
1 + 12 4Λ
2
2
2
Λ ≫δ
1
≈ H·
4x2 − δ2
2
8Λ
M (x) =
.
c) Wiederum unter der Annahme δ ≪ Λ betrachten wir nun die Energiedichte bei
T = 0. Es gilt
dus = T ds + µ0 HdH .
Bei T = 0 ist das Magnetfeld vollständig verdrängt, also
B = µ0 (H + M ) = 0 ⇒ H = −M
,
so daß gilt
dus = −µ0 M dH
.
Einsetzen des Ergenisses aus b) liefert
dus = µ0 H
1
(δ2 − 4x2 )dH
8Λ2
,
welches integriert
Z
0
H
dus =
Z
H
µ0 H
0
1
(δ2 − 4x2 )dH
8Λ2
1
(δ2 − 4x2 )
16Λ2
1
⇔ us (H) = us (0) + µ0 H 2
(δ2 − 4x2 )
16Λ2
einen Ausdruck für die Energiedichte ergibt.
⇔ us (H) − us (0) = µ0 H 2
13
d) Wir berechnen nun den über die Dicke der Metallplatte gemittelten Energiebeitrag:
1
< us (H) > =
δ
Z
+ 2δ
− δ2
us (H, x)dx
1
1
= µ0 H 2
δ
16Λ2
Z
+ δ2
− δ2
(δ2 − 4x2 )dx
δ
4 3 +2
1
2 1
2
δ x− x
= µ0 H
δ
16Λ2
3
−δ
2
1
1
δ δ
= µ0 H 2
δ2
+
−
2
δ
16Λ
2 2
1
δ
2 1
2 δ
= µ0 H
δ
+
−
δ
16Λ2
2 2
1
1
1
δ3 − δ3
= µ0 H 2
2
δ
16Λ
3
1
= µ0 H 2 δ 2
24Λ2
4 δ3
δ3
+
3 8
8
3
4 δ
δ3
+
3 8
8
e) Hat das äußere Magnetfeld gerade die kritische Stärke H = Hc , so ist us (Hc ) =
uN (Hc ) und mit dem Ergebnis aus d) folgt
Hc2
24
=
µ0
2
2
Λ
Λ
< uN (Hc ) > ∝
δ
δ
falls Λ ≫ δ. Dünne Filme vertragen also höhere Magnetfelder.
4.6
Legierungen
Überlegen Sie sich, warum Legierungen ausschließlich Supraleiter zweiter Art sind.
In Legierungen ist die mittlere freie Weglänge lf der Elektronen aufgrund von Störungen
im Gitteraufbau und Versetzungen in den Gitterstrukturen sehr gering. Weiterhin gilt
lf ∝ ξ 2
wobei ξ die in Abschnitt 2.2.2 beschriebene Kohärenzlänge ist. Für kleine ξ wird die
Wandenergie, die proportional zu √12 ξ−Λ ist, sehr schnell negativ. Woraus sich folgern läßt,
daß Legierungen ausschließlich Supraleiter 2. Art sind. Dies wird auch anschaulich deutlich,
da die in Legierungen vorhandenen Versetzungen und Störungen ein guter Angriffspunkt
für die sich in Supraleitern 2. Art bildenenden Flußschläuche sind.
14
Spezifischer
W
iderstand von Nb
-7
1,6x10
-7
1,4x10
-7
m]
1,2x10
-7
Spezifischer Widerstand
1,0x10
-8
8,0x10
-8
6,0x10
-8
4,0x10
-8
2,0x10
0
-8
-2,0x10
0
50
100
150
200
250
300
T emperatur T [K]
Abbildung 10: Verlauf des spezifischen Widerstands ρ gegen die Temperatur T zur Bestimmung der kritischen Temperatur Tc .
5
5.1
Auswertung
Bestimmung der kritischen Temperatur Tc
Um die kritische Temperatur Tc der Nb-Probe zu bestimmen, wird die Probe bei Raumtemperatur beginnend abgekühlt und dabei der Widerstand R gemessen. Da eine dauerhafte
Messung des Widerstandes den Draht zu sehr aufheizen würde, geschieht die Messung
punktuell, indem für kurze Zeit ein Strom von 20 mA durch den Draht geschickt wird.
Um die Sprungtemperatur herum ist es sinnvoll, besonders viele Messpunkte aufzunehmen, um diese genaust möglich bestimmen zu können. Durch die häufige Messung wird
aber der Draht immer wieder aufgeheizt, so daß mit steigender Anzahl von Messungen
auch die Messwerte fehlerbehafteter werden.
Aus den von der Messapparatur bestimmten Widerständen R läßt sich der spezifische Widerstand ρ von Nb berechnen. Die von uns verwendete Probe ist ein Draht der Länge l = 9
cm und des Durchmessers d = 0, 25 mm. Der spezifische Widerstand ergibt sich damit zu
π · d2
A
ρ =R =R·
l
l
2
=R·
625
π · 10−8 Ωm .
9
Abbildung 10 zeigt den Verlauf des spezifischen Widerstands ρ gegen die Temperatur
T . Man erkennt deutlich den Sprung des Widerstandes bei T ≈ 10 K. Um die kritische
∂ρ
Temperatur genauer bestimmen zu können, plotten wir in Abbildung 11 die Ableitung ∂T
und bestimmen ihr Maximum. Dieses liegt bei T = 9, 2 K. Allerdings läßt sich damit die
15
A
bleitung des spez.
W
iderstands nach T
-9
T = 10 K
4,0x10
-9
3,0x10
-9
d
dT
2,0x10
-9
1,0x10
0,0
-9
-1,0x10
0 10
50
100
150
200
250
300
Temperatur T [K]
Abbildung 11: Ableitung
Temperatur Tc .
∂ρ
∂T
gegen die Temperatur T zur Bestimmung der kritischen
kritische Temperatur Tc nur auf das Intervall [9, 2 K; 11, 0 K] eingrenzen, da uns zwischen
diesen beiden Werten keine Daten vorliegen.
5.2
Bestimmung der kritischen Feldkurve Bc (T )
Zur Bestimmung der kritischen Feldkurve Bc (T ) messen wir den Widerstand R der Probe
bei sechs verschiedenen Temperaturen zwischen 2, 5 K und 9, 1 K indem wir jeweils das
Magnetfeld B variieren. Dabei wird ein konstanter Strom von I = 20 mA verwendet. Aus
den daraus resultierenden Daten, dargestellt in Abbildung 12, ermitteln wir jeweils das
Magnetfeld Bc bei welchem der Widerstand von Null verschieden wird, für das also die
supraleitende Phase zusammenbricht. Da die Datenpunkte eine sehr weite Streuung aufweisen, ist die Bestmmung dieses Punktes durch Auffinden des Maximums der Ableitung
∂R
∂B nicht praktikabel. Aus diesem Grunde haben wir uns entschieden, diejenigen Punkte
Bsup und Bnorm in den Daten zu bestimmen, an denen die supraleitende Phase gerade noch
existiert bzw. die normalleitende Phase mit Bestimmtheit begonnen hat. Den Mittelwert
1
Bc = Bsup + (Bnorm − Bsup )
2
sehen wir dann als kritisches Feld Bc an, die Abweichung von den Punkten Bsup und Bnorm
als den Fehler. Tabelle 1 auf Seite 18 zeigt die so entstandenden Werte für Bc . Für T = 9, 1
K ist die Probe, wie in Abbildung 12(f) zu sehen, schon in die normalleitende Phase
übergegangen. Dieser Temperaturpunkt wird somit nicht in die Auswertung einbezogen.
In Abbildung 13 auf Seite 18 haben wir die sich aus den Widerstandskurven ergebenen
16
W
iderstand R(B) bei T
= 2,5 K
W
iderstand R(B) bei T
0,0007
= 3,8 K
0,0006
0,0006
0,0005
0,0005
0,0004
0,0003
0,0003
Wiederstand R
Wiederstand R
[
[
]
]
0,0004
0,0002
0,0001
0,0002
0,0001
0,0000
0,0000
-0,0001
-0,0002
-0,0001
0,0
0,5
1,0
M
1,5
l
agnetfe d B(T)
2,0
-0,2
iderstand R(B) bei T
0,2
0,4
0,6
M
(a) Widerstandskurve R(B) bei T = 2, 5 K
W
0,0
[T ]
0,8
1,0
1,2
l
agnetfe d B(T)
1,4
1,6
1,8
2,0
[T ]
(b) Widerstandskurve R(B) bei T = 3, 8 K
= 4,7 K
W
0,0006
iderstand R(B) bei T
= 6,3 K
0,0007
0,0006
0,0005
0,0005
Wiederstand R
Wiederstand R
[
[
]
]
0,0004
0,0003
0,0002
0,0004
0,0003
0,0002
0,0001
0,0001
0,0000
0,0000
0,0
0,2
0,4
M
0,6
l
agnetfe d B(T)
0,8
1,0
0,0
iderstand R(B) bei T
0,4
M
(c) Widerstandskurve R(B) bei T = 4, 7 K
W
0,2
[T ]
0,6
l
agnetfe d B(T)
0,8
1,0
[T ]
(d) Widerstandskurve R(B) bei T = 6, 3 K
W
= 8,2 K
iderstand R(B) bei T
= 9,1 K
0,0007
0,0006
0,0006
0,0005
]
[
0,0004
Wiederstand R
Wiederstand R
[
]
0,0005
0,0003
0,0004
0,0003
0,0002
0,0002
0,0001
0,0001
0,0000
0,0000
0,0
0,2
0,4
M
0,6
l
agnetfe d B(T)
0,8
1,0
0,0
0,2
0,4
M
[T ]
(e) Widerstandskurve R(B) bei T = 8, 2 K
0,6
l
agnetfe d B(T)
0,8
1,0
[T ]
(f) Widerstandskurve R(B) bei T = 9, 1 K
Abbildung 12: Widerstandskurven R(B) bei verschiedenen Temperaturen T
17
Temperatur T [K]
2,5
3,8
4,7
6,3
8,2
9,1
Bsup [T]
0,80
0,64
0,55
0,30
0,00
–
Bnorm [T]
0,94
0,77
0,65
0,40
0,15
–
Bc [T]
0,870
0,705
0,600
0,350
0,075
–
Fehler in Bc [T]
0,070
0,065
0,050
0,050
0,075
–
Tabelle 1: Tabelle kritischen B-Felder für verschiedene Temperaturen T
Abbildung 13: Kritische Feldkurve Bc (T )
18
kritischen Magnetfelder Bc gegen die Temperatur aufgetragen. Der Verlauf der kritischen
Feldstärke hat fast linearen Charakter und entspricht somit nicht den Erwartungen. Er
ist aber u.U. durch die großen Ungenauigkeiten bei der Bestimmung von Bc (T ) aus den
Widerstandsverläufen zu erklären.
5.3
Bestimmung der kritischen Stromdichte jc (T )
Im vorherigen Abschnitt 5.2 haben wir den durch die Probe fließenden Strom konstant
gelassen. In diesem Versuchsteil wollen wir den Strom variieren und so die kritische Stromdichte jc ermitteln, oberhalb derer die supraleitende Phase zusammenbricht. Wie auch die
kritische Feldstärke ist diese temperaturabhängig. Wir messen dazu wiederum für verschiedene Temperaturen T die Spannung U (I) und ermitteln mithilfe von
E=
U
l
das zugehörige elektrische Feld. Die Abbildungen 14(a) bis 14(f) auf der nächsten Seite
zeigen unsere Ergebnisse.
Aus dem Strom Ic , für den das elektrische Feld einen bestimmten Wert Ec übersteigt,
können wir nun mit
Ic
Ic
jc =
=
2
A
π · d2
die kritische Stromdichte bestimmen. Internationale Standards legen Ec = 30 µV
m fest, allerdings wäre dieser Wert bei unseren Messwerten wenig sinnvoll; wir haben uns deshalb
V
in diesem Versuch auf Ec = 2 · 10−3 m
festgelegt. Da der Strom bei dem Versuch schleifenförmig variiert wurde, d.h. bei 0 A beginnend erst ansteigend bis zu einen Wert Imax ,
dann abfallend bis zu einem Wert Imin = −Imax und anschließend wieder ansteigend bis zur
Null, liegen für jeden Wert des Stroms zwei Messwerte von E vor. Die Werte liegen nicht
anti-symmetrisch zu I = 0 A, weshalb wir uns bei der Auswertung der Daten nur auf den
positiven Ast beschränken. Grund hierfür könnte eine in der Probe vorherrschende und
durch die Software nicht herausgerechnete Thermospannung sein. Zudem unterscheiden
sich die Werte des E-Feldes beim Hoch- und Runterfahren des Stroms teils erheblich; wir
erkennen in Abb. 14(d) und 14(e) auf der nächsten Seite Hysteresen, was in der Erwärmung
des Drahtes durch den ständigen Stromfluß begründet liegt. Dementsprechend verwenden
wir zur Bestimmung der kritischen Stromdichtekurve in Abbildung 15 auf Seite 21 auch
nicht die eingestellten Temperaturen, sondern die zum Zeitpunkt der Messung von Ic
vorherrschenden. Wo es möglich war, haben wir pro Kurve die Ic -Werte von zwei verschiedenen Temperaturen ausgewertet. Die Ergebnisse fasst Tabelle 2 auf Seite 21 zusammen.
Die so gewonnenen Daten erlauben die Darstellung der Kritischen Stromdichte jc (T ) in
Abbildung 15 auf Seite 21. Wie zu erwarten gewesen, nimmt die kritische Stromdichte mit
steigender Temperatur ab.
19
Elektrisches Feld E in Abhängigkeit des Stroms
0,0022
bei ~ 2,5
Elektrisches Feld E in Abhängigkeit des Stroms
K
bei ~ 3,8
0,0020
K
0,006
0,0018
0,004
[V/m]
[V/m]
0,0016
Elektrisches Feld E
Elektrisches Feld E
0,0014
0,0012
0,0010
0,0008
0,0006
0,002
0,000
-0,002
0,0004
0,0002
-0,004
0,0000
-0,10
-0,05
0,00
0,05
0,10
-0,10
-0,05
Strom I [A]
(a) E(I)-Werte bei anfänglich T = 2, 5 K
bei ~ 4,7
0,05
0,10
(b) E(I)-Werte bei anfänglich T = 3, 8 K
Elektrisches Feld E in Abhängigkeit des Stroms
0,012
0,00
Strom I [A]
Elektrisches Feld E in Abhängigkeit des Stroms
K
bei ~ 6,3
0,04
K
0,010
0,03
0,008
[V/m]
0,004
Elektrisches Feld E
Elektrisches Feld E
[V/m]
0,006
0,002
0,000
-0,002
-0,004
0,02
0,01
0,00
-0,01
-0,006
-0,02
-0,008
-0,10
-0,05
0,00
0,05
0,10
-0,10
-0,05
Strom I [A]
(c) E(I)-Werte bei anfänglich T = 4, 7 K
bei ~ 8,2
0,10
Elektrisches Feld E in Abhängigkeit des Stroms
K
bei ~ 9,2
0,04
0,03
0,02
0,02
[V/m]
0,03
Elektrisches Feld E
[V/m]
Elektrisches Feld E
0,05
(d) E(I)-Werte bei anfänglich T = 6, 3 K
Elektrisches Feld E in Abhängigkeit des Stroms
0,04
0,00
Strom I [A]
0,01
0,00
-0,01
-0,02
K
0,01
0,00
-0,01
-0,02
-0,03
-0,03
-0,10
-0,05
0,00
0,05
0,10
-0,10
Strom I [A]
-0,05
0,00
0,05
0,10
Strom I [A]
(e) E(I)-Werte bei anfänglich T = 8, 2 K
(f) E(I)-Werte bei anfänglich T = 9, 2 K
Abbildung 14: Elektrisches Feld E(I) bei verschiedenen Temperaturen T
20
Anfangstemperatur
T [K]
2, 5
3, 8
4, 7
6, 3
8, 2
9, 2
Gemessene
Temperatur
T [K]
2, 5
4, 0
4, 7
6, 4
8, 2
9, 2
Hinrichtung
Krit.
Krit.
Strom Stromdichte
Ic [A]
jc [A/m2 ]
0, 075 1, 52789 · 106
0, 068 1, 38528 · 106
0, 062 1, 26305 · 106
0, 058 1, 18157 · 106
0, 040 0, 81487 · 106
0, 009 0, 18334 · 106
Rückrichtung
Gemessene
Krit.
Krit.
Temperatur Strom Stromdichte
T [K] Ic [A]
jc [A/m2 ]
−−
−−
−−
4, 6 0, 070 1, 42603 · 106
5, 4 0, 068 1, 38528 · 106
6, 9 0, 059 1, 20194 · 106
8, 7 0, 024 0, 48892 · 106
9, 5 0, 004 0, 08149 · 106
Tabelle 2: Aus den E-I-Diagrammen bestimmte Werte für den kritischen Strom Ic (T ) und
die kritische Stromdichte jc (T )
K
ritische Stromdichte j
c
in Abhängigkeit der Temperatur T
6
1,6x10
6
H
2
Kritische Stromdichte jc [A / m ]
1,4x10
inrichtung
ckrichtung
Rü
6
1,2x10
6
1,0x10
5
8,0x10
5
6,0x10
5
4,0x10
5
2,0x10
0,0
2
3
4
5
6
7
8
9
Temperatur T [K]
Abbildung 15: Kritische Stromdichte jc (T )
21
10
5.4
Zusammenfassung der Ergebnisse
Im großen und ganzen decken sich die bei diesem Versuch ermittelten Daten mit den
theoretisch zu erwartenden. Den Literaturwert für die kritische Temperatur Tc konnten
wir zwar nicht explizit bestätigen, allerdings liegt er in dem von uns bestimmten Intervall.
Für alle anderen Werte liegen uns keine Literaturangaben vor, allerdings stimmen sowohl
die kritische Stromdichte als auch die kritische Feldstärke in ihrem Verlauf zumindest grob
mit den sich aus der Theorie ergebenen Werten überein. Gerne hätten wir natürlich ein
Phasendiagramm wie in Abbildung 5 auf Seite 6 aufgenommen, was aber aufgrund der
zeitlichen Begrenzung des Versuchs nicht zu realisieren gewesen wäre.
22
Literatur
[Buc94] Buckel, W.: Supraleitung. Weinheim : VCH, 1994
[Kat99] Kathke, Michael: Supraleitung - Eine Einführung. Aachen, 1999
[Kop93] Kopitzki, K.: Einführung in die Festkörperphysik. 3. Auflage. Teubner, 1993
23