Kinematik und Stoßprozesse

PW2 Grundlagen Vertiefung
Kinematik und Stoÿprozesse
Version 2007-09-03
Inhaltsverzeichnis
1 Vertiefende Grundlagen zu den Experimenten mit dem Luftkissentisch
1.1 Begrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Beschreibung eindimensionaler (linearer) Bewegungen . . . . . . . . . . . .
1.3 Bewegung in 3 Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
1
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Vertiefung PS1
1 Vertiefende Grundlagen zu den Experimenten mit dem Luftkissentisch
1 Vertiefende Grundlagen zu den Experimenten mit
dem Luftkissentisch
1.1 Begrie
Bahnkurve (Trajektorie); x/t-, v/t- und a/t-Diagramme; gleichförmige (kräftefreie) Bewegung, starrer Körper, Winkelgeschwindigkeit, Drehimpuls, gleichförmig beschleunigte
Bewegung, Newtonsche Axiome, abgeschlossenes System, Schwerpunktsatz, Impulserhaltung, elastischer und inelastischer Stoÿ, kinetische Energie
1.2 Beschreibung eindimensionaler (linearer) Bewegungen
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit verlaufe die Bewegung in x-Richtung
Durchschnittsgeschwindigkeit
Durchschnittsgeschwindigkeit =
v̄ =
W egelement
Zeitintervall
x(t2 ) − x(t1 )
x(t1 + ∆t) − x(t1 )
∆x
x2 − x1
=
=
=
t2 − t1
t2 − t1
t1 + ∆t − t1
∆t
Formelzeichen
Einheit
Bezeichnung
v̄
x 1 , x2
x(t)
t1 , t2
∆x
∆t
m/s
m
m
s
m
s
Durchschnittsgeschwindigkeit (in x-Richtung)
Ort zur Zeit t1 bzw. t2
Funktion des Ortes in Abhängigkeit von der Zeit
Anfangs- und Endzeitpunkt des Zeitintervalls
zurückgelegtes Wegelement
Zeitintervall
(1)
Die Durchschnittsgeschwindigkeit kann für jede Art der Bewegung berechnet werden, egal
ob sich die momentane Geschwindigkeit während des betrachteten Zeitraumes ändert oder
nicht. Am Beispiel von Abb.1 ist das Ablesen der Durchschnittsgeschwindigkeit aus dem
Weg/Zeit-Diagramm nachvollziehbar. Die Durchschnittsgeschwindigkeit v̄ entspricht dem
Anstieg der Sekante.
Momentangeschwindigkeit
Im Grenzfall eines unendlich kleinen Zeitintervalls wird aus der Sekante aus Abb. 1 die
Tangente der Kurve. Die Steigung der Tangente der x/t-Kurve zur Zeit t1 ist die Geschwindigkeit des Objekts zur Zeit t1 .
-
1-
Vertiefung PS1
1 Vertiefende Grundlagen zu den Experimenten mit dem Luftkissentisch
Abbildung 1:
Ermitteln der Durchschnittsgeschwindigkeit aus dem x/t-Diagramm
v(t) = lim
∆t→0
dx(t)
x(t + ∆t) − x(t)
∆x
= lim
=
= ẋ(t)
∆t→0 ∆t
(t + ∆t) − t
dt
Formelzeichen
Einheit
Bezeichnung
v(t)
x(t)
∆x
∆t
ẋ(t)
m/s
m
m
s
m/s
Momentangeschwindigkeit zur Zeit t
Funktion des Ortes in Abhängigkeit von der Zeit
zurückgelegtes Wegelement
Zeitintervall
Ableitung der Wegfunktion nach der Zeit
(2)
Am Beispiel von Abb.2 ist das Ablesen der Momentangeschwindigkeit aus dem Weg/ZeitDiagramm am Ort x1 zu Zeitpunkt t1 nachvollziehbar.
-
2-
Vertiefung PS1
1 Vertiefende Grundlagen zu den Experimenten mit dem Luftkissentisch
Abbildung 2:
Ermitteln der Momentangeschwindigkeit aus dem x/t-Diagramm
Mittlere Beschleunigung
mittlere Beschleunigung = Geschwindigkeitsänderung
Zeitintervall
ā =
Formelzeichen
ā
x 1 , x2
v 1 , v2
t1 , t2
∆vx
∆t
Einheit
m/s
2
m
m/s
s
m/s
s
v2 − v1
∆v
=
t2 − t1
∆t
(3)
Bezeichnung
Durchschnittsbeschleunigung (in x-Richtung)
Ort zur Zeit t1 bzw. t2
Geschwindigkeit zur Zeit t1 bzw. t2
Anfangs- und Endzeitpunkt des Zeitintervalls
Geschwindigkeitsänderung
Zeitintervall
Momentanbeschleunigung
a(t) = lim
∆t→0
∆vx
dv(t)
d2 x
=
= v̇(t) = 2 = ẍ(t)
∆t
dt
dt
-
3-
(4)
Vertiefung PS1
1 Vertiefende Grundlagen zu den Experimenten mit dem Luftkissentisch
Formelzeichen
ax (t)
vx (t)
∆vx
∆t
v̇(t)
ẋ(t)
Einheit
m/s
2
m/s
m/s
s
m/s2
m/s
Bezeichnung
Momentanbeschleunigung zur Zeit t
Momentangeschwindigkeit zur Zeit t
Geschwindigkeitsänderung
Zeitintervall
Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit
Ableitung der Wegfuntion nach der Zeit
Am Beispiel von Abb.3 ist das Ablesen der Momentanbeschleunigung aus dem Geschwindigkeit/ZeitDiagramm zum Zeitpunkt t1 nachvollziehbar.
Abbildung 3:
Ermitteln der Momentanbeschleunigung aus dem v/t-Diagramm
Geschwindigkeit = Integral der Beschleunigung über die Zeit
Z
t
v(t) = v(t0 ) +
(5)
a(t)dt
t0
Weg = Integral der Geschwindigkeit über die Zeit
Z
t
x(t) = x(t0 ) +
(6)
v(t)dt
t0
Aus den Gleichungen 5 und 6 folgt für die gleichförmig beschleunigte
a(t) = a = const und den Anfangsbedingungen v(0) = v0 und x(0) = x0
v(t) = a · t + v0
a
x(t) = t2 + v0 t + x0
2
-
4-
Bewegung
mit
(7)
(8)
Vertiefung PS1
1 Vertiefende Grundlagen zu den Experimenten mit dem Luftkissentisch
Abbildung 4:
Bewegungsdiagramme einer eindimensionalen gleichmäÿig beschleunigten
Bewegung
Gemäÿ Newton's Grundgleichung der Mechanik (Gleichung 9) kommt es immer dann zu
einer gleichmäÿig beschleunigten Bewegung, wenn eine konstante äuÿere Kraft auf einen
Massenpunkt oder im Schwerpunkt eines ausgedehnten Körper bzw. Systems von Massen
wirkt, wie etwa die Gewichtskraft im Schwerefeld der Erde. Abb. 4 zeigt die Bewegungsdiagramme einer eindimensionalen gleichmäÿig beschleunigten Bewegung in Abhängigkeit
von der Zeit.
F~ = m · ~a
Formelzeichen
Einheit
F~
m
~a
N
Bezeichnung
wirkende Kraft
Masse
resultierende Beschleunigung
kg
m/s2
-
5-
(9)
Vertiefung PS1
1 Vertiefende Grundlagen zu den Experimenten mit dem Luftkissentisch
1.3 Bewegung in 3 Dimensionen
Abbildung 5:
Beschreibung einer 3-dimensionalen Bewegung mit Vektoren
Die Bewegung eines Massenpunktes in 3 Dimensionen beschreibt man unter Verwendung
des kartesischen Koordinatensystems mit Hilfe des Ortsvektors ~r(t), wie in Abb. 5 ersichtlich. Dieser hat drei Komponenten: x(t), y(t), z(t).


x(t)
~r(t) =  y(t) 
z(t)
(10)
Mittlere Geschwindigkeit einer dreidimensionalen Bewegung
Die mittlere Geschwindigkeit ~v̄ einer mehrdimensionalen Bewegung im Zeitintervall ∆t
wird beschrieben durch (vgl. Abb. 6):

~v̄ =
~r(t2 ) − ~r(t1 )
∆~r 
=
=
t2 − t1
∆t
-
6-
∆x
∆t
∆y
∆t
∆z
∆t


(11)
Vertiefung PS1
1 Vertiefende Grundlagen zu den Experimenten mit dem Luftkissentisch
Ermittlung der mittleren Geschwindigkeit bei einer 3-dimensionalen Bewegung mit Vektoren
Abbildung 6:
Momentangeschwindigkeit einer dreidimensionalen Bewegung
Die Momentangschwindigkeit eines Massenpunktes entlang einer Bahnkurve wird auch
Bahngeschwindigkeit genannt. Sie ergibt sich durch den Grenzübergang ∆t → 0:


ẋ(t)
d~r 
∆~r
ẏ(t) 
=
=
~v (t) = lim
∆t→0 ∆t
dt
ż(t)
(12)
Der Vektor der Momentangeschwindigkeit weist immer in Richtung der Tangente im jeweiligen Punkt ~r(t) der Bahnkurve.
Ermittlung der Momentangeschwindigkeit bei einer 3-dimensionalen Bewegung mit Vektoren
Abbildung 7:
-
7-
Vertiefung PS1
1 Vertiefende Grundlagen zu den Experimenten mit dem Luftkissentisch
Beispiel einer mehrdimensionalen Bewegung: Die gleichförmige Kreisbewegung
Die gleichförmige Kreisbewegung (Rotation) ist ein Spezialfall der mehrdimensionalen Bewegung. Die Bahnkurve ist ein Kreis. Der Betrag des Bahngeschwindigkeitvektors |~v (t)|
ist konstant, seine Richtung jedoch zeitabhängig. Die Bewegung auf einer Kreisbahn ist
daher eine beschleunigte Bewegung. ~v (t) liegt tangential an die Kreisbahn und normal auf
den Ortsvektor ~r(t) bzw. ~r⊥ (t) siehe Abb. 8
Abbildung 8:
Bahngeschwindigkeit bei Rotation
Bei der gleichförmigen Kreisbewegung eines ausgedehnten starren Körpers ist der Betrag
der Bahngeschwindigkeit v(t) eines Massenelements abhängig von dessen Abstand r⊥ von
der Drehachse. Der von den Radiusvektoren in der Zeit ∆t überstrichenene Winkel ∆ϕ ist
für alle Massenelemente konstant. Der Grenzwert heiÿt Winkelgeschwindigkeit ω (Einheit
rad/s).
Winkelgeschwindigkeit
W inkelgeschwindigkeit =
Drehwinkelelement
Zeitintervall
ω = lim
∆t→0
∆ϕ
dϕ
=
= ϕ̇
∆t
dt
(13)
Der Vektor der Winkelgeschwindigkeit ω
~ beschreibt zusätzlich die Richtung der Drehachse
sowie den Drehsinn der Rotation. Zusammenhang mit der Bahngeschwindigkeit:
v = ω · r⊥
~v =
d~r
=ω
~ × ~r
dt
(14)
Günstigerweise wählt man das Koordinatensystem so, dass die Kreisbahn in der x-y-Ebene
liegt. ω
~ weist dann in z-Richtung. Mit Hilfe ebener Polarkoordinaten lassen Ortsvektor und
Bahngeschwindigkeitsvektor wie folgt berechnen:
-
8-
Vertiefung PS1
1 Vertiefende Grundlagen zu den Experimenten mit dem Luftkissentisch
Abbildung 9:
Kreisbewegung in der Ebene
Ortsvektor

 

x(t)
r cos(ω t)
~r(t) =  y(t)  =  r sin(ω t) 
z(t)
0
(15)
Bahngeschwindigkeit
Bahngeschwindigkeit = W inkelgeschwindigkeit × Ortsvektor
~v =
d~r
=ω
~ × ~r
dt
   
 

ẋ(t)
0
r cos(ω t)
−rω sin(ω t)
~v =  ẏ(t)  =  0  ×  r sin(ω t)  =  rω cos(ω t) 
ż(t)
ω
0
0
(16)

(17)
Die Anwendung des Vektorprodukts ist für die Auswertungen der Experimente mit dem
Luftkissentisch von Bedeutung.
Beachten Sie die Zusatzinformation zur Vektorrechnung auf der eLearning
Seite des Anfängerpraktikums.
-
9-
Vertiefung PS1
1 Vertiefende Grundlagen zu den Experimenten mit dem Luftkissentisch
: Gleitreibung tritt bei Bewegungen auf, wenn ein (starrer) Körper auf der
Berührungsäche gleitet. Die Gleitreibungskraft ist materialspezisch und von der Gröÿe
der Oberäche unabhängig. Sie ist der Geschwindigkeit des Körpers entgegengerichtet und
ihr Betrag ist proportional zur Normalkraft (Kraft, die der Körper auf die Oberäche
ausübt und vice versa).
FGR = µG · FN
(18)
Gleitreibung
Formelzeichen
Einheit
FGR
µG
FN
N
Bezeichnung
Gleitreibungskraft
Gleitreibungskoezient
Normalkraft
1
N
Der Proportionalitätsfaktor µG heiÿt Gleitreibungskoezient oder Gleitreibungszahl und
ist materialabhängig. Er kann Tabellen diverser Nachschlagewerke entnommen werden.
Die Abb. 10 zeigt eine grasche Aufbereitung von Gleitreibung und Haftreibung. Erstere
existiert nur bei Bewegung relativ zum Untergrund und Haftreibung (besser Haftung ) nur
wenn der Körper ruht.
Abbildung 10:
Haftung und Gleitreibung
-
10 -