Vorlesung Teil Mechanik 1

Physik
Maße und Einheiten
Alle physikalischen Größen sind mit Einheiten behaftet!!!
(Es gibt nur ganz wenige Ausnahmen, wie z.B. Verstärkung,
die keine Einheit hat: „x-fach“) (Story Verstärkung : VA/)
also: jedes physikalische Ergebnis besteht aus der Zahl und
der Einheit
Auch beim Rechnen: Einheiten testen ist ne gute Methode, um
Richtigkeit einer Gleichung zu testen.
Alle physikalischen Größen können auf physikalische
Grundgrößen zurückgeführt werden!!
1
Grundgrössen sind:
Länge, Zeit, Masse,
Stoffmenge, Lichtstärke
elektrischer
Strom,
Temperatur,
Konventionen zur Messung: Einheitensystem
z.B. Längen:
Meter,
inch x(inch)=x(m)/0.0254
Temperatur: Kelvin,
°Celsius
T(°C)=T(K)-273.16,
°Fahrenheit T(°F)[T(K)-255.16]9/5
Weltweit gültige Einheiten:
Einheiten
SI (Systeme International)
2
1) Länge :
Meter [m]
Definition : früher: z.B. durch Urmeter (Uhrmeter zeigen)
(Nachteile: Umwelteinflüsse, Bezug zu Naturkonstanten?)
heute: Strecke, die Licht im Vakuum in 1/299792485 s zurücklegt
(Prinzip: Konstanz der Lichtgeschwindigkeit)
2) Zeit :
Sekunde [s]
Definition : früher astronomisch (mittlere Sonnensekunde) oder Pendel
(Metronom zeigen) (Nachteil: Sonnenjahr nicht konstant,
Metronom unterliegt Umwelteinflüssen, erfordert auch
Längen + Massenmessung)
heute : inneratomare Schwingungen eines Cs-Isotops, 9192631770
Schwingungen machen eine Sekunde. (Prinzip: Schwingungen sind
unabhängig von äußeren Einflüssen)
3)Masse:
Kilogramm [kg]
Definition: immer noch das Urkilogramm (Pt-Iridium Klotz) (Modell
zeigen)
Zukunft: Eine bestimmte Anzahl von Si-Atomen die durch eine
Längenmessung ermittelt wird (perfekter Einkristall)
3
4) Elektrischer Strom:
Ampere [A]
Definition: Strom, der durch zwei unendlich lange parallele
Drähte (abstand: 1m) fließt und dabei pro Meter
eine Kraft von 210-7N hervorruft.
5) Temperatur:
Definition:
273.16ter Teil zwischen der
Temperaturdifferenz des Tripelpunktes von
Wasser und dem absoluten Nullpunkt.
6) Stoffmenge:
Definition:
Kelvin [K]
Mol
[mol]
1mol ist die Stoffmenge, die genau so viele
Teilchen enthält wie 0.012kg von 12C
7) Lichtstärke :
Candela
[cd]+
Definiert über die Lichtabstrahlung von erstarrendem Platin
bei Normaldruck
4
Größe
Länge
Einheit
Meter
Definition
m
Ursprünglich 1/10 000stel eines Erdmeridians, dann Definition über
das Urmeter. Im SI die Strecke die Licht im Vakuum in 1/299 792
458 Sekunden zurücklegt.
Masse
Kilogramm kg Masse des Internationalen Kilogrammprototys
Zeit
Sekunde
s
9 192 631 770 Schwingungen der elektromagnetischen Strahlung
des Hyperfeinstrukturübergangs des Grundzustands von Cäsium
133. Ursprünglich der 86400ste Teil eines Sonnentags (24· 60 · 60).
elektrisch Ampere
A
Ein Ampere ist die Stärke eines elektrischen Stromes, der durch
er Stom
zwei geradlinige parallele Leiter mit einem Abstand von einem
Meter fließt und der zwischen den Leitern je Meter Länge eine Kraft
von 210-7 N hervorruft.
Temperat Kelvin
K
Ein Kelvin ist der 273,16te Teil der Temperaturdifferenz zwischen
ur
dem Tripelpunkt von Wasser und dem absoluten Nullpunkt.
Substanz Mol
mol 1 mol ist die Stoffmenge, die genauso viele Teilchen enthält wie
menge
in 0,012 kg des Nuklids 12C vorhanden sind.
Lichtstärk Candela
cd
Eine Candela ist die Lichtstärke, mit der ein schwarzer Strahler
e
senkrecht zu einer Oberfläche von 1/60 cm² leuchtet, bei einer
Temperatur von 2042,5 K (Erstarrungstemperatur des Platin bei
Normaldruck).
5
Erweiterungssymbole:
kilo
k
103
km
milli
m
10-3
mA
Mega
M
106
Mt
mikro

10-6
s
nano
n
10-9
nm
Giga
G
109
GW
piko
p
10-12
pF
Tera
T
1012
Tbyte
femto
f
10-15
fs
atto
a
10-18
as
6
Kinematik eines Massepunktes
Idealisierung: Die Masse eines ausgedehnter Körpers wird auf
einen Punkt konzentiert (Massenschwerpunkt).
Bestimmung Massenschwerpunkt:
An drei Punkten aufhängen, Schnittpunkt ist Schwerpunkt
7
Bewegung des Masseschwerpunkts
Lämpchen zum Leuchten bringen und
den Schaumstoffklotz mit einer
rotierenden Bewegung durch den
Raum werfen.
Experimentell also:
 Aufhängen des Gegenstandes an verschiedenen Punkten
 Fällen des Lots
 Schnittpunkt ist Schwerpunkt (Massemittelpunkt)
8
Mathematisch (an anfachen Beispielen):
a)Körper besteht aus zwei gleichen Massepunkten der
Masse m, verbunden mit einer masselosen Stange der
Länge L
L/2
m
m
L
Schwerpunkt ist bei
L/2 (reine Symmetrieüberlegung)
b) N gleiche Massepunkte, willkürlich über L verteilt
m m m
0 x1
x2 x3
m
m m
x4
x5 x6
L
xs
9
Schwerpunkt xs (Massenmitelpunkt!) berechnet sich
genau so, wie der Mittelwert in der Statistik (siehe in paar
Stunden vorher):
1 N
x s   xi
N i 1
c) N unterschiedliche Massepunkte auf L verteilt:
m1 m2 m3
0 x1
x2 x 3
m4
m5 m6
x4
x5 x 6 L
xs
Ergebnis von xs kann nicht wie in (b) sein (Massen verschieden). Wie denn???? Ganz einfaches Beispiel:
10
xs
m1
m2
Zwei Massen
0 x1
x2
sei im Beispiel
Definiere neue Masse M mit
also :
neues Bild:
2M
L
m2 = 1.5m1 = 3/2m1
2M = m1
m2 = 3M und m1=2M
xs
0 x1
N=5 gleiche Massen M !! also
(Erweitern mit m1/m1)
3M
x2
L
xs=1/5(x1+x1+x2+x2+x2)
= 1/(5m1)(2m1x1 +3m1x2)
11
(2 ausklammern) : xs=2/(5m1)[m1x1+(3/2)m1x2]
2
2
1
1
also : xs 
(m1 x1  m2 x2 ) 
mi xi  2
  mi xi

5
3 i 1
i 1
m1
m1  m1
m

i
2
2
i 1
1
Diese Endformel gilt auch allgemein für N Massepunkte:
Der Massemittelpunkt ist definiert über das gewichtete
Mittel (gemittelt wird über den Ort, gewichtet mit den
Massen):
für 1-dim Objekte
xs 
1
N
 mi
N
  mi xi
i 1
i 1
12
d) kontinuierliche Masseverteilungen
Masse m
m1 m3 m5 m7 .....
m2 m4 m6 m8
.....
Unterteilung in feine Teile mi und Aufsummieren wie in
Beispiel (c) (ist dann identisch zum Integrieren !!)
e) 3-dimensionaler Körper: Ortsvektoren statt
x-Koordinate:
allgemeine Form:
rs 
1
N
 mi
N
  mi r i
i 1
i 1
13
Beispiel: Würfel (1)
z
8
5
7
6
y
1
4
L
3
2
m1  2m r1  (0,0,0)
m3  m r3  ( L, L,0)
m5  m r5  (0,0, L)
m7  2m r7  ( L, L, L)
m2
m4
m6
m8
 m r2  ( L,0,0)
 m r4  (0, L,0)
 m r6  ( L,0, L)
 m r8  (0, L, L)
x
es folgt für Gesamtmasse 10m :
1
rs 
 2m(0,0,0)  m( L,0,0)  m( L, L,0)  m(0, L,0) 
10m
m(0,0, L)  m( L,0, L)  2m( L, L, L)  m(0, L, L)]
1
also : rs  ( L, L, L)
Schwerpunkt liegt im Zentrum!!
2
14
Beispiel: Würfel (2)
z
8
5
7
6
y
1
4
L
3
2
m1  2m r1  (0,0,0)
m2  m r2  ( L,0,0)
m3  m r3  ( L, L,0) m4  m r4  (0, L,0)
m5  m r5  (0,0, L) m6  2m r6  ( L,0, L)
m7  m r7  ( L, L, L) m8  m r8  (0, L, L)
x
es folgt für Gesamtmasse 10m :
1
rs 
 2m(0,0,0)  m( L,0,0)  m( L, L,0)  m(0, L,0) 
10m
m(0,0, L)  2m( L,0, L)  m( L, L, L)  m(0, L, L)]
1 2 1 

also : rs   L, L, L 
2 5 2 
15
Beispiel: Hebelgesetz
Eine Waage ist im Gleichgewicht, wenn sie im Schwerpunkt
aufgehängt ist:
xs
L1
m1
m2
x1
Schwerpunkt:
Also:
L2
x2
xs = 1/(m1+m2)(m1x1+m2x2)
| -xs
0 = 1/(m1+m2)[m1x1+m2x2-(m1+m2)xs]
0 = m1x1+m2x2-(m1+m2)xs
0 = m1(x1-xs)+m2(x2-xs)
| - m1(x1-xs)
m1(xs-x1) = m2(x2-xs)
m1L1 = m2L2
16
Bewegung des Massepunktes wird beschrieben durch
Vektoren:
a) zeitbhängiger Ort
s(t)
b) zeitabhängige Geschwindigkeit (Änderung des Ortes) v(t)
c) zeitabhängige Beschleunigung (Änderung von v(t)
) a(t)
Änderung kann heissen, dass sich nur die Richtung
ändert, der Betrag aber konstant bleibt!! (Vektor)
Änderung der Beschleunigung, etc spielen in der Physik keine
Rolle.
17
s(t )   v(t )dt   a(t )d 2t
ds(t )
v(t )  a(t )dt 
dt
dv(t ) d 2 s (t )
a (t ) 

dt
dt 2
18
Beispiele
(1) Körper in Ruhe: s(t) = const
also: v=ds/dt = 0 und a=dv/dt = 0
(2)
gleichförmige Bewegung
also : a(t) = dv/dt = 0
v(t) = const = v0
s
und s(t )   v(t )dt  v0t  v0 
t
(3) gleichförmige Beschleunigung
also v(t )  a(t )dt  a0t
und
a(t) = const = a0
1 2
s(t )   v(t )dt  a0t
2
Merke : Konstanten beim Integrieren vernachlässigt)
19
Versuch freier Fall
Messreihe für h=(0.00,0.25, 0.50,
1.00)m : t =(0.00, 0.22, 0.32, 0.45)s
keine gleichförmige Bewegung :
h(t) = v0t
 v0 = h/t 
v0 = (nix,1.14, 1.56, 2.22)m/s
gleichförmige Beschleunigung:
h(t) = 1/2a0t2  a0=2h/t2 
a0=(nix,10.3, 9.8 , 9.9)m/s2 . Im
Rahmen der Fehler const !!
Erdanziehung ist also eine gleichförmig beschleunigte
Bewegung!!
20
Frage: ist diese Beschleunigung von der Masse abhängig?
a0(m) ????
Versuch: Fall zweier Kugeln unterschiedlicher Massen:
 Kugeln fallen gleich schnell a0(m) = const = g = 9.81m/s2
g ist eine Beschleunigung, also hat g auch eine Richtung!!!
g=(0,0,g) ist Vektor, der zum Erdmittelpunkt zeigt.
Also: Eigentlich muss man alle Bewegungen vektoriell
rechnen.
Aber : In den meisten Fällen kann man Bewegungen
geschickt vektoriell zerlegen und einzeln behandeln!
Z.B. bei Gravitation: eine Komponente parallel zu g und eine
senkrecht zu g. Komponente senkrecht zu g wird nicht
beeinflusst.
21
Versuch Armbrust:
Stehende Scheibe: Pfeil trifft
unterhalb der Mitte: Abstand
D
Fallende Scheibe: Pfeil trifft
in der Mitte.
Auch bei verschiedenen
Distanzen d (hier ist d fest).
Also: das selbe Fall-Gesetz
für Scheibe und Pfeil in gRichtung
Pfeil :
fallende Scheibe
ruhende Scheibe
sp(t) = (v0t, 0 , 0.5gt2)
sf(t) = ( d, 0 , 0.5gt2)
sr(t) = ( d, 0 , 0)
Schussrichtung 
x
y
z
22
Zerlegung kann zur Geschwindigkeitsbestimmung verwendet
werden:
(1) d = v0t
(2) D = 0.5gt2
(1) zum Quadrat :
d2 = v02t2

t2 = d2/ v02
in (2) einsetzen und nach v0
gd 2
auflösen : v0 
2D
z.B.:
g=9.81m/s2
d=3.1m
D=0.2m
v0 = 15.3 m/s
zeigen, dass Einheiten stimmen:
[m/s 2 ][ m 2 ] [m 2 ] m


2
[m]
[s ] s
23
Beispiel: Schiefer Wurf
z , vz
v0=(v0x,0,v0z)
y
h

se
v0x = v0cos()
x , vx
v0z=v0sin()
Und Anfangsbedingungen (t=0) :
v(t=0) = v0(cos,0,sin)
s(t=0) = (0,0,0)
Beschleunigung: a(t) = (0,0,-g)
(- Zeichen erklären:
Koordinatensystem so gewählt)
24
Geschwindigkeit : v(t) = a(t)dt
integrieren
also :
Komponenten einzeln
v(t) = (c1 , c2 , -gt + c3)
Die Konstanten c1 , c2 , c3 ergeben sich aus den
Anfangsbedingungen von v(t) bei t=0 , :
c1 = v0cos() ; c2 = 0 ; -g0+c3 = v0sin() also c3 = v0sin()
also :
v(t) = (v0cos() , 0 , -gt + v0sin() )
Ort : s(t) = v(t)dt
also : s(t) = (tv0cos()+c4 , c5 , -½ gt2 + tv0sin()+ c6 )
25
Die Konstanten c4 , c5 , c6 ergeben sich aus den
Anfangsbedingungen von s(t) bei t=0 , : c4 =c5 =c6 = 0
also : s(t) = (tv0cos() , 0 , -½ gt2 + tv0sin() )
Wurfweite se bei Wurfzeit te ????
Wir wissen : s(te) = (tev0cos() , 0 , -½ gte2 + tev0sin() )
= (se ,0 ,0) (siehe Bild)
also zwei Gleichungen :
1.Komponente
se = tev0cos()
(Wurfweite)
3.Komponente
0 = -½ gte2 + tev0sin()  ½ gte = v0sin()
 te = 2v0sin()/g
(Wurfzeit)
26
also Wurfweite : se = 2v0sin()v0cos()/g = v02sin(2)/g
Wurfhöhe h : kann mathematisch exakt bestimmt werden
(Bestimmung von z(x) aus s(t) , Eliminieren
von t, Maximum der Kurve suchen
[Extremwertaufgabe] )
Plausibilitätsansatz: maximale Höhe bei th = te/2 erreicht.
Also : h = z-Komponente von s(th)
= -½ gth2 + thv0sin()
= -½ g[v0sin()/g]2 + [v0sin()/g]v0sin()
= -½ v02 sin2()/g + v02 sin2()/g = ½ v02 sin2()/g
27
Beispiel: Gleichförmige Kreisbewegung
z
 cos[ (t )] 


r  r0 
0

 sin[ (t )] 


r(t)

mit (t)=0t
x
Komponentenzerlegung des
Dreiecks
Gleichförmige Kreisbewegung heißt:
sog. Winkelgeschwindigkeit
*
0 = const
Eine Umdrehung in der Zeit T : (T) = 2
also : 0T = 2

0 = 2/T
28
*
Der Umfang ist: U = 2r0 , also ist der Betrag der
Bahngeschwindigkeit: v0 = U/T = 2r0/(2/0) = 0r0
Exakt ist der Vektor der Bahngeschwindigkeit gegeben durch:
 cos[0 t ] 
  0 sin[0 t ] 




dr
r (t )  r0  0   v(t ) 
 r0 
0

dt
 sin[ t ] 
  cos[ t ] 

 0

0 
0
v liegt senkrecht zu r in Bewegungsrichtung
(Beweis: rv = 0). Der Betrag ist (vergl. oben)
| v | v  v  r0202 (sin 2 [0t ]  0  cos 2 [0t ])  0 r0
29
Beschleunigung:
   cos[0 t ] 
 cos[0 t ] 




dv
2
2
a(t ) 
 r0 
0



r
0





0 0
0 r (t )
dt
 sin[ t ] 
   2 sin[ t ] 

0
0 
0 

2
0
2
v
also : | a (t ) |  02 r0  0
r0
die Richtung von a(t) ist
entgegengesetzt zu r(t) .
Kurze Zusammenfassung: Es gibt einfache Zusammenhänge zwischen Ortsvektor, Geschwindigkeit und
Beschleunigung. Kennt man eine Größe inklusive
Anfangsbedingung, dann kennt man den Rest.
30
Ortsvektor
Geschwindigkeit Beschleunigung





2
r
(
t
)

v
(
t
)
dt
r
(
t
)

a
(
t
)
d
t
r
(t
)
Ortsvektor






dr

v (t )   a (t )dt
v (t )
Geschwindigkeit v (t ) 
 r(t )
dt

2

dv
d r


a (t )
Beschleunigung a (t )  2  r(t ) a (t ) 
 v(t )
dt
dt
1 2
Gravitationsfeld: v z (t )  gt  v0 und
z (t )  gt  v0t  z0
2
( konstante Beschleunigung in z-Richtung g=9.81m/s2 )
Gleichförmige Kreisbewegung: Winkelgeschwindigkeit 0=const=2/T

r
(t )  r0 (cos[0 t ],0, sin[0 t ]) , Beschleu(T : Umlaufzeit), Ortsvektor


2
nigung: a (t )    0 r (t ) , Betrag der Bahngeschwindigkeit : | v |  0 r0
31
Dynamik eines Massepunktes
(es werden die Ursachen für eine beschleunigte Bewegung
untersucht)
Kraft-Begriff:
Eine Kraft ist ein Vektor (siehe rechts), der verschieden Ursachen (links) haben kann aber immer auf eine Masse wirkt.
32
Weiter gilt:
Wenn eine Kraft (Vektor) auf einen Körper einwirkt, dann
ergibt sich für diesen eine Beschleunigung in Richtung der
Kraft.
Eigentlich möchte ein Körper nicht beschleunigt werden.
Der “Widerstand”, der vom Körper ausgeht, um nicht
beschleunigt zu werden, ist die träge Masse (d.h. je größer
die Masse, desto größer der Widerstand gegenüber
Kräften)
Daraus folgen die
33
Newton’schen Axiome
1. Axiom : Trägheitsprinzip
Ein kräftefreier Körper bewegt sich gradlinig gleichförmig.
2. Axiom: Aktionsprinzip

Wirkt eine Kraft F  F auf eine Masse m, so beschleunigt sie
2
  d r F
sie mit a  r  2 
(1. Axiom ist Spezialfall von 2. Axiom)
dt
m
3. Axiom: Reaktionsprinzip
Die gegenseitige Wirkung zweier Körper aufeinander ist gleich
und entgegengesetzt.
FKörper1 = -FKörper2
34
Ganz wichtig!!!! Nicht der Ort ist die „Grundgröße“
sondern die Geschwindigeit
d.h.: Am Anfang der Vorlesung wurde gesagt, dass man das
Koordinatensystem beliebig wählen kann, dass es dann aber
fest sein muss.
Diese Bedingung kann „aufgeweicht“ werden:
Das Koordinatensystem darf sich gleichförmig bewegen,
ohne dass sich die Physik ändert (aus 1. Axiom).
Beispiel zum 1.Axiom :
Körper bewegt sich im „ruhenden“ Koordinatensytem :
r(t) = (v0t,0,-1/2gt2) (kräftefrei,kräftefrei,Gravitation)
35
zweites Koordinatensystem bewegt sich relativ zum ersten mit
v0
in x-Richtung
r’(t) = (0,0,-1/2gt2) (sog. GalileiTransformation)
Versuch Luftkissenbahn (Bezugssystem, Intertialsystem)
Ruhendes Bezugssystem u
: Hörsaal
Bewegtes Bezugssystem u’ = u+v0t : Trichter
bzgl u beschreibt der Ball eine Wurfparabel
bzgl u’ beschreibt der Ball ein senkrechten
Fall
In beiden Fällen in x-Richtung gleichförmige
Bewegung (Ruhe ist gleichförmige „Null“Bewegung) und in z-Richtung erdbeschleunigte Bewegung.
36
Frage? Was ist das Ruhesystem ?? Umdefinition möglich
mit: Ruhesystem ist der Trichter und der Hörsaal bewegt sich
mit -v0.
Versuch Luftkissenbahn, wie oben aber Anhalten des
Bezugssystems auf halber Strecke. Ball trifft nicht mehr in den
Trichter.
Hörsaalsystem u : kräftefreie Bewegung in x-Richtung
Gravitation in z-Richtung
beschleunigtes Trichtersystem:
in x-Richtung: Zuerst kräftefrei (ruhend) dann
gleichförmige Bewegung wie in u
in z-Richtung: Gravitation wie in u
D.h. bzgl Trichtersystem Geschwindigkeitsänderung des Balls
in x-Richtung, also Beschleunigung, also Kraft. Aber auf Ball
wirkte keine Kraft !!  beschl. System kein Inertialsystem!!
37
Also : Physikalische Gesetze sind invariant gegenüber
Transformationen in verschiedene Inertialsysteme.
Beispiel zum 3. Axiom :
Luftkissenbahn:
m1
m2
Feder gespannt, Massen verbunden
v1
v2
m1
m2
Massen getrennt, stoßen sich ab
Massen sind am Anfang kräftefrei (Kraft der Feder wird durch
Halter kompensiert). Beim Lösen des Halters wirkt Kraft, die
die Körper beschleunigt.
Bei gleichen Massen sind die Geschwindigkeiten gleich. Ist
m2>m1, dann ist
v2 < v1 . (Actio = Reactio)
38
Beispiele zum 2. Axiom : F = ma
z

Luftkissenbahn:
(schräg)
v
 F=-mg
x
Fz=-mgcos()
Fx=mgsin()
Messreihe: Zwei verschieden große Klötze unterlegen. Winkel
ist arcsin(Klotzhöhe/Gesamtlänge). (1.8cm;2.54cm / 3.3m)
Für die zwei Winkel Zeit ti und Fahr-Distanz d für den
Wagen messen.
1 = 0.31°
t1 = 4.3s
2 = 0.44°
t2 = 3.6s
d = 50cm
39
Kraft lässt sich in Komponenten zerlegen. Beschleunigung ist
Erdbeschleunigung. Die z-Komponente der Kraft wird von
Luftkissenbahn aufgefangen (Actio=Reactio). Die x-Komponente nicht.




F  ma  mr
nur x - Komponente : mg  sin( )  mx
Also : x  g sin( )  v x (t )  x   g sin( )dt  gt sin( )
und
1 2
x(t )   v x (t )dt   gt sin( )dt  gt sin( )
2
 Fallgesetz, aber Gravitationskonstante ist um sin()
vermindert!!
es folgt mit d=x(ti) i=arcsin[2d/(gti)]
(Check mit i oben)
40
Versuch Luftkissenbahn: Kraftrichtung lässt sich umlenken
M
F=mg
F=mg
m
Messreihe:
Versch. Massen Mi,mi
Distanz d
Zeiten
ti
Große Masse M wird von kleiner Masse m gezogen:
F  Mx  mg also
mg
x 
M
1 m
 x(t )   g  t 2
2 M
Auch hier Fallgesetz mit verändeter Gravitationskonstante
Gemessene Zahlen überprüfen
41