PHYSIK 1
(1)
1. Semester ET
Prof. Dr. Herbert Neuendorf
neuendorf@dhbw-mosbach.de
Tel : 470
LO.B 1.02
Anliegen → Pointer für Vorlesungen :
Elektrotechnik, Signale & Systeme …
Klausur :
Gesamtmodul über beide Semester
Skript :
Folien als pdf
Übungen : Handouts
www.dhbw-mosbach.de/studienangebote/wirtschaftsinformatik/kontakt/
prof-dr-neuendorf/aktuelle-lehrveranstaltungen.html
→ Physik_1A.pdf
und folgende …
Literatur :
Tipler, Pysik, Oldenbourg
Hering, Martin, Stohrer, Physik für Ingenieure, Springer
Kuypers, Physik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Wiley-VCH, Bd 1 + 2
Harten, Physik, Springer
von Oppen, Melchert, Physik für Ingenieure, Pearson
© H.Neuendorf
☺
PHYSIK 1
(2)
Prof. Dr. Herbert Neuendorf
Klassische Mechanik
Grundlagen
Physikalische Größen, Skalare, Vektoren, Koordinatensysteme
Skalarprodukt, Vektorprodukt, Differentiation, Integration
Kinematik des Massenpunktes
Lineare Bewegung + Kreisbewegung
Differentiation des Ortsvektors, Integration des Beschleunigungsvektors
Inertialsystem
Dynamik
Newton'sche Axiome, Schwere vs Träge Masse, Gravitation, Impuls
Integration der Bewegungsgleichung, Phasenraumdarstellung
Differentialgleichungen
Numerische Integrationsverfahren (Euler, RK4)
Erhaltungsgrößen
Arbeit, Energie, Leistung
Energieerhaltungssatz der Mechanik
Skalares Feld, Vektorfeld - Kraftfeld als Gradient der Potentiellen Energie
Exkurs : Rotation, Divergenz
Massepunktsysteme, innere Kräfte, äußere Kräfte, Impulssatz
Drehimpuls und Drehmoment (Kreisel)
© H.Neuendorf
Inhalte Mechanik …
Bewegungen starrer Körper
Trägheitsmomente, Berechnung für einfache Fälle
Drehimpuls + Rotationsenergie
Mechanische Schwingungen
Ungedämpfte + gedämpfte freie Schwingungen (Lösung DGL)
Erzwungende Schwingungen, Resonanz, Leistungsaufnahme
Einschwingvorgänge
Analogie mechanische + elektrodynamische Schwingungen
Superposition von Schwingungen, Fourierreihe
Wellen
Beschreibung von laufenden + stehenden Wellen
Harmonische Wellen, Wellengleichung, Phasengeschwindigkeit, Intensität
Energietransport durch Wellen
Wellengruppen (Signale), Gruppengeschwindigkeit
Exkurs: Fourieranalyse + Synthese, Unschärferelation
Kohärenz + Interferenz im Fernfeld
Vielstrahl-Interferenz + Beugung + Gitter + Auflösungsvermögen
© H.Neuendorf
(3)
(4)
Anliegen und Verortung der Physik als Wissenschaft
Physik : Grundlegendste Naturwissenschaft
Eigenschaften + Wechselwirkungen der Materie
←
Experiment + Theorie
Verständnis aller Phänomene der unbelebten (z.T. auch belebten) Natur
Ziel : Reduktion + Vereinheitlichung in Theorien, Modellen → Naturgesetze →
Zusammenfassung in möglichst wenigen und grundlegenden Gesetzen - aus denen
möglichst viele empirische Einzeltatsachen ableitbar sind !
Einstein :
Mein eigentliches Forschungsziel war stets
die Vereinfachung und Vereinheitlichung
des physikalischen theoretischen Systems.
Physiker sind Mathematiker
mit Sinn für die Realität …..
Mathematik :
Das große Ziel aller Wissenschaft ist es, die
größte Anzahl empirischer Tatsachen durch
logische Herleitung aus der kleinsten Anzahl
von Hypothesen oder Axiomen zu erfassen
Das Buch der Natur ist in der Sprache der
Mathematik geschrieben (Galilei)
Biologie / Medizin :
Untersuchung der Vorgänge in
lebenden Organismen,
Untersuchung von Selbstorganisationsvorgängen
Chemie :
Physik
Ingenieurwissenschaften :
Direkte Umsetzung physikalischer Erkenntnisse:
Elektronik, Systemtheorie, Mechatronik …
© H.Neuendorf
Untersuchung der Bildung
und Umwandlung von
Molekülen
Einige Teilgebiete der Physik
(5)
Klassifikationen der Physik
Hochenergiephysik
→
Elementarteilchen und ihre Wechselwirkungen
Kernphysik
→
Aufbau und Eigenschaften der Kernmaterie
Atom- und Molekülphysik
→
Eigenschaften der Atome und ihrer Verbindungen
Festkörperphysik
→
Eigenschaften der kondensierten Materie
Plasmaphysik
→
Eigenschaften hochionisierter Gase
Astrophysik & Kosmologie → Eigenschaften und Entstehung des Universums
Physik
Allgemein
Einige aktuelle Forschungsfelder
Erweiterung des Standardmodells der Materie
Kosmologie, Quantentheorie der Gravitation
Bedeutung nichtlinearer Prozesse - z.B. in Optik
Gibt tiefe Einblicke in die Natur und
korrigiert unsere Vorstellungen von Raum,
Zeit und Kausalität
Konkret
Grundlage der modernen Technik und
Zivilisation
Verständnis ungeordneter Materie (Polymere, Gläser ...)
Mikromechanik, Nanophysik
Halbleiterpysik, Optische Rechner, Quantum Computing …
© H.Neuendorf
Man studiert Mathematik, um
entscheiden zu können, welche der
wichtigen Aussagen richtig sind …
Man studiert Physik, um entscheiden
zu können, welche der richtigen
Aussagen wichtig sind …
(6)
Klassifikationen
Klassifikationen der Physik
v
c
Relativistische
Relativistische
Kosmologie
klassische
Quantenphysik
ART
Physik
Klassische Physik
Quantenphysik
"gewöhnliche
Astrophysik
Objekte"
0
10-15
Atomkerne
© H.Neuendorf
10-7
1011
1026
L [m]
Universum
(7)
Ziel der Physik als Wissenschaft
Über bloße unverbundene Erfahrungstatsachen hinaus gehen ⇒
Verallgemeinerte Theorien zur Deutung + Vorhersage vieler Einzelerscheinungen
Richtigkeit Theorie = Anwendbarkeit + Einfachheit
Theorie-Klassifikation :
1. Punkttheorien
Bsp Punktmechanik der Massepunkte, ausdehnungsloses Elektron
Phys. Größen nur in diskreten Punkten des 3d-Raumes definiert
Koordinaten sind Funktionen der Zeit ⇒ Zeit als einzige unabhängige Variable
2. Feldtheorien / Kontinuumstheorien
Bsp Wellen, Elektrodynamik
Phys. Größen in jedem Punkt des 3d-Raumes definiert
Sind lokale Funktionen von Zeit + Ort
3. Systemtheorien
⇒
Auch Koordinaten als unabhängige Variablen
Bsp Thermodynamik
Makroskopische Zustandsgrößen beschreiben räumlich ausgedehnte Systeme
Zustandsgleichungen verknüpfen die Zustandsgrößen
(p, V, T, N)
Statistische Fundierung der Zustandsgrößen
Abgeschlossene Theorie
Bsp: Klassische Mechanik versus RT + QM
1. Kann durch kleine Änderungen nicht mehr signifikant verbessert werden –
nur durch Einführung ganz neuer Begriffe - was jedoch Übergang zu neuer Theorie bedeutet
2. Kennt die Grenzen ihrer Gültigkeit und Anwendbarkeit
© H.Neuendorf
(8)
Induktion
Physikalische
Erkenntnis
n → n+1
Verallgemeinerung
Experiment
Zusammenhänge
physikalischer Größen
Regelkreis physikalischer
Erkenntnis
Physikalisches Gesetz
Naturgesetze
Messvorschriften
Verifikation / Test
Einstein :
Deduktion
Grundanliegen der Pysik ist TheorieVereinheitlichung = Reduktion :
Die Theorie bestimmt,
was beobachtbar ist …
Neue Voraussagen
Vermutungen
Die verschiedenen historisch
entstandenen Theorien sollen auf
wenige fundamentalere Theorien
zurückgeführt werden.
Physical laws should have mathematical beauty
Dirac, 1956
Klassifikationen der Physik
Makrophysik
> 10-6 m
Mikrophysik
<≈ 10-10 m
Unmittelbar wahrnehmbar
Anschauliche Bilder
Streng deterministisch
Kontinuierliche stetige Abläufe (Teilbarkeit)
Genaue Messbarkeit
Mittelbar wahrnehmbar
Unanschaulich, abstrakt
Statistisch deterministisch
Diskontinuierliche unstetige Abläufe (Quanten)
Unschärferelation
Klassische Physik
Quantenphysik
© H.Neuendorf
Klassifikationen der Physik
Mechanische Systeme
(10)
Einfache Mechanische Systeme
Vielteilchen-Systeme
Bsp: Pendel, Billardkugeln, Planeten
Bsp: Teilchen eines Gases
Wenige Teilchen bzw. Zusammenfassung der
gemeinsamen Bewegung im Schwerpunkt
Extrem große Teilchenzahlen N ≈ 10²³ in
ungeordneter Bewegung
Abbildung des Gesamtsystems durch einen
Wert für Masse, Trägheitsmoment,
Geschwindigkeit …
Alle Teilchen bewegen sich individuell, können
in ihrem Gesamtverhalten nicht durch eine
gemeinsame Bahnkurve dargestellt werden
⇒ Zeitliche Entwicklung - Bahnkurve :
⇒ Zeitliche Entwicklung :
Durch wenige Bewegungsgleichungen und
Erhaltungssätze beschrieben + berechenbar
Berechnung aller 10²³ Teilchenbahnen nicht
möglich – extremer Rechenaufwand
r (t)
(Thermodynamik)
m2
m1
Keine mikroskopischen Detail-Angaben in Vielteilchen-Systemen möglich !!
⇒ Definition makroskopischer Zustandsgrößen + Übergang zur Statistischen Physik
© H.Neuendorf
Messung und Maßeinheit : Physikalische Größen + Maßsysteme
(11)
Ausdruck physikalischer Zusammenhänge in normierten Größen :
1. Skalare Größen
= ungerichtete Größen (Länge, Masse, Zeit, Energie ....)
2. Vektorielle Größen = räumlich gerichtete Größen (Geschwindigkeit, Kraft, Impuls ....)
Unabhängige SI-Basisgrößen :
Mechanik:
Masse [kg]
Länge [m]
Elektriztätslehre:
Stromstärke [A]
Thermodynamik:
Temperatur [K]
Optik:
Lichtstärke [cd]
Zeit [s]
Stoffmenge [mol]
Maßsystem durch
Grundgrößen + ihre
Einheiten bestimmt :
cgs = [cm] [g] [s]
mks = [m] [kg] [s]
Seit 1978 : SI-System
Festlegung physikalischer Größen durch :
a) Zahlenwert {G} = "Menge"
b) Einheit [G] = "Norm"
Skalare Größe g = {G} • [G]
Geschw. = Länge / Zeit
Vektorielle Größe g = {G} • [G] • e
e = Einheitsvektor = g / g in Richtung von g
Alle anderen Größen sind aus
Grundgrößen abgeleitet :
Beschl. = Geschw. / Zeit
|e|=1
Kraft = Masse ·Beschl.
...
© H.Neuendorf
Größenordnungen
Zehnerpotenzen als
Faktoren für SI-Einheiten :
10 12
Tera
Gebräuchliche Nicht-SI-Einheiten :
Länge : 1 LJ = 9.46·10 15 m
T
10
9
Giga
G
10
6
Mega
M
10 3
Kilo
k
10 0
-
-
(12)
Abgeleitete Größen
Lichtjahr
1 Å = 10 -10 m
Ångström
1 fm = 10 -15 m
Fermi
Masse: 1 t = 10 3 kg
Tonne
1 u = 1.6604· 10 -27 kg
Zeit:
atomare Masseneinh.
1 min = 60 s
1 h = 3600 s
1 d = 86400 s
1 a = 365.24 d = ..... s
10
-3
milli
m
10
-6
mikro
µ
10 -9
nano
n
Wichtige abgeleitete Größen :
10 -12
piko
p
Frequenz → Periodische Vorgänge - Anzahl n in Zeit t
femto
f
10
-15
f=n/t
[ Hz = s-1 ]
( ≠ Kreisfrequenz ω ! )
Ebener Winkel :
r
ϕ
s
Gradmaß → Vollkreis = 360° 1° = 60'
Bogenmaß → ϕ = s / r
R
Ω
© H.Neuendorf
A
360° ≡ 2π
Raumwinkel :
⇒
1' = 60''
[ rad ]
1 rad ≡ 360°/2π = 57.295°
Ω = A / R2
[ sr ]
Steradiant
Vektorielle Größen
→
→
(13)
→
a =| a | ⋅ e a
Ein Vektor ist durch Betrag und Richtung definiert
Vektoraddition :
 a x + bx 


a + b = b + a = c =  a y + by 


Vektorsubtraktion :
 a z + bz 
→
→
→ →
→
→
→
→
Betrag des
Vektors
→
b
→
a
→
a − b = a + (− b )
Projektion eines Vektors
auf Wirkungslinie eines
anderen Vektors :
→
−b
→
a
→
b
Komponentenzerlegung :
→
→
→
→
Koordinatendarstellung :
→
→
a
→
c
b
α
b
ax 
 
= a x ⋅ e x + a y ⋅ e y + az ⋅ ez =  a y 
a 
 z
→
ab
→
→
a = ax+ a y+ az =
→
→
| a b |=| a | ⋅ cos(α )
→
c = a+ b
→
Einheitsvektor in
Richtung von a
→
a
Vektor-Betrag in cartesischen Koordinaten :
→
| a | = a x2 + a 2y + a z2
Einheitsvektor in Richtung von a :
→
a  a x a y az 
e a = =  , , 
a  a a a
→
© H.Neuendorf
→
ea =1
Cartesische Einheitsvektoren liegen parallel
zu Koordinatenachsen x, y, z :
→
→
→
ex
ey
ez
(14)
Vektorielle Größen
a
Skalarprodukt zweier Vektoren (Inneres Produkt) : Liefert Skalar
α
→ →
b
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos(α )
→ →
→ →
→
→
Skalarprodukt in Komponentendarstellung
KG : a ⋅ b = b ⋅ a
→
Durch Ausmultiplizieren in cartesischer Darstellung
unter Beachtung der Sonderfälle :
→ →
→ →
DG : a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c
→ →
a⋅ b =
→
→
→ →
⇒ a⋅ a = a 2
→
→
→
→
→
→
→
→
→
= a x ⋅ b x ⋅ e x ⋅ e x + a y ⋅ b y ⋅ e y ⋅ e y + a z ⋅ bz ⋅ e z ⋅ e z
= a x ⋅ b x + a y ⋅ b y + a z ⋅ bz
→ →
a ⊥ b ⇒ a⋅ b = 0
Physikalische Motivation :
Berechnung der Arbeit bei
beliebiger Orientierung von
Kraft und Weg
Speziell : Betrag eines Vektors
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
e x ⋅ e y = e y ⋅ ez = e x ⋅ ez = 0
e x ⋅ e x = e y ⋅ e y = ez ⋅ ez = 1
© H.Neuendorf
→
→ →
a || b ⇒ a ⋅ b = a ⋅ b
→
→
= (a x ⋅ e x + a y ⋅ e y + a z ⋅ e z ) ⋅ (b x ⋅ e x + b y ⋅ e y + bz ⋅ e z )
Spezialfälle :
→
→
→ →
a⋅ a = a 2 = a x a x + a y a y + a z az
→
⇒ | a |= a x2 + a 2y + a z2
(15)
Vektorielle Größen
c
Vektorprodukt zweier Vektoren (Äußeres Produkt) : Liefert Vektor !
b
Vektoren bilden mit resultierendem Vektor ein Rechtssystem
Rechtsschraube, RechteHand-Regel : a → b
→ →
→
c = a ⋅ b ⋅ sin(α )
a× b = c
→
→
→
c ⊥ a,
→
c ⊥b
→
→
→
→ →
→ →
DG : a × ( b + c ) = a × b + a × c
(kein KG!)
→ →
→
a
Physikalische Motivation :
Berechnung der Drehmoments
bei beliebiger Orientierung von
Kraft und Hebelarm
⇒ a× b = 0
→
→
→
→
→
→
→
→
a⊥b
→ →
⇒| a × b |= a ⋅ b
→
→
e y × e x = − ez
b
c
→
e x × e y = ez
→ →
b× a = − a× b
→ →
a
⇒ a× a = 0
→ →
a×λ b = λ ⋅(a× b )
α
→
a || b
→
→
→ →
→
α
Gemäß
Rechtsschraubenregel
→
→
→
→
e y × ez = e x
→
→
Spezialfälle :
→
→
→
ez × e x = e y
→
ez × e y = − e x
→
→
→
→
→
e x × ez = − e y
→
e x × e x = e y × e y = ez × ez = 0
Geometrische Deutung :
Der Betrag des Vektorprodukts ist gleich der Fläche des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms
© H.Neuendorf
Vektorprodukt in Komponentenschreibweise : Komponentendarstellung der Vektoren und
Bildung der Vektorprodukte unter Beachtung der Spezialfälle parallel / senkrecht
→ →
→
→
→
→
→
→
a × b = ( a x e x + a y e y + a z e z ) × ( b x e x + b y e y + bz e z ) =
→
→
→
→
→
→
→
→
→
Definition eines rechtshändigen
Koordinatensystems :
→
→ → →
 e x × e y  ⋅ e z = +1


z
+ a y b x e y × e x + a y b y e y × e y + a y bz e y × e z +
→
→
→
→
→
Vektorielle Größen
→
= a x b x e x × e x + a x b y e x × e y + a x bz e x × e z +
→
y
→
x
+ a z b x e z × e x + a z b y e z × e y + a z bz e z × e z
→
→
Determinanten-Schreibweise :
→
= a x b y e z + a x bz ( − e y ) + a y b x ( − e z ) +
→
→
→
→
→
ex
a× b = ax
ey
ay
ez
az
bx
by
bz
→ →
→
+ a y bz e x + a z b x e y + a z b y ( − e x )
 a y bz − a z b y 


= ( a y bz − a z b y ) e x + ( a z b x − a x bz ) e y + (a x b y − a y b x ) e z =  a z b x − a x bz 
a b − a b 
y x
 x y
Übung: Was erhält man speziell für zwei Vektoren a und b die in der (x,y)-Ebene liegen ?
→
© H.Neuendorf
(16)
→
→
Koordinatensysteme
- Zusammenhang mit cartesischen Koordinaten
(17)
Beschreibung physikalischer Zusammenhänge in verschiedenen frei wählbaren
Koordinatensystemen → Länge + Richtung von Vektoren bleibt erhalten
Naturgesetze dürfen weder vom Maßsystem noch vom Koordinatensystem abhängen !
Voraussetzung : Inertialsystem = nicht-beschleunigtes System !
Auch in nichtcartesischen Systemen
sind spezielle Einheitsvektoren e definiert :
1. Ebene Polarkoordinaten :
r = Abstand vom Ursprung
ϕ = Winkel(Verbindungsvektor, x-Achse)
y e
T
P : r ,ϕ
x = r ⋅ cos(ϕ )
y = r ⋅ sin(ϕ )
r=
tan(ϕ ) =
x2 + y2
er
ϕ
x
y
x
r = Länge (x,y)-Ortsvektorprojektion
ϕ = Winkel( Proj.Vektor, x-Achse )
© H.Neuendorf
radiale + tangentiale
Einheitsvektoren
r
e r ⊥ eT ⊥ e z
2. Zylinderkoordinaten :
z = Abstand von (x,y)-Ebene
P
P : r ,ϕ , z
Koordinatensysteme
z
r·sin(ϑ)
r = Abstand vom Ursprung = Länge Ortsvektor
P
ϕ = Meridianwinkel(xy-Projektion Ortsvektor, x-Achse)
ϑ
ϑ = Polwinkel(Ortsvektor, z-Achse)
P : r , ϕ ,ϑ
ϕ = [0,2π ]
x = r ⋅ sin(ϑ ) ⋅ cos(ϕ )
ϑ = [0, π ]
y = r ⋅ sin(ϑ ) ⋅ sin(ϕ )
z = r ⋅ cos(ϑ )
tan (ϕ ) =
© H.Neuendorf
x + y +z
y
x
r
Draufsicht
y
ϕ
x
 r ⋅ sin(ϑ ) ⋅ cos(ϕ ) 
 sin(ϑ ) ⋅ cos(ϕ ) 




r =  r ⋅ sin(ϑ ) ⋅ sin(ϕ )  = r ⋅  sin(ϑ ) ⋅ sin(ϕ )  = r ⋅ e r




r ⋅ cos(ϑ )
cos(ϑ )




z
2
ϑ
P
Radialer (Einheits-) Vektor mittels Kugelkoordinaten :
x2 + y2 + z2
cos(ϑ ) =
r
r·cos(ϑ)
3. Kugelkoordinaten = räumliche Polarkoordinaten :
r=
(18)
z
2
2
 sin(ϑ ) ⋅ cos(ϕ ) 


⇒ e r =  sin(ϑ ) ⋅ sin(ϕ ) 


cos(ϑ )


Sehr nützlich :
sin 2 (α ) + cos 2 (α ) = 1
Koordinatensysteme
Translation
(19)
z'
Übergang zu verschobenem
Koordinatensystem
P
z
r
Verschiebevektor R bewirkt
parallele Translation mit
Koordinaten-Transformation :
r'
R
x'
y'
y
x
 x' → →  x − Rx 


 
R+ r ' = r ⇒ r ' =  y'  = r − R =  y − R y 
 


 z' 
 z − Rz 
→
→
→
→
Translation : Richtung + Länge aller Vektoren erhalten
⇒ Symmetrieoperation / keine Beschleunigung
Rotation :
⇒ Keine Symmetrieoperation / zusätzliche Beschleunigung
Inertialsysteme :
Naturgesetzliche Beschreibung ist in allen gleichförmig
bewegten, unbeschleunigt translatierenden, nicht rotierenden
Koordinatensystemen identisch ⇒
Alle Inertialsysteme sind physikalisch gleichwertig !
Es gibt kein ausgezeichnetes Inertialsystem !
© H.Neuendorf
Symmetrie = Invarianz
unter Transformation
"Etwas ist symmetrisch,
wenn man es einer
bestimmten Operation
unterziehen kann und es ist
nach der Operation noch
genau dasselbe" H.Weyl
Kinematik der Massenpunkte
Lehre von Bewegungen der Körper :
Beginn der empirischen Physik mit Galilei :
Experimente + Messungen, Definition neuer
Begriffe, mathematische Formulierung
(20)
Berechnung von Bahnkurven
Rein mathematischer Ansatz → Ursache der Bewegung = Kräfte werden nicht formuliert !
Modell = Idealisierung → Absehen von Ausdehnung → Körper = Punktmasse
Konsequenz der Näherung :
Elimination von Störeffekten
→
Vernachlässigung von Eigenrotation + Drehmomenten
r (t )
Vernachlässigung von Verformungen + Eigenschwingungen
Alle auf Körper wirkenden Kräfte greifen in einem Punkt an
Zeitabhängige Position des Körpers durch nur einen Ortsvektor r(t) beschrieben
geradlinig ⇒
eindimensional
Geschwindigkeit :
a) Gleichförmige 1d-Bewegung
v :=
∆x
= const
∆t
v=
Gleiche Strecken In gleichen Zeitintervallen
x ( t ) − x (0 s ) x ( t ) − x 0
=
(t − 0 s)
t
⇒
x (t ) = x0 + v ⋅ t
Weg-Zeit-Diagramm = Gerade
x
Konstante Steigung ∝ konstante Geschwindigkeit v
x0
Wichtig : Relativ zu welchem Bezugssystem = Inertialsystem ?
© H.Neuendorf
x(t)
t
(21)
Kinematik der Massenpunkte : Geschwindigkeit
b) Ungleichförmige geradlinige Bewegung :
In gleichen Zeitintervallen ungleiche Strecken zurückgelegt
Weg-Zeit-Diagramm ist gekrümmte Kurve
Für endliche Zeitintervalle erhält man als Mittelwert die mittlere Geschwindigkeit
v m :=
∆x
≠ const
∆t
x (t 2 ) − x (t1 ) x (t 4 ) − x ( t 3 )
≠
(t 2 − t1 )
(t 4 − t 3 )
Mittlere Geschwindigkeit =
x
Tangente
grobes, unzureichendes Maß
x(t)
Sekante zwischen zwei Zeitpunkten (zeitabhängig!)
Sekante
Momentane Geschwindgkeit =
t
Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt =
Steigung der Tangenten im Weg-Zeit-Diagramm
t1
∆t
t2
Anstieg der x(t) -Kurve = 1. Ableitung x(t) nach Zeit
x (t1 + ∆t ) − x (t1 ) dx (t ) •
∆x
v (t ) := lim
= lim
=
= x (t )
∆t → 0 ∆t
∆t → 0
∆t
dt
Voraussetzung :
Stetiger Verlauf, Differenzierbarkeit
© H.Neuendorf
Differentialschreibweise !
Mit immer kleiner werdendem
Zeitintervall ∆t geht Sekante =
mittlere Geschwindigkeit in
Tangente = momentane
Geschwindigkeit über
(22)
Kinematik der Massenpunkte : Wegberechnung
Bei konstanter Geschwindigkeit v = ∆ x / ∆ t = const ist Wegstrecke einfach multiplikativ :
∆x = v ⋅ ∆t
Nicht-konstante Geschwindigkeit v(t) = dx(t) / dt
Nur über kleine Zeitintervalle ∆t ist v ≈ konstant
v(t)
Näherung umso besser, je feiner Unterteilung
Ziel ∆ t → 0 :
Liefert Integral-Begriff
∆x = x (t e ) − x (t a ) = v (t1 ) ⋅ ∆t + v (t 2 ) ⋅ ∆t + K =
=
te
v (t i ) ∆t = ∫ v ( t )dt
∑
∆t → 0
ta
t
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7
ta
te
b) v = g·t
Integration als Umkehrung der Differentiation
Mit Differentialen kann man "rechnen"
dx (t )
⇒ v (t ) ⋅ dt = dx (t ) ⇒
dt
Bsp: a) v = const
© H.Neuendorf
∆t
lim
i
v (t ) =
∆x3
→ Aufsummation aller Teilstrecken v(t) ·∆ t
v(t3) = v(ti )
→ Unterteilung in kleine Zeitintervalle ∆ t
∫ v (t ) ⋅ dt = ∫ dx (t ) = ∆x
Weg ist die Fläche unter der / das Zeit-Integral
über die Geschwindigkeits-Zeit-Kurve.
⇒
∆x = ∫ v dt = v ∫ dt
⇒
∆x = ∫ v dt = ∫ g·t dt = 1/2g t2
= v·∆t
Geschwindigkeit ist der Anstieg / die zeitliche
Ableitung der Weg-Zeit-Kurve
Differentialrechnung
einer Veränderlichen
(23)
f(x) = y
f(x2)
Differenzenquotient = Sekantenanstieg
∆y
Verhältnis ∆ y / ∆ x ist der Differenzenquotient
∆y f ( x 2 ) − f ( x1 ) f ( x1 + ∆x ) − f ( x1 )
=
=
∆x
x 2 − x1
∆x
Differentialquotient = Tangentenanstieg
Grenzübergang ∆x → 0
x1
∆x
f(x1)
x2
x
f(x) = y
"Anstieg am Punkt x0"
df ( x )
 ∆y  dy
lim   =
= f ' ( x0 ) =
∆x → 0 ∆x 
dx
dx x
x0
0
x
Definition dient zur Berechnung von Differentialquotienten mittels Grenzwertbetrachtung :
Bsp :
f ( x) = 3 x 2
Aus solchen Grenzwertbetrachtungen erhält man
alle bekannten symbolischen Ableitungsregeln !
f ( x + ∆x ) − f ( x )
3( x + ∆x ) 2 − 3 x 2
⇒ f ' ( x ) = lim
= lim
=
∆x → 0
∆x → 0
∆x
∆x
3 x 2 + 6 x ⋅ ∆x + 3∆x 2 − 3 x 2
6 x ⋅ ∆x + 3∆x 2
= lim
= lim
= lim (6 x + 3∆x ) = 6 ⋅ x
∆x → 0
∆x → 0
∆x → 0
∆x
∆x
© H.Neuendorf
1.
y=a ⇒
3.
y = cx 2
⇒
y ' = 2cx
5.
y = xn
⇒
y ' = n ⋅ x n −1
6.
y = u( x ) + v ( x ) ⇒
7.
y = u( x ) ⋅ v ( x ) ⇒
8.
y=
9.
y' = 0
u( x )
⇒
v( x)
10.
y = ex
11.
y = sin( x ) ⇒
⇒
y = x3
y = x −n =
y ' = u'+ v '
u'⋅v − u ⋅ v '
y' =
y' = e x
v
2
y ' = b = const
⇒
1
xn
y' = 3 x 2
⇒
y ' = − n ⋅ x − n −1 =
Ableitungsregeln
−n
x n +1
(Summenreg el)
(Produktregel)
(Quotientenregel)
df du df
⋅
=
du dx dx
y = c ⋅ e a⋅ x ⇒
y ' = cos( x )
y = sin(ϕ (t )) ⇒
© H.Neuendorf
4.
y ' = u ⋅ v '+ v ⋅ u'
y' =
y = f (u( x )) ⇒
y = bx ⇒
2.
(24)
(Kettenregel)
y ' = c ⋅ a ⋅ e a⋅ x
y = cos( x ) ⇒
y ' = − sin( x )
dy dy dϕ
dϕ
=
⋅
= cos(ϕ (t )) ⋅
dt dϕ dt
dt
"Kürzen" der
Differentiale
(25)
b
∫ f ( x )dx
=
a
2.
∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
a
b
a≤m≤b
m
f(x)
b
∫ k ⋅ f ( x )dx
= k ⋅ ∫ f ( x )dx
a
3.
Integrale
b
k = const
a
b
b
a
a
0
0
a
∫ f ( x )dx = ∫ f ( x ) dx −∫ f ( x ) dx =
f ( xi )
1.
m
− ∫ f ( x )dx
b
x
a
4.
∫
f ( x )dx = 0
∆x
xi
a
a
b
5.
∫ ( f ( x ) + g ( x )) dx =
∫
a
a
b
6.
b
∫
a
f ( g ( x )) dx =
g (b)
∫
g (a )
b
f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx
f (g )⋅
∆x =
a
dx
dg
dg
Subst .
F=
Fläche unter
Kurve
b−a
n
Definition des
Integrals :
n
lim
n → ∞ , ∆x → 0
b
∑ f ( x ) ⋅ ∆x
i =1
= ∫ f ( x ) dx
a
© H.Neuendorf
b
i
(26)
Integration : Stammfunktionen
1.
Hauptsatz der Integralrechnung
∫ f ( x ) dx = 0 + c
f ( x) = 0 ⇒
Differentiation kehrt Integration um ⇒
Test der Regeln durch Ableiten
2.
f ( x ) = bx ⇒
3.
f ( x ) = bx 2
5.
f ( x) = x n
∫
−n
6.
f ( x) = x
7.
f ( x ) = b ⋅ e a⋅ x
∫
f ( x ) dx =
∫
⇒
⇒
F = ∫ f ( x ) dx ⇒ F ' ( x ) = f ( x )
1
f ( x ) dx = bx 3 + c
3
∫
⇒
⇒
1 2
f ( x ) dx = bx + c
2
1
⋅ x n +1 + c
n +1
1
f ( x ) dx =
x − n +1 + c
− n +1
∫
b
f ( x ) dx = ⋅ e a⋅ x + c
a
Berechnung des bestimmten Integrals :
Einsetzen der Integrationsgrenzen ⇒
Integrationskonstante fällt weg
b
b
∫a f ( x )dx = ∫0 f ( x )dx − ∫0 f ( x )dx
= F (b ) − F ( a )
b
8.
f ( x ) = sin( x ) ⇒
∫ f ( x ) dx = − cos( x ) + c
9.
f ( x ) = cos( x ) ⇒
∫ f ( x ) dx = sin( x ) + c
Bei physikalischen Problemen wird Wert der Integrationskonstanten
durch die physikalischen Randbedingungen festgelegt !!
© H.Neuendorf
a
b
1 
Bsp : ∫ x 2 dx =  x 3 
3  a
a
1 
1
=  b3 − a 3 
3 
3
dx
v (t ) =
dt
Anwendung Integration auf physikalische Begriffe
v = v(t)
dx = v (t ) ⋅ dt
Geschwindigkeit
variiert ständig
∆x3
v(t3) = v(ti)
∆F3
f(x3) = f(xi)
y = f(x)
Nur über kleine
(infinitessimale) Zeitintervalle ∆t durch
festen Wert näherbar !
x
∆x
a
∆x =
b−a
n
t
b
∆t
a
∆t =
Fläche unter Kurve
n
∆Fi =
∑
n →∞
∆F = F (b) − F (a ) = lim
f ( x i ) ⋅ ∆x
∑
n → ∞ , ∆x → 0
lim
i =1
b−a
n
Strecke = Fläche unter
Geschwindigkeits-Zeit-Kurve
n
∆x i =
∑
n →∞
i =1
n
v ( t i ) ⋅ ∆t
∑
n → ∞ , ∆t → 0
= ∫ f ( x ) dx
lim
i =1
b
Analog: ∆v = ∫ a ( t ) dt
© H.Neuendorf
⇒ lim ∆t → 0
∆x = x (b) − x (a ) = lim
b
a
Grenzübergang
b
i =1
n
(27)
a
b
= ∫ v ( t ) dt
a
(28)
Kinematik der Massenpunkte : Krummlinige Bahnen
Lage des Massenpunktes durch drei cartesische Koordinaten bestimmt : x(t) y(t) z(t)
Zusammengefasst im Ortsvektor r
→
→
→
vom Koordinatenursprung zum Ort des Teilchens
→
r (t ) = x (t ) e x + y (t ) e y + z (t ) e z
Trajektorie
 x (t ) 


=  y (t ) 
 z (t ) 


 v x (t ) 


v (t ) =  v y (t ) 
 v (t ) 
 z 
→
Bewegung eines Teilchens
determiniert durch :
1. Anfangsbedingungen
aktueller Ort r +
aktuelle Geschwinigkeit v
2. Wirkende Beschleunigungen
(Kräfte)
Phasenraum ( r, v ) :
Komplette Koordinaten beschreiben die 6
Freiheitsgrade der Bewegung pro Teilchen :
3 Komponenten des Ortsvektors
3 Komponenten des Geschwindigkeitsvektors
N Teilchen ⇒ 6N Freiheitsgrade
© H.Neuendorf
+
Kinematik der Massenpunkte
(29)
Krummlinige Bahnen
Geschwindigkeit v durch zeitliche Ableitung aller drei Komponenten von r
⇒ v ist dreikomponentiger Vektor im Raum
z
 x (t ) 


r (t ) =  y (t ) 
 z (t ) 


→
z(t)
Vektor wird differenziert, indem man
komponentenweise differenziert …
P
r(t)
ez

  d x (t ) 
v x (t )   x (t )   dt


→

 • 
d
⇒ v (t ) =  v y (t )  =  y (t )  =  y (t ) 

 v (t )   •   dt

 z   z (t )   d
z
t
(
)


  dt

•
 x ( t + ∆t ) − x ( t ) 

1 
= lim
 y ( t + ∆t ) − y ( t ) 
∆t → 0 ∆ t 

 z ( t + ∆t ) − z ( t ) 
© H.Neuendorf
y(t)
ey
ex
y
x(t)
x
→
| v |= v x2 + v 2y + v z2 =
2
2
 dx   dy   dz 
=   +  + 
 dt   dt   dt 
2
Kinematik der Massenpunkte
(30)
Krummlinige Bahnen
Bewegung des Massenpunktes entlang Bahnkurve durch zeitabhängigen
Ortsvektor r(t) beschrieben, der der Bahnkurve folgt
Zwischen zwei Zeitpunkten hat sich Massepunkt um
Verschiebungsvektor ∆ r weiterbewegt.
z
Bahnkurve r(t)
Auf Bahnkurve wurde Weg ∆ s durchlaufen
z
→
→
r(t)
→
∆ r = r ( t + ∆t ) − r ( t )
r (t + ∆t)
in (x,y)Ebene …
∆r
∆r
∆s
r (t + ∆t)
Für ∆t → 0 geht ∆ r → ∆ s
y
∆s
r(t)
x
y
→
→
→
v ⊥r
x
Kreisbewegung : Momentaner Geschwindigkeitsvektor steht stets senkrecht zum Ortsvektor !
Richtungen durch radiale und tangentiale
Einheitsvektoren beschrieben
© H.Neuendorf
→
er
→
r = r⋅er
→
→
v = v⋅ eT
→
→
r
→
eT
v
Kinematik der Massenpunkte : Beschleunigung
(31)
[ m / s 2]
Beschleunigung a (acceleratio ) = Geschwindigkeits-Änderung durch :
a) Zunahme / Abnahme Geschwindigkeitsbetrag |v| ohne Richtungsänderung
→ geradlinige beschleunigte Bewegung
b) Richtungsänderung des Vektors v trotz konstantem Geschwindigkeitsbetrag
→ z.B. Kreisbewegung !
v
Tangente
→ a) Analog Geschwindigkeit :
Mittlere Beschleunigung = Sekantensteigung
v(t)
Momentane Beschleunigung = Tangentensteigung
Sekante
Zeitintervalle ∆t → 0
a m :=
v 2 − v1 ∆v
=
t 2 − t1 ∆t
m 
 s 2 
v (t + ∆t ) − v (t ) d
a (t ) := lim
= v (t )
∆t → 0
∆t
dt
d d
d 2 x ( t ) ••
=
x (t ) =
= x (t )
2
dt dt
dt
© H.Neuendorf
t
3d-Vektor !
t1
t2
Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm
Erste Ableitung der Geschwindigkeit nach Zeit
Zweite Ableitung der Ortsfunktion nach der Zeit
Newton : Jede Beschleunigung resultiert aus Krafteinwirkung. Kräfte sind Ursache aller Beschleunigungen
und somit aller Bewegungszustands-Änderungen !
Kinematik der Massenpunkte
(32)
Spezialfall : a(t) = const
Geschwindigkeit v verändert sich linear im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm
Änderung der Geschwindigkeit v(t) ist Beschleunigung a(t)
Anfangs- / Rand-Bedingungen :
Zur Zeit t = 0s hat v(t) Wert v(t=0) = v0
Festlegung Integrationskonstanten durch
Anfangsbedingungen für Startzeitpunkt
Zur Zeit t = 0s hat x(t) Wert x(t=0) = x0
t = t0 = 0s
x (t ) = ∫ v (t ) dt =
= ∫ (a ⋅ t + v 0 ) dt = a ∫ t dt + ∫ v 0 dt =
1
= a ⋅ t 2 + v 0 ⋅ t + x0
2
v
v(t) = v0 + a·t
v0 = v ( t = 0 )
v (t ) = ∫ a (t ) dt = a ⋅ ∫ dt = a ⋅ t + v 0
v(t)
t
t1
Manchmal ist die Integration trivial (wie hier), manchmal analytisch nicht
mehr möglich und nur noch als Computersimulation numerisch machbar
Bsp: Drei-Körper-Problem i.A. nicht mehr analytisch lösbar
© H.Neuendorf
t2
(33)
Beschleunigung, Geschwindigkeit, Ort
Entwicklung von Geschwindigkeit und Ort bei konstanter Beschleunigung :
Beschl.-Zeit-Diagramm
a
⇒
Geschw.-Zeit-Diagramm
Orts-Zeit-Diagramm
x
v
a = const
⇒
a>0
a>0
a>0
x0
v0
v(t) = v0 + a·t
v = a ⋅t
x=
a 2
⋅t
2
x(t) = x0 + v0 ·t + ½ a·t2
v0 = 0 m/s :
⇒ v2 = 2⋅a ⋅ x
Durch Galilei empirisch gefunden.
Eigentlich "triviale" mathematische Anwendung des
Newton'schen Differentialkalküls !
© H.Neuendorf
t
a<0
a<0
Spezialfall x0 = 0 m
a<0
t
t
Freier Fall Richtung Erdmittelpunkt mit
breitenabhängiger Beschleunigung
g = 9.81 m/s2 liefert Fallgesetze :
s=½gt2
v = g·t
⇒ v 2 = 2·g·s
(34)
Bsp : Einfache Kinematik-Aufgabenstellung → Bremsvorgang
Konstante Beschleunigung a < 0 m/s2 bei Abbremsvorgang
Randbedingungen :
t = 0s → v(t=0s) = v0
t = T → v( t=T ) = 0 m/s
x(t=0s) = 0m
v (t ) = v 0 + a ⋅ t
x( t=T ) = s
t=T
0
x=s
Objekt steht !
Bremsweg !
a
x (t ) = v 0 ⋅ t + t 2
2
m
⇒ v (T ) = 0 = v 0 + a ⋅ T
s
0
1. Aufstellen bekannter Beziehungen
2. Einbau der Randbedingungen
3. Auflösen nach gesuchter Größe
v
⇒ T =− 0
a
2
v 02 v 02
v 02
a 2
 v0  a  v0 
⇒ x (T ) = s = v 0 ⋅ T + T = v 0 ⋅  −  + ⋅  −  = − +
=−
2
a 2a
2a
 a 2  a
v 02
⇒ s=−
2a
© H.Neuendorf
v 02
⇔ a=−
2s
⇒ T=
2s
v0
Bremsweg wächst
quadratisch mit
Geschwindigkeit !
(35)
Kinematik der Massenpunkte
Ziel der Kinematik :
Integration der Bewegungsgleichungen
Bestimmen der expliziten Bahnkurve r (t)
Anfangsbedingungen :
Festlegung Integrationskonstanten durch
Anfangsbedingungen für Startzeitpunkt
Zur Zeit t = 0s hat v(t) Wert v(t=0) = v0
Zur Zeit t = 0s hat x(t) Wert x(t=0) = x0
t = t0 = 0s
v (t ) = ∫ a (t ) dt
x ( t ) = ∫ v (t ) dt
r(t)
d
dt
v(t)
∫....dt
d
dt
a(t)
∫....dt
Der Weg von r(t) zu a(t) ist leichter und gelingt immer.
Der Weg von a(t) zu r(t) ist schwieriger und nicht immer analytisch möglich.
© H.Neuendorf
(39)
Beschleunigung durch Richtungsänderung : Kreisbewegung
Massenpunkt läuft auf Kreisbahn mit Radius r = const um Ursprung
Winkel ϕ(t) zwischen Achse und Ortsvektor r variiert
Völlig analog zur
Geschwindigkeit v
1. Gleichförmige Kreisbewegung
In gleichen Zeitintervallen ∆t werden gleiche Winkel ∆ ϕ überstrichen
Vom Fahrstrahl überstrichener Winkel ϕ(t) wächst linear in der Zeit
⇒ Analog zu Bahngeschwindigkeit v = ∆x / ∆t wird Winkelgeschwindigkeit definiert :
∆ϕ ϕ (t + ∆t ) − ϕ (t )
=
ω :=
∆t
∆t
" rad "
 s 
y
P
r
ϕ
ω = const ⇒ ϕ (t + ∆t ) = ω ⋅ ∆t + ϕ (t )
t = 0 s : ϕ (0 s ) = 0 rad
⇒ ϕ (t ) = ω ⋅ t
© H.Neuendorf
x
(40)
Beschleunigung durch Richtungsänderung : Kreisbewegung
∆ϕ / ∆t ≠ const
2. Ungleichförmige Kreisbewegung
Momentane Winkelgeschwindigkeit ω(t)
(∆t → 0s)
⇒ Erste zeitliche Ableitung der Winkelfunktion ϕ(t)
y
P
ω (t ) = lim
ϕ (t + ∆t ) − ϕ (t )
∆t → 0
∆t
dϕ ( t )
=
dt
r
∆s
∆ϕ
x
Drehwinkel ϕ( t ) durch Integration von ω( t )
⇒ ϕ (t ) = ∫ ω (t ) dt
Anfangsbedingung :
ϕ( t=0s )
Bahngeschwindigkeit v folgt aus ω gemäß Winkeldefinition
im Bogenmaß :
r ⋅ ∆ϕ
∆s
= lim
= r ⋅ ω (t )
∆t → 0 ∆ t
∆t → 0 ∆ t
∆ϕ =
∆s
r
⇒
∆s = r ⋅ ∆ ϕ
v (t ) = lim
v (t ) = r ⋅ ω (t )
© H.Neuendorf
Allgemeiner Zusammenhang
Gilt für gleichförmige und
ungleichförmige Kreisbewegung
Winkel müssen im Bogenmaß
angegeben werden !
(41)
Kreisbewegung
Geschwindigkeiten sind Vektoren ⇒ Richtungsdefinitionen nötig
 0 


ω (t ) =  0 


 ω (t ) 
a) v(t) verläuft tangential zur Bahnkurve
→
z
b) Richtung von ω(t)
Senkrecht auf Bahnebene
ω(t)
Parallel zur Drehachse
Rechtsschraubenrichtung – RechteHandRegel
Beträge :
v (t ) = r ⋅ ω (t )
Orientierungen :
→ → →
v ⊥ r  ⊥ω


Können wir dies auch analytisch darstellen ? …
ϕ
y
r(t)
v(t)
x
Kreisfrequenz
ω = "2π / Zeit"
Rotationsfrequenz
f = "Zahl Umläufe / Zeit"
dϕ 2π
=
= 2π ⋅ f
ω=
dt
T
Periode
T = Umlaufzeit = 1 / f = 2 π/ ω
ω = 2π ⋅ f
© H.Neuendorf
⇒ ω≠ f
Gleichförmige Kreisbewegung
(42)
(in x,y-Ebene)
y
Speziell : ω(t) = const = ω
dϕ ( t )
=ω
dt
⇒ ϕ (t ) = ω ⋅ t
r·sin(ϕ)
ω (t ) =
ϕ
Ortsvektor r(t) der Kreisbewegung in (x,y)-Ebene :
r·cos(ϕ)
x
 x (t )   r ⋅ cos(ω ⋅ t ) 
 cos(ω ⋅ t ) 

 



r (t ) =  y (t )  =  r ⋅ sin(ω ⋅ t )  = r ⋅  sin(ω ⋅ t ) 
 z (t )  



0m
0

 



→
Betrag von r ist konstant !
Kettenregel !
 − r ⋅ ω ⋅ sin(ω ⋅ t ) 
 − sin(ω ⋅ t ) 
→




d r (t )
⇒ v (t ) =
=  r ⋅ ω ⋅ cos(ω ⋅ t )  = r ⋅ ω ⋅  cos(ω ⋅ t ) 
dt




0m / s
0




→
Winkelgeschwindigkeit ω ist
konstant !
Betrag Bahngeschwindigkeit v
ist konstant !
→
eT
→ →
v ⋅ r = r 2 ⋅ ω ⋅ (− cos(ω ⋅ t ) ⋅ sin (ω ⋅ t ) + sin (ω ⋅ t ) ⋅ cos(ω ⋅ t )) = 0
⇒
© H.Neuendorf
→
→
v⊥r
Ortsvektor r(t) und Bahngeschwindigkeit v(t)
stehen stets senkrecht zueinander !
→
v (t ) = r ⋅ ω
Gleichförmige Kreisbewegung
Berechnung Beschleunigungsvektor a( t ) :
(43)
y
Betrag von r
konstant !
 − sin(ω ⋅ t ) 
→


d r (t )
v (t ) =
= r ⋅ ω ⋅  cos(ω ⋅ t ) 
dt


0


→
Anwendung
Kettenregel !
ϕ
Betrag Zentripetalbeschleunigung
a(t) konstant
r·sin(ϕ)
Winkelgeschwindigkeit ω konstant !
r·cos(ϕ)
 − ω ⋅ cos(ω ⋅ t ) 
 − cos(ω ⋅ t ) 




d v (t )
2
⇒ a (t ) =
= r ⋅ ω ⋅  − ω ⋅ sin(ω ⋅ t )  = r ⋅ ω ⋅  − sin(ω ⋅ t ) 
dt




0 s −1
0




→
→
→
− er
→
a (t ) = r ⋅ ω 2
→ →
v ⋅ a = r 2 ⋅ ω 3 ⋅ (sin (ω ⋅ t ) ⋅ cos(ω ⋅ t ) − cos(ω ⋅ t ) ⋅ sin (ω ⋅ t )) = 0
⇒
→
→
v ⊥a
Beschleunigungsvektor a(t) stets senkrecht zur Bahngeschwindigkeit v(t)
a(t) stets antiparallel zum Ortsvektor r(t)
a(t) zeigt stets zum Zentrum der Kreisbewegung
⇒
© H.Neuendorf
Zentripetalbeschleunigung
x
Gleichförmige Kreisbewegung
 a b − azby 
→ →  y z

a × b =  a z b x − a x bz 


 a x b y − a y bx 
Vektorielle Zusammenhänge mit Vektorprodukt
 0   r ⋅ cos(ω ⋅ t )  − ω ⋅ r ⋅ sin (ω ⋅ t )

  
 
v ( t ) = ω × r (t ) =  0  ×  r ⋅ sin (ω ⋅ t )  =  ω ⋅ r ⋅ cos(ω ⋅ t ) 

ω  
 
0m
0m/s

  
 
→
→
→
Für ω(t) = ω = const
Vektor a(t) zeigt immer zum
Rotations-Zentrum =
Zentripetalbeschleunigung
Berechnung Beschleunigungsvektor :
→
→
→
⇒ a (t ) ⊥ ω
⇒
→
→
z
→
ω(t)
a (t ) ⊥ v (t )
a (t ) = ω ⋅ v = ω 2 ⋅ r
→
ϕ
→
v (t ) = ω (t ) × r (t )
Gilt allgemein - auch für ungleichförmige
Kreisbewegung mit ω(t) ≠ const!
© H.Neuendorf
→
→
→
Bem :
→
→
d v (t ) d 
d r (t ) → →

⇒ a (t ) =
=  ω × r (t )  = ω ×
= ω × v (t )
dt
dt 
dt

→
(44)
y
r(t)
x
v(t)
Ungleichförmige Kreisbewegung
Winkelgeschwindigkeit ω( t ) ist nicht konstant !
(45)
Betrag von r
ist konstant !
y
ω (t ) =
dϕ ( t )
≠ const ⇒ ϕ (t ) ≠ ω ⋅ t
dt
ϕ
r·sin(ϕ)
Drehwinkel ϕ( t ) ist beliebige Funktion der Zeit !
r·cos(ϕ)
x
Ortsvektor r(t) der Kreisbewegung in (x,y)-Ebene :
 x ( t )   r ⋅ cos ϕ (t ) 
 cos ϕ (t ) 

 



r (t ) =  y (t )  =  r ⋅ sin ϕ ( t )  = r ⋅  sin ϕ (t ) 
 z ( t )   0m

 0 

 



→
Anwendung
Kettenregel !
dϕ ( t )


−
r
⋅
⋅ sin ϕ ( t ) 

dt
→
 − sin ϕ (t ) 


→


d r ( t )  dϕ ( t )

⇒ v (t ) =
= r⋅
⋅ cos ϕ (t ) = r ⋅ ω ( t ) ⋅  cos ϕ ( t ) 


dt
dt


−
1
0




0m / s


→


eT
→ →
v ⋅ r = r ⋅ ω (t ) ⋅ (− cos ϕ (t ) ⋅ sin ϕ (t ) + sin ϕ (t ) ⋅ cos ϕ (t )) = 0 ⇒
© H.Neuendorf
2
Ortsvektor r(t) und
Bahngeschwindigkeit v(t) stehen
stets senkrecht
zueinander !
→
→
v⊥r
(46)
Radiale und Tangentiale 2d-Einheitsvektoren
y
Ortsvektor mit radialem Einheitsvektor e r dargestellt :
→
r·sin(ϕ)
r
 x (t )   r ⋅ cos ϕ (t ) 
 cos ϕ (t ) 
r (t ) = 
=
 = r ⋅
 = r⋅er
 y ( t )   r ⋅ sin ϕ ( t ) 
 sin ϕ (t ) 
→
ϕ
x
r·cos(ϕ)
→
| e r |= (cos ϕ (t )) 2 + (sin ϕ (t )) 2 = 1
ϕ = 0:
ϕ =π :
→
1
er = 
 0
ϕ=
 − 1
er = 
0
→
π
2
→
:
0
er = 
1
3π
:
ϕ=
2
→
0
er = 
 − 1
 cos ϕ (t ) 
er =

 sin ϕ (t ) 
→
→
Zu e r senkrechter Einheitsvektor = Tangentialer Einheitsvektor e T
eT
 − sin ϕ ( t ) 
=

cos
(
t
)
ϕ


→
→
→
→
→
→
→
eT⋅ er =0 ⇒ eT ⊥ er
e T ⋅ e r = (− sin ϕ (t ) ⋅ cos ϕ ( t ) + cos ϕ (t ) ⋅ sin ϕ (t ) ) = 0
© H.Neuendorf
→
er
eT
Kreisbewegung : Allgemeine Beschleunigungen
(47)
Zeitliche Ableitung des Geschwindigkeitsvektors v(t) liefert Beschleunigung a(t)
Komponentenweise Vektordifferentiation von v(t) :
Nur noch Betrag von r sei konstant

 − sin ϕ (t ) 


d
d 
a (t ) = v (t ) =
r ⋅ ω ( t ) ⋅  cos ϕ ( t )  =


dt
dt



0


→
→
 − sin ϕ (t ) 
 − cos ϕ (t ) 




2
= r ⋅ ω (t ) ⋅  cos ϕ (t )  + r ⋅ ω (t ) ⋅  − sin ϕ ( t )  =




0
0




•
•
→
→
= r ⋅ ω (t ) ⋅ e T + r ⋅ ω (t ) ⋅ (− e r )
Parallel zu v (tang.)
→
2
Parallel zu -r (radial)
→
a (t ) = −ω ( t ) ⋅ r (t )
© H.Neuendorf
2
1.Term : Tangentiale Beschleunigung bei
Änderung von ω ⇒ Verschwindet bei
gleichförmiger Kreisbewegung !
2. Term : Zentripetalbeschleunigung - zeigt
zum Mittelpunkt ! Stets ≠ 0, auch wenn ω =
const ! Ursache der Kreisbewegung !
Gleichf. Rotation: |a| = ω2·r = v2 / r = ω·v
Übung : Wenn ω konstant ist, aber r nicht ? …
Grundgrößen der Kinematik
→
→
x,
r
ϕ
→
→
dr
v=
dt
→
ω=
dϕ
dt
→
→
2
→
dv d r
a=
= 2
dt
dt
→
α=
→
Grundgrößen und ihre
momentanen Änderungen
→
dω d ϕ
= 2
dt
dt
a = const ⇒ v (t ) = v 0 + a ⋅ t
2
⇒
a
x (t ) = x 0 + v 0 ⋅ t + t 2
2
α = const ⇒ ω (t ) = ω 0 + α ⋅ t ⇒ ϕ ( t ) = ϕ 0 + ω 0 ⋅ t +
 x (t ) 
 cos ϕ ( t ) 




r ( t ) =  y (t )  = r ⋅  sin ϕ (t ) 
 z (t ) 
 0 




→
v
v = ω ⋅r ⇔ ω =
r
(51)
" Galilei "
→
→
→
v = ω× r
v2
= ω2 ⋅r
ap =
r
α
2
t2
Grundsätzliche
Analogie zwischen
geradliniger und
kreisförmiger
Bewegung
Entwicklung der
Grundgrößen bei
konstanter
Beschleunigung
Spezialfall Kreisbewegung :
a) Vektorielle Abhängigkeiten
b) Betrags-Abhängigkeiten
Bislang nur mathematisch-geometrische Zusammenhänge analysiert. Noch nichts über Ursachen der Bewegungsänderungen
ausgesagt. Es fehlt noch ein analytischer Kraft-Begriff - von Massen, Kräften, Energien war noch nicht die Rede ! …
© H.Neuendorf
Superpositionsprinzip - Unabhängige Überlagerung von Bewegungen
Körper kann mehrere Teil-Bewegungen gleichzeitig ausführen
Überlagern sich störungsfrei : Jede Teilbewegung läuft ab, als wäre sie allein vorhanden
⇒ Vektorielle Addition der Vektoren r(t) v(t) a(t) aller Teilbewegungen
Waagerechter Wurf
Horizontaler Wasserstrahl zeigt Parabelform !
Gleichförmige Bewegung in x-Richtung + freier beschleunigter Fall in y-Richtung
⇒ Wurfparabel :
x = v0 ⋅ t
⇒
g 2
y = ⋅t
2
 v0 ⋅ t 
r =g 2 ⇒
 ⋅t 
2

→
⇒
 v0 
v =
 ⇒ v = v 02 + g 2 t 2
 g⋅t
→
0
⇒ a = 
 g
→
Die frei fallende und die horizontal abgeschossene
Kugel sind stets auf gleicher Höhe - und schlagen
gleichzeitig auf
© H.Neuendorf
g
y = 2 ⋅ x2
2v 0
(52)
Galilei-Transformation
z'
Beschreibung in verschiedenen Inertialsystemen :
Geradlinig gleichförmige Translation der beiden
Bezugssysteme mit konstanter Geschwindigkeit V
Keine Rotation
(53)
S( x',y',z' )
S( x,y,z )
P
z
r'
r
Keine Beschleunigung
R
→
→
→
R+ r ' = r
→
⇒
→ →
r' = r −V ⋅ t
t'= t
→
→ →
r' = r − R
→
R(t ) = V ⋅ t
v' =
→
→ →
Grundannahme klassische Physik
Galileisches
Relativitätsprinzip
→
d
d
dv →
a' = v ' = ( v − V ) =
=a
dt
dt
dt
© H.Neuendorf
→ →
x
In beiden Inertialsystemen werden gleiche
Zeitintervalle gemessen - das Resultat von
Zeitmessungen ist unabhängig vom
Bewegungszustand des Beoabchters
Durch spezielle Relativitätstheorie widerlegt !
Galilei-Transformation nur Näherung !
Gültigkeitsbereich :
→ →
d
( r −V ⋅ t) = v −V
dt
→
y
x'
Transformation
Wegen V = const ist Beschleunigung a
invariant gegenüber geradlinig gleichförmiger
Bewegung des Bezugssystems :
→
y'
→
V << c
In beiden Inertialsystemen
werden gleiche Kräfte registriert
In beiden Inertialsystemen
herrscht die gleiche Physik
Gleiche
Naturphänomene,
gleiche
Naturgesetze,
identische
Gleichungen
(54)
Trägheitskräfte in beschleunigten Bezugssystemen
Bewegungsgleichung F = m·a gilt in allen Inertialsystemen :
Invarianz der Newtonschen Gleichung bei Galilei-Transformation
Beschleunigung + Rotation
sind keine Symmetrieoperationen für Naturgesetze !
Beschleunigtes Bezugssystem : Scheinkräfte = Trägheitskräfte
S'
S
2
→
m
a'
1
m
Physikalische Situation
in S und S' ist nicht
äquivalent !
2
→
1
A
Beobachter in S beschreibt 2 :
Beobachter in S' beschreibt 2 :
Wagen 1 unter 2 beschleunigt mit A
Wagen 2 gegen Beobachter in S'
Wagen 2 bleibt in Ruhe
mit a2' beschleunigt
a2 = 0 m/s2 ⇒ F2 = 0 N
⇒ F2' = m·a2' ≠ 0 N
Vergleich S mit S' :
Objekt in S' fällt nicht senkrecht sondern
wird zusätzlich rückwärts beschleunigt
durch Trägheitskraft = Scheinkraft
Die beiden Beobachter
messen nicht gleiche
Beschleunigungen und
Kräfte – sie erhalten
nicht dieselben
Naturgesetze !
a' = - A
Trägheitskraft m·a' im beschleunigten Bezugssystem S' !
Wahre Kräfte → Sind die Ursache von Beschleunigungen / Bewegungsänderungen
Schein- / Trägheitskräfte → Werden erst durch Beschleunigungen verursacht !
© H.Neuendorf
Inertialsystem – weitere Definitionen
Solche Bezugssysteme, in denen ein Körper in Ruhe oder gleichförmiger Bewegung
verharrt, solange keine physikalischen Kräfte auf ihn einwirken, heißen Inertialsysteme.
Es ist unmöglich, in der Mechanik ein Experiment anzugeben, durch das ein
Inertialsystem vor einem anderen ausgezeichnet würde.
Wird eine physikalische Kraft in zwei Inertialsystemen gemessen, dann stimmen die
beiden Messwerte überein.
In Bezug auf alle Inertialsysteme werden dieselben Kräfte gemessen.
Die Newtonschen Grundgesetze der Mechanik nehmen in der klassischen Raum-Zeit
einheitlich für alle Inertialsysteme dieselbe Form an.
Jede Bewegung, die in einem Inertialsystem möglich ist, gibt es auch in jedem anderen
Inertialsystem.
© H.Neuendorf
(55)
(56)
Struktur von Raum und Zeit
Voraussetzungen jeder universellen Physik
Sind die Naturkonstanten
wirklich zeitlich konstant ??
1. Homogenität der Zeit
Naturgesetze gelten zu allen Zeiten in gleicher Weise
Speziell Newton: Zeit verläuft kontinuierlich und für alle Beobachter unabhängig von
ihrem Bewegungszustand in gleicher Weise
2. Homogenität des Raumes
Eigenschaften eines abgeschlossenen Systems hängen nicht von dessen Ort im Raum ab
Naturgesetze sind invariant unter räumlicher Translation im unendlich ausgedehnten Raum
An allen Orten im Universum gelten dieselben universellen Naturgesetze
Speziell Newton: Absoluter 3d-Raum ist euklidisch - unabhängig von Masseverteilung
"Die absolute, wahre und mathematische Zeit verfließt an sich und vermöge ihrer Natur gleichförmig, und ohne Beziehung auf irgend einen äußeren
Gegenstand ... Der absolute Raum bleibt vermöge seiner Natur und ohne Beziehung auf einen äußeren Gegenstand, stets gleich und unbeweglich."
3. Isotropie des Raumes
Keine Richtung im Raum ist naturgesetzlich ausgezeichnet
Korrektur von Newton erst durch Einstein :
1. An Stelle der absoluten Zeit tritt die in
allen Inertialsystemen konstante
Lichtgeschwindigkeit.
4. Voraussetzung jeder empirischen Naturwissenschaft
2. Massen krümmen die Raumzeit lokal.
Induktionsgesetz → Empirischer Schluss vom Einzelfall auf alle möglichen Fälle
Logisch problematisch - aber einzige Möglichkeit, sich in der Welt zu orientieren !
© H.Neuendorf
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Physik_Mechanik_1A [Repariert]