Optik - 1. Teil :

(1)
Optik - 1. Teil :
Licht : Elektromagnetische Welle ↔ Teilchen
Wellencharakter : Frequenzbereiche, Energietransport
Teilchencharaker : Photonen, Lichtimpuls, Strahlungsdruck, Gravitations-WW.
Wechselwirkung von Licht und Materie
Grundsätzliche Prozesse
Ausbreitung in Medien - Fermatsches Prinzip, Huygensches Prinzip
Reflexion + Brechung - Brechungsindex n
Klassisches Modell des Brechungsindex : Real- und Imaginärteil
Plasmafrequenz
Totalreflexion und ihre technische Nutzung - Lichtwellenleiter
Geometrie, Akzeptanzwinkel, Einkopplung
Wellenlängenbereiche, Dämpfung
Modendispersion + Wellenlängendispersion - Datentransferraten
Ausbreitungsmoden
Lichtwellenleitertypen
Multiplexen
2.Teil : Laser
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( 3.Teil : Polarisation, .... )
(2)
Struktur der physikalischen Optik
Quelle: Hering, Martin, Stohrer
Physikalische Optik
Quantenelektrodynamik
Klassische Optik
Quanten-Optik
Welleneigenschaften
Teilcheneigenschaften
Geometrische Optik
Wellenoptik
Dualismus
Lichtquanten
Objekte >> Wellenlänge
Objekte≈ Wellenlänge
Welle
Emission + Absorption
↑↓
Streuung
Teilchen
Spektrallinien
Lichtstrahlen
Reflexion + Brechung
Elektromagnetische
Transversalwellen
Interferenz + Beugung
Polarisation
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(3)
Optik
Licht = Elektromagnetische Welle ⇒ Optik Teil der Elektrodynamik
Mechanik →
Quantenmechanik
Elektrodynamik →
Quantenelektrodynamik
Zwei Aspekte
Newton 1642-1726
↔ Huygens 1629-1695
Lichtenergie durch Teilchen = Photonen transportiert → Ballistisches Verhalten, Schatten
Lichtenergie durch Wellen transportiert → Interferenz, Beugung, Polarisation
⇒ Quantenmechanik → Beide Sichten in Welle / Teilchen-Dualismus
Teilchenaspekt
Photon = elementares Lichtteilchen
m0 = 0 kg
c0 = 3 ·108 m/s
Spin s = h/2π
Lichtquanten : Energiepaket E = h·f
h = Planck'sches Wirkungsquantum = 6,6262·10-34 Js
f = Frequenz der Lichtwellen [Hz]
⇒ Verweist auf Welle / Teilchen-Dualismus
Wellenaspekt
λ = Wellenlänge
k = 2π / λ = Wellenzahl
ω = 2π f = Kreisfrequenz
c =λ⋅ f
E(t,x), B(t,x) : Elektrische / Magnetische Feld-Amplitude
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Einstein (1905): Quantisierung des Strahlungsfeldes = Licht =
diskreter Photonenstrom mit E = h·f ⇒ Nur in diskreten EQuanten wird Licht (Energie des Strahlungsfelds) von Materie
absorbiert + emittiert. Nachweis einzelner Photonen mit
Photomultiplier (Sekundärelektronenvervielfacher)
Optik : Licht = Transversale Elektromagnetische Welle
Abstrahlung des
elektromagnetischen Feldes
von einem Dipol (Antenne)
c0 =
(4)
1
ε 0 ⋅ μ0
James Clark Maxwell (1831-1879) :
"Light is an electomagnetic disturbance in the
form of waves...."
Experimenteller Nachweiss 1888 durch
Heinrich Hertz (1857 -1894)
c =λ⋅ f
Dipolabstrahlung:
Elektrischer Feldanteil
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Dipolabstrahlung:
Magnetischer Feldanteil
(5)
Abstrahlverhalten Hertz'scher Dipol
z
-q
l0
U ≈ ( t ) ∝ sin(ω ⋅ t )
+q
→
I∝
RichtungsAbstandsZeitCharakteristik
→
p(t ) =
Zeitlich variierendes elektrisches Dipolmoment
p(t) durch Verschiebung positiver und negativer
Ladungs-Schwerpunkte gegeneinander
Toruscharakteristik :
Keine Abstrahlung in Richtung der
Ladungsträgerbewegung
Ausgedrückt durch sin(ϑ)-Term
Leistungsabnahme mit 1/r2
Abstrahlung e.mag. Wellen durch
beschleunigte Ladungen
Realisationen :
1. Dipol-Antenne
2. Schwingende Atome / Moleküle (!!)
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Optik : Licht = Transversale Elektromagnetische Welle
© H.Neuendorf
(8)
Optik : Licht = Transversale Elektromagnetische Welle
© H.Neuendorf
(9)
Energietransport durch e.m. Wellen :
E
Poynting-Vektor S
(10)
y
Transversale Welle, bewegt sich in k-Richtung
Quelle
Bewegungsrichtung = Richtung Energietransport
k
B
Relevante Vektoren stehen senkrecht aufeinander :
→
z
S
x
Definition Poyntingvektor S :
Richtung = Ausbreitungsrichtung der e.m. Welle
Betrag
= Intensität der e.m. Welle
I=
Intensität mechanischer Wellen :
Intensität [W/m2] =
Energiefluss / (Zeit · Fläche)
E.m. Wellen :
→
S=
→
| S |=
E ( t , x ) = E ⋅ cos (ωt − kx )
2
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2
0
2
Zeitliche Mittelung über harmonisch
oszillierendes E-Feld liefert Faktor ½
(11)
Licht = Photon = Teilchen : Gravitationswechselwirkung
Ruhemasse Photon m0 = 0 kg - Aber : Photon bewegt sich immer mit c !
Effektive Masse des Photons :
Lichtstrahl-Krümmumg beim
Passieren massereicher Sterne
Ankopplung ans Gravitationsfeld mit effektiver Masse ⇒ Gravitation-Rot-Verschiebung
m
Photon läuft gegen Gravitation ⇒ leistet Arbeit gegen Gravitationskraft
Entfernen von R bis r → ∞ :
dr
∞
∞
R
R
W = ΔE p = ∫ | FG | ⋅dr = ∫ γ
FG(r)
mM
dr =
2
r
Arbeit aus Photonenenergie aufzubringen ⇒ Frequenzabnahme Δ f :
ΔE = h ⋅ Δf =
M
Abstand Sender vom
Gravitationszentrum = R
Abstand Empfänger vom
Gravitationszentrum ≈ ∞
R
M
Empfänger in größerer Entfernung von Gravitationszentrum registriert Licht niedrigerer Frequenz von
Sendern tiefer im Gravittaionsfeld
Frequenz als Zeitgeber verwendbar ⇒ Aus Empfänger-Sicht gehen Uhren tiefer im Gravitationsfeld
langsamer : Gravitation macht Uhren langsamer - lässt die Zeit langsamer vergehen !
Die zeitliche Krümmumg der Raumzeit ist dieser Zeitverlangsamungs-Effekt !
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S: fR
E: f∞
Licht = Photon = Teilchen : Der Lichtimpuls - Strahlungsdruck
E
y
Quelle
v
q
B
→
→
→
FL = q ⋅ v × B
z
x
E
B=
c
Licht treibt Ladungen q in Material durch Coulombkraft
q·E auf und ab mit Geschwindigkeit v parallel zu
Feldvektor E
Magnetfeld B stets rechtwinklig zu E und v ⇒
Lorentzkraft FL auf bewegte Ladung durch B
Wirkt stets in Richtung der Lichtausbreitung ⇒
Zusätzlich zu Oszillation mit E wirkt auf Ladungen eine
treibende Kraft in Richtung des Lichtstrahls :
Strahlungsdruck
Im zeitlichen Mittel :
___
F = q ⋅v ⋅ B = q ⋅v ⋅
___
⇒
F
=
A
(12)
E
=
c
Licht kann auf Absorber / Reflektoren Druck ausüben!
ps =
Bedeutet Impulsübertrag in Ausbreitungsrichtung
Licht = e.m. Welle = Photon transportiert nicht nur Energie,
sondern hat auch Impuls ⇒
Licht hat nicht nur Wellen- sondern auch Teilcheneigenschaften!
Druck-Wirkung des Sonnenlichts = Photonenstrom :
1. Ausrichtung Kometenschweife weg von der Sonne
2. Formung der Ionosphäre
3. Stabilität von Sternen gegen Gravitationskollaps – teilweise durch Strahlungsdruck der Photonen
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Licht in Materie
Licht im Vakuum
Licht in Materie
c0 = 3 ·108 m/s
c = c0 / n
Keine Absorption
Absorptionskoeffizient α ⇒
n = Brechungsindex
(13)
Anisotropie u.a.
optischer Eigenschaften
in kristallinen Stoffen :
Nachbar-Abstände
hängen von
Kristallrichtung ab.
Intensitätsabfall :
Klassifikation Material :
Dielektrika + Isolatoren
Metalle
Salze, Gläser, Kunststoffe
Freie Ladungsträger = Elektronengas ⇒
Niedrige Absorptionskoeffizienten
Große Absorptionskoeffizienten aufgrund
Ladungsverschiebung bei Transmission
Verschiedenste Brechungsindices
Lichtquellen-Typen
Nicht-Laser
Maser / Laser (1956 / 1960)
Thermisch : Polychromatisch, räumlich
inkohärent (Glühbirne)
Continuous Wave (CW) : Monochromatisch, kohärent (HeNe, Ar, Laserdiode)
Gasentladung : Monochromatisch, räumlich
inkohärent (Na-Dampf-Lampe)
Gepulst: Quasi-monochromatisch, kohärent
Leuchtdioden (LED) : Monochromatisch,
räumlich inkohärent
Thermische Strahler : Atomere Bausteine der Lichtquelle strahlen statistisch verteilt in alle Raumrichtungen, keine
Korrelation zwischen einzelnen Emissionsakten, breites statistisch bestimmtes Frequenzspektrum (Schwarzkörperstrahler),
völlig zufällige relative Phasenlagen zwischen einzelnen emmitierten Wellen.
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(14)
WW Licht - Materie : Polarisation
→
Elektrisches Wechselfeld regt Ladungen zu Schwingungen an
Unterschiedliche Polarisationseffekte ⇒ Unterschiedliche Frequenzbereiche
Analog Masse an Feder ⇒
ω ∝ Kopplungsstärke
ω∝ 1/m
Effekte :
1. Raumpolarisierbarkeit
zB Metalle
Freie Ladungsträger im Festkörper kollektiv
verschoben gegen positive Metallkationen
Oszillation mit Plasmafrequenz
2. Dipolorientierung
+ + +
+ + +
zB Wasser
Ausrichtung permanenter Dipole bipolarer
Substanzen im äußeren Feld Mikrowelle !
3. Ionenverschiebung
k
ω=
m
Trägheitsmoment Molekül
Eher träge Ausrichtung im
Feld bestimmt niedrige
Anregungsfrequenz
ω dp
Stärkere Kopplung
durch Ionenbindung
Ionenmassen >>
Elektronenmasse
4. Deformation atomarer Elektronenhüllen
Materialien mit kovalenter Bindung, Gase, Gläser
Starke Kopplung
gebundener Elektronen
an Atom
Polarisation bei nichtpolaren Materialien via
Verschiebung Elektronenhülle durch Feld
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Prop.konstante α :
Polarisierbarkeit
ωp
Elastische Verschiebung Anionen gegen Kationen
im Kristallgitter
ωp ≈ IR - Optisch
P =α ⋅E
Schwache Kopplung da
freies Elektronengas
Plasmafrequenz abhängig
von freier Elektronendichte
zB NaCl, KF, LF
ω dp
UHF MW
→
ω ion
IR
ω el
Optisch UV
ω ion
ω el
Atomare Elektronen-Anregung
1. …………………..
Optisch / UV
von Photonen
2-NiveauSystem
Wechselwirkung mit Strahlungsfeld =Photonen
Energie
h·f
(16)
E2
h·f
Elektronische Anregung auf höheres Niveau (1→ 2)
Photon passender Energie "geschluckt"
E1
Photonenzahl um 1 vermindert
2. ……………………………… von Photonen
Elektron kehrt in Grundzustand zurück (2→ 1)
Energie
Keine Wechselwirkung mit Strahlungsfeld (auch im "Dunkeln")
Energiedifferenz als Photon abgestrahlt
Abstrahlung statistisch unkorreliert in alle Richtungen
E2
h·f
h·f
Photonenzahl um 1 erhöht
3. ……………………………….von Photonen
Laser !!
E1
Nur durch Wechselwirkung mit Photonen passender Energie
Elektron kehrt in Grundzustand zurück (2→ 1)
Energie
Energiedifferenz als Photon abgestrahlt
Korrelierte Abstrahlung : Gleiche Richtung, Frequenz, Phase
wie induzierendes Photon !
Photonenzahl um 1 erhöht
ΔE el = E ph =
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Statistische Berechnung :
Einstein 1905
E2
h·f
h·f
E1
h·f
(17)
Licht in Materie : Absorption + Induzierte Emission
Lichtintensität = Energiefluss des Strahlungsfeldes nimmt
durch Absorption längs Lichtweg ab
ΔE el = E Ph = h ⋅ f
E
N2
Abschwächung proportional Schichtdicke dx und lokaler
Intensität ⇒ Lambert-Beer-Gesetz
⇒
I f ( x) =
N1
Frequenzabhängiger Absorptionskoeffizient αf durch
Variation der Schichtdicke experimentell bestimmbar
I=
Absorptionskoeffizient αf ist proportional zur
Teichendichte N der Absorber-Atome im Medium
α f = N ⋅σ f
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⋅ [σ f ] ⇒
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
E Ph
A⋅t
E1
⎡W ⎤
⎢⎣ m 2 ⎥⎦
[σ ] = [ ]
f
Proportionalitätskonstante σ ist eine Fläche = mittlerer, effektiver,
frequenzabhängiger (!) Wirkungsquerschnitt eines Teilchens
(Atoms) für Absorption eines Photons der Frequenz f
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E2
Optischer Wirkungsquerschnitt
kann Größenordnungen größer
sein als geometrischer Wirkungsquerschnitt
(18)
Licht in Materie : Absorption + Induzierte Emission
a) Alle N Teilchen im Grundzustand 1
ΔE el = E Ph = h ⋅ f
⇒
Reine Absorption + Intensitätsschwächung
E
N2
b) Alle N Teilchen im angeregten Zustand 2 ⇒
E2
Umkehrprozess der Absorption wirksam =
Induzierte Emission + Intensitätsverstärkung durch
Photonen-Erzeugung
N1
E1
I f ( x) =
Wirkungsquerschnitte σ für Absorption und induzierte
Emission (Umkehrprozess!) sind identisch (Einstein)
c) Allgemein : Verteilung der Teilchenzahldichten auf Niveaus
Teilchen im Zustand 1 absorbieren Photonen
Teilchen im Zustand 2 emittieren induziert Photonen
I f ( x) =
⇓
Ob oberes oder unteres Niveau stärker besetzt ist bestimmt, ob Photonenstrom exp. zu- oder abnimmt :
N1 > N2 : Absorption überwiegt → normale thermische Gleichgewichts-Verhältnisse
N2 > N1 : Induzierte Emission überwiegt → Inversion duch Energiezufuhr = Pumpprozess
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Verhältnisse im Laser !!
Wellenausbreitung (Lichtweg) in optisch inhomogenen Medien
Wellenfronten
(19)
Im räumlich homogenen Medium mit konstantem
Brechungsindex breitet sich Licht geradlinig aus
Nicht der Fall, wenn Medium inhomogen ist und der
Brechungsindex räumlich variiert
P
⇒
n(r)
Strahlen
Reflexionsgesetz, Brechungsgesetz
Ortsabhängiger Brechungsindex :
Optisch inhomogene aber isotrope Medien
Q
Strahlen ⊥ Wellenfronten
Brechungsindex hängt vom Ort ab, nicht aber von
Richtung oder Polarisation ⇒
Gekrümmte Lichtstrahlen, wenn Brechungsindex
stetig als Funktion des Ortes variiert :
n =
Wellensystem geht von Quelle Q aus, durch Wellenfronten
und dazu senkrechte Strahlen dargestellt
Laufzeit T von Q nach P entlang Strahl durch Brechungsindex-Werte längs Weg bestimmt
Wellenfront = Orte, die von Welle gleichzeitig erreicht werden
Für jeden Punkt auf Wellenfront hat T denselben Wert
Wellenfront bestimmt durch:
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⇒
⇒
(20)
Fermatsches Prinzip der Lichtausbreitung (17. Jhdt)
Licht nimmt in Medium mit variierendem Brechungsindex zeitlich schnellsten Weg
Extremalprinzip :
Wahl Weg L mit minimalem Linienintegral
n( r )
L
Pfad mit den kleinsten Brechungsindices ⇒
Möglichst große Ausbreitungsgeschwindigkeit ⇒
Minimierung der Laufzeit = "Weg kürzester Zeit" ⇒
Optischer Weg :
n ·L
Aus Fermatschen Prinzip folgen geometrisch
Reflxionsgesetz + Brechungsgesetz
(Übung)
Wenn Brechungsindex im Medium
konstant, dann ist schnellster Weg =
geometrisch kürzester Weg, sonst nicht !
c0
n
(
r
)
dl
=
∫L
∫L c(r ) dl =
Verteilung der einfallenden Lichtintensität :
Transmission Reflexion
Erklärt Zustandekommen
von Luftspiegelungen
(Fata Morgana etc.)
© H.Neuendorf
Absorption
c =λ⋅ f
Wellen-Optik : Licht als elektromagnetische Welle
Sichtbares Licht: 380 nm - 760 nm
5·10
14
IR Rot Orange
Hz
700
Gelb Grün
600
Blau
500
Violett
400
(21)
UV
[nm]
1. Geometrische Optik = Strahlenoptik
- Hindernisse + Öffnungen (Blenden, Linsen) wesentlich größer als Wellenlänge des Lichts
- Licht punktförmiger Quellen erzeugt scharfe Schatten
- Beugungseffekte vernachlässigbar ⇒ Auflösungsgrenze nicht erreicht
⇒ Lichtausbreitung mit geradlinigen geometrischer Lichtstrahlen darstellbar
Seitliche Ausdehnung der Lichtbündel vernachlässigbar
λ << Abmessung optische Elemente
⇒ Einfache geometr. Bildkonstruktion durch typische Strahlverläufe
λ << Ausdehnung Strahlenbündel
⇒ Wellennatur des Lichts spielt keine Rolle
⇒ Vernachlässigung der endlichen Licht-Wellenlänge
Empfindlichkeit
menschliches Auge :
Grün
2. Wellenoptik → Wellennatur des Lichts bemerkbar :
Tagsehen ____
Nachtsehen ----Zäpfchen = Farbe
Hindernisse + Öffnungen haben Größenordnung λ-Licht
Stäbchen = SW
Typische Effekte: Interferenz Beugung Polarisation
⇒ Idealisierung des Lichtstrahls versagt
400
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500
600
700 λ [nm]
Wellen-Optik : Grenzen der geometrischen Optik
© H.Neuendorf
(22)
(23)
Brechung von Wellen : Änderung des Trägermediums
Brechung : Gebiete unterschiedlicher Ausbreitungsgeschwindigkeiten c, c'
a) Veränderung der Ausbreitungsgeschwindigkeit bei Änderung des Trägermediums
Frequenz f ist durch Wellenerreger bestimmt ⇒ ändert sich nicht
f =
c
λ
=
Bsp : Wasserwellen
werden in flachem
Wasser langsamer
λ c
λ ' c'
λ c
b) Wellenfront läuft schräg gegen Gebietsgrenze
Ändert beim Durchgang ihre Laufrichtung ("Abkicken")
Beim Übergang ins Medium mit der kleineren Ausbreitungsgeschwindigkeit wird Welle zum Lot hin gebrochen
© H.Neuendorf
sin Θ1 =
l1
=
x1
sin Θ 2 =
l2
=
x2
(24)
Brechung
Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht im Vakuum
c0 = 2,99792458·108 m/s ≈ 3 ·108 m/s
In allen Stoffen ist Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner als im Vakuum
Definition Brechungsindex n und Formulierung Brechungsgesetz :
n :=
cVakuum
≥ 1 n = n( f , λ )
c Medium
c1 sin(Θ1 )
=
=
c 2 sin(Θ 2 )
(λ = 589 nm)
Vakuum
1
Luft
1,0003 ≈ 1
LiF
1,3917
NaCl
1,5443
Diamant
2,4173 (!)
Wasser
1,333
Quarzglas 1,4589
© H.Neuendorf
Numerische Apertur des
Strahls bleibt konstant
⇒
Bei Übergang ins optisch dichtere Medium
wird der Strahl zum Einfallslot hin gebrochen
Index n
⇒
f , ω = const
Je kleiner die Lichtgeschwindigkeit in
einem Medium desto
größer sein Brechungsindex n. Medium heißt
optisch dichter als ein
anderes wenn seine
Brechzahl größer ist
(Gesetz von Snellius 1620)
Umrechnung Wellengrößen
auf Verhältnisse im Medium
mit Brechungsindex n :
Verkürzung Wellenlänge im Medium
mit höherem Brechungsindex n
Orientierungen E und B bei Reflexion + Transmission
Regel : Transversale em. Welle
In Wellen-Ausbreitungsrichung schauen =
Richtung k-Vektor
E-Vektor senkrecht zu k-Vektor
E-Vektor um 90° in Uhrzeigerrichtung
drehen = Richtung B-Vektor
B=
E k
= ⋅E
c ω
→
1
B=
ω
→
Vektoren bliden
ein Rechtsystem
(25)
⎛ → →⎞ →
⎜ E ⊥ B⎟ ⊥ k
⎝
→ ⎠
k
→
⋅ k× E
→
B
Symbole :
→
B-Feld zeigt aus Ebene heraus
E
B-Feld zeigt in Ebene hinein
→
ke
Be
Reflexion am optisch
dünneren Medium:
→
Kein Phasensprung von Er
→
kr
ke
Phasensprung von Br
Ee
Br
Reflexion am optisch
dichteren Medium:
Phasensprung von Er
Bt
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→
kt
kr
Kein Phasensprung von Br
Er
Be
Ee
Er
Br
ne <
nt
ne >
nt
Et
→
Bt
Et
→
kt
→
Elektrisches Feld E ist konservativ :
(26)
Senkrechter Einfall ⇒
Stetigkeit E- Feld an Grenzflächen
∫E
→
ds = 0
Nur tangentiale E-Komponenten
parallel zu Grenzfläche
Integrationsweg umschliesst die
Grenzfläche
E-Felder beiderseits der Grenzfläche :
E e ( x, t ) ± E r ( x, t ) =
Berechnung der Zirkulation :
→ →
∫E
E t ( x, t ) =
ds = 0 = ?
1
Betrachtung Zeit t = 0s an
Grenzfläche x = 0m liefert
Stetigkeitsbedingung für
Amplituden :
4
kr
ke
Er
Ee
ne > nt
Reflexion am optisch dünneren Medium
⇒ Kein Phasensprung
Fall :
nt
Et
→
kt
© H.Neuendorf
3
⇒ E r parallel zu Ee
x = 0m
x
Fall :
2
Et
Δs
→
→
ne
Er
Ee
ne < nt
Reflexion am optisch dichteren Medium
⇒ π - Phasensprung
⇒ E r anti-parallel zu Ee
(28)
Brechung : Mediendurchgang
Aufteilung einfallende Strahlungsintensität I0 auf drei Anteile : IR IT IA
Reflexionsgrad R
Transmissionsgrad T
R=
T=
A=
Völlig durchlässige Medien :
A=0 ⇒
R+T =1
Hochwertige Spiegel R ≈ 0,99
Absorptionsgrad A
Energieerhalt
Spezialfall der Fresnelschen Formeln
für beliebige Einfallswinkel
→
Senkrechter Licht-Einfall auf nicht-absorbierendes Medium (Fall 1) :
Bestimmung Reflexionsgrad aus Stetigkeitsbedingungen
Fall 2 liefert gleiches
Resultat für Intensität –
negative Vorzeichen
heben sich beim
Quadrieren weg …
⇒
R = r2 =
⇒ T = 1− R =
ne
ke
→
→
kt
kr
Messung des
Reflexionsgrads
gegenüber Vakuum /
Luft mit ne= 1 liefert
Brechnungsindex
des Materials !
Übung : Ausdruck für R bei
komplexem Brechungsindex n
⇒ Berücksichtigung Absorption
© H.Neuendorf
nt
(36)
Mikroskopisches klassisches Modell des Brechungsindex n
Medium = an Atome gebundene Elektronen = harmonische Oszillatoren
→
Lichtwelle = oszillierendes e.m. Feld Eext → dringt in Medium ein:
→
E ext (t ) = E 0 ⋅ e i ⋅ω ⋅t
⇒ Regt Elektronen im Medium zu harmonischen Oszillationen an
⇒ Oszillierende Elektronen = Dipol-Sendeantennen
⇒ Emittieren selbst e.m. Wellen Eind
→
→
→
E eff = E ext + E ind
⇒ Lichtwelle im Medium = Überlagerung aller Feldanteile :
⇒ Ausdruck für n :
Mediengrenze
n=
N = Ladungsträgerdichte im Medium
q =
el. Elementarladung
ω0 =
Resonanzfrequenz des an Atom gebundenen Elektrons
ω =
Frequenz der eindringenden Licht-Strahlung
© H.Neuendorf
me = Elektronenmasse
Mikroskopisches klassisches Modell des Brechungsindex n
(37)
N = Ladungsträgerdichte im Medium
q =
el. Elementarladung
me = Elektronenmasse
ω0 =
Resonanzfrequenz des gebundenen Elektrons
ω =
Frequenz der eindringenden Licht-Strahlung
Diskussion der Frequenzabhängigkeit n(ω) :
1. Gase, Isolatoren : El.anregungsfrequenz ω0 im UV >> Frequenz ω sichtbaren Lichts
⇒ Brechnungsindex n praktisch konstant
⇒ n≈
variiert nur schwach mit Lichtfrequenz
2. Exakter : Mit Frequenz ω nimmt n zu
⇒ Kurzwelliges blaues Licht stärker gebrochen als langwelliges rotes Licht → Prisma!
3. Resonanzeffekt: : ω → ω0
Starke Zunahme von n in gewissen Frequenzbereichen
4. Brechungsindices < 1 möglich :
ω > ω0
Bereich anormaler Dispersion ⇒ Phasengeschwindigkeiten > c
5. Transparenz bei hohen Frequenzen :
ω >> ω0
Für hochfrequentes Licht werden Substanzen völlig transparent n → 1
© H.Neuendorf
(38)
Klassisches n- Modell
Verbesserung der Theorie :
1. Viele Arten von Oszillatoren / Atomsorten / elektronischen Energiezuständen
mit jeweils eigener Resonanzfrequenz ωj
n = nR + i ⋅ nI =
2. Berücksichtigung von Dämpfung = Absorption
⇒ Komplexer Brechungsindex
Im allgemeinen Fall ist n eine komplexe Zahl !
Realteil
= "konventionelller" Brechungsindex
Imaginärteil = Absorptionsverhalten
Nj
q2
= 1+
⋅∑
2ε 0 ⋅ m e j ω 2 − ω 2 + i c ω
j
me
nR
Diskussion Frequenzabhängigkeit n(ω) :
6. Lichtabsorption :
ω → ω0
Brechungsindex durch Imaginärterm bestimmt ⇒
Lichtabsorption dominiert
Nj
q2
n ≈= 1 +
⋅∑
2ε 0 ⋅ m e j i c ω
me
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1
0
ω1
ω2
ω
Klassisches n- Modell
Zerlegung Real- und Imaginärteil:
Am Beispiel einer bestimmten Resonanzfrequenz
Verläufe siehe nächste Folie !
1. Nur in Nähe der Resonanzfrequenzen ω0 nimmt Realteil ab und
hat negative Steigung.
2. Imaginärteil hat nur in Nähe der
Resonanzfrequenzen deutlich von Null
verschiedene (negative) Werte. In
diesem Bereich findet Absorption statt !
(39)
q2 ⋅ N
1
n = nR + i ⋅ nI = 1 +
⋅
2ε 0 ⋅ m e ω 2 − ω 2 + i c ω
0
me
q2 ⋅ N
nR = 1 +
⋅
2ε 0 ⋅ m e
ω 02 − ω 2
(ω
2
0
−ω
)
2 2
⎛ c ⎞
ω ⎟⎟
+ ⎜⎜
⎝ me ⎠
2
⎛ c ⎞
⎜⎜ −
ω ⎟⎟
2
q ⋅N
⎝ me ⎠
nI =
⋅
2
2ε 0 ⋅ m e
2
⎞
⎛
(ω 02 − ω 2 ) + ⎜⎜ c ω ⎟⎟
⎝ me ⎠
Komplexer Brechungsindex führt zur Abschwächung e.m. Wellen in Ausbreitungsrichtung
aufgrund Absorption.
Exponentieller Abfall der Feldstärke und Intensität aufgrund des Imaginärteils nI
Imaginärteil ist direkt proportional zum Absorptionskoeffizienten !
... Herleitung ...
© H.Neuendorf
(40)
Messmethoden für Anteile von n
Exponentieller Abfall von Feldstärke + Intensität :
n = nR + i ⋅ nI
k=
ω
c
=
E ( x , t ) = E 0 ⋅ exp(i ⋅ ω ⋅ t − i ⋅ k ⋅ x ) =
Imaginäreteil ist negativ !
Bewirkt exponentiellen Abfall der
Feldstärke + Intensität
Vergleich mit Lambert-BeerGesetz liefert Absorptionskoeffizienten α
α=
2
⎛ n − nt ⎞
⎛ 1 − nt
⎟⎟ = ⎜⎜
R = ⎜⎜ e
⎝ ne + nt ⎠
⎝ 1 + nt
Messung Absorption
liefert Imaginärteil von n
Messung Reflexion liefert
Realteil von n
© H.Neuendorf
⎞
⎟⎟
⎠
2
Klassisches
n- Modell
(41)
Resonanzen im IR durch
Molekülschwingungen
Resonanzen im UV durch
elektronische Anregungen
Nur im Bereich der
Resonanzfrequenzen
(schraffiert) findet man
anormale Dispersion mit
dn/df <0.
Nur in diesen Bereichen tritt
deutliche Absorption auf !
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Klassisches n- Modell
Absorption cocfficient and refractive index of sodium in
the vicinity of the strongest hyperfine component of the
D2 line.
no represents the off-resonant refractive index, which
is approximately equal to unity.
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(42)
(43)
Optisches Verhalten von Metallen: Plasmafrequenz ωp
Metall = Gitter positiver Atomrümpfe + frei
bewegliche Leitungselektronen mit
Elektronendicht N
+
+
+
+
+
N
Modell gebundener Oszillatoren (Dielektrika)
passt nicht !
+
Anregung durch oszillierenden
elektrischen Feldvektor des Lichts :
Schwingung Elektronengas gegen positiven
Ionenhintergrund ⇒ Ladungstrennung (+ -)
x
E
Kondensatoreffekt : Feld der Stärke E
zwischen positiven und negativen Bereichen
+
+
+
σ N ⋅q
E=
=
⋅x
ε0
ε0
+
+
+
Aufgebautes Feld E wirkt als rücktreibende Kraft auf
jedes einzelne Elektron. Bewegungsgleichung des
Elektrons ist DGL des harmonischen Oszillators mit
Plasmafrequenz ωp
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Plasmafrequenz ωp
ωp =
∝ N
(44)
Metalle
Halbleiter
Ionosphäre
ωp ≈ 10 15 Hz
ωp ≈ 10 13 Hz
ωp ≈ 10 8 Hz
Verhalten von Metallen :
1.
ω < ωp
Starke Absorption + geringe
Transmission durch Anregung
des Elektronengases zu
Plasmaschwingungen
2.
ω > ωp
Kaum Absorption + hohe
Transmission in Elektronengas.
Lichtfrequenz zu hoch um
Plasmaschwingungen
anzuregen. Elektronen können
nicht schnell genug folgen
Metalle m IR-Bereich aufgrund
starker Absoprtion praktisch
undurchdringlich, aber praktisch
transparent im Röntgenbereich
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Radiowellen an
Ionoshäre stark
absorbiert und
reflektiert
Plasmafrequenz ωp
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(45)
Experimental reflectivity of alumininm as
function of photon energy. The experimental
data are compared to predictions of the free
electron model with plasma frequency 15.8 eV.
The dotted curve was calculated with no
damping. The dashed line is calculated with
damping.
Totalreflexion
(46)
θ1
n1
Zwei Fälle
θ2
Übergang ins optisch dichtere Medium: n2 > n1
n2
Lichtstrahl zum Lot hingebrochen, Brechungswinkel immer kleiner als Einfallswinkel
Θ1 = [0, 90] ⇒ Θ 2 = [0, < 90] ⇒ Θ 2 < Θ1
Übergang ins optisch dünnere Medium: n2 < n1
Lichtstrahl vom Lot weg gebrochen, Brechungswinkel immer größer als Einfallswinkel
Θ1 = [0, 90] ⇒ Θ 2 = [0, > 90] ⇒ Θ 2 > Θ1
Wenn Brechungswinkel θ2 = 90°, dann streift gebrochener Strahl die Grenzfläche
⇒ Definiert Grenzwinkel der Totalreflexion θ1 = θg
sin(Θ1 ) n2
=
=
sin(Θ 2 ) n1
Für θ1 > θg ⇒ θ2 > 90° ⇒
Je kleiner n2 / n1 < 1 bei desto
kleineren Einfallswinkeln
bereits Totalreflexion
Speziell Übergang ins Vakuum
oder Luft : sin( Θ g) = 1 / n
Kein gebrochener Strahl im Medium 2 mehr
Lichtstrahl an Mediengrenze (1,2) total reflektiert, kann nicht in Medium 2 eindringen
Fast gesamte Strahlleistung im reflektierten Anteil, exponentieller Abfall im Medium 2
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Totalreflexion : Abweichung von geometrischer Idealisierung
(47)
Ein Teil der Intensität läuft auch bei Totalreflexion in "verbotenes" Gebiet (Tunneleffekt)
Dringt wenige Wellenlängen tief ein
Ausnutzen des Streueffekts: Durch Belasten nimmt Verbiegung +
Strahlungsverlust zu und somit Ausgangsintensität ab
I M ∝ e −c⋅R
Streuverluste bei zu starker
Krümmung der Glasfaser:
Umso höher, je kleiner der
Biegeradius R
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(48)
Totalreflexion : Anwendung
Umleitung eines monochromatischen Strahls durch Totalreflexion (TR)
Fingerprint Sensor
Kritische Grenzwinkel :
θg (Glass | Luft) ≈ 42º
⇒ TR tritt bei 45º auf
θg (Glass | Finger) ≈ 53º
⇒ TR tritt bei 45º nicht mehr auf
⇓
Reflektierte Strahlen verlassen das
Strahlenbündel an Stellen, wo Finger
plan aufliegen ⇒ Detektor erhält Bild
des Fingerabdrucks
Umleitung
monochromatischer
Strahl durch TR
(Strahlführung)
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TR
TR
Kern
Totalreflexion : Lichtwellenleiter LWL
Ummantelte zylindrische Glasfaser
(49)
(Core)
Mantel (Cladding)
Ø ≈ 100 μm
Schutzhülle (Coating)
Mantel kleinere Brechzahl als Kern ⇒ Strahlen totalreflektiert im Kern geführt
Transport für θ > θg
Verluste durch Verunreinigungen, Geometriefehler, ....
Begrenzung Datentransferrate → Modendispersion + Wellenlängendispersion
Mantel nM
θ
Kern nK
n
> nM
Beschichtung
Bsp : Stufenindexfaser
øK ≈ 50 μm
nK = 1,474
øM ≈ 120 μm
nM = 1,453
θg = arcsin(nK/nK) = 80°
Luft n = 1
Anwendungsgebiete
Lichtströmen ⇒ intensive, kleine, kalte Lichtquelle - zB Mikroskopbeleuchtung
Bildübertragung : Geordnete Faserbündel = gleiche Ordnung an Eintritt- und Austritts ⇒
Rasterbild ø 4x4 - 20x20 mm2. Endoskope - Beleuchtung durch ungeordnete Randfasern
Energieübertragung : Laserschweißen (Automobilindustrie) – Transport der Laserenergie
Wenige Meter
Beleuchtungszwecke : Faserbündel mit ungeordnet verlegten Fasern zur Leitung von
durch flexibles LWL-Kabel zum Schweißkopf, Laserskalpell in Chirurgie
Signalübertragung: Ersatz für Kupferkabel, da wesentlich höhere Übertragungsraten
realisierbar. Digitale Signale im IR λ ≈1μm. Trägerfrequenzen im Bereich f ≈ 3·1014 Hz ⇒
Viel höhere Bandbreite (10 GHz) + Kanalzahl als in nichtoptischer Nachrichtentechnik
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100 km
(50)
Vorteile Glasfasern im Vergleich mit Cu-Leitungen
1. Große Datenraten : Bereich Tbits / s
Weniger von Glasfaser als von Sende- und Empfangskomponenten bestimmt.
Nachteil : Höhere Kosten
bei kürzeren Strecken
Begrenzende Faktoren :
Dämpfung + Dispersion
2. Geringes Gewicht :
Glasfasern haben extrem kleinen Durchmesser (<100-300 μm). Zusammen mit hoher Datenrate ergibt sich
große Gewichtsersparnis (Einsatz in Flugzeugen + Zügen).
3. Kein Übersprechen zwischen mehreren Fasern in einem Kabel :
Kein Crosstalk von Signalen wie bei Cu-Kabeln, insbesondere bei großen Datenraten.
4. Immunität gegen elektomagnetische Interferenz + Abhörsicher :
Glasfaser unempfindlich gegen e.m. Strahlung aus Umgebung. Weitgehend immun gegen EMI durch EMotoren, Blitzschlag etc.
5. Hohe Übertragungsqualität :
Wesentlich bessere Übertragungsqualität als bei Cu-Strecken.
Standard bei Glasfaserübertragung: Bitfehlerrate von 10-9 (ein falsches Bit
auf 109 übertragene Bit) im Vergleich zu 10 -5 bis 10 -7 für Cu.
6. Niedrige Installations- und Betriebskosten :
Geringe Dämpfung + hohe Datenrate der Glasfaser ⇒
große Abstände der Zwischenverstärker bei langen Übertragungsstrecken ⇒
Konkurrenzlos auf Langstrecken zB Transatlantik / Transpazifik
7. Lebensdauer + Robustheit :
Glasfasern höhere Lebensdauer, unempfindlicher gegen mech. Einwirkung.
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(51)
Lichtwellenleiter - Akzeptanzwinkel
Akzeptanzwinkel θA = Maximaler Einfallswinkel an
Stirnfläche des Lichtleiters mit (noch) Totalreflexionen im Mantel
Je größer Akzeptanzwinkel, desto mehr Lichtleistung in
Glasfaser einkoppelbar !
nM < nK
Brechungsgesetz an Stirnfläche :
θg
nK
90º - θ g
θA
sin(θ A )
=
0
sin(90 − θ g )
Luft n = 1
Grenzwinkel der Totalreflexion :
sin(θ g ) =
nM
= (1 − cos 2 (θ g ))
nK
sin(θ A ) =
Ergebnis :
θA umso größer, je stärker sich Indices von
Kern und Mantel unterscheiden
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Einkopplung von Licht in Glasfaser : LED versus Laser
Räumliche Abstrahlcharakteristik :
Lambert'sche Strahler : Strahlen isotrop, ungerichtet in Raum zB LED
Laser :
Strahlen stark gerichtet (gebündelt) in Vorausrichtung
Konsequenz für Licht-Einkopplung in Glasfaser :
Strahlanteile mit Winkel > Akzeptanzwinkel ΘA werden nicht korrekt eingekoppelt, laufen
aus Kernbereich wieder heraus
⇒ Nur Bruchteil der LED-Lichtintensität wird eingekoppelt (ca 6%)
Beim Laser als Signalquelle eingekoppelte Lichtintensität deutlich höher (ca 50%)
Glasfaserkern
Abstrahlcharakteristik von Lambert-Strahlern
Flächenstrahler :
I (Θ) = I ⋅ cos(Θ)
0
2· ΘA
LED
Verhältnis eingekoppelte Leistung zu gesamter
abgestrahlten Leistung :
Pein
= sin 2 (Θ A )
Pges
Akzeptanzbereich Faser
Abstrahlcharakteristik LED
Je schmaler Faserkern, desto
schwieriger die Lichteinkopplung
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Laserdiode
Abstrahlbereich
(52)
(53)
Lichtwellenleiter : Relevante IR- Wellenlängen für Si02
Begrenzte Reichweite und Datenrate durch Dispersion und Dämpfung
(Absorption + Streuung) im Material, aber auch an Spleißen und Steckern
Materialien :
Silikatgläser =
Quarzglas mit Ge
dotiert (Ge:Si02) um
Brechungsindex zu
erhöhen.
Verunreinigungen :
a) Cr, Cu, etc durch
Schmelzprozesse bei
Herstellung
b) Hydroxylionen
(OH-) durch
eindiffundiertes
Wasser !
Im IR Verluste durch
Dämpfung > 1dB
Nutzbare Wellenlängenbereiche geringer Dämpfung im optischen Fenster von Quarzglas :
λ :=
850 nm
1300 nm
1550 nm
⇒ Dämpfungsminima von 0,2 dB / km und weniger
α=
[dB / km ]
(Fensterglas: 50000 dB / km)
Lichtleistung fällt gemäß Lambert-Beer exponentiell entlang
der Laufstrecke L ab. Von Lichtleistung Pein bleibt nach der
Strecke L nur noch die Lichtleistung Paus übrig
Weitere Verluste durch Streuung an Inhomogenitäten im Leiter
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(54)
Dispersion = Abhängigkeit Brechungsindex von Lichtwellenlänge
Brechzahl aller Stoffe hängt von Wellenlänge ab : n = n(λ)
Mehrzahl der Stoffe (alle Gläser) : n nimmt mit wachsender
Wellenlänge leicht ab = normale Dispersion
n = n( λ )
Effekte :
Zerlegung weißen Lichts durch Prisma in seine
Spektralkomponenten Newton
Rot
Grün
Blau
Somit auch n = n(λ)
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Quarzglas
1,5
400
Regenbogen durch Brechung Sonnenlicht an Wassertropfen
Lichtgeschwindigkeit c in Materie ist
abhängig von Wellenlänge :
Kurzwelliges Licht ist langsamer als
langwelliges Licht ⇒
0,001 / nm
violett
Blauer Himmel durch stärkere Brechung der blauen Anteile
alle Wellenlängen
Größenordnung:
1,6
c = c (λ )
Nur Vakuum dispersionsfrei !
Weißes Licht
n(λ)
rot
500
600
700
λ [nm]
Langwelliges = rotes Licht am
wenigsten, kurzwelliges = violettes
Licht am stärksten gebrochen
Laserdioden zur elektrooptischen
Wandlung in Datenübertragung :
Elektrisches digitales Signal wird in Lichtpulse
umgewandelt
Spektral fast rein ⇒ kaum Dispersionseffekte ⇒
Vorteile gegen Leuchtdioden
Hohe Lichtintensität ⇒ Längere Reichweite
Bis GHz modulierbar zur digitalen
Signaldarstellung
(55)
Lichtwellenleiter : Begrenzung Datentransferrate
1. Modendispersion bei einfacher Stufenindexfaser
Multi Mode Fiber MMF
Licht breitet sich in unterschiedlichen Moden = Schwingungsformen in Glasfaser aus
Darstellbar durch unterschiedlich geneigte, verschieden lange Lichtwege
⇒ Unterschiedliche Laufzeiten für Moden mit kürzestem + längsten Weg
" Zick-Zack-Wege "
⇒ Verzerrung + Auseinanderlaufen des Signals durch Laufzeitunterschiede
⇒ Auch bei monochromatischem Licht (Laserdiode)
Laserdiode
θg
Längster Weg
S
Photozelle
S
Kürzester Weg
Δt
Δt
Laufzeitdifferenzen wandeln schmale Rechteckimpulse am Eingang in verbreiterte
glockenförmige Pulse am Ausgang → Pulsverschmierung
⇒ Signal nicht mehr lesbar, wenn Pulse nicht mehr einzeln auflösbar
Berechnung Laufzeitunterschied für Faserlänge L :
Δt = t max - t min
⇒ Signale müssen am Eingang zeitliche Trennung von Δt aufweisen! (Abschätzung)
⇒ Maximale Pulsrate für Datentransfer am Eingang = 1 / Δt
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t
t
(56)
Lichtwellenleiter : Begrenzung Datentransferrate
Berechnung Laufzeitunterschied für Faserlänge L :
t min =
θg
Längster Weg
Δt = t max - t min
L
L
= nK ⋅
c / nK
c
t max =
Kürzester Weg
⇒ Δt = t max − t min =
Laufzeitunterschied proportional zu
Faserlänge + Brechzahlunterschied
Maximale Pulsrate = Datentransferrate fmax = 1 / Δt
Wegunterschied Δx zwischen verschiedenen Laufwegen
⇒ Δx =
c
L
⋅ Δt =
−L
nK
sin(θ g )
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a) Logik :
b) Physik :
Gradientenindexfaser
Betrachtung Laufzeitverzögerung pro Kilometer, dh L = 1 Km
nM = 1,453
Technische Verbesserungen
Multiplexverfahren
Typische Werte :
nK = 1,474
Stufenindexfaser nur zur
Datenübertragung über
wenige Km geeignet
⇒
Δx, Δt,
fmax = ..........
Single Mode Fiber SMF
Monomode Faser
(57)
Lichtwellenleiter : Gradientenindexfaser (teurer)
Kompensation der Modendispersion durch Brechungsindex-Profil
Brechzahl des Kerns fällt kontinuierlich auf Brechzahl des Mantels ab
⇒ Lichtstrahlen laufen sinusförmig durch die Faser
n
Parabolischer Verlauf n(r)
Kern
Mantel
Lichtstrahlen ständig zur Kernmitte hin gebeugt ....
r
Sinn :
Geometrisch längeren Weg durch höhere Geschwindigkeit c = c0 / nK kompensieren :
In Kernachse ⇒ Hoher Brechungsindex n
⇒ Niedrige Ausbreitungsgeschwindigkeit c
Am Kernrand ⇒ Kleinerer Brechungsindex n ⇒ Höhere Ausbreitungsgeschwindigkeit c
⇒ Gekrümmter Weg der Randstrahlen durch Faser
Resultierende Laufzeiten verschiedener Moden nähern sich an ⇒
Δt ↓
fmax↑
Nivellierung der Laufzeitunterschiede
øK ≈ 50 μm
øM ≈ 125μm
Einsatz : Mittlere Entfernungen ca 10 km
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Herstellung : Konzentrische Anordnung nach außen
optisch dünner werdender Materialien .......
Dotierung des Kern-Randbereichs mit Ge- oder FluorSchichten
(58)
Lichtwellenleiter : Monomode- Faser
Weitere Unterdrückung der Modendispersion :
n
Monomode-Fasern
Kern
Teuer, aufwendig in Herstellung + Verlegung .......
Sehr schmaler Kern, steiler Anstieg n(r)
øK ≤ 10 μm !!
Mantel
r
λ > 1250 nm geringe Dämpfung!
Nur eine ausbreitungsfähige Grund-Mode parallel zur
Faserachse, andere Moden werden unterdrückt
Anwendung: Große Entfernungen bis 100 km
Momentane Grenze :
100 Tbit/s über 1000 km dank Multiplextechniken
Nutzung von: Optischen Korrekturfiltern, Mehrfachmantelprofilen, Kompensation von Dispersionseffekten,
Vielzahl benachbarten Wellenlängen im optischen Fenster, .....
Zukunft :
Optische Kopplung von Schaltkreisen → Ersatz von Cu
Datentransport in Schaltungen durch billige LWL aus Polymeren
Guter Spleiß (Kleben,
Verschmelzen Fasern) 0,1 dB
Ursachen für Dämpfungsverluste
Guter Stecker 0,5 - 0,8 dB
Länge der Übertragungsstrecke / Anzahl Speiße + Qualität / Verunreinigung Kernglas / Fehlstellen im Glas
(Einschlüsse, Mikrorisse, Luftblasen) / Reflexionen durch zu hohen Biegeradius (Verlegefehler) / schlechte Stecker
schlecht polierte Oberflächen der Faserenden / unterschiedliche Kerndurchmesser / Achsenversatz der Fasern,
Verkippungen / Schmutz / ..................
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/
Moden im planaren Wellenleiter
(59)
*) Idealisierung des idealen Hohlleiters mit
unendlich gut leitenden Wänden
Planarer Wellenleiter ⇒ periodische Randbedingungen :
Periodische Randbedingungen ⇒ Quantelung physikalischer Größen
Analog eingespannte
Saite: Amplitude 0 =
Knoten am Rand
Nur bestimmte Ausbreitungsrichtungen möglich - anders als im freien Raum
Welle im Leiter geführt ⇒ An Rändern ist Feldstärke Null !
* Idealisierung :
Wellenleiter der Dicke d mit Index n mit perfekt verspiegelten Wänden
Lichtstrahl bewegt sich unter Winkel θ relativ zu z-Achse
kz
θ
An Rändern
n
x
k
d
x
liegen Knoten
k
z
der Feldstärke
→
k = (k x , k z )
| k |= n ⋅
2π
λ
kx =
kz =
Knotenbedingung am Rand ⇒ Nur gequantelte kx-Komponenten möglich!
2π ! 2d
"λ x "=
=
kx m
⇒ kx =
k x = k ⋅ sin(Θ) =
m = Quantenzahl der erlaubten Moden
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Nur bestimmte
Ausbreitungsrichtungen
(Winkel) sind möglich.
Jeder Winkel entspricht
einer möglichen
Wellenleitermode
(60)
Moden eines planaren Wellenleiters
Konsequenz aus Quantisierung der Ausbreitungsrichtungen :
Sinus ≤ 1
⇒ Modenzahl m begrenzt !
sin(Θ m ) = m ⋅
λ
2nd
⇒
a) ⇒
Intensitätsverlauf zweier Moden
Cutoff-Wellenlänge λ c :
Größere Wellenlängen werden nicht mehr im
Wellenleiter geführt.
Wenn Wellenleiter immer dünner wird, können
sich immer weniger verschiedene Moden
ausbreiten.
b) ⇒
Wenn Dicke d unter bestimmten Betrag sinkt
(abg. von geführter Wellenlänge und Material)
dann wird nur noch die Grundmode nullter
Ordnung m = 0 geführt
⇒ Übergang zur Monomode-Faser !
Wellenleiter :
Diskretes Modenspektrum = erlaubte mögliche Wellenvektoren.
Freier Raum : Kontinuierliches Modenspektrum
Moden:
Im Strahlenbild → unterschiedliche Ausbreitungsrichtungen
Im Wellenbild
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→ unterschiedliche Feldverteilungen + Polarisationen
Moden eines planaren Wellenleiters
Herstellung sehr
dünner Fasern durch
Ziehverfahren
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(61)
Lichtwellenleiter : Begrenzung Datentransferrate
2. Wellenlängendispersion
Wellenlängenabhängigkeit von Brechungsindex + Lichtgeschwindigkeit
⇒ Kurzwellige Lichtanteile des Signals haben längere Laufzeit als langwellige Anteile
⇒ Nicht-monochromatisches Signal verbreitertes sich → Pulsverschmierung
Signalanteile zwischen λmin und λmax
Bsp: LED 590 - 620 nm ⇒ Δn ≈ 0,015
⇓
Signalanteile zwischen nmin und nmax bzw cmin und cmax
⇓
Abschätzung der Laufzeitunterschiede :
Δt = t max − t min =
⇒
f max ≈
L
c min
−
L
c max
=
1
Δt
Besser: Laserdioden ⇒ minimales Δn, Δλ ⇒ Reduzierung Wellenlängendispersion
Aber: Signalformung durch Fourier-Synthese
Stets Wellenpaket aus unterschiedlichen Frequenzen / Wellenlängen
⇒ Signale haben stets eine gewisse Wellenlängen-Bandbreite Δλ
⇒ Auch in Monomode-Faser läuft geformtes Signal auseinander!
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(62)
Auswirkung der Dispersion auf die Signalqualität
(63)
Zu Abtastzeitpunkten muss
Empfangs-Elektronik Entscheidung
über Bitwert 0 oder 1 fällen !
Aus Rechteck-Impulsen werden Gauß-Kurven
Datenzuordnung wird zunehmend schwieriger
Bitfehlerrate nimmt zu!
Augen-Diagramm :
Dient zur anschaulichen Beurteilung der Qualität der Übertragungsstrecke.
Man überlagert grafisch alle Bitintervalle mit ihrem Signalverlauf. Es ergibt
sich charakteristisches Muster mit Form eines Auges. Augenöffnung umso
kleiner, je geringer die Güte der Übertragungsstrecke, dh je höher Dispersion
und Rauschen.
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AugenDiagramm
LWL : Überblick
(64)
Datenraten :
Bis zu Tbit/s.
Kommerzielle Systeme
bis 100 Gbit/s
Erhöhung durch
Wellenlängenmultiplex
Wavelength Division
Multiplexing :
Viele Wellenlängenkanäle simultan durch
eine Faser
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Multiplexverfahren : Mehrfachnutzung eines gemeinsamen Übertragungswegs
Mehrere Teilnehmer nutzen gemeinsamen Übertragungsweg :
Vertrautes triviales Beispiel → Freier Raum zum Broadcast von Rundfunksignalen
Voraussetzung: Geeignete Signaldarstellung beim Sender +
Hardware auf Empfangsseite, die Signalbestandteile wieder zuordnet
N Eingangssignale
N Ausgangssignale
Gemeinsames Übertragungsmedium
Grundverfahren der Multiplextechnik :
1. Zeitmultiplex = Time Division Multiplex (TDM)
Zeitliche Verschachtelung mehrerer Kanäle. Für jeden Kanal steht Zeitschlitz (time slot) der Breite δ t
zur Verfügung. Zu jedem Zeitpunkt immer nur Signal eines Kanals übertragen. Mehrere Zeitfenster
werden zu Rahmen zusammengefasst. Zusäzliches Zeitintervall Δt wird zur Übertragung von
Synchronisations-Infos benötigt.
2. Frequenzmultiplex = Frequency Division Multiplex (FDM)
Bandbreite des Übertragungsmediums wird in Frequenzbänder aufgeteilt. Einzelnes Frequenzband
steht bestimmten Kanal zeitlich unbegrenzt zur Verfügung. Unterschiedliche Frequenzen werden mit
unterschiedlichen Signalen moduliert.
Demultiplexen beim Empfänger mittels optischer Filter
Bauelemente)
(zB Gitterspektrometer = integrierte optische
Typisch: Systeme mit 8 oder 16 verschiedenen Wellenlängen. Trennung zwischen Kanälen 1 - 2 nm
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(65)
Keine Kollisionen zwischen
unterschiedlichen Kanälen - jedes
Datenbit hat eigenen Zeitschlitz
1. Zeitmultiplex = Time Division Multiplex (TDM)
s1
s2
s3
.
.
.
sN
MUX
123 . .N• • • • 123 . .N
δt
s1
s2
s3
.
.
.
sN
DEMUX
Δt = N·δ t + Δtsync
Kontrolle und Stabilität bei hohen
Geschwindigkeiten schwierig
Sehr hohe Bandbreiten realisierbar.
Kanal 2
Kanal 3
Nötige Bandbreite ist sehr hoch =
N-faches der effektiven
Nutzbandbreite pro Kanal
Vorteil :
Kanal 1
MUX
Nachteil :
Grundsätzliche Begrenzung von
TDM-Systemen
2. Frequenzmultiplex = Frequency Division Multiplex (FDM)
λ1
λ2
λ3
.
.
.
λN
DEMUX
•
•
λ1
λ2
λ3
.
.
.
λN
Abstand der Wellenlängen
zwischen den N Kanälen kann mit
δλ ≤ 1nm sehr klein sein
(= Dense WDM)
Kanal N
Nötige Bauelemente :
Durchstimmbare Lichtquellen (zB Laserdioden Δλ bis 50nm)
Faser
Wellenlängenmuliplexer / -Demultiplexer
Demultiplexer = Interferometeranordnung (zB Gitter): Trennschärfe
dieser Interferometer bestimmt Multiplexfaktor des FDM-Systems !
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(66)
Vorteil :
Multiplexverfahren :
Linse
Gitter
Linse
λi
Fasern
λj