Dynamik Einführung Größen und ihre Einheiten

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Dynamik
Skript PLUS
Einführung
Die Dynamik beschreibt die Bewegung von Körpern unter dem Einfluss von Kräften.
Der Begriff stammt von dem griechischen Wort dynamis (Kraft) ab.
Sie ist, ebenso wie die Kinematik, ein Teilgebiet der Mechanik. Die Kinematik beschreibt die
Bewegung von Punkten und Körpern im Raum. Damit sich ein Körper bewegen kann, muss eine
äußere Ursache vorhanden sein, also eine Kraft, die auf den Körper wirkt. Diese Kräfte können
bewegliche Körper beschleunigen und verlangsamen oder unbewegliche Körper verformen. Mit
diesen Kräften befasst sich die Dynamik.
Größen und ihre Einheiten
Zwei wichtige Größen in der Dynamik sind die Kraft und die Masse.
Kraft
Die Kraft F beschreibt eine äußere Einwirkung
auf einen Körper.
Wenn zum Beispiel eine Bowlingkugel auf Pins
trifft, wirkt zwischen den beiden Körpern eine
Kraft: Die Kugel stößt die Kegel um und wird
durch den Widerstand der Kegel geringfügig
langsamer.
Die Einheit der Kraft ist Newton [N ] .
Quelle: wikimedia.org - Leon Brooks (Public Domain).
Es gilt:
1 N = 1
⋅
kg m
2
s
Kräfte werden durch Kraftvektoren dargestellt. Diese sind abhängig von Richtung, Betrag und
Angriffspunkt:
Die Richtung wird dargestellt durch den Pfeil
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Der Betrag wird durch die Länge des Pfeils dargestellt
Der Angriffspunkt ist der Punkt in dem die Kraft angreift
Masse
Jeder Körper besitzt eine Masse. Wenn du dich beispielsweise morgens auf die Waage stellst,
ermittelst du deine Masse. Die Masse eines Körpers ist ortsunabhängig, das heißt, du wiegst überall
im Universum gleich viel. Ihre Maßeinheit ist Kilogramm [kg]. Es gilt:
1 kg = 1.000 g
Superpositionsprinzip
Superposition ist die Überlagerung von gleichen physikalischen Größen, zum Beispiel von Kräften,
Schwingungen oder Wellen.
Das Superpositionsprinzip in der Mechanik besagt, dass mehrere Kräfte, die am gleichen
Angriffspunkt eines Körpers angreifen, die gleiche Bewegung verursachen wie ihre Summe, also die
Resultierende
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
Fres
der Einzelkräfte
⎯⎯→
Fi
.
n
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
Fres =
⎯⎯→
∑
Fi
i=1
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Hier ein kleines Beispiel:
Jonas zieht um. Um den bereits vollgepackten
Umzugskarton auf den Tisch zu stellen, schiebt er
ihn mit dem Fuß nach vorne. Dabei wirkt sein Fuß
eine Kraft
⎯⎯⎯→
Nun hebt er den Karton mit einer Kraft
oben und stellt ihn mit der Kraft
⎯⎯⎯→
F3
F2
⎯⎯⎯→
F1
auf den Karton aus.
nach
auf den Tisch.
Nach dem Superpositionsprinzip würde Jonas das
gleiche Ziel erreichen indem er die Kiste mit einer
Kraft
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
Fres
vom Startpunkt bis zum Tisch stetig
anhebt und gleichzeitig nach vorne trägt.
Die Resultierende Kraft wäre hier:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎯⎯⎯→
⎯⎯⎯→
⎯⎯⎯→
Fres = F1 + F2 + F3
Rechenbeispiel:
Jonas hebt die Umzugskiste wie im vorherigen Beispiel gezeigt auf den Tisch. Wie groß ist der
Betrag der resultierenden Kraft?
Gegeben sind die Kräfte:
50 N
⎯⎯⎯→
F1 =
(
0
)
,
0
⎯⎯⎯→
F2 =
( 100 N )
und
10 N
⎯⎯⎯→
F3 =
(
0
)
Lösung:
50 N
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
Fres
=
(
0
0
)
+
10 N
( 100 N )
+
(
0
)
50 N + 0 + 10 N
=
(
0 + 100 N + 0
)
60 N
=
( 100 N )
Der Betrag von
Fres
=
≈
=
√
√
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
Fres
ist dann:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
(60 N)² + (100 N)²
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
13600 N²
116, 2 N
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Newtonsche Axiome
Isaac Newton, ein englischer Physiker und Mathematiker
(Geboren 1643 in Woolsthorpe, verstorben 1727 in
London), veröffentlichte 1687 sein Hauptwerk Philosophiae
Naturalis Principia Mathematica (Mathematische Prinzipien
der Naturphilosophie). Darin legte er mit den drei
Newtonschen Axiomen den Grundstein zur klassischen
Mechanik.
Ein Axiom ist ein Grundsatz der ohne Beweis vorausgesetzt
wird. Zum Beispiel: „Wasser ist nass.“
Quelle: wikimedia.org -
Auf der Grundlage dieser drei Axiome kann jede Form der
Bewegung beschrieben werden.
http://www.phys.uu.nl/~vgent/astrology
/images/newton1689.jpg (Public Domain)
1. Newtonsches Axiom
Das 1. Newtonsche Axiom wird auch Trägheitsgesetz genannt.
Der Bewegungszustand eines Körpers ändert sich nicht, solange keine äußere Kraft auf ihn
einwirkt.
Stell dir vor, ein Fußball liegt auf einer Wiese. Solange keine äußere Kraft, zum Beispiel dein Fuß, auf
ihn einwirkt, wird er sich auch nicht bewegen. Das heißt, seine Geschwindigkeit behält den Wert
m
0
.
s
2. Newtonsches Axiom
Das 2. Newtonsche Axiom beschreibt den Zusammenhang
Beschleunigung.
Die Kraft ist definiert als Produkt aus Masse und Beschleunigung.
⃗
F = m
⋅
zischen
Kraft,
Masse
und
a⃗
Nochmal zurück zu unserem Fußball: Wenn du den Ball trittst, wirkt eine Kraft, hier durch deinen Fuß,
auf den Ball. Je nachdem wie fest du schießt, variiert die Beschleunigung. Das heißt, der Ball bewegt
sich schneller oder langsamer.
Nimm nun anstelle des Fußballs einen Medizinball: Die Kraft, die du aufwenden musst, damit sich der
Medizinball genauso schnell bewegt wie der Fußball, ist viel größer, da der Medizinball eine
wesentlich größere Masse hat als der Fußball.
Beispielaufgabe:
Im Champions League Finale 2012 kommt es zum Elfmeterschießen. Ein Profi-Fußballer schießt den
Ball, der eine Masse
m = 0, 45 kg
hat, mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von
100, 8
km
h
ins
Tor.
Wie viel Kraft wenden Sie dazu auf?
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Wie viel größer wäre die Kraft, die aufgewendet werden muss, um die gleiche Geschwindigkeit zu
erzielen, wenn anstelle des Fußballs ein Medizinball mit der Masse m = 1 kg am Elfmeterpunkt
liegt?
Quelle: wikimedia.org - Markus Unger (CC BY 2.0).
Lösung:
Gesucht ist die Kraft, mit der Fuß- und Medizinball getreten werden. Um diese zu ermitteln, nutzen
wir das 2. Newtonsche Gesetz: F = m ⋅ a . Die Masse ist bereits gegeben, es fehlt nur noch die
Beschleunigung a. Im PhysikLV Skript "`Kinematik"' hast du gelernt wie diese berechnet wird.
Dazu müssen wir zuerst die Einheiten anpassen:
v
km
= 100, 8
=
h
100,8
m
3,6
s
m
= 28
s
Im "`Kinematik"'-Skript wurde die Geschwindigkeit definiert als v
=
Δs
Δt
. Die Geschwindigkeit und die
Strecke sind gegeben. Also müssen wir die Zeit ausrechen, die der Ball von Elfmeterpunkt bis zur
Torlinie benötigt.
t
=
=
≈
Δs
Δv
11 m
28
m
s
0, 39 s
Die Beschleunigung ist definiert als a
a
=
≈
Δv
Δt
.
v
t
28
=
=
m
s
0,39 s
71, 8
m
2
s
Jetzt nehmen wir wieder das 2. Newtonsche Axiom F
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= m
⋅
a
zur Hand.
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F
= m
⋅
⋅
a
= 0, 45 kg
= 32, 31
⋅
m
71, 8
2
s
kg m
2
s
= 32, 31 N
Also bringt der Fußballspieler beim Elfmeterschießen eine Kraft von 32, 31 N auf.
Der einzige Unterschied zwischen dem Fußball und dem Medizinball ist die Masse. Alle anderen
Größen bleiben gleich. Daher müssen wir in der Formel nur die Masse ändern:
F
= m
⋅
⋅
a
= 1, 0 kg
= 71, 8
⇒
⋅
71, 8
m
2
s
kg m
2
s
= 71, 8 N
Die Kraft, die gebraucht wird, um einen Medizinball ins Tor zu befördern, ist ungefähr doppelt so
groß wie die Kraft, die wir bei einem Fußball aufbringen müssen.
3. Newtonsches Axiom
Das 3. Newtonsche Axiom wird auch Wechselwirkungsgesetz genannt und ist bekannt als:
„Actio = Reactio“
Kräfte treten immer paarweise auf. Jede Kraft
besitzt eine Gegenkraft die genau entgegengesetzt
wirkt. Wenn beide Kräfte gleich groß sind, befindet
sich das System in Ruhe. Eine Bewegung entsteht,
sobald die Kräfte einen unterschiedlichen Betrag
haben.
Ein Beispiel dafür ist das Rudern:
Actio: Die Sportler tauchen die Ruderblätter ins
Wasser ein und ziehen sie mit Kraft nach vorne.
Quelle: wikimedia.org - Eichelpeter (Public Domain).
Reactio: Über die Ruder wirkt das Wasser (das wir als Widerstand gegen die Bewegung bemerken)
eine Kraft auf das Boot aus, das sich dadurch nach hinten bewegt, denn Ruderboote fahren nun mal
rückwärts.
Gravitationsgesetz
Einer Legende nach soll Isaac Newton eines Tages, als er unter einem Baum ruhte, ein Apfel auf den
Kopf gefallen sein. Das brachte ihn auf eine Idee: Es muss eine Kraft geben, die den Apfel in
Richtung Boden beschleunigt, die Gravitationskraft.
Die Gravitation die sich aus dem lateinischen Wort für die Schwere, gravitas, herleitet, wird auch
Schwerkraft oder Massenanziehung genannt. Sie wirkt zwischen verschiedenen Massen. Diese Kraft
sorgt unter anderem dafür, dass Planeten auf ihren Umlaufbahnen bleiben. Planeten bewegen sich.
Durch die Gravitation, also die Anziehungskraft, der Sonne, kreisen sie um diese herum. Die
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Fliehkraft, die durch die Kreisbewegung der Himmelskörper um die Sonne zustande kommt, zieht,
zum Beispiel die Erde, auf ihrer Umlaufbahn nach außen und sorgt dafür, dass sie nicht in die Sonne
fliegt.
Newtons Erkenntnis, die zum Gravitationsgesetz führte, veröffentlichte er ebenfalls in seinem Werk
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.
3. Keplersches Gesetz
Zur Herleitung des Gravitationsgesetzes von Newton brauchen wir
das 3. Keplersche Gesetz.
Johannes Kepler, ein deutscher Mathematiker, Astronom und
Naturphilosoph (Geboren 1571 in Weil der Stadt, verstorben 1630 in
Regensburg), formulierte die drei Keplerschen Gesetze. Diese
beschreiben die Planetenbewegungen.
Das 3. Keplersche Gesetz besagt, dass sich die Quadrate der
Umlaufzeiten von zwei Planeten genauso zueinander verhalten, wie
die dritten Potenzen der großen Halbachsen dieser Planeten.
Quelle: wikimedia.org Anonymus (Public Domain)
(T1 )
(T2 )
2
2
=
(aH1 )
(aH2 )
3
3
Umlaufzeit des Planeten
a H große Halbachse des Planeten
T
Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen.
Ellipsen haben zwei Durchmesser. Als große
Halbachse wird die Hälfte des größeren
Durchmessers bezeichnet. Die großen
Halbachsen von Erde aH 2 und
Venus
a H 1 siehst du im Bild eingezeichnet. Das
Verhältnis des Quadrates der Umlaufzeit zur
dritten Potenz der großen Halbachse ist für jeden Planeten konstant:
T
a
2
3
= const.
H
Das bedeutet, desto weiter ein Planet von der Sonne entfernt ist, desto länger braucht er, um sie
einmal zu umrunden.
Herleitung des Gravitationsgesetzes
Betrachtet man die Umlaufbahn des Mondes um die Erde, kann man vereinfacht annehmen, dass
sich der Mond auf einer Kreisbahn bewegt.
Δs
Die Geschwindigkeit ist v = Δt . Der Kreisumfang berechnet sich mit der Formel
u = 2π
⋅
r
. Das
ist der Weg, den der Mond zurücklegt, um die Erde einmal zu umkreisen. Die Zeit, die er dafür
benötigt, haben wir oben schon als Umlaufzeit T kennengelernt.
www.SchulLV.de 2π⋅r
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Also ist v
⋅
2π r
=
.
T
Im PhysikLV-Skript Rotation, wurde die Beschleunigung auf einer Kreisbahn definiert als a
Im vorherigen Kapitel haben wir das zweite Newtonsche Gesetz kennengelernt: F
Jetzt können wir die ganzen Formeln zusammensetzen:
F
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
= m
= m
= m
= m
= m
∣
∣
a
v²
⋅
r
(
2π r
)
T
2
⋅
⋅
T
4π
2
T
2
r
v =
r
⋅
a
v²
r
.
.
⋅
2π r
T
2
r
4π
v²
a =
= m
=
2
⋅
1
r
r
2
Das 3. Keplersche Gesetz kann auch vereinfacht für eine Kreisbahn betrachtet werden. In diesem
!
Fall gilt: aH
= r
Damit gilt:
⇔
2
T
const. =
3
r
T
2
⋅
= const. r
3
Das können wir wiederum in F einsetzen:
F
= m
= m
⋅
⋅
4π
=
a
4π
⋅
⋅
r
const. r
2
const.
Der Teil
⋅
2
4π
2
const.
3
m
r
2
besteht nur aus Konstanten, also können wir aus dem Rest der Formel folgendes
schließen:
F
F
∼
∼
⋅
⋅
m
1
r
2
Das 3. Newtonsche Gesetz besagt, dass jede Kraft F eine gleich große Gegenkraft besitzt. Da
F = m
a gilt und im Falle einer Kreisbewegung a konstant ist (also zeitunabhängig), gilt hier
F = m1
a und F = m2
a. Daraus können wir folgern, dass F
m1 und F
m2 .
⋅
Wenn dies der Fall ist, gilt ebenfalls F
⇒ ∼
F
⋅
∼ ⋅
m1
m2
∼
.
∼
m1 m2
r
2
Um nun das Proportionalitätszeichen durch ein Gleichheitszeichen ersetzen zu können, benötigen wir
einen Proportionalitätsfaktor, der hier Gravitationskonstante genannt wird. Damit kommen wir zum
Gravitationsgesetz:
F = G
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⋅
⋅
m1 m2
2
r
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