Synthese von Bertrand und Cournot

Synthese von Bertrand und Cournot
Modell beruht auf Kreps und Scheinkman (1983); Ausgangspunkt
sei der Bertrand-Preiswettbewerb mit Kapazitätsbeschränkungen
(Kapitel D)
betrachte den Fall zweier identischer Firmen, zur Vereinfachung
ohne Kosten, und beide mit Kap.beschr. xiKap = x̃i
die Kap.-beschr. kann von Firma i gewählt werden in einer ersten
Stufe, aber höchstens so, dass
a
3b
das entspricht genau der Cournot-Gleichgewichtsmenge mit c = 0,
xiC ; jede Firma wählt in Periode 1 eine Kapazität, und in Periode 2
den Preis wie im Bertrand-Wettbewerb
x̃i ≤
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Motivation
Firmen können Preise und Mengen wählen
Preise können eher kurzfristig variiert werden, Mengen
(Kapazitäten) längerfristiger
Mengen können kurzfristig nach unten angepaßt werden, aber
nicht (oder: schwerer) erweitert
Anm.: die kurzfristige Kapazitätsverringerung verändert im hier
präsentierten einfachen Modell nicht die Kosten, im Widerspruch
zur Firmentheorie, bei der die Stückkosten steigen wenn die
Outputwahl von der langfristig geplanten Menge abweicht
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Rationierungsregel
es gelte folgende (symmetrische) Rationierungsregel
(effiziente/parallele Rationierung):

 min{x˜1 , D(p1 )},
1)
1)
z1 (x̃1 , x̃2 , p1 , p2 ) =
min{x˜1 , D(p
+ max{0, D(p
− x̃2 }},
2
2

min{x˜1 , max{0, D(p1 ) − z2 (·)p2 <p1 }},
p1 < p2
p1 = p2
p1 > p2
I
erste Zeile: Firma 1 verkauft so viel sie kann
I
die Marktnachfrage wird halbiert; außer (i) die Kapazität ist
nicht groß genug, oder (ii) die Kapazität vom anderen ist
nicht groß genug, sodass dieser Rest vom anderen
übernommen werden kann
I
die letzte Zeile entspricht der Residualnachfrage“ vom ersten
”
Fall
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Rationierungsregel
graphisches Beispiel:
aus der R. folgt: die Nachfragekurve rechts von x̃1 ist die
Residualnachfrage für Firma 2
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Gleichgewicht
Fall 1: sei x̃1 = x1C , x̃2 = x2C : Preis der die Mengen räumt ist für
beide optimal; Alternativen:
I Verringerung des Preises würde bedeuten: verkaufe gleich viel
(Kapazitätsbeschränkung), aber mit weniger Gewinn
I Erhöhung des Preises: nicht profitabel wegen Monopollösung
über die Residualnachfrage (s. Abb.)
I Angebotsmengenverringerung würde den Profit senken (wissen
wir vom einfachen Cournotmodell)
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Gleichgewicht
Fall 2: sei x̃1 < x1C , der Preis markträumend;
I
Verringerung des Preises würde bedeuten: verkaufe gleich viel,
aber mit weniger Gewinn
I
Erhöhung des Preises: Verschlechterung wegen Monopol über
Residualn. (U1 würde weniger als x̃1 verkaufen)
I
Angebotsmengenverringerung würde den Profit senken (wissen
wir vom einfachen Cournotmodell)
I
aber: eine Erhöhung von x̃1 würde sich lohnen, denn vom
einfachen Cournotm. wissen wir, dass der neue
markträumende Preis zu höheren Gewinnen führt, bis zur
Grenze x1C
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Gleichgewicht
Fall 3: gleiche Argumentation gilt für alle (x̃1 , x̃2 ) 6= (x1C , x2C ):
Abweichungen vom markträumenden Preis sind unrentabel nach
unten (wegen Gewinnentgang) und nach oben (wegen
Monopolentscheidung über Residualnachfrage); geringere Mengen
führen immer zu dem Anreiz, mehr zu produzieren
(=Kapazitätserhöhung auf Stufe 1) und den markträumenden
Preis zuzulassen (wegen Cournotmodell)
GGW des zweistufigen Modells: (x1C , x2C , p C , p C )
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Verallgemeinerung von Kreps-Scheinkman
für den Fall wo für mindestens eine Firma gilt, dass x̃i > xiC , haben
wir schon gesehen, dass das BNG unstabil ist
allerdings läßt sich eine Gleichgewicht in gemischten Strategien“
”
finden (d. h. die Firmen wenden eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
über ihre Preisstrategien an)
dieses GGW führt ebenfalls nur zu einem erwarteten Gewinn von
ΠCi
das Cournotergebnis bleibt damit ein GGW für die Kapazitätswahl
der ersten Stufe, auch wenn die Kapazitätsmöglichkten
unbeschränkt sind (s. Basu, Kap. 11)
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