Lösung 1

Physik III
Übung 1 - Lösungshinweise
Stefan Reutter
Moritz Kütt
Franz Fujara
WiSe 2012
Stand: 16.11.2012
Aufgabe 1 [P] ermanentmagnete (Diskussion)
Benötigt man, um ein Magnetfeld zu erhalten, immer einen elektrischen Strom? Wie sieht es
mit Permanentmagneten aus?
Lösung:
Nein. Erstens kann man, sogar in der klassischen Physik, zeitabhängige Felder haben, die sich
selbst erhalten: elektromagnetische Wellen.
Zweitens sind da noch die Permanentmagnete. Hier gibt es Phänomene, durch die es für die
Elektronenspins aus quantenmechanischen Gründen günstiger ist, in paralleler Ausrichtung
vorzuliegen. Ströme gibt es dabei eigentlich nicht, wobei man allerdings die Bewegung der
Elektronen in ihrer Schale oder im gesamten Metall als eine Art Strom bezeichnen könnte.
Aufgabe 2 [P] Diskussion: Unterschiedliche Felder!?
Diskutiert Unterschiede und Gemeinsamkeiten von magnetischen und elektrischen Feldern!
Lösung:
Untenstehende Liste ist a) sicherlich nicht vollständig und b) ist das mit Unterschieden und
Gemeinsamkeiten natürlich nicht ganz so einfach, da elektrische und magnetische Effekte sich
bekanntermaßen gegenseitig bedingen.
Gemeinsamkeiten:
- wirken beide auf geladene Objekte
- quadratische Abstandsabhängigkeit
- 4π
Unterschiede
- E auf alle geladenen Objekte, B nur auf bewegte
- E einfach abschirmbar (Leiterkäfig), bei B sehr schwierig
- B quellenfreies Wirbelfeld, Rotation eines Vektorfeldes
- E ist Gradient eines Skalarfeldes
1
Aufgabe 3 [P] Diskussion: Das Magnetfeld der Erde
Sicherlich allen bekannt: Die Erde hat ein Magnetfeld. Beschreibt kurz wichtige Eigenschaften.
Welche Effekte gibt es, wenn die Erde plötzlich kein Magnetfeld mehr hätte?
Lösung:
Zunächst zum Erdmagnetfeld: Am Äquator hat es eine Stärke von etwa 3.1 × 10−5 T, es ist
also sehr schwach. Es wird vermutlich durch die Bewegung von flüssigem/zähem Eisen im Erdinneren verursacht (nicht durch eine permanentmagnetische Erdkruste). Die beiden Pole des
Erddipols sind nicht identisch mit den geographischen Nord- und Südpolen, kommen diesen
aber nahe und verändern sich nur langsam. In der Nähe des geographischen Nordpols findet
man einen physikalischen Magnet-Südpol!, der z.B. den magnetischen Nordpol von Kompassnadeln anzieht. Die Achse des Dipols geht außerdem nicht durch den Erdmittelpunkt.
Was wäre bei einer Erde ohne Magnetfeld? Das Magnetfeld schirmt die Erde gegenüber dem
Sonnenwind und anderen geladenen hochenergetischen Teilchen aus dem Weltall relativ gut
ab. Die Lebewesen (auch wir) werden also vor diesen Teilchen gut geschützt, dies macht möglicherweise das Leben erst möglich. Weiterhin gibt es wohl Tiere, die sich am Erdmagnetfeld
orientieren, zumindest kann dieses ihre Orientierung beeinflussen. Ohne Feld gäbe es hier vielleicht tierisches Verkehrschaos. Heute spielt das Magnetfeld zwar eher untergeordnete Rolle in
der Navigation - wäre es aber ausgefallen, als Kolumbus auf See war, könnte man spekulieren
was mit der Entdeckung Amerikas passiert wäre.
Aufgabe 4 [P] Lange Leitung
x0
φ
Durch einen Leiter der Länge L fließt ein Strom
der Stärke I. Bestimmt das Magnetfeld für einen
beliebigen Punkt P der zum Leiter einen Abstand
x 0 hat, und zu einem Leiterende den Abstand y0 .
Der Leiter selbst kann dabei als unendlich dünn
angenommen werden.
P
L
y0
Hinweise: Substituiere so, dass das Integral über
einen Winkel geht.
cos (arctan (x)) = p
1
1 + x2
Lösung:
Nach Biot-Savart gilt folgendes:
~=
dB
µ0 I
4πr 3
d~l × ~r
2
In unserem Fall können wir die x-Achse entlang des Leiters legen, und mit dem eingezeichneten
Winkel ergibt sich
d~l ×
~r
= dl sin φ~ez ,
r
wobei φ auch von l abhängt. Das ganze steht senkrecht zur Ebene, die von Leiter und Punkt
aufgespannt wird. Nun substitutiert man dl.
l=
y0
tan φ
y0
dl
=−
dφ
sin2 φ
y0
dφ
dl = −
sin2 φ
Weiterhin nutzt man
r=
y0
sin φ
Eingesetzt ergibt sich
~=
B
Z
=−
=−
µ0 I
4πr 3
Z
µ0 I
d~l × ~r
4π
µ0 I
sin φ
sin2 φ
y0
y02
sin2 φ
~ez
Z
sin φdφ~ez
4π y0
µ0 I
=
(cos φ2 − cos φ1 )~ez
4π y0
Die Grenzen für die Integration über φ sind folgende:
φ1 = arctan
y0
x0
φ2 =π − arctan
y0
L − x0
Damit ist die z-Komponente des B-Feldes (andere sind 0)
µ0 I
y0
y0
Bz =
(cos π − arctan
− cos arctan
)=
4π y0
L − x0
x0
µ0 I
1
1
(− Ç
)
=
−Ç
4π y0
y02
y02
1 + x2
1+
2
(L−x 0 )
0
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Aufgabe 5 [H] Energie, Energie, Dipol, Dipol, Magnet, Magnet
Ein Magnetischer Dipol mit dem Dipolmoment µ
~ = (0, 0, m)> befindet sich in einem homogenen
~ = (0, 0, B)> . Er ist entlang des Magnetfeldes ausgerichtet.
Magnetfeld B
a) Welche Energie ist nötig, um den Dipol senkrecht zum Feld auszurichten?
b) Welche Energie ist nötig, um den Dipol entgegengesetzt zum Feld auszurichten?
Lösung:
~ =~
~
M
µ×B
E=
Zφ2
~ |dφ
|M
φ1
=
Zφ2
~ | sin φdφ
|~
µ||B
φ1
φ
= − mB cos φ φ2
1
a)
φ1 =0
π
φ2 =
2
E = mB
b)
φ1 =0
φ2 =π
E = 2mB
Aufgabe 6 [H] Zyklotron
In einem Zyklotron zur Beschleunigung von Protonen, das einen Radius von 0.7 m habe, herrsche ein Magnetfeld von 1.4 T.
a) Berechne die Zyklotronfrequenz
b) Welche maximale kinetische Energie haben die Protonen beim Austritt aus dem Beschleuniger?
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c) Wie ändern sich die Ergebnisse, wenn statt Protonen Deuteriumkerne (mit gleicher Ladung
aber doppelter Masse) verwendet werden?
Lösung:
a) Es gilt
m
v2
ω=
r
v
r
= qv B
=
f =
qB
m
qB
2πm
≈ 21 MHz
b) Die Energie ist durch den maximalen Radius der Kreisbahn gegeben
v=
qBr
m
2
m 2
qBr
E= v =
≈ 7 × 10−12 J ≈ 45 MeV
2
2m
c) Sie werden jeweils halb so groß
Aufgabe 7 [H] Geschwindigkeitsfilter
Ein Protonenstrahl bewege sich auf der x-Achse in positiver Richtung. Er passiere unabgelenkt
mit einer Geschwindigkeit von 12.5 km/s einen Bereich gekreuzter magnetischer und elektrischer Felder (Geschwindigkeitsfilter).
a) Das Magnetfeld habe den Betrag 0.8 T und verlaufe in positiver y-Richtung. Welche Stärke
und Richtung muss dann das elektrische Feld haben?
b) Würden Elektronen, die sich mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen, in derselben Feldanordnung abgelenkt? Wenn ja, in welche Richtung?
Lösung:
a) Die Summe der elektrischen und magnetischen Kraft muss gerade null sein. Nach Kreuzprodukt zeigt die magnetische Kraft in positive z-Richtung, die elektrische Kraft zeigt also in
negative z-Richtung. Für die Beträge muss gelten
qv B = qE
E = v B = 104 V/m
~ = −104 V/m ~ez
E
b) Nein, alle Kräfte hängen nur von der Ladung aber nicht von der Masse ab. Sie drehen sich
deshalb einfach nur um und addieren sich immer noch zu 0. Anders wird es erst, wenn der
Betrag der Ladung oder aber die Geschwindigkeit der Ladungsträger sich ändert.
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Aufgabe 8 [H] Flugstab
Ein starrer, gerader, waagerecht angebrachter Metalldraht der Länge 1m und der Masse 100 g
sei an seinen Enden durch elektrische Kontakte unterstützt, kann sich jedoch frei nach oben
bewegen. Ein homogenes, horizontales Magnetfeld von 0.5 T stehe senkrecht auf dem Draht.
Jetzt werde ein Schalter geschlossen, der die Kontakte mit einer Spannungsquelle verbindet.
Der Draht schnellt nun bis zur maximalen Höhe h nach oben. In der kurzen Zeitspanne, in der
die Spannungsquelle mit dem Draht verbunden ist, gelange die Ladungsmenge 2 C in den Draht.
Bestimmen Sie die Höhe h.
Lösung:
Man kann das als eine Art Kraftstoß betrachten. Während ein Strom fließt, ist die Kraft auf den
Leiter gleich
F = I lB
Dadurch wird auf den Stab ein Impuls übertragen
∆p = F ∆t = I lB∆t
= mv
Während dieser Zeit wird eine Ladung
Q = I∆t = 2 C
übertragen. Damit ist
v=
lBQ
m
Nun muss man nur noch potentielle und kinetische Energie gleichsetzen, um auf die Höhe zu
kommen
h=
=
v2
2g
l 2 B 2Q 2
2m2 g
≈ 5m
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